KIRISH

Qo‘llanma texnikumlarning matematika fani o‘qituvchilari hamda barcha mutaxassisliklarning 2-kurs talabalari uchun mo‘ljallangan.

Ushbu maqolada biz qatorlar nazariyasining asosiy tushunchalarini taqdim etamiz. Nazariy material O‘rta kasb-hunar ta’limi Davlat ta’lim standarti (Ta’lim vazirligi) talablariga javob beradi. Rossiya Federatsiyasi. M., 2002).

Butun mavzu bo'yicha nazariy materialning taqdimoti ko'plab misollar va topshiriqlarni ko'rib chiqish bilan birga keladi va iloji bo'lsa, tushunarli tilda olib boriladi. Qo'llanma oxirida o'quvchilar o'z-o'zini nazorat qilish rejimida bajarishi mumkin bo'lgan misollar va topshiriqlar keltirilgan.

Qo'llanma sirtqi va kunduzgi ta'lim shakllari talabalari uchun mo'ljallangan.

Texnik maktab o'quvchilarining tayyorgarlik darajasini, shuningdek, texnik maktablarda oliy matematikadan o'tish uchun dastur tomonidan ajratilgan juda cheklangan soatlar sonini (12 soat + 4 funt) hisobga olgan holda, o'zlashtirish uchun katta qiyinchiliklarni keltirib chiqaradigan qat'iy xulosalar. , tashlab ketilgan, misollarni ko'rib chiqish bilan cheklangan.

ASOSIY TUSHUNCHALAR

Matematik nuqtai nazardan, masalan, turli funktsiyalar, ularning hosilalari va integrallarining kombinatsiyasi sifatida taqdim etilgan muammoning echimi ko'pincha yakuniy javob bo'lib xizmat qiladigan "songa olib kelishi" kerak. Buning uchun matematikaning turli sohalarida turli usullar ishlab chiqilgan.

Matematikaning har qanday to'g'ri qo'yilgan masalani amaliy foydalanish uchun etarli darajada aniqlik bilan echishga imkon beruvchi bo'limi qatorlar nazariyasi deb ataladi.

Ba'zi nozik tushunchalar bo'lsa ham matematik tahlil qatorlar nazariyasidan tashqarida paydo bo'ldi, ular darhol seriyalarga qo'llanilib, go'yo bu tushunchalarning ahamiyatini tekshirish vositasi sifatida xizmat qildi. Bu holat bugungi kungacha davom etmoqda.

Shaklni ifodalash

bu yerda;;;…;;… qator a’zolari; - nth yoki qatorning umumiy a'zosi cheksiz qator (son) deyiladi.

Agar seriya a'zolari:

I. Raqamlar qatori

1.1. Sonlar qatori haqida asosiy tushunchalar.

Raqamlar qatori shaklning yig'indisidir

, (1.1)

bu yerda ,,,…,,... qator a’zolari deb ataladi, cheksiz ketma-ketlikni hosil qiladi; a'zo qatorning umumiy a'zosi deyiladi.

(1.1) qatorning birinchi hadlaridan tuzilgan bu qatorning qisman yig’indilari deyiladi.

Har bir qator qisman yig'indilar ketma-ketligi bilan bog'lanishi mumkin .

Agar sonning cheksiz ko'payishi bilan n qatorning qisman yig'indisi chegaraga intiladi, keyin ketma-ket konvergent deb ataladi va raqam konvergent qatorning yig'indisi deb ataladi, ya'ni.

Ushbu yozuv kirishga teng

Agar cheksiz o'sish bilan seriyaning qisman yig'indisi (1.1) bo'lsa n chekli chegaraga ega emas ( yoki ga intiladi), unda bunday qator deyiladi turlicha .

Agar qator konvergent , keyin yetarlicha katta qiymati n qator yig‘indisining taxminiy ifodasidir S.

Farq qatorning qolgan qismi deb ataladi. Agar qator yaqinlashsa, uning qoldig'i nolga moyil bo'ladi, ya'ni va aksincha, qolgan qismi nolga moyil bo'lsa, u holda qator yaqinlashadi.

1.2. Raqamlar qatoriga misollar.

Misol 1. Shaklning qatori

(1.2)

chaqirdi geometrik .

Geometrik qator geometrik progressiyaning a'zolaridan hosil bo'ladi.

Ma'lumki, uning birinchi yig'indisi n a'zolari. Shubhasiz, bu n- qatorning qisman yig'indisi (1.2).

Mumkin holatlar:

Seriya (1.2) quyidagi shaklni oladi:

, qator farqlanadi;

Seriya (1.2) quyidagi shaklni oladi:

Chegara yo'q, seriya farqlanadi.

chekli son, qator yaqinlashadi.

- seriya farqlanadi.

Demak, bu qator ga yaqinlashadi va da ajraladi.

Misol 2. Shaklning qatori

(1.3)

chaqirdi garmonik .

Keling, ushbu qatorning qisman yig'indisini yozamiz:

Miqdori quyidagi tarzda taqdim etilgan summadan kattaroqdir:

yoki .

Agar , keyin , yoki .

Shuning uchun, agar , keyin , ya'ni. garmonik qator ajraladi.

Misol 3. Shaklning qatori

(1.4)

chaqirdi umumlashtirilgan garmonik .

Agar bo'lsa, bu qator divergent bo'lgan garmonik qatorga aylanadi.

Agar bo'lsa, bu qatorning hadlari garmonik qatorning tegishli hadlaridan katta bo'ladi va shuning uchun u ajralib chiqadi. Bizda geometrik qator mavjud bo'lganda; u konvergent hisoblanadi.

Demak, umumlashgan garmonik qator ga yaqinlashadi va da ajraladi.

1.3. Konvergentsiyaning zaruriy va yetarli mezonlari.

Seriyaning yaqinlashuvining zaruriy mezoni.

Agar qator chegarasiz oshgani sayin uning umumiy aʼzosi nolga moyil boʻlsagina birlasha oladi: .

Agar , u holda qator ajralib chiqadi, ya'ni etarli belgi ketma-ket divergentsiya.

Bilan qatorning yaqinlashishi uchun etarli shartlar ijobiy a'zolar.

Ijobiy shartlar bilan qatorlarni solishtirish belgisi.

O'rganilayotgan qator yaqinlashadi, agar uning a'zolari boshqa, aniq yaqinlashuvchi qatorning mos a'zolaridan oshmasa; o'rganilayotgan qator ajraladi, agar uning shartlari boshqa, aniq divergent qatorning tegishli shartlaridan oshsa.

D'Alembert belgisi.

Agar ijobiy shartlarga ega seriya uchun

shart bajarilsa, qator ga yaqinlashadi va da ajraladi.

d'Alembert belgisi javob bermaydi, agar . Bunda qatorni o'rganish uchun boshqa usullar qo'llaniladi.

Mashqlar.

Berilgan umumiy atamasi bo‘yicha qator yozing:

,,,… deb faraz qilsak, bizda cheksiz sonlar ketma-ketligi bor:

Uning shartlarini qo'shib, biz seriyani olamiz

Xuddi shunday qilib, biz seriyani olamiz

1,2,3,… qiymatlarini berib,,,,… ni hisobga olsak, qatorni olamiz

Topmoq n- Seriyaning birinchi shartlariga ko'ra:

Birinchisidan boshlab qator a'zolarining maxrajlari juft sonlar; Binobarin, n- Seriyaning uchinchi qismi shaklga ega.

Ketma a'zolarining ayirgichlari sonlarning natural qatorini, mos keluvchilar esa sonlarning natural qatorini, mos keluvchi maxrajlar esa 3 dan boshlanadigan natural son qatorini hosil qiladi. Belgilar qonunga muvofiq yoki unga muvofiq almashinadi. qonunga. Ma'nosi, n- Seriyaning uchinchi qismi shaklga ega. yoki .

Kerakli konvergentsiya testi va taqqoslash testi yordamida qatorlarning yaqinlashuvini o'rganing:

;

topamiz .

Ketma-ket yaqinlashuvining zaruriy mezoni qanoatlantirildi, ammo yaqinlashuv masalasini hal qilish uchun yetarli darajada yaqinlashuv mezonlaridan birini qo‘llash kerak. Bu qatorni geometrik qator bilan solishtiring

buyon birlashadi.

Ushbu qatorning hadlarini ikkinchisidan boshlab, geometrik qatorning tegishli hadlari bilan taqqoslab, biz tengsizliklarni olamiz.

bular. ikkinchisidan boshlab ushbu qatorning shartlari mos ravishda geometrik qatorning hadlaridan kichikroq bo'lib, shundan kelib chiqadiki, bu qator yaqinlashadi.

Bu erda ketma-ketlikning farqlanishi uchun etarli test qondiriladi; shuning uchun qatorlar ajralib chiqadi.

topamiz .

Seriyaning yaqinlashuvi uchun zaruriy mezon qanoatlantirildi. Keling, bu qatorni umumlashtirilgan garmonik qator bilan taqqoslaylik

yaqinlashadi, chunki, demak, berilgan qator ham yaqinlashadi.

D'Alembert testi yordamida qatorlarning yaqinlashuvini o'rganing:

;

O‘rniga qatorning umumiy atamasi bilan almashtirish n raqam n+ 1, biz olamiz. --chi hadning nisbat chegarasi topilsin n- mu a'zosi:

Shunday qilib, bu seriya birlashadi.

Shunday qilib, bu seriya farqlanadi.

Bular. qator ajralib chiqadi.

II. muqobil qator

2.1 Muqobil qator tushunchasi.

Raqamlar seriyasi

chaqirdi muqobil agar uning a'zolari ijobiy va salbiy sonlarni o'z ichiga olsa.

Raqamlar qatori deyiladi muqobil agar ikkita qo'shni atama qarama-qarshi belgilarga ega bo'lsa.

qaerda hamma uchun (ya'ni, ijobiy va salbiy atamalar bir-birini ketma-ket kuzatib turadigan qator). Misol uchun,

;

Muqobil qatorlar uchun konvergentsiyaning yetarli mezoni mavjud (1714 yilda Leybnits I. Bernulliga yozgan maktubida asos solgan).

2.2 Leybnits belgisi. Ketmalarning mutlaq va shartli yaqinlashuvi.

Teorema (Leybnits testi).

Muqobil qator yaqinlashadi, agar:

Seriya shartlarining mutlaq qiymatlari ketma-ketligi monoton ravishda kamayadi, ya'ni. ;

Seriyaning umumiy atamasi nolga intiladi:.

Bundan tashqari, qatorning S yig'indisi tengsizliklarni qanoatlantiradi

Izohlar.

Shaklning o'zgaruvchan seriyasini o'rganish

(salbiy birinchi had bilan) qatorni o'rganish uchun uning barcha shartlarini ko'paytirish orqali kamayadi .

Leybnits teoremasining shartlari qanoatlantirilgan qatorlar deyiladi Leybnizchi (yoki Leybnits seriyasi).

Munosabatlar yig'indini almashtirish orqali biz qilgan xatoning oddiy va qulay bahosini olish imkonini beradi S bu qatorning qisman yig'indisi bo'yicha.

Tashlab ketilgan qator (qoldig'i) ham o'zgaruvchan qatordir , ularning yig'indisi ushbu qatorning birinchi hadidan kichik, ya'ni, shuning uchun xato, tashlangan hadlarning birinchisining modulidan kichikdir.

Misol. Seriyaning taxminan yig'indisini hisoblang.

Yechish: Leybnits tipidagi qator berilgan. U birlashadi. Siz yozishingiz mumkin:

Beshta shartni qabul qilish, ya'ni. almashtirilishi mumkin

Keling, kichikroq xato qilaylik

Qanday . Shunday qilib,.

Muqobil qatorlar uchun konvergentsiya uchun quyidagi umumiy etarli mezon sodir bo'ladi.

Teorema. Muqobil qator berilsin

Agar qator yaqinlashsa

berilgan qator a'zolarining modullaridan tuzilgan bo'lsa, u holda o'zgaruvchan qatorning o'zi yaqinlashadi.

O'zgaruvchan qatorlar uchun Leybnitsning yaqinlashuv mezoni o'zgaruvchan qatorlarning yaqinlashuvi uchun etarli mezondir.

Muqobil qator deyiladi mutlaqo konvergent , agar uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator yaqinlashsa, ya'ni. har bir absolyut yaqinlashuvchi qator yaqinlashuvchidir.

Agar o'zgaruvchan qator yaqinlashsa va uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator ajralib chiqsa, bu qator deyiladi. shartli ravishda (mutlaq emas) yaqinlashish.

2.3. Mashqlar.

Muqobil qatorning yaqinlashuvini (mutlaq yoki shartli) tekshiring:

Shuning uchun, Leybnits testiga ko'ra, qatorlar yaqinlashadi. Keling, bu qator mutlaq yoki shartli yaqinlashishini bilib olaylik.

Qator , berilgan qatorning mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan, bir-biridan ajralib turuvchi garmonik qatordir. Shuning uchun bu qator shartli ravishda yaqinlashadi.

Ushbu seriyaning shartlari mutlaq qiymatda monoton ravishda kamayadi:

, lekin

Seriya farqlanadi, chunki Leybnits testi bajarilmaydi.

Leybnits testidan foydalanib, biz olamiz

bular. qator yaqinlashadi.

Bu qaerda, birlashuvchi shaklning geometrik qatoridir. Shuning uchun, bu seriya mutlaqo birlashadi.

Leybnits testidan foydalanib, biz bor

;

, ya'ni. qator yaqinlashadi.

Ushbu qator shartlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qatorni ko'rib chiqing:

, yoki

Bu bir-biridan ajralib turadigan umumlashtirilgan garmonik seriyadir. Shuning uchun bu qator shartli ravishda yaqinlashadi.

III. Funktsional diapazon

3.1. Funktsional qator tushunchasi.

A'zolari funksiya bo'lgan qator deyiladi funktsional :

ga ma'lum bir qiymat berib, biz olamiz raqamlar qatori

konvergent yoki divergent bo'lishi mumkin.

Agar olingan sonlar qatori yaqinlashsa, nuqta chaqiriladi konvergentsiya nuqtasi funktsional qator; agar qator ajralib chiqsa ajralish nuqtasi funktsional qator.

Funktsional qatorlar yaqinlashadigan argumentning raqamli qiymatlari to'plami deyiladi. konvergentsiya hududi .

Funksional qatorning yaqinlashish mintaqasida uning yig'indisi ma'lum bir funktsiya :.

U yaqinlashuv mintaqasida tenglik bilan aniqlanadi

, qayerda

Seriyaning qisman yig'indisi.

Misol. Seriyaning yaqinlashish maydonini toping.

Yechim. Bu qator maxrajli geometrik progressiya qatoridir. Shuning uchun, bu qator uchun yaqinlashadi, ya'ni. Barcha uchun ; qatorning yig'indisi;

, da .

3.2. Quvvat seriyasi.

Quvvat qatori shaklning qatoridir

raqamlar qayerda chaqirdi qator koeffitsientlari , va bu atama turkumning umumiy atamasi hisoblanadi.

Konvergentsiya maydoni quvvat seriyasi berilgan qatorlar yaqinlashadigan barcha qiymatlar to'plamidir.

Raqam chaqiriladi yaqinlashish radiusi kuch qatorlari, agar uchun bo'lsa, qator yaqinlashadi va bundan tashqari, absolyut va uchun bo'lsa, qator ajralib chiqadi.

D'Alembert testi yordamida yaqinlashish radiusini topamiz:

(bog'liq emas),

bular. kuch qatori berilgan shartni qanoatlantiruvchi har qanday uchun yaqinlashsa va uchun ajralsa.

Bundan kelib chiqadiki, agar chegara bo'lsa

u holda qatorning yaqinlashish radiusi bu chegaraga teng bo'ladi va kuch qatori ga yaqinlashadi, ya'ni. ular orasida deyiladi yaqinlashuv oralig'i (interval).

Agar, u holda kuch seriyasi bir nuqtada birlashadi.

Intervalning oxirida qator yaqinlashishi mumkin (mutlaq yoki shartli), lekin u ham ajralib chiqishi mumkin.

va uchun darajalar qatorining yaqinlashuvi yaqinlashuv mezonlaridan biri yordamida tekshiriladi.

3.3. Mashqlar.

Seriyaning yaqinlashish maydonini toping:

Yechim. Ushbu qatorning yaqinlashish radiusini toping:

Shuning uchun, bu qator mutlaqo butun sonlar o'qiga yaqinlashadi.

Yechim. Keling, d'Alember belgisidan foydalanamiz. Ushbu seriya uchun bizda:

Agar yoki bo'lsa, qator mutlaqo yaqinlashadi. Keling, konvergentsiya oralig'i oxiridagi qatorlarning harakatini o'rganamiz.

Chunki bizda serial bor

Chunki bizda serial bor shuningdek, konvergent Leybnits qatoridir. Shuning uchun asl qatorning yaqinlashish mintaqasi segmentdir.

Yechim. Qatorning yaqinlashish radiusini toping:

Shuning uchun, qator yaqinlashadi, ya'ni. da.

Keling, bir qatorni olaylik , bu Leybnits testiga ko'ra yaqinlashadi.

Biz divergent seriyani olamiz

Demak, asl qatorning yaqinlashish mintaqasi intervaldir.

IV. Parchalanish elementar funktsiyalar Maklaurin seriyasida.

Ilovalar uchun qobiliyatga ega bo'lish muhimdir bu funksiya kuch seriyasida kengaytirish, ya'ni. funktsiyani darajalar qatorining yig'indisi sifatida ifodalaydi.

Funksiya uchun Teylor qatori shaklning darajali qatori deyiladi

Agar bo'lsa, biz Teylor seriyasining maxsus holatini olamiz

qaysi deyiladi Maklaurin yaqinida .

O'zining yaqinlashuv oralig'idagi darajali qatorni muddatlar bo'yicha differensiallash va xohlagancha ko'p marta integrallash mumkin va natijada olingan qatorlar dastlabki qator bilan bir xil yaqinlashish oralig'iga ega.

Ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish qoidalariga ko‘ra, ikkita darajali qator qo‘shilishi va hadga ko‘paytirilishi mumkin. Bunda hosil bo'lgan yangi qatorning yaqinlashish oralig'i dastlabki qatorning yaqinlashuv intervallarining umumiy qismiga to'g'ri keladi.

Funktsiyani Maclaurin seriyasiga kengaytirish uchun quyidagilar zarur:

Nuqtadagi funksiya va uning ketma-ket hosilalari qiymatlarini hisoblang, ya'ni,,,...,;

Funktsiya qiymatlarini va uning ketma-ket hosilalarini Maklaurin qator formulasiga almashtirib, Maklaurin qatorini tuzing;

Hosil bo‘lgan qatorning yaqinlashish oralig‘ini formula bo‘yicha toping

, .

Misol 1. Maklaurin seriyasidagi funksiyani kengaytiring.

Yechim. Chunki , keyin kengaytirishda bilan almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

2-misol. Funksiyaning Maklaurin qatorini yozing .

Yechim. Chunki , keyin biz bilan almashtiriladigan formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Misol 3. Maklaurin seriyasida funksiyani kengaytiring.

Yechim. Keling, formuladan foydalanamiz. Chunki

, keyin bilan almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

, yoki

qayerda, ya'ni. .

V. Talabalarning o'z-o'zini nazorat qilish uchun amaliy topshiriqlar.

Seriyalarni taqqoslash testi yordamida konvergentsiyani o'rnating

shartli ravishda birlashadi;

mutlaqo mos keladi.

;

VII. Tarix ma'lumotnomasi.

Ko'pgina muammolarni hal qilish funktsiyalar va integrallarning qiymatlarini hisoblash yoki noma'lum funktsiyalarning hosilalari yoki differentsiallarini o'z ichiga olgan differensial tenglamalarni echish uchun qisqartiriladi.

Biroq, bu matematik amallarning aniq bajarilishi ko'p hollarda juda qiyin yoki imkonsiz bo'lib chiqadi. Bunday hollarda ketma-ketlik yordamida istalgan aniqlikdagi ko'plab masalalarning taxminiy yechimini olish mumkin.

Seriyalar funksiyalar, integrallar va differensial tenglamalar yechimlarini taqribiy hisoblash uchun oddiy va mukammal matematik tahlil vositasidir.

Va funksionalning o'ng tomonida turish.

“” belgisi oʻrniga tenglik belgisini qoʻyish uchun tenglikning oʻng tomonidagi hadlar sonining cheksizligi va qatorning yaqinlashish mintaqasi bilan bogʻliq boʻlgan qoʻshimcha mulohazalarni amalga oshirish kerak.

Teylor formulasi Maklaurin formulasi deb ataladigan shaklni olganida:

Nyutonning shogirdi Kolin Maklaurin (1698 - 1746) o'zining "Fluxions to'g'risida traktat" (1742) asarida analitik funktsiyani ifodalovchi faqat bitta darajali qator mavjudligini aniqladi va bu bunday funktsiya tomonidan yaratilgan Teylor qatori bo'ladi. Nyuton binomial formulasida quvvatlardagi koeffitsientlar qiymatlar, bu erda .

Shunday qilib, qatorlar 18-asrda paydo bo'lgan. cheksiz farqlash imkonini beruvchi funktsiyalarni ifodalash usuli sifatida. Biroq, qator bilan ifodalangan funksiya uning yig'indisi deb atalmagan va umuman o'sha paytda sonli yoki funktsional qatorning yig'indisi nima ekanligi aniqlanmagan, faqat bu tushunchani kiritishga urinishlar bo'lgan.

Masalan, L. Eyler (1707-1783) funktsiyaga mos keladigan darajali qatorni yozib, o'zgaruvchiga o'ziga xos qiymat berdi. Raqam qatori bor. Eyler asl funktsiyaning nuqtadagi qiymatini shu qatorning yig'indisi deb hisobladi. Lekin bu har doim ham to'g'ri emas.

Divergent qatorning yig'indisi yo'qligini olimlar 18-asrda bo'lsa ham, faqat 19-asrda taxmin qila boshladilar. ko'pchilik va birinchi navbatda L. Eyler konvergentsiya va divergensiya tushunchalari ustida ko'p ishladilar. Eyler ketma-ketlikni konvergent deb ataydi, agar uning umumiy atamasi nolga teng bo'lsa.

Divergent qatorlar nazariyasida Eyler ko'plab muhim natijalarga erishdi, ammo bu natijalar uzoq vaqt davomida qo'llanilmadi. 1826 yilda N.G. Abel (1802 - 1829) divergent qatorlarni "iblisona uydirma" deb atagan. Eylerning natijalari faqat 19-asr oxirida o'zini oqladi.

Konvergent qatorlar yig'indisi tushunchasini shakllantirishda fransuz olimi O.L. Koshi (1789 - 1857); u nafaqat qatorlar nazariyasida, balki chegaralar nazariyasida, chegara tushunchasini ishlab chiqishda ham nihoyatda katta ish qildi. 1826 yilda Koshining ta'kidlashicha, divergent qatorning yig'indisi yo'q.

1768 yilda Fransuz matematigi va faylasufi J.L. D'Alember binomial qatorda keyingi hadning oldingisiga nisbatini o'rganib chiqdi va agar bu nisbat mutlaq qiymatda birdan kichik bo'lsa, unda qator yaqinlashishini ko'rsatdi. Koshi 1821 yilda da ifodalangan teoremani isbotladi umumiy ko'rinish ishora-musbat qatorlarning yaqinlashish belgisi, hozirda d'Alembert belgisi deb ataladi.

O'zgaruvchan qatorlarning yaqinlashuvini o'rganish uchun Leybnits testi qo'llaniladi.

G.V. Buyuk nemis matematiki va faylasufi Leybnits (1646 - 1716) I. Nyuton bilan birgalikda differensial va integral hisoblarning asoschisidir.

Adabiyotlar ro'yxati:

Asosiy:

Bogomolov N.V., Matematikadan amaliy mashg'ulotlar. M., " o'rta maktab”, 1990 – 495 b.;
Tarasov N.P., Texnik maktablar uchun oliy matematika kursi. M., "Nauka", 1971 - 448 b.;
Zaitsev I.L., Texnik maktablar uchun oliy matematika kursi. M., texnikumlar davlat nashriyoti - nazariy adabiyotlar, 1957 - 339 b.;
Pismenny D.T., Oliy matematika bo'yicha ma'ruzalar kursi. M., "Iris Press", 2005, 2-qism - 256 b.;
Vygodskiy M.Ya., Oliy matematika bo'yicha qo'llanma. M., "Nauka", 1975 - 872 b.;

Qo'shimcha:

Gusak A.A., Oliy matematika. 2 jildda, 2-jild: Universitet talabalari uchun darslik. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 b.;
Griguletskiy V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Iqtisodiyot mutaxassisliklari talabalari uchun matematika. 2-qism. Krasnodar, 2002 yil - 348 p.;
Griguletskiy V.G. h.k. matematikadan topshiriqlar kitobi. Krasnodar. KSAU, 2003 yil - 170 b.;
Griguletskiy V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Buxgalteriya hisobi va moliya fakulteti talabalari uchun vazifalar va mashqlar. Krasnodar. 2001 yil - 173 b.;
Griguletskiy V.G., Yaschenko Z.V., Oliy matematika. Krasnodar, 1998 yil - 186 p.;
Malykhin V.I., Iqtisodiyotda matematika. M., "Infra-M", 1999 - 356s.

Choynak uchun qatorlar. Yechim misollari

Barcha omon qolganlar ikkinchi yilga xush kelibsiz! Ushbu darsda, to'g'rirog'i, bir qator darslarda biz qatorlarni qanday boshqarishni o'rganamiz. Mavzu juda qiyin emas, lekin uni o'zlashtirish uchun birinchi kursdan bilim kerak bo'ladi, xususan, tushunish kerak chegara nima, va eng oddiy chegaralarni topa olish. Biroq, yaxshi, tushuntirishlar jarayonida men kerakli darslarga tegishli havolalarni beraman. Ba'zi o'quvchilar uchun matematik qatorlar, yechish usullari, belgilar, teoremalar mavzusi o'ziga xos va hatto g'alati, bema'ni tuyulishi mumkin. Bunday holda, siz ko'p "yuklashingiz" shart emas, biz faktlarni ular kabi qabul qilamiz va oddiy, umumiy vazifalarni qanday hal qilishni o'rganamiz.

1) Choynak uchun qatorlar, va samovarlar uchun darhol tarkib :)

Mavzu bo'yicha juda tez tayyorlanish uchun pdf formatidagi ekspress kurs mavjud bo'lib, uning yordamida haqiqatan ham bir kun ichida amaliyotni "ko'tarish" mumkin.

Sonlar qatori haqida tushuncha

Umuman raqamlar qatori shunday yozilishi mumkin:
Bu yerda:
- yig'indining matematik belgisi;
– seriyaning umumiy atamasi(ushbu oddiy atamani eslang);
- o'zgaruvchan - "hisoblagich". Yozuv shuni anglatadiki, yig'ish 1 dan "plyus cheksizlik" ga, ya'ni birinchi navbatda bizda, keyin, keyin va hokazo - cheksizlikka qadar amalga oshiriladi. Oʻzgaruvchi yoki baʼzan oʻzgaruvchi oʻrniga ishlatiladi. Xulosa bittadan boshlanishi shart emas, ba'zi hollarda u noldan, ikkitadan yoki har qandaydan boshlanishi mumkin. natural son.

"Taymer" o'zgaruvchisiga ko'ra, har qanday seriyani batafsil bo'yash mumkin:
– va hokazolar infinitum.

Shartlar - bu RAQAMLAR, deb ataladi a'zolari qator. Agar ularning barchasi salbiy bo'lmasa (noldan katta yoki teng), keyin bunday qator deyiladi ijobiy son qatori.

1-misol

Aytgancha, bu allaqachon "jangovar" vazifadir - amalda ko'pincha seriyaning bir nechta a'zolarini yozib olish talab qilinadi.

Avval, keyin:
Keyin, keyin:
Keyin, keyin:

Jarayon cheksiz davom ettirilishi mumkin, ammo shartga ko'ra, seriyaning dastlabki uchta shartini yozish kerak edi, shuning uchun biz javobni yozamiz:

dan asosiy farqiga e'tibor bering raqamlar ketma-ketligi,
unda atamalar yig'ilmaydi, balki shunday deb hisoblanadi.

2-misol

Seriyaning dastlabki uchta shartini yozing

Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol, javob dars oxirida.

Hatto murakkab ko'rinadigan seriyalar uchun ham uni kengaytirilgan shaklda tasvirlash qiyin emas:

3-misol

Seriyaning dastlabki uchta shartini yozing

Aslida, vazifa og'zaki ravishda amalga oshiriladi: ketma-ketlikning umumiy atamasida aqliy o'rinbosar birinchi, keyin va. Natijada:

Javobni shunday qoldiring seriyaning olingan shartlarini soddalashtirmaslik yaxshiroqdir, ya'ni rioya qilmaslik harakatlar: , , . Nega? Shaklda javob bering o'qituvchi tekshirish uchun ancha oson va qulayroq.

Ba'zida teskari holat mavjud

4-misol

Bu erda aniq yechim algoritmi yo'q. siz shunchaki naqshni ko'rishingiz kerak.
Ushbu holatda:

Tekshirish uchun natijada olingan seriya kengaytirilgan shaklda "qayta bo'yalgan" bo'lishi mumkin.

Ammo mustaqil yechim uchun misol biroz qiyinroq:

5-misol

Yig'indini qatorning umumiy hadi bilan yiqilgan shaklda yozing

Seriyani kengaytirilgan shaklda yozish orqali yana tekshiring

Raqamlar qatorining yaqinlashishi

Mavzuning asosiy maqsadlaridan biri ketma-ketlikni konvergentsiya uchun tekshirish. Bunday holda, ikkita holat mumkin:

1) Qatorfarqlanadi. Demak, cheksiz yig‘indi cheksizlikka teng: yoki umumiy yig‘indi mavjud emas, masalan, seriyadagi kabi
(Aytgancha, bu erda salbiy atamalar bilan bir qator misol). Divergent raqamlar seriyasining yaxshi namunasi dars boshida paydo bo'ldi: . Bu erda seriyaning har bir keyingi atamasi avvalgisidan kattaroq ekanligi aniq va shuning uchun qatorlar ajralib chiqadi. Bundan ham ahamiyatsizroq misol: .

2) Qatorbirlashadi. Bu cheksiz yig'indining ba'zilariga teng ekanligini anglatadi yakuniy raqam: . Iltimos: Bu qator yaqinlashadi va uning yig'indisi nolga teng. Yana mazmunli misol cheksiz kamayadi maktabdan beri bizga ma'lum bo'lgan geometrik progressiya: . Cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning a'zolari yig'indisi quyidagi formula bilan hisoblanadi: , bu erda progressiyaning birinchi a'zosi va uning asosi bo'lib, qoida tariqasida quyidagicha yoziladi. to'g'ri kasrlar. Ushbu holatda: , . Shunday qilib: Cheklangan son olinadi, ya'ni qator yaqinlashadi, bu isbotlanishi kerak edi.

Biroq, aksariyat hollarda qatorlar yig‘indisini toping unchalik oddiy emas, shuning uchun amalda qatorning yaqinlashuvini o'rganish uchun nazariy jihatdan isbotlangan maxsus belgilar qo'llaniladi.

Seriyaning yaqinlashuvining bir nechta belgilari mavjud: qator yaqinlashuvining zaruriy mezoni, taqqoslash mezonlari, d’Alember mezoni, Koshi mezonlari, Leybnits belgisi va boshqa belgilar. Qachon qaysi belgini qo'llash kerak? Bu seriyaning umumiy atamasiga, majoziy ma'noda - seriyaning "to'ldirilganligiga" bog'liq. Va tez orada biz hamma narsani javonlarga joylashtiramiz.

! Qo'shimcha o'rganish uchun sizga kerak yaxshi tushun, chegara nima va shaklning noaniqligini ochib bera olish yaxshi. Materialni takrorlash yoki o'rganish uchun maqolaga qarang Cheklovlar. Yechim misollari.

Seriyaning yaqinlashuvining zaruriy mezoni

Agar qator yaqinlashsa, uning umumiy hadi nolga intiladi: .

Qarama-qarshilik umumiy holatda to'g'ri emas, ya'ni agar bo'lsa, u holda qator yaqinlashishi ham, ajralib chiqishi ham mumkin. Va shuning uchun bu belgi oqlash uchun ishlatiladi farqlanish qator:

Agar seriyaning umumiy atamasi nolga tushmaydi, keyin qator farqlanadi

Yoki qisqasi: agar , u holda qator ajralib chiqadi. Xususan, vaziyat chegara umuman mavjud bo'lmaganda mumkin, masalan, chegara. Bu erda ular darhol bitta seriyaning tafovutini isbotladilar :)

Ammo ko'pincha divergent qatorning chegarasi cheksizlikka teng bo'ladi, "x" o'rniga u "dinamik" o'zgaruvchi sifatida ishlaydi. Bilimlarimizni yangilaymiz: “x” li chegaralar funksiyalar chegaralari, “en” o‘zgaruvchisi bilan chegaralar esa sonli ketma-ketliklar chegaralari deyiladi. Aniq farq shundaki, "en" o'zgaruvchisi diskret (uzluksiz) tabiiy qiymatlarni oladi: 1, 2, 3 va boshqalar. Ammo bu fakt chegaralarni echish usullari va noaniqliklarni oshkor qilish usullariga kam ta'sir qiladi.

Keling, birinchi misoldagi qatorlar farqlanishini isbotlaylik.
Seriyaning umumiy a'zosi:

Chiqish: qator farqlanadi

Kerakli xususiyat ko'pincha haqiqiy amaliy vazifalarda qo'llaniladi:

6-misol

Bizda ko'phad va maxrajda ko'phadlar mavjud. Maqolada noaniqlikni oshkor qilish usulini diqqat bilan o'qib chiqqan va tushungan kishi Cheklovlar. Yechim misollari, albatta buni ushladi hisoblagich va maxrajning eng yuqori kuchlari bo'lganda teng, keyin chegara yakuniy raqam .

Numerator va maxrajni ga bo'ling

O'quv seriyasi farqlanadi, chunki qatorning yaqinlashuvi uchun zarur mezon qondirilmaydi.

7-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va dars oxirida javob

Shunday qilib, bizga HAR QANDAY raqamlar qatori berilganda, Birinchidan biz tekshiramiz (aqliy yoki qoralamada): uning umumiy atamasi nolga moyilmi? Agar u harakat qilmasa, biz № 6, 7 misollar misolida yechim tuzamiz va ketma-ket ajralib chiqadi deb javob beramiz.

Biz bir-biridan farq qiladigan qatorlarning qanday turlarini ko'rib chiqdik? Qatorlar o'xshash yoki bir-biridan ajralib turishi darhol aniq bo'ladi. 6, 7-misollardagi qatorlar ham farqlanadi: pay va maxrajda ko‘phadlar bo‘lganda va payning eng yuqori darajasi maxrajning eng yuqori darajasidan katta yoki teng bo‘lganda. Bu barcha holatlarda misollarni echish va loyihalashda biz ketma-ketliklarning yaqinlashuvi uchun zarur bo'lgan mezondan foydalanamiz.

Nima uchun belgi deyiladi zarur? Eng tabiiy yo'l bilan tushuning: seriyalar birlashishi uchun, zarur shuning uchun uning umumiy atamasi nolga intiladi. Va hamma narsa yaxshi bo'lar edi, lekin bu yetarli emas. Boshqa so'zlar bilan aytganda, Agar qatorning umumiy aʼzosi nolga moyil boʻlsa, bu qator yaqinlashishini anglatmaydi.- u ham birlashishi, ham ajralishi mumkin!

Tanishish:

Bu qator deyiladi garmonik qator. Iltimos, esda tuting! Raqamli seriyalar orasida u prima balerina. Aniqrog'i, balerina =)

Buni ko'rish oson , LEKIN. Matematik analiz nazariyasida bu isbotlangan garmonik qator ajraladi.

Umumlashtirilgan harmonik qator tushunchasini ham eslab qolishingiz kerak:

1) Bu qator farqlanadi da . Masalan, qator diverge, , .
2) Bu qator birlashadi da . Masalan, , , qatori. Yana bir bor ta'kidlaymanki, deyarli barcha amaliy vazifalarda, masalan, qatorlar yig'indisi nimaga teng bo'lishi biz uchun umuman muhim emas. uning yaqinlashishi haqiqatining o'zi muhimdir.

Bular ketma-ketlik nazariyasidan allaqachon isbotlangan elementar faktlar bo'lib, ba'zi amaliy misolni yechishda, masalan, qatorlarning divergentsiyasi yoki qatorlarning yaqinlashuviga ishonch bilan murojaat qilish mumkin.

Umuman olganda, ko'rib chiqilayotgan material juda o'xshash noto'g'ri integrallarni o'rganish, va bu mavzuni o'rganganlar osonroq bo'ladi. Xo'sh, o'qimaganlar uchun bu ikki baravar oson :)

Xo'sh, agar seriyaning umumiy atamasi nolga tushsa nima qilish kerak? Bunday hollarda, misollarni hal qilish uchun siz boshqalardan foydalanishingiz kerak, yetarli yaqinlashuv/divergensiya belgilari:

Musbat sonlar qatorini solishtirish mezonlari

e'tiboringizni qarataman Bu erda biz faqat ijobiy sonli qatorlar haqida gapiramiz (salbiy bo'lmagan a'zolar bilan).

Taqqoslashning ikkita belgisi bor, ulardan birini men shunchaki chaqiraman taqqoslash belgisi, boshqa - taqqoslashning cheklovchi belgisi.

Avval o'ylab ko'ring taqqoslash belgisi, aniqrog'i, uning birinchi qismi:

Ikki musbat sonli qatorni va . Agar ma'lum bo'lsa, bu qator birlashadi, va, qandaydir sondan boshlab, tengsizlik o'rinli, keyin qator ham birlashadi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda: Kattaroq hadli qatorning yaqinlashishi kichikroq hadli qatorning yaqinlashishini nazarda tutadi. Amalda, tengsizlik ko'pincha barcha qiymatlar uchun umumiy holda qondiriladi:

8-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Birinchidan, biz tekshiramiz(aqliy yoki qoralama) ijrosi:
, ya'ni "ozgina qon bilan chiqish" mumkin emas edi.

Biz umumlashtirilgan garmonik qatorning "to'plami" ni ko'rib chiqamiz va eng yuqori darajaga e'tibor qaratib, shunga o'xshash qatorni topamiz: nazariyadan ma'lumki, u birlashadi.

Barcha natural sonlar uchun aniq tengsizlik amal qiladi:

va kattaroq maxrajlar kichik kasrlarga to'g'ri keladi:
, demak, taqqoslash mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qator birlashadi yonida bilan birga.

Agar sizda biron bir shubha bo'lsa, unda tengsizlik har doim batafsil bo'yalgan bo'lishi mumkin! Bir nechta “en” sonlar uchun tuzilgan tengsizlikni yozamiz:
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
Agar , keyin
….
va endi tengsizlik juda aniq barcha natural sonlar uchun amal qiladi "en".

Taqqoslash mezonini va hal qilingan misolni norasmiy nuqtai nazardan tahlil qilaylik. Shunday bo'lsa-da, nima uchun seriyalar birlashadi? Mana nima uchun. Agar qator yaqinlashsa, unda bir oz bor final miqdori: . Va seriyaning barcha a'zolaridan beri Kamroq qatorning tegishli a'zolari bo'lsa, u holda dum qatorning yig'indisi bo'lishi mumkin emasligi aniq ko'proq raqam, va undan ham ko'proq, cheksizlik bilan teng bo'lishi mumkin emas!

Xuddi shunday, biz "o'xshash" qatorlarning yaqinlashuvini isbotlashimiz mumkin: , , va hokazo.

! Eslatma barcha holatlarda bizda maxrajlarda "plyus" mavjud. Kamida bitta minusning mavjudligi ko'rib chiqilayotgan narsadan foydalanishni jiddiy ravishda murakkablashtirishi mumkin taqqoslash xususiyati. Misol uchun, agar qator yaqinlashuvchi qator bilan bir xil tarzda taqqoslansa (birinchi hadlar uchun bir nechta tengsizliklarni yozing), u holda shart umuman bajarilmaydi! Bu erda siz chetlab o'tishingiz va taqqoslash uchun boshqa konvergent qatorni tanlashingiz mumkin, masalan, , lekin bu keraksiz zahiralar va boshqa keraksiz qiyinchiliklarga olib keladi. Shuning uchun qatorning yaqinlashuvini isbotlash uchun undan foydalanish ancha oson chegaraviy taqqoslash mezoni(keyingi paragrafga qarang).

9-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Va bu misolda men o'zingiz uchun o'ylab ko'rishni taklif qilaman taqqoslash xususiyatining ikkinchi qismi:

Agar ma'lum bo'lsa, bu qator farqlanadi, va ba'zi bir raqamdan boshlab (ko'pincha birinchi kundan boshlab) tengsizlik bajariladi, keyin qator ham farqlanadi.

Boshqa so'zlar bilan aytganda: Kichikroq atamalar bilan qatorlarning farqlanishi kattaroq shartli qatorlarning farqlanishini anglatadi..

Nima qilish kerak?
O'rganilayotgan qatorni divergent garmonik qator bilan solishtirish kerak. Yaxshiroq tushunish uchun ba'zi o'ziga xos tengsizliklarni tuzing va tengsizlik to'g'ri ekanligiga ishonch hosil qiling.

Dars oxirida yechim va namunaviy dizayn.

Yuqorida aytib o'tilganidek, amalda hozirgina ko'rib chiqilgan taqqoslash xususiyati kamdan-kam qo'llaniladi. Raqamlar seriyasining haqiqiy "ishchi ot"idir chegaraviy taqqoslash mezoni, va foydalanish chastotasi bo'yicha, faqat d'Alembert belgisi.

Raqamli musbat qatorlarni solishtirishning chegara belgisi

Ikki musbat sonli qatorni va . Bu qatorlarning umumiy a'zolari nisbati chegarasi teng bo'lsa chekli nolga teng bo'lmagan son: , keyin ikkala qator bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Limit taqqoslash mezoni qachon ishlatiladi? Taqqoslashning chegara belgisi qatorning "to'ldirilishi" polinom bo'lsa ishlatiladi. Yoki maxrajdagi bitta ko‘phad yoki ayiruvchi va maxrajdagi ko‘phadlar. Majburiy emas, polinomlar ildiz ostida bo'lishi mumkin.

Keling, oldingi taqqoslash belgisi to'xtab qolgan seriyalar bilan shug'ullanamiz.

10-misol

Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring

Bu qatorni konvergent qator bilan solishtiring. Taqqoslashning chegaraviy testidan foydalanamiz. Ma'lumki, qatorlar yaqinlashadi. Agar shunday ekanligini ko'rsata olsak yakuniy nolga teng soni bo'lsa, qatorlar ham yaqinlashishi isbotlanadi.

Cheklangan, nolga teng bo'lmagan son olinadi, ya'ni o'rganilayotgan qator birlashadi yonida bilan birga.

Nega seriya taqqoslash uchun tanlangan? Agar biz umumlashtirilgan garmonik seriyaning "klipi" dan boshqa biron bir seriyani tanlaganimizda, biz chegarada muvaffaqiyatga erishmagan bo'lardik. yakuniy nolga teng raqamlar (siz tajriba qilishingiz mumkin).

Eslatma: biz marjinal taqqoslash xususiyatidan foydalanganda, ahamiyati yo'q, umumiy a'zolar munosabatini qanday tartibda tuzish, ko'rib chiqilayotgan misolda munosabatni teskari yo'nalishda chizish mumkin edi: - bu masalaning mohiyatini o'zgartirmaydi.

Raqamli chiziqlar. Son qatorlarning yaqinlashuvi va divergensiyasi. d'Alembert yaqinlashuv mezoni. O'zgaruvchan qatorlar. Ketmalarning mutlaq va shartli yaqinlashuvi. funktsional qatorlar. Quvvat seriyasi. Maklaurin seriyasida elementar funksiyalarni kengaytirish.

1.4-mavzu bo'yicha ko'rsatmalar:

Raqamli qatorlar:

Raqamlar qatori shaklning yig'indisidir

raqamlar qayerda u 1 , u 2 , u 3 , n n , qator a'zolari deb ataladi, cheksiz ketma-ketlikni hosil qiladi; un atamasi qatorning umumiy atamasi deyiladi.

. . . . . . . . .

qatorning birinchi hadlaridan tuzilgan (27.1) bu qatorning qisman yig’indilari deyiladi.

Har bir qator qisman yig'indilar ketma-ketligi bilan bog'lanishi mumkin S1, S2, S3. Agar n soni cheksiz ortib borsa, qatorning qisman yig'indisi S n chegaraga intiladi S, keyin qator konvergent deb ataladi va son S- konvergent qator yig'indisi, ya'ni.

Ushbu yozuv kirishga teng

Agar qisman miqdor bo'lsa S n seriyali (27.1) cheksiz o'sish bilan n chekli chegaraga ega emas (xususan, + ¥ yoki - ¥ ga intiladi), unda bunday qator divergent deb ataladi.

Agar qator yaqinlashsa, u holda qiymat S n yetarlicha kattaligi uchun n qator yig‘indisining taxminiy ifodasidir S.

Farq r n = S - S n qatorning qolgan qismi deyiladi. Agar qator yaqinlashsa, uning qoldig'i nolga intiladi, ya'ni. r n = 0 va aksincha, agar qoldiq nolga moyil bo'lsa, u holda qator yaqinlashadi.

Turlarning qatori deyiladi geometrik chiziq.

chaqirdi garmonik.

agar N®¥, keyin S n®¥, ya'ni. garmonik qator ajraladi.

1-misol. Berilgan umumiy atamasi bo‘yicha qator yozing:

1) n = 1, n = 2, n = 3 deb faraz qilsak, cheksiz sonlar ketma-ketligiga ega bo‘lamiz: , , , Uning shartlarini qo‘shib, qatorni olamiz.

2) Xuddi shunday qilib, biz seriyani olamiz

3) n ga 1, 2, 3 qiymatlarini berish va 1 ni hisobga olish! = 1, 2! = 1 × 2, 3! = 1 × 2 × 3, biz seriyani olamiz

2-misol. Toping n- seriyaning birinchi hadi berilgan birinchi raqamlari bo'yicha:

1) ; 2) ; 3) .

3-misol. Seriya hadlari yig‘indisini toping:

1) qator shartlarining qisman yig‘indilarini toping:

Qisman yig‘indilar ketma-ketligini yozamiz: …, , … .

Ushbu ketma-ketlikning umumiy atamasi . Binobarin,

Qisman summalar ketma-ketligi ga teng chegaraga ega. Shunday qilib, qator yaqinlashadi va uning yig'indisi .

2) Bu cheksiz kamayishdir geometrik progressiya, bu yerda a 1 =, q=. Formuladan foydalanib, biz shunday olamiz, qator yaqinlashadi va uning yig'indisi 1 ga teng.

Son qatorlarning yaqinlashuvi va divergensiyasi. Konvergentsiya belgisi d'Alembert :

Seriyaning yaqinlashuvining zaruriy mezoni. Seriya faqat umumiy atamasi bo'lsa, yaqinlashishi mumkin u n cheksiz sonini oshirish bilan n nolga tushadi:

Agar , u holda qator ajralib chiqadi - bu qatorning eruvchanligining etarli belgisidir.

Ijobiy shartlarga ega qatorlarni yaqinlashtirish uchun yetarli shartlar.

Ijobiy shartlar bilan qatorlarni solishtirish belgisi. O'rganilayotgan qator yaqinlashadi, agar uning a'zolari boshqa, aniq yaqinlashuvchi qatorning mos a'zolaridan oshmasa; o'rganilayotgan qator ajraladi, agar uning shartlari boshqa aniq divergent qatorning tegishli shartlaridan oshsa.

Shu asosda konvergentsiya va eruvchanlik qatorlarini o’rganishda ko’pincha geometrik qatorlardan foydalaniladi

|q| uchun yaqinlashadi

farqli bo'lish.

Seriyalarni o'rganishda umumlashgan garmonik qatorlardan ham foydalaniladi

Agar p= 1, keyin bu ketma-ket garmonik qatorga aylanadi, bu esa farqlanadi.

Agar p< 1, то члены данного ряда больше соответствующих членов гармонического ряда и, значит, он расходится. При p> 1 geometrik qatorga egamiz, unda | q| < 1; он является сходящимся. Итак, обобщенный гармонический ряд сходится при p> 1 va da farqlanadi p£1.

D'Alembert belgisi. Agar ijobiy shartlarga ega seriya uchun

(u n>0)

shart qanoatlansa, qator yaqinlashadi l l > 1.

d'Alembert belgisi javob bermaydi, agar l= 1. Bunda qatorni o'rganish uchun boshqa usullar qo'llaniladi.

O'zgaruvchan qatorlar.

Ketmalarning mutlaq va shartli yaqinlashuvi:

Raqamlar seriyasi

u 1 + u 2 + u 3 + u n

a'zolari orasida ham musbat, ham manfiy sonlar bo'lsa, almashinish deyiladi.

Agar ikkita qo‘shni a’zoda qarama-qarshi belgilar bo‘lsa, sonlar qatori o‘zgaruvchan belgilar deyiladi. Bu ketma-ket o'zgaruvchan seriyaning maxsus holatidir.

O'zgaruvchan qatorlar uchun yaqinlashish mezoni. Agar muqobil qatorning shartlari mutlaq qiymat va umumiy muddatda monoton ravishda kamaysa u n sifatida nolga intiladi n® , keyin qator yaqinlashadi.

Agar qatorlar ham yaqinlashsa, qator absolyut yaqinlashuvchi deyiladi. Agar qator mutlaq yaqinlashsa, u yaqinlashadi (odatiy ma'noda). Qarama-qarshilik to'g'ri emas. Ketma-ket shartli yaqinlashuvchi deyiladi, agar uning o'zi yaqinlashsa va uning a'zolari modullaridan tashkil topgan qatorlar ajralib chiqsa. 4-misol. Qatlamlarni konvergentsiya uchun tekshiring.

Keling, o'zgaruvchan qatorlar uchun Leybnitsning etarli testini qo'llaylik. Biz olamiz, chunki. Shunday qilib, bu seriya birlashadi. 5-misol. Qatlamlarni yaqinlashish uchun tekshiring.

Keling, Leybnits belgisini qo'llashga harakat qilaylik: Ko'rinib turibdiki, umumiy atama moduli qachon nolga moyil emas. n→∞. Shuning uchun, bu seriya farqlanadi. 6-misol. Qatlamning absolyut yaqinlashishini, shartli yaqinlashishini yoki divergentligini aniqlang.

Tegishli atamalarning modullaridan tashkil topgan qatorga d'Alember mezonini qo'llasak, shuning uchun bu qator mutlaqo yaqinlashadi.

7-misol. Muqobil qatorning yaqinlashuvini (mutlaq yoki shartli) tekshiring:

1) Bu qatorning hadlari mutlaq qiymatda bir xilda kamayadi va . Shuning uchun, Leybnits testiga ko'ra, qatorlar yaqinlashadi. Keling, bu qator mutlaq yoki shartli yaqinlashishini bilib olaylik.

2) Bu qatorning hadlari mutlaq qiymatda bir xilda kamayadi: , lekin

Funktsional seriyalar:

Oddiy raqamlar qatori raqamlardan iborat:

Serialning barcha a'zolari raqamlar.

Funktsional chiziq quyidagilardan iborat vazifalari:

Seriyaning umumiy terminida ko‘phadlardan tashqari faktoriallar va h.k. albatta"x" harfini o'z ichiga oladi. Bu shunday ko'rinadi, masalan: Raqamlar qatori kabi har qanday funksional qator kengaytirilgan shaklda yozilishi mumkin:

Ko'rib turganingizdek, funktsional seriyaning barcha a'zolari funktsiyalari.

Funktsional seriyalarning eng mashhur turi quvvat seriyasi.

Quvvat seriyasi:

keyingi kuch qator deyiladi

raqamlar qayerda a 0, a 1, a 2, a n qatorning koeffitsientlari va termini deyiladi a n x n turkumining umumiy aʼzosi hisoblanadi.

Kuchli qatorning yaqinlashuv mintaqasi barcha qiymatlar to'plamidir x buning uchun qator yaqinlashadi.

Raqam R qatorning yaqinlashish radiusi deyiladi, agar, uchun | x| qator yaqinlashadi.

Misol 8. Bir qator berilgan

Uning nuqtalarda yaqinlashishini o'rganing x= 1 va X= 3, x= -2.

X = 1 bo'lganda, bu qator raqamlar qatoriga aylanadi

Keling, d'Alembert testi orqali ushbu qatorning yaqinlashishini tekshiramiz. Bizda ... bor

Bular. qator yaqinlashadi.

X = 3 uchun biz ketma-ketlikni olamiz

Bu bir-biridan farq qiladi, chunki ketma-ketliklarning yaqinlashishi uchun zarur bo'lgan mezon qondirilmaydi.

x = -2 uchun biz olamiz

Bu Leybnits testiga ko'ra, birlashadigan o'zgaruvchan qator.

Shunday qilib, nuqtalarda x= 1 va X= -2. qator yaqinlashadi va nuqtada x= 3 ta farq.

Maklaurin seriyasida elementar funktsiyalarni kengaytirish:

Teylor yaqinida funktsiya uchun f(x) shaklning kuch qatori deyiladi

Agar, a = 0 bo'lsa, biz Teylor seriyasining maxsus holatini olamiz

qaysi deyiladi Maklaurinning yonida.

O'zining yaqinlashuv oralig'idagi darajali qatorni muddatlar bo'yicha differensiallash va xohlagancha ko'p marta integrallash mumkin va natijada olingan qatorlar asl qator bilan bir xil yaqinlashish oralig'iga ega.

Ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish qoidalariga ko‘ra, ikkita darajali qator qo‘shilishi va hadga ko‘paytirilishi mumkin. Bunda hosil bo'lgan yangi qatorning yaqinlashish oralig'i dastlabki qatorning yaqinlashuv intervallarining umumiy qismiga to'g'ri keladi.

Funktsiyani Maclaurin seriyasiga kengaytirish uchun quyidagilar zarur:

1) nuqtadagi funktsiya va uning ketma-ket hosilalari qiymatlarini hisoblang x= 0, ya'ni. , , .
8. Maklaurin funksiyalar qatorini kengaytiring.

Ushbu mavzu bilan ishlashni boshlashdan oldin, men sizga raqamlar seriyasi uchun terminologiya bo'limiga qarashni maslahat beraman. Ayniqsa, qatorning umumiy atamasi tushunchasiga e'tibor qaratish lozim. Agar sizda konvergentsiya belgisini to'g'ri tanlashga shubhangiz bo'lsa, men sizga "Raqamli qatorlarning yaqinlashuv belgisini tanlash" mavzusini ko'rib chiqishni maslahat beraman.

Konvergentsiyaning zaruriy mezoni raqamlar qatori oddiy formulaga ega: konvergent qatorning umumiy atamasi nolga intiladi. Bu xususiyatni rasmiyroq yozishingiz mumkin:

Agar $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ qator yaqinlashsa, $\lim_(n\to\infty)u_n=0$.

Ko'pincha adabiyotda "konvergentsiyaning zaruriy mezoni" iborasi o'rniga "konvergentsiyaning zaruriy sharti" deb yozadilar. Ammo keling, mavzuga o'taylik: bu belgi nimani anglatadi? Va bu quyidagilarni anglatadi: agar $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ bo'lsa, u holda qator balki birlashish. Agar $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ bo'lsa (yoki chegara oddiygina mavjud bo'lmasa), $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ qatori ajralib chiqadi.

Shuni ta'kidlash joizki, $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ tengligi ketma-ketliklarning umuman yaqinlashishini anglatmaydi. Seriya yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin. Ammo agar $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ bo'lsa, seriyaning ajralib chiqishi kafolatlanadi. Agar ushbu nuanslar batafsil tushuntirishlarni talab qilsa, iltimos, eslatmani oching.

“Zarur shart” iborasi nimani anglatadi? ko'rsatish / yashirish

Kerakli shart tushunchasini misol bilan aniqlab olaylik. Talabaga qalam sotib olish zarur 10 rubl bor. Buni quyidagicha yozish mumkin: agar talaba qalam sotib olsa, unda 10 rubl bor. O'n rublning mavjudligi qalam sotib olish uchun zaruriy shartdir.

Bu shart qondirilsin, ya'ni. Talabaning o'ntasi bor. Bu uning qalam sotib olishini anglatadimi? Umuman yo'q. U qalam sotib oladi yoki pulni keyinroq saqlashi mumkin. Yoki boshqa narsani sotib oling. Yoki ularni kimgadir bering - variantlar juda ko'p :) Boshqacha qilib aytganda, qalam sotib olish uchun zarur shartni bajarish (ya'ni, pulga ega bo'lish) bu qalamni sotib olishni kafolatlamaydi.

Xuddi shunday, $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ sonli qatorning yaqinlashuvining zaruriy sharti bu qatorning oʻzi yaqinlashishini aslo kafolatlamaydi. Oddiy o'xshatish: agar pul bo'lsa, talaba qalam sotib olishi yoki olmasligi mumkin. Agar $\lim_(n\to\infty)u_n=0$ boʻlsa, qator yaqinlashishi yoki ajralishi mumkin.

Biroq, qalam sotib olish uchun zarur shart bajarilmasa nima bo'ladi, ya'ni. pul yo'q? Shunda talaba albatta ruchka sotib olmaydi. Xuddi shu narsa qatorlar uchun ham amal qiladi: zaruriy yaqinlashuv sharti bajarilmasa, ya'ni. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$, keyin ketma-ketlik albatta ajralib chiqadi.

Xulosa qilib aytganda, agar zarur shart bajarilsa, oqibat yuzaga kelishi mumkin yoki bo'lmasligi mumkin. Ammo, agar zarur shart bajarilmasa, oqibat albatta sodir bo'lmaydi.

Aniqlik uchun ikkita qatorga misol keltiraman: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ va $\sum\limits_(n=1)^(\ infty)\frac( 1)(n^2)$. Birinchi qatorning umumiy atamasi $u_n=\frac(1)(n)$ va ikkinchi qatorning umumiy hadi $v_n=\frac(1)(n^2)$ nolga intiladi, ya'ni.
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n)=0;\; \lim_(n\to\infty)v_n=\lim_(n\to\infty)\frac(1)(n^2)=0. $$
Biroq, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)(n)$ garmonik qator bir-biridan farq qiladi, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\ frac(1 )(n^2)$ yaqinlashadi. Kerakli yaqinlashuv shartining bajarilishi ketma-ketlikning yaqinlashishini aslo kafolatlamaydi.

Ketma-ketlarning yaqinlashuvi uchun zaruriy shartga asoslanib, biz formula qilishimiz mumkin ajralishning etarli belgisi raqam qatori:

Agar $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ boʻlsa, $\sum\limits_(n=1)^(\infty)u_n$ qatori ajralib chiqadi.

Ko'pincha, standart misollarda, agar qatorning umumiy a'zosi kasr bilan ifodalangan bo'lsa, uning soni va maxraji ba'zi polinomlar bo'lsa, zaruriy yaqinlashuv mezoni tekshiriladi. Masalan, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ (1-misolga qarang). Yoki polinomlardan ildizlar bo'lishi mumkin (2-misolga qarang). Ushbu sxemadan biroz tashqarida bo'lgan misollar mavjud, ammo bu standart testlar uchun kamdan-kam uchraydi (ushbu mavzuning ikkinchi qismidagi misollarga qarang). Men asosiy narsani ta'kidlayman: kerakli mezon yordamida ketma-ketlikning yaqinligini isbotlash mumkin emas. Bu mezon ketma-ket ajralishini isbotlash zarur bo'lganda qo'llaniladi.

№1 misol

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ qatorining yaqinlashuvini oʻrganing.

Pastki yig'indi chegarasi 1 bo'lgani uchun qatorning umumiy hadi yig'indi belgisi ostida yoziladi: $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$. Seriyaning umumiy hadining chegarasini toping:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)=\left|\frac(\infty) (\infty)\right|= \lim_(n\to\infty)\frac(\frac(3n^2)(n^2)+\frac(2n)(n^2)-\frac(1)( n^2))(\frac(5n^2)(n^2)+\frac(7)(n^2))= \lim_(n\to\infty)\frac(3+\frac(2) (n)-\frac(1)(n^2))(5+\frac(7)(n^2))=\frac(3+0-0)(5+0)=\frac(3) (besh). $$
"Ikki ko'phadning nisbati chegarasi". Seriyaning umumiy hadining chegarasi nolga teng bo'lmagani uchun, ya'ni. $\lim_(n\to\infty)u_n=\frac(3)(5)\neq 0$, u holda konvergentsiya uchun zaruriy mezon qanoatlanmaydi. Shuning uchun seriyalar ajralib chiqadi.

Yechim tugadi, ammo, menimcha, o'quvchida juda asosli savol tug'iladi: biz zaruriy konvergentsiya shartining bajarilishini tekshirish kerakligini qanday ko'rdik? Raqamli qatorlarning yaqinlashuvining ko'plab belgilari mavjud, shuning uchun ular nima uchun buni qabul qilishdi? Bu savol umuman bekor emas. Ammo unga javob hamma o'quvchilarni qiziqtirmasligi mumkinligi sababli, men uni eslatma ostiga yashirdim.

Nega biz konvergentsiyaning zarur mezonidan foydalanishni boshladik? ko'rsatish / yashirish

Ochiq gapiradigan bo'lsak, ushbu seriyaning yaqinlashuvi masalasi rasmiy tadqiqotdan oldin ham hal qilinadi. Men o'sish tartibi kabi mavzuga to'xtalmayman, oddiygina umumiy fikrlarni keltiraman. Keling, $u_n=\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ umumiy atamasini batafsil koʻrib chiqaylik. Keling, birinchi navbatda numeratorni ko'rib chiqaylik. Numeratorda joylashgan raqam (-1) darhol o'chirilishi mumkin: agar $n\to\infty$ bo'lsa, qolgan shartlarga nisbatan bu raqam ahamiyatsiz bo'ladi.

Keling, hisoblagichdagi $n^2$ va $n$ kuchlarini ko'rib chiqaylik. Savol: qaysi element ($n^2$ yoki $n$) boshqalarga qaraganda tezroq o'sadi?

Bu erda javob oddiy: $n ^ 2$ uning qiymatlarini eng tez oshiradi. Misol uchun, qachon $n=100$, keyin $n^2=10\;000$. Va $n$ va $n^2$ oʻrtasidagi bu boʻshliq tobora kattalashib boradi. Shuning uchun biz $n^2$ ni o'z ichiga olganlardan tashqari barcha shartlarni aqliy ravishda o'chirib tashlaymiz. Bunday "tushirish" dan keyin hisoblagich $3n^2$ bo'ladi. Va maxraj uchun shunga o'xshash protsedura bajarilgandan so'ng, $ 5n ^ 2 $ o'sha erda qoladi. Endi $\frac(3n^2+2n-1)(5n^2+7)$ kasri quyidagicha boʻladi: $\frac(3n^2)(5n^2)=\frac(3)(5)$ . Bular. cheksizlikda umumiy atama nolga moyil bo'lmasligi aniq. Buni faqat yuqorida qilingan rasmiy ravishda ko'rsatish qoladi.

Ko'pincha, qatorning umumiy a'zosi yozuvida, masalan, $\sin\alpha$ yoki $\arctg\alpha$ va shunga o'xshash elementlar ishlatiladi. Shuni yodda tutish kerakki, bunday miqdorlarning qiymatlari ma'lum raqamli chegaralardan tashqariga chiqa olmaydi. Misol uchun, $\alpha$ qiymati qanday bo'lishidan qat'i nazar, $\sin\alpha$ qiymati $-1≤\sin\alpha≤ 1$ ichida qoladi. Ya'ni, masalan, $-1≤\sin(n!e^n)≤ 1$ deb yozishimiz mumkin. Endi tasavvur qiling-a, seriyaning umumiy atamasi uchun belgida $5n+\sin(n!e^n)$ kabi ifoda bor. Faqat -1 dan 1 gacha "tebranishi" mumkin bo'lgan sinus muhim rol o'ynaydimi? Oxir oqibat, $n $ qiymatlari cheksizlikka shoshiladi va sinus hatto bittadan oshmasligi kerak! Shuning uchun, $5n+\sin(n!e^n)$ iborasini dastlabki ko'rib chiqishda sinusni shunchaki tashlab yuborish mumkin.

Yoki, masalan, yoy tangensini oling. $\alpha$ argumentining qiymati qanday bo'lishidan qat'i nazar, $\arctg\alpha$ qiymatlari $-\frac(\pi)(2) tengsizligini qondiradi.<\arctg\alpha<\frac{\pi}{2}$. Т.е., например, в выражении вроде $7n^3+\sqrt{9n+100}-6\arctg(5^n+587n^{258})$ можно сразу отбросить арктангенс. Да и $\sqrt{9n+100}$ тоже, оставив при этом лишь $7n^3$.

Qaysi elementlarni "tashlab qo'yish" mumkinligini va qaysi biri yo'qligini aniqlash uchun sizga ozgina mahorat kerak. Ko'pincha, ketma-ketlikning yaqinlashuvi masalasi rasmiy tadqiqotdan oldin ham hal qilinishi mumkin. Va standart misollardagi rasmiy o'rganish faqat intuitiv ravishda olingan natijani tasdiqlash bo'lib xizmat qiladi.

Javob: qator farqlanadi.

№2 misol

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)$ qatorini konvergentsiya uchun tekshiring.

Pastki yig‘indi chegarasi 1 ga teng bo‘lgani uchun qatorning umumiy hadi yig‘indi belgisi ostida yoziladi: $u_n=\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+) 12)$. Seriyaning umumiy hadining chegarasini toping:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2-n+12)=\ chap|\frac(\infty)(\infty)\o'ng|= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(\frac(4n^7)(n^7)+\frac(5n^3) )(n^7)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9n^2)(n^(\frac(7)(3)))-\frac(n)(n^ (\frac(7)(3)))+\frac(12)(n^(\frac(7)(3))))= \lim_(n\to\infty)\frac(\sqrt(4+) \frac(5)(n^4)-\frac(4)(n^7)))(\frac(9)(n^\frac(1)(3))-\frac(1)(n^ \frac(4)(3))+\frac(12)(n^\frac(7)(3)))=+\infty. $$
Agar ushbu chegarani yechish usuli savollar tug'dirsa, men sizga "Irratsionallik bilan chegaralar. Uchinchi qism" (misol No 7) mavzusiga murojaat qilishingizni maslahat beraman. Seriyaning umumiy hadining chegarasi nolga teng bo'lmagani uchun, ya'ni. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ boʻlsa, konvergentsiya uchun zarur boʻlgan mezon qanoatlanmaydi. Shuning uchun seriyalar ajralib chiqadi.

Keling, intuitiv fikrlash pozitsiyasidan bir oz gaplashaylik. Aslida, bu erda №1 misolning yechimiga eslatmada aytilgan hamma narsa to'g'ri. Agar biz ketma-ket umumiy hadning pay va maxrajidagi barcha "ahamiyatsiz" atamalarni aqliy ravishda "tashlab qo'ysak", u holda $\frac(\sqrt(4n^7+5n^3-4))(9n^2- kasri) n+12)$ quyidagi shaklni oladi: $\frac(\sqrt(4n^7))(9n^2)=\frac(n^2\sqrt(4n))(9n^2)=\frac(\ sqrt(4n))(9)$ . Bular. rasmiy tadqiqotdan oldin ham, $n\to\infty$ uchun qatorning umumiy atamasi nolga moyil bo'lmasligi aniq bo'ladi. Cheksizlikka - bo'ladi, nolga - yo'q. Shuning uchun, faqat yuqorida qilingan buni qat'iy ko'rsatish qoladi.

Javob: qator farqlanadi.

№3 misol

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\left(5^n\sin\frac(8)(3^n)\right)$ qatorining yaqinlashuvini oʻrganing.

Pastki yig'indi chegarasi 1 ga teng bo'lgani uchun qatorning umumiy hadi yig'indi belgisi ostida yoziladi: $u_n=5^n\sin\frac(8)(3^n)$. Seriyaning umumiy hadining chegarasini toping:
$$ \lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\chap(5^n\sin\frac(8)(3^n)\o'ng)=\lim_(n\to) \infty)\frac(\sin\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=\left|\frac(0)(0)\right|=\left| \begin(hizalangan)&\frac(8)(3^n)\to 0;\\&\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)(3^n). \end(hizalangan)\o'ng|=\lim_(n\to\infty)\frac(\frac(8)(3^n))(\frac(1)(5^n))=8\cdot\lim_ (n\to\infty)\left(\frac(5)(3)\o'ng)^n=+\infty. $$
Seriyaning umumiy hadining chegarasi nolga teng bo'lmagani uchun, ya'ni. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ boʻlsa, konvergentsiya uchun zarur boʻlgan mezon qanoatlanmaydi. Shuning uchun seriyalar ajralib chiqadi.

Limitni hisoblashda amalga oshirilgan o'zgarishlar haqida bir necha so'z. $5^n$ ifodasi ayiruvchiga shunday joylashtirilganki, ham ayiruvchi, ham maxrajdagi ifodalar cheksiz kichik bo'lib qoladi. Bular. $n\to\infty$ uchun bizda: $\sin\frac(8)(3^n)\to 0$ va $\frac(1)(5^n)\to 0$. Va agar bizda cheksiz kichik nisbat bo'lsa, unda biz "Ekvivalent cheksiz kichik funktsiyalar" hujjatida ko'rsatilgan formulalarni xavfsiz qo'llashimiz mumkin (hujjat oxiridagi jadvalga qarang). Ushbu formulalardan biriga ko'ra, agar $x\to 0$ bo'lsa, $\sin x\sim x$. Va bizda shunday holat bor: $\frac(8)(3^n)\dan 0$ gacha, keyin $\sin\frac(8)(3^n)\sim\frac(8)( 3^n) )$. Boshqacha qilib aytganda, $\sin\frac(8)(3^n)$ ifodasini $\frac(8)(3^n)$ ifodasi bilan almashtiramiz.

Menimcha, nima uchun $5^n\sin\frac(8)(3^n)$ ifodasini kasr shakliga oʻzgartirdik degan savol tugʻilishi mumkin, chunki bunday oʻzgartirishsiz almashtirishni amalga oshirish mumkin edi. Bu erda javob: almashtirish amalga oshirilishi mumkin, lekin bu qonuniy bo'ladimi? Ekvivalent cheksiz kichik funksiyalar haqidagi teorema bunday almashtirishlar faqat $\frac(\alpha(x))(\beta(x))$ ko‘rinishdagi ifodalarda ($\alpha(x)$ va $ bo‘lganda) mumkinligini aniq ko‘rsatib beradi. \beta (x)$ - cheksiz kichik) chegara belgisi ostida joylashgan. Shunday qilib, biz ifodani kasr shakliga aylantirdik, uni teorema talablariga moslashtirdik.

Javob: qator farqlanadi.

4-misol

$\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(3^n)(n^2)$ qatorining yaqinlashuvini o'rganing.

Pastki yig'indi chegarasi 1 ga teng bo'lgani uchun qatorning umumiy hadi yig'indi belgisi ostida yoziladi: $u_n=\frac(3^n)(n^2)$. Darhaqiqat, bu qatorning yaqinlashuvi haqidagi savol D "Alembert belgisi yordamida osonlikcha hal qilinadi. Biroq, kerakli yaqinlashish belgisi ham qo'llanilishi mumkin.

Keling, seriyaning umumiy atamasini batafsil ko'rib chiqaylik. Numeratorda $3^n$ ifodasi mavjud boʻlib, u $n$2$ maxrajidagiga nisbatan $n$ koʻpayishi bilan tezroq ortadi. O'zingiz uchun solishtiring: masalan, agar $n=10$, keyin $3^n=59049$ va $n^2=100$. Va bu bo'shliq $n $ o'sishi bilan tez o'sib bormoqda.

Agar $n\to\infty$ bo'lsa, $u_n$ nolga moyil bo'lmaydi, deb taxmin qilish juda mantiqiy. zarur yaqinlashuv sharti bajarilmaydi. Faqatgina ushbu ishonchli gipotezani sinab ko'rish va $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to\infty)\frac(3^n)(n^2)$ hisoblash qoladi. Biroq, bu chegarani hisoblashdan oldin, $y=\frac(3^x)(x^2)$ funksiyaning $x\ to +\infty$ uchun yordamchi chegarasini topamiz, ya'ni. $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)$ hisoblang. Nima uchun biz buni qilyapmiz: haqiqat $u_n=\frac(3^n)(n^2)$ ifodasida $n$ parametri faqat tabiiy qiymatlarni oladi ($n=1,2,3, \ldots$) va $y=\frac(3^x)(x^2)$ funksiyasining $x$ argumenti haqiqiy qiymatlarni oladi. $\lim_(x\to+\infty)\frac(3^x)(x^2)$ ni topishda biz L'Hopital qoidasini qo'llashimiz mumkin:
$$ \lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=\left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\matn (L'Hopital's ilovasini qo'llang qoida) |=\lim_(x\to +\infty)\frac(\left(3^x\right)")(\left(x^2\o'ng)")=\lim_(x\to +\infty) )\ frac(3^x\ln 3)(2x)=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x) =\ left|\frac(\infty)(\infty)\right|=|\text(L'Hopital qoidasini qo'llang)|=\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (\left(3^x\o'ng)")(\left(x\o'ng)")=\\ =\frac(\ln 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\ infty)\frac (3^x\ln 3)(1)=\frac(\ln^2 3)(2)\cdot\lim_(x\to +\infty)3^x=+\infty. $$
Chunki $\lim_(x\to +\infty)\frac(3^x)(x^2)=+\infty$, keyin $\lim_(n\to\infty)u_n=\lim_(n\to \\ infty)\frac(3^n)(n^2)=+\infty$. $\lim_(n\to\infty)u_n\neq 0$ bo'lgani uchun qatorning yaqinlashuvining zaruriy sharti qondirilmaydi, ya'ni. berilgan qator farqlanadi.

Javob: qator farqlanadi.

Kerakli konvergentsiya testi yordamida yaqinlashuvi tekshiriladigan qatorlarning boshqa misollari ushbu mavzuning ikkinchi qismida keltirilgan.

Amalda ko'pincha qatorning yig'indisini topish qatorning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob berish kabi muhim emas. Shu maqsadda qatorning umumiy termini xossalariga asoslangan konvergentsiya mezonlaridan foydalaniladi.

SERIALNI YAQINLASHTIRISH UCHUN ZARUR MEZON

1-TEOREMA.

Agar qator yaqinlashsa, uning umumiy atamasi a n sifatida nolga intiladi, ya'ni. .

Qisqacha: agar qator yaqinlashsa, uning umumiy atamasi nolga intiladi.

Xulosa: agar , u holda qator ajralib chiqadi.

15-misol.

Yechim. Bu qator uchun umumiy atama va .

Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

16-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing .

Yechim. Ko'rinib turibdiki, noqulay ifoda tufayli shakli ko'rsatilmagan ushbu turkumning umumiy atamasi nolga moyil bo'ladi. n®¥, bular. qator yaqinlashuvining zarur mezoni qanoatlansa, lekin bu qator ajraladi, chunki uning yig'indisi cheksizlikka intiladi.

YAQINLASHTIRISH SHARTLARI

Ijobiy SERIAL

Barcha a'zolari ijobiy bo'lgan raqamlar qatori deyiladi ijobiy belgi.

2-TEOREMA. (taqqoslashning birinchi belgisi).

Ikkita ijobiy qator berilsin:

a 1+ a 2 +a 3 +...+a n+...=(17)

b 1 + b 2 +b 3 +...+b n+...= ,(18)

va ba'zi bir raqamdan boshlab N, har kim uchun n>N tengsizlik a n £ b n. Keyin:

1) qatorning yaqinlashishi ("kattaroq") qatorning yaqinlashishini ("kichikroq") anglatadi;

2) (“kichikroq”) qatorning divergensiyasi (“kattaroq”) qatorning farqlanishini bildiradi.

Taqqoslashning birinchi belgisining sxematik belgisi:

a n £ b n

konvergentsiya

exp.®exp.

Ushbu xususiyatni qo'llash uchun ko'pincha bunday standart qatorlar qo'llaniladi, ularning yaqinlashishi yoki divergentsiyasi oldindan ma'lum, masalan:

1) ¾ geometrik, (u da yaqinlashadi va da farq qiladi);

2) - garmonik (u ajralib turadi);

3) - Dirixlet qatori (u > 1 uchun yaqinlashadi va £ 1 uchun ajralib chiqadi).

Muayyan misoldan foydalanib, birinchi taqqoslash mezonidan foydalangan holda konvergentsiya uchun musbat belgilar qatorini o'rganish sxemasini ko'rib chiqing.

17-misol.

Yechim. 1-qadam. Seriyaning ijobiy belgisini tekshiramiz: .

2-qadam. Ketmalarning yaqinlashuvi uchun zaruriy mezonning bajarilishini tekshiramiz: . O'shandan beri .

(Agar chegarani hisoblash qiyin bo'lsa, bu bosqichni o'tkazib yuborishingiz mumkin.)

Qadam 3. Biz taqqoslashning birinchi belgisidan foydalanamiz. Keling, ushbu seriya uchun standart seriyani tanlaylik. dan beri, keyin seriyani standart sifatida olish mumkin, ya'ni. Dirixlet qatori. Bu qator yaqinlashadi, chunki ko'rsatkich a= >1. Shuning uchun, taqqoslashning birinchi mezoniga ko'ra, o'rganilayotgan qatorlar ham yaqinlashadi.

18-misol. Ketmalarni konvergentsiya uchun tekshiring.

Yechim. 1. Bu qator belgi-musbat, chunki uchun n=1,2,3,... .

2. Qator yaqinlashuvining zaruriy mezoni qanoatlantiriladi, chunki

3. Standart qatorni tanlaymiz. dan boshlab, u holda geometrik qator () standart sifatida olinishi mumkin. Bu qator yaqinlashadi, shuning uchun o'rganilayotgan qatorlar ham yaqinlashadi.

3-TEOREMA. (Taqqoslashning ikkinchi belgisi )

Agar musbat ishorali qatorlar uchun nolga teng bo'lmagan chekli chegara mavjud bo'lsa, u holda qator bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Agar a n ®0 sifatida n®¥ (yaqinlashuvning zaruriy mezoni), keyin shartdan kelib chiqadiki, a n va b n bir xil kichiklik tartibidagi cheksiz kichikdir (l=1 uchun ekvivalent). Shuning uchun, agar seriya berilsa , qayerda a n ®0 kabi n®0, keyin bu qator uchun standart qator olishimiz mumkin, bu erda umumiy atama b n berilgan qatorning umumiy hadi bilan bir xil kichiklik tartibiga ega.

19-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

Yechim. Har qanday nON uchun bu seriya ijobiy belgidir.

~~ dan beri, keyin mos yozuvlar qatori sifatida harmonik divergent qatorni olamiz. Umumiy atamalar nisbati chegarasidan boshlab a n va chekli va noldan farq qiladi (u 1 ga teng), keyin taqqoslashning ikkinchi mezoni asosida bu qator ajralib chiqadi.

4-TEOREMA.(D'Alembert belgisi )

Agar musbat ishorali qator uchun chekli chegara bo'lsa, u holda qator l uchun yaqinlashadi<1 и расходится при l>1.

Eslatmalar:

1) Agar l=1 boʻlsa, 4-teorema qatorlarning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob bermaydi va shuning uchun yaqinlashuvning boshqa mezonlaridan foydalanish kerak.

2) D'Alember testi ketma-ketlikning umumiy hadi ko'rsatkichli funktsiya yoki faktorialni o'z ichiga olgan taqdirda amalda qulaydir.

20-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing d'Alemberga ko'ra.

Eslatmalar:

1) Agar l=1 bo'lsa, 5-teorema qatorlarning yaqinlashuvi haqidagi savolga javob bermaydi, shuning uchun boshqa taqqoslash mezonlaridan foydalanish kerak.

2) Agar l=¥ bo'lsa, qator uzoqlashadi.

22-misol. Konvergentsiya uchun qatorlarni o'rganing.

Yechim. Ushbu seriya har qanday kishi uchun ijobiy belgiga ega nON. Ketma-ket yaqinlashuvi uchun zarur bo'lgan mezonni amalga oshirish imkoniyatini tekshirishni qoldirib, biz darhol 5-teoremadan foydalanamiz.

6-TEOREMA. (Integral Koshi testi)

Funktsiyaga ruxsat bering f(x) uzluksiz, manfiy bo'lmagan va hamma uchun o'smaydigan x³m, qayerda m- ba'zi bir manfiy bo'lmagan son. Keyin raqamlar seriyasi

yaqinlashadi, agar noto'g'ri integral yaqinlashsa