Raqamli qatorlarning asosiy ta’riflari va xossalari. Konvergent sonlar qatorining asosiy xossalari

Kirish

d'Alembert raqamli koshi

Cheksiz summalar tushunchasi aslida olimlarga ma'lum edi Qadimgi Gretsiya(Evdoks, Evklid, Arximed). Cheksiz yig'indilarni topish qadimgi yunon olimlari tomonidan figuralarning maydonlarini, jismlarning hajmlarini, egri chiziqlar uzunligini va boshqalarni topishda keng qo'llanilgan charchash deb ataladigan usulning ajralmas qismi edi. Masalan, Arximed cheksizning yig'indisini topdi geometrik progressiya maxraj 1/4 bilan.

Raqam mustaqil tushuncha sifatida 17-asrda matematiklar tomonidan qo'llanila boshlandi. I. Nyuton va G. Leybnits algebraik va differensial tenglamalar. XVIII-XIX asrlarda qatorlar nazariyasi. J. va I. Bernulli, B. Teylor, C. Maklaurin, L. Eyler, J. d'Alember, J. Lagranj va boshqalarning asarlarida rivojlangan.19-asrda qatorlarning qatʼiy nazariyasi yaratilgan. K. Gauss, B. Bolzano, O. Koshi, P. Dirixle, N. Abel, K. Veyershtras, B. Riman va boshqalar asarlarida chegara tushunchasiga asoslanadi.

Ushbu muammoni o'rganishning dolzarbligi matematikaning har qanday to'g'ri qo'yilgan masalani amaliy foydalanish uchun etarli aniqlik bilan echishga imkon beradigan bo'limi qatorlar nazariyasi deb ataladiganligi bilan bog'liq. Ba'zi nozik tushunchalar bo'lsa ham matematik tahlil qatorlar nazariyasidan tashqarida paydo bo'ldi, ular darhol seriyalarga qo'llanilib, bu tushunchalarning ahamiyatini tekshirish uchun o'ziga xos vosita bo'lib xizmat qildi. Bu holat bugungi kungacha davom etmoqda. Shunday qilib, sonlar qatorini, ularning asosiy tushunchalarini va qator yaqinlashuvining xususiyatlarini o'rganish dolzarb ko'rinadi.

1. Vujudga kelish tarixi

.1 Raqamlar qatorining birinchi eslatilishi va ishlatilishi

Arifmetika qoidalari bizga ikki, uch, to'rt va umuman har qanday chekli sonlar to'plamining yig'indisini aniqlash qobiliyatini beradi. Agar atamalar soni cheksiz bo'lsa-chi? Hatto "eng kichik" cheksizlik bo'lsa ham, ya'ni. atamalar soni sanaladigan bo'lsin.

Cheksiz yig'indilarni topish qadimgi yunon olimlari tomonidan figuralarning maydonlarini, jismlarning hajmlarini, egri chiziqlar uzunligini va boshqalarni topishda keng qo'llanilgan charchash deb ataladigan usulning ajralmas qismi edi. Masalan, Arximed parabolik segmentning maydonini (ya'ni to'g'ri chiziq va parabola bilan chegaralangan raqam) hisoblash uchun maxraji 1/4 bo'lgan cheksiz geometrik progressiyaning yig'indisini topdi.

Deyarli ikki yarim ming yil avval yunon matematigi va astronomi Knidlik Evdoks maydonlar va hajmlarni topishda "charchash" usulini qo'llagan. Ushbu usulning g'oyasi o'rganilayotgan tanani maydonlari yoki hajmlari ma'lum bo'lgan sonli qismlarga bo'lish va keyin bu hajmlarni qo'shishdir. Bu usul Evklid va Arximed tomonidan qo'llanilgan. Tabiiyki, qadimgi matematiklarning asarlarida usulning to'liq va aniq asoslanishi yo'q edi. Bundan oldin, ikki ming yillik uzoq yo'lni bosib o'tish kerak edi, unda yorqin vahiylar, xatolar va qiziqishlar mavjud edi.

Misol uchun, o'rta asrlarning bir ilohiyotchisi Qodir Tangrining borligini - ko'p va kam emas - isbotlashda qanday fikr yuritgan.

Biz teng miqdordagi S ni cheksiz yig'indi sifatida yozamiz

S = 1010101010… (1)

“Ushbu tenglikning o‘ng tomonidagi har bir nolni 1+(-1) yig‘indisi bilan almashtiramiz.

S =1+(-1)+ 1+(-1)+ 1+(-1)+… (2)

Birinchi hadni (2) ning o‘ng tomonida qoldirib, ikkinchi hadni uchinchi bilan, to‘rtinchisini beshinchi bilan va hokazolarni qavslar yordamida birlashtiramiz. Keyin

S=1 + ((-1) +1) + ((-1) +1) +… = 1+0+0+… = 1”.

"Agar noldan birini o'z xohishiga ko'ra olish mumkin bo'lsa, unda dunyoni yo'qdan yaratish farazi ham qabul qilinadi!"

Biz bu fikrga qo'shilamizmi? Albatta yo'q. Zamonaviy matematika nuqtai nazaridan, muallifning xatosi shundaki, u aniqlanmagan tushunchalar bilan ishlashga harakat qiladi (bu nima - "cheksiz sonli atamalar yig'indisi") va transformatsiyalarni amalga oshiradi (qavslarni ochish, qayta guruhlash). , qonuniyligi ular tomonidan oqlanmagan.

XVII-XVIII asrlarning eng yirik matematiklari - Isaak Nyuton (1642-1727), Gotfrid Vilgelm Leybnits (1646-1716), Bruk Teylor (1642-1727), bu tushuncha nimani anglatishi haqidagi savolga etarlicha e'tibor bermasdan, summalarni hisoblash keng qo'llanilgan. 1685-1731), Kolin Maklaurin (1698-1746), Jozef Lui Lagranj (1736-1813). Leonard va Eyler (1707-1783) ketma-ket ishlov berishda virtuoz mahorati bilan ajralib turishgan, ammo u ko'pincha o'zi ishlatgan usullar etarli darajada asoslanmaganligini tan olgan. Yuzta qog'ozda shunday takrorlangan jumlalar mavjud: "Biz bu ikki cheksiz iboraning teng ekanligini aniqladik, ammo buni isbotlash imkonsiz bo'lib chiqdi". U matematiklarni "divergent qatorlardan" foydalanishdan ogohlantiradi, garchi u o'zi ham bu haqda har doim ham ahamiyat bermagan va faqat yorqin sezgi uni noto'g'ri xulosalardan himoya qiladi; To'g'ri, uning ham "teshilishlari" bor.

19-asrning boshlariga kelib, "hisoblanadigan summalar" xususiyatlarini sinchkovlik bilan asoslash zarurati aniq bo'ladi. 1812 yilda Karl Fridrix Gauss (1777-1865) qatorlarning konvergentsiyasini o'rganishning birinchi misolini keltirdi, 1821 yilda bizning yaxshi do'stimiz Avgustin Lui Koshi (1789-1857) qatorlar nazariyasining asosiy zamonaviy tamoyillarini o'rnatdi.

.2 Qo'shimcha o'rganish raqamlar seriyasi. Raqamli qator tushunchasining aniq bayoni

Maxraji 1 dan kichik bo'lgan cheksiz geometrik progressiyalarni yig'ish antik davrda allaqachon amalga oshirilgan (Arximed). Garmonik qatorning divergentsiyasini italyan olimi Mengoli 1650 yilda asoslab bergan. Kuchli qator Nyutonda (1665) paydo bo'lgan, u ishongan. quvvat seriyasi har qanday funktsiyani ifodalash mumkin. 18-asr olimlari doimiy ravishda hisob-kitoblarda ketma-ketliklarga duch kelishgan, ammo konvergentsiya masalasiga har doim ham e'tibor berishmagan. Seriyalarning aniq nazariyasi Gauss (1812), Bolzano (1817) va nihoyat Koshining ishlaridan boshlanadi, bu erda birinchi marta berilgan. zamonaviy ta'rif konvergent qator yig'indilari va asosiy teoremalar o'rnatiladi. 1821 yil Koshi "Qirollik politexnik maktabida tahlil kursi" ni nashr etdi. eng yuqori qiymat 19-asrning birinchi yarmida matematik tahlilni asoslashning yangi g'oyalarini tarqatish.

“Raqam cheksiz miqdorlar ketma-ketligi deyiladi

ma'lum bir qonun bo'yicha boshqasidan olingan ... Keling

- birinchi n ta hadning yig'indisi, bu erda n - qandaydir butun son. Agar n qiymatlarining doimiy o'sishi bilan yig'indi cheksiz ravishda ma'lum S chegarasiga yaqinlashsa, qator konvergent deb ataladi va bu chegara qatorlarning yig'indisidir. Aksincha, agar n ning cheksiz o'sishi bilan yig'indi biron bir o'ziga xos chegaraga yaqinlashmasa, qator divergent bo'ladi va yig'indiga ega bo'lmaydi ... ”[O. Koshining "Tahlil kursi" ning birinchi qismidan. Qirollik politexnika maktabi (1821) ( № 54 III jild, bet. 114-116, tarjimasi A.P. Yushkevich}]

.3 Raqamlar qatori tushunchasiga olib keladigan masalalar va undan foydalanilgan masalalar

Tez oyoqli Axilles, agar toshbaqa harakat boshida undan bir oz masofada oldinda bo'lsa, hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi. Haqiqatan ham, boshlang'ich masofa a bo'lsin va Axilles toshbaqadan k marta tezroq yugursin. Axilles masofani bosib o'tganda, toshbaqa a/k ga qaytadi; Axilles bu masofani bosib o'tganda, toshbaqa a/ va hokazo, ya'ni. har safar ishtirokchilar o'rtasida nolga teng bo'lmagan masofa bo'ladi.

Bu aporiyada, xuddi shunday cheksizlikni sanash qiyinligidan tashqari, yana bir bor. Aytaylik, bir vaqtning o'zida Axilles toshbaqani quvib yetdi. Keling, Axillesning yo'lini yozaylik

va toshbaqaning yo'li

Axilles bosib o'tgan a/ yo'lning har bir qismi toshbaqa yo'lining a/ segmentiga to'g'ri keladi. Shuning uchun, uchrashuv vaqtiga kelib, Axilles toshbaqa kabi yo'lning "ko'p" qismlarini bosib o'tishi kerak. Boshqa tomondan, toshbaqa bosib o'tgan har bir a/ segmenti Axilles yo'lining teng segmenti bilan bog'lanishi mumkin. Ammo, bundan tashqari, Axilles uzunligi a bo'lgan yana bir segmentni ishga tushirishi kerak, ya'ni. u toshbaqadan bir segment ko'proq o'tishi kerak. Agar oxirgisi tomonidan o'tgan segmentlar soni b bo'lsa, biz olamiz

"O'q". "O'q". Agar vaqt va makon bo'linmas zarralardan iborat bo'lsa, u holda uchuvchi o'q harakatsizdir, chunki vaqtning har bir bo'linmas momentida u o'ziga teng pozitsiyani egallaydi, ya'ni. dam oladi va vaqt oralig'i ana shunday bo'linmas momentlar yig'indisidir.

Bu aporiya tushunchasiga qarshi qaratilgan doimiy qiymat- bo'linmas zarralarning cheksiz soni yig'indisi haqida.

"Stadion". Stadion parallel chiziqlar bo'ylab harakatlansin teng massalar bir xil tezlikda, lekin qarama-qarshi yo'nalishda. Qator - statsionar massalarni bildiradi, qator - o'ngga harakatlanuvchi massalar va qator - chapga harakatlanuvchi massalar (1-rasm). Keling, ommani ko'rib chiqaylik. bo'linmas sifatida. Vaqtning bo'linmas momentida fazoning bo'linmas qismi o'tadi. Darhaqiqat, agar vaqtning bo'linmas momentida ma'lum bir jism fazoning bir nechta bo'linmas qismidan o'tgan bo'lsa, u holda vaqtning bo'linmas momenti bo'linadigan bo'lar edi, agar kamroq bo'lsa, u holda fazoning bo'linmas qismini bo'lish mumkin edi. Keling, bo'linmaslarning bir-biriga nisbatan harakatini ko'rib chiqaylik: vaqtning ikki bo'linmas momentida ikkita bo'linmas qism o'tadi va bir vaqtning o'zida to'rtta bo'linmas qismni sanaydi, ya'ni. vaqtning bo'linmas momenti bo'linadigan bo'ladi.

Bu aporiyaga biroz boshqacha shakl berilishi mumkin. Xuddi shu vaqtda t, nuqta segmentning yarmidan va butun segmentdan o'tadi. Ammo vaqtning har bir bo'linmas momenti shu vaqt ichida bosib o'tgan makonning bo'linmas qismiga to'g'ri keladi. Keyin ba'zi a segmenti va 2a segmentida "bir xil" nuqtalar soni mavjud, ya'ni ikkala segmentning nuqtalari o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatilishi mumkinligi ma'nosida "bir xil". Turli uzunlikdagi segmentlar nuqtalari o'rtasida bunday yozishmalar birinchi marta o'rnatildi. Agar segmentning o'lchami bo'linmaydiganlar o'lchovlari yig'indisi sifatida olinadi deb faraz qilsak, xulosa paradoksal bo'ladi.

2. Sonlar qatorining qo‘llanilishi

.1 Ta'rif

Cheksiz sonli ketma-ketlik berilsin

Ta'rif 1.1. Raqamli qator yoki oddiygina yaqin shaklning ifodasi (yig'indisi) deyiladi

Raqamlar chaqiriladi raqam a'zolari, - umumiy yoki nth qator a'zosi.

(1.1) qatorni aniqlash uchun qatorning --chi hadini uning soni bilan hisoblashning natural argumenti funksiyasini aniqlash kifoya.

(1.1) qator shartlaridan biz sonni hosil qilamiz qisman ketma-ketligi miqdor deb ataladigan qatorning birinchi hadlarining yig'indisi qayerda n-va qisman summa, ya'ni.

…………………………….

Raqamli ketma-ketlik sonining cheksiz ko'payishi bilan:

) chegaralangan chegaraga ega;

) chekli chegaraga ega emas (chegara mavjud emas yoki cheksizlikka teng).

Ta'rif 1.2. Seriya (1.1) deyiladi yaqinlashish, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi (1,5) cheklangan chegaraga ega bo'lsa, ya'ni.

Bunday holda, raqam chaqiriladi so'm qator (1.1) va belgilanadi

Ta'rif 1.3. Seriya (1.1) deyiladi turlicha, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chekli chegaraga ega bo'lmasa.

Ajralish qatoriga hech qanday summa belgilanmaydi.

Shunday qilib, (1.1) yaqinlashuvchi qatorning yig'indisini topish masalasi uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chegarasini hisoblash bilan tengdir.

.2 Sonlar qatorining asosiy xossalari

Cheklangan sonli hadlar yig'indisining xossalari qatornikidan farq qiladi, ya'ni. cheksiz sonli atamalar yig'indisi. Demak, chegaralangan sonli atamalar bo'lsa, ularni istalgan tartibda guruhlash mumkin, bu yig'indini o'zgartirmaydi. Riemann Georg Fridrix Bernxard tomonidan ko'rsatilgan konvergent qatorlar mavjud (shartli konvergent) ular uchun hadlari tartibini tegishli tarzda o'zgartirib, qatorlar yig'indisini istalgan songa, hattoki divergent qatorga tenglashtirish mumkin.

2.1-misol.Shaklning divergent qatorini ko'rib chiqing

Uning a'zolarini juftlab guruhlab, yig'indisi nolga teng bo'lgan konvergent sonlar qatorini olamiz:

Boshqa tomondan, ikkinchi a'zodan boshlab uning a'zolarini juft-juft qilib guruhlash orqali biz ham yig'indisi birga teng bo'lgan konvergent qatorni olamiz:

Konvergent qatorlar ma'lum xususiyatlarga ega bo'lib, ular bizga ularni chekli yig'indilar kabi ko'rib chiqishga imkon beradi. Shunday qilib, ularni raqamlar bilan ko'paytirish, qo'shish va ayirish mumkin. Ular har qanday qo'shni atamalarni guruhlarga birlashtirishi mumkin.

2.1 teorema. (Kerakli xususiyat ketma-ket konvergentsiya).

Agar (1.1) qator yaqinlashsa, uning umumiy hadi n ning cheksiz ortishi bilan nolga intiladi, ya’ni,

Teoremaning isboti shundan kelib chiqadiki, va agar

S - (1.1) qatorlar yig'indisi, keyin

Shart (2.1) zarur, lekin emas etarli holat qatorning konvergentsiyasi uchun. Ya'ni, agar qatorning umumiy atamasi nolga moyil bo'lsa, unda bu qator yaqinlashadi degani emas. Misol uchun, garmonik qator (1.2) uchun, ammo, u ajralib chiqadi.

Natija(Bir qator divergentsiya uchun etarli mezon).

Agar qatorning umumiy hadi nolga moyil bo'lmasa, u holda bu qator ajralib chiqadi.

Mulk 2.1. Agar siz undan o'zboshimchalik bilan olib tashlasangiz, unga qo'shsangiz, undagi chekli sonli hadlarni o'zgartirsangiz (shu bilan birga, konvergent qator uchun uning yig'indisi o'zgarishi mumkin) qatorning yaqinlashishi yoki divergensiyasi o'zgarmaydi.

Mulkning isboti shundan kelib chiqadiki, (1.1) qator va uning qolgan har qanday qismi bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Mulk 2.2. Konvergent qatorni songa ko'paytirish mumkin, ya'ni (1.1) qator yaqinlashsa, S yig'indisi va c qandaydir son bo'lsa, u holda

Buning isboti shundan kelib chiqadiki, cheklangan summalar uchun biz tengliklarga egamiz

Mulk 2.3. Yaqinlashuvchi qatorlarni muddat bo'yicha qo'shish va ayirish mumkin, ya'ni. qatorlar bo'lsa

birlashish,

yaqinlashadi va uning yig'indisi ya'ni.

Isbot chekli summalar chegarasining xususiyatlaridan kelib chiqadi, ya'ni.

Taqqoslash belgisi

Ikkita ijobiy qator bo'lsin

va barcha n = 1,2, ... uchun shartlar bajariladi.

Keyin: 1) (3.2) qatorning yaqinlashuvi (3.1) qatorning yaqinlashuvini nazarda tutadi;

) qatorning (3.1) divergentsiyasi (3.2) qatorning divergentsiyasini nazarda tutadi.

Isbot. 1. (3.2) qator yaqinlashsin va uning yig'indisi B ga teng bo'lsin. (3.1) qatorning qisman yig'indilari ketma-ketligi kamaymaydi va yuqoridan B soni bilan chegaralangan, ya'ni.

Keyin, bunday ketma-ketliklarning xususiyatlaridan kelib chiqqan holda, u cheklangan chegaraga ega, ya'ni. (3.1) qator yaqinlashadi.

(3.1) qator ajralsin. Keyin, agar (3.2) qator yaqinlashsa, yuqorida isbotlangan 1-bandga ko'ra, asl qator ham yaqinlashadi, bu bizning shartimizga ziddir. Demak (3.2) qator ham ajraladi.

Bu xususiyat qatorlarning yaqinlashuvini aniqlashda ularni yaqinlashuvi allaqachon ma'lum bo'lgan qatorlar bilan taqqoslash orqali qulay tarzda qo'llaniladi.

D'Alembert belgisi

Keyin: 1) q uchun< 1 ряд (1.1) сходится;

) q > 1 qator (1.1) uchun farqlanadi;

) q = 1 uchun (1.1) qatorning yaqinlashuvi haqida hech narsa aytish mumkin emas, qo'shimcha tadqiqotlar kerak.

Izoh: Seriya (1.1) ham qachon farqlanadi

Koshi belgisi

Ijobiy qatorning (1.1) shartlari shunday bo'lsinki, chegara mavjud

Keyin: 1) q uchun< 1 ряд (1.1) сходится;

) q > 1 qator (1.1) uchun farqlanadi;

3) q = 1 uchun (1.1) qatorning yaqinlashuvi haqida hech narsa aytish mumkin emas, qo'shimcha tadqiqotlar kerak.

Koshining integral belgisi - Maklaurin

f(x) funksiya intervalda uzluksiz manfiy o’smaydigan funksiya bo’lsin

Keyin qator va noto'g'ri integral bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

.3 Vazifalar

Raqamli qatorlar nafaqat matematikada, balki bir qator boshqa fanlarda ham qo'llaniladi. Men bunday foydalanishning bir nechta misollarini keltirmoqchiman.

Masalan, tog 'jinslari strukturalarining xususiyatlarini o'rganish. Amalda "tuzilma" tushunchasidan foydalanish asosan donlarning o'lchovli parametrlarini tavsiflash uchun qisqartirildi. Shu nuqtai nazardan, petrografiyadagi «struktura» tushunchasi kristallografiya, struktur geologiya va boshqa materiya tuzilishi fanlaridagi «struktura» tushunchasiga mos kelmaydi. Ikkinchisida "struktura" petrografiyadagi "tekstura" tushunchasiga ko'proq mos keladi va bo'shliqni to'ldirish usulini aks ettiradi. Agar “tuzilma” fazoviy tushuncha ekanligini qabul qilsak, unda quyidagi tuzilmalar bo‘sh hisoblanishi kerak: ikkilamchi yoki birlamchi tuzilmalar va teksturalar; kristall, kimyoviy, almashtirishlar (korroziya, qayta kristallanish va boshqalar), deformatsiya tuzilmalari, yo'naltirilgan, qoldiq tuzilmalar va boshqalar. Shuning uchun bu "tuzilmalar" "soxta tuzilmalar" deb ataladi.

Struktura - don o'lchamlari va ularning miqdoriy nisbatlari bilan tavsiflangan strukturaviy elementlar to'plami.

Muayyan tasniflarni amalga oshirishda, odatda, ketma-ketlik bilan chiziqli don parametrlari qo'llaniladi

tarqalishning miqdoriy baholari hududiy (foiz) parametrlar orqali amalga oshirilsa-da. Bu ketma-ketlik sezilarli uzunlikka ega bo'lishi mumkin va hech qachon tuzilmaydi. Odatda, ular faqat don o'lchamlarining maksimal (maksimal) va minimal (min) qiymatlarini nomlash, parametrlarning o'zgarishi chegaralari haqida gapirishadi.

P4 ni ifodalash usullaridan biri yuqoridagi ketma-ketlikda tuzilgan, lekin (?) o‘rniga yig‘indi belgisi (+) qo‘yiladigan sonli qatorlardan foydalanishdir. Barcha ketma-ketliklarning konvolyutsiyasi teng elementlarni birlashtirish va ularning maydonlarini qo'shish orqali amalga oshiriladi. Keyin bizda ketma-ketlik mavjud:

Bu ibora o'lchami teng bo'lgan i donalarining barcha bo'limlari egallagan maydon o'lchanganligini bildiradi.

Donalarning bu xususiyati olingan munosabatlarni raqamli tahlil qilish imkonini beradi. Birinchidan, parametr qiymatlar sifatida ko'rib chiqilishi mumkin koordinata o'qi va shunday qilib S=f(l) grafigini tuzing. Ikkinchidan, ketma-ketlikni (RSl) 1, masalan, koeffitsientlarning kamayish tartibida tartiblash mumkin, natijada qator hosil bo'ladi.

Aynan mana shu qator tog‘ jinslarining berilgan kesimining tuzilishi deb ataladi, u “tuzilma” tushunchasining ta’rifi hamdir. Parametr strukturaning elementi, parametr k= esa strukturaning uzunligi. Qurilish bo'yicha, n=k. Strukturaning bunday tasviri turli tuzilmalarni bir-biri bilan solishtirish imkonini beradi.

Shuningdek, Butusov Kirill Pavlovich "zarb to'lqinlari rezonansi" hodisasini kashf etdi, buning asosida u "sayyora davrlari qonunini" shakllantirdi, buning natijasida sayyoralarning aylanish davrlari Fibonachchi va Luqoning raqamli qatorini tashkil qiladi. va Iogann Titiusning "sayyora masofalari qonuni" "to'lqin rezonansining zarbasi" ning natijasi ekanligini isbotladi (1977). Shu bilan birga, u Quyosh sistemasi jismlarining bir qator boshqa parametrlarini taqsimlashda "oltin qism" ning namoyon bo'lishini aniqladi (1977). Shu munosabat bilan u "oltin matematika" ni yaratish ustida ishlamoqda - yangi tizim astronomiya, biologiya, arxitektura, estetika, musiqa nazariyasi va boshqalar vazifalari uchun ko'proq mos keladigan Phidias soniga asoslangan hisob (1,6180339).

Astronomiya tarixidan ma’lumki, XVIII asrda yashagan nemis astronomi I.Titius ushbu Fibonachchi qatoridan foydalanib, sayyoralar orasidagi masofalarda naqsh va tartibni topgan. quyosh sistemasi.

Biroq, qonunga zid bo'lgan bir holat: Mars va Yupiter o'rtasida sayyora yo'q edi. Osmonning ushbu mintaqasini diqqat bilan kuzatish asteroid kamarining kashf etilishiga olib keldi. Bu 19-asr boshlarida Titius vafotidan keyin sodir bo'ldi. Fibonachchi seriyasi keng qo'llaniladi: uning yordami bilan ular tirik mavjudotlarning arxitektonikasini va inson tomonidan yaratilgan tuzilmalarni va Galaktikalar tuzilishini ifodalaydi. Bu faktlar son qatorining namoyon bo`lish shartlaridan mustaqilligidan dalolat beradi, bu esa uning universalligining belgilaridan biridir.

Kriptografiya - bu fan matematik usullar ma'lumotlarning maxfiyligini (ma'lumotni begona shaxslarga o'qib chiqishning mumkin emasligi) va haqiqiyligini (mualliflikning yaxlitligi va haqiqiyligi, shuningdek, mualliflik huquqini rad etishning mumkin emasligi) ta'minlash. Zamonaviy kriptografik tizimlarning aksariyati oqim yoki blok algoritmlaridan foydalanadi har xil turlari almashtirish va almashtirish shifrlari. Afsuski, oqimli kriptotizimlarda qo'llaniladigan deyarli barcha algoritmlar harbiy va hukumat aloqa tizimlarida foydalanishga, shuningdek, ba'zi hollarda tijorat xarakteridagi ma'lumotlarni himoya qilishga qaratilgan bo'lib, bu ularni sir va ko'rib chiqish uchun imkonsiz qiladi. Yagona standart oqim shifrlash algoritmlari allaqachon Amerika DES standarti (CFB va OFB rejimlari) va Rossiya GOST 28147-89 standarti (gamma rejimi). Shu bilan birga, ushbu standartlarda ishlatiladigan oqimlarni shifrlash algoritmlari tasniflanadi.

Oqimli kriptotizimlar faoliyatining asosi tasodifiy yoki psevdo-tasodifiy ketma-ketliklarning generatorlari hisoblanadi. Keling, bu savolni batafsil ko'rib chiqaylik.

Psevdor tasodifiy ketma-ketliklar

Yashirin kalitlar kriptografik o'zgarishlarning asosi bo'lib, ular uchun Kerkxof qoidasiga binoan, yaxshi shifrlash tizimining kuchi faqat kalitning maxfiyligi bilan belgilanadi. Biroq, amalda kalitlarni yaratish, tarqatish va saqlash kamdan-kam hollarda texnik jihatdan murakkab, garchi qimmat bo'lsa ham, vazifa bo'lgan. Klassik kriptografiyaning asosiy muammosi uzoq vaqt qisqa tasodifiy kalit yordamida katta uzunlikdagi oldindan aytib bo'lmaydigan ikkilik ketma-ketliklarni yaratishdagi qiyinchilik edi. Uni hal qilish uchun ikkilik psevdotasodifiy ketma-ketliklarning generatorlari keng qo'llaniladi. Ushbu generatorlarni ishlab chiqish va tahlil qilishda sezilarli yutuqlarga faqat oltmishinchi yillarning boshlarida erishildi. Shuning uchun ushbu bobda kalitlarni olish va ular asosida kriptografik tizimlar tomonidan xabarlarni shifrlashga aylantirish uchun foydalaniladigan uzoq psevdotasodifiy ketma-ketliklarni yaratish qoidalari muhokama qilinadi.

Kalitdan dasturiy ravishda olingan tasodifiy yoki psevdo-tasodifiy qator raqamlar mahalliy kriptograflar jargonida gamma deb ataladi, y nomi bilan - matematik belgilarda belgilangan yunon alifbosi harflari. tasodifiy o'zgaruvchilar. Qizig'i shundaki, Abelning razvedka bo'yicha advokati tomonidan yozilgan "Ko'prikdagi begonalar" kitobida gamma atamasi berilgan bo'lib, uni Markaziy razvedka boshqarmasi mutaxassislari "musiqiy mashq?" degan izoh bilan belgilaganlar, ya'ni ellikinchi yillarda ular ma'nosini bilmas edi. Haqiqiy tasodifiy qatorlarning realizatsiyasini olish va ko'paytirish xavfli, qiyin va qimmat. Bunday yordamida tasodifiylikni fizik modellashtirish jismoniy hodisalar, Qanday radiatsiya, elektron naychadagi shovqin yoki yarimo'tkazgichli zener diodining tunnel parchalanishi haqiqiy tasodifiy jarayonlarni bermaydi. Garchi ularning kalitlarni yaratishda muvaffaqiyatli qo'llanilishi holatlari mavjud bo'lsa-da, masalan, KRYPTON rus kriptografik qurilmasida. Shuning uchun, o'rniga jismoniy jarayonlar gamma hosil qilish uchun kompyuter dasturlari ishlatiladi, ular generatorlar deb ataladi tasodifiy raqamlar, lekin aslida deterministik sonli qatorlarni beradi, ular faqat xossalarida tasodifiy ko'rinadi. Ulardan, hatto shakllanish qonunini bilish, lekin shakldagi kalitni bilmaslik talab qilinadi boshlang'ich sharoitlar, hech kim raqamlar qatorini tasodifiy qatordan ajrata olmasdi, go'yo u idealni tashlash orqali olingan zar. Kriptografik jihatdan xavfsiz psevdo-tasodifiy ketma-ketlik yoki gamma generator uchun uchta asosiy talab mavjud:

Gamma davri turli uzunlikdagi xabarlarni shifrlash uchun etarlicha katta bo'lishi kerak.

Gammani oldindan aytish qiyin bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki, agar generatorning turi va gamma bo'lagi ma'lum bo'lsa, u holda bu qismdan keyingi gamma bitini x dan yuqori ehtimollik bilan bashorat qilish mumkin emas. Agar kriptoanalitik o'lchovning qaysidir qismidan xabardor bo'lsa, u hali ham undan oldingi yoki keyingi bitlarni aniqlay olmaydi.

Gamma hosil bo'lishi katta texnik va tashkiliy qiyinchiliklar bilan bog'liq bo'lmasligi kerak.

Fibonachchi ketma-ketligi

Tasodifiy sonlar generatorlarining qiziqarli sinfi butun son arifmetikasi bo'yicha ko'plab mutaxassislar, xususan, Jorj Marsaliya va Arif Zayman tomonidan bir necha bor taklif qilingan. Ushbu turdagi generatorlar Fibonachchi ketma-ketliklaridan foydalanishga asoslangan. Bunday ketma-ketlikning klassik misoli (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ...). Birinchi ikkita shart bundan mustasno, har bir keyingi atama oldingi ikkitasining yig'indisiga teng. Agar siz ketma-ketlikda har bir raqamning faqat oxirgi raqamini olsangiz, unda siz raqamlar ketma-ketligini olasiz (0, 1, 1, 2, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, 4 ...) Agar bu ketma-ketlik katta uzunlikdagi massivni ishga tushirish uchun ishlatiladi, keyin ushbu massivdan foydalanib, siz kechikish bilan tasodifiy Fibonachchi raqamlari generatorini yaratishingiz mumkin, bu erda qo'shni emas, balki masofaviy raqamlar qo'shiladi. Marsaliya va Zeyman Fibonachchi sxemasiga boshlang'ich qiymati 0 yoki 1 bo'lishi mumkin bo'lgan "tashuvchi bit" ni kiritishni taklif qilishdi. Shu asosda qurilgan "tashish qo'shish" generatori qiziqarli xususiyatlar, ularga asoslanib, davri hozirgi vaqtda qo'llaniladigan kongruensial generatorlarga qaraganda ancha katta bo'lgan ketma-ketliklarni yaratish mumkin. Marsaliyaning majoziy ifodasiga ko'ra, ushbu toifadagi generatorlarni tasodifiy kuchaytirgichlar deb hisoblash mumkin. "Siz bir necha ming bit uzunlikdagi tasodifiy to'ldirishni olasiz va tasodifiy raqamlarning uzun ketma-ketligini yaratasiz." Biroq, uzoq muddatning o'zi etarli shart emas. Tarozilardagi zaif tomonlarni aniqlash qiyin bo'lishi mumkin va tahlilchi juda ko'p sonlar qatorida yashiringan ma'lum naqshlarni ajratib ko'rsatish uchun murakkab ketma-ketlikni tahlil qilish usullarini qo'llashi kerak.

xulosalar

Seriyalar matematika va uni qoʻllashda, nazariy tadqiqotlarda va masalalarni taxminiy sonli yechishda keng qoʻllaniladi. Ko'pgina raqamlarni maxsus seriyalar sifatida yozish mumkin, ularning yordami bilan ularning taxminiy qiymatlarini kerakli aniqlik bilan hisoblash qulay. Seriyani kengaytirish usuli hisoblanadi samarali usul o'rganish funktsiyalari. U funktsiyalarning taxminiy qiymatlarini hisoblash, integrallarni hisoblash va baholash, barcha turdagi tenglamalarni (algebraik, differentsial, integral) echish uchun ishlatiladi.

Adabiyotlar ro'yxati

1. Shilov G.E. Matematik tahlil. Bir o'zgaruvchining funktsiyalari. 1-2-bob - M.: Nauka, 1969 yil

Maykov E.V. Matematik tahlil. Raqamli seriyalar / E.V. Maykov. - 1999 yil

.“Qirollik politexnika maktabida tahlil kursi”

O. Koshi (1821) (№ 54 III jild, 114-116-betlar, A.P. Yushkevich tarjimasi)

Qadim zamonlardan boshlab matematika tarixi XIX boshi asr (Yushkevich A.P. tahriri ostida, I jild)

Matematika tarixi bo'yicha o'quvchi (II qism) (Yushkevich A.P. tomonidan tahrirlangan)

Oliy matematika: Umumiy kurs: Proc. - 2-nashr, / A.I. Yablonskiy, A.V. Kuznetsov, E.I. Shilkina va boshqalar; Jami ostida ed. S.A. Samal. - Mn .: Vish. maktab, 2000. - 351 p.

Markov L.N., Razmyslovich G.P. Oliy matematika. 2-qism.Matematik analiz asoslari va differentsial tenglamalar elementlari. - Minsk: Amalfeya, 2003. - 352 p.

8. Makarov V.P. Nazariy geologiya masalalari. 7. Tuzilmalar nazariyasi elementlari. / Zamonaviy masalalar va ularni fan, transport, ishlab chiqarish va ta'limda hal qilish yo'llari 2007. Odessa, Chernomorie, 2007. V.19. 27-40-betlar.

9. Polovinkina Yu.Ir. Tog' jinslarining tuzilmalari. 1-qism: Magmatik jinslar; 2-qism: Cho'kindi jinslar; 3-qism: Metamorfik jinslar. - M.: Gosgeolizdat, 1948 yil.

10.http://shaping.ru/mku/butusov.asp

http://www.abc-people.com/idea/zolotsech/gr-txt.htm

“Matematika” fanining o`quv-uslubiy majmuasi. 10-bo'lim "Qatorlar". Nazariy asos. Talabalar uchun uslubiy ko'rsatmalar. uchun materiallar mustaqil ish talabalar. - Ufa: UGNTU nashriyoti, 2007. - 113 b.

13.http://cryptolog.ru/? Psevdosluchainye_posledovtelmznosti

14. Galuev G.A. Kriptologiyaning matematik asoslari: O'quv-uslubiy qo'llanma. Taganrog: Izd-vo HAQIQAT 2003.-120 b.

Repetitorlik

Mavzuni o'rganishda yordam kerakmi?

Mutaxassislarimiz sizni qiziqtirgan mavzularda maslahat beradilar yoki repetitorlik xizmatlarini taqdim etadilar.
Ariza yuboring konsultatsiya olish imkoniyati haqida bilish uchun hozir mavzuni ko'rsating.

Chekli sonli hadlar yig’indisining xossalari qator xossalaridan, ya’ni cheksiz sonli hadlar yig’indisidan farq qiladi. Demak, chegaralangan sonli atamalar bo'lsa, ularni istalgan tartibda guruhlash mumkin, bu yig'indini o'zgartirmaydi. Nemis matematigi Riemann Riemann Georg Fridrix Bernxard (1826 - 1866) tomonidan ko'rsatilganidek, konvergent qatorlar (shartli konvergent, ular 5-bo'limda muhokama qilinadi) mavjud, ular uchun atamalar tartibini tegishli tarzda o'zgartirib, bitta qator yig‘indisini istalgan istalgan songa, hattoki divergent qatorga ham tenglashtirishi mumkin.

2.1-misol.(1.7) shakldagi divergent qatorni ko'rib chiqing.

Uning a'zolarini juftlab guruhlab, yig'indisi nolga teng bo'lgan konvergent sonlar qatorini olamiz:

Boshqa tomondan, ikkinchi a'zodan boshlab uning a'zolarini juft-juft qilib guruhlash orqali biz ham yig'indisi birga teng bo'lgan konvergent qatorni olamiz:

2.1 teorema. (Bir qator yaqinlashuvining zaruriy mezoni).

Agar (1.1) qator yaqinlashsa, uning umumiy atamasi n ning cheksiz ortishi bilan nolga intiladi, ya'ni.

Teoremaning isboti shundan kelib chiqadiki, va agar

S - (1.1) qatorlar yig'indisi, keyin

Shart (2.1) ketma-ket yaqinlashish uchun zarur, lekin etarli emas. Ya'ni, agar qatorning umumiy atamasi nolga moyil bo'lsa, unda bu qator yaqinlashadi degani emas. Misol uchun, (1.2) garmonik qator uchun, ammo, quyida ko'rsatilganidek, u ajralib chiqadi.

Xulosa (ketma-ket divergensiyaning yetarli mezoni).

Agar seriyaning umumiy atamasi sifatida nolga moyil emas, keyin bu qator ajralib chiqadi.

2.2-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

Bu qator uchun

Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

Yuqorida ko'rib chiqilgan divergent qatorlar (1.6), (1.7) yaqinlashuv uchun zarur bo'lgan mezonni qanoatlantirmaganligi sababli ham divergent qatorlar hisoblanadi. (1.6) qator uchun (1.7) qator uchun chegara mavjud emas.

Mulk 2.1 . Agar siz undan o'zboshimchalik bilan olib tashlasangiz, unga qo'shsangiz, undagi chekli sonli hadlarni o'zgartirsangiz (shu bilan birga, konvergent qator uchun uning yig'indisi o'zgarishi mumkin) qatorning yaqinlashishi yoki divergensiyasi o'zgarmaydi.

Mulkning isboti shundan kelib chiqadiki, (1.1) qator va uning qolgan har qanday qismi bir vaqtning o'zida yaqinlashadi yoki ajralib chiqadi.

Mulk 2.2 . Konvergent qatorni songa ko'paytirish mumkin, ya'ni (1.1) qator yaqinlashsa, S yig'indisi va c qandaydir son bo'lsa, u holda

Buning isboti shundan kelib chiqadiki, cheklangan summalar uchun biz tengliklarga egamiz

Mulk 2.3. Konvergent qatorlarni hadlar bo'yicha qo'shish va ayirish mumkin, ya'ni qator bo'lsa,

birlashish,

keyin qator

yaqinlashadi va uning yig'indisi bo'ladi ya'ni

Isbot chekli summalar chegarasining xususiyatlaridan kelib chiqadi, ya'ni.

2.3-misol. Bir qator yig'indisini hisoblang

Seriyaning umumiy atamasini shaklda ifodalaymiz

Shunda asl qatorni geometrik progressiyaning ikki konvergent qatorining haddan-sonli farqi sifatida ifodalash mumkin

(1.8) formuladan foydalanib, biz geometrik progressiyaning mos keladigan qatorlarining yig'indilarini hisoblaymiz.

Shuning uchun birinchi qator uchun

Shuning uchun ikkinchi qator uchun

Nihoyat bizda bor

1. Sonlar qatori: asosiy tushunchalar, qator yaqinlashuvining zaruriy shartlari. Qatorning qolgan qismi.

2. Ijobiy atamalar va ularning yaqinlashish belgilari bilan qator: taqqoslash belgilari, d'Alembert, Koshi.

3. Qatorlarni almashinish, Leybnits testi.

1. Sonlar qatorining ta’rifi. Konvergentsiya

Matematik ilovalarda, shuningdek, iqtisod, statistika va boshqa sohalardagi ba'zi masalalarni yechishda cheksiz ko'p sonli yig'indilar ko'rib chiqiladi. Bu erda biz bunday miqdorlar nimani anglatishini aniqlaymiz.

Cheksiz sonli ketma-ketlik berilsin

Ta'rif 1.1. Raqamli qator yoki oddiygina yaqin shaklning ifodasi (yig'indisi) deyiladi

. (1.1)

Raqamlar chaqirdi raqam a'zolari, –umumiy yoki nth qator a'zosi.

(1.1) qatorni o'rnatish uchun uning soni bo'yicha qatorning a'zosini hisoblashning natural argumenti funksiyasini o'rnatish kifoya.

1.1-misol. Bo'lsin. Qator

(1.2)

chaqirdi garmonik qator.

1.2-misol. Qatorga ruxsat bering

(1.3)

chaqirdi umumlashgan garmonik qator. Muayyan holatda, da, garmonik qator olinadi.

1.3-misol. Keling, =. Qator

chaqirdi geometrik progressiyaning yonida.

(1.1) qator shartlaridan biz sonni hosil qilamiz qisman ketma-ketligi miqdor qayerda - deyiladi qatorning birinchi hadlari yig'indisi n-va qisman summa, ya'ni.

…………………………….

Raqamli ketma-ketlik sonining cheksiz ko'payishi bilan u:

1) chegaralangan chegaraga ega;

2) chekli chegaraga ega emas (chegara mavjud emas yoki cheksizlikka teng).

Ta'rif 1.2. Seriya (1.1) deyiladi yaqinlashish, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi (1,5) cheklangan chegaraga ega bo'lsa, ya'ni.

Bunday holda, raqam chaqiriladi so'm qator (1.1) va yoziladi

Ta'rif 1.3. Seriya (1.1) deyiladi turlicha, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chekli chegaraga ega bo'lmasa.

Ajralish qatoriga hech qanday summa belgilanmaydi.

Shunday qilib, (1.1) yaqinlashuvchi qatorning yig'indisini topish masalasi uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chegarasini hisoblash bilan tengdir.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1.4-misol. Seriya ekanligini isbotlang

yaqinlashadi va uning yig‘indisini topadi.

Berilgan qatorning n- qismli yig‘indisi topilsin.

Umumiy a'zo qatorni shaklda ifodalaymiz .

Shunday qilib, bizda: . Shunday qilib, bu qator yaqinlashadi va uning yig'indisi 1 ga teng:

1.5-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

Bu qator uchun

. Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

Izoh., uchun (1.6) qator cheksiz sonli nollarning yig'indisidir va aniq yaqinlashadi.

2. Sonlar qatorining asosiy xossalari

Cheklangan sonli hadlar yig’indisining xossalari qator xossalaridan, ya’ni cheksiz sonli hadlar yig’indisidan farq qiladi. Demak, chegaralangan sonli atamalar bo'lsa, ularni istalgan tartibda guruhlash mumkin, bu yig'indini o'zgartirmaydi. Rieman ko'rsatganidek, konvergent qatorlar mavjud (shartli konvergent, ular 5-bo'limda ko'rib chiqiladi) * , a'zolarining tartibini mos ravishda o'zgartirib, qatorlar yig'indisini istalgan songa, hattoki divergent qatorga tenglashtirish mumkin.

2.1-misol.(1.7) shakldagi divergent qatorni ko'rib chiqing.

Uning a'zolarini juftlab guruhlab, yig'indisi nolga teng bo'lgan konvergent sonlar qatorini olamiz:

Boshqa tomondan, ikkinchi a'zodan boshlab uning a'zolarini juft-juft qilib guruhlash orqali biz ham yig'indisi birga teng bo'lgan konvergent qatorni olamiz:

2.1 teorema.(Bir qator yaqinlashuvining zaruriy mezoni).

Agar (1.1) qator yaqinlashsa, n ning cheksiz ortishi bilan uning umumiy hadi nolga intiladi, ya’ni.

Teoremaning isboti shundan kelib chiqadi , va agar

S - (1.1) qatorlar yig'indisi, keyin

Shart (2.1) qatorning yaqinlashishi uchun zaruriy, ammo yetarli shart emas. Ya'ni, qatorning umumiy hadi da nolga moyil bo'lsa, bu qator yaqinlashadi degani emas. Masalan, garmonik qator uchun (1.2) ammo, quyida ko'rsatilgandek, u farq qiladi.

Natija(Bir qator divergentsiya uchun etarli mezon).

Agar qatorning umumiy hadi nolga moyil bo'lmasa, u holda bu qator ajralib chiqadi.

2.2-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

Bu qator uchun

Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

Yuqorida ko'rib chiqilgan divergent qatorlar (1.6), (1.7) yaqinlashuv uchun zarur bo'lgan mezonni qanoatlantirmaganligi sababli ham divergent qatorlardir.(1.6) qatorlar uchun chegara (1.7) qator uchun chegara mavjud emas.

Mulkning isboti seriya (1.1) va uning qolgan har qanday qismidan kelib chiqadi bir vaqtning o'zida yaqinlashish yoki ajralish.

Mulk 2.2. Konvergent qatorni songa ko'paytirish mumkin, ya'ni (1.1) qator yaqinlashsa, S yig'indisi va c qandaydir son bo'lsa, u holda

Buning isboti shundan kelib chiqadiki, cheklangan summalar uchun biz tengliklarga egamiz

Mulk 2.3. Konvergent qatorlarni hadlar bo'yicha qo'shish va ayirish mumkin, ya'ni agar qator bo'lsa,

birlashish,

yaqinlashadi va uning yig'indisi ya'ni.

Isbot chekli summalar chegarasining xususiyatlaridan kelib chiqadi, ya'ni.

KIRISH

Qo‘llanma texnikumlarning matematika fani o‘qituvchilari hamda barcha mutaxassisliklarning 2-kurs talabalari uchun mo‘ljallangan.

Ushbu maqolada biz qatorlar nazariyasining asosiy tushunchalarini taqdim etamiz. Nazariy material O‘rta kasb-hunar ta’limi Davlat ta’lim standarti (Ta’lim vazirligi) talablariga javob beradi. Rossiya Federatsiyasi. M., 2002).

Butun mavzu bo'yicha nazariy material taqdimoti ko'p sonli misollar va topshiriqlarni ko'rib chiqish bilan birga keladi va iloji bo'lsa, tushunarli tilda olib boriladi. Qo'llanma oxirida o'quvchilar o'z-o'zini nazorat qilish rejimida bajarishi mumkin bo'lgan misollar va topshiriqlar keltirilgan.

Qo'llanma sirtqi va kunduzgi ta'lim shakllari talabalari uchun mo'ljallangan.

Texnik maktab o'quvchilarining tayyorgarlik darajasini, shuningdek, texnik maktablarda oliy matematikadan o'tish uchun dastur tomonidan ajratilgan juda cheklangan soatlar sonini (12 soat + 4 funt) hisobga olgan holda, o'zlashtirish uchun katta qiyinchiliklarni keltirib chiqaradigan qat'iy xulosalar. , tashlab ketilgan, misollarni ko'rib chiqish bilan cheklangan.

ASOSIY TUSHUNCHALAR

Matematik nuqtai nazardan, masalan, turli funktsiyalar, ularning hosilalari va integrallarining kombinatsiyasi sifatida taqdim etilgan muammoning echimi ko'pincha yakuniy javob bo'lib xizmat qiladigan "songa olib kelishi" kerak. Buning uchun matematikaning turli sohalarida turli usullar ishlab chiqilgan.

Matematikaning har qanday to'g'ri qo'yilgan masalani amaliy foydalanish uchun etarli darajada aniqlik bilan hal qilishga imkon beruvchi bo'limi qatorlar nazariyasi deb ataladi.

Matematik analizning ba'zi nozik tushunchalari qatorlar nazariyasi bilan bog'liq holda paydo bo'lgan bo'lsa ham, ular darhol qatorlarga qo'llanilib, bu tushunchalarning haqiqiyligini tekshirish vositasi bo'lib xizmat qildi. Bu holat bugungi kungacha davom etmoqda.

Shaklni ifodalash

bu yerda;;;…;;… qator a’zolari; - nth yoki qatorning umumiy a'zosi cheksiz qator (son) deyiladi.

Agar seriya a'zolari:

I. Raqamlar qatori

1.1. Sonlar qatori haqida asosiy tushunchalar.

Raqamlar qatori shaklning yig'indisidir

, (1.1)

bu yerda ,,,…,,... qator a’zolari deb ataladi, cheksiz ketma-ketlikni hosil qiladi; a'zo qatorning umumiy a'zosi deyiladi.

(1.1) qatorning birinchi hadlaridan tuzilgan bu qatorning qisman yig’indilari deyiladi.

Har bir qator qisman yig'indilar ketma-ketligi bilan bog'lanishi mumkin .

Agar sonning cheksiz ko'payishi bilan n qatorning qisman yig'indisi chegaraga intiladi, keyin ketma-ket konvergent deb ataladi va raqam konvergent qatorning yig'indisi deb ataladi, ya'ni.

Ushbu yozuv kirishga teng

Agar cheksiz o'sish bilan seriyaning qisman yig'indisi (1.1) bo'lsa n chekli chegaraga ega emas ( yoki ga intiladi), unda bunday qator deyiladi turlicha .

Agar qator konvergent , keyin yetarlicha katta qiymati n qator yig‘indisining taxminiy ifodasidir S.

Farq qatorning qolgan qismi deb ataladi. Agar qator yaqinlashsa, uning qoldig'i nolga moyil bo'ladi, ya'ni va aksincha, qolgan qismi nolga moyil bo'lsa, u holda qator yaqinlashadi.

1.2. Raqamlar qatoriga misollar.

Misol 1. Shaklning qatori

(1.2)

chaqirdi geometrik .

Geometrik qator geometrik progressiyaning a'zolaridan hosil bo'ladi.

Ma'lumki, uning birinchi yig'indisi n a'zolari. Shubhasiz, bu n- qatorning qisman yig'indisi (1.2).

Mumkin holatlar:

Seriya (1.2) quyidagi shaklni oladi:

, qator farqlanadi;

Seriya (1.2) quyidagi shaklni oladi:

Cheklov yo'q, seriya farqlanadi.

chekli son, qator yaqinlashadi.

- seriya farqlanadi.

Demak, bu qator ga yaqinlashadi va da ajraladi.

2-misol. Shaklning qatori

(1.3)

chaqirdi garmonik .

Keling, ushbu qatorning qisman yig'indisini yozamiz:

Miqdori quyidagi tarzda taqdim etilgan summadan kattaroqdir:

yoki .

Agar , keyin , yoki .

Shuning uchun, agar , keyin , ya'ni. garmonik qator ajraladi.

Misol 3. Shaklning qatori

(1.4)

chaqirdi umumlashtirilgan garmonik .

Agar bo'lsa, bu qator divergent bo'lgan garmonik qatorga aylanadi.

Agar bo'lsa, bu qatorning hadlari garmonik qatorning tegishli hadlaridan katta bo'ladi va shuning uchun u ajralib chiqadi. Bizda geometrik qator mavjud bo'lganda; u konvergent hisoblanadi.

Demak, umumlashgan garmonik qator ga yaqinlashadi va da ajraladi.

1.3. Konvergentsiyaning zaruriy va yetarli mezonlari.

Seriyaning yaqinlashuvining zaruriy mezoni.

Agar qator chegarasiz oshgani sayin uning umumiy aʼzosi nolga moyil boʻlsagina birlasha oladi: .

Agar , u holda qator ajralib chiqadi, ya'ni etarli belgi ketma-ket divergentsiya.

Ijobiy shartlarga ega qatorlarni yaqinlashtirish uchun yetarli shartlar.

Musbat a'zolar bilan qatorlarni solishtirish belgisi.

O'rganilayotgan qator yaqinlashadi, agar uning a'zolari boshqa, aniq yaqinlashuvchi qatorning mos a'zolaridan oshmasa; o'rganilayotgan qator ajraladi, agar uning shartlari boshqa, aniq divergent qatorning tegishli shartlaridan oshsa.

D'Alembert belgisi.

Agar ijobiy shartlarga ega seriya uchun

shart bajarilsa, qator ga yaqinlashadi va da ajraladi.

d'Alembert belgisi javob bermaydi, agar . Bunda qatorni o'rganish uchun boshqa usullar qo'llaniladi.

Mashqlar.

Berilgan umumiy atamasi bo‘yicha qator yozing:

,,,… deb faraz qilsak, bizda cheksiz sonlar ketma-ketligi bor:

Uning shartlarini qo'shib, biz seriyani olamiz

Xuddi shunday qilib, biz seriyani olamiz

1,2,3,… qiymatlarini berib,,,,… ni hisobga olsak, qatorni olamiz

Topmoq n- Seriyaning birinchi shartlariga ko'ra:

Birinchisidan boshlab qator a'zolarining maxrajlari juft sonlar; Binobarin, n- Seriyaning uchinchi qismi shaklga ega.

Ketma a'zolarining ayirgichlari sonlarning natural qatorini, mos keluvchilar esa sonlarning natural qatorini, mos keluvchi maxrajlar esa 3 dan boshlanadigan natural son qatorini hosil qiladi. Belgilar qonunga muvofiq yoki unga muvofiq almashinadi. qonunga. Ma'nosi, n- Seriyaning uchinchi qismi shaklga ega. yoki .

Kerakli konvergentsiya testi va taqqoslash testi yordamida qatorlarning yaqinlashuvini o'rganing:

;

topamiz .

Ketma-ket yaqinlashuvining zaruriy mezoni qanoatlantirildi, ammo yaqinlashuv masalasini hal qilish uchun yetarli darajada yaqinlashuv mezonlaridan birini qo‘llash kerak. Bu qatorni geometrik qator bilan solishtiring

buyon birlashadi.

Ushbu qatorning hadlarini ikkinchisidan boshlab, geometrik qatorning tegishli hadlari bilan taqqoslab, biz tengsizliklarni olamiz.

bular. ikkinchisidan boshlab bu qatorning hadlari mos ravishda geometrik qatorning hadlaridan kichik bo'lib, shundan kelib chiqadiki, berilgan qator yaqinlashadi.

Bu erda ketma-ketlikning farqlanishi uchun etarli test qondiriladi; shuning uchun qatorlar ajralib chiqadi.

topamiz .

Seriyaning yaqinlashuvi uchun zaruriy mezon qanoatlantirildi. Keling, bu qatorni umumlashtirilgan garmonik qator bilan taqqoslaylik

yaqinlashadi, chunki, demak, berilgan qator ham yaqinlashadi.

D'Alembert testi yordamida qatorlarning yaqinlashuvini o'rganing:

;

O‘rniga qatorning umumiy atamasi bilan almashtirish n raqam n+ 1, biz olamiz. --chi hadning nisbat chegarasi topilsin n- mu a'zosi:

Shunday qilib, bu seriya birlashadi.

Shunday qilib, bu seriya farqlanadi.

Bular. qator ajralib chiqadi.

II. muqobil qator

2.1 Muqobil qator tushunchasi.

Raqamlar seriyasi

chaqirdi muqobil agar uning a'zolari ijobiy va salbiy sonlarni o'z ichiga olsa.

Raqamlar qatori deyiladi muqobil agar ikkita qo'shni atama qarama-qarshi belgilarga ega bo'lsa.

qaerda hamma uchun (ya'ni, ijobiy va salbiy atamalar bir-birini ketma-ket kuzatib turadigan qator). Misol uchun,

;

Muqobil qatorlar uchun konvergentsiyaning yetarli mezoni mavjud (1714 yilda Leybnits I. Bernulliga yozgan maktubida asos solgan).

2.2 Leybnits belgisi. Ketmalarning mutlaq va shartli yaqinlashuvi.

Teorema (Leybnits testi).

Muqobil qator yaqinlashadi, agar:

Seriya shartlarining mutlaq qiymatlari ketma-ketligi monoton ravishda kamayadi, ya'ni. ;

Seriyaning umumiy atamasi nolga intiladi:.

Bundan tashqari, qatorning S yig'indisi tengsizliklarni qanoatlantiradi

Izohlar.

Shaklning o'zgaruvchan seriyasini o'rganish

(salbiy birinchi had bilan) qatorni o'rganish uchun uning barcha shartlarini ko'paytirish orqali kamayadi .

Leybnits teoremasining shartlari qanoatlantirilgan qatorlar deyiladi Leybnizchi (yoki Leybnits seriyasi).

Munosabatlar yig'indini almashtirish orqali biz qilgan xatoning oddiy va qulay bahosini olish imkonini beradi S bu qatorning qisman yig'indisi bo'yicha.

Tashlab ketilgan qator (qoldig'i) ham o'zgaruvchan qatordir , yig'indisi bu qatorning birinchi hadidan kichik, ya'ni, shuning uchun xato, tashlab yuborilgan hadlarning birinchisining modulidan kichikdir.

Misol. Seriyaning taxminan yig'indisini hisoblang.

Yechish: Leybnits tipidagi qator berilgan. U birlashadi. Siz yozishingiz mumkin:

Beshta shartni qabul qilish, ya'ni. almashtirilishi mumkin

Keling, kichikroq xato qilaylik

Qanday . Shunday qilib,.

Muqobil qatorlar uchun konvergentsiya uchun quyidagi umumiy etarli mezon sodir bo'ladi.

Teorema. Muqobil qator berilsin

Agar qator yaqinlashsa

berilgan qator a'zolarining modullaridan tuzilgan bo'lsa, u holda o'zgaruvchan qatorning o'zi yaqinlashadi.

O'zgaruvchan qatorlar uchun Leybnitsning yaqinlashuv mezoni o'zgaruvchan qatorlarning yaqinlashuvi uchun etarli mezondir.

Muqobil qator deyiladi mutlaqo konvergent , agar uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator yaqinlashsa, ya'ni. har bir absolyut yaqinlashuvchi qator yaqinlashuvchidir.

Agar o'zgaruvchan qator yaqinlashsa va uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator ajralib chiqsa, bu qator deyiladi. shartli ravishda (mutlaq emas) yaqinlashish.

2.3. Mashqlar.

Muqobil qatorning yaqinlashuvini (mutlaq yoki shartli) tekshiring:

Shuning uchun, Leybnits testiga ko'ra, qatorlar yaqinlashadi. Keling, bu qator mutlaq yoki shartli yaqinlashishini bilib olaylik.

Qator , berilgan qatorning mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan, bir-biridan ajralib turuvchi garmonik qatordir. Shuning uchun bu qator shartli ravishda yaqinlashadi.

Ushbu seriyaning shartlari mutlaq qiymatda monoton ravishda kamayadi:

, lekin

Seriya farqlanadi, chunki Leybnits testi bajarilmaydi.

Leybnits testidan foydalanib, biz olamiz

bular. qator yaqinlashadi.

Bu qaerda, birlashuvchi shaklning geometrik qatoridir. Shuning uchun, bu seriya mutlaqo birlashadi.

Leybnits testidan foydalanib, biz bor

;

, ya'ni. qator yaqinlashadi.

Ushbu qator shartlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qatorni ko'rib chiqing:

, yoki

Bu bir-biridan ajralib turadigan umumlashtirilgan garmonik seriyadir. Shuning uchun bu qator shartli ravishda yaqinlashadi.

III. Funktsional diapazon

3.1. Funktsional qator tushunchasi.

A'zolari funksiya bo'lgan qator deyiladi funktsional :

Muayyan qiymatni berib, biz raqam seriyasini olamiz

konvergent yoki divergent bo'lishi mumkin.

Agar olingan sonlar qatori yaqinlashsa, nuqta chaqiriladi konvergentsiya nuqtasi funktsional qator; agar qator ajralib chiqsa ajralish nuqtasi funktsional qator.

Funktsional qatorlar yaqinlashadigan argumentning raqamli qiymatlari to'plami deyiladi. konvergentsiya hududi .

Funksional qatorning yaqinlashish mintaqasida uning yig'indisi ma'lum bir funktsiya :.

U yaqinlashuv mintaqasida tenglik bilan aniqlanadi

, qayerda

Seriyaning qisman yig'indisi.

Misol. Seriyaning yaqinlashish maydonini toping.

Yechim. Bu qator maxrajli geometrik progressiya qatoridir. Shuning uchun, bu qator uchun yaqinlashadi, ya'ni. Barcha uchun ; qatorning yig'indisi;

, da .

3.2. Quvvat seriyasi.

Quvvat qatori shaklning qatoridir

raqamlar qayerda chaqirdi qator koeffitsientlari , va bu atama turkumning umumiy atamasi hisoblanadi.

Kuchli qatorning yaqinlashuv mintaqasi qator yaqinlashadigan barcha qiymatlar to'plamidir.

Raqam chaqiriladi yaqinlashish radiusi kuch qatorlari, agar uchun bo'lsa, qator yaqinlashadi va bundan tashqari, absolyut va uchun bo'lsa, qator ajralib chiqadi.

D'Alembert testi yordamida yaqinlashish radiusini topamiz:

(bog'liq emas),

bular. agar quvvat seriyasi bu shartni qanoatlantiruvchi har qanday uchun yaqinlashadi va uchun ajraladi.

Bundan kelib chiqadiki, agar chegara bo'lsa

u holda qatorning yaqinlashish radiusi bu chegaraga teng bo'ladi va kuch qatori ga yaqinlashadi, ya'ni. ular orasida deyiladi yaqinlashish oralig'i (interval).

Agar, u holda kuch seriyasi bir nuqtada birlashadi.

Intervalning oxirida qator yaqinlashishi mumkin (mutlaq yoki shartli), lekin u ham ajralib chiqishi mumkin.

va uchun darajalar qatorining yaqinlashuvi yaqinlashuv mezonlaridan biri yordamida tekshiriladi.

3.3. Mashqlar.

Seriyaning yaqinlashish maydonini toping:

Yechim. Ushbu qatorning yaqinlashish radiusini toping:

Shuning uchun, bu qator mutlaqo butun sonlar o'qiga yaqinlashadi.

Yechim. Keling, d'Alember belgisidan foydalanamiz. Ushbu seriya uchun bizda:

Agar yoki bo'lsa, qator mutlaqo yaqinlashadi. Keling, konvergentsiya oralig'i oxiridagi qatorlarning harakatini o'rganamiz.

Chunki bizda serial bor

Chunki bizda serial bor shuningdek, konvergent Leybnits qatoridir. Shuning uchun asl qatorning yaqinlashish mintaqasi segmentdir.

Yechim. Qatorning yaqinlashish radiusini toping:

Shuning uchun, qator yaqinlashadi, ya'ni. da.

Keling, bir qatorni olaylik , bu Leybnits testiga ko'ra yaqinlashadi.

Biz divergent seriyani olamiz

Demak, asl qatorning yaqinlashish mintaqasi intervaldir.

IV. Parchalanish elementar funktsiyalar Maklaurin seriyasida.

Ilovalar uchun qobiliyatga ega bo'lish muhimdir bu funksiya kuch seriyasida kengaytirish, ya'ni. funktsiyani darajalar qatorining yig'indisi sifatida ifodalaydi.

Funksiya uchun Teylor qatori shaklning darajali qatori deyiladi

Agar bo'lsa, biz Teylor seriyasining maxsus holatini olamiz

qaysi deyiladi Maklaurin yaqinida .

O'zining yaqinlashuv oralig'idagi darajali qatorni muddatlar bo'yicha differensiallash va xohlagancha ko'p marta integrallash mumkin va natijada olingan qatorlar dastlabki qator bilan bir xil yaqinlashish oralig'iga ega.

Ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish qoidalariga ko‘ra, ikkita darajali qator qo‘shilishi va hadga ko‘paytirilishi mumkin. Bunda hosil bo'lgan yangi qatorning yaqinlashish oralig'i dastlabki qatorning yaqinlashish intervallarining umumiy qismiga to'g'ri keladi.

Funktsiyani Maclaurin seriyasiga kengaytirish uchun quyidagilar zarur:

Nuqtadagi funksiya va uning ketma-ket hosilalari qiymatlarini hisoblang, ya'ni,,,...,;

Funktsiya qiymatlarini va uning ketma-ket hosilalarini Maklaurin qator formulasiga almashtirib, Maklaurin qatorini tuzing;

Hosil bo‘lgan qatorning yaqinlashish oralig‘ini formula bo‘yicha toping

, .

Misol 1. Maklaurin seriyasidagi funksiyani kengaytiring.

Yechim. Chunki , keyin kengaytirishda bilan almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

2-misol. Funksiyaning Maklaurin qatorini yozing .

Yechim. Chunki , keyin biz bilan almashtiriladigan formuladan foydalanib, biz quyidagilarni olamiz:

Misol 3. Maklaurin seriyasida funksiyani kengaytiring.

Yechim. Keling, formuladan foydalanamiz. Chunki

, keyin bilan almashtirsak, biz quyidagilarni olamiz:

, yoki

qayerda, ya'ni. .

V. Talabalarning o'z-o'zini nazorat qilish uchun amaliy topshiriqlar.

Seriyalarni taqqoslash testi yordamida konvergentsiyani o'rnating

shartli ravishda birlashadi;

mutlaqo mos keladi.

;

VII. Tarix ma'lumotnomasi.

Ko'pgina muammolarni hal qilish funktsiyalar va integrallarning qiymatlarini hisoblash yoki noma'lum funktsiyalarning hosilalari yoki differentsiallarini o'z ichiga olgan differensial tenglamalarni echish uchun qisqartiriladi.

Biroq, bu matematik amallarning aniq bajarilishi ko'p hollarda juda qiyin yoki imkonsiz bo'lib chiqadi. Bunday hollarda ketma-ketlik yordamida istalgan aniqlikdagi ko'plab masalalarning taxminiy yechimini olish mumkin.

Seriyalar funksiyalar, integrallar va differensial tenglamalar yechimlarini taqribiy hisoblash uchun oddiy va mukammal matematik tahlil vositasidir.

Va funksionalning o'ng tomonida turish.

“” belgisi oʻrniga tenglik belgisini qoʻyish uchun tenglikning oʻng tomonidagi hadlar sonining cheksizligi va qatorning yaqinlashish mintaqasi bilan bogʻliq boʻlgan qoʻshimcha mulohazalarni amalga oshirish kerak.

Teylor formulasi Maklaurin formulasi deb ataladigan shaklni olganida:

Nyutonning shogirdi Kolin Maklaurin (1698 - 1746) o'zining "Fluxions to'g'risida traktat" (1742) asarida analitik funktsiyani ifodalovchi faqat bitta darajali qator mavjudligini aniqladi va bu bunday funktsiya tomonidan yaratilgan Teylor qatori bo'ladi. Nyuton binomial formulasida quvvatlardagi koeffitsientlar qiymatlar, bu erda .

Shunday qilib, qatorlar 18-asrda paydo bo'lgan. cheksiz farqlash imkonini beruvchi funktsiyalarni ifodalash usuli sifatida. Biroq, qator bilan ifodalangan funksiya uning yig'indisi deb atalmagan va umuman o'sha paytda sonli yoki funktsional qatorning yig'indisi nima ekanligi aniqlanmagan, faqat bu tushunchani kiritishga urinishlar bo'lgan.

Masalan, L. Eyler (1707-1783) funktsiyaga mos keladigan darajali qatorni yozib, o'zgaruvchiga o'ziga xos qiymat berdi. Raqam qatori bor. Eyler asl funktsiyaning nuqtadagi qiymatini shu qatorning yig'indisi deb hisobladi. Lekin bu har doim ham to'g'ri emas.

Divergent qatorning yig'indisi yo'qligini olimlar 18-asrda bo'lsa ham, faqat 19-asrda taxmin qila boshladilar. ko'pchilik va birinchi navbatda L. Eyler konvergentsiya va divergensiya tushunchalari ustida ko'p ishladilar. Eyler ketma-ketlikni konvergent deb ataydi, agar uning umumiy atamasi nolga teng bo'lsa.

Divergent qatorlar nazariyasida Eyler ko'plab muhim natijalarga erishdi, ammo bu natijalar uzoq vaqt davomida qo'llanilmadi. 1826 yilda N.G. Abel (1802 - 1829) divergent qatorlarni "iblisona uydirma" deb atagan. Eylerning natijalari faqat 19-asr oxirida o'zini oqladi.

Konvergent qatorlar yig'indisi tushunchasini shakllantirishda fransuz olimi O.L. Koshi (1789 - 1857); u nafaqat qatorlar nazariyasida, balki chegaralar nazariyasida, chegara tushunchasini ishlab chiqishda ham nihoyatda katta ish qildi. 1826 yilda Koshining ta'kidlashicha, divergent qatorning yig'indisi yo'q.

1768 yilda Fransuz matematigi va faylasufi J.L. D'Alember binomial qatorda keyingi hadning oldingisiga nisbatini o'rganib chiqdi va agar bu nisbat mutlaq qiymatda birdan kichik bo'lsa, unda qator yaqinlashishini ko'rsatdi. Koshi 1821 yilda da ifodalangan teoremani isbotladi umumiy ko'rinish ishora-musbat qatorlarning yaqinlashish belgisi, hozirda d'Alembert belgisi deb ataladi.

O'zgaruvchan qatorlarning yaqinlashuvini o'rganish uchun Leybnits testi qo'llaniladi.

G.V. Buyuk nemis matematigi va faylasufi Leybnits (1646 - 1716) I. Nyuton bilan birga differensial va integral hisoblarning asoschisidir.

Adabiyotlar ro'yxati:

Asosiy:

Bogomolov N.V., Matematikadan amaliy mashg'ulotlar. M., " o'rta maktab”, 1990 – 495 b.;
Tarasov N.P., Texnik maktablar uchun oliy matematika kursi. M., "Nauka", 1971 - 448 b.;
Zaitsev I.L., Texnik maktablar uchun oliy matematika kursi. M., texnikumlar davlat nashriyoti - nazariy adabiyotlar, 1957 - 339 b.;
Pismenny D.T., Oliy matematika bo'yicha ma'ruzalar kursi. M., "Iris Press", 2005, 2-qism - 256 b.;
Vygodskiy M.Ya., Oliy matematika bo'yicha qo'llanma. M., "Nauka", 1975 - 872 b.;

Qo'shimcha:

Gusak A.A., Oliy matematika. 2 jildda, 2-jild: Universitet talabalari uchun darslik. Mos., "TetraSystems", 1988 - 448 b.;
Griguletskiy V.G., Lukyanova I.V., Petunina I.A., Iqtisodiyot mutaxassisliklari talabalari uchun matematika. 2-qism. Krasnodar, 2002 yil - 348 p.;
Griguletskiy V.G. h.k. matematikadan topshiriqlar kitobi. Krasnodar. KSAU, 2003 yil - 170 b.;
Griguletskiy V.G., Stepantsova K.G., Getman V.N., Buxgalteriya hisobi va moliya fakulteti talabalari uchun vazifalar va mashqlar. Krasnodar. 2001 yil - 173 b.;
Griguletskiy V.G., Yaschenko Z.V., Oliy matematika. Krasnodar, 1998 yil - 186 p.;
Malykhin V.I., Iqtisodiyotda matematika. M., "Infra-M", 1999 - 356s.

OLIY MATEMATIKA

Raqamlar seriyasi

Leksiya.Raqamlar seriyasi

1. Sonlar qatorining ta’rifi. Konvergentsiya

2. Sonlar qatorining asosiy xossalari

3. Ijobiy shartli qator. Konvergentsiya belgilari

4. O‘zgaruvchan qatorlar. Leybnits konvergentsiya testi

5. Muqobil qatorlar

O'z-o'zini tekshirish uchun savollar

Adabiyot

Leksiya. RAQAMLI SERIAL

1. Sonlar qatorining ta’rifi. Konvergentsiya.

2. Sonli qatorlarning asosiy xossalari.

3. Ijobiy shartli qator. Konvergentsiya belgilari.

4. O‘zgaruvchan qatorlar. Leybnitsning yaqinlashuv mezoni.

5. Muqobil qatorlar.

1. Sonlar qatorining ta’rifi. Konvergentsiya

Cheksiz sonli ketma-ketlik berilsin

, , …, , …

Ta'rif 1.1. Raqamli qator yoki oddiygina yaqin shaklning ifodasi (yig'indisi) deyiladi

. (1.1) deyiladi raqam a'zolari, – umumiy yoki n – m qator a'zosi.

(1.1) qatorni aniqlash uchun natural argumentning funksiyasini aniqlash kifoya

uning raqami bo'yicha qatorning th hadini hisoblash

1.1-misol. Bo'lsin

. Qator (1.2)

chaqirdi garmonik qator .

1.2-misol. Bo'lsin

, Seriya (1.3)

chaqirdi umumlashgan garmonik qator. Muayyan holatda, qachon

garmonik qator olinadi.

1.3-misol. Bo'lsin

= . Qator (1.4)

chaqirdi geometrik progressiyaning yonida.

(1.1) qator shartlaridan biz sonni hosil qilamiz qisman ketma-ketligimiqdor qayerda

deb ataladigan qatorning birinchi hadlari yig'indisidir n-va qisman summa, ya'ni , , ,

…………………………….

, (1.5)

…………………………….

Raqamli ketma-ketlik

sonining cheksiz ko'payishi bilan:

1) chegaralangan chegaraga ega;

2) chekli chegaraga ega emas (chegara mavjud emas yoki cheksizlikka teng).

Ta'rif 1.2. Seriya (1.1) deyiladi yaqinlashish, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi (1,5) cheklangan chegaraga ega bo'lsa, ya'ni.

Bunday holda, raqam

chaqirdi so'm qator (1.1) va yoziladi.

Ta'rif 1.3.Seriya (1.1) deyiladi turlicha, agar uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chekli chegaraga ega bo'lmasa.

Ajralish qatoriga hech qanday summa belgilanmaydi.

Shunday qilib, (1.1) yaqinlashuvchi qatorning yig'indisini topish masalasi uning qisman yig'indilari ketma-ketligi chegarasini hisoblash bilan tengdir.

Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik.

1.4-misol. Seriya ekanligini isbotlang

yaqinlashadi va uning yig‘indisini topadi.

Keling, topamiz n- berilgan qatorning qisman yig'indisi

Umumiy a'zo

shaklida qatorni ifodalaymiz.

Shunday qilib, bizda:

. Shunday qilib, bu qator yaqinlashadi va uning yig'indisi 1 ga teng:

1.5-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

(1.6)

Bu qator uchun

. Shuning uchun, bu seriya farqlanadi.

Izoh. Da

(1.6) qator cheksiz sonli nollarning yig'indisidir va aniq yaqinlashadi.

1.6-misol. Konvergentsiya qatorlarini o‘rganing

(1.7)

Bu qator uchun

Bunday holda, qisman summalar ketma-ketligi chegarasi

mavjud emas va qator ajralib chiqadi.

1.7-misol. Geometrik progressiya qatorining yaqinlashuvini o‘rganing (1.4):

Buni ko'rsatish oson n-uchun geometrik progressiya qatorining qisman yig'indisi

formula bilan berilgan.

Vaziyatlarni ko'rib chiqing:

Keyin va.

Shuning uchun qator yaqinlashadi va uning yig'indisi teng bo'ladi