Kirish

Ehtimollar nazariyasi matematikaning klassik tarmoqlaridan biridir. Bu uzoq tarixga ega. Fanning bu sohasiga asos solgan buyuk matematiklar. Men, masalan, Fermat, Bernoulli, Paskalni nomlayman. Keyinchalik, ehtimollar nazariyasining rivojlanishi ko'plab olimlarning ishlarida aniqlandi. Ehtimollar nazariyasiga mamlakatimiz olimlari: P.L.Chebishev, A.M.Lyapunov, A.A.Markov, A.N.Kolmogorovlar katta hissa qo‘shdilar. Ehtimoliy va statistik usullar endi ilovalarga chuqur kirib bordi. Ular fizika, muhandislik, iqtisodiyot, biologiya va tibbiyotda qo'llaniladi. Rivojlanish bilan bog'liq holda ularning roli ayniqsa ortdi Kompyuter fanlari.

Masalan, o'qish uchun jismoniy hodisalar kuzatishlar yoki tajribalar o'tkazish. Ularning natijalari odatda ba'zi kuzatilgan miqdorlarning qiymatlari sifatida qayd etiladi. Tajribalarni takrorlashda biz ularning natijalarida tarqoqlikni topamiz. Misol uchun, ma'lum sharoitlarni (harorat, namlik va boshqalar) saqlagan holda bir xil miqdordagi o'lchovlarni bir xil qurilma bilan takrorlash orqali biz kamida bir oz farq qiladigan, ammo baribir bir-biridan farq qiladigan natijalarga erishamiz. Hatto bir nechta o'lchovlar ham keyingi o'lchov natijasini aniq taxmin qilish imkonini bermaydi. Shu ma'noda o'lchov natijasi tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchining yanada aniq misoli - yutuqli lotereya chiptasining raqami. Tasodifiy o'zgaruvchilarning boshqa ko'plab misollarini keltirish mumkin. Shunga qaramay, baxtsiz hodisalar dunyosida ma'lum naqshlar topiladi. Matematik apparat bunday qonuniyatlarni o'rganish va ehtimollik nazariyasini beradi. Shunday qilib, ehtimollik nazariyasi bilan shug'ullanadi matematik tahlil tasodifiy hodisalar va tegishli tasodifiy o'zgaruvchilar.

1. Tasodifiy o‘zgaruvchilar

Tasodifiy o'zgaruvchi tushunchasi ehtimollik nazariyasi va uning qo'llanilishida asosiy hisoblanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar, masalan, bitta otishda tushgan ochkolar soni zar, ma'lum vaqt oralig'idagi chirigan radiy atomlari soni, ma'lum vaqt oralig'ida telefon stantsiyasida qo'ng'iroqlar soni, to'g'ri tashkil etilgan texnologik jarayonga ega bo'lgan qismning ma'lum bir o'lchamining nominal qiymatidan chetga chiqishi va boshqalar. .

Shunday qilib, tasodifiy miqdor - bu tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi mumkin bo'lgan va qaysi biri oldindan ma'lum bo'lgan miqdordir.

Tasodifiy o'zgaruvchilarni ikki toifaga bo'lish mumkin.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi shunday o'zgaruvchiki, u tajriba natijasida qabul qilishi mumkin ma'lum qiymatlar ma'lum bir ehtimollik bilan hisoblanuvchi to'plamni (elementlari raqamlanishi mumkin bo'lgan to'plam) hosil qiladi.

Bu to'plam chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

Misol uchun, nishonga birinchi urishdan oldin o'qlar soni diskret tasodifiy o'zgaruvchidir, chunki bu qiymat cheksiz, garchi sanash mumkin bo'lsa-da, qiymatlar sonini olishi mumkin.

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchi shunday o'zgaruvchiki, u qandaydir chekli yoki cheksiz oraliqdan istalgan qiymatni qabul qilishi mumkin.

Shubhasiz, uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari soni cheksizdir.

Tasodifiy o'zgaruvchini o'rnatish uchun uning qiymatini ko'rsatishning o'zi etarli emas, siz ushbu qiymatning ehtimolini ham ko'rsatishingiz kerak.

2. Yagona taqsimlash

Ox o'qining segmenti qandaydir asbobning masshtabi bo'lsin. Faraz qilaylik, ko'rsatgich masshtabning ma'lum bir segmentiga urilish ehtimoli ushbu segment uzunligiga proportsional bo'lib, segmentning masshtabdagi joylashishiga bog'liq emas. Asbob ko'rsatgich belgisi tasodifiy qiymat

segmentdan har qanday qiymatni olishi mumkin. Shunung uchun (< ) - две любые отметки на шкале, то согласно условию имеем - коэффициент пропорциональности, не зависящий от и , а разность , - длина сегмента . Так как при =a и =b имеем , то , откуда .

Shunday qilib

(1)

Endi tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimotining F(x) funksiyasini topish oson

. Agar , dan kichik qiymatlarni qabul qilmaydi a. Keling. Ehtimollarni qo'shish aksiomasi bo'yicha. Formulaga (1) ko'ra, biz qabul qilamiz , biz bor , keyin biz uchun

Nihoyat, agar

, keyin , chunki qiymatlar segmentda yotadi va shuning uchun oshmaydi b. Shunday qilib, biz keldik keyingi funksiya tarqatish:

Funktsiya grafigi

shaklda ko'rsatilgan. bitta.

Biz ehtimollikning taqsimot zichligini formula bo'yicha topamiz. Agar

yoki, keyin. Agar , keyin

Shunday qilib,

(2)

Funktsiya grafigi

shaklda ko'rsatilgan. 2. E'tibor bering, nuqtalarda a Va b funksiya buziladi.

Tarqatish zichligi (2) formula bilan berilgan qiymat bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdor deb ataladi.

3. Binomiy taqsimot

Ehtimollar nazariyasida binom taqsimoti - "muvaffaqiyatlar" sonini ketma-ket taqsimlash. n mustaqil tasodifiy tajribalar shundayki, ularning har birida "muvaffaqiyat" ehtimoli p.

- Bernulli taqsimotiga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilarning chekli ketma-ketligi, ya'ni.

Keling, tasodifiy o'zgaruvchini tuzamiz Y.

Diskret tasodifiy miqdorlar uchun taqsimot qonunlari orasida eng keng tarqalgani binomial taqsimot qonunidir. Binomiy taqsimot quyidagi sharoitlarda sodir bo'ladi. Tasodifiy o'zgaruvchiga qandaydir hodisaning mustaqil sinovlarda sodir bo'lish soni bo'lsin, alohida sinovda ro'y berish ehtimoli. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchi diskret tasodifiy o'zgaruvchidir, uning mumkin bo'lgan qiymatlari . Tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olishi ehtimolligi Bernulli formulasi bilan hisoblanadi: .

Ta'rif 15. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni binomial taqsimot qonuni deb ataladi, agar tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarining ehtimolliklari Bernoulli formulasi yordamida hisoblansa. Tarqatish seriyasi quyidagicha ko'rinadi:

Tasodifiy o'zgaruvchining turli qiymatlari ehtimoli yig'indisi 1 ga teng ekanligiga ishonch hosil qilaylik. Haqiqatan ham,

Ushbu hisob-kitoblar natijasida Nyutonning binomial formulasi paydo bo'lganligi sababli, taqsimot qonuni binomial deb ataladi. Agar tasodifiy o'zgaruvchi binomial taqsimotga ega bo'lsa, unda uning raqamli xarakteristikalari quyidagi formulalar bilan topiladi:

(42) (43)

15-misol 50 ta qismdan iborat to'plam mavjud. Bir qism uchun nikoh ehtimoli. Tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum bir partiyadagi nuqsonli qismlar soni bo'lsin. Topmoq kutilgan qiymat, berilgan tasodifiy miqdorning dispersiyasi va standart og'ishi. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchi binomial taqsimotga ega, chunki uning qiymat olish ehtimoli Bernulli formulasi yordamida hisoblanadi. Keyin uning matematik kutilishi (41) formula bo'yicha topiladi, ya'ni; dispersiya (42) formula bilan topiladi: . Keyin standart og'ish ga teng bo'ladi. Savol. 200 ta lotereya chiptasi sotib olindi, bitta chipta yutib olish ehtimoli 0,01 ga teng. U holda yutadigan lotereya chiptalarining o'rtacha soni: a) 10 ta; b) 2; 20 da; d) 1.

Puasson taqsimot qonuni

Ko'pgina amaliy muammolarni hal qilishda Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadigan diskret tasodifiy o'zgaruvchilar bilan shug'ullanish kerak. Puasson taqsimotiga ega tasodifiy o'zgaruvchining tipik misollari: telefon stantsiyasida ma'lum vaqt davomida qo'ng'iroqlar soni; vaqt o'tishi bilan murakkab uskunalarning nosozliklari soni, agar nosozliklar bir-biridan mustaqil ekanligi ma'lum bo'lsa va o'rtacha vaqt birligida nosozliklar mavjud bo'lsa.Taqsimot seriyasi quyidagicha ko'rinadi:

Ya'ni, tasodifiy o'zgaruvchining qiymat olishi ehtimolligi Puasson formulasi bilan hisoblanadi: shuning uchun bu qonun Puasson taqsimot qonuni deb ataladi. Puasson qonuniga ko'ra taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi quyidagi sonli xususiyatlarga ega:

Puasson taqsimoti tasodifiy o'zgaruvchining o'rtacha qiymati bo'lgan bitta parametrga bog'liq. 14-rasmda ko'rsatilgan umumiy shakl Parametrning turli qiymatlari uchun Puasson taqsimotining ko'pburchagi.

Tasodifiy o'zgaruvchining aniq taqsimoti binomial taqsimot bo'lsa, sinovlar soni ko'p bo'lsa va alohida sinovda sodir bo'lish ehtimoli kichik bo'lsa, Puasson taqsimoti taxminiy sifatida ishlatilishi mumkin, shuning uchun Puasson taqsimot qonuni nodir hodisalar qonuni deb ataladi. Va shuningdek, agar matematik kutish dispersiyadan ozgina farq qilsa, ya'ni qachon . Shu munosabat bilan, Puasson taqsimoti juda ko'p turli xil ilovalarga ega. 16-misol Zavod bazaga 500 dona sifatli mahsulot jo‘natadi. Tranzit paytida mahsulotning shikastlanish ehtimoli 0,002 ga teng. Tashish vaqtida shikastlangan qismlar sonining matematik taxminini toping. Yechim. Tasodifiy o'zgaruvchining Puasson taqsimoti bor, shuning uchun. Savol. Xabarni uzatishda belgilarning buzilishi ehtimoli 0,004 ga teng. Buzilgan belgilarning o'rtacha soni 4 ta bo'lishi uchun 100 ta belgi uzatilishi kerak.

Ma'lumki, tasodifiy o'zgaruvchi holatga qarab ma'lum qiymatlarni qabul qila oladigan o'zgaruvchi deyiladi. Tasodifiy o'zgaruvchilar lotin alifbosining bosh harflari (X, Y, Z) va ularning qiymatlari - tegishli kichik harflar (x, y, z) bilan belgilanadi. Tasodifiy o'zgaruvchilar uzluksiz (diskret) va uzluksiz bo'linadi.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi ma'lum nolga teng bo'lmagan ehtimolliklarga ega faqat chekli yoki cheksiz (hisoblanadigan) qiymatlar to'plamini oladigan tasodifiy o'zgaruvchi deyiladi.

Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni tasodifiy o'zgaruvchining qiymatlarini mos keladigan ehtimolliklari bilan bog'laydigan funksiya. Tarqatish qonuni quyidagi usullardan birida aniqlanishi mumkin.

1 . Taqsimot qonuni quyidagi jadvalda keltirilishi mumkin:

bu yerda l>0, k = 0, 1, 2, … .

ichida) yordamida taqsimot funksiyasi F(x) , bu har bir x qiymati uchun X tasodifiy o'zgaruvchisi x dan kichik qiymatni olish ehtimolini aniqlaydi, ya'ni. F(x) = P(X< x).

F(x) funksiyaning xossalari

3 . Tarqatish qonuni grafik tarzda o'rnatilishi mumkin – taqsimot ko‘pburchagi (ko‘pburchak) (3-masalaga qarang).

E'tibor bering, ba'zi muammolarni hal qilish uchun taqsimlash qonunini bilish shart emas. Ba'zi hollarda, taqsimlash qonunining eng muhim xususiyatlarini aks ettiruvchi bir yoki bir nechta raqamlarni bilish kifoya. Bu tasodifiy miqdorning "o'rtacha qiymati" ma'nosiga ega bo'lgan raqam yoki tasodifiy miqdorning o'rtacha qiymatidan chetlanishining o'rtacha hajmini ko'rsatadigan raqam bo'lishi mumkin. Bunday turdagi raqamlar tasodifiy miqdorning raqamli xarakteristikalari deb ataladi.

Diskret tasodifiy miqdorning asosiy raqamli xarakteristikalari :

• Matematik kutish diskret tasodifiy miqdorning (o'rtacha qiymati). M(X)=S x i p i.
  Binom taqsimoti uchun M(X)=np, Puasson taqsimoti uchun M(X)=l
• Dispersiya diskret tasodifiy miqdor D(X)=M2 yoki D(X) = M(X 2) − 2. X–M(X) farqi tasodifiy miqdorning matematik kutilganidan chetlanishi deyiladi.
  Binomiy taqsimot uchun D(X)=npq, Puasson taqsimoti uchun D(X)=l
• Standart og'ish (standart og'ish) s(X)=√D(X).

“Diskret tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonuni” mavzusidagi masalalar yechishga misollar.

Vazifa 1.

1000 ta lotereya chiptasi chiqarildi: ulardan 5 tasi 500 rubl, 10 tasi 100 rubl, 20 tasi 50 rubl, 50 tasi esa 10 rubldan yutib oladi. X tasodifiy o'zgaruvchining ehtimollik taqsimoti qonunini aniqlang - chipta uchun yutuq.

Yechim. Muammoning shartiga ko'ra, X tasodifiy o'zgaruvchining quyidagi qiymatlari mumkin: 0, 10, 50, 100 va 500.

Yutuqsiz chiptalar soni 1000 - (5+10+20+50) = 915, keyin P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Xuddi shunday, boshqa barcha ehtimollarni topamiz: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X) =500) = 5/1000=0,005. Olingan qonunni jadval shaklida taqdim etamiz:

X ning matematik kutilmasini toping: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1) + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Vazifa 3.

Qurilma uchta mustaqil ishlaydigan elementdan iborat. Bitta tajribada har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli 0,1 ga teng. Bitta tajribada bajarilmagan elementlar sonining taqsimot qonunini tuzing, taqsimot poligonini tuzing. F(x) taqsimot funksiyasini toping va grafigini chizing. Diskret tasodifiy miqdorning matematik kutilishi, dispersiyasi va standart og‘ishini toping.

Yechim. 1. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi X=(bitta tajribada muvaffaqiyatsiz elementlar soni) quyidagi mumkin bo'lgan qiymatlarga ega: x 1 =0 (qurilmaning birorta elementi muvaffaqiyatsiz tugadi), x 2 =1 (bitta element muvaffaqiyatsiz), x 3 =2 ( ikkita element muvaffaqiyatsiz tugadi ) va x 4 \u003d 3 (uchta element muvaffaqiyatsiz).

Elementlarning nosozliklari bir-biridan mustaqil, har bir elementning ishdan chiqish ehtimoli bir-biriga teng, shuning uchun u amal qiladi. Bernulli formulasi . n=3, p=0,1, q=1-p=0,9 shartlarga ko‘ra, qiymatlarning ehtimolliklarini aniqlaymiz:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Tekshiring: ∑p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Shunday qilib, istalgan binomial taqsimot qonuni X quyidagi shaklga ega:

Abscissa o'qida biz mumkin bo'lgan qiymatlarni x i, ordinata o'qida esa mos keladigan r i ehtimolliklarini chizamiz. M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001) nuqtalarni tuzamiz. Ushbu nuqtalarni chiziq segmentlari bilan bog'lab, biz kerakli taqsimot poligonini olamiz.

3. F(x) = P(X) taqsimot funksiyasini toping

x ≤ 0 uchun biz F(x) = P(X) ga egamiz<0) = 0;
0 uchun< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
1 uchun< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
2 uchun< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
x > 3 uchun F(x) = 1 bo'ladi, chunki voqea aniq.

F(x) funksiya grafigi

4. X binomial taqsimot uchun:
- matematik kutish M(X) = np = 3*0,1 = 0,3;
- dispersiya D(X) = npq = 3*0,1*0,9 = 0,27;
- standart og'ish s(X) = √D(X) = √0,27 ≈ 0,52.

TASOSODIY QIYMATLAR

Keling, avvalo diskret tasodifiy o'zgaruvchilar uchun ba'zi taqsimot qonunlarini ko'rib chiqaylik.

4.1 Binom taqsimoti .

Tasodifiy o'zgaruvchi qandaydir hodisaning sodir bo'lish soni bo'lsin qatorida mustaqil sinovlar, ularning har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli
, lekin hodisaning sodir bo'lmasligi ehtimoli
Bunday qiymatning taqsimot qatori quyidagi shaklga ega:

qayerda
. Bunday tarqatish seriyasi deyiladi binom . Tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi
bu holda shunday ko'rinadi:

(1)

Bu ifodani hisoblash uchun, nisbatan farqlash quyidagi ifoda:
olamiz

Agar bu tenglamani ga ko'paytirsak , olamiz

(2)

Lekin
va (1) va (2) tengliklarning o'ng qismlari mos keladi, keyin

Xuddi shu iborani ikki marta farqlash, biz olamiz

Olingan tenglikni ga ko'paytirish , biz olamiz:

Shunday qilib,

Bu yerdan Toda

Shunday qilib, binomial taqsimot uchun:

Misol. Nishonga 20 ta mustaqil o‘q uzildi. Har bir zarbani urish ehtimoli
. Urishlar sonining matematik kutilishi, dispersiyasi va oʻrtacha kvadratik kutilmasini toping.

Tasodifiy qiymat
- binomial qonun bo'yicha taqsimlangan zarbalar soni

4.2 Puasson taqsimoti.

Ta'rif. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi
Unda bor

Puasson taqsimot qonuni , agar u tarqatish seriyasi bilan berilgan bo'lsa

bunda ehtimollar Puasson formulasi bilan aniqlanadi

(3)

qayerda ( - har birida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli doimiy qiymat bo'lgan bir qator sinovlarda hodisaning o'rtacha ro'y berishi soni;
).

Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz.

TEOREMA. Puasson qonuni bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi mos keladi va parametrga teng. bu qonun, ya'ni.

Etarlicha kattaligi uchun (odatda bilan
) va kichik qiymatlar
ish sharti bilan
- doimiy qiymat (
), Puasson taqsimot qonuni binomial qonunning yaxshi yaqinlashuvidir, ya'ni. Puasson taqsimoti binomial qonunning asimptotik kengaytmasidir. Ba'zan bu qonun deyiladi noyob hodisalar qonuni. Puasson qonuniga ko'ra, masalan, avtomatik liniyadagi nosozliklar soni, "normal rejimda" tizimning ishlamay qolishi soni, birja ishidagi nosozliklar soni va boshqalar taqsimlanadi.

4.3 Geometrik taqsimot.

Ta'rif. Diskret tasodifiy o'zgaruvchi
Unda bor geometrik taqsimot , agar
, ba'zi voqea uchun qaerda,

va uning tarqatish seriyasi:

Bu holda, ehtimollar cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya va uning yig'indisidir

TEOREMA. Parametr bilan geometrik taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchida , matematik kutish va dispersiya quyidagi formulalar bilan hisoblanadi:

Misol. Birinchi zarbaga qadar nishonga o'q uziladi. Har bir zarbani urish ehtimoli
.

Tasodifiy miqdorning taqsimot qatorini tuzing
- "xitlar soni". Uning matematik kutilishi va standart og'ishini toping.

Teorema bo'yicha

standart og'ish

Gipergeometrik taqsimot .

Partiyani tashqariga chiqaring
mahsulotlar mavjud
standart. Tasodifiy tanlangan mahsulotlar. Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin
- tanlanganlar orasida standart mahsulotlar soni. Shubhasiz, ushbu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari:

Mumkin bo'lgan qiymatlarning ehtimoli quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchi uchun matematik kutish formula bo'yicha hisoblanadi
va farq:

Misol. Bir urnada 5 ta oq va 3 ta qora shar bor. 3 ta to'p tasodifiy tanlanadi. Tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot seriyasini tuzing
- tanlanganlar orasida oq sharlar soni. Uning matematik kutilishi va dispersiyasini toping.

Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining mumkin bo'lgan qiymatlari: 0, 1, 2, 3. ularning ehtimolliklarini toping:

Biz tarqatish seriyasini olamiz:

Matematik kutishni to'g'ridan-to'g'ri taniqli formulalar yordamida hisoblash mumkin yoki siz teoremadagi formulalardan foydalanishingiz mumkin. Bizning misolimizda

. Keyin

Endi uzluksiz tasodifiy miqdorlarni taqsimlashning asosiy qonuniyatlarini ko‘rib chiqamiz.

4.5 Yagona taqsimlash.

Ta'rif. Uzluksiz tasodifiy miqdor intervalda bir xil taqsimotga ega
, agar u ushbu segmentda doimiy qiymatga ega bo'lsa va bu segmentdan tashqarida nolga teng bo'lsa, ya'ni. uning zichlik grafigi quyidagicha ko'rinadi:

Tarqatish zichligi grafigi ostidagi maydon bittaga teng bo'lishi kerakligi sababli
Keyin

Uning taqsimlash funktsiyasi quyidagi shaklga ega:

va uning jadvali

4.6 Eksponensial taqsimot .

Ehtimollar nazariyasining amaliy qo'llanilishida (masalan,

chora-tadbirlar, navbat, operatsiyalar tadqiqotlari, ishonchlilik nazariyasi, fizika, biologiya va boshqalar sohasida) ko'pincha eksponensial yoki eksponensial taqsimot deb ataladigan tasodifiy o'zgaruvchilar bilan shug'ullanish kerak.

Ta'rif. Uzluksiz tasodifiy son
ustiga taqsimlangan qonunni ko'rsatish , agar uning ehtimollik taqsimoti zichligi quyidagi shaklga ega bo'lsa:

Ushbu funktsiyaning grafigi:

0

Uning taqsimlash funktsiyasi:

jadvali bor

HAQIDA

Kutilayotgan qiymat:

Misol. Tasodifiy o'zgaruvchi bo'lsin
- ma'lum mexanizmning ishlash vaqti eksponensial taqsimotga ega. Mexanizmning o'rtacha ishlash vaqti 800 soat bo'lsa, uning kamida 1000 soat ishlashi ehtimolini aniqlang.

Muammoning sharti bo'yicha, mexanizmning ishlashini matematik kutish
, lekin
. Keyin

Binobarin,

Kerakli ehtimollik:

Izoh. Eksponensial taqsimotga ishora qiladi bitta parametrsiz tarqatish qonunlari (faqat bog'liq ).

4.7 Oddiy taqsimot.

Ta'rif.Oddiy quyidagi formula bilan aniqlangan ehtimollik taqsimot zichligiga ega bo'lgan uzluksiz tasodifiy miqdorning ehtimollik taqsimoti deyiladi:

(1)

Biz buni ko'ramiz normal taqsimot ikki parametr bilan aniqlanadi : Va . Oddiy taqsimotni belgilash uchun ushbu ikki parametrni ko'rsatish kifoya.

Oddiy taqsimot qonuni amaliy masalalarda juda keng qo'llaniladi. Bu tasodifiy o'zgaruvchida paydo bo'ladi
ko'p sonli turli omillar ta'sirining natijasidir. Har bir omil tasodifiy o'zgaruvchiga alohida ta'sir qiladi va ularning qaysi biri boshqalarga qaraganda ko'proq ta'sir qilishini aytish mumkin emas. Oddiy taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar: mashina tomonidan ishlab chiqarilgan qismlarning o'lchamlarini standart o'lchamlardan chetga chiqish; o'lchash xatolari; nishonga otish paytida og'ishlar va boshqalar.

Oddiy qonunni boshqa qonunlardan ajratib turadigan asosiy naqsh shundaki, u cheklovchi qonun bo'lib, unga boshqa qonunlar yaqinlashadi, ya'ni. etarlicha katta qiymatga ega mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi
, har qanday taqsimot qonunlariga rioya qilgan holda, o'zboshimchalik bilan normalga yaqin taqsimotga ega bo'ladi.

Oddiy taqsimlangan tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi shaklga ega

(2)

Uzluksiz tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutish ta'rifiga ko'ra,

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz

Yangi integratsiya chegaralari eskilariga teng ekanligini hisobga olib, biz olamiz

Birinchi had nolga teng, toq funksiyaning nosimmetrik oraliqdagi integral sifatida. Shartlarning ikkinchisi (Puasson integrali
).

Shunday qilib, normal taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi

Uzluksiz tasodifiy miqdorning dispersiyasining ta'rifi bo'yicha, shuni hisobga olgan holda
, olamiz

Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz

Oling
Qismlar bo'yicha integratsiya formulasini va oldingi hisob-kitoblarni qo'llash orqali biz qo'lga kiritamiz
Keyin
Shuning uchun normal taqsimotning ikkinchi parametri standart og'ish hisoblanadi.

Eslatma.normallashtirilgan parametrlari bilan normal taqsimot deyiladi
Normallashtirilgan taqsimotning zichligi funktsiya bilan aniqlanadi:

(3)

qiymatlarini to'g'ridan-to'g'ri topish mumkin yoki barcha kataloglarda mavjud bo'lgan tegishli jadvallardan foydalaning. Normallashtirilgan taqsimot funktsiyasi shaklga ega
. Keyin (2) formula bilan berilgan umumiy normal taqsimot funksiyasi formula bilan ifodalanadi
. Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchiga tegish ehtimoli
oraliqda
Laplas funksiyasi yordamida aniqlanadi
, qiymatlari jadvallarda ham berilgan. Haqiqatdan ham,

Sharti bilan; inobatga olgan holda
(tarqatish zichligi xususiyatiga ko'ra), funktsiyaning simmetriyasi tufayli
nuqtaga nisbatan
:

Keyin

Oddiy taqsimot zichligi grafigi deyiladi normal egri chiziq yoki Gauss egri chizig'i .

Funktsiyani ko'rib chiqaylik:

U butun son chizig'ida aniqlanadi va hamma uchun ijobiydir . Cheksiz o'sish bilan bu funktsiya nolga intiladi, ya'ni.
Bu funktsiyaning hosilasi
.

hosila nuqtada 0 ga teng
va bu nuqtada belgini "+" dan "-" ga o'zgartiradi, ya'ni.
- maksimal nuqta va shu nuqtada
. Funksiyaning ikkinchi hosilasini topib, funksiya grafigida nuqtalarda burilishlar borligini bilib olamiz.
. Sxematik ravishda, grafik quyidagicha ko'rinadi:

0

Oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchi uchun ma'lum bir intervalga tushish ehtimoli
quyidagicha hisoblanadi:

Keling, almashtiramiz
.

qayerda
.

Shunday qilib,

(4)

Misol. Vagonning massasi oddiy qonun bo'yicha taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchidir, matematik taxmin 65 tonna va standart og'ish.
m.Keyingi vagonning massasi 70 t dan oshmagan va 60 t dan kam bo‘lmagan bo‘lishi ehtimolini toping.

Ba'zan tasodifiy qiymat modulining o'rtacha qiymatdan ma'lum bir qiymatdan kamroq og'ish ehtimolini hisoblash talab qilinadi. , ya'ni.
. Ushbu ehtimollikni hisoblash uchun biz oldingi formuladan foydalanishimiz mumkin. Haqiqatdan ham:

funksiyaning g'alatiligini hisobga olgan holda
. Binobarin,

(5)

Misol. Matematik kutish bilan normal taqsimlangan tasodifiylik ehtimoli
dan kamroq o'rtacha qiymatdan chetga chiqadi
0,09 ga teng. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchining (30, 35) oralig'iga tushish ehtimoli qanday?

Shartiga ko'ra,
Keyin
Laplas funktsiyasi qiymatlari jadvaliga ko'ra biz quyidagilarni olamiz:
Keyin (4) formulaga muvofiq talab qilinadigan ehtimollik,

Uch sigma qoidasi.

Formulada (5) biz o'rnatamiz
, olamiz

Agar
va shuning uchun
, biz olamiz:

bular. tasodifiy miqdorning mutlaq qiymatidagi o'rtacha qiymatdan og'ish standart og'ishning uch barobaridan kam bo'lishi ehtimoli 0,9973, ya'ni. birlikka juda yaqin.

Uch sigma qoidasi oddiy taqsimlangan tasodifiy o'zgaruvchilar uchun uning o'rtachadan chetlanishining mutlaq qiymati o'rtacha kvadrat og'ishning uch barobaridan oshmaydi. Amalda bu qoida quyidagicha qo'llaniladi: Agar tasodifiy miqdorning taqsimlanishi noma'lum bo'lsa-da, lekin uning parametrlari uchun uch sigma qoidasi qanoatlansa, u normal qonun bo'yicha taqsimlangan deb taxmin qilish uchun asos bor.

Diskret tasodifiy miqdorlarni taqsimlashning eng keng tarqalgan qonunlarini ajratib ko'rsatishimiz mumkin:

• Binomiy taqsimot qonuni
• Puasson taqsimot qonuni
• Geometrik taqsimot qonuni
• Gipergeometrik taqsimot qonuni

Diskret tasodifiy o'zgaruvchilarning berilgan taqsimotlari uchun ularning qiymatlarining ehtimolliklarini hisoblash, shuningdek, raqamli xarakteristikalar (matematik kutish, dispersiya va boshqalar) ma'lum "formulalar" bo'yicha amalga oshiriladi. Shuning uchun bu turdagi taqsimotlarni va ularning asosiy xususiyatlarini bilish juda muhimdir.

1. Binomiy taqsimot qonuni.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ binomial ehtimollik taqsimotiga bo'ysunadi, agar u $0,\ 1,\ 2,\ \dots,\ n$ qiymatlarini $P\left(X=k\o'ng)= ehtimoli bilan qabul qilsa. C ^ k_n \ cdot p ^ k \ cdot (\ chap (1-p \ o'ng)) ^ (nk) $. Aslida, $X$ tasodifiy oʻzgaruvchisi $A$ hodisasining $n$ mustaqil sinovlarida sodir boʻlish sonidir. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi uchun ehtimollik taqsimoti qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & \nuqtalar & n \\
\hline
p_i & P_n\left(0\o'ng) & P_n\left(1\o'ng) & \nuqtalar & P_n\left(n\o'ng) \\
\hline
\end(massiv)$

Bunday tasodifiy o'zgaruvchi uchun kutish $M\left(X\right)=np$, dispersiya $D\left(X\right)=np\left(1-p\right)$.

Misol . Oilada ikki farzand bor. O'g'il va qizning tug'ilish ehtimoli $0,5$ ga teng deb faraz qilib, $\xi $ tasodifiy miqdorning taqsimlanish qonunini toping - oiladagi o'g'il bolalar soni.

$\xi $ tasodifiy o'zgaruvchisi oiladagi o'g'il bolalar soni bo'lsin. $\xi:\ 0,\ 1,\ 2$ olishi mumkin boʻlgan qiymatlar. Ushbu qiymatlarning ehtimolliklarini $P\left(\xi =k\right)=C^k_n\cdot p^k\cdot (\left(1-p\right))^(nk) formulasi orqali topish mumkin. )$, bu yerda $n =2$ - mustaqil sinovlar soni, $p=0,5$ - $n$ sinovlar seriyasida hodisaning yuzaga kelish ehtimoli. Biz olamiz:

$P\left(\xi =0\o'ng)=C^0_2\cdot (0,5)^0\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-0)=(0, 5)^2 =0,25;$

$P\left(\xi =1\o'ng)=C^1_2\cdot 0,5\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-1)=2\cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5;$

$P\left(\xi =2\o'ng)=C^2_2\cdot (0,5)^2\cdot (\left(1-0,5\o'ng))^(2-2)=(0, 5)^2=0,25.$

Keyin $\xi $ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qonuni $0,\ 1,\ 2$ qiymatlari va ularning ehtimolliklari o'rtasidagi muvofiqlikdir, ya'ni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
\xi & 0 & 1 & 2 \\
\hline
P(\xi) & 0,25 & 0,5 & 0,25 \\
\hline
\end(massiv)$

Taqsimot qonunidagi ehtimollar yig'indisi $1$ ga teng bo'lishi kerak, ya'ni $\sum _(i=1)^(n)P(\xi _((\rm i)))=0,25+0,5+0, 25 =$1.

Kutish $M\left(\xi \right)=np=2\cdot 0,5=1$, dispersiya $D\left(\xi \o'ng)=np\left(1-p\o'ng)=2\ cdot 0,5\ cdot 0,5=0,5$, standart og'ish $\sigma \left(\xi \o'ng)=\sqrt(D\left(\xi \o'ng))=\sqrt(0,5)\taxminan $0,707.

2. Puasson taqsimot qonuni.

Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ faqat manfiy bo'lmagan butun son qiymatlarini $0,\ 1,\ 2,\ \dots ,\ n$ olishi mumkin bo'lsa, ehtimollik $P\left(X=k\right)=((() \lambda )^k )\over (k}\cdot e^{-\lambda }$, то говорят, что она подчинена закону распределения Пуассона с параметром $\lambda $. Для такой случайной величины математическое ожидание и дисперсия равны между собой и равны параметру $\lambda $, то есть $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda $.!}

Izoh. Bu taqsimotning o‘ziga xosligi shundaki, eksperimental ma’lumotlar asosida $M\left(X\right),\ D\left(X\o‘ng)$ baholarni topamiz, agar olingan baholar bir-biriga yaqin bo‘lsa, u holda biz tasodifiy o'zgaruvchining Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunishini ta'kidlash uchun asos bor.

Misol . Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadigan tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar bo'lishi mumkin: ertaga yoqilg'i quyish shoxobchasi tomonidan xizmat ko'rsatadigan avtomobillar soni; ishlab chiqarilgan mahsulotdagi nuqsonli narsalar soni.

Misol . Zavod bazaga 500 dollarlik mahsulot yubordi. Tranzit paytida mahsulotning shikastlanish ehtimoli $0,002 ni tashkil qiladi. $X$ tasodifiy miqdorning zararlangan mahsulotlar soniga teng taqsimot qonunini toping; bu $ M \ chap (X \ o'ng), \ D \ chap (X \ o'ng) $ ga teng.

Diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ shikastlangan elementlar soni bo'lsin. Bunday tasodifiy miqdor $\lambda =np=500\cdot 0,002=1$ parametri bilan Puasson taqsimot qonuniga bo'ysunadi. Qiymatlarning ehtimolliklari $P\left(X=k\right)=(((\lambda )^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$. Очевидно, что все вероятности всех значений $X=0,\ 1,\ \dots ,\ 500$ перечислить невозможно, поэтому мы ограничимся лишь первыми несколькими значениями.!}

$P\left(X=0\o'ng)=((1^0)\ortiq (0}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=1\o'ng)=((1^1)\over (1}\cdot e^{-1}=0,368;$!}

$P\left(X=2\o'ng)=((1^2)\over (2}\cdot e^{-1}=0,184;$!}

$P\left(X=3\o'ng)=((1^3)\ortiq (3}\cdot e^{-1}=0,061;$!}

$P \ chap (X = 4 \ o'ng) = ((1 ^ 4) \ (4}\cdot e^{-1}=0,015;$!}

$P\left(X=5\o'ng)=((1^5)\ortiq (5}\cdot e^{-1}=0,003;$!}

$P\left(X=6\o'ng)=((1^6)\ortiq (6}\cdot e^{-1}=0,001;$!}

$P\left(X=k\right)=(((\lambda)^k)\over (k)}\cdot e^{-\lambda }$!}

$X$ tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & ... & k \\
\hline
P_i & 0,368; & 0,368 & 0,184 & 0,061 & 0,015 & 0,003 & 0,001 & ... & (((\lambda )^k)\ortiq (k)}\cdot e^{-\lambda } \\!}
\hline
\end(massiv)$

Bunday tasodifiy miqdor uchun matematik kutilma va dispersiya bir-biriga teng va $\lambda $ parametriga teng, ya'ni $M\left(X\right)=D\left(X\right)=\lambda =1. $.

3. Geometrik taqsimot qonuni.

Agar diskret tasodifiy o'zgaruvchi $X$ faqat $1,\ 2,\ \dots,\ n$ tabiiy qiymatlarni qabul qilishi mumkin bo'lsa, ehtimollik $P\left(X=k\right)=p(\left(1-p\) o'ng)) ^(k-1),\ k=1,\ 2,\ 3,\ \dots $ bo'lsa, bunday tasodifiy miqdor $X$ ehtimollar taqsimotining geometrik qonuniga bo'ysunadi, deymiz. Aslida, geometrik taqsimot Bernoullining birinchi muvaffaqiyati uchun sinovlari bo'lib ko'rinadi.

Misol . Geometrik taqsimotga ega bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchilarga misollar bo'lishi mumkin: nishonga birinchi zarba berishdan oldin o'qlar soni; birinchi nosozlikdan oldin qurilmaning sinovlari soni; birinchi bosh ko'tarilishidan oldin tangalar soni va boshqalar.

Geometrik taqsimotga bog'liq bo'lgan tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi mos ravishda $M\left(X\right)=1/p$, $D\left(X\o'ng)=\left(1-p\o'ng) /p^ 2$.

Misol . Baliqning tuxum qo'yadigan joyga borish yo'lida 4 dollarlik qulf bor. Har bir qulfdan baliqning o'tish ehtimoli $p=3/5$. $X$ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimlash qatorini tuzing - qulfdagi birinchi to'xtashgacha baliq tomonidan o'tgan qulflar soni. $M \ chap (X \ o'ng), \ D \ chap (X \ o'ng), \ \ sigma \ chap (X \ o'ng) $ ni toping.

$X$ tasodifiy o‘zgaruvchisi shlyuzdagi birinchi to‘xtashgacha baliq tomonidan o‘tgan shlyuzlar soni bo‘lsin. Bunday tasodifiy miqdor ehtimollik taqsimotining geometrik qonuniga bo'ysunadi. $X tasodifiy o'zgaruvchisi olishi mumkin bo'lgan qiymatlar: 1, 2, 3, 4. Ushbu qiymatlarning ehtimoli quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi: $P\left(X=k\right)=pq^( k-1)$, bunda: $ p=2/5$ - qulfdan baliq ovlash ehtimoli, $q=1-p=3/5$ - baliqning qulfdan o‘tish ehtimoli, $k=1, \ 2, \ 3, \ 4$.

$P\left(X=1\o'ng)=((2)\(5) ustida)\cdot (\left(((3)\(5))\o'ngda))^0=((2)\ ortiq(5))=0,4;$

$P\chap(X=2\o'ng)=((2)\(5))\cdot ((3)\(5) dan)=((6)\(25) dan)=0,24; $

$P\left(X=3\o'ng)=((2)\ustunda(5))\cdot(\left(((3)\over(5))\o'ng))^2=((2)\ (5))\cdot ((9)\(25) dan ortiq)=((18)\(125) dan ortiq)=0,144;$

$P\left(X=4\o'ng)=((2)\ustunda(5))\cdot(\left(((3)\over(5))\o'ng))^3+(\left(() (3)\(5))\o'ng))^4=((27)\(125))=0,216.$

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 1 & 2 & 3 & 4 \\
\hline
P\chap(X_i\o'ng) & 0,4 & 0,24 & 0,144 & 0,216 \\
\hline
\end(massiv)$

Kutilayotgan qiymat:

$M\left(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(x_ip_i)=1\cdot 0,4+2\cdot 0,24+3\cdot 0,144+4\cdot 0,216=2,176.$

Dispersiya:

$D\chap(X\o'ng)=\sum^n_(i=1)(p_i(\chap(x_i-M\chap(X\o'ng)\o'ng))^2=)0,4\cdot (\ chap(1-2,176\o'ng))^2+0,24\cdot (\chap(2-2,176\o'ng))^2+0,144\cdot (\left(3-2,176\o'ng))^2+$

$+\ 0,216\cdot (\chap(4-2,176\o'ng))^2\taxminan 1,377.$

Standart og'ish:

$\sigma \left(X\o'ng)=\sqrt(D\left(X\o'ng))=\sqrt(1377)\taxminan 1173.$

4. Gipergeometrik taqsimot qonuni.

Agar $N$ ob'ektlari mavjud bo'lsa, ular orasida $m$ ob'ektlari berilgan xususiyatga ega. Tasodifiy ravishda, almashtirilmasdan, $n$ ob'ektlari chiqariladi, ular orasida berilgan xususiyatga ega bo'lgan $k$ ob'ektlari mavjud. Gipergeometrik taqsimot namunadagi aniq $k$ ob'ektlarning berilgan xususiyatga ega bo'lish ehtimolini baholash imkonini beradi. $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi namunadagi berilgan xususiyatga ega bo'lgan ob'ektlar soni bo'lsin. Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchisi qiymatlarining ehtimolliklari:

$P\left(X=k\right)=((C^k_mC^(n-k)_(N-m))\over (C^n_N))$

Izoh. Excel $f_x$ funksiyalar ustasining HYPERGEOMET statistik funksiyasi ma'lum miqdordagi sinovlarning muvaffaqiyatli bo'lish ehtimolini aniqlash imkonini beradi.

$f_x\to $ statistik$\ dan $ gacha GIPERGEOMET$\ dan $ gacha OK. To'ldirishingiz kerak bo'lgan dialog oynasi paydo bo'ladi. Grafikda Namunadagi muvaffaqiyatlar_soni$k$ qiymatini belgilang. namuna_hajmi$n$ ga teng. Grafikda Aholi sonidagi muvaffaqiyatlar_soni$m$ qiymatini belgilang. Aholi soni$N$ ga teng.

Geometrik taqsimot qonuniga bo'ysunuvchi $X$ diskret tasodifiy o'zgaruvchining matematik kutilishi va dispersiyasi $M\left(X\right)=nm/N$, $D\left(X\o'ng)=((nm\chap) (1 -((m)\(N))\o'ng)\chap(1-((n)\(N))\o'ng))\(N-1))$.

Misol . Bankning kredit bo‘limida 5 nafar oliy moliyaviy ma’lumotli va 3 nafar oliy yuridik ma’lumotli mutaxassis ishlaydi. Bank rahbariyati 3 nafar mutaxassisni tasodifiy tanlab, malaka oshirishga yuborishga qaror qildi.

a) malaka oshirishga yo‘naltirilishi mumkin bo‘lgan oliy moliyaviy ma’lumotga ega mutaxassislar sonini taqsimlash qatorini tuzish;

b) Bu taqsimotning son xarakteristikalarini toping.

$X$ tasodifiy o'zgaruvchisi tanlangan uchtasi orasida oliy moliyaviy ma'lumotga ega bo'lgan mutaxassislar soni bo'lsin. $X:0,\ 1,\ 2,\ 3$ olishi mumkin boʻlgan qiymatlar. Ushbu tasodifiy o'zgaruvchi $X$ gipergeometrik taqsimot bo'yicha quyidagi parametrlar bilan taqsimlanadi: $N=8$ - aholi soni, $m=5$ - populyatsiyadagi muvaffaqiyatlar soni, $n=3$ - tanlanma hajmi, $ k=0,\ 1, \ 2,\ 3$ - namunadagi muvaffaqiyatlar soni. Keyin $P\left(X=k\right)$ ehtimolini quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin: $P(X=k)=(C_(m)^(k) \cdot C_(Nm)^(nk) \ ustidan C_( N)^(n) ) $. Bizda ... bor:

$P\left(X=0\o'ng)=((C^0_5\cdot C^3_3)\ortiq (C^3_8))=((1)\(56))\taxminan 0,018;$

$P\chap(X=1\oʻng)=((C^1_5\cdot C^2_3)\(C^3_8))=((15)\(56))\taxminan 0,268;$

$P\chap(X=2\oʻng)=((C^2_5\cdot C^1_3)\(C^3_8))=((15)\(28))\taxminan 0,536;$

$P\left(X=3\o'ng)=((C^3_5\cdot C^0_3)\ortiq (C^3_8))=((5)\(28))\taxminan 0,179.$

Keyin $X$ tasodifiy o'zgaruvchining taqsimot qatori:

$\begin(massiv)(|c|c|)
\hline
X_i & 0 & 1 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0,018 & 0,268 & 0,536 & 0,179 \\
\hline
\end(massiv)$

Gipergeometrik taqsimotning umumiy formulalari yordamida $X$ tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalarini hisoblaylik.

$M\chap(X\oʻng)=((nm)\(N))=((3\cdot 5)\(8))=((15)\(8)dan)=1,875.$

$D\chap(X\o'ng)=((nm\chap(1-((m)\(N))\o'ng)\chap(1-((n)\ustida(N))\o'ng)) \ustida (N-1))=((3\cdot 5\cdot \left(1-((5)\over (8))\o'ng)\cdot \chap(1-((3)\(8) ustida ))\o‘ng))\(8-1))=((225)\(448))\taxminan 0,502.$

$\sigma \left(X\o'ng)=\sqrt(D\chap(X\o'ng))=\sqrt(0,502)\taxminan 0,7085.$