Ekstremum mavjudligining etarli belgisi. Funktsiyaning ekstremallari

Ekstremumning birinchi etarli belgisi kritik nuqtadan o'tganda birinchi hosila belgisining o'zgarishi asosida tuzilgan. Ekstremumning ikkinchi belgisi quyida § 6.4 da muhokama qilinadi.

Teorema (ekstremumning birinchi belgisi) : AgarX 0 funksiyaning kritik nuqtasidiry=f(x) va nuqtaning ba'zi mahallalaridaX 0 , u orqali chapdan o'ngga o'tib, hosila o'zgarishlar teskari ishora, keyinX 0 ekstremum nuqta hisoblanadi. Bundan tashqari, lotin belgisi "+" dan "-" ga o'zgargan bo'lsa, undaX 0 maksimal nuqta, vaf(x 0 ) - funksiyaning maksimali va hosila belgisini "-" dan "+" ga o'zgartirsa, u holdaX 0 minimal nuqta, vaf(x 0 ) funktsiyaning minimumi.

Ko'rib chiqilgan ekstremum mahalliy(mahalliy) xarakterga ega va tanqidiy nuqtaning ba'zi kichik mahallalariga tegadi.

Ekstremum nuqtalar va uzilish nuqtalari funksiyani aniqlash sohasini monotonlik oraliqlariga ajratadi.

6.3-misol. Misol 6.1. muhim nuqtalarni topdik X 1 =0 Va X 2 =2.

Keling, ushbu nuqtalarda funktsiya bor yoki yo'qligini bilib olaylik y=2x 3 -6x 2 +1 ekstremumga ega. Uning hosilasida almashtiring
qiymatlar X nuqtadan chapga va o'ngga olinadi X 1 =0 juda yaqin mahallada, masalan, x=-1 Va x=1. olish. lotin belgisi "+" dan "-" ga o'zgarganligi sababli X 1 =0 funksiyaning maksimal nuqtasi va maksimal nuqtasidir
. Endi ikkita qiymatni olaylik x=1 va x=3 boshqa muhim nuqtaning mahallasidan X 2 =2 . Bu allaqachon ko'rsatilgan
, lekin
. lotin belgisi "-" dan "+" ga o'zgarganligi sababli X 2 =2 minimal nuqta hisoblanadi. Va funktsiyaning minimal qiymati
.

Segmentda uzluksiz funksiyaning eng katta va eng kichik qiymatini topish
uning qiymatini barcha muhim nuqtalarda va segmentning oxirida hisoblashingiz kerak, so'ngra ularning eng kattasi va eng kichigini tanlang..

6.3. Funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik belgilari. Burilish nuqtalari

Differensiallanuvchi funksiyaning grafigi deyiladiqavariqintervalda, agar u shu oraliqdagi o'zining tangenslaridan pastda joylashgan bo'lsa;konkav (pastga qavariq), agar u intervaldagi har qanday tangens ustida joylashgan bo'lsa.

6.3.1. Grafikning qavariq va botiqlikning zaruriy va yetarli belgilari

a) Kerakli xususiyatlar

Agar funksiyaning grafigiy=f(x) qavariq intervalda(a, b) , keyin ikkinchi hosila
bu oraliqda; agar grafikbotiq ustida(a, b) , keyin
ustida(a, b) .

P funksiyaning st grafigi y=f(x) qavariq (a, b) (6.3a-rasm). Agar tangens qavariq egri chiziq bo'ylab chapdan o'ngga siljisa, uning qiyaligi pasayadi (
), shu bilan birga, tangensning qiyaligi ham kamayadi, ya'ni birinchi hosila kamayadi.
ustida (a, b) . Ammo keyin kamayuvchi funktsiyaning hosilasi sifatida birinchi hosilaning hosilasi manfiy bo'lishi kerak, ya'ni
ustida (a, b) .

Agar funksiyaning grafigi botiq ustida (a, b) , keyin xuddi shunday bahslashsak, tangens egri chiziq bo'ylab sirg'alib ketganda (6.3b-rasm), tangensning qiyaligi ortib borishini ko'ramiz (
), nishab u bilan ortadi va shuning uchun hosila. Va keyin hosilaning ortib boruvchi funktsiya sifatida hosilasi musbat bo'lishi kerak, ya'ni
ustida (a, b) .

b ) Etarli xususiyatlar

Agar funktsiya uchuny=f(x) ba'zi bir intervalning barcha nuqtalarida bo'ladi
, keyin funksiya grafigibotiq bu oraliqda va agar
, keyinqavariq .

"Yomg'ir qoidasi" : Ikkinchi hosilaning qaysi belgisi qavariq bilan bog'lanishini va qaysi biri botiq yoyi bilan bog'lanishini eslab qolish uchun biz eslab qolishni tavsiya qilamiz: "plyus suv" konkav teshikda, "minus suv" - qavariq teshikda (6.4-rasm).

grafik nuqtasi uzluksiz funksiya, bunda qavariqlik botiqlikka yoki aksincha o'zgaradi, deyiladiburilish nuqtasi .

Teorema (burilish nuqtasi mavjudligi uchun etarli mezon).

Agar nuqtada funktsiyasi
ikki marta differentsiallanadi va bu nuqtada ikkinchi hosila nolga teng yoki mavjud emas va agar nuqtadan o'tganda ikkinchi hosila
belgisini, keyin nuqtani o'zgartiradi burilish nuqtasi mavjud. Burilish nuqtasi koordinatalari
.

Ikkinchi hosila yo'qolgan yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar ikkinchi turdagi kritik nuqtalar deb ataladi.

6.4-misol. Burilish nuqtalarini toping va egri chiziqning qavariqlik va botiqlik oraliqlarini aniqlang
(Gauss egri chizig'i).

R yechim. Birinchi va ikkinchi hosilalarni topamiz:
,. Ikkinchi hosila har qanday uchun mavjud . Uni nolga tenglashtiring va olingan tenglamani yeching
, qayerda
, keyin
, qayerda
,
ikkinchi turdagi muhim nuqtalardir. Kritik nuqtadan o'tganda ikkinchi hosilaning belgisi o'zgarishini tekshiramiz
. Agar
, misol uchun,
, keyin
, Agar
, misol uchun,
, keyin
, ya'ni ikkinchi hosila belgisini o'zgartiradi. Binobarin,
- burilish nuqtasining absissasi, uning koordinatalari
. Funktsiya juft bo'lgani uchun
, nuqta
, nuqtaga simmetrik
, shuningdek, burilish nuqtasi bo'ladi.

Chipta raqami 1

antiderivativ funktsiyaTeoremaIsbot noaniq integral

(X 0 ;Y 0) nuqta chaqiriladi maksimal nuqta minimal nuqta funksiyalar: (X 0 ;Y 0) nuqtaning d-qo‘shnisidan (X 0 ;Y 0) boshqa barcha (x;y) nuqtalar uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: f(x;y)>f(X) 0 ;Y 0) .

Isbot:

Chipta raqami 2

Isbotgeometrik ma'no

shaxsiy o'sish qisman hosila geometrik ma'no

Chipta raqami 3

19. z=f(x,y) funksiyaning maksimal va minimal nuqtalarini aniqlash.(X 0 ;Y 0) nuqta chaqiriladi maksimal nuqta z=f(x;y) funksiya, agar nuqtaning d-qo‘shnisi (X 0 ;Y 0) bo‘lsa, f(x;y) tengsizlik minimal nuqta funksiyalar: (X 0 ;Y 0) nuqtaning d-qo‘shnisidan (X 0 ;Y 0) boshqa barcha (x;y) nuqtalar uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: f(x;y)>f(X) 0 ;Y 0) . Statsionar nuqtada (X 0 ;Y 0) va uning baʼzi qoʻshnilarida f(x;y) funksiyaning ikkinchi tartibli inklyuzivgacha uzluksiz qisman hosilalari boʻlsin. (X 0 ;Y 0) nuqtada A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy () qiymatlarini hisoblang. X 0 ;Y 0). D=|AB ni belgilang; BC|=AC-B^2. Keyin: 1) agar D> bo'lsa<0; минимум, если A>0; 2) agar D<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Chipta raqami 4 aniq integral Xususiyatlari Isbot.eng katta qiymat y=f(x) funksiyalar segmentida , (a (x;y;z) koordinatali nuqtada Faraz qilaylik, u(x;y;z) funksiya uzluksiz va D sohasidagi argumentlariga nisbatan uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin: Du=(du/dx)Dx+(du) /Dy)Dy+(Du/dz)Dz+E 1 Dx+E 2 Dy+E 3 Dz, bunda E 1 , E 2 , E 3 Dl→0 sifatida nolga intiladi. Butun tenglikni Dl ga bo'laylik. Du/Dl=(Du/Dx)(Dx/Dl)+(Du/Dy)(Dy/Dl)+(Du/Dz)(Dz/Dl)+E 1 (Dx/Dl)+E 2 (Dy/ Dl)+E 3 (Dz/Dl). Dx/Dl=cosa; Dy/Dl=cosb; Dz/Dl=cosy. Tenglikni quyidagicha ifodalash mumkin: Du/Dl=(du/dx)cosa+(du/dy)cosb+(du/dz)cosg+E 1 cosa+E 2 cosb+E 3 cosy. Cheklovga o‘tsak, Du/Dl=LimDl→0(D l u/Dl)=(du/dx)*cosa+(du/dy)*cosb+(du/dz)*cosy ni olamiz.

Chipta raqami 5

1. Antiderivativ funktsiya. Ikki antiderivativning ayirmasi haqidagi teorema (isbot bilan). Noaniq integral: Aniqlash F(x) funksiya chaqiriladi antiderivativ funktsiya(a;b) oraliqda f(x) har qanday x∈(a;b) uchun F"(x)=f(x) tenglik bajarilsa. Teorema. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning (a;b) ga qarshi hosilasi bo‘lsa, f(x) uchun barcha anti hosilalar to‘plami F(x)+C formula bilan topiladi, bunda S= const. Isbot. F(x)+C funksiya f(x) ning anti hosilasidir. Darhaqiqat, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). F(x) F(x) dan farq qiladigan boshqa f(x) antiderivativ funksiya bo‘lsin, ya’ni. F"(x)=f(x). U holda har qanday x∈(a;b) uchun (F(x)-F(x))"=F"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. Va bu shuni anglatadiki, F(x)-F(x)=C, C=const. Shuning uchun F(x)=F(x)+C. f(x) uchun F(x)+C barcha antiderivativ funksiyalar to‘plami deyiladi. noaniq integral f(x) funksiyada va ∫f(x)dx belgisi bilan belgilanadi.

19. z=f(x,y) funksiyaning maksimal va minimal nuqtalarini aniqlash.(X 0 ;Y 0) nuqta chaqiriladi maksimal nuqta z=f(x;y) funksiya, agar nuqtaning d-qo‘shnisi (X 0 ;Y 0) bo‘lsa, f(x;y) tengsizlik minimal nuqta funksiyalar: (X 0 ;Y 0) nuqtaning d-qo‘shnisidan (X 0 ;Y 0) boshqa barcha (x;y) nuqtalar uchun quyidagi tengsizlik bajariladi: f(x;y)>f(X) 0 ;Y 0) . 20. z=f(x;y) funksiyaning ekstremum mavjudligining yetarli mezoni. (so'z). Statsionar nuqtada (X 0 ;Y 0) va uning baʼzi qoʻshnilarida f(x;y) funksiyaning ikkinchi tartibli inklyuzivgacha uzluksiz qisman hosilalari boʻlsin. (X 0 ;Y 0) nuqtada A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy () qiymatlarini hisoblang. X 0 ;Y 0). D=|AB ni belgilang; BC|=AC-B^2. U holda: 1) agar D>0 bo'lsa, (X 0 ;Y 0) nuqtadagi f(x;y) funksiya ekstremumga ega: maksimal, agar A bo'lsa.<0; минимум, если A>0; 2) agar D<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Chipta raqami 6

3. Aniq integralni segment ustida hisoblash. Nyuton-Leybnits formulasi (hosil qilish). Agar y=f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo‘lsa va F(x) uning (F"(x)=f(x)) ustidagi har qanday anti hosilalari bo‘lsa, u holda ∫(a dan b gacha) formula f( x )dx=F(b)-F(a). Bu formula Nyuton-Leybnits formulasidir. Aynilikni hisobga oling: F(b)-F(a)=F(xn)-F(x 0)=(F (xn) -F(xn -1))+(f(xn -1)-F(xn -2))+…(F(x 2)-F(x 1))+(F(x 1)- F(x 0)). Qavslardagi har bir farqni Lagranj formulasiga ko‘ra o‘zgartiramiz: f(b)-f(a)=f'(c)*(ba).F(b)-F(a) ni olamiz. =F'(cn)( xn -xn -1)+F'(cn -1)(xn -1 -xn -2)+F'(c 2)(x 2 -x 1)+F'(c 1) )(x 1 -x 0 )= SF'(Ci)DXi=Sf(Ci)DXi, ya'ni F(b)-F(a)= Sf(Ci)DXi, bu yerda Ci (X i) oraliqning qaysidir nuqtasidir. -1 ,X i).funksiya sifatida y=f(x) on ustida uzluksiz bo’lsa, u holda integrallash mumkin bo’ladi.Shuning uchun f(x) ning aniq integraliga teng integral yig’indining chegarasi mavjud. ga o’tish. limiti l=maxDXi→0 bo‘lsa, biz F(b)-F( a)=lim Sf(Ci)DXi, ya’ni ∫(a dan b gacha) f(x)dx=F(b)-F(a ni olamiz. ).

z=f(x;y) funksiya chaqiriladi farqlanishi mumkin

11. Differensiallanuvchi funksiyaning xossasi: z=f(x;y) funksiyaning differensialligi bilan z=f(x;y) funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi o‘rtasidagi bog‘liqlik (bayonot, isbot). Agar z=f(x;y) funksiya M(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa, u holda bu nuqtada uzluksiz bo’ladi, uning qisman hosilalari mavjud. Isbot. y=f(x) funksiya x 0 nuqtada differentsiallanuvchi bo‘lsin. Keling, ushbu nuqtadagi argumentga Dx ortishi beraylik. Funktsiya DU o'sishini oladi. limDx→0(Dy) ni topamiz. limDx→0(Dy)= limDx→0((Dy*Dx)/Dx))= limDx→0(Dy/Dx)* limDx→0(Dx)=f"(x0)*0=0. Shuning uchun y =f(x) x 0 da uzluksizdir.

Chipta raqami 7

Ekstremumning zaruriy belgisi.

Agar uzluksiz z=z(x,y) funksiya P0(x0,y0) nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, bu nuqtada uning barcha birinchi tartibli qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud emas.

Isbot: z=f(x,y) funksiyaning P0(x0,y0) nuqtadagi x ga nisbatan qisman hosilasi bitta o‘zgaruvchining ph(x)=f(x,y0) nuqtadagi funksiyasining hosilasidir. x-x0. Lekin bu nuqtada ph(x) funksiyasi aniq ekstremumga ega. Demak, ph'(x0)=0. )=0 . Teorema isbotlangan.

Chipta raqami 8

6. O'rtacha qiymat teoremasi (formalash, isbotlash, geometrik ma'no). Agar f(x) funksiya segmentda uzluksiz bo'lsa, u holda ∫(a dan b gacha) f(x)dx=f(c)*(b-a) bo'ladigan S∈ nuqtasi mavjud bo'ladi. Isbot. Nyuton-Leybnits formulasi bo'yicha bizda ∫(a dan b gacha) f(x)dx=F(x)|(a dan b)=F(b)-F(a), bu erda F"(x) =f( x).F(b)-F(a) farqiga Lagranj teoremasini (funksiyaning chekli oʻsish teoremasi) qoʻllasak, F(b)-F(a)=F”(c) ni olamiz. *(ba)=f(c) *(ba). geometrik ma'no. f(x)≥0 teoremasi oddiy geometrik ma'noga ega: aniq integralning qiymati ba'zi S∈ (a;b) uchun balandligi f(c) va asosi b-a bo'lgan to'rtburchakning maydonidir. f(c)=1/(b-a)∫(a dan b gacha) f(x)dx soni f(x) funksiyaning oraliqdagi o'rtacha qiymati deyiladi.

8. z=f(x;y) funksiyaning qisman o‘sishi. Qisman hosilalar: ta'rifi va ularning geometrik ma'nosi. z=f(x; y) funksiya berilsin. X va y mustaqil o'zgaruvchilar bo'lgani uchun ulardan biri o'zgarishi mumkin, ikkinchisi esa doimiy bo'lib qoladi. y o‘zgaruvchining qiymatini o‘zgarmagan holda x o‘zgaruvchisiga ∆x ortishini beramiz. Keyin z funksiyasi qo'shimchani oladi, biz uni chaqiramiz shaxsiy o'sish x da z va ∆ x z ni belgilang. Demak, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Xuddi shunday, y ga nisbatan z ning qisman o'sishini olamiz: ∆ yz=f(x;y+∆y)–f(x;y) chegara bo'lsa lim∆x→0(∆xz/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), keyin u deyiladi. qisman hosila x o'zgaruvchining M (x; y) nuqtasida z \u003d f (x; y) funktsiyalari va belgilardan biri bilan belgilanadi: z "x, dz / dx; f" x, df / dx. geometrik ma'no. z=f(x;y) funksiyaning grafigi qandaydir sirtdir. z \u003d f (x 0; y 0) funktsiyasining grafigi bu sirtning y \u003d y 0 tekisligi bilan kesishish chizig'idir. Asoslangan geometrik ma'no bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun hosila, biz f "x (x 0; y 0) \u003d tga degan xulosaga kelamiz, bu erda a - Ox o'qi va z \u003d f (x 0; y) egri chizig'iga chizilgan tangens orasidagi burchak. 0) nuqtada M 0 ( x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Xuddi shunday f" y (x 0 ;y 0)=tgb.

Chipta raqami 9

Isbot geometrik ma'no

Tangens tekisligi Sirt uchun normal

Chipta raqami 10

10. z=f(x;y) nuqtadagi differentsiallanuvchi funksiyaning ta’rifi. Jami differensial dz ta'rifi va uning shakli. z=f(x;y) funksiya chaqiriladi farqlanishi mumkin M(x;y) nuqtada, agar uning bu nuqtadagi umumiy o'sishini quyidagicha ifodalash mumkin bo'lsa: ∆z=A*∆x+B*∆y+a*∆x+b*∆y, bunda a=a( ∆ x;∆y)→0 va ∆x→0 va ∆y→0 uchun b=b(∆x;∆y)→0. z=f(x;y) funksiyaning ∆x va ∆y ga nisbatan chiziqli o‘sishning asosiy qismi deyiladi. to'liq differentsial bu funksiya va dz belgisi bilan belgilanadi: dz=A*∆x+B*∆y. dz=(dz/dx)dx+(dz/dy)dy.

Chipta raqami 11

4. Ta'rif aniq integral segment bo'ylab. Aniq integralning segment ustidagi asosiy xossalari (ulardan birining isboti bilan). aniq integral integral yig‘indisining chegarasi Sf(ci)Dx i, f(x) funksiyadan segment bo‘ylab deyiladi, agar bu chegara mavjud bo‘lsa va segmentning qismlarga bo‘linishiga yoki har birining ichidagi t nuqtalarni tanlashga bog‘liq bo‘lmasa. qismlarning, qisman segmentlarning eng kattasining uzunligi (∆xi) nolga moyil bo'lishi sharti bilan, ya'ni ∫(a dan b gacha) f(x)dx=lim Dx i →0 Sf(ci)Dx i . Xususiyatlari: 1) Agar c oʻzgarmas son boʻlsa va f(x) funksiya ga integrallash mumkin boʻlsa, u holda ∫(a dan b gacha) s*f(x)dx=s*∫(a dan b gacha) f(x)dx .2) Agar f 1 (x) bf 2 (x) funksiyalar ustida integrallash mumkin bo‘lsa, u holda ularning yig‘indisi integrallanadi va ∫(a dan b gacha) (f 1 (x)+f 2 (x))dx=∫( a dan b gacha) f 1 (x)dx+∫(a dan b gacha) f 2 (x)dx. 3)∫(a dan b gacha) f(x)dx= -∫(b dan a) f(x)dx. 4) f(x) funksiya on va a integrallansa

10. z=f(x;y) nuqtadagi differentsiallanuvchi funksiyaning ta’rifi. z=f(x;y) funksiya chaqiriladi farqlanishi mumkin M(x;y) nuqtada, agar uning bu nuqtadagi umumiy o'sishini quyidagicha ifodalash mumkin bo'lsa: ∆z=A*∆x+B*∆y+a*∆x+b*∆y, bunda a=a( ∆ x;∆y)→0 va ∆x→0 va ∆y→0 uchun b=b(∆x;∆y)→0.

12. Differensiallanuvchi funksiyaning xossasi: z=f(x,y) funksiyaning differentsiallanishi bilan nuqtada qisman hosilalarning mavjudligi (bayonot, isbot) o‘rtasidagi bog‘liqlik. Teorema: Agar funktsiya nuqtada differentsiallanadigan bo'lsa, u holda bu nuqtada son jihatdan A va B ga teng chekli qisman hosilalar mavjud Isbot: x 0 →Dx, y=y 0 =>D xz=(A*Dx+ beraylik. 0(│x│).r=√(Dx 2 +Dy 2)=│Dx│. D xz/Dx=A +0(│x│)/Dx.LimDx→0 (Dxz/Dx)=lim=A .dz/Dx(x 0 ;y 0)=A. Xuddi shunday: Y 0 →Dy, x=x 0 => Dy Z. dz/Dy(x 0 ;y 0)=B.

Chipta raqami 12

Isbot

8. z=f(x;y) funksiyaning qisman o‘sishi. Qisman hosilalar: ta'rifi va ularning geometrik ma'nosi. z=f(x; y) funksiya berilsin. X va y mustaqil o'zgaruvchilar bo'lgani uchun ulardan biri o'zgarishi mumkin, ikkinchisi esa doimiy bo'lib qoladi. y o‘zgaruvchining qiymatini o‘zgarmagan holda x o‘zgaruvchisiga ∆x ortishini beramiz. Keyin z funksiyasi qo'shimchani oladi, biz uni chaqiramiz shaxsiy o'sish x da z va ∆ x z ni belgilang. Demak, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Xuddi shunday, y ga nisbatan z ning qisman o'sishini olamiz: ∆ yz=f(x;y+∆y)–f(x;y) chegara bo'lsa lim∆x→0(∆xz/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), keyin u deyiladi. qisman hosila x o'zgaruvchining M (x; y) nuqtasida z \u003d f (x; y) funktsiyalari va belgilardan biri bilan belgilanadi: z "x, dz / dx; f" x, df / dx. geometrik ma'no. z=f(x;y) funksiyaning grafigi qandaydir sirtdir. z \u003d f (x 0; y 0) funktsiyasining grafigi bu sirtning y \u003d y 0 tekisligi bilan kesishish chizig'idir. Bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun hosilaning geometrik ma'nosiga asoslanib, biz f "x (x 0; y 0) \u003d tga degan xulosaga kelamiz, bu erda a - Ox o'qi va z \ egri chizig'iga chizilgan tangens orasidagi burchak. u003d f (x 0; y 0) M 0 nuqtada (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Xuddi shunday f" y (x 0 ;y 0)=tgb.

Chipta raqami 13

2. Segment ustidagi aniq integral tushunchasiga olib keladigan egri chiziqli trapesiya maydoni muammosi. Segment ustidagi aniq integralning ta'rifi. Segmentda y=f(x)≥0 funksiya berilsin. Yuqoridan y=f(x) funksiya grafigi bilan, pastdan Ox o'qi bilan, yon tomondan x=a va x=b to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan figuraga egri chiziqli trapetsiya deyiladi. Ushbu trapetsiyaning maydonini toping. f(c 1)Dx 1 +f(c 2)Dx 2 +..+f(c n)Dx n =Sf(c i)Dx i =Sn. Dx i ning barcha qiymatlari kamayishi bilan egri chiziqli trapezoidni bosqichli figuraga yaqinlashishning aniqligi va natijada olingan formulaning aniqligi ortadi. Shuning uchun egri chiziqli trapetsiyaning S maydonining aniq qiymati S chegarasi sifatida qabul qilinadi, n cheksiz ko'payganda Sn qadamli figurasining maydoni unga intiladi, shunda l=maxDx i →0: S=lim n→ ∞ Sn=lim n→∞(l→0 ) Sf(ci)Dx i , ya’ni S=∫(a dan b gacha) f(x)dx. Demak, noaniq funksiyaning aniq integrali son jihatdan egri chiziqli trapetsiyaning maydoniga teng.Agar bu holda Sn integral yig‘indisi I chegarasiga ega bo‘lsa, bu segmentning songa bo‘linish usuliga bog‘liq emas. segmentlar, na ulardagi nuqtalarni tanlash bo'yicha, keyin I soni segmentdagi y=f(x) funksiyaning aniq integrali deb ataladi va ∫(a dan b gacha) f(x)dx bilan belgilanadi. Shunday qilib, ∫(a dan b gacha) f(x)dx=lim n→∞(l→0) Sf(c i)Dx i .

17. Tangens tekislik va sirtga normal (ta'rif).Tangens tekisligi M nuqtadagi sirtga, sirtning shu nuqtasidan o'tuvchi tekislik deyiladi, agar bu tekislik bilan M nuqtadan o'tuvchi sekant orasidagi burchak va sirtning boshqa har qanday M 1 nuqtasi M ga moyil bo'lganidek, nolga moyil bo'lsa. 1. Sirt uchun normal M nuqtada bu nuqtadan tangens tekislikka perpendikulyar o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi.

Chipta raqami 14

5. Aniq integralni segment ustidan baholash teoremasi (tuzatish, isbotlash, geometrik ma'no). Integral baholash. Agar m va M mos ravishda y=f(x) funksiyaning segmentdagi eng kichik va eng katta qiymatlari bo‘lsa, (a) Isbot. Har qanday x∈ uchun bizda m≤f(x)≤M bo‘lgani uchun ∫(a dan b gacha) mdx≤ ∫(a dan b gacha) f(x)dx≤∫(a dan b gacha) Mdx bo‘ladi. Biz olamiz: m(b-a)≤∫(a dan b gacha) f(x)dx≤M(b-a). geometrik ma'no. Egri chiziqli trapezoidning maydoni asosi m va balandligi m va M bo'lgan to'rtburchaklar maydonlari orasida joylashgan.

8. z=f(x;y) funksiyaning qisman o‘sishi. Qisman hosilalar: ta'rifi va ularning geometrik ma'nosi. z=f(x; y) funksiya berilsin. X va y mustaqil o'zgaruvchilar bo'lgani uchun ulardan biri o'zgarishi mumkin, ikkinchisi esa doimiy bo'lib qoladi. y o‘zgaruvchining qiymatini o‘zgarmagan holda x o‘zgaruvchisiga ∆x ortishini beramiz. Keyin z funksiyasi qo'shimchani oladi, biz uni chaqiramiz shaxsiy o'sish x da z va ∆ x z ni belgilang. Demak, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Xuddi shunday, y ga nisbatan z ning qisman o'sishini olamiz: ∆ yz=f(x;y+∆y)–f(x;y) chegara bo'lsa lim∆x→0(∆xz/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), keyin u deyiladi. qisman hosila x o'zgaruvchining M (x; y) nuqtasida z \u003d f (x; y) funktsiyalari va belgilardan biri bilan belgilanadi: z "x, dz / dx; f" x, df / dx. geometrik ma'no. z=f(x;y) funksiyaning grafigi qandaydir sirtdir. z \u003d f (x 0; y 0) funktsiyasining grafigi bu sirtning y \u003d y 0 tekisligi bilan kesishish chizig'idir. Bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun hosilaning geometrik ma'nosiga asoslanib, biz f "x (x 0; y 0) \u003d tga degan xulosaga kelamiz, bu erda a - Ox o'qi va z \ egri chizig'iga chizilgan tangens orasidagi burchak. u003d f (x 0; y 0) M 0 nuqtada (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Xuddi shunday f" y (x 0 ;y 0)=tgb.

Chipta raqami 15

8. z=f(x;y) funksiyaning qisman o‘sishi. Qisman hosilalar: ta'rifi va ularning geometrik ma'nosi. z=f(x; y) funksiya berilsin. X va y mustaqil o'zgaruvchilar bo'lgani uchun ulardan biri o'zgarishi mumkin, ikkinchisi esa doimiy bo'lib qoladi. y o‘zgaruvchining qiymatini o‘zgarmagan holda x o‘zgaruvchisiga ∆x ortishini beramiz. Keyin z funksiyasi qo'shimchani oladi, biz uni chaqiramiz shaxsiy o'sish x da z va ∆ x z ni belgilang. Demak, ∆ x z=f(x+∆x; y)–f(x; y). Xuddi shunday, y ga nisbatan z ning qisman o'sishini olamiz: ∆ yz=f(x;y+∆y)–f(x;y) chegara bo'lsa lim∆x→0(∆xz/∆x) =lim∆x→0( (f(x+∆x;y)-f(x;y))/∆x), keyin u deyiladi. qisman hosila x o'zgaruvchining M (x; y) nuqtasida z \u003d f (x; y) funktsiyalari va belgilardan biri bilan belgilanadi: z "x, dz / dx; f" x, df / dx. geometrik ma'no. z=f(x;y) funksiyaning grafigi qandaydir sirtdir. z \u003d f (x 0; y 0) funktsiyasining grafigi bu sirtning y \u003d y 0 tekisligi bilan kesishish chizig'idir. Bitta o'zgaruvchining funktsiyasi uchun hosilaning geometrik ma'nosiga asoslanib, biz f "x (x 0; y 0) \u003d tga degan xulosaga kelamiz, bu erda a - Ox o'qi va z \ egri chizig'iga chizilgan tangens orasidagi burchak. u003d f (x 0; y 0) M 0 nuqtada (x 0 ;y 0 ;f(x 0 ;y 0)). Xuddi shunday f" y (x 0 ;y 0)=tgb.

Chipta raqami 16

21. u=u(x;y;z) funksiyaning l yo‘nalishdagi hosilasi (ta’rif). LimDl→0(Du/Dl) chegarasi deyiladi u(x;y;z) funksiyaning l vektor yo‘nalishi bo‘yicha hosilasi koordinatalari (x;y;z) bo'lgan nuqtada.

22. U=u(x;y;z) funksiyaning nuqtadagi gradienti (ta’rif). Koordinatali (dyu/dx; dyu/dy; dyu/dz) vektor deyiladi.

Chipta raqami 17

7. O‘zgaruvchan yuqori chegarali integral. O‘zgaruvchan yuqori chegarali integral hosilasi haqidagi teorema (bayonot, isbot). Aniq integralning o‘zgaruvchining yuqori chegarasiga nisbatan hosilasi integrasiya o‘zgaruvchisi shu chegara bilan almashtirilgan integralga teng, ya’ni (∫(a dan x gacha) f(t)dt)” x = f(x) ). Isbot. Nyuton-Leybnits formulasiga ko‘ra, bizda: ∫(a dan x gacha) f(t)dt=F(t)|(a dan x gacha)=F(x)-F(a). Shuning uchun (∫(a dan x gacha) f(t)dt)" x =(F(x)-F(a))" x =F"(x)-0=f(x). Bu shuni anglatadiki, a oʻzgaruvchan yuqori chegarasi boʻlgan aniq integral integrandning antiderivativlaridan biridir.

to'liq o'sish davomiy davomiy

Chipta raqami 18

1. Antiderivativ funktsiya. Ikki antiderivativning ayirmasi haqidagi teorema (isbot bilan). Noaniq integral: ta'rifi, noaniq integralning eng oddiy xossalari (ulardan birining isboti bilan). F(x) funksiya chaqiriladi antiderivativ funktsiya(a;b) oraliqda f(x) har qanday x∈(a;b) uchun F"(x)=f(x) tenglik bajarilsa. Teorema. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning (a;b) ga qarshi hosilasi bo‘lsa, f(x) uchun barcha anti hosilalar to‘plami F(x)+C formula bilan topiladi, bunda S= const. Isbot. F(x)+C funksiya f(x) ning anti hosilasidir. Darhaqiqat, (F(x)+C)"=F"(x)=f(x). F(x) F(x) dan farq qiladigan boshqa f(x) antiderivativ funksiya bo‘lsin, ya’ni. F"(x)=f(x). U holda har qanday x∈(a;b) uchun (F(x)-F(x))"=F"(x)-F"(x)=f( x )-f(x)=0. Va bu shuni anglatadiki, F(x)-F(x)=C, C=const. Shuning uchun F(x)=F(x)+C. f(x) uchun F(x)+C barcha antiderivativ funksiyalar to‘plami deyiladi. noaniq integral f(x) funksiyada va ∫f(x)dx belgisi bilan belgilanadi. Xususiyatlari: 1) Noaniq integralning differensiali integradaga, noaniq integralning hosilasi esa d(∫f(x)dx)=f(x)dx, (∫f(x)dx integraliga teng. )"=f(x).d (∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+dC=F"(x)dx=f(x)dx. va (∫f(x)dx)"=(F(x)+C)"=F"(x)+0=f(x).2) Ayrim funksiya differensialining noaniq integrali yig'indiga teng. bu funksiya va ixtiyoriy doimiy: ∫dF(x)=F(x)+C.∫dF(x)=F"(x)dx=∫f(x)dx=F(x)+C.3) O'zgarmas omilni integral belgisidan chiqarish mumkin: ∫af(x)dx=a∫f(x)dx.4) Chekli sonli uzluksiz funksiyalar algebraik yig'indisining noaniq integrali ning algebraik yig'indisiga teng. funksiyalar hadlarining integrallari: ∫(f(x)±g(x))dx=∫f (x)dx±∫g(x)dx.5) (Integrasiya formulasining invariantligi). Agar ∫f(x)dx=F(x)+C boʻlsa, ∫f(u)du=F(u)+C boʻladi, bunda u=ph(x) uzluksiz hosilali ixtiyoriy funktsiyadir.

22. U=u(x;y;z) funksiyaning nuqtadagi gradienti (ta’rifi, xossalari). Funksiyaning yo‘nalish hosilasi va gradienti o‘rtasidagi bog‘liqlik (asoslash). Koordinatali (dyu/dx; dyu/dy; dyu/dz) vektor deyiladi. funktsiya gradienti u=f(x;y;z) va gradU=(dyu/dx; dyu/dy; dyu/dz) deb belgilanadi. gradU=(dyu/dx)*i+(du/dy)*j+(dyu/dz)*k. Xususiyatlari: 1)gradC=0; 2)grad(c*u)=c*gradU; 3)grad(u+v)=gradU+gradV; 4)grad(u*v)=u*gradV+v*gradU, bu yerda u*v u va v vektorlarning skalyar ko‘paytmalari. Ulanish. u=u(x;y;z) funksiya va graduentlar maydoni gradU=(du/dx)*i+(du/dy)*j+(du/dz)*k berilsin. U holda qandaydir l vektor yo‘nalishidagi Du/Dl hosilasi GradU vektorining l vektorga proyeksiyasiga teng bo‘ladi.

Chipta raqami 19

4. Kesim ustidagi aniq integralning ta’rifi. Aniq integralning segment ustidagi asosiy xossalari (ulardan birining isboti bilan). aniq integral integral yig‘indisining chegarasi Sf(ci)Dx i, f(x) funksiyadan segment bo‘ylab deyiladi, agar bu chegara mavjud bo‘lsa va segmentning qismlarga bo‘linishiga yoki har birining ichidagi t nuqtalarni tanlashga bog‘liq bo‘lmasa. qismlarning, qisman segmentlarning eng kattasining uzunligi (∆xi) nolga moyil bo'lishi sharti bilan, ya'ni ∫(a dan b gacha) f(x)dx=lim Dx i →0 Sf(ci)Dx i . Xususiyatlari: 1) Agar c oʻzgarmas son boʻlsa va f(x) funksiya ga integrallash mumkin boʻlsa, u holda ∫(a dan b gacha) c*f(x)dx=c*∫(a dan b gacha) f(x)dx . Isbot. s*f(x) funksiyasi uchun integral yig‘indi hosil qilamiz. Bizda S*f(c i)Dx i =s*Sf(c i)Dx i mavjud. U holda lim n→∞ Ss*f(c i)Dx i =c*lim n→∞ f(c i)=s*∫(a dan b gacha) f(x)dx. Bu shuni anglatadiki, c*f(x) funksiyasi integrallanishi mumkin va formula ∫(a dan b gacha) c*f(x)dx= c*∫(a dan b gacha) f(x)dx.2) f 1 (x) bf 2 (x) da integrallanadi, keyin ularning yig’indisi (x)dx+∫(a dan b gacha) f 2 (x)dx da integrallanadi. 3)∫(a dan b gacha) f(x)dx= -∫(b dan a) f(x)dx. 4) f(x) funksiya on va a integrallansa

17. Tangens tekislik va sirtga normal (ta'rif). Tangens tekislikning mavjudligi teoremasi (bayonot, isbot). Tangens tekisligi M nuqtadagi sirtga, sirtning shu nuqtasidan o'tuvchi tekislik deyiladi, agar bu tekislik bilan M nuqtadan o'tuvchi sekant orasidagi burchak va sirtning boshqa har qanday M 1 nuqtasi M ga moyil bo'lganidek, nolga moyil bo'lsa. 1. Sirt uchun normal M nuqtada bu nuqtadan tangens tekislikka perpendikulyar o'tuvchi to'g'ri chiziq deyiladi. Teorema. Agar dF/dx; DF/dy; dF/dz Mo nuqtaga yaqin joyda aniqlanadi va M 0 nuqtaning o'zida uzluksiz bo'lib, bir vaqtning o'zida yo'qolmaydi, u holda sirtdagi chiziqlarga teguvchi barcha chiziqlar bir tekislikda yotadi. Isbot. L: sistema(x=x(t); y=y(t); z=z(t)). Tangent chiziq (M 0 ;P) y=(x"(t 0); y"(to); z"(t 0)). L∈Q (sirt). F(x(t), y(t) , z(t))=0 t o‘zgaruvchining kompleks funksiyasi.Kompleks funksiyaning differentsiallanish qoidasidan foydalanamiz: (dF/dx)*(dx/dt)+(dF/dy)*(dy/dt) +(dF/dz)*( dz/dt)=0;(dF(M 0)/dx)*x"(t 0)+(dF(M 0)/dy)*y"(t 0)+( DF(M 0)/dz) *z"(t0)=0; g=(x"(t 0),y"(t 0),z"(t 0)); n=(DF(M 0)/dx; dF(M 0)/dy; dF(M 0) ni belgilang /dz);n⊥g.Sudda yotgan cheksiz chiziqlar to‘plamini berilgan nuqta orqali o‘tkazish mumkin bo‘lgani uchun va ularga cheksiz tangens chiziqlar to‘plamini o‘tkazish mumkin bo‘lganligi sababli, barcha tangens chiziqlar bir tekislikda yotadi.

Chipta raqami 20

9. z=f(x;y) funksiyaning to‘liq o‘sishi. z=f(x;y) funksiyaning nuqtadagi uzluksizligi (ikki ta’rif). z=f(x;y) funksiya berilsin. X mustaqil o‘zgaruvchiga ∆x o‘sish, y o‘zgaruvchisiga ∆y o‘sish ko‘rsatkichini beramiz. Keyin to'liq o'sish Funktsiyaning ∆z tengligi bilan aniqlanadi: ∆z=f(x+∆x;y+∆y)-f(x;y). 1) z \u003d f (x; y) funktsiyasi chaqiriladi davomiy M 0 (x 0; y 0)∈ D(z) nuqtada, agar uning bu nuqtadagi chegarasi ushbu nuqtadagi funktsiya qiymatiga to'g'ri kelsa, ya'ni. limX→X 0 \Y→Y 0 (f(x;y))= f(x 0 ;y 0). 2) z \u003d f (x; y) funktsiyasi davomiy to'plamda, agar u ushbu to'plamning har bir nuqtasida uzluksiz bo'lsa

Chipta raqami 21

21. u=u(x;y;z) funksiyaning l yo‘nalishdagi hosilasi (ta’rifi, hisoblash formulasi, hisoblash formulasining hosilasi). LimDl→0(Du/Dl) chegarasi deyiladi u(x;y;z) funksiyaning l vektor yo‘nalishi bo‘yicha hosilasi(x;y;z) koordinatali nuqtada).Du/Dl=LimDl→0(Dlu/Dl)=(du/dx)*cosa+(du/dy)*cosb+(du/dz)*cosy. Faraz qilaylik, u(x;y;z) funksiya uzluksiz va D sohasidagi argumentlariga nisbatan uzluksiz hosilalarga ega bo‘lsin: Du=(Du/Dx)Dx+(Du/Dy)Dy+(Du/dz)Dz+E. 1 Dx+E 2 Dy+E 3 Dz, bu yerda E 1 , E 2 , E 3 Dl→0 sifatida nolga intiladi. Butun tenglikni Dl ga bo'laylik. Du/Dl=(Du/Dx)(Dx/Dl)+(Du/Dy)(Dy/Dl)+(Du/Dz)(Dz/Dl)+E 1 (Dx/Dl)+E 2 (Dy/ Dl)+E 3 (Dz/Dl). Dx/Dl=cosa; Dy/Dl=cosb; Dz/Dl=cosy. Tenglikni quyidagicha ifodalash mumkin: Du/Dl=(du/dx)cosa+(du/dy)cosb+(du/dz)cosg+E 1 cosa+E 2 cosb+E 3 cosy. Cheklovga o‘tsak, Du/Dl=LimDl→0(D l u/Dl)=(du/dx)*cosa+(du/dy)*cosb+(du/dz)*cosy ni olamiz.

Chipta raqami 22

20. z=f(x;y) funksiyaning ekstremum mavjudligining yetarli mezoni. (so'z). Statsionar nuqtada (X 0 ;Y 0) va uning baʼzi qoʻshnilarida f(x;y) funksiyaning ikkinchi tartibli inklyuzivgacha uzluksiz qisman hosilalari boʻlsin. (X 0 ;Y 0) nuqtada A=f"" xx (X 0 ;Y 0), B=f"" xy (X 0 ;Y 0), C=f"" yy () qiymatlarini hisoblang. X 0 ;Y 0). D=|AB ni belgilang; BC|=AC-B^2. U holda: 1) agar D>0 bo'lsa, (X 0 ;Y 0) nuqtadagi f(x;y) funksiya ekstremumga ega: maksimal, agar A bo'lsa.<0; минимум, если A>0; 2) agar D<0, то функция f(x;y) в точке (X 0 ;Y 0) экстремума не имеет. В случае Δ=0 экстремум в точке (X 0 ;Y 0) может быть, а может не быть. Необходимы дополнительные исследования.

Chipta raqami 23

17. Sirtga teguvchi tekislik (ta'rif).Tangens tekisligi M nuqtadagi sirtga, sirtning shu nuqtasidan o'tuvchi tekislik deyiladi, agar bu tekislik bilan M nuqtadan o'tuvchi sekant orasidagi burchak va sirtning boshqa har qanday M 1 nuqtasi M ga moyil bo'lganidek, nolga moyil bo'lsa. 1.

18. Aniq berilgan sirtga teginish tekisligi tenglamalariShubhasiz. z=f(x;y) Mo(Xo;Yo;Zo) nuqtada. K: (dz/dx)|M 0 (X-X 0)+(dz/dy)|M 0 (Y-Y 0)-(Z-Z 0)=0

Chipta raqami 24

12. Differensiallanuvchi funksiyaning xossasi: z=f(x,y) funksiyaning differentsiallanishi bilan nuqtada qisman hosilalarning mavjudligi (bayonot, isbot) o‘rtasidagi bog‘liqlik. Teorema: Agar funktsiya nuqtada differensiallanadigan bo'lsa, u holda bu nuqtada son jihatdan A va B ga teng chekli qisman hosilalar mavjud Isbot: x 0 →Dx, y=y 0 =>D xz=(A*Dx+ beraylik. 0(│x│).r=√(Dx 2 +Dy 2)=│Dx│. D xz/Dx=A +0(│x│)/Dx.LimDx→0 (Dxz/Dx)=lim=A .dz/Dx(x 0 ;y 0)=A. Xuddi shunday: Y 0 →Dy, x=x 0 => Dy Z. dz/Dy(x 0 ;y 0)=B

Funktsiyaning mahalliy ortishi va kamayishi belgilari.

Funktsiyani o'rganishning asosiy vazifalaridan biri uning ortishi va kamayish oraliqlarini topishdir. Bunday tadqiqotni lotin yordamida amalga oshirish oson. Keling, tegishli tasdiqlarni shakllantiramiz.

Funktsiyani oshirish uchun etarli mezon. Agar I oraliqning har bir nuqtasida f'(x) > 0 bo'lsa, f funktsiya I ga ortadi.

Funktsiyaning kamayishi uchun etarli mezon. Agar f'(x)< 0 в каждой точке интервала I, то функция f убывает на I.

Ushbu xususiyatlarning isboti Lagrange formulasi asosida amalga oshiriladi (19-sek.ga qarang). Har qanday ikkita x sonini oling 1 va x2 oraliqdan. X bo'lsin 1 s∈(x.) raqami mavjud 1 , x 2 ), shunday qilib

(1)

c soni I intervalga tegishli, chunki x nuqtalari 1 va x2 I ga tegishli. Agar x∈I uchun f"(x)>0 bo'lsa, f'(s)>0, demak F(x) 1 )) - bu (1) formuladan kelib chiqadi, chunki x 2-x1 >0. Bu f funksiyaning I ga ortib borishini isbotlaydi. Agar f’ (x) bo‘lsa.<0 для х∈I то f"(с)<0, и потому f(x 1 )>f (x 2 ) formuladan (1) kelib chiqadi, chunki x 2-x1 >0. f funksiyaning I da kamayishini isbotlaymiz.

Belgilarning vizual ma'nosi jismoniy fikrlashdan aniq (aniqlik uchun o'sish belgisini ko'rib chiqing).

t vaqtda y o‘qi bo‘ylab harakatlanuvchi nuqta y = f(t) ordinatasiga ega bo‘lsin. Keyin bu nuqtaning t vaqtidagi tezligi f "(t) ga teng bo'ladi (2-rasmga qarang). Tezlik ). Agar t oraliqdan vaqtning har bir momentida f’ (t)>0 bo‘lsa, nuqta y o‘qining musbat yo‘nalishida harakat qiladi, ya’ni t bo‘lsa. 1 ). Demak, f funksiya I oraliqda ortib bormoqda.

Izoh 1.

Agar f funktsiya o'sish (kamayish) oralig'ining istalgan uchida uzluksiz bo'lsa, u holda bu nuqta ushbu intervalga biriktiriladi.

Izoh 2.

f "(x)>0 va f" (x) tengsizliklarni yechish uchun<0 удобно пользоваться обобщением метода интервалов (теоремой Дарбу) : точки, в которых производная равна 0 или не существует, разбивают область определения функции f на промежутки, в каждом из которых f" сохраняет постоянный знак. (Этот факт доказывается в курсах математического анализа.) Знак можно определить, вычислив значение f" в какой-нибудь точке промежутка.

Funksiyaning bir nuqtada ekstremum mavjudligi uchun zaruriy va yetarli shartlar.

Ekstremum uchun zarur shart

Nuqtadagi g(x) funksiya ekstremumga (maksimal yoki minimal) ega bo‘ladi, agar funktsiya nuqtaning ikki tomonlama qo‘shnisida va qaysidir sohaning barcha x nuqtalari uchun aniqlangan bo‘lsa: mos ravishda tengsizlik.

(maksimal holatda) yoki (minimal holatda).

Funksiyaning ekstremumini shartdan topish mumkin: hosila mavjud bo'lsa, ya'ni. funksiyaning birinchi hosilasini nolga tenglashtiring.

Etarli ekstremal holat

1) Birinchi etarli shart:

a) f(x) uzluksiz funksiya bo‘lib, nuqtaning qaysidir qo‘shnisida shunday aniqlanadiki, berilgan nuqtadagi birinchi hosila nolga teng yoki mavjud emas.

b) f(x) funksiyaning spetsifikatsiyasi va uzluksizligi yaqinida chekli hosilaga ega.

v) hosila nuqtaning o'ng tomonida va shu nuqtaning chap tomonida ma'lum bir belgini saqlab qolsa, u holda nuqtani quyidagicha tavsiflash mumkin.

Bu shart unchalik qulay emas, chunki siz juda ko'p shartlarni tekshirishingiz va jadvalni yodlashingiz kerak, lekin yuqori tartibli hosilalar haqida hech narsa aytilmagan bo'lsa, bu funktsiyaning ekstremumini topishning yagona yo'li.

2) Ikkinchi etarli shart

Agar g(x) funksiya ikkinchi hosilaga ega boʻlsa va qaysidir nuqtada birinchi hosila nolga teng boʻlsa, ikkinchi hosila nolga teng boʻlmasa. Keyin nuqta ekstremal funktsiya g(x) va agar , u holda nuqta maksimal; bo'lsa, u holda nuqta minimaldir.

Funksiyaning maksimal va minimasini topish uchun ekstremumning uchta yetarli belgisidan birortasidan foydalanishingiz mumkin. Garchi eng keng tarqalgan va qulay bo'lsa-da, ulardan birinchisi.

Ekstremum uchun birinchi etarli shart.

Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) nuqtaning -qo'shnisida differensiallanadi va nuqtaning o'zida uzluksizdir. Keyin

Boshqa so'z bilan:

Algoritm.

Funktsiya doirasini topish.

Funktsiyaning hosilasini aniqlanish sohasi bo'yicha topamiz.

Numeratorning nollarini, hosila maxrajining nollarini va hosila mavjud bo'lmagan sohaning nuqtalarini aniqlaymiz (bu nuqtalar deyiladi). mumkin bo'lgan ekstremal nuqtalar, bu nuqtalardan o'tib, hosila faqat o'z belgisini o'zgartirishi mumkin).

Bu nuqtalar funktsiya sohasini hosila o'z belgisini saqlaydigan intervallarga ajratadi. Har bir oraliqda hosilaning belgilarini aniqlaymiz (masalan, funksiya hosilasining qiymatini bitta oraliqning istalgan nuqtasida hisoblash yo'li bilan).

Biz funktsiya uzluksiz bo'lgan va hosila qaysi nuqtadan o'tib, belgini o'zgartiradigan nuqtalarni tanlaymiz.

Misol. Funktsiyaning ekstremal qismini toping.
Yechim.
Funksiya sohasi haqiqiy sonlarning butun to‘plamidir, bundan mustasno x=2.
Biz hosilani topamiz:

Numeratorning nollari nuqtalardir x=-1 Va x=5, maxraj qachon yo'qoladi x=2. Ushbu nuqtalarni raqamlar chizig'ida belgilang

Har bir oraliqda hosilaning belgilarini aniqlaymiz, buning uchun hosilaning qiymatini har bir intervalning istalgan nuqtasida, masalan, nuqtalarda hisoblaymiz. x=-2, x=0, x=3 Va x=6.

Shuning uchun lotin oraliqda ijobiy bo'ladi (rasmda biz bu oraliq ustiga ortiqcha belgisi qo'yamiz). Xuddi shunday

Shuning uchun, biz ikkinchi oraliqda minus, uchinchidan minus va to'rtinchidan ortiqcha qo'yamiz.

Funktsiya uzluksiz bo'lgan nuqtalarni va uning hosilasi o'zgarishlar belgisini tanlash qoladi. Bu ekstremal nuqtalar.
Shu nuqtada x=-1 funktsiya uzluksiz va hosila belgisi ortiqcha dan minusga o'zgaradi, shuning uchun ekstremumning birinchi belgisiga ko'ra, x=-1 maksimal nuqta bo'lib, u funktsiyaning maksimaliga mos keladi.
Shu nuqtada x=5 funktsiya uzluksiz va hosila belgisi minusdan plyusga o'zgaradi, shuning uchun x=-1 minimal nuqta bo'lib, u funktsiyaning minimaliga mos keladi.
Grafik illyustratsiya.

Javob: .

Funksiyaning ekstremumi uchun ikkinchi yetarli mezon.
Bo'lsin,

agar , keyin - minimal nuqta;

bo'lsa, u holda maksimal nuqta.

Ko'rib turganingizdek, bu xususiyat nuqtada hech bo'lmaganda ikkinchi darajagacha hosila mavjudligini talab qiladi.
Misol. Funktsiyaning ekstremal qismini toping.
Yechim.
Keling, qamrovdan boshlaylik:

Keling, asl funktsiyani farqlaylik:

Hosil bo'lganda yo'qoladi x=1, ya'ni u mumkin bo'lgan ekstremumning nuqtasidir.
Funktsiyaning ikkinchi hosilasini topamiz va uning qiymatini da hisoblaymiz x=1:

Shunday qilib, ikkinchi etarli ekstremum shartga ko'ra, x=1- maksimal nuqta. Keyin funksiyaning maksimal qiymati.
Grafik illyustratsiya.

Javob: .
Funksiyaning ekstremumi uchun uchinchi yetarli mezon.
Funktsiyaga ruxsat bering y = f(x) gacha hosilalariga ega n-nuqtaning -qo'shniligida va hosilalarigacha n+1 nuqtadagi tartib. Keling va .
Keyin,

Ishning oxiri -

Ushbu mavzu quyidagilarga tegishli:

Algebra va analitik geometriya. Matritsa haqida tushuncha, matritsalar ustida amallar va ularning xossalari

Matritsalar ustida matritsa amallari tushunchasi va ularning xossalari .. matritsa bu boʻlishi mumkin boʻlmagan sonlardan tashkil topgan toʻrtburchaklar jadval boʻlib .. matritsani qoʻshish element boʻyicha bajariladigan amaldir ..

Agar sizga ushbu mavzu bo'yicha qo'shimcha material kerak bo'lsa yoki siz qidirayotgan narsangizni topa olmagan bo'lsangiz, bizning ishlar ma'lumotlar bazasida qidiruvdan foydalanishni tavsiya etamiz:

Qabul qilingan material bilan nima qilamiz:

Agar ushbu material siz uchun foydali bo'lib chiqsa, uni ijtimoiy tarmoqlardagi sahifangizga saqlashingiz mumkin:

Ushbu bo'limdagi barcha mavzular:

Differensiallik ta'rifi
Hosilini topish amali funksiyani differentsiallash deyiladi. Funktsiya qaysidir nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, agar uning shu nuqtada chekli hosilasi bo'lsa va

Differentsiatsiya qoidasi
Xulosa 1. O'zgarmas ko'paytmani hosila belgisidan chiqarish mumkin:

Hosilning geometrik ma'nosi. Tangens tenglamasi
y \u003d kx + b to'g'ri chiziqning moyillik burchagi - bu joydan o'lchangan burchak

Funktsiyaning nuqtadagi hosilasining geometrik ma'nosi
y = f(x) funksiya grafigining AB sekantini ko‘rib chiqaylik, shundayki, A va B nuqtalar mos ravishda koordinatalarga ega bo‘lsin.

Yechim
Funktsiya barcha haqiqiy sonlar uchun aniqlanadi. Chunki (-1; -3) aloqa nuqtasidir

Ekstremum uchun zarur shart-sharoitlar va ekstremum uchun etarli shartlar
O'sish funksiyasining ta'rifi. y = f(x) funksiya agar mavjud bo'lsa, X oralig'ida ortadi

Funksiyaning monotonligi va doimiyligi shartlari
Intervaldagi funksiyaning (qat'iy bo'lmagan) monotonlik sharti. Funktsiyaning har birida hosila bo'lsin

Antiderivativning ta'rifi
(a; b) oraliqdagi f(x) ga qarshi hosila funksiya F(x) funksiya bo‘lib, tenglik bo‘lsin.

Imtihon
Natijani tekshirish uchun olingan ifodani farqlaymiz: Natijada, olish

Doimiy va funktsiyaning ko'paytmasining anti hosilasi doimiy va anti hosilasining ko'paytmasiga teng.
Segmentda berilgan funktsiyaga qarshi hosila mavjudligi uchun yetarli shart

Ta'rif
Bu belgilansin

geometrik ma'no
Aniq integral son jihatdan abscissa o'qi, to'g'ri chiziqlar bilan chegaralangan raqamning maydoniga teng.

Aniq integralning xossalari
Aniq integralning asosiy xossalari. 1-xususiyat. Aniq integralning yuqori chegarasiga nisbatan hosilasi o‘zgaruvchi o‘rniga integrallashgan integralga teng.

Nyuton-Leybnits formulasi (isbot bilan)
Nyuton-Leybnits formulasi. y = f(x) funksiya segmentda uzluksiz, F(x) esa ushbu segmentdagi funktsiyaga qarshi hosilalaridan biri bo‘lsin.

Teorema (ekstremum uchun birinchi etarli shart). Funktsiya nuqtada uzluksiz bo'lsin va hosila nuqtadan o'tganda ishora o'zgaradi. Keyin - ekstremum nuqtasi: maksimal, agar belgi "+" dan "-" ga o'zgarsa va minimal, agar "-" dan "+" ga o'zgartirilsa.

Isbot. Let at va at.

Lagrange teoremasi bo'yicha , Qaerda, agar, keyin; shunung uchun , Binobarin, , yoki . Agar , keyin; shunung uchun , Binobarin, yoki .

Shunday qilib, yaqin har qanday nuqtada, ya'ni. funktsiyaning maksimal nuqtasidir.

Minimal nuqta uchun teoremani isbotlash xuddi shunday tarzda amalga oshiriladi. Teorema isbotlangan.

Agar hosila nuqtadan o'tganda belgisini o'zgartirmasa, nuqtada ekstremum yo'q.

Teorema (ekstremum uchun ikkinchi yetarli shart). Ikki marta differentsiallanuvchi funktsiyaning nuqtadagi hosilasi 0 () ga teng bo'lsin va uning bu nuqtadagi ikkinchi hosilasi noldan () farqli bo'lsin va nuqtaning qaysidir qo'shnisida uzluksiz bo'lsin. Keyin ekstremum nuqta; at - minimal nuqta, at - maksimal nuqta.

Birinchi yetarli ekstremum shart yordamida funksiyaning ekstremallarini topish algoritmi.

1. Hosilni toping.

2. Funksiyaning kritik nuqtalarini toping.

3. Har bir kritik nuqtaning chap va o’ng tomonidagi hosila belgisini ko’rib chiqing va ekstremum borligi haqida xulosa chiqaring.

4. Funksiyaning ekstremal qiymatlarini toping.

Ikkinchi yetarli ekstremum shart yordamida funksiyaning ekstremallarini topish algoritmi.

1. Hosilni toping.

2. Ikkinchi hosilani toping.

3. Qayerda joylashgan nuqtalarni toping.

4. Ushbu nuqtalardagi belgini aniqlang.

5. Ekstremaning mavjudligi va tabiati haqida xulosa chiqaring.

6. Funksiyaning ekstremal qiymatlarini toping.

Misol. O'ylab ko'ring . Keling, topamiz . Keyinchalik, da va da. Birinchi yetarli ekstremum shartdan foydalanib, tanqidiy nuqtalarni o'rganamiz. Bizda bu for va for , va for . Nuqtalarda va hosila o'z belgisini o'zgartiradi: at "+" dan "-" ga va "-" dan "+" ga. Bu funksiya nuqtada maksimalga, nuqtada esa minimumga ega ekanligini bildiradi; . Taqqoslash uchun biz ikkinchi yetarli ekstremum shartdan foydalanib, kritik nuqtalarni o'rganamiz. Keling, ikkinchi hosilani topamiz. Bizda: , bu funksiya nuqtada maksimalga, nuqtada esa minimumga ega ekanligini bildiradi.

Funksiya grafigining asimptotasi haqida tushuncha. Gorizontal, qiya va vertikal asimptotlar. Misollar.

Ta'rif. Funksiya grafigining asimptoti deb nuqtadan bu toʻgʻri chiziqgacha boʻlgan masofa grafik nuqtasining boshidan cheksiz masofada nolga intiluvchi xossaga ega boʻlgan toʻgʻri chiziqdir.

Vertikal (6.6 a rasm), gorizontal (6.6 b rasm) va qiya (6.6 c rasm) asimptotalari mavjud.

Shaklda. 6.6a ko'rsatilgan vertikal asimptota.

6.6b-rasmda - gorizontal asimptota.

Shaklda. 6,6v - qiya asimptota.

Teorema 1. Vertikal asimptota nuqtalarida (masalan, ) funktsiya uzilishga uchraydi, uning nuqtaning chap va o'ng tomonidagi chegarasi quyidagilarga teng:

Teorema 2. Funksiya etarlicha kattalik uchun aniqlansin va chekli chegaralar bo'lsin

VA .

U holda to'g'ri chiziq funktsiya grafigining qiya asimptotasidir.

Teorema 3. Funksiya etarlicha kattalik uchun aniqlansin va funksiya chegarasi mavjud bo'lsin. Keyin chiziq funktsiya grafigining gorizontal asimptotu bo'ladi.

Gorizontal asimptota qiya asimptotaning maxsus holati bo'lib, qachon. Shuning uchun, agar egri chiziq istalgan yo'nalishda gorizontal asimptotaga ega bo'lsa, u holda bu yo'nalishda hech qanday qiya asimptota bo'lmaydi va aksincha.

Misol. Funksiya grafigining asimptotalarini toping.

Yechim. Nuqtada funktsiya aniqlanmagan, biz nuqtaning chap va o'ng tomonidagi funksiya chegaralarini topamiz:

; .

Shuning uchun u vertikal asimptota hisoblanadi.

Funksiyalarni o'rganish va ularning grafiklarini qurishning umumiy sxemasi. Misol.

Funksional tadqiqotlarning umumiy sxemasi va uni tuzish.

1. Ta’rif sohasini toping.

2. Juftlik – toqlik funksiyasini o‘rganing.

3. Vertikal asimptotalarni va uzilish nuqtalarini (mavjud bo'lsa) toping.

4. Funksiyaning cheksizlikdagi harakatini o‘rganing; gorizontal va qiya asimptotalarni toping (agar mavjud bo'lsa).

5. Funksiyaning monotonligining ekstremal va intervallarini toping.

6. Grafikning koordinata o’qlari bilan kesishish nuqtalarini toping va agar grafikni sxematik qurish uchun kerak bo’lsa, qo’shimcha nuqtalarni toping.

7. Grafikni sxematik tarzda tuzing.

Funktsiyani batafsil o'rganish sxemasi va fitna .

1. Domenni toping .

a. Agar y ning maxraji bo'lsa, u 0 ga chiqmasligi kerak.

b. Juft darajali ildizning ildiz ifodasi manfiy bo'lmasligi kerak (noldan katta yoki teng).

c. Sublogarifmik ifoda ijobiy bo'lishi kerak.

2. Juft - toq uchun funksiyani o'rganing.

a. Agar bo'lsa, funksiya juft bo'ladi.

b. Agar bo'lsa, u holda funksiya toq bo'ladi.

c. Agar na bajarilmasa, na , keyin umumiy shaklning funksiyasi.

3. Vertikal asimptotalarni va uzilish nuqtalarini toping (agar mavjud bo'lsa).

a. Vertikal asimptota faqat funksiya sohasi chegarasida yuzaga kelishi mumkin.

b. Agar (yoki) bo'lsa, u holda grafikning vertikal asimptotu bo'ladi.

4. Funktsiyaning cheksizlikdagi harakatini o'rganish; gorizontal va qiya asimptotalarni toping (agar mavjud bo'lsa).

a. Agar bo'lsa, u holda grafikning gorizontal asimptotu.

b. Agar va , u holda to'g'ri chiziq grafikning qiya asimptotasidir.

c. Agar a, b bandlarida ko'rsatilgan chegaralar faqat bir tomonlama cheksizlikka (yoki ) moyil bo'lganda mavjud bo'lsa, natijada olingan asimptotlar bir tomonlama bo'ladi: chap qo'l kabi va o'ng qo'l kabi.

5. Funksiyaning monotonligining ekstremal va intervallarini toping.

a. hosila toping.

b. Muhim nuqtalarni toping (qayerda yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar).

c. Raqamli o'qda ta'rif sohasini va uning muhim nuqtalarini belgilang.

d. Olingan raqamli intervallarning har birida hosilaning belgisini aniqlang.

e. Hosila belgilaridan kelib chiqib, y dagi ekstremmalarning mavjudligi va ularning turi haqida xulosa chiqaring.

f. Ekstremal qiymatlarni toping.

g. Hosila belgilariga ko'ra, o'sish va kamayish haqida xulosa chiqaring.

6. Grafikning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini toping va agar grafikni sxematik qurish uchun kerak bo'lsa, qo'shimcha nuqtalarni toping.

a. Grafikning o'q bilan kesishish nuqtalarini topish uchun tenglamani yechish kerak. Nollar bo'lgan nuqtalar o'qi bilan grafikning kesishish nuqtalari bo'ladi.

b. Grafikning o'q bilan kesishish nuqtasi shaklga ega. Bu nuqta funksiya doirasida bo'lsagina mavjud bo'ladi.

8. Grafikni sxematik tarzda qurish.

a. Koordinatalar sistemasi va asimptotalarni tuzing.

b. Ekstremal nuqtalarni belgilang.

c. Grafikning koordinata o'qlari bilan kesishgan nuqtalarini belgilang.

d. Belgilangan nuqtalardan o'tib, asimptotalarga yaqinlashadigan qilib, sxematik grafik tuzing.

Misol. Funktsiyani o'rganing va uning grafigini sxematik tarzda tuzing.

2. umumiy funksiya hisoblanadi.

3. Chunki va , keyin va chiziqlar vertikal asimptotadir; nuqtalar va uzilish nuqtalaridir. , for funksiyani aniqlash domeniga kiritilmagan