Ta'rif 1

$$ segmentidagi $y=f(x)$ funksiyasi uchun $F(x)$ antiderivativi ushbu segmentning har bir nuqtasida differensiallanuvchi funksiya bo‘lib, uning hosilasi uchun quyidagi tenglik bajariladi:

Ta'rif 2

Ayrim segmentda aniqlangan $y=f(x)$ funksiyaning barcha anti hosilalari to‘plami berilgan $y=f(x)$ funksiyaning noaniq integrali deyiladi. Noaniq integral $\int f(x)dx $ belgisi bilan belgilanadi.

Hosilalar jadvali va 2-ta’rifdan biz asosiy integrallar jadvalini olamiz.

1-misol

Integrallar jadvalidan 7-formulaning haqiqiyligini tekshiring:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=const.\]

O'ng tomonni farqlaylik: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\left(-\ln |\cos x|+C\right)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

2-misol

Integrallar jadvalidan 8-formulaning haqiqiyligini tekshiring:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=const.\]

O'ng tomonni farqlang: $\ln |\sin x|+C$.

\[\left(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Hosil integralga teng bo'lib chiqdi. Shuning uchun formula to'g'ri.

3-misol

Integrallar jadvalidan 11" formulaning haqiqiyligini tekshiring:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

O'ng tomonni farqlang: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\left(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\left( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Hosil integralga teng bo'lib chiqdi. Shuning uchun formula to'g'ri.

4-misol

Integrallar jadvalidan 12-formulaning haqiqiyligini tekshiring:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(ax) \o'ng|+ C,\, \, C=const.\]

O'ng tomonni farqlang: $\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(ax) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(ax) ) \cdot \left(\frac(a+x)(ax) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(ax)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((ax)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(ax)(a+x) \cdot \ frac(2a)((ax)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Hosila integralga teng. Shuning uchun formula to'g'ri.

5-misol

Integrallar jadvalidan 13 "formulaning haqiqiyligini tekshiring:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=const.\]

O'ng tomonni farqlang: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \o'ng)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Hosil integralga teng bo'lib chiqdi. Shuning uchun formula to'g'ri.

6-misol

Integrallar jadvalidan 14-formulaning haqiqiyligini tekshiring:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=const.\]

O'ng tomonni farqlang: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm) a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Hosil integralga teng bo'lib chiqdi. Shuning uchun formula to'g'ri.

7-misol

Integralni toping:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

Yig'indi integral teoremasidan foydalanamiz:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

Doimiy koeffitsientni integral belgisidan chiqarish teoremasidan foydalanamiz:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

Integrallar jadvaliga ko'ra:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Birinchi integralni hisoblashda biz 3-qoidadan foydalanamiz:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Binobarin,

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]

Har bir talaba bilishi kerak bo'lgan asosiy integrallar

Sanab o'tilgan integrallar asoslarning asosi, asosidir. Albatta, bu formulalarni eslab qolish kerak. Murakkab integrallarni hisoblashda siz ularni doimiy ravishda ishlatishingiz kerak bo'ladi.

(5), (7), (9), (12), (13), (17) va (19) formulalariga alohida e'tibor bering. Integratsiyalashda javobga ixtiyoriy C doimiysi qo'shishni unutmang!

Doimiyning integrali

∫ A d x = A x + C (1)

Quvvat funktsiyasi integratsiyasi

Aslida, (5) va (7) formulalar bilan cheklanib qolish mumkin, ammo bu guruhdagi qolgan integrallar shunchalik keng tarqalganki, ularga ozgina e'tibor qaratish kerak.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = log | x | +C(5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1) (7)

Ko'rsatkichli va giperbolik funksiyalarning integrallari

Albatta, formula (8) (ehtimol, eslash eng qulay) formula (9) ning maxsus holati sifatida ko'rib chiqilishi mumkin. Giperbolik sinus va giperbolik kosinusning integrallari uchun formulalar (10) va (11) osonlikcha (8) formuladan olinadi, ammo bu munosabatlarni faqat eslab qolish yaxshiroqdir.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x log a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Trigonometrik funksiyalarning asosiy integrallari

Talabalar tez-tez qiladigan xato: ular (12) va (13) formulalardagi belgilarni chalkashtirib yuborishadi. Sinxning hosilasi kosinusga teng ekanligini eslab, ko'pchilik negadir sinx funksiyasining integrali cosx ga teng deb hisoblaydi. Bu haqiqat emas! Sinusning integrali "minus kosinus", lekin kosxning integrali "faqat sinus":

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Teskari trigonometrik funksiyalarga keltiruvchi integrallar

Yoy tangensiga olib keladigan formula (16), tabiiyki, a=1 uchun (17) formulaning maxsus holatidir. Xuddi shunday, (18) (19) ning maxsus holatidir.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Yana murakkab integrallar

Ushbu formulalarni eslab qolish ham maqsadga muvofiqdir. Ular ham tez-tez ishlatiladi va ularning chiqishi juda zerikarli.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | +C(20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C(21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 yoy x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Umumiy integratsiya qoidalari

1) Ikki funktsiya yig‘indisining integrali tegishli integrallar yig‘indisiga teng: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) Ikki funktsiya ayirmasining integrali farqiga teng mos integrallar: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Konstantani integral belgisidan chiqarish mumkin: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Ko'rinib turibdiki, xossa (26) oddiygina (25) va (27) xususiyatlar birikmasidir.

4) ning integrali murakkab funktsiya, agar ichki funktsiya chiziqli: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Bu yerda F(x) f(x) funksiya uchun anti hosiladir. E'tibor bering, bu formula faqat ichki funktsiya Ax + B bo'lsa ishlaydi.

Muhim: ikkita funktsiya mahsulotining integrali uchun, shuningdek kasr integrali uchun universal formula yo'q:

∫ f (x) g (x) d x =? ∫ f (x) g (x) d x =? (o'ttiz)

Bu, albatta, kasr yoki mahsulotni birlashtirish mumkin emas degani emas. Shunchaki, har safar (30) kabi integralni ko‘rganingizda, u bilan “kurash” usulini o‘ylab topishga to‘g‘ri keladi. Ba'zi hollarda qismlar bo'yicha integratsiya sizga yordam beradi, qayerdadir o'zgaruvchini o'zgartirishga to'g'ri keladi va ba'zida hatto algebra yoki trigonometriyaning "maktab" formulalari yordam berishi mumkin.

Noaniq integralni hisoblash uchun oddiy misol

1-misol. Integralni toping: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

(25) va (26) formulalardan foydalanamiz (funksiyalar yig‘indisi yoki ayirmasi integrali mos keladigan integrallarning yig‘indisi yoki ayirmasiga teng. Biz quyidagilarga erishamiz: ∫ 3 x 2 dx + ∫ 2 sin xdx − ∫ 7 exdx + ∫ 12 dx

Eslatib o'tamiz, doimiyni integral belgisidan chiqarish mumkin (formula (27)). Ifoda shaklga aylantiriladi

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

Endi oddiy integrallar jadvalidan foydalanamiz. Biz (3), (12), (8) va (1) formulalarni qo'llashimiz kerak. Keling, integratsiya qilaylik quvvat funktsiyasi, sinus, ko'rsatkich va doimiy 1. Oxirida ixtiyoriy C doimiysini qo'shishni unutmang:

3 x 3 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

Keyin elementar transformatsiyalar Biz yakuniy javobni olamiz:

X 3 - 2 cos x - 7 e x + 12 x + C

O'zingizni differentsiallash bilan sinab ko'ring: natijada olingan funktsiyaning hosilasini oling va u asl integralga teng ekanligiga ishonch hosil qiling.

Integrallarning umumiy jadvali

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = log | x | + C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ - 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x2 + a2 | + C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x2 + a2 | + C (a > 0)

∫ x 2 - a 2 d x = x 2 x 2 - a 2 - a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

Integrallar jadvalini (II qism) ushbu havoladan yuklab oling

Agar siz universitetda o'qiyotgan bo'lsangiz, agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa oliy matematika(matematik tahlil, chiziqli algebra, ehtimollar nazariyasi, statistika), agar sizga malakali o'qituvchi xizmati kerak bo'lsa, oliy matematika bo'yicha repetitor sahifasiga o'ting. Keling, muammolaringizni birgalikda hal qilaylik!

Sizni ham qiziqtirishi mumkin

Integratsiya matematik tahlilning asosiy operatsiyalaridan biridir. Ma'lum antiderivativlar jadvallari foydali bo'lishi mumkin, ammo hozirda, kompyuter algebra tizimlari paydo bo'lgandan so'ng, ular o'z ahamiyatini yo'qotmoqda. Quyida eng keng tarqalgan antiderivativlar ro'yxati keltirilgan.

Asosiy integrallar jadvali

Yana bir ixcham versiya

Trigonometrik funksiyalardan integrallar jadvali

Ratsional funktsiyalardan

Irratsional funktsiyalardan

Transsendental funktsiyalarning integrallari

“S” ixtiyoriy integrasiya konstantasi bo‘lib, u integralning qaysidir nuqtadagi qiymati ma’lum bo‘lsa aniqlanadi. Har bir funktsiya cheksiz miqdordagi antiderivativlarga ega.

Ko'pchilik maktab o'quvchilari va talabalar integrallarni hisoblashda muammolarga duch kelishadi. Ushbu sahifa o'z ichiga oladi integrallar jadvallari hal qilishda yordam beradigan trigonometrik, ratsional, irratsional va transsendental funktsiyalardan. Sanoat jadvali ham sizga yordam beradi.

Video - integrallarni qanday topish mumkin

Agar siz ushbu mavzu bo'yicha to'liq aniq bo'lmasangiz, hamma narsani batafsil tushuntirib beradigan videoni tomosha qiling.

Integrallarni yechish oson ish, lekin faqat elita uchun. Ushbu maqola integrallarni tushunishni o'rganmoqchi bo'lgan, lekin ular haqida kam yoki hech narsa bilmaydiganlar uchun. Integral... Nima uchun kerak? Uni qanday hisoblash mumkin? Aniq va noaniq integrallar nima?

Agar siz bilgan yagona integraldan foydalanish qiyin bo'lgan joylardan integral piktogramma shaklidagi ilgagi bilan foydali narsalarni olish bo'lsa, xush kelibsiz! Matematikada oddiy va boshqa integrallarni yechish usullarini va nima uchun ularsiz bajara olmasligingizni bilib oling.

Biz kontseptsiyani o'rganamiz « integral »

Integratsiya qadimgi Misrda ma'lum bo'lgan. Albatta, zamonaviy shaklda emas, lekin baribir. O'shandan beri matematiklar bu borada juda ko'p kitoblar yozdilar. Ayniqsa ajralib turadi Nyuton Va Leybnits lekin narsalarning mohiyati o'zgarmadi.

Integrallarni noldan qanday tushunish mumkin? Bo'lishi mumkin emas! Ushbu mavzuni tushunish uchun sizga hali ham asoslar bo'yicha asosiy bilim kerak bo'ladi. matematik tahlil. Haqida integrallarni tushunish uchun zarur bo'lgan ma'lumotlar allaqachon bizning blogimizda.

Noaniq integral

Keling, qandaydir funktsiyaga ega bo'laylik f(x) .

Funktsiyaning noaniq integrali f(x) bunday funktsiya deyiladi F(x) , hosilasi funksiyaga teng f(x) .

Boshqacha qilib aytganda, integral teskari hosila yoki antiderivativdir. Aytgancha, bizning maqolamizda qanday o'qish kerakligi haqida.

Primitiv hamma uchun mavjud uzluksiz funktsiyalar. Shuningdek, antiderivativga ko'pincha doimiy belgi qo'shiladi, chunki doimiy bilan farq qiluvchi funktsiyalarning hosilalari mos keladi. Integralni topish jarayoni integrasiya deb ataladi.

Oddiy misol:

Primitivlarni doimiy ravishda hisoblamaslik uchun elementar funktsiyalar, ularni jadvalda umumlashtirish va tayyor qiymatlardan foydalanish qulay.

Talabalar uchun integrallarning to'liq jadvali

Aniq integral

Integral tushunchasi bilan ishlashda biz cheksiz kichik miqdorlar bilan ishlaymiz. Integral raqamning maydonini, o'tgan bir hil bo'lmagan jismning massasini hisoblashda yordam beradi. notekis harakat yo'l va boshqalar. Shuni esda tutish kerakki, integral cheksizlar yig'indisidir katta raqam cheksiz kichik shartlar.

Misol tariqasida, qandaydir funksiyaning grafigini tasavvur qiling.

Funktsiya grafigi bilan chegaralangan figuraning maydonini qanday topish mumkin? Integral yordamida! Funksiyaning koordinata o‘qlari va grafigi bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani cheksiz kichik qismlarga ajratamiz. Shunday qilib, raqam ingichka ustunlarga bo'linadi. Ustunlar maydonlarining yig'indisi trapezoidning maydoni bo'ladi. Ammo esda tutingki, bunday hisob-kitob taxminiy natija beradi. Biroq, segmentlar qanchalik kichikroq va torroq bo'lsa, hisoblash qanchalik aniq bo'ladi. Agar biz ularni uzunlik nolga moyil bo'ladigan darajada kamaytirsak, u holda segmentlar maydonlarining yig'indisi rasmning maydoniga moyil bo'ladi. Bu aniq integral bo'lib, u quyidagicha yoziladi:

a va b nuqtalar integrasiya chegaralari deyiladi.

« Integral »

Aytmoqchi! O'quvchilarimiz uchun endi 10% chegirma mavjud

Dummies uchun integrallarni hisoblash qoidalari

Noaniq integralning xossalari

Noaniq integral qanday yechiladi? Bu erda biz noaniq integralning xossalarini ko'rib chiqamiz, bu misollarni yechishda foydali bo'ladi.

• Integralning hosilasi integralga teng:

• Konstanta integral belgisi ostidan chiqarilishi mumkin:

• Yig'indining integrali integrallar yig'indisiga teng. Farq uchun ham amal qiladi:

Aniq integralning xossalari

• Chiziqlilik:

• Agar integratsiya chegaralari teskari bo'lsa, integral belgisi o'zgaradi:

• Da har qanday ball a, b Va dan:

Aniq integral yig'indining chegarasi ekanligini allaqachon bilib oldik. Lekin misolni yechishda ma'lum bir qiymatni qanday olish mumkin? Buning uchun Nyuton-Leybnits formulasi mavjud:

Integrallarni yechishga misollar

Quyida noaniq integral va yechimlari bilan misollarni ko'rib chiqamiz. Sizga yechimning nozik tomonlarini mustaqil ravishda tushunishni taklif qilamiz va agar biror narsa aniq bo'lmasa, sharhlarda savollar bering.

Materialni mustahkamlash uchun integrallarning amalda yechilishi haqidagi videoni tomosha qiling. Agar integral darhol berilmasa, umidsizlikka tushmang. Professional talaba xizmati bilan bog'laning va har qanday uch yoki egri chiziqli integral yopiq sirtda sizning kuchingiz doirasida bo'ladi.

Antihosil funksiya va noaniq integral

Fakt 1. Integratsiya differensiallashning teskarisi, ya’ni funksiyani shu funksiyaning ma’lum hosilasidan tiklash. Funktsiya shu tarzda tiklandi F(x) deyiladi ibtidoiy funktsiya uchun f(x).

Ta'rif 1. Funktsiya F(x f(x) ma'lum bir oraliqda X, agar barcha qiymatlar uchun x bu oraliqdan tenglik F "(x)=f(x), ya'ni berilgan funksiya f(x) antiderivativ funktsiyaning hosilasidir F(x). .

Masalan, funktsiya F(x) = gunoh x funksiya uchun antiderivativ hisoblanadi f(x) = cos x butun son qatorida, chunki x ning istalgan qiymati uchun (gunoh x)" = (chunki x) .

Ta'rif 2. Funktsiyaning noaniq integrali f(x) uning barcha antiderivativlari to'plamidir. Bu belgidan foydalanadi

∫

f(x)dx

,

belgisi qayerda ∫ integral belgisi, funksiya deyiladi f(x) integral hisoblanadi va f(x)dx integral hisoblanadi.

Shunday qilib, agar F(x) uchun ba'zi antiderivativ hisoblanadi f(x), keyin

∫

f(x)dx = F(x) +C

qayerda C - ixtiyoriy doimiy (doimiy).

Funksiyaning noaniq integral sifatidagi antiderivativlar to‘plamining ma’nosini tushunish uchun quyidagi o‘xshashlik maqsadga muvofiqdir. Eshik bo'lsin (an'anaviy yog'och eshik). Uning vazifasi "eshik bo'lish" dir. Eshik nimadan yasalgan? Daraxtdan. Bu shuni anglatadiki, "eshik bo'lish" integralining antiderivativlari to'plami, ya'ni uning noaniq integrali "daraxt + C bo'lish" funktsiyasidir, bu erda C doimiy bo'lib, bu kontekstda quyidagini anglatishi mumkin: masalan, daraxt turi. Eshik ba'zi asboblar bilan yog'ochdan yasalgani kabi, funktsiyaning hosilasi antiderivativ funktsiyadan "yasaladi". hosilani o'rganish orqali biz o'rgangan formula .

Keyin umumiy ob'ektlar va ularga mos keladigan ibtidoiylarning funktsiyalari jadvali ("eshik bo'lmoq" - "daraxt bo'lmoq", "qoshiq bo'lmoq" - "metall bo'lmoq" va boshqalar) jadvaliga o'xshashdir. asosiy noaniq integrallar, ular quyida keltiriladi. Noaniq integrallar jadvalida umumiy funksiyalar roʻyxati keltirilgan boʻlib, bu funksiyalar “yasalgan” antiderivativlar koʻrsatilgan. Noaniq integralni topishga oid topshiriqlar doirasida maxsus harakatlarsiz bevosita integrallash mumkin bo'lgan, ya'ni noaniq integrallar jadvali bo'yicha shunday integrallar berilgan. Murakkab masalalarda jadvalli integrallardan foydalanish uchun avvalo integralni o'zgartirish kerak.

Fakt 2. Funksiyani antiderivativ sifatida tiklashda biz ixtiyoriy konstantani (doimiy) hisobga olishimiz kerak. C, va 1 dan cheksizgacha bo'lgan turli konstantalarga ega bo'lgan antiderivativlar ro'yxatini yozmaslik uchun siz ixtiyoriy doimiyga ega bo'lgan antiderivativlar to'plamini yozishingiz kerak. C, shunday: 5 x³+C. Demak, antiderivativ ifodaga ixtiyoriy konstanta (doimiy) kiradi, chunki antiderivativ funktsiya bo'lishi mumkin, masalan, 5. x³+4 yoki 5 x³+3 va farqlashda 4 yoki 3 yoki boshqa har qanday doimiy yo'qoladi.

Biz integratsiya muammosini qo'ydik: berilgan funktsiya uchun f(x) bunday funktsiyani toping F(x), kimning hosilasi ga teng f(x).

1-misol Funktsiyaning anti hosilalari to'plamini toping

Yechim. Bu funksiya uchun antiderivativ funksiya hisoblanadi

Funktsiya F(x) funksiya uchun antiderivativ deyiladi f(x) hosila bo'lsa F(x) ga teng f(x), yoki, bir xil narsa, differentsial F(x) ga teng f(x) dx, ya'ni.

(2)

Shuning uchun funktsiya funktsiya uchun antiderivativdir. Biroq, bu yagona antiderivativ emas. Ular ham funktsiyalardir

qayerda FROM ixtiyoriy doimiydir. Buni farqlash orqali tekshirish mumkin.

Shunday qilib, agar funktsiya uchun bitta antiderivativ mavjud bo'lsa, u uchun doimiy yig'indisi bilan farq qiluvchi cheksiz antiderivativlar to'plami mavjud. Funksiya uchun barcha antiderivativlar yuqoridagi shaklda yozilgan. Bu quyidagi teoremadan kelib chiqadi.

Teorema (2-haqiqatning rasmiy bayoni). Agar F(x) funksiya uchun antiderivativ hisoblanadi f(x) ma'lum bir oraliqda X, keyin uchun har qanday boshqa antiderivativ f(x) bir xil intervalda sifatida ifodalanishi mumkin F(x) + C, qayerda FROM ixtiyoriy doimiydir.

Quyidagi misolda biz allaqachon noaniq integralning xossalaridan keyin 3-bandda keltirilgan integrallar jadvaliga murojaat qilamiz. Yuqoridagilarning mohiyati aniq bo'lishi uchun biz buni butun jadval bilan tanishishdan oldin qilamiz. Jadval va xususiyatlardan keyin biz ularni integratsiyalashganda to'liq ishlatamiz.

2-misol Antiderivativlar to'plamini toping:

Yechim. Biz antiderivativ funktsiyalar to'plamini topamiz, ulardan bu funktsiyalar "yasalgan". Integrallar jadvalidagi formulalarni eslatganda, hozircha shunday formulalar borligini qabul qiling va biz noaniq integrallar jadvalini biroz keyinroq to'liq o'rganamiz.

1) uchun integrallar jadvalidan (7) formulani qo'llash n= 3, biz olamiz

2) uchun integrallar jadvalidan (10) formuladan foydalanish n= 1/3, bizda bor

3) beri

keyin formula (7) bo'yicha at n= -1/4 toping

Integral belgisi ostida ular funktsiyaning o'zini yozmaydi f, va uning differensial tomonidan mahsuloti dx. Bu, birinchi navbatda, antiderivativ qaysi o'zgaruvchi qidirilayotganligini ko'rsatish uchun amalga oshiriladi. Misol uchun,

, ;

bu yerda ikkala holatda ham integrasiya ga teng, lekin ko'rib chiqilayotgan holatlarda uning noaniq integrallari boshqacha bo'lib chiqadi. Birinchi holda, bu funktsiya o'zgaruvchining funktsiyasi sifatida qaraladi x, ikkinchisida esa - funktsiyasi sifatida z .

Funktsiyaning noaniq integralini topish jarayoni shu funksiyani integrallash deyiladi.

Noaniq integralning geometrik ma'nosi

Egri chiziqni topish talab qilinsin y=F(x) va biz allaqachon bilamizki, tangensning har bir nuqtasida qiyaligining tangensi berilgan funksiya f(x) bu nuqtaning absissasi.

Ga binoan geometrik ma'no hosila, egri chiziqning ma'lum bir nuqtasidagi tangens qiyaligining tangensi y=F(x) hosila qiymatiga teng F"(x). Shunday qilib, biz bunday funktsiyani topishimiz kerak F(x), buning uchun F"(x)=f(x). Vazifada talab qilinadigan funksiya F(x) dan olingan f(x). Muammoning sharti bitta egri chiziq bilan emas, balki egri chiziqlar oilasi tomonidan qanoatlantiriladi. y=F(x)- bu egri chiziqlardan biri va undan boshqa istalgan egri chiziqni olish mumkin parallel uzatish eksa bo'ylab Oy.

ning anti hosilasi funksiyasining grafigini chaqiraylik f(x) integral egri chiziq. Agar F"(x)=f(x), keyin funksiya grafigi y=F(x) integral egri chiziqdir.

Fakt 3. Noaniq integral geometrik jihatdan barcha integral egri chiziqlar oilasi bilan ifodalanadi. quyidagi rasmda bo'lgani kabi. Har bir egri chiziqning boshlang'ich nuqtasidan masofasi ixtiyoriy integratsiya doimiysi (doimiy) bilan aniqlanadi. C.

Noaniq integralning xossalari

Fakt 4. Teorema 1. Noaniq integralning hosilasi integralga, differentsiali esa integralga teng.

Fakt 5. Teorema 2. Funksiya differentsialining noaniq integrali f(x) funksiyaga teng f(x) doimiy muddatgacha , ya'ni.

(3)

1 va 2 teoremalar differentsiallash va integrasiya o‘zaro teskari amallar ekanligini ko‘rsatadi.

Fakt 6. Teorema 3. Integranddagi doimiy omilni noaniq integral belgisidan chiqarish mumkin. , ya'ni.