Agar uning chegarasi bog'langan to'plam bo'lsa, domen oddiy bog'langan deb ataladi. Agar uning chegarasi n-bog'langan to'plamlarga bo'linsa, domen n-bog'langan deb ataladi.
Izoh. Green formulasi ko'paytiriladigan bog'langan domenlar uchun ham to'g'ri keladi.
Integral (A, B - D dan istalgan nuqtalar) integratsiya yo'lidan mustaqil bo'lishi uchun (ammo faqat A, B ning boshlang'ich va oxirgi nuqtalarida) har qanday yopiq egri chiziq ustida (ustida) bo'lishi zarur va etarli. har qanday kontur) D da yotsa, integral nolga =0 ga teng edi
Isbot (kerak). (4) integratsiya yo'lidan mustaqil bo'lsin. D mintaqasida yotgan ixtiyoriy C konturni ko'rib chiqamiz va bu konturda ikkita ixtiyoriy A, B nuqtani tanlang. U holda C egri chizig'ini AB=G2 , AB=G1 , C=G - 1 + G2 ikkita egri chiziqning birlashuvi sifatida tasvirlash mumkin.
Teorema 1. Egri chiziqli integral D dagi integrallash yo`liga bog`liq bo`lmasligi uchun zarur va yetarli.
hududda D. Etarlilik. Agar qanoatlansa, u holda har qanday kontur C uchun Green formulasi bo'ladi 
zarur tasdiq lemmadan keyin keladi. Kerak. Lemma bo'yicha, har qanday kontur uchun = 0. Keyin, ushbu kontur bilan chegaralangan D hududi uchun Yashil formulaga ko'ra = 0. O'rtacha qiymat teoremasi bo'yicha=mDor==0. Chegaraga o'tish, konturni bir nuqtaga qisqartirish, biz buni shu nuqtada olamiz.
Teorema 2. Egri chiziqli integral (4) D dagi integrasiya yo liga bog liq bo lmasligi uchun Pdx+Qdy integrali D sohasidagi ba’zi u funksiyaning to’liq differensiali bo’lishi zarur va yetarlidir. du = Pdx+Qdy. Adekvatlik. Bu amalga oshsin, keyin zarurat. Integral integratsiya yo'lidan mustaqil bo'lsin. D domenidagi qandaydir A0 nuqtani tuzatamiz va u(A) = u(x,y)= funksiyasini aniqlaymiz
Ushbu holatda
XO (xO). Shunday qilib, =P hosilasi mavjud. Xuddi shunday, biz =Q ekanligini tekshiramiz. Olingan farazlarga ko‘ra, u funksiya uzluksiz differensiallanuvchi bo‘lib chiqadi va du = Pdx+Qdy.
32-33. 1 va 2 turdagi egri chiziqli integrallarning ta'rifi
Yoy uzunligi bo'yicha egri chiziqli integral (1-tur)
K silliq egri chizig‘ining AB yoyi nuqtalarida f(x, y) funksiya aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Yoyni ixtiyoriy ravishda n ta elementar yoyga t0..tn nuqtalar orqali ajratamiz.lk k ning uzunligi bo‘lsin. qisman yoy. Har bir elementar yoyning ixtiyoriy N(k,k) nuqtasini olaylik va bu nuqtani respga ko'paytiramiz. yoy uzunligidan uchta integral yig'indi hosil qilamiz:
1
=
f(k,k)lk 2 = 
R(k,k)xk 3 = 
Q(k,k)yk, bunda xk = x k -x k -1 , yk = y k -y k -1
Yoy uzunligi bo‘yicha 1-turdagi egri chiziqli integral max(lk) 0 bo‘lishi sharti bilan 1 integral yig‘indisining chegarasi deyiladi. 
Agar 0 da integral yig‘indining chegarasi 2 yoki 3 bo‘lsa, bu chegara deyiladi. 2-turdagi egri chiziqli integral, l = AB egri chizig'i bo'ylab P(x,y) yoki Q(x,y) funktsiyalari va quyidagicha belgilanadi: 
yoki 
miqdori: 
+
2-turdagi umumiy egri chiziqli integralni chaqirish va quyidagi belgi bilan belgilash odatiy holdir: 
bu holda f(x,y), P(x,y), Q(x,y) funksiyalar l = AB egri chizig'i bo'ylab integrallanuvchi deyiladi. l egri chizig'ining o'zi kontur deb ataladi yoki A - boshlang'ich, B - integratsiyaning oxirgi nuqtalari, dl - yoy uzunligining differensialligi, shuning uchun 1-turdagi egri chiziqli integrali deyiladi. egri chiziq yoyi ustidagi egri chiziqli integral, ikkinchi tur esa funksiya ustida..
Egri chiziqli integrallarning ta’rifidan kelib chiqadiki, 1-turdagi integrallar l egri chiziq A va B dan yoki B va A dan qaysi yo’nalishda o’tishiga bog’liq emas. AB ga nisbatan 1-turdagi egri chiziqli integrali:
, 2-turdagi egri chiziqli integrallar uchun egri chiziqning o'tish yo'nalishining o'zgarishi belgining o'zgarishiga olib keladi:
Agar l yopiq egri chiziq bo'lsa, ya'ni t.B A nuqtaga to'g'ri kelsa, u holda yopiq konturni chetlab o'tishning ikkita mumkin bo'lgan yo'nalishi l, kontur ichida joylashgan maydonga nisbatan chap tomonda qoladigan yo'nalish. ??? musbat deyiladi. aylanma yo'lni amalga oshirish, ya'ni harakat yo'nalishi soat sohasi farqli o'laroq. Bypassning teskari yo'nalishi salbiy deb ataladi. Musbat yo‘nalishda ketayotgan yopiq kontur l bo‘ylab AB egri chiziqli integral quyidagi belgi bilan belgilanadi:
Fazoviy egri chiziq uchun 1-turdagi 1 integral xuddi shunday kiritiladi:
va 2-turdagi uchta integral:
oxirgi uchta integralning yig'indisi deyiladi. 2-turdagi umumiy egri chiziqli integrali.
1-turdagi egri chiziqli integrallarning ba'zi qo'llanilishi.
1.Integral 
- yoy uzunligi AB
2. 1-turdagi integralning mexanik ma’nosi.
Agar f(x,y) = (x,y) material yoyining chiziqli zichligi bo’lsa, uning massasi: 
3. Materiallar yoyining massa markazining koordinatalari:
4. Xy tekislikda yotgan yoyning bosh va aylanish o‘qlariga nisbatan inersiya momenti ox, oy:
5. Birinchi turdagi integralning geometrik ma'nosi
z = f(x,y) funksiya material yoyining xy tekisligida yotgan barcha nuqtalarida f(x,y)>=0 uzunlikdagi o‘lchamga ega bo‘lsin:
, bu erda S - silindrsimon sirtning maydoni, mushuk sharq, oksi tekisligiga perpendikulyarlardan iborat. AB egri chizig'ining M(x, y) nuqtalarida.
2-turdagi egri chiziqli integrallarning ba'zi qo'llanilishi.
L chegarasi bo'lgan D tekis hududining maydonini hisoblash
2. Quvvat bilan ishlash. Moddiy nuqta kuch ta'sirida BC uzluksiz yassi egri chizig'i bo'ylab, B dan C gacha bo'lgan holda harakat qilsin, bu kuchning ishi:
Ostrogradskiy-yashil formula
Bu formula C va yopiq konturlar ustidagi egri chiziqli integral o'rtasidagi bog'lanishni o'rnatadi ikki tomonlama integral bu kontur bilan chegaralangan maydon bo'ylab.
Ta'rif 1. Agar birinchi turdagi cheklangan miqdordagi domenlarga va bundan mustaqil ravishda ikkinchi turdagi cheklangan sonli domenlarga bo'linishi mumkin bo'lsa, D domenini oddiy domen deyiladi.
Teorema 1. P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar qisman hosilalari bilan birga uzluksiz va oddiy sohada aniqlansin.
Keyin formula o'zini tutadi
Bu erda S - D mintaqasining yopiq konturi.
Bu Ostrogradskiy-Yashil formula.
Mustaqillik shartlari egri chiziqli integral integratsiya yo'lidan
Ta'rif 1. Yopiq kvadrat maydoni D oddiy bog'langan deyiladi, agar biron bir yopiq egri chiziq l D doimiy ravishda nuqtaga deformatsiyalanishi mumkin bo'lsa, bu egri chiziqning barcha nuqtalari D mintaqasiga tegishli bo'ladi ("teshiksiz" mintaqa - D 1) ), agar bunday deformatsiyaning iloji bo'lmasa, u holda mintaqa ko'paytmali bog'langan deb ataladi ("teshiklar" bilan - D 2).
Ta'rif 2. Agar AB egri chizig'i bo'ylab egri chiziqli integralning qiymati A va B nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq turiga bog'liq bo'lmasa, u holda bu egri chiziqli integral integrallash yo'liga bog'liq emas, deyishadi:
Teorema 1. Yopiq oddiy bog'langan D sohada uzluksiz P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar qisman hosilalari bilan birga aniqlansin. Keyin quyidagi 4 ta shart ekvivalent (ekvivalent):
1) yopiq kontur bo'ylab egri chiziqli integral
bu erda C D dagi har qanday yopiq tsikl;
2) yopiq kontur ustidagi egri chiziqli integral D sohasidagi integratsiya yo'liga bog'liq emas, ya'ni.
3) P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko‘rinishi D sohasidagi ba’zi F funksiyaning to‘liq differentsialidir, ya’ni F funksiya mavjud bo‘lib, (x,y)D tenglik
dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy; (3)
4) barcha (x, y) D nuqtalari uchun quyidagi shart bajariladi:
Keling, buni sxema bo'yicha isbotlaymiz.
Keling, buni isbotlaylik
1), ya'ni berilsin = 1-bandning 2-xususiyati bo'yicha 0, bu = 0 (§1-ning 1-xususiyati bo'yicha) .
Keling, buni isbotlaylik
Bu cr.int berilgan. integratsiya yo'liga bog'liq emas, balki faqat yo'lning boshi va oxirini tanlashga bog'liq
Funktsiyani ko'rib chiqing
P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko‘rinishi F(x,y) funksiyaning to‘liq differentsial ekanligini ko‘rsatamiz, ya’ni, , nima
Keling, shaxsiy daromadni belgilaylik
x F (x, y) = F (x + x, y) -F (x, y) = = == =
(1-§, BB* Oy 3-xususiyati bo'yicha) = = P (c, y)x (o'rtacha qiymat teoremasi bo'yicha, -const bilan), bu erda x (P funksiyaning uzluksizligi tufayli). Biz (5) formulani oldik. Formula (6) ham xuddi shunday olinadi. Keling, buni isbotlaylik Formula berilgan dF(x,y) = P(x,y)dx + Q(x,y)dy. Shubhasiz, = P(x, y). Keyin Teorema shartiga ko‘ra (7) va (8) tengliklarning o‘ng qismlari uzluksiz funksiyalar bo‘lsa, aralash hosilalarning tengligi haqidagi teorema bo‘yicha chap qismlar ham teng bo‘ladi, ya’ni. Keling, buni 41 tadan isbotlaylik. D mintaqasidan D 1 hududini cheklaydigan har qanday yopiq konturni tanlaylik. P va Q funktsiyalari Ostrogradskiy-Grin shartlarini qanoatlantiradi: (9) ning chap tomonidagi (4) tenglik tufayli integral 0 ga teng, ya'ni tenglikning o'ng tomoni tengdir. Izoh 1. Teorema 1. uchta mustaqil teorema sifatida shakllantirilishi mumkin Teorema 1*. Egri chiziqli int uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas, shuning uchun (.1) shart qondiriladi, ya'ni. Teorema 2*. Egri chiziqli int uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas, shuning uchun (3) shart bajariladi: P(x,y)dx + Q(x,y)dy differensial ko’rinish D sohasidagi ba’zi F funksiyaning to’liq differentsialidir. Teorema 3*. Egri chiziqli int uchun. integratsiya yo'liga bog'liq emas, shuning uchun (4) shart bajariladi: Izoh 2. 2* teoremada D domeni ham ko‘paytirilishi mumkin. Green formulasi: Agar C D sohasining yopiq chegarasi boʻlsa va P(x,y) va Q(x,y) funktsiyalari ularning birinchi tartibli qisman hosilalari bilan birgalikda D yopiq sohada (shu jumladan chegarada) uzluksiz boʻladi. ning C), u holda Grin formulasi o'rinli bo'ladi: va C konturini aylanib o'tish D hududi chap tomonda qolishi uchun tanlanadi. Ma’ruzalardan: Birinchi tartibli qisman hosilalari bilan birga D sohada uzluksiz bo‘lgan P(x,y) va Q(x,y) funksiyalar berilsin. To'liq D mintaqasida yotgan va D mintaqasidagi barcha nuqtalarni o'z ichiga olgan chegara integrali (L): . Konturning musbat yo'nalishi - konturning cheklangan qismi chap tomonda bo'lganda. 2-turdagi egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqillik sharti. M1 va M2 nuqtalarini tutashtiruvchi birinchi turdagi egri chiziqli integrali integrallash yo`liga bog`liq emas, faqat boshlang`ich va yakuniy nuqtalarga bog`liq bo`lishining zaruriy va yetarli sharti bu tenglikdir:. - sirtni belgilash. Biz S ni xy tekisligiga proyeksiyalaymiz, D maydonini olamiz. D maydonini chiziqlar to'ri bilan Di deb nomlangan qismlarga ajratamiz. Har bir chiziqning har bir nuqtasidan z ga parallel chiziqlar chizamiz, keyin S Si ga bo'linadi. Integral yig'indi hosil qilaylik: . Maksimal Di diametrini nolga o'rnatamiz:, biz olamiz: Bu birinchi turdagi sirt integralidir Bu birinchi turdagi sirt integralidir. Qisqacha ta'rif. Agar integral yigʻindining chekli chegarasi mavjud boʻlsa, u S ni elementar Si kesmalarga boʻlish usuliga va nuqtalarni tanlashga bogʻliq boʻlmasa, u holda u birinchi turdagi sirt integrali deyiladi. x va y o'zgaruvchilardan u va v ga o'tishda: P Ikkinchi turdagi sirt integralining ta’rifi, uning asosiy xossalari va hisobi. Birinchi turdagi integral bilan bog'lanish. L chiziq bilan chegaralangan S sirt (3.10-rasm) berilsin. L chegarasi bilan umumiy nuqtalari bo'lmagan S sirtda qandaydir L konturni oling. L konturning M nuqtasida S sirtga ikkita normal u tiklanishi mumkin. Biz ushbu yo'nalishlardan birini tanlaymiz. Normalning tanlangan yo'nalishi bilan L kontur bo'ylab M nuqtani chizing. Agar M nuqta normalning bir xil yo'nalishi bilan (va qarama-qarshi yo'nalishda emas) dastlabki holatiga qaytsa, u holda S sirt ikki tomonlama deyiladi. Biz faqat ikki tomonlama sirtlarni ko'rib chiqamiz. Ikki tomonlama sirt - bu tenglamaga ega har qanday silliq sirt. S o'z-o'zidan kesishish nuqtalari bo'lmagan L chiziq bilan chegaralangan ikki tomonlama yopiq bo'lmagan sirt bo'lsin. Keling, sirtning ma'lum bir tomonini tanlaylik. Biz L konturini chetlab o'tishning ijobiy yo'nalishini shunday yo'nalish deb ataymiz, u bo'ylab harakatlanayotganda sirtning tanlangan tomoni bo'ylab, sirtning o'zi chap tomonda qoladi. Shu tarzda o'rnatilgan musbat konturli o'tish yo'nalishi bo'lgan ikki tomonlama sirt yo'naltirilgan sirt deb ataladi. Keling, ikkinchi turdagi sirt integralini qurishga o'tamiz. Kosmosda har biri shakl tenglamasi bilan berilgan yoki Oz o'qiga parallel bo'lgan generatorlari bo'lgan silindrsimon sirt bo'lgan cheklangan sonli bo'laklardan tashkil topgan ikki tomonlama S sirtni olaylik. R(x,y,z) S sirtida aniqlangan va uzluksiz funksiya bo‘lsin. Chiziqlar tarmog‘idan foydalanib, S ni ixtiyoriy ravishda n ta “elementar” segmentga bo‘lamiz DS1, DS2, ..., DSi, ..., Umumiy ichki nuqtalarga ega bo'lmagan DSn. Har bir DSi segmentida biz ixtiyoriy ravishda Mi(xi,yi,zi) nuqtani tanlaymiz (i=1,...,n). Mi(xi,yi,zi) nuqtada S sirtga normal bo'lsa, "+" belgisi bilan olingan DSi kesmaning Oksi koordinata tekisligiga proyeksiya maydoni (DSi)xy bo'lsin (i= 1,...,n) oʻqi Oz oʻtkir burchakli, bu burchak toʻq boʻlsa “-” belgisi bilan hosil qiladi. S sirt ustida R(x,y,z) funksiyaning x,y: o‘zgaruvchilarga nisbatan integral yig‘indisini tuzamiz. l diametrlarning eng kattasi DSi (i = 1, ..., n) bo'lsin. Agar S sirtni "elementar" kesmalarga bo'lish usuliga DSi va nuqtalarni tanlashga bog'liq bo'lmagan chekli chegara mavjud bo'lsa, u R funksiyaning S sirtining tanlangan tomoni ustidagi sirt integrali deb ataladi. (x, y, z) koordinatalari bo'ylab x, y (yoki ikkinchi turdagi sirt integrali) va belgilanadi. Xuddi shunday, sirtning mos tomoni bo'ylab x, z yoki y, z koordinatalari bo'yicha sirt integrallarini qurish mumkin, ya'ni. Agar ushbu integrallarning barchasi mavjud bo'lsa, unda siz "umumiy" integralni sirtning tanlangan tomoniga kiritishingiz mumkin: . Ikkinchi turdagi sirt integrali integralning odatiy xossalariga ega. Biz shuni ta'kidlaymizki, ikkinchi turdagi har qanday sirt integrali sirt tomoni o'zgarganda belgini o'zgartiradi. Birinchi va ikkinchi turdagi sirt integrallari orasidagi bog'lanish. S sirt tenglama bilan berilsin: z \u003d f (x, y) va f (x, y), f "x (x, y), f "y (x, y) a da uzluksiz funktsiyalardir. yopiq hudud t (S sirtining Oksi koordinata tekisligiga proyeksiyalari) va R(x,y,z) funksiya S sirtda uzluksizdir. Cos a, cos b yo‘nalish kosinuslariga ega bo‘lgan S sirt uchun normal. , cos g, sirtning yuqori tomoniga S tanlanadi. Keyin . Umumiy holat uchun bizda:
= 2-turdagi egri chiziqli integralni ko'rib chiqaylik, bu erda L- egri chiziqli ulanish nuqtalari M va N. Funktsiyalarga ruxsat bering P(x, y) va Q(x, y) ba'zi sohalarda uzluksiz qisman hosilalarga ega D, bu butun egri chiziqni o'z ichiga oladi L. Ko'rib chiqilayotgan egri chiziqli integral egri chiziq shakliga bog'liq bo'lmagan sharoitlarni aniqlaylik. L, lekin faqat nuqtalarning joylashgan joyida M va N. Ikki ixtiyoriy egri chiziq chizing MPN va MQN, hududda yotgan D va ulanish nuqtalari M va N(1-rasm). M N Guruch. bitta. P Faraz qilaylik, ya'ni Keyin qayerda L- egri chiziqlardan tashkil topgan yopiq kontur MPN va NQM(shuning uchun uni o'zboshimchalik deb hisoblash mumkin). Demak, 2-navdagi egri chiziqli integralning integrallash yo`lidan mustaqillik sharti har qanday yopiq kontur ustidagi bunday integralning nolga teng bo`lishi shartiga ekvivalentdir. Teorema 1. Ba'zi hududning barcha nuqtalarida ruxsat bering D funktsiyalari uzluksizdir P(x, y) va Q(x, y) va ularning qisman hosilalari va . Keyin har qanday yopiq pastadir uchun tartibda L, hududda yotgan D, shart Mintaqaning barcha nuqtalarida = bo'lishi zarur va etarli D. Isbot
. 1) yetarlilik: shart = bajarilsin. Ixtiyoriy yopiq tsiklni ko'rib chiqing L hududda D, hududni cheklash S, va uning uchun Green formulasini yozing: Shunday qilib, etarliligi isbotlangan. 2) Zarurlik: maydonning har bir nuqtasida shart bajarildi deylik D, lekin bu mintaqada kamida bitta nuqta bor, bu erda - ≠ 0. Masalan, nuqtada bo'lsin. P(x0, y0)-> 0. Tengsizlikning chap tomonida uzluksiz funksiya mavjud bo'lgani uchun u musbat bo'ladi va qandaydir kichik sohada ba'zi d > 0 dan katta bo'ladi. D' o'z ichiga olgan nuqta R. Demak, Demak, Grin formulasi bo'yicha biz buni olamiz, qaerda L`- hududni chegaralovchi kontur D'. Bu natija shartga ziddir. Shuning uchun, = mintaqaning barcha nuqtalarida D, bu isbotlanishi kerak edi. Izoh 1
. Xuddi shunday uchun uch o'lchovli fazo zarur va ekanligini ko'rsatish mumkin etarli sharoitlar egri chiziqli integralning mustaqilligi integratsiya yo'lidan: Izoh 2.
(28/1.18) shartlar bajarilganda ifoda Pdx+Qdy+Rdz ba’zi funksiyalarning umumiy differensialidir va. Bu egri chiziqli integralni hisoblashni qiymatlar orasidagi farqni aniqlashga kamaytirishga imkon beradi. va finalda va boshlang'ich nuqtalari integratsiya kontur, chunki Shu bilan birga, funktsiya va formuladan foydalanib topish mumkin qayerda ( x0, y0, z0)- hududdan nuqta D, a C ixtiyoriy doimiydir. Haqiqatan ham, funktsiyalarning qisman hosilalari ekanligini tekshirish oson va(28/1.19) formula bilan berilgan P, Q va R. Integratsiya yo'lidan 2-tur 2-turdagi egri chiziqli integralni ko'rib chiqaylik, bu erda L - M va N nuqtalarni tutashtiruvchi egri chiziq. P(x, y) va Q(x, y) funksiyalar qandaydir D sohada uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin, bunda egri chiziq. L to'liq yotadi.Ko'rib chiqilayotgan egri chiziqli integral L egri chiziq shakliga bog'liq emas, faqat M va N nuqtalarning joylashishiga bog'liq bo'lgan shartlarni aniqlaymiz. D mintaqasida yotgan va M va N nuqtalarni tutashtiruvchi ikkita ixtiyoriy MSN va MTN egri chiziqlarni chizamiz (14-rasm). Aytaylik, ya'ni bu erda L - MSN va NTM egri chiziqlaridan tashkil topgan yopiq kontur (shuning uchun uni ixtiyoriy deb hisoblash mumkin). Demak, 2-turdagi egri chiziqli integralning integrallash yo’liga bog’liq emasligi sharti har qanday yopiq kontur ustidagi bunday integralning nolga teng bo’lishi shartiga ekvivalentdir. 5-teorema (Yashil teorema). P(x, y) va Q(x, y) funksiyalar va ularning qisman hosilalari u D sohasining barcha nuqtalarida uzluksiz bo‘lsin. Keyin D sohada yotgan har qanday yopiq kontur L shartni qondirish uchun D domenining barcha nuqtalarida = bo'lishi zarur va etarli. Isbot. 1) yetarlilik: shart = bajarilsin. S mintaqasini chegaralovchi D mintaqasida ixtiyoriy yopiq L konturni ko'rib chiqing va uning Yashil formulasini yozing: Shunday qilib, etarliligi isbotlangan. 2) Zarurlik: Faraz qilaylik, D mintaqasining har bir nuqtasida shart bajarildi, lekin bu mintaqada kamida bitta nuqta bor, unda - ? 0. Masalan, P(x0, y0) nuqtada bizda: - > 0. Tengsizlikning chap tomoni bo'lgani uchun. uzluksiz funksiya, u ba'zilaridan ijobiy va kattaroq bo'ladimi? > 0 P nuqtasini o'z ichiga olgan ba'zi kichik D` mintaqasida. Shuning uchun, Demak, Green formulasi bo'yicha biz buni olamiz bu yerda L` - D` mintaqasini chegaralovchi kontur. Bu natija shartga ziddir. Shuning uchun, isbotlanishi kerak bo'lgan D sohasining barcha nuqtalarida =. Izoh 1. Xuddi shunday, uch o'lchovli fazo uchun egri chiziqli integralning mustaqilligi uchun zarur va etarli shartlar mavjudligini isbotlash mumkin. integratsiya yo'lidan: Izoh 2. (52) shartlarda Pdx + Qdy + Rdz ifodasi ba'zi u funksiyasining to'liq differensialidir. Bu bizga egri chiziqli integralni hisoblashni integratsiya konturining oxiridagi va boshlang'ich nuqtalaridagi va qiymatlari o'rtasidagi farqni aniqlashga kamaytirishga imkon beradi, chunki Bunda va funksiyasini formula orqali topish mumkin bu yerda (x0, y0, z0) D nuqta va C ixtiyoriy doimiydir. Darhaqiqat, funktsiyaning qisman hosilalari va (53) formula bo'yicha berilgan P, Q va R ga teng ekanligini tekshirish oson. 10-misol 2-turdagi egri chiziqli integralni hisoblang (1, 1, 1) va (2, 3, 4) nuqtalarni bog'laydigan ixtiyoriy egri chiziq bo'ylab. Shartlar (52) bajarilganligiga ishonch hosil qilaylik: Shunday qilib, funktsiya mavjud. Uni x0 = y0 = z0 = 0 o'rnatgan holda (53) formula bo'yicha topamiz. Keyin Shunday qilib, va funksiya ixtiyoriy doimiy hadgacha aniqlanadi. S = 0, keyin u = xyz ni olaylik. Demak,
30. Grin formulasi. Egri chiziqli integralning integrasiya yo`lidan mustaqilligi shartlari.
.31. Birinchi va ikkinchi turdagi sirt integrallari, ularning asosiy xossalari va hisobi.
sirt integral oddiy integralning barcha xossalariga ega. Yuqoridagi savollarga qarang.
.
va 
.
