Agar o'qlar markaziy bo'lsa, moment o'qlari quyidagicha ko'rinadi:

15.O'rtasidagi munosabat o'qlarni aylantirganda inersiya momentlari:

J x 1 \u003d J x cos 2 a + J y sin 2 a - J xy sin2a; J y 1 \u003d J y cos 2 a + J x sin 2 a + J xy sin2a;

J x 1 y1 = (J x - J y)sin2a + J xy cos2a ;

Burchak a>0, agar eski koordinatalar tizimidan yangisiga o'tish soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'lsa. J y 1 + J x 1 = J y + J x

Inersiya momentlarining ekstremal (maksimal va minimal) qiymatlari deyiladi inertsiyaning asosiy momentlari. Eksenel inersiya momentlari ekstremal qiymatlarga ega bo'lgan o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy o'qlari. Bosh inersiya o'qlari o'zaro perpendikulyar. Asosiy o'qlarga nisbatan markazdan qochma inertsiya momentlari = 0, ya'ni. bosh inersiya o'qlari - markazdan qochma inersiya momenti = 0 bo'lgan o'qlar. Agar o'qlardan biri simmetriya o'qiga to'g'ri kelsa yoki ikkalasi ham mos kelsa, u holda ular asosiy hisoblanadi. Asosiy o'qlarning o'rnini belgilovchi burchak: , agar a 0 >0 Þ bo'lsa, o'qlar soat sohasi farqli ravishda aylantiriladi. Maksimal o'q har doim o'qlar bilan kichikroq burchak hosil qiladi, unga nisbatan inersiya momenti kattaroq qiymatga ega. Og'irlik markazidan o'tadigan asosiy o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy markaziy o'qlari. Ushbu o'qlarga nisbatan inersiya momentlari:

J max + J min = J x + J y. Asosiyga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti markaziy o'qlar inersiya 0. Agar inersiyaning asosiy momentlari maʼlum boʻlsa, aylanuvchi oʻqlarga oʻtish formulalari:

J x 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J y 1 \u003d J max cos 2 a + J min sin 2 a; J x 1 y1 = (J max - J min) sin2a;

Bo'limning geometrik xususiyatlarini hisoblashning yakuniy maqsadi asosiyni aniqlashdir markaziy daqiqalar inertsiya va inertsiyaning asosiy markaziy o'qlarining pozitsiyalari. Inersiya radiusi - ; J x =F×i x 2, J y =F×i y 2.

Agar J x va J y inersiyaning asosiy momentlari bo'lsa, u holda i x va i y - aylanishning asosiy radiuslari. Yarim o'qlarda bo'lgani kabi asosiy inersiya radiuslari ustiga qurilgan ellips deyiladi inertsiya ellipsi. Inertsiya ellipsidan foydalanib, har qanday x 1 o'qi uchun i x 1 aylanish radiusini grafik tarzda topish mumkin. Buning uchun x 1 o'qiga parallel ravishda ellipsga teginish chiziladi va bu o'qdan teggacha bo'lgan masofani o'lchang. Inersiya radiusini bilib, x o'qiga nisbatan kesmaning inersiya momentini 1: topish mumkin. Ikki dan ortiq simmetriya o'qi bo'lgan kesmalar uchun (masalan: doira, kvadrat, halqa va boshqalar) barcha markaziy o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari bir-biriga teng, J xy \u003d 0, ellips. inersiya inersiya doirasiga aylanadi.

Ko'pincha amaliy masalalarni yechishda kesmaning uning tekisligida turli yo'llar bilan yo'naltirilgan o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlash kerak. Bunday holda, texnik adabiyotlarda, maxsus ma'lumotnomalarda va jadvallarda keltirilgan boshqa o'qlarga nisbatan butun uchastkaning (yoki uning alohida qismlarining) inersiya momentlarining allaqachon ma'lum bo'lgan qiymatlaridan foydalanish qulaydir. mavjud formulalar yordamida hisoblab chiqilgan. Shuning uchun bir xil kesimning turli o'qlarga nisbatan inersiya momentlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatish juda muhimdir.

Eng umumiy holatda, har qanday eskidan har qandayiga o'tish yangi tizim koordinatalar eski koordinatalar tizimining ikkita ketma-ket o'zgarishi sifatida ko'rib chiqilishi mumkin:

1) koordinata o'qlarini yangi holatga parallel o'tkazish orqali va

2) ularni yangi kelib chiqishiga nisbatan aylantirish orqali. Ushbu o'zgarishlarning birinchisini ko'rib chiqing, ya'ni. parallel uzatish koordinata o'qlari.

Faraz qilaylik, berilgan kesmaning eski o'qlarga nisbatan inersiya momentlari ma'lum (18.5-rasm).

Keling, o'qlari eskilariga parallel bo'lgan yangi koordinatalar tizimini olaylik. Eski koordinatalar sistemasidagi nuqta koordinatalarini (ya’ni, yangi boshlanishni) a va b ko‘rsatsin.

Elementar maydonni ko'rib chiqaylik.Uning eski koordinatalar sistemasidagi koordinatalari y va . Yangi tizimda ular teng

Keling, ushbu koordinata qiymatlarini o'qga nisbatan eksenel inersiya momenti ifodasiga almashtiramiz.

Hosil bo`lgan ifodada inersiya momenti, kesmaning o`qga nisbatan statik momenti kesimning F maydoniga teng.

Demak,

Agar z o'qi kesimning og'irlik markazidan o'tsa, u holda statik moment va

(25.5) formuladan ko'rinib turibdiki, og'irlik markazidan o'tmaydigan har qanday o'qqa nisbatan inersiya momenti og'irlik markazidan o'tadigan o'qqa nisbatan inersiya momentidan doimo musbat miqdorga kattaroqdir. . Shuning uchun barcha inersiya momentlariga nisbatan parallel o'qlar eksenel inersiya momentiga ega eng kichik qiymat kesimning og'irlik markazidan o'tadigan o'qga nisbatan.

O'qga nisbatan inersiya momenti [(24.5) formulaga o'xshash]

Maxsus holatda y o'qi uchastkaning og'irlik markazidan o'tganda

Hisoblashda (25.5) va (27.5) formulalardan keng foydalaniladi eksenel momentlar murakkab (kompozit) kesimlarning inertsiyasi.

Keling, qiymatlarni o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti ifodasiga almashtiramiz.

Ikki parallel o'qga nisbatan kesmaning turli inersiya momentlari o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlaymiz (6.7-rasm), bog'liqliklar bilan bog'liq.

1. Statik inersiya momentlari uchun

Nihoyat,

2. Eksenel inersiya momentlari uchun

shuning uchun,

Agar eksa z bo'limning og'irlik markazidan o'tadi, keyin

Parallel o'qlarga nisbatan barcha inersiya momentlari ichida eksenel inersiya momenti kesimning og'irlik markazidan o'tadigan o'qga nisbatan eng kichik qiymatga ega.

Xuddi o'q uchun

Eksa qachon y kesimning og'irlik markazidan o'tadi

3. uchun markazdan qochma momentlar inertsiyani olamiz

Nihoyat, siz yozishingiz mumkin

Koordinata tizimining kelib chiqishi qachon yz bo'limning og'irlik markazida bo'lsa, biz olamiz

Agar bitta yoki ikkala o'q simmetriya o'qlari bo'lsa,

6.7. O'qlarni burishda inersiya momentlarini o'zgartirish

Kesimning koordinata o'qlariga nisbatan inersiya momentlari berilgan bo'lsin zy.

Koordinatalar tizimiga nisbatan ma'lum burchak bo'ylab aylantirilgan o'qlarga nisbatan bir xil kesmaning inersiya momentlarini aniqlash talab qilinadi. zy(6.8-rasm).

Agar eski koordinatalar tizimini yangisiga o'tish uchun soat miliga teskari burish kerak bo'lsa, burchak ijobiy hisoblanadi (o'ng qo'lli Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimi uchun). Yangi va eski zy koordinatalar tizimlari rasmdan kelib chiqadigan bog'liqliklar bilan bog'langan. 6.8:

1. Yangi koordinatalar sistemasi o‘qlariga nisbatan o‘q inersiya momentlari ifodalarini aniqlaymiz:

Xuddi shunday, eksa uchun

Agar biz o'qlarga nisbatan inersiya momentlarining qiymatlarini qo'shsak, u holda biz olamiz

ya'ni, o'qlar aylantirilganda, eksenel inersiya momentlarining yig'indisi doimiy qiymatdir.

2. Markazdan qochma inersiya momentlari formulalarini chiqaramiz.

.

6.8. Bosh inersiya momentlari. Bosh inersiya o‘qlari

Kesimning eksenel inersiya momentlarining ekstremal qiymatlari asosiy inersiya momentlari deb ataladi.

Ikki o'zaro perpendikulyar o'qlar, ularga nisbatan eksenel inersiya momentlari ekstremal qiymatlarga ega bo'lib, ular bosh inersiya o'qlari deb ataladi.

Bosh inersiya momentlarini va bosh inersiya o‘qlarining o‘rnini topish uchun (6.27) formula bilan aniqlangan inersiya momentining burchagiga nisbatan birinchi hosilani aniqlaymiz.

Ushbu natijani nolga o'rnating:

koordinata o'qlarini aylantirish uchun burchak qayerda y va z ular asosiy o'qlarga to'g'ri kelishi uchun.

(6.30) va (6.31) iboralarni solishtirib, buni aniqlashimiz mumkin

,

Shuning uchun bosh inersiya o'qlariga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti nolga teng.

O'zaro perpendikulyar o'qlar, ulardan biri yoki ikkalasi kesimning simmetriya o'qlariga to'g'ri keladi, har doim asosiy inersiya o'qlari hisoblanadi.

(6.31) tenglamani burchakka qarab yechamiz:

.

Agar >0 bo'lsa, o'ng (chap) Dekart to'rtburchaklar koordinata tizimi uchun asosiy inersiya o'qlaridan birining o'rnini aniqlash uchun o'q z burchakni soat sohasi farqli ravishda (aylanish yo'nalishi bo'yicha) soat yo'nalishi bo'yicha aylantiring. Agar a<0, то для оп­ре­деления по­ло­же­ния одной из главных осей инерции для пра­вой (левой) де­кар­то­вой пря­мо­у­го­ль­ной системы координат необ­хо­димо осьz aylanish yo'nalishi bo'yicha (aylanish yo'nalishiga qarshi) soat yo'nalishi bo'yicha burchak bilan aylantiring.

Maksimal o'q har doim o'qlar bilan kichikroq burchak hosil qiladi ( y yoki z), unga nisbatan eksenel inersiya momenti kattaroq ahamiyatga ega (6.9-rasm).

Maksimal o'q, agar () bo'lsa, o'qga () burchak ostida yo'naltiriladi va agar () bo'lsa, o'qlarning juft (toq) choraklarida joylashgan.

Asosiy inersiya momentlarini aniqlaymiz va. (6.27) formuladan trigonometriyadan, bog'lovchi funktsiyalardan,,, funktsiyalar bilan formulalardan foydalanib, biz olamiz.

,

Yassi figuraning inersiya momentlarining ta'rifini ko'rib chiqing (2-rasm).

$(I_((x_1))) = \int\limits_A (y_1^2dA) = \int\limits_A (((\left((y + a) \o'ng))^2)dA) = \int\limits_A ( \left(((y^2) + 2ay + (a^2)) \right)dA) = \int\limits_A ((y^2)dA) + 2a\int\limits_A (ydA) + (a^2 )\int\limits_A (dA) = $

$ = (I_x) + 2a(S_x) + (a^2)A$,

bu erda $(S_x)$ - $X$ o'qi bo'yicha shaklning statik momenti.

Xuddi shunday, $(Y_1)$ o'qiga nisbatan

$(I_((y_1))) = (I_y) + 2a(S_y) + (b^2)A$.

$(X_1)$ va $(Y_1)$ oʻqlariga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti

$(I_((x_1)(y_1))) = \int\limits_A ((x_1)(y_1)dA) = \int\limits_A (\left((x + b) \o'ng)\left((y + a) ) \right)dA) = \int\limits_A (\left((xy + xa + by + ba) \right)dA) = \int\limits_A (xydA) + a\int\limits_A (xdA) + b\int \limits_A (ydA) + ab\int\limits_A (dA) = (I_(xy)) + a(S_x) + b(S_y) + abA$

Ko'pincha markaziy o'qlardan (tekis shaklning to'g'ri o'qlari) o'zboshimchalik bilan parallel bo'lganlarga o'tish qo'llaniladi. Keyin $(S_x) = 0$, $(S_y) = 0$, chunki $X$ va $Y$ oʻqlari markaziy hisoblanadi. Nihoyat bizda bor

qayerda, - o'z inersiya momentlari, ya'ni o'z markaziy o'qlariga nisbatan inersiya momentlari;

$a$, $b$ - markaziy o'qlardan ko'rib chiqilayotganlarga masofalar;

$A$ - bu rasmning maydoni.

Shuni ta'kidlash kerakki, $a$ va $b$ miqdorlarda markazdan qochma inersiya momentini aniqlashda belgini hisobga olish kerak, ya'ni ular, aslida, figuraning og'irlik markazining koordinatalaridir. ko'rib chiqilayotgan o'qlarda. Eksenel inertsiya momentlarini aniqlashda, bu qiymatlar modul bilan almashtiriladi (masofalar sifatida), chunki ular hali ham kvadratga ko'tariladi.

Parallel tarjima formulalari yordamida markaziy o'qdan ixtiyoriy o'qlarga yoki aksincha o'tishni amalga oshirish mumkin.- ixtiyoriy markaziy o'qlardan. Birinchi o'tish "+" belgisi bilan amalga oshiriladi. Ikkinchi o'tish "belgisi bilan amalga oshiriladi"- ".

Parallel o'qlar orasidagi o'tish formulalarini qo'llash misollari

To'rtburchaklar kesim

$Z$ va $Y$ oʻqlariga nisbatan maʼlum inersiya momentlari boʻlgan toʻrtburchakning markaziy inersiya momentlarini aniqlaymiz.

$(I_x) = \frac((b(h^3)(3)$); $(I_y) = \frac((h(b^3)(3)$).

.

Xuddi shunday $(I_y) = \frac((h(b^3)))((12))$.

uchburchak kesim

$(I_x) = \frac((b(h^3)))((12))$ asosga nisbatan ma'lum inersiya momenti bo'lgan uchburchakning markaziy inersiya momentlarini aniqlaymiz.

.

Markaziy o'qga nisbatan $(Y_c)$, uchburchak boshqa konfiguratsiyaga ega, shuning uchun quyidagilarni ko'rib chiqing. Butun figuraning $(Y_c)$ oʻqiga nisbatan inersiya momenti $ABD$ uchburchakning $(Y_c)$ oʻqiga nisbatan inersiya momenti va $CBD uchburchak inersiya momenti yigʻindisiga teng. $ $(Y_c)$ o'qi haqida, ya'ni.

.

Kompozit kesimning inersiya momentini aniqlash

Biz bo'limni tuzilgan deb hisoblaymiz, u geometrik xususiyatlari ma'lum bo'lgan alohida elementlardan iborat. Kompozit figuraning maydoni, statik momenti va inersiya momentlari ularning tarkibiy qismlarining tegishli xarakteristikalari yig'indisiga teng. Agar chizilgan kesimni bir figurani boshqasidan kesish orqali hosil qilish mumkin bo'lsa, kesilgan figuraning geometrik xarakteristikalari chiqariladi. Masalan, shaklda ko'rsatilgan kompozit figuraning inersiya momentlari. sifatida belgilanadi

$I_z^() = \frac((120 \cdot ((22)^3)))((12)) - 2 \cdot \frac((50 \cdot ((16)^3))((12) )) = 72\.300$sm 4 .

$I_y^() = \frac((22 \cdot ((120)^3)))((12)) - 2 \cdot \left((\frac((16 \cdot ((50)^3)) )((12)) + 50 \cdot 16 \cdot ((29)^2)) \o'ng) = 1\.490\.000$sm 4

O'qlarning parallel ko'chirilishi bilan novda inertsiya momentlarining o'zgarishi.

Statik momentlarga qo'shimcha ravishda quyidagi uchta integralni ko'rib chiqing:

Bu yerda, avvalgidek, x va y ixtiyoriy xOy koordinatalar sistemasidagi dF elementar maydonining joriy koordinatalarini bildiradi. Birinchi 2 ta integral deyiladi kesimning eksenel inersiya momentlari mos ravishda x va y o'qlari haqida. Uchinchi integral deyiladi kesmaning markazdan qochma inersiya momenti x, y ga nisbatan. Eksenel momentlar har doim ijobiydir, chunki dF maydoni ijobiy hisoblanadi. Markazdan qochma inersiya momenti kesimning x, y o’qlariga nisbatan joylashishiga qarab musbat yoki manfiy bo’lishi mumkin.

O'qlarning parallel siljishi bilan inersiya momentlarini o'zgartirish formulalarini chiqaramiz. (rasmga qarang). Bizga x 1 va y 1 o'qlarga nisbatan inersiya momentlari va statik momentlar berilgan deb faraz qilamiz. X2 va y2 o'qlari bo'yicha momentlarni aniqlash talab qilinadi.

Bu yerda x 2 \u003d x 1 -a va y 2 \u003d y 1 -b ni almashtirsak, biz topamiz

Qavslarni kengaytiramiz, bizda bor.

Agar x 1 va y 1 o'qlari markaziy bo'lsa, u holda S x 1 \u003d S y 1 \u003d 0 va natijada olingan ifodalar soddalashtiriladi:

O'qlarning parallel tarjimasi bilan (agar o'qlardan biri markaziy bo'lsa), eksenel inersiya momentlari kesma maydoni va o'qlar orasidagi masofaning kvadratiga teng miqdorda o'zgaradi.