I = ∑r men 2 dF i =∫r 2 dF (1.1)

Aslida, ta'rif ham, uni tavsiflovchi formula ham murakkab emas va ularni eslab qolish uning tubiga borishdan ko'ra osonroqdir. Ammo baribir, inersiya momenti nima ekanligini va u qaerdan kelganini aniqlashga harakat qilaylik.

Harakat kinematikasini, xususan, aylanish harakatini o'rganuvchi fizikaning boshqa bo'limidan materiallar va struktura mexanikasining kuchiga inersiya momenti tushunchasi keldi. Lekin baribir, uzoqdan boshlaylik.

Isaak Nyutonning boshiga olma tushdimi, yaqinroqqa tushdimi yoki umuman tushmadimi, aniq bilmayman, ehtimollik nazariyasi bu variantlarning barchasiga imkon beradi (bundan tashqari, bu olmada bibliyadagi juda ko'p narsa bor. bilim daraxti afsonasi), ammo ishonchim komilki, Nyuton o'z kuzatishlaridan xulosa chiqarishga qodir bo'lgan kuzatuvchan odam edi. Shunday qilib, kuzatish va tasavvur Nyutonga dinamikaning asosiy qonunini (Nyutonning ikkinchi qonuni) shakllantirishga imkon berdi, unga ko'ra tananing massasi m tezlashuvga ko'paytiriladi a, ta'sir etuvchi kuchga teng Q(aslida, F belgisi kuch uchun ko'proq tanish, ammo biz ko'pincha F deb ham ko'rsatilgan maydon bilan shug'ullanamiz, men nazariy mexanikada konsentrlangan yuk sifatida ko'rib chiqilgan tashqi kuch uchun Q belgisini ishlataman. masalaning mohiyati o'zgarmaydi):

Q=ma (1.2)

Men uchun Nyutonning buyukligi aynan soddaligi va ravshanligidadir. bu ta'rif. Bundan tashqari, agar biz buni hisobga olsak bir tekis tezlashtirilgan harakat tezlashuv lekin tezlikni oshirish nisbatiga teng DV vaqt davriga Dt, ular uchun tezlik o'zgargan:

a \u003d Dv / Dt \u003d (v - v o) / t (1.3.1)

V o \u003d 0 da a = v/t (1.3.2)

keyin siz masofa, tezlik, vaqt va hatto momentum kabi harakatning asosiy parametrlarini aniqlashingiz mumkin R harakat miqdorini tavsiflovchi:

p=mv (1.4)

Masalan, faqat tortishish kuchi ta’sirida turli balandlikdan tushgan olma turli vaqtlarda yerga tushadi, qo‘nish chog‘ida har xil tezlikka ega bo‘ladi va shunga mos ravishda har xil impulsga ega bo‘ladi. Boshqacha qilib aytganda, kattaroq balandlikdan tushgan olma uzoqroq uchadi va omadsiz kuzatuvchining peshonasida qattiqroq yorilib ketadi. Va Nyuton bularning barchasini oddiy va tushunarli formulaga qisqartirdi.

Va Nyuton inersiya qonunini (Nyutonning birinchi qonunini) shakllantirdi: agar tezlanish a = 0, u holda inertial sanoq sistemasida tashqi kuchlar ta’sirida bo‘lmagan kuzatilayotgan jismning tinch holatda ekanligini yoki o‘zgarmas tezlikda to‘g‘ri chiziq bo‘ylab harakatlanishini aniqlash mumkin emas. Bu mulk moddiy jismlar uning tezligini, hatto nolga teng bo'lsa ham, ushlab turishga inersiya deyiladi. Inersiya o'lchovi tananing inersiya massasidir. Ba'zan inertial massa inertial deb ataladi, ammo bu materiyaning mohiyatini o'zgartirmaydi. Inersiya massasi tortishish massasiga teng, deb ishoniladi va shuning uchun ko'pincha qanday massa nazarda tutilganligi ko'rsatilmaydi, shunchaki tananing massasi eslatib o'tiladi.

Nyutonning uchinchi qonuni ham muhim va ahamiyatli bo'lib, unga ko'ra, agar kuchlar bir to'g'ri chiziqda, lekin qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa, ta'sir kuchi reaktsiya kuchiga tengdir. Ko'rinib turgan soddaligiga qaramay, Nyutonning bu xulosasi mohir va bu qonunning ahamiyatini ortiqcha baholab bo'lmaydi. Quyida ushbu qonunning ilovalaridan biri haqida.

Biroq, bu qoidalar faqat oldinga siljiydigan organlar uchun amal qiladi, ya'ni. to'g'ri chiziqli traektoriya bo'ylab va bir vaqtning o'zida hammasi moddiy nuqtalar bunday jismlar bir xil tezlik yoki bir xil tezlanish bilan harakat qiladi. Egri chiziqli harakat paytida va ayniqsa aylanma harakat paytida, masalan, jism o'z simmetriya o'qi atrofida aylanganda, bunday jismning moddiy nuqtalari fazoda bir xil burchak tezligi bilan harakat qiladi. w, lekin ayni paytda chiziq tezligi v turli nuqtalar har xil bo'ladi va bu chiziqli tezlik masofaga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir r aylanish o'qidan shu nuqtagacha:

v=wr (1.5)

bu holda burchak tezligi aylanish burchagi o'sish nisbatiga teng Δφ vaqt davriga Dt, buning uchun burilish burchagi o'zgargan:

w \u003d Dph / Dt \u003d (ph - ph o) / t (1.6.1)

ph o = 0 da w = ph/t (1.7.2)

mos ravishda normal tezlashuv a n aylanish vaqtida teng:

a n \u003d v 2 / r \u003d w 2 r (1.8)

Va ma'lum bo'lishicha, aylanish harakati uchun biz (1.2) formuladan to'g'ridan-to'g'ri foydalana olmaymiz, chunki aylanish harakati paytida faqat tana massasining qiymati etarli emas, shuningdek, bu massaning tanadagi tarqalishini bilish kerak. Ma'lum bo'lishicha, tananing moddiy nuqtalari aylanish o'qiga qanchalik yaqin bo'lsa, tanani aylantirish uchun kamroq kuch kerak bo'ladi va aksincha, tananing moddiy nuqtalari aylanish o'qidan qanchalik uzoq bo'lsa, tanani aylantirish uchun qanchalik katta kuch qo'llanilishi kerak (bu holda biz xuddi shu nuqtada kuch qo'llanilishi haqida gapiramiz). Bundan tashqari, tana aylanganda, ta'sir qiluvchi kuchni emas, balki momentni hisobga olish qulayroqdir, chunki aylanish harakati paytida kuchning qo'llanilishi nuqtasi ham mavjud. katta ahamiyatga ega.

Momentning ajoyib xususiyatlari bizga Arximed davridan beri ma'lum va agar moment tushunchasini aylanish harakatiga qo'llasak, momentning qiymati M masofa qanchalik katta bo'lsa, shuncha katta bo'ladi r aylanish o'qidan kuch qo'llash nuqtasiga qadar F(in strukturaviy mexanika tashqi kuch ko'pincha deb ataladi R yoki Q):

M = Qr (1.9)

Bundan ham unchalik murakkab bo'lmagan formuladan ma'lum bo'ladiki, agar kuch aylanish o'qi bo'ylab qo'llanilsa, u holda aylanish bo'lmaydi, chunki r \u003d 0 va agar kuch o'qdan maksimal masofada qo'llanilsa. aylanish, keyin momentning qiymati maksimal bo'ladi. Va agar (1.9) formulaga (1.2) formuladan kuchning qiymatini va qiymatni almashtirsak normal tezlashuv va formulalar (1.8), biz quyidagi tenglamani olamiz:

M \u003d mw 2 r r \u003d mw 2 r 2 (1.10)

Agar tananing o'lchamlari bu nuqtadan aylanish o'qigacha bo'lgan masofadan ancha kichik bo'lgan moddiy nuqta bo'lsa, (1.10) tenglama sof shaklda qo'llaniladi. Biroq, simmetriya o'qlaridan biri atrofida aylanadigan jism uchun komponentning har bir moddiy nuqtasidan masofa berilgan tana, har doim tananing geometrik o'lchamlarining biridan kichikdir va shuning uchun tana massasining taqsimlanishi katta ahamiyatga ega, bu holda har bir nuqta uchun ushbu masofalarni alohida hisobga olish kerak:

M = ∑r i 2 w 2 m i (1.11.1)

M c \u003d w 2 ∫r 2 dm

Va keyin ma'lum bo'ladiki, Nyutonning uchinchi qonuniga ko'ra, momentning ta'siriga javoban, inertsiya momenti paydo bo'ladi. I. Bunday holda, moment va inersiya momentining qiymatlari teng bo'ladi va momentlarning o'zi qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltiriladi. Doimiy ravishda burchak tezligi aylanish, masalan, w = 1, moment yoki inersiya momentini tavsiflovchi asosiy miqdorlar tanani tashkil etuvchi moddiy nuqtalarning massasi va bu nuqtalardan aylanish o'qiga bo'lgan masofa bo'ladi. Natijada, inersiya momenti formulasi quyidagi shaklni oladi:

[- M] = I = ∑r i 2 m i (1.12.1)

I c = ∫r 2 dm(1.11.2) - jism simmetriya o'qi atrofida aylanganda

qayerda I- inersiya momentining umumiy qabul qilingan belgisi; Tushunarli- tananing eksenel inertsiya momentini belgilash, kg / m 2. Bir xil zichlikka ega bo'lgan bir hil tana uchun ρ butun tanada V Jismning eksenel inersiya momenti formulasini quyidagicha yozish mumkin:

I c = ∫r 2 dV (1.13)

Shunday qilib, inersiya momenti jismning aylanma harakati paytidagi inertsiyasining o'lchovidir, xuddi massa translatsiyali to'g'ri chiziqli harakat paytida jismning inertsiyasining o'lchovidir.

Butun doira yopiq. Va bu erda savol tug'ilishi mumkin, bu dinamika va kinematikaning barcha qonunlari statik qurilish tuzilmalarini hisoblash bilan qanday aloqasi bor? Ma'lum bo'lishicha, ikkalasi ham eng to'g'ridan-to'g'ri va bevosita emas. Birinchidan, chunki bu formulalarning barchasi fiziklar va matematiklar tomonidan o'sha uzoq vaqtlarda "" kabi fanlar paydo bo'lganida olingan. Nazariy mexanika"yoki" Materiallarning mustahkamligi nazariyasi "oddiygina mavjud emas edi. Ikkinchidan, chunki qurilish konstruksiyalarining butun hisobi ko'rsatilgan qonunlar va formulalar va tortishish va inertial massalarning tengligi haqidagi tasdiqlar asosida qurilgan. Bu materiallarning mustahkamligi nazariyasida ancha sodda va paradoksal tuyulishi mumkin.

Va bu oddiyroq, chunki muayyan muammolarni hal qilishda butun tanani emas, balki faqat uning kesimini va kerak bo'lganda bir nechta tasavvurlarni hisobga olish mumkin. Ammo bu bo'limlarda xuddi shunday jismoniy kuchlar, garchi bir oz boshqacha tabiatga ega. Shunday qilib, agar biz uzunligi doimiy bo'lgan ma'lum bir jismni ko'rib chiqsak va tananing o'zi bir hil bo'lsa, unda doimiy parametrlarni hisobga olmasak - uzunlik va zichlik ( l = const, r = const) - biz kesma modelini olamiz. Bunday kesma uchun matematik nuqtai nazardan tenglama haqiqiy bo'ladi:

I p \u003d ∫r 2 dF (2.1) → (1.1)

qayerda Ip- kesmaning qutb inersiya momenti, m 4 . Natijada, biz boshlagan formulaga ega bo'ldik (lekin bo'limning inertsiya momenti nima ekanligi aniqroq bo'ldimi, bilmayman).

To'rtburchaklar kesimlar ko'pincha materiallarning mustahkamligi nazariyasida ko'rib chiqiladi va to'rtburchaklar koordinatalar tizimi qulayroq bo'lganligi sababli, muammolarni hal qilishda odatda kesmaning ikkita eksenel inersiya momenti hisobga olinadi:

Iz = ∫y 2dF (2.2.1)

I y = ∫z 2dF (2.2.2)

1-rasm. Eksenel inersiya momentlarini aniqlashda koordinatali qiymatlar.

Bu erda o'qlar nima uchun ishlatiladi degan savol tug'ilishi mumkin z Va da ko'proq tanish emas X Va da? Shunday bo'ldiki, kesmadagi kuchlarni aniqlash va qo'llaniladigan kuchlarga teng ta'sir etuvchi stresslarga bardosh bera oladigan qismni tanlash ikki xil vazifadir. Birinchi vazifa - kuchlarni aniqlash - struktura mexanikasi tomonidan hal qilinadi, ikkinchi vazifa - bo'limni tanlash - materiallarning qarshiligi nazariyasi. Shu bilan birga, qurilish mexanikasida oddiy masalalarni hal qilishda ko'pincha ma'lum uzunlikka ega bo'lgan novda (to'g'ri tuzilmalar uchun) ko'rib chiqiladi. l, va bo'limning balandligi va kengligi hisobga olinmaydi, shu bilan birga eksa deb taxmin qilinadi X faqat barcha kesmalarning og'irlik markazlaridan o'tadi va shuning uchun diagrammalarni (ba'zan juda murakkab) chizishda uzunlik l faqat eksa bo'ylab ishdan bo'shatilgan X, va eksa bo'ylab da uchastkalarning qiymatlari qoldirildi. Shu bilan birga, materiallarning qarshilik nazariyasi kesmani hisobga oladi, buning uchun kenglik va balandlik muhim, uzunligi esa hisobga olinmaydi. Albatta, ba'zan juda murakkab bo'lgan materiallarning mustahkamligi nazariyasi masalalarini hal qilishda hamma bir xil tanish o'qlardan foydalaniladi. X Va da. Menga bu holat unchalik to'g'ri emasdek tuyuladi, chunki farqga qaramay, bular hali ham bog'liq vazifalardir va shuning uchun hisoblangan tuzilma uchun umumiy o'qlardan foydalanish to'g'riroq bo'ladi.

To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida qutb inersiya momentining qiymati quyidagicha bo'ladi:

I p \u003d ∫r 2 dF \u003d∫y 2 dF + ∫z 2 dF (2.3)

To'rtburchaklar koordinatalar tizimida radius gipotenuza bo'lgani uchun to'g'ri uchburchak, va siz bilganingizdek, gipotenuzaning kvadrati oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng. Shuningdek, kesmaning markazdan qochma inersiya momenti tushunchasi ham mavjud:

Ixz = ∫xzdF(2.4)

Ko‘ndalang kesimning og‘irlik markazidan o‘tuvchi to‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasi o‘qlari orasida ikkita o‘zaro perpendikulyar o‘q mavjud bo‘lib, ularga nisbatan eksenel inersiya momentlari maksimal va minimal qiymat, kesmaning markazdan qochma inersiya momenti esa Izy = 0. Bunday o`qlar kesmaning bosh markaziy o`qlari, bunday o`qlarga nisbatan inersiya momentlari esa asosiy markaziy inersiya momentlari deyiladi.

Materiallarning qarshiligi nazariyasida gap inersiya momentlariga kelganda, qoida tariqasida, kesmaning asosiy markaziy inersiya momentlari nazarda tutiladi. Kvadrat, to'rtburchaklar, yumaloq kesimlar uchun asosiy o'qlar simmetriya o'qlariga to'g'ri keladi. Kesmaning inersiya momentlari ham deyiladi geometrik momentlar maydonning inertsiya yoki inersiya momentlari, lekin buning mohiyati o'zgarmaydi.

Asosan, eng keng tarqalgan geometrik shakllar - kvadrat, to'rtburchak, doira, quvur, uchburchak va boshqalarning kesmalari uchun asosiy markaziy inersiya momentlarining qiymatlarini aniqlashning hojati yo'q. . Bunday inertsiya momentlari uzoq vaqtdan beri aniqlangan va keng tarqalgan. Va murakkab geometrik shakl kesimlari uchun eksenel inersiya momentlarini hisoblashda Gyuygens-Shtayner teoremasi to'g'ri keladi:

I \u003d I c + r 2 F (2.5)

shunday qilib, oddiy bo'lsa, sohalari va og'irlik markazlari geometrik shakllar, murakkab bo'limni tashkil etsa, u holda butun bo'limning eksenel inersiya momentining qiymatini aniqlash qiyin bo'lmaydi. Va murakkab kesimning og'irlik markazini aniqlash uchun kesmaning statik momentlari qo'llaniladi. Statik daqiqalar boshqa maqolada batafsil ko'rib chiqiladi, men bu erda faqat qo'shaman. jismoniy ma'no statik moment quyidagicha bo'ladi: tananing statik momenti - bu jismni tashkil etuvchi moddiy nuqtalar uchun ma'lum bir nuqtaga (qutbli statik moment) yoki o'qqa (eksial statik moment) nisbatan momentlar yig'indisi, va moment qo'ldagi kuchning mahsuloti (1.9) bo'lganligi sababli, u holda mos ravishda tananing statik momenti aniqlanadi:

S = ∑M = ∑r i m i= ∫rdm (2.6)

va keyin kesmaning qutbli statik momenti quyidagicha bo'ladi:

S p = ∫rdF (2.7)

Ko'rib turganingizdek, statik momentning ta'rifi inersiya momentining ta'rifiga o'xshaydi. Ammo asosiy farq ham bor. Shuning uchun statik moment statik deyiladi, chunki tortishish kuchi ta'sir qiladigan jism uchun statik moment og'irlik markaziga nisbatan nolga teng. Boshqacha qilib aytganda, qo'llab-quvvatlash tananing og'irlik markaziga qo'llanilsa, bunday tana muvozanat holatida bo'ladi. Va Nyutonning birinchi qonuniga ko'ra, bunday jism yo dam oladi yoki doimiy tezlikda harakat qiladi, ya'ni. tezlashtirish \u003d 0. Va sof matematik nuqtai nazardan, statik moment nolga teng bo'lishi mumkin, chunki statik momentni aniqlashda moment yo'nalishini hisobga olish kerak. Misol uchun, to'rtburchakning og'irlik markazidan o'tadigan koordinata o'qlariga nisbatan, to'rtburchakning yuqori va pastki qismlarining joylari ijobiy bo'ladi, chunki ular bir yo'nalishda ta'sir qiluvchi tortishish kuchini anglatadi. Bunday holda, o'qdan og'irlik markazigacha bo'lgan masofani ijobiy deb hisoblash mumkin (shartli ravishda: to'rtburchakning yuqori qismining tortishish kuchidan kesimni soat yo'nalishi bo'yicha aylantirishga harakat qiladi) va og'irlik markaziga qadar. pastki qismi - salbiy sifatida (shartli ravishda: to'rtburchakning pastki qismining tortishish kuchidan moment soat sohasi farqli ravishda qismni aylantirishga harakat qiladi). Va bunday joylar son jihatdan teng va to'rtburchakning yuqori qismi va to'rtburchakning pastki qismining og'irlik markazlaridan masofalarga teng bo'lganligi sababli, harakat momentlarining yig'indisi kerakli 0 bo'ladi.

S z = ∫ydF = 0 (2.8)

Va bu ajoyib nol, shuningdek, qurilish tuzilmalarini qo'llab-quvvatlash reaktsiyalarini aniqlash imkonini beradi. Agar biz, masalan, ma'lum bir nuqtada konsentrlangan yuk Q qo'llaniladigan qurilish konstruktsiyasini ko'rib chiqsak, unda bunday qurilish konstruktsiyasini kuch va tayanch nuqtasida og'irlik markaziga ega bo'lgan tana deb hisoblash mumkin. bu holda reaktsiyalar qo'llab-quvvatlash nuqtalarida qo'llaniladigan kuchlar sifatida qaraladi. Shunday qilib, kontsentrlangan yuk Q qiymatini va yukni qo'llash joyidan bino strukturasining tayanchlariga masofani bilib, qo'llab-quvvatlash reaktsiyalarini aniqlash mumkin. Misol uchun, ikkita tayanch ustidagi menteşeli nur uchun, tayanch reaktsiyalarining qiymati kuch qo'llanilishi nuqtasigacha bo'lgan masofaga mutanosib bo'ladi va tayanchlarning reaktsiyalari yig'indisi qo'llaniladigan yukga teng bo'ladi. Ammo, qoida tariqasida, qo'llab-quvvatlash reaktsiyalarini aniqlashda, bu yanada sodda: tayanchlardan biri og'irlik markazi sifatida olinadi, so'ngra qo'llaniladigan yukdan va qolgan qo'llab-quvvatlash reaktsiyalaridan momentlar yig'indisi hali ham nolga teng. . Bunday holda, moment tenglamasi tuzilgan qo'llab-quvvatlash reaktsiyasidan moment nolga teng, chunki kuchning qo'li = 0, ya'ni momentlar yig'indisida faqat ikkita kuch qoladi: qo'llaniladigan yuk. va noma'lum qo'llab-quvvatlash reaktsiyasi(statik aniqlangan konstruktsiyalar uchun).

Shunday qilib, statik moment va inersiya momenti o'rtasidagi tub farq shundaki, statik moment og'irlik markaziga yoki simmetriya o'qiga nisbatan tortishish yarmiga bo'linishga urinayotgan kesimni va inersiya momenti tanani tavsiflaydi. , barcha moddiy nuqtalari harakatlanadigan (yoki bir yo'nalishda harakat qilishga harakat qiling). Ehtimol, to'rtburchaklar kesim uchun quyidagi shartli dizayn sxemalari bu farqni aniqroq tasavvur qilishga yordam beradi:

2-rasm. Statik moment va inersiya momenti o'rtasidagi vizual farq.

Endi harakatning kinematikasiga qaytaylik. Agar qurilish konstruksiyalarining kesmalarida paydo bo'ladigan kuchlanishlar va harakatning har xil turlari o'rtasida o'xshashliklarni keltirib chiqaradigan bo'lsak, u holda markazlashtirilgan cho'zilgan va markazlashtirilgan siqilgan elementlarda butun tasavvurlar maydonida bir xil kuchlanishlar paydo bo'ladi. Ushbu stresslarni tanaga ma'lum bir kuchning ta'siri bilan solishtirish mumkin, bunda tana to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi. Va eng qizig'i shundaki, markazlashtirilgan cho'zilgan yoki markazlashtirilgan siqilgan elementlarning kesmalari haqiqatan ham harakat qiladi, chunki ta'sir qiluvchi stresslar deformatsiyalarni keltirib chiqaradi. Va bunday deformatsiyalarning kattaligi strukturaning har qanday kesimi uchun aniqlanishi mumkin. Buning uchun ta'sir etuvchi kuchlanishlarning qiymatini, elementning uzunligini, tasavvurlar maydonini va struktura yasalgan materialning elastiklik modulini bilish kifoya.

Bükme elementlari uchun kesmalar ham joyida qolmaydi, balki harakatlanadi, bukuvchi elementlarning kesimlari harakati ma'lum bir o'q atrofida ma'lum bir jismning aylanishiga o'xshaydi. Siz taxmin qilganingizdek, inersiya momenti kesmaning moyillik burchagini ham, joy almashishni ham aniqlashga imkon beradi. Δ l bo'limning oxirgi nuqtalari uchun. To'rtburchaklar kesim uchun bu o'ta nuqtalar qismning balandligining yarmiga teng masofada joylashgan (nima uchun - bu "Kuch asoslari. Burilishni aniqlash" maqolasida etarlicha batafsil tavsiflangan). Va bu, o'z navbatida, strukturaning burilishini aniqlashga imkon beradi.

Va inersiya momenti kesim qarshiligi momentini aniqlashga imkon beradi. Buni amalga oshirish uchun inertsiya momentini oddiygina kesmaning og'irlik markazidan bo'limning eng uzoq nuqtasigacha bo'lgan masofaga, to'rtburchaklar kesim uchun h / 2 ga bo'lish kerak. Va o'rganilayotgan bo'limlar har doim ham nosimmetrik bo'lmaganligi sababli, qarshilik momentining qiymati har xil bo'lishi mumkin turli qismlar bo'limlar.

Va hammasi banal olma bilan boshlandi ... garchi yo'q, hammasi bir so'z bilan boshlandi.

Kompozit kesimning inersiya momentlarini aniqlashda, ikkinchisi oddiy figuralarga bo'linadi, ularda og'irlik markazlarining pozitsiyalari va o'zlarining markaziy o'qlariga nisbatan inersiya momentlari ma'lum. Formulalar (2.5) bo'yicha, butun kesimning og'irlik markazining koordinatalari o'zboshimchalik bilan tanlangan yordamchi o'qlar tizimida topiladi. Ushbu o'qlarga parallel ravishda markaziy o'qlar chiziladi, ularga nisbatan (2.6) formulalar yordamida eksenel va markazdan qochma inersiya momentlari aniqlanadi. Asosiy markaziy o’qlarga nisbatan inersiya momentlari (2.12) formula bilan, asosiy markaziy o’qlarning holati esa (2.11) formulalar bo’yicha aniqlanadi.

2.1-misol. 200 x 20 mm kesimli ikkita po'lat plitalar bilan mustahkamlangan I-nurli 130 ko'ndalang kesimining asosiy markaziy o'qlariga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz (2.12-rasm).

Simmetriya o'qlari Ooh, ooh butun uchastkaning asosiy markaziy o'qlaridir. Biz assortimentdan (ilovaga qarang) o'qlarga nisbatan I-nur qismining maydoni va inersiya momentlarini yozamiz. Ooh, ooh

Plitalar kesimlarining o'zlarining markaziy o'qlariga nisbatan inersiya momentlari (2.14) formulalar bilan aniqlanadi:

Butun qismning maydoni teng F= 46,5 + 2 20 2 \u003d 126,5 sm 2.

Bosh markaziy o'qlarga nisbatan kesimning inersiya momentlari Ooh, ooh(2.6) formulalar bilan aniqlanadi:

2.2-misol. Ko'ndalang qilingan 1_70x70x8 o'lchamdagi ikkita teng yonli burchakdan truss fermasi tokchasining ko'ndalang kesimining asosiy markaziy o'qlariga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz (2.13-rasm). Burchaklarning qo'shma ishi birlashtiruvchi chiziqlar bilan ta'minlanadi.

Burchak kesimining og'irlik markazining koordinatalari, maydon qiymatlari va o'zlarining markaziy o'qlariga nisbatan inersiya momentlari Oh ^ va Oy 0 assortimentda keltirilgan (ilovaga qarang):

Og'irlik markazidan masofa HAQIDA burchakning og'irlik markaziga butun bo'lim tengdir lekin\u003d (2,02 + 0,4) l / 2 \u003d 3,42 sm.

Butun qismning maydoni teng F= 2 10,7 \u003d 21,4 sm 2.

Simmetriya o'qlari bo'lgan asosiy markaziy o'qlarga nisbatan inersiya momentlari Ooh, ooh(2.6) formulalar bilan aniqlanadi:

2.3-misol. Ikkita kanaldan tashkil topgan nurning ko'ndalang kesimining asosiy markaziy o'qlariga nisbatan og'irlik markazining holatini va inersiya momentlarini aniqlaymiz x] Va Oh x y (. Keyin (2.5) formulalar bo'yicha biz quyidagilarni olamiz:

Ushbu qiymatlar va kanalning og'irlik markazlarining koordinatalari va koordinatalar tizimidagi burchaklar Ohu shaklda ko'rsatilgan. 2.16 va mos ravishda quyidagilarga teng:

(2.6) formulalar orqali kesmaning markaziy o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlaymiz Oh Va OU

(2.12) va (2.11) formulalardan foydalanib, biz asosiy inersiya momentlarining qiymatlarini va 1 va 2 asosiy o'qlarning o'qga moyillik burchaklarini topamiz. Oh:

Oddiy kesmalarning markaziy o‘qlariga nisbatan inersiya momentlarini aniqlash uchun quyidagi formulalar (5.4), (5.5), (5.6) inersiya momentlari uchun integral ifodalardan olinadi:

1. To'rtburchak

(5.10)

(5.11)

chunki Z va Y o'qlari simmetriya o'qlaridir.

2. Doira

(5.12)

(5.13)

Bu yerda kesimning qutb inersiya momenti.

3. Yarim doira

(5.14)

(5.15)

4. Teng yon tomonli uchburchak

(5.16)

(5.17)

5. To‘g‘ri burchakli uchburchak

(5.18)

(5.19)

(5.20)

(5.10), (5.11) va (5.16)–(5.19) formulalarda ko'rib chiqilayotgan o'qga perpendikulyar bo'lgan rasmning tomonining o'lchami kub shaklida ekanligini yodda tutish foydalidir.

(5.20) formulada markazdan qochma inersiya momentini aniqlashda uchburchakning o'tkir burchaklari manfiy choraklarda (ya'ni 2 va 4) bo'lganda minus belgisi qo'yiladi. Bu burchaklar musbat choraklarda (ya'ni 1 va 3) bo'lgan hollarda (5.20) formulaga ortiqcha belgisi qo'yiladi.

5.3. Murakkab simmetrik kesmalarning asosiy markaziy inersiya momentlari

Asosiy markaziy o'qlarning holati va nosimmetrik kesmalar uchun asosiy markaziy inersiya momentlarining qiymatlari quyidagi tartibda aniqlanadi:

1. Murakkab kesma oddiy shakllarga (aylana, to'rtburchak, I-nur, burchak va boshqalar) bo'linadi va ularning markaziy o'qlari Z i va Y i chiziladi (qoida tariqasida, gorizontal va vertikal).

2. Butun kesimning og‘irlik markazining o‘rni (5.3) formulalar bo‘yicha aniqlanadi va shu nuqta orqali uning markaziy o‘qlari Z va Y o‘tkaziladi.Agar ikkita simmetriya o‘qi bo‘lsa, butun kesimning og‘irlik markazi ularning kesishish nuqtasida joylashgan.

Agar kesma faqat bitta simmetriya o'qiga ega bo'lsa, u holda og'irlik markazining faqat bitta koordinatasi (5.3) formulalar bilan aniqlanadi. Keling, buni rasmda ko'rsatilgan rasm uchun tushuntiramiz. 5.8:

a) Z" va Y" o'qlarini shunday tanlaymizki, Y" o'qi figuraning simmetriya o'qiga to'g'ri keladi va Z" o'qi - bu o'qning markaziy o'qlaridan bu o'qgacha bo'lgan masofani aniqlash qulay bo'lishi uchun. oddiy raqamlar;

b) ixtiyoriy Z o'qiga nisbatan kesma maydonining statik momentini quyidagi formula bilan aniqlaymiz:

\u003d A 1 y 1 + A 2 y 2,

bu yerda A i - oddiy figuralarning kesma maydonlari; y i - ixtiyoriy o'qdan Z "oddiy figuralarning markaziy o'qlarigacha bo'lgan masofalar Z i. Masofalar y i belgilarni hisobga olgan holda olinishi kerak;

v) (5.3) formula bo'yicha og'irlik markazining C dagi koordinatasini aniqlang:

=

d) Z o'qidan y C masofada ikkinchi markaziy Z o'qini chizamiz. Birinchi markaziy o'q simmetriyaning Y o'qidir.

3. Z va Y bosh markaziy o‘qlarga nisbatan inersiya momentlari (5.8-rasm) formulalar (5.9) bilan aniqlanadi, ular kengaytirilgan shaklda quyidagicha yoziladi:

chunki ko'rib chiqilayotgan o'qlardan biri

(Y o'qi) - simmetriya o'qi.

Ushbu formulalarda:

- (5.10) - (5.19) formulalar bo'yicha yoki o'ralgan elementlarning assortiment jadvallari bo'yicha aniqlanadigan oddiy figuralarning markaziy o'qlariga nisbatan eksenel inersiya momentlari (ichki inersiya momentlari);

- Z va Y kesmaning umumiy markaziy o'qlaridan oddiy figuralarning markaziy o'qlarigacha bo'lgan masofalar. Ushbu misolda
Va
shaklda ko'rsatilgan. 5,8;

A i - oddiy figuralarning sohalari. Agar oddiy raqam umumiy shakldan kesilgan raqam bo'lsa, ya'ni. "bo'sh" raqam, so'ngra bunday raqamlarning maydoni uchun mos formulalar A va ularning inertsiya momentlariga.
minus belgisi bilan almashtiriladi.

5.1-MISA

Shaklda ko'rsatilgan kesimning asosiy markaziy inersiya momentlarini aniqlash kerak. 5.9.

1. Kesimni oddiy figuralarga ajratamiz va ularning gorizontal va vertikal markaziy o‘qlarini Z i va Y i chizamiz.

2. Biz butun raqam uchun markaziy o'qlarni chizamiz, ya'ni. simmetriya o'qlari Z va Y.

3. Z va Y umumiy markaziy o‘qlardan oddiy figuralarning markaziy o‘qlarigacha bo‘lgan masofalarni va bu figuralarning maydonini aniqlang:

4. Shakllarning o'z markaziy momentlarini (5.10) – (5.17) formulalar yordamida hisoblaymiz:

5. Z va Y markaziy o‘qlarga nisbatan butun kesimning eksenel inersiya momentlarini aniqlang:

markazdan qochma inersiya momenti
chunki Z va Y simmetriya o'qlari. Shuning uchun biz hisoblagan I Z va I Y asosiy markaziy o'qlardir:

O'RNAK 5.2

Majburiy da ko'rsatilgan kesimning asosiy markaziy inersiya momentlarini aniqlang (5.10-rasm).

1. Bo'limni oddiy figuralarga ajratamiz va ularning markaziy o'qlarini chizamiz va Y i.

2. Simmetriyaning Y o'qini chizamiz.U berilgan kesmaning asosiy markaziy o'qidir.

3. 2-asosiy markaziy oʻqning oʻrnini aniqlash uchun simmetriya oʻqiga perpendikulyar boʻlgan ixtiyoriy Z oʻqni tanlang. Bu o'q Z 3 o'qiga to'g'ri kelsin.

4. Formula (5.3) bo'yicha Y o'qi bo'ylab kesmaning og'irlik markazidan y ordinatasini aniqlaymiz:

Biz o'lchamni C ga Z o'qidan yuqoriga o'rnatamiz" va ikkinchi asosiy markaziy o'qni Z chizamiz.

5. Oddiy figuralarning o‘z markaziy o‘qlariga nisbatan eksenel inersiya momentlarini aniqlang ((5.10)–(5.17) formulalarga qarang):

6. Butun Z va Y kesmaning markaziy o'qlaridan alohida raqamlarning markaziy o'qlarigacha bo'lgan masofalarni hisoblaymiz (5.10-rasm):

Y 1, Y 2, Y 3 o'qlari Y simmetriya o'qiga to'g'ri kelganligi sababli.

7. (5.9) formulalar bo'yicha butun kesimning Z va Y markaziy o'qlariga nisbatan eksenel inersiya momentlarini hisoblaymiz:

Butun kesimning markazdan qochma inertsiya momenti I ZY nolga teng, chunki Y o'qi simmetriya o'qidir, ya'ni. Z va Y o'qlari kesmaning asosiy markaziy inersiya o'qlari, hisoblangan eksenel inersiya momentlari esa inertsiyaning asosiy markaziy momentlari hisoblanadi:

MISOL 5.3

Majburiy da ko'rsatilgan kompozit kesimning asosiy markaziy inersiya momentlarini aniqlang (5.11-rasm).

Yechish tartibi 5.2-misolda batafsil ko'rsatilgan.

1. Bo'limni alohida raqamlarga ajratamiz, ularning geometrik xarakteristikalari assortiment jadvalida (I-nur va kanal) berilgan yoki formulalar (5.10) - (5.20) yordamida osonlik bilan hisoblab chiqiladi (bu misolda to'rtburchak) va ularning markaziy o'qlarini chizish.

2. Biz simmetriya o'qini chizamiz Y. Butun kesimning og'irlik markazi shu o'qda yotadi.

3. Ixtiyoriy Z o'qini tanlang. Ushbu misolda bu o'q Z 3 o'qiga to'g'ri kelsin.

4. C dagi masofa ixtiyoriy Z o'qdan butun kesimning og'irlik markazigacha aniqlanadi:

O'zboshimchalik bilan tanlangan Z o'qidan "har bir rasmning markaziy o'qlarigacha bo'lgan masofalar (y 1, y 2, y 3) 5.11-rasmda ko'rsatilgan.

Kanal A 1 va I-nurning A 2 ko'ndalang kesimlari tegishli assortiment jadvallaridan yoziladi va to'rtburchaklar maydoni A 3 hisoblanadi:

A 1 \u003d 23,4 sm 2, A 2 \u003d 46,5 sm 2, A 3 \u003d 24 2 \u003d 48 sm 2.

y C qiymatini Z o‘qidan yuqoriga qarab chizamiz” (y C > 0 bo‘lgani uchun) va shu masofada Z bosh markaziy o‘qni chizamiz.

5. Biz assortiment jadvalidagi o'qlarning yo'nalishidagi farqni hisobga olgan holda va shakldagi o'ralgan profillarning geometrik xususiyatlarini yozamiz. 5.12a, c.

1. Kanal raqami 20

GOST 8240-89

(5.12a-rasm)
;

I-nur № 30

GOST 8239-89

(5.12b-rasm)
h= 30 sm.

I inertsiyaning eksenel momentlari indeksidagi "c" harfi assortimentdagi o'qlarning belgilanishiga ishorani anglatadi.

To'rtburchakning inersiya momentlari (5.12c-rasm) (5.10) va (5.11) formulalar yordamida alohida hisoblanadi:

6. Y va Z umumiy markaziy o‘qlardan alohida figuralarning markaziy o‘qlarigacha bo‘lgan masofalarni aniqlang (ular 5.11-rasmda ko‘rsatilgan):

chunki Y 1, Y 2, Y 3 o'qlari butun Y kesmaning simmetriya o'qiga to'g'ri keladi.

7. Kompleks figuraning markaziy Z va Y o'qlariga nisbatan eksenel inersiya momentlarini (5.9) formulalar bo'yicha aniqlaymiz:

markazdan qochma inersiya momenti
chunki Y o'qi simmetriya o'qidir. Shuning uchun Z va Y o'qlari asosiy markaziy o'qlardir.

Bo'limlarning inersiya momentlari quyidagi ko'rinishdagi integraldir:

da;

- o'qga nisbatan kesmaning eksenel inersiya momenti z;

kesmaning markazdan qochma inersiya momenti;

kesimning qutb inersiya momenti.

3.2.1. Kesim inertsiya momentining xossalari

Inersiya momentlarining o‘lchami [uzunligi 4 ], odatda [ m 4 ] yoki [ sm 4 ].

Eksenel va qutbli inersiya momentlari har doim ijobiydir. Santrifüj inertsiya momenti ijobiy, manfiy yoki nolga teng bo'lishi mumkin.

Markazdan qochma inertsiya momenti nolga teng bo'lgan o'qlar deyiladi inertsiyaning asosiy o'qlari bo'limlar.

Simmetriya o'qlari har doim asosiydir. Agar ikkita o'zaro perpendikulyar o'qdan kamida bittasi simmetriya o'qi bo'lsa, u holda ikkala o'q ham asosiy hisoblanadi.

Kompozit kesimning inersiya momenti ushbu kesim elementlarining inersiya momentlari yig'indisiga teng.

Inersiyaning qutb momenti eksenel inersiya momentlarining yig’indisiga teng.

Keling, oxirgi xususiyatni isbotlaylik. Maydon bilan kesmada LEKIN boshlang'ich platforma uchun dA radius vektor r va koordinatalar da Va z(6-rasm) Pifagor teoremasi bilan bog'langan: r 2 = da 2 + z 2. Keyin

Guruch. 6. Qutb va dekart koordinatalari orasidagi munosabat

boshlang'ich o'yin maydonchasi

3.2.2. Eng oddiy figuralarning inersiya momentlari

IN to'rtburchaklar kesim(7-rasm) elementar maydonni tanlang dA koordinatalari bilan y Va z va maydon dA = dydz.

Guruch. 7. To'rtburchaklar kesim

O'qga nisbatan eksenel inersiya momenti da

.

Xuddi shunday, biz o'qga nisbatan inersiya momentini olamiz z:

Shu darajada da Va z simmetriya o'qlari, keyin markazdan qochma moment D zy = 0.

Uchun doira diametri d dumaloq simmetriya hisobga olinsa va qutbli koordinatalardan foydalanilsa, hisob-kitoblar soddalashtiriladi. Elementar maydon sifatida radiusi r va qalinligi cheksiz yupqa halqani olaylik. d r (8-rasm). Uning maydoni dA= 2p d r. U holda qutb inersiya momenti:

.

Guruch. 8. Dumaloq qism

Yuqorida ko'rsatilganidek, har qanday markaziy o'qqa nisbatan eksenel inersiya momentlari bir xil va tengdir

.

Inersiya momenti halqalar biz ikkita aylana inersiya momentlari orasidagi farqni topamiz - tashqi (diametri bilan) D) va ichki (diametri bilan d):

Inersiya momenti I z uchburchak og'irlik markazidan o'tadigan o'qga nisbatan aniqlaymiz (9-rasm). Shubhasiz, masofada joylashgan elementar chiziqning kengligi da o'qdan tashqari z, ga teng

Binobarin,

Guruch. 9. Uchburchak kesim

3.3. Parallel o'qlarga nisbatan inersiya momentlari orasidagi bog'lanishlar

O'qlarga nisbatan inersiya momentlarining ma'lum qiymatlari bilan z Va da boshqa o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlang z 1 va y Berilganlarga 1 parallel. Eksenel inersiya momentlarining umumiy formulasidan foydalanib, biz topamiz

Agar o'qlar z Va y markaziy, keyin
, Va

Olingan formulalardan ko'rinib turibdiki, markaziy o'qlarga nisbatan inersiya momentlari (qachon
) har qanday boshqasiga nisbatan inersiya momentlari bilan solishtirganda eng kichik qiymatlarga ega parallel o'qlar.

3.4. Bosh o'qlar va bosh inersiya momentlari

O'qlar a burchak ostida aylantirilganda markazdan qochma inersiya momenti ga teng bo'ladi.

.

Bosh bosh inersiya o’qlarining o’rnini aniqlaylik u, v qaysi haqida

,

bu erda a 0 - o'qlarni aylantirish kerak bo'lgan burchak y Va z ularni asosiylari qilish.

Chunki formula ikkita burchak qiymatini beradi Va
, keyin ikkita o'zaro perpendikulyar bosh o'q mavjud. Maksimal o'q har doim kichikroq burchak hosil qiladi ( ) o'qlardan biri bilan ( z yoki y), qaysiga nisbatan eksenel moment inertsiya muhimroqdir. Eslatib o'tamiz, musbat burchaklar o'qdan chizilgan z soat miliga teskari.

Bosh o'qlarga nisbatan inersiya momentlari deyiladi bosh inersiya momentlari. Ko'rsatish mumkinki, ular

.

Ikkinchi muddat oldidagi ortiqcha belgisi inersiyaning maksimal momentini, minus belgisi esa minimalni bildiradi.

Kesimning eksenel (yoki ekvatorial) inersiya momenti ba'zi bir o'q atrofida uning butun maydoni ustidan olingan deyiladi F dF ularning bu o'qdan masofalarining kvadratlari bo'yicha, ya'ni.

Kesmaning ma'lum bir nuqtaga (qutbga) nisbatan qutb inersiya momenti uning butun maydoni bo'ylab olinadi F elementar maydonlar mahsuloti yig'indisi dF ularning bu nuqtadan masofalarining kvadratlari bo'yicha, ya'ni.

Ikki o'zaro perpendikulyar o'qlarga nisbatan kesmaning markazdan qochma inertsiya momenti uning butun maydoni bo'ylab olingan deb ataladi. F elementar maydonlar mahsuloti yig'indisi dF bu o'qlardan ularning masofalarida, ya'ni.

Inersiya momentlari sm 4, m 4 va hokazolarda ifodalanadi. Eksenel va qutbli inersiya momentlari har doim ijobiy bo'ladi, chunki ularning integral belgilari ostidagi ifodalari maydonlarning qiymatlarini o'z ichiga oladi. dF(har doim ijobiy) va ushbu saytlarning berilgan o'q yoki qutbdan masofalari kvadratlari.

2.3-rasmda maydonga ega bo'lgan kesma ko'rsatilgan F va boltalarni ko'rsatish da Va x.

Guruch. 2.3. F bo'lim maydoni.

Ushbu kesimning o'qlarga nisbatan eksenel inersiya momentlari da Va x:

Ushbu inersiya momentlarining yig'indisi

Binobarin,

Ikki o'zaro perpendikulyar o'qga nisbatan kesmaning eksenel inersiya momentlarining yig'indisi ushbu kesmaning ushbu o'qlarning kesishish nuqtasiga nisbatan qutbli inersiya momentiga teng.

Santrifüj inertsiya momentlari musbat yoki nolga teng bo'lishi mumkin. Bir yoki ikkalasi simmetriya o'qlariga to'g'ri keladigan kesmaning o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti nolga teng. Murakkab kesmaning ma'lum o'qga nisbatan eksenel inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining bir xil o'qqa nisbatan eksenel inersiya momentlari yig'indisiga teng. Xuddi shunday, kompleks kesmaning har qanday ikkita o'zaro perpendikulyar o'qga nisbatan markazdan qochma inersiya momenti uning tarkibiy qismlarining bir xil o'qlarga nisbatan markazdan qochma inersiya momentlari yig'indisiga teng. Shuningdek, kompleks kesmaning ma’lum nuqtaga nisbatan qutb inersiya momenti uni tashkil etuvchi qismlarning bir nuqtaga nisbatan qutb inersiya momentlari yig‘indisiga teng. Shuni yodda tutish kerakki, turli o'qlar va nuqtalarga nisbatan hisoblangan inersiya momentlarini yig'ib bo'lmaydi.

To'rtburchak uchun

Doira uchun

Ring uchun

Ko'pincha amaliy masalalarni yechishda kesmaning uning tekisligida turli yo'llar bilan yo'naltirilgan o'qlarga nisbatan inersiya momentlarini aniqlash kerak. Bunday holda, texnik adabiyotlarda, maxsus ma'lumotnomalarda va jadvallarda keltirilgan boshqa o'qlarga nisbatan butun uchastkaning (yoki uning alohida qismlarining) inersiya momentlarining allaqachon ma'lum bo'lgan qiymatlaridan foydalanish qulaydir. mavjud formulalar yordamida hisoblab chiqilgan. Shuning uchun bir xil kesimning turli o'qlarga nisbatan inersiya momentlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatish juda muhimdir.

Eng umumiy holatda, har qandayidan o'tish eski k har qanday yangi koordinatalar tizimini eski koordinatalar tizimining ikkita ketma-ket o'zgarishi sifatida ko'rib chiqish mumkin:

1) tomonidan parallel uzatish o'qlarni yangi holatga muvofiqlashtirish;

2) ularni yangi kelib chiqishiga nisbatan aylantirish orqali.

Binobarin,

Agar eksa X kesimning og'irlik markazidan, so'ngra statik momentdan o'tadi S x= 0 va

Parallel o'qlarga nisbatan barcha inersiya momentlari ichida eksenel inersiya momenti kesimning og'irlik markazidan o'tadigan o'qga nisbatan eng kichik qiymatga ega.

O'qga nisbatan inersiya momenti da

Maxsus holatda, o'q / bo'limning og'irlik markazidan o'tganda,

markazdan qochma inersiya momenti

Muayyan holatda, eski koordinata tizimining kelib chiqishi y0x uchastkaning og'irlik markazida joylashgan,

Agar kesma simmetrik bo'lsa va eski o'qlardan biri (yoki ikkalasi) simmetriya o'qiga to'g'ri kelsa, u holda