Tizim harakatining miqdori sistemaning barcha moddiy nuqtalari harakat miqdorlarining geometrik yig'indisi deb ataladi
Aniqlik uchun jismoniy hissiyot(70) (64) ning hosilasini hisoblang
.
(71)
(70) va (71) ni birgalikda yechib, biz hosil qilamiz
.
(72)
Shunday qilib, mexanik tizimning impuls vektori tizim massasi va uning massa markazi tezligining mahsuloti bilan aniqlanadi..
(72) ning hosilasini hisoblaymiz.
.
(73)
(73) va (67) ni birgalikda yechib, biz hosil qilamiz
.
(74)
(74) tenglama quyidagi teoremani ifodalaydi.
Teorema: Tizimning impuls vektorining vaqt hosilasi tizimning barcha tashqi kuchlarining geometrik yig'indisiga teng.
Muammolarni yechishda (74) tenglamani koordinata o'qlariga proyeksiya qilish kerak:
.
(75)
(74) va (75) ning tahlili quyidagilarni nazarda tutadi sistema impulsining saqlanish qonuni: Agar tizimning barcha kuchlarining yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda uning impuls vektori kattaligi va yo'nalishini saqlab qoladi.
Agar 
, keyin 
,Q
=
const
.
(76)
Muayyan holatda bu qonun koordinata o'qlaridan biri bo'ylab bajarilishi mumkin.
Agar 
, keyin, Q z =
const.
(77)
Suyuq va gazsimon jismlar tizimga kirgan hollarda impulsning o'zgarishi teoremasidan foydalanish maqsadga muvofiqdir.
Mexanik sistemaning burchak momentining o'zgarishi haqidagi teorema
Harakat miqdori faqat harakatning tarjima komponentini xarakterlaydi. Jismning aylanish harakatini tavsiflash uchun tizimning harakat miqdorlariga nisbatan asosiy moment tushunchasi. bu markaz(kinetik moment).
Tizimning impulsi haqida bu markaz deyiladi geometrik yig'indi uning barcha nuqtalarining bir xil markazga nisbatan impulslarining momentlari
.
(78)
(22) ni koordinata o‘qlariga proyeksiya qilib, koordinata o‘qlariga nisbatan burchak impulsining ifodasini olish mumkin.
.
(79)
Tananing o'qlarga nisbatan burchak momenti jismning bu o'qga nisbatan inersiya momentining jismning burchak tezligiga ko'paytmasiga teng.
.
(80)
(80) dan kelib chiqadiki, kinetik moment faqat harakatning aylanish komponentini xarakterlaydi.
Kuchning aylanish harakatining xarakteristikasi uning aylanish o'qiga nisbatan momentidir.
Impulsning o'zgarishi teoremasi aylanish harakatining xarakteristikasi va bu harakatni keltirib chiqaradigan kuch o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi.
Teorema: Tizimning qaysidir markazga nisbatan burchak momentum vektorining vaqt hosilasi sistemaning barcha tashqi kuchlari momentlarining geometrik yig‘indisiga teng.xuddi shu markaz
.
(81)
Muhandislik masalalarini echishda (81) koordinata o'qlariga proyeksiya qilish kerak
Ularning tahlili (81) va (82) nazarda tutadi impulsning saqlanish qonuni: Agar barcha tashqi kuchlarning markazga (yoki o'qga) nisbatan momentlari yig'indisi nolga teng bo'lsa, u holda tizimning ushbu markazga (yoki o'qga) nisbatan kinetik momenti o'zining kattaligi va yo'nalishini saqlab qoladi.
,
yoki 
Burchak impulsini tizimning ichki kuchlari ta'sirida o'zgartirish mumkin emas, lekin bu kuchlar tufayli inersiya momentini va demak, burchak tezligini o'zgartirish mumkin.
Moddiy nuqta kuch ta'sirida harakatlansin F. Bu nuqtaning harakatlanuvchi sistemaga nisbatan harakatini aniqlash talab qilinadi Oxyz(sm. murakkab harakat moddiy nuqta), qo'zg'almas tizimga nisbatan ma'lum tarzda harakat qiladi O 1 x 1 y 1 z 1 .
Statsionar tizimda dinamikaning asosiy tenglamasi
Nuqtaning absolyut tezlanishini Koriolis teoremasiga asosan yozamiz
qayerda a abs- mutlaq tezlashtirish;
a rel– nisbiy tezlanish;
a qator– portativ tezlashtirish;
a yadro Koriolis tezlanishi.
Keling, (26) ni hisobga olgan holda (25) qayta yozamiz.
Keling, belgi bilan tanishamiz 
- portativ inertsiya kuchi, 
Koriolis inertsiya kuchidir. Keyin (27) tenglama shaklni oladi
O'rganish uchun dinamikaning asosiy tenglamasi nisbiy harakat(28) mutlaq harakatdagi kabi yoziladi, nuqtaga ta'sir etuvchi kuchlarga faqat translatsiya va Koriolis inersiya kuchlarini qo'shish kerak.
Moddiy nuqta dinamikasining umumiy teoremalari
Ko'pgina muammolarni hal qilishda siz Nyutonning ikkinchi qonuni asosida olingan oldindan tayyorlangan blankalardan foydalanishingiz mumkin. Bunday muammolarni hal qilish usullari ushbu bo'limda birlashtirilgan.
Moddiy nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teorema
Keling, quyidagi dinamik xususiyatlarni keltiramiz:
1. Moddiy nuqtaning harakat miqdori nuqta massasi va uning tezligi vektorining mahsulotiga teng vektor kattalikdir
.
(29)
2. Kuchning impulsi
Elemental kuch impulsi- elementar vaqt oralig'idagi kuch vektorining ko'paytmasiga teng vektor miqdori
(30).
Keyin to'liq impuls
.
(31)
Da F=const olamiz S=ft.
Cheklangan vaqt oralig'idagi umumiy impulsni faqat ikkita holatda, nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch doimiy yoki vaqtga bog'liq bo'lganda hisoblash mumkin. Boshqa hollarda, kuchni vaqt funktsiyasi sifatida ifodalash kerak.
Impuls (29) va impuls (30) o'lchovlarining tengligi ular o'rtasida miqdoriy munosabatni o'rnatish imkonini beradi.
Harakat ostidagi M moddiy nuqtaning harakatini ko'rib chiqaylik ixtiyoriy kuch F ixtiyoriy yo'l bo'ylab.
HAQIDA 
UD: 
.
(32)
Biz (32) o'zgaruvchilarni ajratamiz va integrallaymiz
.
(33)
Natijada, (31) ni hisobga olgan holda, biz olamiz
.
(34)
(34) tenglama quyidagi teoremani ifodalaydi.
Teorema: Moddiy nuqta impulsining ma’lum vaqt oralig‘idagi o‘zgarishi shu vaqt oralig‘idagi nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning impulsiga teng.
Masalalarni yechishda (34) tenglamani koordinata o’qlariga proyeksiya qilish kerak
Berilgan va noma’lum miqdorlar nuqta massasi, uning boshlang‘ich va oxirgi tezligi, kuchlar va harakat vaqtini o‘z ichiga olgan holda bu teoremadan foydalanish qulay.
Moddiy nuqtaning burchak impulsining o'zgarishi haqidagi teorema
M 
moddiy nuqtaning momentum momenti markazga nisbatan nuqta va qo'lning momentum modulining mahsulotiga teng, ya'ni. markazdan to'g'ri keladigan chiziqqa eng qisqa masofa (perpendikulyar). tezlik vektori
,
(36)
.
(37)
Kuch momenti (sabab) va impuls momenti (ta'sir) o'rtasidagi bog'liqlik quyidagi teorema bilan o'rnatiladi.
Berilgan massali M nuqta bo'lsin m kuch ta'sirida harakat qiladi F.
,
,
,
(38)
.
(39)
(39) ning hosilasini hisoblaylik.
.
(40)
(40) va (38) ni birlashtirib, biz nihoyat erishamiz
.
(41)
(41) tenglama quyidagi teoremani ifodalaydi.
Teorema: Moddiy nuqtaning biror markazga nisbatan burchak momentum vektorining vaqt hosilasi shu markazga nisbatan nuqtaga ta’sir etuvchi kuch momentiga teng.
Masalalarni yechishda (41) tenglamani koordinata o'qlariga proyeksiya qilish kerak
(42) tenglamalarda koordinata o'qlariga nisbatan impuls va kuch momentlari hisoblanadi.
(41) dan kelib chiqadi burchak momentumining saqlanish qonuni (Kepler qonuni).
Agar biron bir markazga nisbatan moddiy nuqtaga ta'sir qiluvchi kuch momenti nolga teng bo'lsa, u holda nuqtaning bu markazga nisbatan burchak momenti o'z kattaligini va yo'nalishini saqlab qoladi.
Agar 
, keyin 
.
mavzusidagi masalalarda teorema va saqlanish qonunidan foydalaniladi egri chiziqli harakat, ayniqsa markaziy kuchlar ta'sirida.
O'lchov bo'yicha harakat soni mexanik harakat, agar mexanik harakat mexanik harakatga aylansa. Misol uchun, bilyard to'pi (22-rasm) zarbadan oldin mexanik harakati zarbadan keyin to'plarning mexanik harakatiga o'tadi. Bir nuqta uchun momentum mahsulotga teng.
Bu holatda kuch ta'sirining o'lchovi kuchning impulsi hisoblanadi
.
(9.1)
Momentum kuchning harakatini belgilaydi 
bir muddat uchun 
. Moddiy nuqta uchun impulsning o'zgarishi teoremasi differentsial shaklda ishlatilishi mumkin 
(9.2) yoki integral (cheklangan) shakl 
.
(9.3)
Moddiy nuqta impulsining ma’lum vaqt oralig‘idagi o‘zgarishi nuqtaga bir vaqtning o‘zida tatbiq etilgan barcha kuchlarning impuls momentiga teng.
22-rasm
Masalalarni yechishda (9.3) teorema koordinata o‘qlariga proyeksiyalarda ko‘proq qo‘llaniladi. 
;
;
(9.4)
.
Nuqta impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanib, nuqta yoki jismga tarjima yo'li bilan harakatlanayotgan vaqtga, berilgan va qidirilayotgan qiymatlar soniga bog'liq bo'lgan doimiy yoki o'zgaruvchan kuchlar ta'sirida bo'lgan muammolarni hal qilish mumkin. harakatning boshida va oxirida harakat vaqti va tezligini o'z ichiga oladi. Teoremadan foydalangan holda masalalar quyidagi ketma-ketlikda echiladi:
1. koordinatalar tizimini tanlash;
2. nuqtaga ta’sir etuvchi barcha berilgan (faol) kuchlar va reaksiyalarni tasvirlash;
3. tanlangan koordinata o‘qlariga proyeksiyalarda nuqta impulsining o‘zgarishi haqidagi teoremani yozing;
4. kerakli qiymatlarni aniqlash.
12-Misol.
Og'irligi G=2t bo'lgan bolg'a h=1m balandlikdan t=0,01s vaqt ichida ishlov beriladigan buyumga tushib, qismga shtamp qo'yadi (23-rasm). Ish qismiga bolg'aning o'rtacha kuchini aniqlang.
YECHIMA.
1. Ishlov beriladigan qismga bolg'acha tortish kuchi ta'sir qiladi 
va reaktsiyani qo'llab-quvvatlash 
. Qiymat qo'llab-quvvatlash reaktsiyasi vaqt o'tishi bilan o'zgaradi, shuning uchun uning o'rtacha qiymatini hisobga oling 
.
2. koordinata o‘qini y vertikal pastga yo‘naltiring va proyeksiyadagi nuqta impulsining o‘zgarishi haqidagi teoremani shu o‘qga qo‘llang: 
, (1) qaerda 
- zarba oxirida bolg'a tezligi;
- ishlov beriladigan qism bilan aloqa qilishda bolg'aning dastlabki tezligi.
3. Tezlikni aniqlash uchun 
tuzmoq differensial tenglama y o'qi bo'yicha proyeksiyada bolg'a harakati:
.
(2)
O'zgaruvchilarni ajrating, (2) tenglamani ikki marta integrallang: 
;
;
. Integratsiya konstantalari C 1 , C 2 dan topamiz dastlabki shartlar. t=0 da V y =0, keyin C 1 =0; y \u003d 0, keyin C 2 \u003d 0. Shuning uchun bolg'a qonunga muvofiq harakat qiladi 
, (3) va bolg'a tezligi qonunga muvofiq o'zgaradi 
. (4) Biz bolg'aning harakatlanish vaqtini (3) dan ifodalaymiz va (4) ga almashtiramiz. 
;
.
(5)
4. Tashqi kuchlar impulsining y o‘qiga proyeksiyasini quyidagi formula bo‘yicha topamiz: 
. (6) (5) va (6) ni (1) o‘rniga qo‘ying: 
, biz tayanchning reaktsiyasini va shunga mos ravishda ishlov beriladigan qismga bolg'aning kerakli bosimini qaerdan topamiz 
T.
24-rasm
TOBu erda M - tizimning massasi, V c - tezlik og'irlik markazi. Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema differensial va chekli (integral) ko'rinishda yozilishi mumkin: 
;
.
(9.7)
. (9.5) Tizim yoki qattiq jismning harakat miqdorini sistemaning massasini va massa markazining tezligini bilgan holda aniqlash mumkin. 
,
(9.6)Mexanik tizimning ma'lum vaqt oralig'idagi harakat miqdorining o'zgarishi bir vaqtning o'zida ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarning impulslari yig'indisiga teng. Ba'zan koordinata o'qlariga proyeksiyada impulsning o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanish qulayroqdir. 
;
(9.8)
.
(9.9)
Impulsning saqlanish qonuni tashqi kuchlar bo'lmaganda mexanik tizimning impulsi doimiy bo'lib qolishini belgilaydi. Ichki kuchlarning harakati tizimning momentumini o'zgartira olmaydi. (9.6) tenglama shuni ko'rsatadiki, uchun 
,
.
Agar 
, keyin 
yoki 
.
D
pervanel yoki pervanel reaktiv harakat. Squidlar suv to'pining printsipi bo'yicha mushak qopchasidan suv tashlab, silkinib harakatlanadi (25-rasm). Qaytarilgan suv ma'lum miqdordagi orqaga harakatga ega. Kalamar mos keladigan tezlikka erishadi 
reaktiv surish tufayli oldinga siljish 
, chunki kalamar tashqariga otilishidan oldin, kuch 
tortishish kuchi bilan muvozanatlangan 
.
Impulsning o'zgarishi teoremasining qo'llanilishi hamma narsani ko'rib chiqishdan chiqarib tashlashga imkon beradi ichki kuchlar.
13-Misol.
Temir yo'l platformasida relslar ustida mustaqil, radiusi r bo'lgan barabanli lyuska A o'rnatilgan (26-rasm). Vinç m 1 massali B yuk platformasida harakatlanish uchun mo'ljallangan. Vinçli platformaning og'irligi m 2 . Vinç barabani qonunga muvofiq aylanadi 
. Dastlabki vaqtda tizim mobil edi. Ishqalanishni e'tiborsiz qoldirib, vinchni yoqgandan keyin platforma tezligining o'zgarishi qonunini toping.
R 
QAROR.
1. Platformani, vinchni va yukni bitta deb hisoblang mexanik tizim, ta'sir qiladi tashqi kuchlar: yukning tortishish kuchi 
va platformalar 
va reaktsiyalar 
Va 
.
2. Barcha tashqi kuchlar x o'qiga perpendikulyar bo'lgani uchun, ya'ni. 
, biz x o'qiga proyeksiya qilishda mexanik tizim impulsining saqlanish qonunini qo'llaymiz: 
. Dastlabki vaqtda tizim statsionar edi, shuning uchun 
Vaqtning ixtiyoriy nuqtasida sistemaning harakat miqdorini ifodalaylik. Platforma bir tezlikda oldinga siljiydi 
, yuk tezlik bilan platforma bo'ylab nisbiy harakatdan iborat bo'lgan murakkab harakatni amalga oshiradi 
Va portativ harakat tezlik bilan platforma bilan birga 
., qayerda 
. Platforma yukning nisbiy harakatiga teskari yo'nalishda harakat qiladi.
14-MISA.
YECHIMA.
1. Mexanik sistemaning x o'qiga proyeksiyada impuls momentining o'zgarishi haqidagi teoremani qo'llang. Tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar vertikal bo'lgani uchun, demak 
, keyin 
, qayerda 
.
(1)
2. Ko'rib chiqilayotgan mexanik tizim uchun x o'qi bo'yicha harakat miqdori proyeksiyasini ifodalaymiz 
,
t 2) (S-metrda, t-sekundda), (26-rasm). Mexanik tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanib, t 1 =1s vaqtdagi plastinka tezligini aniqlang.qayerda 
,
-- mos ravishda plastinka va yukning harakatlanish miqdori. 
;
, qayerda 
--yukning mutlaq tezligiD. (1) tenglikdan kelib chiqadiki, K 1x + K 2x \u003d C 1 yoki m 1 u x + m 2 V Dx \u003d C 1. (2) V Dx ni aniqlash uchun D yukning harakatini murakkab deb hisoblaymiz, uning plastinkaga nisbatan harakatini nisbiy, plastinkaning o'zini esa ko'chma deb hisoblaymiz, keyin 
,
(3)
yoki x o'qi bo'yicha proyeksiyada: 
. (4) (2) ga (4) almashtirilsin: 
. (5) Integrasiya konstantasi C 1 boshlangich shartlardan aniqlanadi: t=0 u=u 0 da; (m 1 + m 2)u 0 \u003d C 1. (6) C 1 doimiysining qiymatini (5) tenglamaga qo'yib, olamiz 
Xonim.
Moddiy nuqtalardan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqing. Bu sistema uchun harakatning differensial tenglamalarini (13) tuzamiz va ularni had bo’yicha qo’shamiz. Keyin olamiz
Ichki kuchlar xususiyati bo'yicha oxirgi yig'indi nolga teng. Bundan tashqari,
Nihoyat topamiz
(20) tenglama sistema impulsining o’zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: sistema impulsining vaqt hosilasi sistemaga ta’sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig’indisiga teng. Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda u quyidagicha bo'ladi:
Keling, teoremaning boshqa ifodasini topaylik. Vaqt momentida sistemaning impulsi ga teng bo'lsin va ayni paytda ga teng bo'lsin. Keyin, tenglikning ikkala tomonini (20) ga ko'paytirib, integrallashga erishamiz
chunki o'ngdagi integrallar tashqi kuchlarning impulslarini beradi.
(21) tenglama sistema impulsining o’zgarishi haqidagi teoremani integral shaklda ifodalaydi: sistema impulsining ma’lum vaqt oralig’ida o’zgarishi tashqi kuchlar sistemasiga ta’sir etuvchi impulslar yig’indisiga teng. bir xil vaqt davri.
Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda u quyidagicha bo'ladi:
Isbotlangan teorema bilan massalar markazining harakati haqidagi teorema o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rsatamiz. dan boshlab, bu qiymatni tenglikka (20) almashtirib, biz , ya'ni (16) tenglamani olishimizni hisobga olgan holda.
Demak, massalar markazining harakati haqidagi teorema va sistema impulsining o‘zgarishi haqidagi teorema, mohiyatan ikkitadir. turli shakllar bir xil teorema. Qattiq jismning (yoki jismlar tizimining) harakati o'rganilayotgan hollarda, ushbu shakllarning har qandayidan teng foydalanish mumkin va (16) tenglama odatda foydalanish uchun qulayroqdir. Uzluksiz muhit (suyuqlik, gaz) uchun muammolarni echishda ular odatda tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan foydalanadilar. Bu teorema ta'sir nazariyasida (qarang. Ch. XXXI) va reaktiv harakatni o'rganishda ham muhim qo'llanmalarga ega (114-§ ga qarang).
Moddiy nuqtaning harakat miqdori vektor kattalik deyiladi mv, nuqta massasi va uning tezligi vektorining mahsulotiga teng. Vektor mV harakatlanuvchi nuqtaga biriktirilgan.
Tizim harakatining miqdori vektor kattalik deyiladi Q, tizimning barcha nuqtalari impulsining geometrik yig'indisiga (bosh vektor) teng:
Vektor Q erkin vektor hisoblanadi. SI birliklar tizimida impuls moduli kg m/s yoki N s bilan o'lchanadi.
Qoida tariqasida, tizimning barcha nuqtalarining tezligi har xil (masalan, 6.21-rasmda ko'rsatilgan dumaloq g'ildirak nuqtalarining tezliklarini taqsimlash) va shuning uchun o'ng tomondagi vektorlarning to'g'ridan-to'g'ri yig'indisi. tenglik (17.2) qiyin. Miqdori yordamida formula topamiz Q hisoblash ancha oson. Tenglikdan (16.4) kelib chiqadiki
Ikkala qismning vaqt hosilasini olib, biz olamiz
Demak, tenglikni hisobga olgan holda (17.2), biz buni topamiz
ya'ni tizimning harakat miqdori butun tizimning massasi va uning massa markazi tezligining mahsulotiga teng.
E'tibor bering, vektor Q, statikadagi kuchlarning asosiy vektori kabi butun mexanik tizim harakatining qandaydir umumlashtirilgan vektor xarakteristikasidir. Tizim harakatining umumiy holatida uning impulsi shunday bo'ladi Q sistema harakatining massa markazi bilan birga translatsiya qismining xarakteristikasi sifatida qaralishi mumkin. Agar tizim (tana) harakati paytida massa markazi harakatsiz bo'lsa, u holda tizimning impulsi nolga teng bo'ladi. Masalan, jismning massa markazidan o'tuvchi qo'zg'almas o'q atrofida aylanayotgan momenti shunday.
Misol. Mexanik tizimning harakat miqdorini aniqlang (17.1-rasm, lekin), yukdan iborat LEKIN vazn t A - 2 kg, bir hil blok IN og'irligi 1 kg va g'ildiraklar D vazn mD-4 kg. Yuk LEKIN tezlikda harakat qilish V A - 2 m/s, g'ildirak D sirg'anmasdan rulonlarda, ip cho'zilmaydi va vaznsizdir. Yechim. Tana tizimining harakat miqdori
Tana LEKIN oldinga siljish va Q A \u003d m A V A(raqamli QA= 4 kg m / s, vektor yo'nalishi QA yo‘nalishiga to‘g‘ri keladi VA). Bloklash IN majburiyat oladi aylanish harakati uning massa markazidan o'tadigan sobit o'q atrofida; Binobarin, QB- 0. G'ildirak D tekislikni parallel qiladi
harakat; uning tezliklarining oniy markazi nuqtada TO, shuning uchun uning massa markazining tezligi (nuqta E) ga teng V E = V A /2= 1 m/s. G'ildirak harakati soni Q D - m D V E - 4 kg m/s; vektor Q D gorizontal ravishda chapga yo'naltirilgan.
Vektorlarni tasvirlash QA Va Q D rasmda. 17.1, b, impulsni toping Q(a) formulasiga muvofiq tizimlar. Miqdorlarning yo'nalishlari va raqamli qiymatlarini hisobga olgan holda biz olamiz Q ~^Q A +Q E=4l/2~kg m/s, vektor yo'nalishi Q shaklda ko'rsatilgan. 17.1, b.
Sharti bilan; inobatga olgan holda a-dV/dt, dinamikaning asosiy qonunining (13.4) tenglamasi sifatida ifodalanishi mumkin
(17.4) tenglama nuqta impulsining o’zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: vaqtning har bir momentida nuqta impulsining vaqt hosilasi nuqtaga ta’sir etuvchi kuchga teng bo’ladi. (Aslida, bu Nyuton bergan qonunga yaqin, dinamikaning asosiy qonunining yana bir formulasi.) Agar nuqtada bir nechta kuchlar taʼsir etsa, tenglikning oʻng tomonida (17.4) kuchlarning natijasi boʻladi. moddiy nuqtaga qo'llaniladi.
Agar tenglamaning ikkala tomoni ko'paytirilsa dt, keyin olamiz
Ushbu tenglikning o'ng tomonidagi vektor qiymati elementar vaqt ichida tanaga kuch bilan ta'sir qiladigan harakatni tavsiflaydi. dt bu qiymat belgilanadi dS va qo'ng'iroq qiling elementar kuch impulsi, ya'ni
Puls S kuch F cheklangan vaqt oralig'ida /, - / 0 mos keladigan elementar impulslarning integral yig'indisining chegarasi sifatida aniqlanadi, ya'ni.
Muayyan holatda, agar kuch F modul va yo'nalish bo'yicha doimiy, keyin S = F (t| -/0) va S- F(t l -/ 0). Umumiy holda, kuch impulsining modulini uning koordinata o'qlariga proektsiyalaridan hisoblash mumkin:
Endi tenglikning ikkala qismini (17.5) bilan integrallash T= const, olamiz
(17.9) tenglama nuqta impulsini chekli (integral) ko'rinishda o'zgartirish teoremasini ifodalaydi: nuqta impulsining ma'lum vaqt oralig'idagi o'zgarishi, xuddi shu vaqt oralig'ida nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning impuls momentiga (yoki unga qo'llaniladigan barcha kuchlarning natijaviy momentiga) teng.
Masalalarni yechishda bu teorema tenglamalari koordinata o'qlariga proyeksiyalarda qo'llaniladi
Endi dan iborat mexanik tizimni ko'rib chiqing P moddiy nuqtalar. Keyin har bir nuqta uchun impulsning o'zgarishi teoremasini nuqtalarga qo'llaniladigan tashqi va ichki kuchlarni hisobga olgan holda (17.4) ko'rinishda qo'llashimiz mumkin:
Ushbu tengliklarni jamlab, hosilalarning yig'indisi yig'indining hosilasiga teng ekanligini hisobga olib, biz hosil bo'lamiz.
Chunki ichki kuchlarning mulki bilan H.F.k=0 va impuls ta'rifi bo'yicha ^fn k V/ c = Q, keyin biz nihoyat topamiz
(17.11) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi: vaqtning har bir momentida sistema impulsining vaqt hosilasi sistemaga ta'sir etuvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng bo'ladi.
Tenglikni (17.11) koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, olamiz
(17.11) ning ikkala tomonini ga ko'paytirish dt va integratsiya, biz olamiz
qaerda 0, Q0 - vaqti-vaqti bilan tizimning harakat miqdori va / 0 .
(17.13) tenglama sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teoremani integral shaklda ifodalaydi: sistemaning impuls momentining istalgan vaqtda o'zgarishi tizimga bir vaqtning o'zida ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning impulslari yig'indisiga teng.
Koordinata o'qlariga proyeksiyalarda biz olamiz
Tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teoremadan quyidagi muhim natijalarni olish mumkin, ular sistema impulsining saqlanish qonuni.
- 1. Agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng bo'lsa (LF k=0), u holda (17.11) tenglamadan bu holda shunday xulosa chiqadi Q= const, ya'ni tizimning impuls vektori kattalik va yo'nalishda doimiy bo'ladi.
- 2. Agar sistemaga ta’sir etuvchi tashqi kuchlar ularning istalgan o‘qdagi proyeksiyalari yig‘indisi nolga teng bo‘lsa (masalan, I e kx = 0), u holda (17.12) tenglamalardan bu holda shunday bo'ladi Q x = const, ya'ni bu o'qda tizim impulsining proyeksiyasi o'zgarishsiz qoladi.
E'tibor bering, tizim impulsining o'zgarishi haqidagi teorema tenglamasida tizimning ichki kuchlari ishtirok etmaydi. Bu kuchlar, garchi ular tizimning alohida nuqtalarining impulslariga ta'sir qilsalar ham, butun tizim impulsini o'zgartira olmaydi. Bunday vaziyatni hisobga olgan holda, muammolarni hal qilishda noma'lum kuchlar (barcha yoki ularning bir qismi) ichki bo'lishi uchun ko'rib chiqilayotgan tizimni tanlash maqsadga muvofiqdir.
Impulsning saqlanish qonuni tizimning bir qismi tezligining o'zgarishi uning boshqa qismining tezligini aniqlash uchun zarur bo'lgan hollarda qo'llash uchun qulaydir.
Muammo 17.1. TO trolleybus tortish t x- 12 kg silliq gorizontal tekislikda, bir nuqtada harakatlanadi LEKIN silindrsimon ilgak yordamida vaznsiz novda biriktiriladi AD uzunligi /= 0,6 m yuk bilan D vazn t 2 - oxirida 6 kg (17.2-rasm). Vaqtida / 0 = 0, trolleybus tezligi qachon Va () - 0,5 m/s, novda AD o'qi atrofida aylana boshlaydi LEKIN, chizma tekisligiga perpendikulyar, qonunga ko'ra ph \u003d (tg / 6) (3 ^ 2 - 1) rad (/- soniyalarda). Belgilang: u=f.
§ 17.3. Massalar markazining harakati haqidagi teorema
Mexanik sistema impulsining o'zgarishi haqidagi teorema boshqa ko'rinishda ham ifodalanishi mumkin, u massalar markazining harakati to'g'risidagi teorema deb ataladi.
(17.11) tenglamaga tenglikni qo'yish Q=MV C, olamiz
Agar massa M tizim doimiy, biz olamiz
qayerda va bilan - tizimning massa markazining tezlashishi.
(17.15) tenglama sistemaning massalar markazining harakati haqidagi teoremani ifodalaydi: sistema massasi va uning massa markazi tezlanishining mahsuloti tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisiga teng.
Tenglikni (17.15) koordinata o'qlariga proyeksiya qilib, olamiz
qayerda x c, y c, z c - tizimning massa markazining koordinatalari.
Bu tenglamalar o'qdagi proyeksiyalarda massa markazining harakatining differensial tenglamalaridir Dekart tizimi koordinatalar.
Keling, natijalarni muhokama qilaylik. Oldindan eslaylikki, tizimning massa markazi ba'zan tananing geometrik chegaralaridan tashqarida joylashgan geometrik nuqtadir. Mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlar (tashqi va ichki) tizimning barcha moddiy nuqtalariga qo'llaniladi. (17.15) tenglamalar sistemaning massalar markazining harakatini uning alohida nuqtalarining harakatini aniqlamasdan aniqlash imkonini beradi. Moddiy nuqta uchun massalar markazining harakati haqidagi teorema tenglamalari (17.15) va Nyuton ikkinchi qonunining (13.5) tenglamasini solishtirib, shunday xulosaga kelamiz: mexanik tizimning massa markazi massasi butun tizimning massasiga teng bo'lgan moddiy nuqta sifatida harakat qiladi va xuddi shu nuqtaga tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlar qo'llaniladi. Shunday qilib, biz ko'rib chiqish orqali erishadigan echimlar berilgan tana moddiy nuqta sifatida ushbu jismning massa markazining harakat qonunini aniqlang.
Xususan, agar tana oldinga siljiydigan bo'lsa, u holda tananing barcha nuqtalari va uning massa markazining kinematik xususiyatlari bir xil bo'ladi. Shunung uchun progressiv harakatlanuvchi jism har doim massaga ega bo'lgan moddiy nuqta sifatida ko'rib chiqilishi mumkin, massaga teng butun tananing.
(17.15) dan ko'rinib turibdiki, tizim nuqtalariga ta'sir etuvchi ichki kuchlar tizimning massa markazining harakatiga ta'sir qilmaydi. Tashqi kuchlar ularning ta'siri ostida o'zgarganda, ichki kuchlar massa markazining harakatiga ta'sir qilishi mumkin. Bunga misollar quyida keltiriladi.
Massalar markazining harakati haqidagi teoremadan sistema massalar markazi harakatining saqlanish qonunini ifodalovchi quyidagi muhim natijalarni olish mumkin.
1. Agar tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi kuchlarning geometrik yig'indisi nolga teng bo'lsa (LF k=0), u holda (17.15) tenglamadan kelib chiqadi,
nima haqida a c = 0 yoki V c = const, ya'ni bu tizimning massa markazi
kattalik va yo'nalish bo'yicha doimiy tezlik bilan harakat qiladi (aks holda, bir tekis va to'g'ri chiziqli). Maxsus holatda, agar boshida massa markazi tinch holatda bo'lsa ( Vc=0), keyin u tinch holatda qoladi; qayerda
trek uning kosmosdagi pozitsiyasi o'zgarmasligini bashorat qiladi, ya'ni. rc = const.
2. Agar sistemaga ta'sir etuvchi tashqi kuchlar shunday bo'lsa, ularning qandaydir o'qga proyeksiyalari yig'indisi (masalan, o'q). X) nol (?F e kx= 0), u holda (17.16) tenglamadan bu holda shunday bo'ladi x s=0 yoki V Cx \u003d x c \u003d const, ya'ni tizimning massa markazining tezligining ushbu o'qga proyeksiyasi doimiy qiymatdir. Maxsus holatda, agar dastlabki daqiqada bo'lsa Vax= 0 bo'lsa, har qanday keyingi vaqtda bu qiymat saqlanib qoladi va shuning uchun koordinata x s tizimning massa markazi o'zgarmaydi, ya'ni. x s - const.
Massalar markazining harakat qonunini ko'rsatadigan misollarni ko'rib chiqing.
Misollar. 1. Qayd etilganidek, massa markazining harakati faqat tashqi kuchlarga bog'liq, ichki kuchlar massa markazining holatini o'zgartira olmaydi. Ammo tizimning ichki kuchlari tashqi ta'sirlarni keltirib chiqarishi mumkin. Shunday qilib, odamning gorizontal yuzada harakati uning oyoq kiyimi tagligi va yo'l yuzasi orasidagi ishqalanish kuchlari ta'sirida sodir bo'ladi. Mushaklarining kuchi (ichki kuchlari) bilan odam oyoqlari bilan yo'l sirtini itarib yuboradi, bu uning harakat yo'nalishi bo'yicha yo'l bilan aloqa qilish joylarida ishqalanish kuchini (odam uchun tashqi) keltirib chiqaradi.
- 2. Mashina xuddi shunday harakat qiladi. Uning dvigatelidagi ichki bosim kuchlari g'ildiraklarni aylantirishga majbur qiladi, ammo ular tortishish kuchiga ega bo'lganligi sababli, paydo bo'ladigan ishqalanish kuchlari avtomobilni oldinga "itarib yuboradi" (natijada g'ildiraklar aylanmaydi, balki tekis parallel ravishda harakatlanadi). . Agar yo'l mutlaqo silliq bo'lsa, u holda avtomobilning massa markazi statsionar bo'ladi (nol boshlang'ich tezlikda) va g'ildiraklar, ishqalanish bo'lmasa, siljiydi, ya'ni aylanadi.
- 3. Parvona, parvona, eshkaklar yordamida harakat havoning (yoki suvning) ma'lum bir massasini rad etish tufayli sodir bo'ladi. Agar tashlab ketilgan massa va harakatlanuvchi jismni bir tizim deb hisoblasak, ular orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari ichki sifatida bu tizimning umumiy impulsini o'zgartira olmaydi. Biroq, bu tizimning har bir qismi, masalan, qayiq oldinga siljiydi va eshkaklar orqaga tashlaydigan suv.
- 4. Havosiz kosmosda, raketa harakatlanayotganda, "tashlangan massa" "siz bilan birga olib ketilishi" kerak: reaktiv dvigatel raketa bilan to'ldirilgan yoqilg'ining yonish mahsulotlarini orqaga tashlab, raketaga harakat haqida xabar beradi.
- 5. Parashyutda tushayotganda odam-parashyut tizimining massa markazining harakatini boshqarishingiz mumkin. Agar odam mushak kuchi bilan parashyut chiziqlarini shunday tortsa, uning soyabonining shakli yoki havo oqimining hujum burchagi o'zgaradi, bu havo oqimining tashqi ta'sirining o'zgarishiga olib keladi va shu bilan ta'sir qiladi. butun tizimning harakati.
Muammo 17.2. IN 17.1-topshiriq (17.2-rasmga qarang) quyidagilarni aniqlang: 1) trolleybusning harakat qonuni X (= /)(/), agar vaqtning dastlabki momentida ma'lum bo'lsa t 0 = Tizim tinch holatda edi va koordinatasi x 10 = 0; 2) normal reaksiyaning umumiy qiymatining vaqt bilan o'zgarishi qonuni N (N = N" + N") gorizontal tekislik, ya'ni. N=f 2 (t).
Yechim. Bu erda 17.1-masaladagi kabi biz trolleybus va yukdan tashkil topgan tizimni ko'rib chiqamiz D, unga qo'llaniladigan tashqi kuchlar ta'sirida o'zboshimchalik bilan holatda (17.2-rasmga qarang). Koordinata o'qlari Ohu x o'qi gorizontal va x o'qi bo'lishi uchun chizing da nuqtadan o'tdi A 0, ya'ni nuqtaning joylashuvi LEKIN o'sha payt t-t 0 - 0.
1. Aravaning harakat qonunini aniqlash. X, = /, (0) ni aniqlash uchun sistemaning massalar markazining harakati haqidagi teoremadan foydalanamiz. Uning x o'qiga proyeksiyada harakatining differensial tenglamasini tuzamiz:
Barcha tashqi kuchlar vertikal bo'lgani uchun T, F e kx = 0, va shuning uchun
Ushbu tenglamani integrallash orqali biz buni topamiz Mx c \u003d B, ya'ni tizimning massa markazining x o'qi bo'yicha tezligining proyeksiyasi doimiy qiymatdir. Vaqtning dastlabki daqiqasidan boshlab
Tenglamani integrallash Mx s= 0, biz olamiz
ya'ni koordinata x s sistemaning massa markazi doimiy.
Keling, ifodani yozamiz Mx s tizimning o'zboshimchalik bilan pozitsiyasi uchun (17.2-rasmga qarang), buni hisobga olgan holda x A - x { , x D - x 2 Va x 2 - x ( - I gunoh f. Bu holda tizimning massa markazining koordinatasini aniqlaydigan (16.5) formulaga muvofiq Mx s - t(x( + t 2 x 2".
vaqtning o'zboshimchalik nuqtasi uchun
vaqt nuqtasi uchun / () = 0, X (= 0 va
Tenglikka (b) muvofiq, koordinata x s butun tizimning massa markazi o'zgarishsiz qoladi, ya'ni. x c (t). Shuning uchun (c) va (d) ifodalarni tenglashtirib, biz x koordinataning vaqtga bog'liqligini olamiz.
Javob: X - 0,2 m, bu erda t- soniyalarda.
2. Reaksiya ta’rifi N. Aniqlash uchun N=f 2 (t) vertikal o'qqa proyeksiyada sistemaning massa markazining harakatining differensial tenglamasini tuzamiz. da(17.2-rasmga qarang):
Demak, belgilovchi N=N+N", olamiz
Ordinatani aniqlaydigan formula bo'yicha Biz tizimning massa markazi, Mu s = t (y x + t 2 y 2, bu yerda y, = C1 da,2 da= y D = Dalekin ~ 1 cos F» ni olamiz
Bu tenglikni vaqt bo'yicha ikki marta farqlash (buni hisobga olgan holda C1 da Va da A miqdorlar doimiy va shuning uchun ularning hosilalari nolga teng), biz topamiz
Ushbu ifodani (e) tenglamaga qo'yib, biz kerakli bog'liqlikni aniqlaymiz N dan t.
Javob: N- 176,4 + 1,13,
bu erda ph \u003d (i / 6) (3 / -1), t- soniyalarda N- Nyutonlarda.
Muammo 17.3. Elektr dvigatelining massasi t x poydevorning gorizontal yuzasiga murvatlar bilan biriktirilgan (17.3-rasm). Dvigatel milida aylanish o'qiga to'g'ri burchak ostida, og'irliksiz uzunlikdagi novda / bir uchida o'rnatiladi, novda boshqa uchiga nuqta yuki o'rnatiladi. LEKIN vazn t 2. Mil o burchak tezligida bir tekis aylanadi. Dvigatelning murvatlardagi gorizontal bosimini toping. Yechim. Dvigatel va nuqta og'irligidan tashkil topgan mexanik tizimni ko'rib chiqing LEKIN, ixtiyoriy holatda. Keling, tizimga ta'sir qiluvchi tashqi kuchlarni tasvirlaymiz: tortishish R x, R 2, vertikal kuch shaklida poydevor reaktsiyasi N va gorizontal kuch R. Keling, sarf qilaylik koordinata o'qi x gorizontal.
Dvigatelning murvatlardagi gorizontal bosimini aniqlash uchun (va u son jihatdan reaktsiyaga teng bo'ladi). R va vektorga qarama-qarshi yo'naltirilgan R ), gorizontal o'q x ga proyeksiyada sistema impulsining o'zgarishi bo'yicha teorema tenglamasini tuzamiz:
Ko'rib chiqilayotgan tizim uchun o'zboshimchalik holatida, dvigatel korpusining harakat miqdori nolga teng ekanligini hisobga olsak, biz olamiz Qx = - t 2 U A kol. Shuni hisobga olgan holda V A = a s/, ph = ō/ (dvigatelning bir xil aylanishi), biz olamiz Q x - - m 2 ko/cos ko/. farqlash Qx vaqt ichida va tenglikni (a) almashtirib, topamiz R- m 2 ko 2 /sin ko/.
E'tibor bering, aynan shunday kuchlar harakat qilganda majbur qiladi (14.3-bandga qarang). majburiy tebranishlar tuzilmalar.
uchun mashqlar mustaqil ish
- 1. Nuqta va mexanik sistemaning impulsi nima deyiladi?
- 2. Aylana bo‘ylab bir tekis harakatlanuvchi nuqtaning impulsi qanday o‘zgaradi?
- 3. Kuch impulsi nima bilan tavsiflanadi?
- 4. Tizimning ichki kuchlari uning impulsiga ta'sir qiladimi? Uning massa markazining harakati haqida?
- 5. Unga taalluqli juft kuchlar sistemaning massalar markazining harakatiga qanday tasir qiladi?
- 6. Tizimning massa markazi qanday sharoitda tinch holatda bo'ladi? bir tekis va to'g'ri chiziqda harakatlanyaptimi?
7. Statsionar qayiqda, suv oqimi bo'lmaganda, kattalar orqa tomonida, bola esa qayiqning kamonida o'tiradi. Agar ular o'rnini almashtirsa, qayiq qaysi yo'nalishda harakatlanadi?
Qaysi holatda qayiqning siljish moduli katta bo'ladi: 1) agar bola orqa tarafdagi kattalarga borsa; 2) agar kattalar qayiqning kamonida bolaning oldiga borsa? Ushbu harakatlar paytida "qayiq va ikki kishi" tizimining massa markazining siljishlari qanday bo'ladi?