dan tashkil topgan mexanik tizimni ko'rib chiqaylik moddiy nuqtalar, Unga kuchlar ta'sir ko'rsatadigan tizim s erkinlik darajalariga ega bo'lsin va uning pozitsiyasi umumlashtirilgan koordinatalar (104) bilan belgilanadi. Keling, tizimga bunday mustaqillikni aytaylik mumkin bo'lgan siljish, bunda koordinata oshadi va qolgan koordinatalar o'zgarmaydi. Keyin tizim nuqtalarining radius-vektorlarining har biri elementar o'sishni oladi. Chunki (106) tengligiga ko'ra va faqat ko'rib chiqilgan siljish paytida koordinata o'zgaradi (qolganlari doimiy bo'lib qoladi), u holda u quyidagicha hisoblanadi. xususiy differensial va shuning uchun
Ushbu tenglik va 87-§ dan (42) formuladan foydalanib, biz ko'rib chiqilayotgan siljish bo'yicha barcha ta'sir qiluvchi kuchlarning elementar ishlarining yig'indisini hisoblaymiz, biz buni belgilaymiz.
Qavslar ichidan umumiy omilni olib, biz nihoyat topamiz
ko'rsatilgan joyda
F kuchining elementar ishini aniqlaydigan tenglikka o'xshab, qiymat koordinataga mos keladigan umumlashtirilgan kuch deb ataladi.
Tizimga faqat koordinatasi o'zgargan boshqa mustaqil mumkin bo'lgan siljish haqida ma'lumot berib, biz uchun olamiz boshlang'ich ish bu siljishdagi barcha ta'sir qiluvchi kuchlarning ifodasi
Miqdor koordinataga mos keladigan umumlashtirilgan kuch va hokazo.
Shubhasiz, agar tizimga uning barcha umumlashtirilgan koordinatalari bir vaqtning o'zida o'zgarib turadigan bunday mumkin bo'lgan siljish haqida ma'lumot berilsa, unda bu siljishda qo'llaniladigan kuchlarning elementar ishlarining yig'indisi tenglik bilan aniqlanadi.
Formula (112) umumlashtirilgan koordinatalarda tizimga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning umumiy elementar ishini ifodalaydi. Bu tenglikdan ko'rinib turibdiki, umumlashgan kuchlar sistemaga ta'sir qiluvchi kuchlarning umumiy elementar ishi ifodasidagi umumlashtirilgan koordinatalarning o'sish koeffitsientlariga teng miqdorlardir.
Agar tizimga qo'yilgan barcha cheklovlar ideal bo'lsa, u holda faqat faol kuchlar mumkin bo'lgan siljishlar bilan ishni bajaradi va miqdorlar tizimning umumlashtirilgan faol kuchlari bo'ladi.
Umumlashtirilgan kuchning o'lchami mos keladigan umumlashtirilgan koordinataning o'lchamiga bog'liq. Mahsulot a shuning uchun ishning o'lchamiga ega ekan, demak
ya'ni umumlashtirilgan kuchning o'lchami mos keladigan umumlashtirilgan koordinataning o'lchamiga bo'lingan ishning o'lchamiga teng. Bu shuni ko'rsatadiki, agar q chiziqli miqdor bo'lsa, u holda Q oddiy kuchning o'lchamiga ega bo'ladi (SIda u nyutonlarda o'lchanadi), agar q burchak (o'lchovsiz kattalik) bo'lsa, u holda Q o'lchov bilan o'lchanadi va o'lchamga ega bo'ladi. bir lahzalik; agar q hajm bo'lsa (masalan, silindrdagi pistonning holatini piston bo'shlig'ining hajmi bilan aniqlash mumkin), u holda Q o'lchanadi va bosim o'lchamiga ega bo'ladi va hokazo.
Ko'rib turganimizdek, umumlashtirilgan tezlik bilan taqqoslaganda, umumlashtirilgan kuch tushunchasi mexanik ta'sir o'lchovlari sifatida ilgari duch kelgan barcha miqdorlarni qamrab oladi. moddiy jismlar(kuch, kuch momenti, bosim).
Umumlashtirilgan kuchlarni (108), (110) ko'rinishdagi formulalar yordamida hisoblab chiqamiz, bu mumkin bo'lgan elementar ishni hisoblashni kamaytiradi (140-§ ga qarang). Birinchidan, siz tizimning erkinlik darajalari sonini aniqlashingiz, umumlashtirilgan koordinatalarni tanlashingiz va chizmada tizimga qo'llaniladigan barcha faol kuchlar va ishqalanish kuchlarini (agar ular ishlayotgan bo'lsa) tasvirlashingiz kerak. Keyin aniqlash uchun shunday bo'lishi mumkin bo'lgan siljish tizimiga xabar berish kerak, bunda faqat koordinata o'zgaradi, ijobiy o'sish oladi, formulalar (101) va formulalar bo'yicha barcha ta'sir qiluvchi kuchlarning elementar ishlarining yig'indisini ushbu siljish bo'yicha hisoblang. hosil bo‘lgan ifodani (108) ko‘rinishda keltiring. Keyin at koeffitsienti va kerakli qiymatni beradi. The
Misol 1. Shaklda ko'rsatilgan tizim uchun umumlashtirilgan kuchni hisoblaymiz. 366, bu erda og'irlik bo'yicha A yuki silliq eğimli tekislik bo'ylab va og'irlik bo'yicha B yuki - ishqalanish koeffitsienti teng bo'lgan qo'pol gorizontal tekislik bo'ylab o'tadi.
Og'irliklar blok O. ustiga tashlangan ip bilan bog'langan. Biz ip va blokning massasini e'tiborsiz qoldiramiz. Tizim bir darajadagi erkinlikka ega, pozitsiyasi koordinata bilan belgilanadi (musbat mos yozuvlar yo'nalishi o'q bilan ko'rsatilgan). Aniqlash uchun biz tizimga mumkin bo'lgan siljishni aytamiz, bunda biz ushbu siljish bo'yicha kuchlarning elementar ishini hisoblaymiz, qolgan kuchlar ishlamaydi. O'shandan beri
Binobarin,
Misol 2. Ishqalanishni e'tiborsiz qoldirib, biz shaklda ko'rsatilgan tizim uchun umumlashtirilgan kuchlarni topamiz. 367. Bir hil tayoq A B uzunligi l va og'irligi P ga ega va vertikal tekislikda A o'qi atrofida aylana oladi. Unga bog'langan M to'pning og'irligi bor. Prujinaning uzunligi AM kuchlanishsiz holatda teng, qattiqligi esa c.
Tizim ikki erkinlik darajasiga ega (to'pning novda bo'ylab harakati va novda A o'qi atrofida aylanishi mustaqildir). Umumlashtirilgan koordinatalar sifatida biz kuchlanishsiz bahor oxiridan to'pning burchagi va masofasini tanlaymiz, koordinatalarning ijobiy yo'nalishlari o'qlar bilan ko'rsatilgan.
Avval biz tizimni mumkin bo'lgan siljish haqida ma'lumot beramiz, bunda burchak o'sishni oladi. Ushbu harakatda ish "kuchlar" tomonidan amalga oshiriladi. Formulalarning ikkinchisiga (101) ko'ra, biz topamiz (bu erda minus belgisi, chunki momentning yo'nalishi yo'nalishga qarama-qarshidir )
Binobarin,
Endi biz tizimga mumkin bo'lgan harakatni aytamiz, unda faqat koordinata o'zgaradi, o'sish va burchak olinadi. Ushbu siljishda ish tortish kuchi va elastiklik kuchi bilan amalga oshiriladi, moduli Keyin
Analitik mexanika. Ulanishlarning tasnifi. Misollar. Mumkin bo'lgan harakatlar.
Ulanish- bu o'zaro bog'langan va tenglik yoki tengsizlik sifatida ifodalanadigan tizim nuqtalarining koordinatalari va tezligi nisbati.
Tasniflash:
Geometrik- faqat tizim nuqtalarining koordinatalariga cheklovlar qo'yadi (tezliklar kiritilmagan)
Kinematik– tezliklar tenglamalarga kiritilgan. Agar tezlikni yo'q qilish mumkin bo'lsa, u holda ulanish birlashtiriladi.
Golonomik aloqalar geometrik va integrallanuvchi differensial cheklovlardir.
Ulanish chaqiriladi ushlab turish(tizimning istalgan pozitsiyasida o'rnatilgan yoki cheklovlar qoladi) va saqlamaslik, bu xususiyatga ega bo'lmagan (bunday ulanishlardan, ular aytganidek, tizim "o'zini ozod qilishi" mumkin.
Mumkin bo'lgan ko'chirish
Har qanday ruhiy
Cheksiz kichik
Tizim nuqtalarini ko'chirishga ruxsat berilgan
Bu vaqtda
tizimga yuklangan ulanishlar.
Haqiqiy siljish- kuchlarga, vaqtga, bog'lanishlarga, boshlang'ich sharoitlarga bog'liq.
Mumkin bo'lgan harakat - faqat ulanishlarga bog'liq.
Statsionar aloqalar uchun haqiqiy siljish mumkin bo'lganlardan biridir.
Ideal aloqalar. Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi.
Ideal Har qanday mumkin bo'lgan siljishdagi barcha reaktsiyalarining elementar ishlari yig'indisi 0 ga teng bo'lgan bog'lanishlar deyiladi.
Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi.
Balans uchun mexanik tizim ideal statsionar aloqalar bilan, har qanday mumkin bo'lgan siljish bo'yicha barcha faol kuchlarning elementar ishlarining yig'indisi 0 ga teng bo'lishi zarur va etarlidir. Bu holda, etarlilik uchun, dastlabki tezlik nolga teng bo'lishi kerak. Kerakli balans => Yetarli => balans.
Umumiy koordinatalar. Tizimning erkinlik darajalari soni. Umumiy kuchlar, ularni hisoblash usullari. Umumlashgan kuchlar bilan ifodalangan golonomik cheklovlarga ega tizim uchun muvozanat shartlari.
Umumiy koordinatalar sistemaning o'rnini to'liq aniqlaydigan mustaqil parametr bo'lib, u orqali tizim nuqtalarining barcha Dekart koordinatalarini ifodalash mumkin.
Erkinlik darajalari soni umumlashtirilgan koordinatalar soni bilan belgilanadi
Mexanik tizimning fazodagi holatini yagona aniqlovchi mustaqil skalyar miqdorlar soni erkinlik darajalari soni deb ataladi.
Mexanik tizimning umumlashtirilgan koordinatalari - bu tizimning fazodagi o'rnini yagona aniqlaydigan har qanday o'zaro mustaqil geometrik miqdorlar.
Q i = dA j /dq j yoki dA j = Q i ⋅ dq j .
Umumiy kuch- bu shunday kuch bo'lib, uning umumiy koordinatasi bo'ylab mumkin bo'lgan harakatda tizimga qo'llaniladigan barcha kuchlar kabi, ularni qo'llash nuqtalarining tegishli harakati bo'yicha bir xil ishni bajaradi.
Umumlashtirilgan kuchni topish uchun biz uning umumiy koordinatasi bo'ylab mumkin bo'lgan siljishni beramiz, qolgan koordinatalarni o'zgarishsiz qoldiramiz. Keyin biz tizimga qo'llaniladigan barcha kuchlarning ishini topamiz va mumkin bo'lgan joy almashinuviga bo'linadi.
Umumiy kuchlar nuqtai nazaridan mumkin bo'lgan siljishlar printsipi.
Chunki muvozanatda har qanday mumkin bo'lgan siljish bo'yicha elementar ishlarning yig'indisi ( bA=bq j , bir-biriga bog'liq bo'lmagan, u holda bu to'g'ri bo'lishi kerak: Q 1 =0; Q 2 =0; Q K =0
71-rasm
70-rasm
69-rasm
Krank mexanizmining nuqtalarining holati (70-rasm) krankning burilish burchagini belgilash yoki masofa bo'yicha aniqlanishi mumkin. s, bu slayderning o'rnini belgilaydi IN(da ).
Sferik mayatnikning holati (71-rasm) ikkita parametr, burchak va ni o'rnatish orqali aniqlanadi.
Tizimning barcha nuqtalarining o'rnini to'liq va yagona aniqlash uchun etarli bo'lgan bir-biridan mustaqil bo'lgan umumlashtirilgan koordinatalarning minimal soni deyiladi. erkinlik darajalari soni bu tizim.
Umuman olganda, har qanday moddiy tizimga bir nechta umumlashtirilgan koordinatalar berilishi mumkin. Masalan, krank mexanizmi (70-rasm) ikkita umumlashtirilgan koordinata va . Ammo bu mexanizm ikki darajadagi erkinlikka ega degani emas, chunki bir koordinatani boshqasi orqali aniqlash mumkin:
Lekin mayatnik (71-rasm) ikki erkinlik darajasiga ega, chunki uning pozitsiyasi ikkita mustaqil umumlashtirilgan koordinatalar bilan belgilanadi. Aytgancha, agar mayatnik uzunligi o'zgarsa, u holda nuqtaning o'rnini aniqlash uchun M yana bitta parametr talab qilinadi - umumlashtirilgan koordinata l, ip uzunligi. Va mayatnik uch erkinlik darajasiga ega bo'ladi.
Umumiy holatda umumlashtirilgan koordinatalar harf bilan belgilanadi q.
Moddiy tizimga ega bo'lsin s erkinlik darajalari. Uning joylashuvi umumlashtirilgan koordinatalar bilan aniqlanadi: q 1 , q 2 , q 3 ,…, q k,…, q s. .
Buni tekshirish oson Dekart koordinatalari n Tizim nuqtalarini umumlashtirilgan koordinatalar va vaqtning funktsiyalari sifatida aniqlash mumkin:
Shunday qilib, mayatnikda (71-rasm) nuqtaning koordinatalari M
koordinata funksiyalari mavjud l, va , va vaqt t, agar l = l (t).
Shunga ko'ra, tizim nuqtalarining radius vektorini umumlashtirilgan koordinatalar va vaqtning funktsiyasi sifatida ham aniqlash mumkin:
Har bir umumlashtirilgan koordinata uchun tegishli umumlashtirilgan kuchni hisoblash mumkin Q k.
Hisoblash ushbu qoidaga muvofiq amalga oshiriladi.
Umumiy quvvatni aniqlash uchun Q k umumlashtirilgan koordinataga mos keladi q k, siz ushbu koordinataga o'sishni berishingiz kerak (koordinatani shu miqdorga oshiring), qolgan barcha koordinatalarni o'zgarishsiz qoldirib, tizimga tatbiq etilgan barcha kuchlar ishining yig'indisini nuqtalarning mos siljishi bo'yicha hisoblang va uni o'sishga bo'ling. koordinatasi:
siljish qayerda i-o'zgartirish orqali olingan tizimning o'sha nuqtasi k- bu umumlashtirilgan koordinata.
Umumlashtirilgan kuch elementar ish yordamida aniqlanadi. Shuning uchun bu kuchni boshqacha hisoblash mumkin:
Qolgan koordinatalar va vaqt o'zgarmagan holda koordinatalarning ko'payishi hisobiga radius vektorining ortishi borligi sababli t, nisbatni qisman hosilasi sifatida aniqlash mumkin. Keyin
bu yerda nuqta koordinatalari umumlashtirilgan koordinatalarning funksiyalari (5).
Agar tizim konservativ bo'lsa, ya'ni harakat kuchlar ta'sirida sodir bo'ladi potentsial maydon, proyeksiyalari , bu yerda va nuqtalarning koordinatalari umumlashtirilgan koordinatalarning funksiyalari bo‘lsa, u holda
Konservativ tizimning umumlashtirilgan kuchi - bu minus belgisi bilan mos keladigan umumlashtirilgan koordinataga nisbatan potentsial energiyaning qisman hosilasi.
Albatta, bu umumlashtirilgan kuchni hisoblashda potentsial energiya umumlashtirilgan koordinatalar funktsiyasi sifatida belgilanishi kerak
P = P( q 1 , q 2 , q 3 ,…,qs).
Izohlar.
Birinchidan. Umumlashtirilgan reaktsiya kuchlarini hisoblashda ideal bog'lanishlar hisobga olinmaydi.
Ikkinchi. Umumlashtirilgan kuchning o'lchami umumlashtirilgan koordinataning o'lchamiga bog'liq. Shunday qilib, agar o'lcham [ q] - metr, keyin o'lcham
Nm/m = Nyuton, agar [ q] radian, u holda = Nm; agar [ q] = m 2, keyin va hokazo.
23-misol. Halqa vertikal tekislikda tebranayotgan novda bo'ylab siljiydi M tortish R(72-rasm). Tayoq vaznsiz deb taxmin qilinadi. Keling, umumlashtirilgan kuchlarni aniqlaylik.
Umumlashgan kuchlarning ta'rifi
Erkinlik darajasi bir bo'lgan tizim uchun umumlashtirilgan koordinataga mos keladigan umumiy kuch q, formula bilan aniqlangan qiymat deyiladi
qaerda d q umumlashtirilgan koordinataning kichik o'sishidir; sistema kuchlarining uning mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha elementar ishining yig'indisidir.
Eslatib o'tamiz, tizimning mumkin bo'lgan siljishi tizimning ma'lum bir vaqtning o'zida cheklovlar tomonidan ruxsat etilgan cheksiz yaqin pozitsiyaga siljishi sifatida aniqlanadi (batafsil ma'lumot uchun 1-ilovaga qarang).
Ma'lumki, sistemaning har qanday mumkin bo'lgan siljishiga ideal bog'lanishlarning reaksiya kuchlarining ish yig'indisi nolga teng. Shuning uchun ideal bog'lanishlarga ega bo'lgan tizim uchun ifoda faqat tizimning faol kuchlarining ishini hisobga olishi kerak. Agar bog'lanishlar ideal bo'lmasa, unda ularning reaktsiya kuchlari, masalan, ishqalanish kuchlari shartli ravishda faol kuchlar deb hisoblanadi (1.5-rasmdagi diagramma bo'yicha ko'rsatmalar uchun pastga qarang). B faol kuchlarning elementar ishi va faol juft kuchlar momentlarining elementar ishini o'z ichiga oladi. Keling, ushbu ishlarni aniqlash uchun formulalar yozaylik. Aytaylik kuch ( Fkx, Fky, Fkz) nuqtada qo'llaniladi TO, radius vektori ( xk,yk,zk) va mumkin bo'lgan siljish - (d x k, d y k, d z k). Mumkin bo'lgan siljishda kuchning elementar ishi teng nuqta mahsuloti, qaysi ichida analitik shakl ifodaga mos keladi
d LEKIN( ) = F ga d r to cos(), (1.3a)
koordinata shaklida esa ifoda
d LEKIN( ) = Fkx d x k + F ky d y k + F kz d z k. (1.3b)
Agar moment bilan bir juft kuchlar M burchak koordinatasi j va mumkin bo'lgan siljishi dj bo'lgan aylanuvchi jismga qo'llaniladi, u holda momentning elementar ishi. M mumkin bo'lgan siljish bo'yicha dj formula bilan aniqlanadi
d A(M) = ± M d j. (1,3v)
Bu erda (+) belgisi moment bo'lgan holatga mos keladi M va mumkin bo'lgan joy almashish dj yo'nalishi bo'yicha mos keladi; ular qarama-qarshi yo'nalishda bo'lganda (-) belgisi.
Umumlashgan kuchni (1.3) formula bo'yicha aniqlay olish uchun jismlar va nuqtalarning mumkin bo'lgan siljishlarini umumlashtirilgan koordinata d ning kichik o'sishi bilan ifodalash kerak. q, bog'liqliklardan foydalanish (1)…(7) adj. bitta.
Umumiy kuch ta'rifi Q tanlangan umumlashtirilgan koordinataga mos keladi q, buni quyidagi tartibda bajarish tavsiya etiladi.
· Dizayn sxemasida tizimning barcha faol kuchlarini ko'rsating.
Umumlashtirilgan koordinataga kichik o'sish bering d q > 0; dizayn diagrammasida kuchlar qo'llaniladigan barcha nuqtalarning mos keladigan mumkin bo'lgan siljishlarini va kuchlar juftligi momentlari qo'llaniladigan barcha jismlarning mumkin bo'lgan burchak siljishlarini ko'rsating.
Ushbu siljishlar bo'yicha tizimning barcha faol kuchlarining elementar ishi uchun d orqali ifodalangan mumkin bo'lgan siljishlar uchun ifoda tuzing. q.
· (1.3) formula bo'yicha umumlashtirilgan kuchni aniqlang.
1.4-misol (1.1-rasm uchun shartga qarang).
Umumlashtirilgan koordinataga mos keladigan umumlashgan kuchni aniqlaylik s(1.4-rasm).
Tizimga ta'sir qiluvchi faol kuchlar: P- yuk og'irligi; G- baraban og'irligi va moment M.
Qo'pol moyil tekislik yuk uchun LEKIN nomukammal aloqa. surma ishqalanish kuchi F tr yuk bo'yicha harakat qilish A bu bog`lanish tomondan, ga teng F tr \u003d f N.
Kuchni aniqlash uchun N Harakat paytida tekislikdagi yukning normal bosimi, biz d'Alembert printsipidan foydalanamiz: agar bog'lanish reaktsiyalarining faol kuchlari va kuchlariga qo'shimcha ravishda, biz tizimning har bir nuqtasiga shartli inertsiya kuchini qo'llasak, shunda hosil bo'lgan kuchlar to'plami muvozanatlanadi va dinamika tenglamalariga statikaning muvozanat tenglamalari ko'rinishi berilishi mumkin. Ushbu tamoyilni qo'llashning taniqli usulidan so'ng, biz yukga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarni tasvirlaymiz A(1.5-rasm), - va , bu erda - kabelning kuchlanish kuchi.
Guruch. 1.4-rasm. 1.5
Keling, inertsiya kuchini qo'shamiz, bu erda yukning tezlashishi. O'qga proyeksiyada d'Alember printsipining tenglamasi y shaklga ega N-Pcos a = 0.
Bu yerdan N = Pcos a. Endi sirpanish ishqalanish kuchini formula bilan aniqlash mumkin F tr \u003d f P cos a.
Biz umumlashtirilgan koordinatani beramiz s kichik o'sish d s > 0. Bunda yuk (1.4-rasm) qiyalik tekislikdan d masofada yuqoriga siljiydi. s, va baraban soat miliga teskari yo'nalishda dj burchagi bilan aylanadi.
(1.3a) va (1.3c) kabi formulalardan foydalanib, biz momentning elementar ishining yig'indisi uchun ifoda tuzamiz. M, kuchlar P Va F tr:
bu tenglamada djni d bilan ifodalang s: , keyin
umumlashtirilgan kuchni (1.3) formula bilan aniqlaymiz.
uchun avval yozilgan formulani hisobga olamiz F tr va nihoyat, biz olamiz
Agar xuddi shu misolda umumlashtirilgan koordinata sifatida j burchakni olsak, u holda umumlashgan kuch Qj formula bilan ifodalanadi
1.4.2. Tizimning umumlashgan kuchlarini aniqlash
ikki darajadagi erkinlik bilan
Agar tizim mavjud bo'lsa n erkinlik darajalari, uning pozitsiyasi aniqlanadi n umumlashtirilgan koordinatalar. Har bir koordinata q i(i = 1,2,…,n) uning umumlashgan kuchiga mos keladi Q i, bu formula bilan aniqlanadi
faol kuchlarning elementar ishlarining yig'indisi qayerda i-tizimning mumkin bo'lgan harakati d q i > 0, qolgan umumiy koordinatalar esa o'zgarmagan.
Aniqlashda (1.3) formula bo'yicha umumlashtirilgan kuchlarni aniqlash bo'yicha ko'rsatmalarni hisobga olish kerak.
Ikki erkinlik darajasiga ega bo'lgan tizimning umumlashgan kuchlarini quyidagi tartibda aniqlash tavsiya etiladi.
· Dizayn sxemasida tizimning barcha faol kuchlarini ko'rsating.
Birinchi umumlashgan kuchni aniqlang 1-savol. Buning uchun, d qachon tizimga birinchi mumkin bo'lgan harakatni bering q 1 > 0 va d q 2 =q 1 tizimning barcha jismlari va nuqtalarining mumkin bo'lgan siljishlari; tuzing - tizim kuchlarining birinchi mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha elementar ishining ifodasi; d orqali ifodalangan mumkin bo'lgan siljishlar q 1; topmoq 1-savol(1.4) formula bo'yicha, faraz qiling i = 1.
Ikkinchi umumlashgan kuchni aniqlang 2-savol. Buning uchun tizimga ikkinchi mumkin bo'lgan harakatni bering, qachon d q 2 > 0 va d q 1 = 0; hisoblash sxemasida mos keladiganini ko'rsatish d q2 tizimning barcha jismlari va nuqtalarining mumkin bo'lgan siljishlari; tuzing - ikkinchi mumkin bo'lgan siljish bo'yicha tizim kuchlarining elementar ishining ifodasi; d orqali ifodalangan mumkin bo'lgan siljishlar q2; topmoq 2-savol(1.4) formula bo'yicha, faraz qiling i = 2.
1.5-misol (1.2-rasmdagi shartga qarang)
Keling, aniqlaymiz 1-savol Va 2-savol, umumlashtirilgan koordinatalarga mos keladi x D Va x A(1.6-rasm, lekin).
Tizimga uchta faol kuch ta'sir qiladi: P A = 2P, P B = P D = P.
Ta'rif 1-savol. Sistemaga d bo'lganda birinchi mumkin bo'lgan siljishni beraylik x D > 0, d x A = 0 (1.6-rasm, lekin). Shu bilan birga, yuk D x D, blok B dj burchagi bilan soat miliga teskari buriling B, silindr o'qi A statsionar bo'lib qoladi, silindr A eksa atrofida aylantiring A burchakda dj A soat yo'nalishi bo'yicha. Belgilangan siljishlar bo'yicha ishlarning yig'indisini tuzing:
aniqlash
Keling, aniqlaymiz 2-savol. d bo'lganda sistemaga ikkinchi mumkin bo'lgan siljishni beraylik x D = 0, d x A > 0 (1.6-rasm, b). Bunday holda, silindrning o'qi A masofaga vertikal pastga siljitish d x A, silindr A eksa atrofida aylantiring A dj burchagiga soat yo'nalishi bo'yicha A, blok B va yuk D harakatsiz qoladi. Belgilangan siljishlar bo'yicha ishlarning yig'indisini tuzing:
aniqlash
1.6-misol (1.3-rasmdagi shartga qarang)
Keling, aniqlaymiz 1-savol Va 2-savol, umumlashtirilgan j koordinatalariga mos keladi, s(1.7-rasm, lekin). Tizimga to'rtta faol kuch ta'sir qiladi: novda og'irligi P, to'pning og'irligi, kamon kuchi va.
Biz buni o'rganamiz. Elastik kuchlar moduli (a) formula bilan aniqlanadi.
E'tibor bering, kuchni qo'llash nuqtasi F2 harakatsiz, shuning uchun bu kuchning tizimning har qanday mumkin bo'lgan siljishi bo'yicha ishi nolga teng, umumlashtirilgan kuchlarni ifodalashda, kuch F2 kirmaydi.
Ta'rif 1-savol. Keling, tizimga dj bo'lganda birinchi mumkin bo'lgan harakatni beraylik > 0, d s= 0 (1.7-rasm, lekin). Shu bilan birga, tayoq AB eksa atrofida aylantiring z dj burchagi bilan soat sohasi farqli o'laroq, mumkin bo'lgan to'p harakatlari D va markaz E novdalar segmentga perpendikulyar yo'naltiriladi AD, bahorning uzunligi o'zgarmaydi. Koordinata shaklida tuzing [qarang. formula (1.3b)]:
(E'tibor bering, shuning uchun bu kuchning birinchi mumkin bo'lgan siljishdagi ishi nolga teng).
Ko'chishlarni ifodalaymiz d x E va d x D dj orqali. Buning uchun biz avval yozamiz
Keyin (7) formulaga muvofiq adj. 1 topish
Topilgan qiymatlarni ga almashtirib, biz hosil qilamiz
ni hisobga olgan holda (1.4) formula bo'yicha aniqlaymiz
Ta'rif 2-savol. Keling, tizimga dj bo'lganda ikkinchi mumkin bo'lgan harakatni beraylik = 0, d s > 0 (1.7-rasm, b). Shu bilan birga, tayoq AB harakatsiz qoladi va to'p M masofaga tayoq bo'ylab harakatlanadi d s. Belgilangan siljishlar bo'yicha ishlarning yig'indisini tuzing:
aniqlash
kuchning qiymatini almashtirish F1 formuladan (a) olamiz
1.5. Tizimning kinetik energiyasini ifodalash
umumlashtirilgan koordinatalarda
Tizimning kinetik energiyasi uning jismlari va nuqtalarining kinetik energiyalari yig'indisiga teng (2-ilova). Qabul qilish uchun T ifoda (1.2), tizimning barcha jismlari va nuqtalarining tezliklarini kinematika usullaridan foydalangan holda umumlashtirilgan tezliklar bilan ifodalash kerak. Bunday holda, tizim ixtiyoriy holatda, uning barcha umumlashtirilgan tezliklari ijobiy deb hisoblanadi, ya'ni umumlashtirilgan koordinatalarni oshirish yo'nalishiga yo'naltirilgan.
1-misol 7 (1.1-rasmdagi shartga qarang)
Masofani umumlashtirilgan koordinata sifatida olib, tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz (1.8-rasm). s,
T = T A + T B.
(2) va (3) formulalarga muvofiq adj. 2 bizda: .
Ushbu ma'lumotlarni ga almashtirish T va buni hisobga olsak, olamiz
1.8-misol(1.2-rasmdagi shartga qarang)
Shaklda tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz. 1.9, umumlashtirilgan sifatida qabul qilish miqdorlarni muvofiqlashtiradi x D Va x A,
T = T A + T B + T D.
(2), (3), (4) formulalarga muvofiq adj. 2 yozing
Ekspress V A, V D, w B va w A bo'ylab:
w ni aniqlashda A nuqta deb hisobladi O(1.9-rasm) - silindr tezligining oniy markazi A Va V k = V D(tegishli tushuntirishlarga qarang, masalan, 2-ilova).
Olingan natijalarni ga almashtirish T va shuni hisobga olgan holda
aniqlash
1.9-misol(1.3-rasmdagi shartga qarang)
Shaklda tizimning kinetik energiyasini aniqlaymiz. 1.10, umumlashtirilgan koordinata sifatida j va s,
T = T AB + T D.
(1) va (3) formulalarga muvofiq adj. 2 bizda bor
Express w AB Va VD orqali va:
qayerda - portativ tezlik to'p D, uning moduli formula bilan aniqlanadi
Segmentga perpendikulyar yo'naltirilgan AD j burchakning ortib borish yo'nalishi bo'yicha; to'pning nisbiy tezligi bo'lib, uning moduli formula bilan aniqlanadi , ortib borayotgan koordinata yo'nalishiga yo'naltirilgan s. E'tibor bering, bu perpendikulyar, shuning uchun
Ushbu natijalarni ga almashtirish T va shuni hisobga olgan holda
1.6. Loyihalash differensial tenglamalar
mexanik tizimlarning harakati
Kerakli tenglamalarni olish uchun Lagranj tenglamalariga (1.1) umumlashtirilgan koordinatalarda tizimning kinetik energiyasi va umumlashtirilgan kuchlar uchun ilgari topilgan ifodani almashtirish kerak. Q 1 , Q 2 , … , Qn.
Qisman hosilalarni topishda T umumlashtirilgan koordinatalar va umumlashtirilgan tezliklar nuqtai nazaridan, o'zgaruvchilarni hisobga olish kerak. q 1 , q 2 , … , qn; bir-biridan mustaqil deb hisoblanadi. Bu qisman hosilani belgilash orqali degan ma'noni anglatadi T bu o'zgaruvchilardan biri uchun ifodadagi barcha boshqa o'zgaruvchilar T doimiylar sifatida qaralishi kerak.
Amaliyotni bajarishda o'zgaruvchiga kiritilgan barcha o'zgaruvchilar vaqt bo'yicha farqlanishi kerak.
Biz Lagranj tenglamalari har bir umumlashtirilgan koordinata uchun yozilganligini ta'kidlaymiz q i (i = 1, 2,…n) tizimlari.
Analitik mexanikada ta'sirni tavsiflovchi vektor miqdori sifatida kuch tushunchasi bilan bir qatorda berilgan tana boshqa moddiy jismlardan, tushunchasidan foydalaning umumlashgan kuch. Aniqlash uchun umumlashgan kuch tizimning nuqtalariga qo'llaniladigan kuchlarning virtual ishini ko'rib chiqing.
Agar unga golonomik cheklovlar qo'yilgan mexanik tizim h aloqalarga ega s=3n-soat erkinlik darajalari ,
keyin bu tizimning pozitsiyasi aniqlanadi 
( i = s)
umumlashtirilgan koordinatalar va (2.11) :
(2.13), (2.14) ga ko'ra virtual joy almashish k- th nuqta
(2.13)
(2.14)
(2.14): kuchlarning virtual ishi formulasiga almashtiring
(2.24), biz olamiz
skalyar qiymat 
= (2.26)
chaqirdi umumlashgan kuch mos keladigan i-umumlashtirilgan koordinata.
umumiy quvvat,mos keladigan i-th umumlashtirilgan koordinata, mexanik tizimga ta'sir qiluvchi kuchlarning virtual ishini ifodalashda ushbu umumlashtirilgan koordinataning o'zgarishidagi ko'paytirgichga teng qiymat deyiladi.
virtual ish dan aniqlanadi
¾ cheklovlardan qat'iy nazar faol kuchlarni o'rnating va
¾ bog'lanish reaktsiyalari (agar bog'lanishlar ideal bo'lmasa, muammoni hal qilish uchun qo'shimcha ravishda jismoniy qaramlikni o'rnatish kerak. T j dan N j , ( T j ¾, qoida tariqasida, ishqalanish kuchlari yoki biz aniqlashimiz mumkin bo'lgan dumaloq ishqalanishga qarshilik momentlari).
Umuman umumlashgan kuch umumlashtirilgan koordinatalar, tizim nuqtalarining tezligi va vaqtning funktsiyasidir. Ta'rifdan kelib chiqadiki umumlashgan kuch¾ - ma'lum mexanik tizim uchun tanlangan umumlashtirilgan koordinatalarga bog'liq bo'lgan skalyar qiymat. Bu shuni anglatadiki, berilgan tizimning o'rnini aniqlaydigan umumlashtirilgan koordinatalar to'plamining o'zgarishi bilan umumlashgan kuchlar.
2.10-misol. 
Radiusli disk uchun r va vazn m, qiyalik tekislik bo'ylab sirg'anmasdan aylanadigan (2.9-rasm), umumlashtirilgan koordinatani olish mumkin:
¾ yoki q = s¾ diskning massa markazining siljishi,
¾ yoki q= j ¾ diskning burilish burchagi. Agar aylanish qarshiligiga e'tibor berilmasa, u holda:
¾ birinchi holatda umumlashgan kuch bo'ladi
Guruch. 2.9 Q s = mg sina, a
¾ ikkinchi holatda ¾ Q j = mg r kosa.
Umumlashtirilgan koordinata mos keladigan o'lchov birligini ham aniqlaydi umumiy quvvat. Ifodasidan (2.25)
(2.27)
bundan kelib chiqadiki, o'lchov birligi umumlashgan kuch umumlashtirilgan koordinataning o'lchov birligiga bo'lingan ish o'lchov birligiga teng.
Agar umumlashtirilgan koordinata sifatida q qabul qilish q = s¾ har qanday nuqtaning siljishi, keyin o'lchov birligi umumlashgan kuch Q s ¾ bo'ladi [Nyuton] ,
Agar, kabi q= j ¾ tananing burilish burchagi (radianlarda), keyin o'lchov birligi sifatida olinadi umumlashgan kuch Q j ¾ bo'ladi [ Nyuton metr].