Ishlash ichki kuchlar oxirgi siljishda nolga teng.

Translyatsion harakatlanuvchi jismga ta'sir etuvchi kuchning ishi bu kuchning ko'paytmasiga va chiziqli siljishning o'sishiga teng.

Aylanayotgan jismga tasir etuvchi kuchning ishi bu kuchning aylanish oqi boyicha momenti va burilish burchagi ortishi kopaytmasiga teng: ; . Quvvat:
.

Kinetik energiya mexanik tizim Har xil turdagi harakatlar uchun.

Mexanik tizimning kinetik energiyasi- tizimning barcha nuqtalarining kinetik energiyalari yig'indisiga teng skalyar: .

Da oldinga harakat:

Da aylanish harakati:

Tekis-parallel harakat bilan: , bu erda d - massa markazidan MCSgacha bo'lgan masofa

27. Moddiy nuqta kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema.

Kinetik energiya moddiy nuqta - nuqta massasi va tezligi kvadratining yarmiga teng skalyar.

Dinamikaning asosiy tenglamasi: , elementar siljish bilan ko'paytiring: ; ; . Olingan ifodani integrallash:

Teorema: moddiy nuqtaning kinetik energiyasining qandaydir ko'chishdagi o'zgarishi bir xil siljishdagi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning ishiga teng.

Mexanik sistemaning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema.

Ichki kuchlarning ishi nolga teng bo'lgani uchun:
.

Teorema: chekli siljishdagi mexanik tizimning kinetik energiyasining o'zgarishi bir xil siljishdagi tashqi kuchlar ishining yig'indisiga teng.

Mexanik tizim uchun mumkin bo'lgan siljishlar printsipi.

; , mexanik tizimning nuqtalariga qo'yilgan cheklashlar ikki tomonlama, statsionar, golonomik va ideal bo'lsin, keyin: .

Mumkin bo'lgan harakatlar printsipi - Lagrange printsipi- ikki tomonlama, statsionar, golonomik va ideal cheklovlarga ega bo'lgan mexanik tizimning muvozanati uchun berilgan kuchlarning ishining algebraik yig'indisi zarur va etarlidir. mumkin bo'lgan ko'chirish nolga teng edi.

moddiy nuqta uchun d'Alember printsipi.

Harakatlanuvchi moddiy nuqtaga qo'llaniladigan barcha kuchlarning geometrik yig'indisi va bu nuqtaning inersiya kuchlari nolga teng.

Erkin bo'lmagan mexanik tizim uchun d'Alember printsipi.

Har qanday vaqtda har bir moddiy nuqta uchun harakatlanuvchi erkin bo'lmagan mexanik tizimda geometrik yig'indi unga qo'llaniladigan kuchlar, bog'lanish reaktsiyalari va inersiya kuchlari nolga teng. Ifodaning ikkala qismini r i ga ko'paytirsak, hosil bo'ladi: ;
.

, berilgan kuchlar, bog’lanish reaksiyalari va inersiya kuchlarining koordinata o’qlariga nisbatan momentlari yig’indisi nolga teng.

Nuqtalarning inersiya kuchlarini keltirish qattiq tana eng oddiy shaklga.

Qattiq jism nuqtalarining inertsiya kuchlari tizimiga statikada ko'rib chiqilgan Punxon usulini qo'llash mumkin. Keyin har qanday inersiya kuchlari tizimini inersiya kuchlarining asosiy vektoriga va inersiya kuchlarining asosiy momentiga kamaytirish mumkin.

Tarjima harakatida: F=-ma (qattiq jismning koʻchish harakatida uning nuqtalarining inersiya kuchlari mutlaq qiymatida tana massasining koʻpaytmasiga teng boʻlgan inersiya kuchlarining bosh vektoriga, tezlashishi bilan kamayadi. Ushbu markazda qo'llaniladigan va massa markazining teskari tezlashishiga yo'naltirilgan massa markazi).

Aylanma harakatda: M = -Ie (qattiq jismning aylanma harakatida uning nuqtalarining inersiya kuchlari asosiy inersiya kuchlari momentiga jismning aylanish kuchlariga nisbatan inersiya momentining koʻpaytmasiga teng boʻladi. va burchak tezlanishi.Bu moment qarama-qarshi burchak tezlanishiga yo'naltirilgan).

Tekis harakat uchun: F=-ma M=-Ie (qattiq jismning tekis harakati uchun uning nuqtalarining inersiya kuchlari bosh vektor va inersiya kuchlarining bosh momentiga kamaytiriladi).

Dinamikaning umumiy tenglamasi. d'Alembert-Lagrange printsipi.

d'Alember printsipi: å(P i + R i + F i) = 0; å(P i + R i + F i)Dr i = 0, deb faraz qilamiz. mexanik tizimga qo'yilgan cheklovlar ikki tomonlama, statsionar, golonomik va ideal bo'lsa, u holda: å(R i × Dr i) = 0;

å(P i + F i)Dr i = 0 - umumiy tenglama ma'ruzachilar- ikki tomonlama, statsionar, golonomik va ideal cheklovlarga ega bo'lgan mexanik tizimning harakati uchun berilgan kuchlar va tizim nuqtalarining har qanday mumkin bo'lgan siljishdagi inersiya kuchlari ishining yig'indisi nolga teng.

Ko'rinish: Maqola 49920 marta o'qildi

Pdf Til tanlang... Ruscha ukraincha inglizcha

Qisqa sharh

To'liq material yuqorida tilni tanlagandan so'ng yuklab olinadi

Ikki konvertatsiya holati mexanik harakat moddiy nuqta yoki nuqtalar tizimi:

1. mexanik harakat mexanik harakat sifatida bir mexanik tizimdan ikkinchisiga o'tkaziladi;
2. mexanik harakat materiya harakatining boshqa shakliga aylanadi (shakl potentsial energiya, issiqlik, elektr energiyasi va boshqalar).

Mexanik harakatning o'zgarishi uning boshqa harakat shakliga o'tmasdan ko'rib chiqilsa, mexanik harakatning o'lchovi moddiy nuqta yoki mexanik tizimning impuls vektori hisoblanadi. Bu holatda kuch ta'sirining o'lchovi kuchning impuls vektoridir.

Mexanik harakat materiya harakatining boshqa shakliga aylantirilganda, moddiy nuqta yoki mexanik tizimning kinetik energiyasi mexanik harakatning o'lchovi sifatida ishlaydi. Mexanik harakatning boshqa harakat shakliga aylanishida kuch ta'sirining o'lchovi ish kuchi

Kinetik energiya

Kinetik energiya - bu harakat paytida tananing to'siqlarni engib o'tish qobiliyati.

Moddiy nuqtaning kinetik energiyasi

Moddiy nuqtaning kinetik energiyasi nuqta massasi va tezligi kvadratining yarmiga teng bo'lgan skalyar miqdor deb ataladi.

Kinetik energiya:

• ham tarjima, ham aylanish harakatlarini tavsiflaydi;
• tizim nuqtalarining harakat yo'nalishiga bog'liq emas va bu yo'nalishlarning o'zgarishini tavsiflamaydi;
• ichki va tashqi kuchlarning harakatini tavsiflaydi.

Mexanik tizimning kinetik energiyasi

Sistemaning kinetik energiyasi sistema jismlarining kinetik energiyalari yig'indisiga teng. Kinetik energiya tizim jismlarining harakat turiga bog'liq.

Qattiq jismning kinetik energiyasini aniqlash turli xil turlari harakat harakatlari.

Tarjima harakatining kinetik energiyasi
Tarjima harakatida tananing kinetik energiyasi tengdir T=m V2/2.

Tarjima harakatida jism inertsiyasining o'lchovi massa hisoblanadi.

Tananing aylanish harakatining kinetik energiyasi

Jismning aylanish harakati paytida kinetik energiya tananing aylanish o'qiga nisbatan inersiya momenti va uning burchak tezligi kvadratining yarmiga teng bo'ladi.

Aylanma harakatdagi jismning inertsiyasining o'lchovi inersiya momentidir.

Jismning kinetik energiyasi tananing aylanish yo'nalishiga bog'liq emas.

Jismning tekis-parallel harakatining kinetik energiyasi

Jismning tekis-parallel harakati bilan kinetik energiya teng bo'ladi

Majburiy ish

Kuchning ishi kuchning ba'zi bir siljishdagi jismga ta'sirini tavsiflaydi va harakatlanuvchi nuqtaning tezlik modulining o'zgarishini aniqlaydi.

Kuchning elementar ishi

Kuchning elementar ishi deganda nuqtaning harakat yo‘nalishiga yo‘naltirilgan traektoriyaga teguvchi kuchning proyeksiyasi va shu tangens bo‘ylab yo‘naltirilgan cheksiz kichik siljishi ko‘paytmasiga teng skalyar qiymat tushuniladi. .

Kuchning yakuniy siljishdagi ishi

Kuchning yakuniy siljishdagi ishi uning elementar kesimlardagi ishining yig'indisiga teng.

M 1 M 0 yakuniy siljishdagi kuchning ishi elementar ishdan shu siljish bo'yicha integralga teng.

M 1 M 2 ning siljishidagi kuchning ishi abtsissa o'qi bilan chegaralangan shaklning maydoni, M 1 va M 0 nuqtalariga mos keladigan egri va ordinatalar bilan tasvirlangan.

SI tizimidagi kuch va kinetik energiyaning ishi uchun o'lchov birligi 1 (J) ga teng.

Kuch ishi haqidagi teoremalar

Teorema 1. Natijaviy kuchning ma'lum bir siljishdagi ishi komponent kuchlarining bir xil siljishdagi ishining algebraik yig'indisiga teng.

Teorema 2. O'zgarmas kuchning hosil bo'lgan siljishdagi ishi bu kuchning komponent siljishlaridagi ishining algebraik yig'indisiga teng.

Quvvat

Quvvat - kuchning vaqt birligida bajargan ishni belgilaydigan miqdor.

Quvvat birligi 1W = 1 J / s ni tashkil qiladi.

Kuchlarning ishini aniqlash holatlari

Ichki kuchlarning ishi

Qattiq jismning har qanday siljishidagi ichki kuchlarining ish yig'indisi nolga teng.

Gravitatsiya ishi

Elastik kuchning ishi

Ishqalanish kuchining ishi

Aylanuvchi jismga qo'llaniladigan kuchlarning ishi

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan qattiq jismga qo'llaniladigan kuchlarning elementar ishi tashqi kuchlarning aylanish o'qi atrofidagi asosiy momenti va aylanish burchagi o'sishiga tengdir.

aylanish qarshiligi

Statsionar tsilindr va tekislik o'rtasidagi aloqa zonasida kontakt siqilishining mahalliy deformatsiyasi sodir bo'ladi, kuchlanishlar elliptik qonun bo'yicha taqsimlanadi va bu kuchlanishlarning N natijaviy ta'sir chizig'i ta'sir chizig'iga to'g'ri keladi. tsilindrdagi yuk kuchining Q. Silindr aylanayotganda yuk taqsimoti maksimal harakatga qarab siljish bilan assimetrik bo'ladi. Olingan N qiymati k qiymatiga siljiydi - dumaloq ishqalanish kuchining qo'li, bu dumaloq ishqalanish koeffitsienti deb ham ataladi va uzunligi (sm) o'lchamiga ega.

Moddiy nuqtaning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema

Moddiy nuqtaning kinetik energiyasini uning ba'zi bir siljishida o'zgarishi, bir xil siljishda nuqtaga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning algebraik yig'indisiga teng.

Mexanik sistemaning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema

Mexanik tizimning kinetik energiyasining ma'lum bir siljishdagi o'zgarishi bir xil siljishda tizimning moddiy nuqtalariga ta'sir qiluvchi ichki va tashqi kuchlarning algebraik yig'indisiga teng.

Qattiq jismning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema

Qattiq jismning (o'zgarmas sistemaning) ma'lum bir siljishdagi kinetik energiyasining o'zgarishi bir xil siljishdagi tizim nuqtalariga ta'sir qiluvchi robot tashqi kuchlarining yig'indisiga teng.

samaradorlik

Mexanizmlarda harakat qiluvchi kuchlar

Mexanizm yoki mashinaga taalluqli kuchlar va juft kuchlar (momentlar) guruhlarga bo'linishi mumkin:

1. Ijobiy ishlarni bajaradigan harakatlantiruvchi kuchlar va momentlar (harakatlantiruvchi zvenolarga qo'llaniladi, masalan, ichki yonuv dvigatelidagi pistondagi gaz bosimi).

2. Salbiy ish bajaradigan qarshilik kuchlari va momentlari:

• foydali qarshilik (ular mashinadan talab qilinadigan ishni bajaradi va boshqariladigan bo'g'inlarga qo'llaniladi, masalan, mashina tomonidan ko'tarilgan yukning qarshiligi),
• qarshilik kuchlari (masalan, ishqalanish kuchlari, havo qarshiligi va boshqalar).

3. Buloqlarning tortishish kuchlari va elastik kuchlari (ham musbat, ham manfiy ish, to'liq tsikl uchun ish nolga teng).

4. Tashqaridan tanaga yoki raftaga qo'llaniladigan kuchlar va momentlar (poydevorning reaktsiyasi va boshqalar), ular ishlamaydi.

5. Kinematik juftlikda harakat qiluvchi zvenolar orasidagi o'zaro ta'sir kuchlari.

6. Bog`lanishlarning inersiya kuchlari tezlanish bilan bog`lovchilarning massasi va harakati hisobiga musbat, manfiy ishlarni bajara oladi va ish bajarmaydi.

Mexanizmlarda kuchlarning ishi

Mashinaning barqaror holatida uning kinetik energiyasi o'zgarmaydi va unga qo'llaniladigan harakatlantiruvchi kuchlar va qarshilik kuchlari ishining yig'indisi nolga teng.

Mashinani harakatga keltirish uchun sarflangan ish foydali va zararli qarshiliklarni bartaraf etishga sarflanadi.

mexanizm samaradorligi

Barqaror harakatdagi mexanik samaradorlik mashinaning foydali ishining mashinani harakatga keltirish uchun sarflangan ishiga nisbatiga teng:

Mashinaning elementlari ketma-ket, parallel va aralash ulanishi mumkin.

Seriyali ulanishda samaradorlik

Mexanizmlar ketma-ket ulanganda, umumiy samaradorlik individual mexanizmning eng past samaradorligidan past bo'ladi.

Parallel ulanishda samaradorlik

Mexanizmlar parallel ravishda ulanganda, umumiy samaradorlik eng kichikdan kattaroq va alohida mexanizmning eng yuqori samaradorligidan kamroq bo'ladi.

Format: pdf

Til: rus, ukrain

Tishli uzatmani hisoblash misoli
Tishli uzatmani hisoblash misoli. Materialni tanlash, ruxsat etilgan kuchlanishlarni hisoblash, aloqa va bükme kuchini hisoblash amalga oshirildi.

Nurni egish masalasini yechishga misol
Misolda ko'ndalang kuchlar va egilish momentlarining diagrammalari chizilgan, xavfli kesma topilgan va I-nur tanlangan. Muammoda differentsial bog'liqliklardan foydalangan holda diagrammalarni qurish tahlil qilindi, qiyosiy tahlil nurning turli kesimlari.

Milning buralishi muammosini hal qilish misoli
Vazifa - berilgan diametr, material va ruxsat etilgan stresslar uchun po'lat milning mustahkamligini tekshirish. Yechish vaqtida momentlar, kesish kuchlanishlari va burilish burchaklarining diagrammalari quriladi. Milning o'z vazni hisobga olinmaydi

Rodning kuchlanish-siqish masalasini yechish misoli
Vazifa berilgan ruxsat etilgan kuchlanishlarda po'lat novda kuchini sinashdir. Yechish jarayonida bo'ylama kuchlar, normal kuchlanish va siljishlar uchastkalari quriladi. Barning o'z vazni hisobga olinmaydi

Kinetik energiyani saqlash teoremasini qo'llash
Mexanik tizimning kinetik energiyasini saqlash teoremasini qo'llash masalasini yechish misoli

Teorema: tortishish kuchi ishi traektoriya turiga bog'liq emas va kuch moduli va uni qo'llash nuqtasining vertikal siljishi mahsulotiga teng. .

Moddiy nuqtaga yo'l qo'ying M tortishish kuchi ta'sirida harakat qiladi G va ma'lum vaqt davomida pozitsiyadan harakat qiladi M 1 holatiga M 2 , yo'ldan o'tish s (4-rasm).
Nuqtaning traektoriyasida M cheksiz kichik maydonni tanlang ds , uni to'g'ri chiziqli deb hisoblash mumkin va uning uchlaridan to'g'ri chiziqlar torting, o'qlarga parallel koordinatalar, ulardan biri vertikal, ikkinchisi gorizontal.
Soyali uchburchakdan biz buni olamiz

dy = ds cos a.

Kuchning elementar ishi G yo'lda ds teng:

dW = F ds cos a.

Umumiy tortishish ishi G yo'lda s ga teng

W = ∫ Gds cos a = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Shunday qilib, tortishish ishi kuch va uni qo'llash nuqtasining vertikal siljishi mahsulotiga teng:

Teorema isbotlangan.

Gravitatsiya ishini aniqlash masalasini yechishga misol

Vazifa: Yagona to'rtburchaklar massivi A B C D vazn m = 4080 kg ko'rsatilgan o'lchamlarga ega guruch. 5.
Massivni chetiga aylantirish uchun bajarilishi kerak bo'lgan ishni aniqlang D .

Qaror.
Ko'rinib turibdiki, kerakli ish massivning og'irlik markazining chetidan aylanayotganda vertikal siljishi bilan bajariladigan qarshilik ishiga teng bo'ladi. D tortishish kuchi bilan bajarilgan ish miqdorini belgilovchi yo'ldir.

Birinchidan, massivning og'irligini aniqlaymiz: G=mg = 4080 × 9.81 = 40 000 N = 40 kN.

Vertikal harakatni aniqlash uchun h to'rtburchaklar bir hil massivning og'irlik markazi (u to'rtburchaklar diagonallarining kesishish nuqtasida joylashgan), biz Pifagor teoremasidan foydalanamiz, bunga asoslanadi:

KO 1 \u003d OD - KD \u003d √ (OK 2 + KD 2) - KD \u003d √ (3 2 +4 2) - 4 \u003d 1 m.

Gravitatsiya ishi haqidagi teorema asosida massivni ag'darish uchun kerakli ishni aniqlaymiz:

W \u003d G × KO 1 \u003d 40 000 × 1 \u003d 40 000 J \u003d 40 kJ.

Muammo hal qilindi.

Aylanadigan jismga qo'llaniladigan doimiy kuchning ishi

O'zgarmas kuch ta'sirida qattiq o'q atrofida aylanayotgan diskni tasavvur qiling F (6-rasm), uning dastur nuqtasi disk bilan harakatlanadi. Keling, kuchni ajratamiz F o'zaro perpendikulyar uchta komponentga bo'linadi: F1 - aylana kuchi F2 – eksenel kuch, F3 radial kuchdir.

Disk cheksiz kichik burchak orqali aylantirilganda dph kuch F natijaning ishi haqidagi teorema asosida komponentlar ishining yig’indisiga teng bo’lgan elementar ishni bajaradi.

Shubhasiz, komponentlarning ishi F2 va F3 nolga teng bo'ladi, chunki bu kuchlarning vektorlari cheksiz kichik siljishga perpendikulyar. ds qo'llash nuqtalari M , shuning uchun kuchning elementar ishi F uning komponentining ishiga teng F1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdph.

Diskni oxirgi burchakka aylantirganda φ ish kuchi F ga teng

W = ∫ F 1 Rdph = F 1 R ∫ dph = F 1 Rph,

burchak qayerda φ radianlarda ifodalanadi.

Ta'sischilarning daqiqalaridan boshlab F2 va F3 eksa haqida z nolga teng, u holda Varignon teoremasiga asoslanib, kuch momenti F eksa haqida z teng:

M z (F) \u003d F 1 R.

Aylanish o'qi atrofida diskka qo'llaniladigan kuch momenti standartga muvofiq moment deb ataladi va ISO, harfi bilan belgilanadi T :

T \u003d M z (F), shuning uchun, W = Tph .

Aylanadigan jismga qo'llaniladigan doimiy kuchning ishi moment va burchak siljishining mahsulotiga teng.

Muammoni hal qilish misoli

Vazifa: ishchi vinch tutqichini kuch bilan aylantiradi F = 200 N, aylanish radiusiga perpendikulyar.
Vaqt o'tishi bilan sarflangan ishni toping t = 25 soniya agar tutqich uzunligi bo'lsa r = 0,4 m, va uning burchak tezligi ω = p/3 rad/s.

Qaror.
Avvalo, biz burchak almashinuvini aniqlaymiz φ vinç tutqichlari 25 soniya:

ph = ōt \u003d (p / 3) × 25 \u003d 26,18 rad.

W = Tph = Frph = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ.

Quvvat

Har qanday kuch tomonidan bajarilgan ish turli vaqtlarda, ya'ni turli tezliklarda bo'lishi mumkin. Ishning qanchalik tez bajarilishini tavsiflash uchun mexanikada tushuncha mavjud kuch , bu odatda harf bilan belgilanadi P .

Kuchning siljishdagi elementar ishi (3.22-rasm) kuchning skalyar mahsuloti va uni qoʻllash nuqtasining elementar siljishi hisoblanadi:

bu erda a - vektorlarning yo'nalishlari orasidagi burchak va

Sifatida keyin elementar ishning yana bir ifodasini yozishimiz mumkin:

Boshlang'ich ish uchun siz yana bir nechta iboralarni yozishingiz mumkin:

Elementar ish formulalaridan kelib chiqadiki, bu miqdor musbat (a burchak o'tkir), manfiy (a burchak o'tkir) yoki nolga teng (a burchak to'g'ri) bo'lishi mumkin.

Kuchlarning to'liq ishi. Bir nuqtadan siljishda kuchning umumiy ishini aniqlash M 0 gacha M Keling, bu harakatni ajratamiz n siljishlar, ularning har biri chegarada elementar bo'ladi. Keyin kuchning ishi LEKIN:

qayerda dA k- ishlash k- elementar siljish.

Yozilgan miqdor ajralmas va almashtirilishi mumkin egri chiziqli integral siljish bo'yicha egri chiziq bo'ylab olingan M 0 M. Keyin

yoki

vaqt qayerda t=0 nuqtaga mos keladi M 0 va vaqt t- nuqta M.

Boshlang'ich va to'liq ishning ta'rifidan kelib chiqadi:

1) natijaviy kuchning har qanday siljishdagi ishi komponent kuchlarining ushbu siljishdagi ishining algebraik yig'indisiga teng;

2) to'liq siljishdagi kuchlarning ishi, butun siljish har qanday tarzda bo'linadigan komponentlar siljishlariga bir xil kuchning ishining yig'indisiga teng.

Kuch kuchi. Kuchning kuchi vaqt birligi uchun bajarilgan ishdir.

yoki buni hisobga olgan holda

Kuch kuchi kuchning skalyar mahsulotiga va uni qo'llash nuqtasi tezligiga teng qiymatdir.

Shunday qilib, doimiy quvvatda tezlikning oshishi kuchning pasayishiga olib keladi va aksincha. Quvvat birligi vatt: 1W=1J/s.

Agar qattiq o'q atrofida aylanadigan jismga kuch qo'llanilsa, u holda uning kuchi teng bo'ladi

Bir juft kuchning kuchi xuddi shunday aniqlanadi.

3.3.4.3. Kuchning ishini hisoblashga misollar

Kuchning umumiy ishi

qayerda h- nuqta tushgan balandlik.

Shunday qilib, tortishish kuchi tomonidan bajarilgan ish nuqta tushganda ijobiy, nuqta ko'tarilayotganda esa manfiy bo'ladi. Gravitatsiya ishi nuqtalar orasidagi traektoriyaning shakliga bog'liq emas M 0 va M 1 .

Elastiklikning chiziqli kuchining ishi. Elastiklikning chiziqli kuchi Guk qonuniga muvofiq harakat qiluvchi kuch deb ataladi (3.24-rasm):

muvozanat nuqtasidan kuch nolga teng bo'lgan nuqtadan tortib olingan radius vektor qayerda M; bilan – doimiy omil qattiqlik.

Kuchning nuqtadan siljishidagi ishi M 0 nuqtaga M 1 formula bilan aniqlanadi

Integratsiyalash orqali biz olamiz

(3.27)

Guruch. 3.25

(3.27) formulaga ko'ra, nuqtadan istalgan yo'l bo'ylab harakatlanayotganda buloqlarning chiziqli elastik kuchining ishi hisoblanadi. M 0 , bu erda uning dastlabki kuchlanishi teng aynan M 1 , bu erda deformatsiya mos ravishda tengdir Yangi belgida (3.27) formula shaklni oladi

Aylanadigan qattiq jismga qo'llaniladigan kuchning ishi. Qattiq jism sobit o'q atrofida aylansa, nuqta tezligi M Eyler formulasi yordamida hisoblash mumkin, rasmga qarang. 3.25:

Keyin kuchning elementar ishi formula bilan aniqlanadi

Aralashtirilgan xususiyatdan foydalanish vektor mahsuloti
olamiz

Sifatida - nuqtaga nisbatan kuch momenti O. Sharti bilan; inobatga olgan holda - aylanish o'qiga nisbatan kuch momenti Oz va ō dt=d ph, biz nihoyat olamiz:

dA=Mzdφ.

Ruxsat etilgan o'q atrofida aylanadigan jismning har qanday nuqtasiga ta'sir qiladigan kuchning elementar ishi aylanish o'qi atrofidagi kuch momenti va tananing burilish burchagi differensialining mahsulotiga teng.

To'liq ish:

Muayyan holatda, qachon , ish formula bilan aniqlanadi

Bu erda j - kuchning ishi hisoblangan jismning burilish burchagi.

Guruch. 3.26

Qattiq jismning ichki kuchlarining ishi. Qattiq jismning har qanday siljishi uchun uning ichki kuchlarining ishi nolga teng ekanligini isbotlaylik. Barcha ichki kuchlarning elementar ishlari yig'indisi nolga teng ekanligini isbotlash kifoya. Tananing har qanday ikkita nuqtasini ko'rib chiqing M 1 va M 2 (3.26-rasm). Ichki kuchlar tananing nuqtalarining o'zaro ta'sir kuchlari bo'lganligi sababli, u holda:

Keling, tanishtiramiz birlik vektor kuch bilan boshqariladi Keyin

Kuchlarning elementar ishining yig'indisi va ga teng

oshkor qilish nuqta mahsulotlari Qavslar ichidagi vektorlarni olamiz

Qattiq jismning istalgan ikki nuqtasi tezligining bu nuqtalarni tutashtiruvchi to‘g‘ri chiziq yo‘nalishi bo‘yicha proyeksiyalari qattiq jismning har qanday harakati uchun bir-biriga teng ekanligi kinematikada isbotlanganligi sababli, u holda qavslardagi farq olingan ifoda bir xil qiymatlarning farqidir, ya'ni. nolga teng qiymat.

3.3.4.4. Nuqta kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema

Massaga ega bo'lgan moddiy nuqta uchun m, kuch ta'sirida harakatlanuvchi, dinamikaning asosiy qonuni sifatida ifodalanishi mumkin

Ushbu munosabatning ikkala qismini nuqta radius vektorining differensialiga skalyar tarzda ko'paytirsak, biz

yoki

Sharti bilan; inobatga olgan holda - elementar kuch ishi;

(3.28)

(3.28) formula nuqta uchun kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi.

Nuqtaning kinetik energiyasining differensialligi nuqtaga ta’sir etuvchi kuchning elementar ishiga teng.

Tenglikning ikkala qismi (3.28) nuqtadan integrallansa M 0 nuqtaga M(3.22-rasmga qarang), biz nuqtaning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teoremani chekli shaklda olamiz:

Har qanday siljishda nuqtaning kinetik energiyasining o'zgarishi bir xil siljishdagi nuqtaga ta'sir qiluvchi kuchning ishiga teng.

3.4.4.5. Tizimning kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teorema

Tizimning har bir nuqtasi uchun kinetik energiyaning o'zgarishi haqidagi teorema quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:

Ushbu munosabatlarning o'ng va chap qismlarini tizimning barcha nuqtalari bo'yicha jamlab, yig'indi belgisidan differentsial belgisini olib, biz quyidagilarni olamiz:

yoki

qayerda - tizimning kinetik energiyasi; mos ravishda tashqi va ichki kuchlarning elementar ishi hisoblanadi.

(3.29) formula sistema kinetik energiyasining o'zgarishi haqidagi teoremani differentsial shaklda ifodalaydi.

Tizimning kinetik energiyasidan farqi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi va ichki kuchlarning elementar ishlari yig'indisiga teng.

Agar (3.29) ning ikkala qismi tizimning ikkita pozitsiyasi - boshlang'ich va yakuniy pozitsiyalar o'rtasida birlashtirilgan bo'lsa, bunda kinetik energiya teng bo'ladi. T 0 va T, keyin yig'indi va integratsiya tartibini o'zgartirib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

yoki

qayerda sistemaning biror nuqtasi uchun tashqi kuchning ishi Mk boshlang'ich pozitsiyasidan oxirgi holatga o'tishda Mk; nuqtaga ta’sir etuvchi ichki kuchning ishi Mk.

(3.30) formula sistema kinetik energiyasining o zgarishi haqidagi teoremani chekli yoki integral ko rinishda ifodalaydi.

Tizim bir holatdan ikkinchi holatga o'tganda uning kinetik energiyasining o'zgarishi tizimga ta'sir qiluvchi barcha tashqi va ichki kuchlarning bir xil siljish bilan tizim nuqtalarining mos keladigan siljishlari bo'yicha ishining yig'indisiga teng. tizim.