Umuman olganda, har qanday tenglama matematik model chashka tarozilari (tutqich, teng qo'l, rocker - ko'plab nomlar mavjud), qadimgi Bobilda 7000 yil oldin yoki undan ham oldin ixtiro qilingan. Bundan tashqari, menimcha, qadimgi bozorlarda ishlatiladigan tarozilar tenglamalarning prototipiga aylandi. Va agar siz har qanday tenglamaga ikkita parallel tayoq bilan bog'langan tushunarsiz raqamlar va harflar to'plami sifatida emas, balki tarozida bo'lgani kabi qarasangiz, qolgan hamma narsada hech qanday muammo bo'lmaydi:
Har qanday tenglama muvozanatli shkalaga o'xshaydi
Shunday bo'ldiki, hayotimizda kundan-kunga ko'proq tenglamalar paydo bo'ldi va tenglama nima va uning ma'nosi haqida kamroq va kamroq tushuncha mavjud. Qanday bo'lmasin, men katta qizimga oddiy matematik tenglamaning ma'nosini tushuntirmoqchi bo'lganimda shunday taassurot qoldirdim:
x + 2 = 8 (500.1)
Bular. maktabda, albatta, ular bunday hollarda, topish uchun, deb tushuntiradi X, o'ng tomondan 2 ni ayirishingiz kerak:
x = 8 - 2 (500.3)
Bu, albatta, mutlaqo to'g'ri harakat, lekin nima uchun, masalan, qo'shish yoki bo'lish emas, balki ayirish kerak, maktab darsliklarida hech qanday tushuntirish yo'q. Siz ahmoqona o'rganishingiz kerak bo'lgan oddiy qoida mavjud:
Tenglama hadi bir qismdan ikkinchi qismga o‘tkazilganda uning belgisi teskari tomonga o‘zgaradi.
Va bu qoidani 10 yoshli o'quvchi qanday tushunishi kerak va uning ma'nosi nima, o'zingiz o'ylaysiz va qaror qilasiz. Bundan tashqari, mening yaqin qarindoshlarim ham tenglamalarning ma'nosini hech qachon tushunishmagan, balki shunchaki talab qilinadigan narsani (va ayniqsa yuqoridagi qoidani) yodlab olishgan va shundan keyingina Xudo buni ularning qalbiga qo'ygandek qo'llashgan. Menga bu holat yoqmadi, shuning uchun men ushbu maqolani yozishga qaror qildim (eng kichigi o'sib bormoqda, u buni bir necha yildan keyin yana tushuntirishi kerak va bu mening saytimning bir nechta o'quvchilari uchun foydali bo'lishi mumkin) .
Darhol aytmoqchimanki, men maktabda 10 yil o'qigan bo'lsam ham, men hech qachon texnik fanlar bilan bog'liq qoidalar va ta'riflarni o'rgatmaganman. Bular. agar biror narsa aniq bo'lsa, baribir eslab qoladi, agar biror narsa aniq bo'lmasa, unda ma'nosini tushunmasdan, uni tiqishdan nima foyda, baribir unutilgan bo'lsa? Bundan tashqari, agar men biror narsani tushunmasam, unda menga kerak emas (yaqinda tushundimki, agar maktabda biror narsani tushunmagan bo'lsam, bu mening aybim emas, balki o'qituvchilar, darsliklar va umumiy o'qituvchilarning aybi. ta'lim tizimi).
Bu yondashuv menga bolaligimda har xil o'yinlar va o'yin-kulgilar uchun juda kam bo'lgan juda ko'p bo'sh vaqtni taqdim etdi. Shu bilan birga, fizika, kimyo fanlari bo‘yicha turli olimpiadalarda qatnashdim, hattoki, matematika fanidan bitta tuman tanlovida g‘olib chiqdim. Ammo vaqt o'tishi bilan mavhum tushunchalar bilan ishlaydigan fanlar soni ko'paydi va shunga mos ravishda mening baholarim ham kamaydi. Institutning birinchi yilida mavhum tushunchalar bilan ishlaydigan fanlar soni mutlaq ko'pchilikni tashkil etdi va, albatta, men to'liq C talabasi edim. Ammo keyin, bir qator sabablarga ko'ra, men o'zim ma'ruzalar va konspektlar yordamisiz dalillarning mustahkamligi bilan shug'ullanishga majbur bo'lganimda va men buni qandaydir tushunganimda, ishlar muammosiz o'tdi va qizil diplom bilan yakunlandi. Biroq, bu hozir emas, balki ko'rsatilgan o'ziga xos xususiyatlar tufayli mening tushunchalarim va ta'riflarim maktabda o'qitiladiganlardan sezilarli darajada farq qilishi mumkinligi haqida.
Va endi davom etaylik
Eng oddiy tenglamalar, og'irliklarga o'xshashlik
Darhaqiqat, bolalar turli xil ob'ektlarni solishtirishga o'rgatiladi maktabgacha yosh ular gapirishni ham bilmasalar. Ular odatda geometrik taqqoslashlardan boshlanadi. Masalan, ular bolaga ikkita kubni ko'rsatadilar va bola qaysi kub kattaroq va qaysi biri kichikroq ekanligini aniqlashi kerak. Va agar ular bir xil bo'lsa, bu o'lchamdagi tenglikdir. Keyin vazifa qiyinlashadi, bolaga har xil shakldagi, turli rangdagi narsalar ko'rsatiladi va bolaning bir xil narsalarni tanlashi tobora qiyinlashadi. Biroq, biz vazifani unchalik murakkablashtirmaymiz, balki tenglikning faqat bir turiga - pul og'irligiga e'tibor qaratamiz.
Tarozi kostryulkalari bir xil gorizontal darajada bo'lsa (to'q sariq va ko'k rangda 500.1-rasmda ko'rsatilgan pan tarozi strelkalari bir-biriga to'g'ri keladi, gorizontal daraja qora qalin chiziq bilan ko'rsatilgan), bu shuni anglatadiki, shkalaga shunchalik yuk bor. chap panada bo'lgani kabi muvozanatning o'ng panasi. Eng oddiy holatda, bu 1 kg og'irlikdagi og'irliklar bo'lishi mumkin:
500.1-rasm.
Va keyin biz eng oddiy tenglamani olamiz 1 = 1. Biroq, bu tenglama faqat men uchun, matematikada bunday ifodalar tenglik deb ataladi, ammo buning mohiyati o'zgarmaydi. Agar biz tarozining chap tomonidagi og'irlikni olib tashlasak va ustiga biron bir narsani qo'ysak, hatto olma, hatto tirnoq, hatto qizil ikra va shu bilan birga tarozi bir xil gorizontal darajada bo'lsa, bu hali ham 1 kg degani bo'ladi. ko'rsatilgan mahsulotlarning birortasi balansning o'ng tomonida qolgan vaznning 1 kg ga teng. Bu kilogramm uchun faqat sotuvchi tomonidan belgilangan narx bo'yicha to'lash qoladi. Yana bir narsa shundaki, sizga narx yoqmasligi mumkin yoki og'irliklarning to'g'riligiga shubha bor - lekin bu allaqachon matematikaga bevosita aloqasi bo'lmagan iqtisodiy va huquqiy munosabatlar masalalari.
Albatta, o'sha uzoq vaqtlarda, pan tarozi paydo bo'lganda, hamma narsa ancha sodda edi. Birinchidan, kilogramm kabi vazn o'lchovi yo'q edi, lekin vazn o'lchovlariga mos keladigan pul birliklari bor edi, masalan, talantlar, shekellar, funtlar, grivnalar va boshqalar (Aytgancha, men uzoq vaqt hayratda qoldim. funt bor - pul birligi va funt - og'irlik o'lchovi, Grivnasi bor - pul birligi va bir vaqtlar Grivna og'irlik o'lchovi bo'lgan va yaqinda men iste'dod nafaqat pul emasligini bilganimda. Eski Ahdda eslatib o'tilgan qadimgi yahudiylarning birligi, balki qadimgi Bobilda qabul qilingan og'irlik o'lchovi ham hamma narsa joyiga tushdi).
Aniqrog'i, dastlab og'irliklar, qoida tariqasida, donli ekinlar donalari mavjud edi va shundan keyingina bu og'irliklarga mos keladigan pullar paydo bo'ldi. Masalan, 60 don bir misqolga (sikl), 60 misqol bir minaga, 60 minut esa bir talantga to‘g‘ri kelgan. Shuning uchun dastlab tarozilar taklif qilingan pulning qalbakiligini tekshirish uchun ishlatilgan, shundan keyingina tarozilar pul ekvivalenti, kuzov to'plamlari va qisqartmalar, elektron tarozilar va plastik kartochkalar sifatida paydo bo'lgan, ammo bu masalaning mohiyatini o'zgartirmaydi.
O'sha uzoq vaqtlarda sotuvchiga u yoki bu mahsulot qancha turishini batafsil tushuntirishga hojat yo'q edi. Sotilayotgan tovarlarni bitta taroziga qo'yish kifoya edi, xaridor esa ikkinchisiga pul qo'ydi - juda sodda va aniq, hatto mahalliy lahjani bilish ham talab qilinmaydi, siz dunyoning istalgan nuqtasida savdo qilishingiz mumkin. Ammo tenglamalarga qaytish.
Agar (500.1) tenglamani tarozi pozitsiyasidan ko'rib chiqsak, demak, tarozining chap panjasida noma'lum kilogramm va yana 2 kilogramm, o'ng panada esa 8 kilogramm bor:
x + 2kg, = 8kg, (500.1.2)
Eslatma: Bu holda, pastki chiziq tarozi pastki qismini anglatadi, qog'ozda hisoblashda bu chiziq ko'proq tarozi pastki qismiga o'xshash bo'lishi mumkin. Bundan tashqari, matematiklar uzoq vaqtdan beri maxsus belgilar - qavslar bilan kelishgan, shuning uchun har qanday qavsni hech bo'lmaganda tenglamalar ma'nosini tushunishning birinchi bosqichida o'lchovning tomonlari sifatida ko'rib chiqish mumkin. Shunga qaramay, aniqroq bo'lishi uchun pastki chiziqni qoldiraman.
Xo'sh, noma'lum kilogramm sonini bilish uchun nima qilishimiz kerak? To'g'ri! Tarozilarning chap va o'ng tomonlaridan 2 kilogrammni olib tashlang, keyin tarozilar bir xil gorizontal darajada qoladi, ya'ni biz hali ham tenglikka ega bo'lamiz:
x + 2kg, - 2kg = 8kg, - 2kg (500.2.2)
Mos ravishda
x, = 8kg - 2kg, (500.3.2)
x, = 6 kg, (500.4.2)
500.2-rasm.
Ko'pincha matematika kilogramm bilan emas, balki ba'zi mavhum o'lchamsiz birliklar bilan ishlaydi va keyin (500.1) tenglamaning yechimi, masalan, qoralamada quyidagicha ko'rinadi:
x + 2, = 8, (500.1)
x + 2, - 2 = 8, - 2 (500.2)
x, = 8 - 2 , (500.3)
x = 6 (500.4)
Bu 500.2-rasmda aks ettirilgan.
Eslatma: Rasmiy ravishda, yanada yaxshiroq tushunish uchun (500.2) tenglamadan keyin shaklning boshqa tenglamasi kelishi kerak: x + 2 - 2, = 8 - 2, ya'ni harakat tugadi va biz yana muvozanat kosalari bilan shug'ullanamiz. Biroq, mening fikrimcha, yechimning bunday to'liq to'liq yozuviga ehtiyoj yo'q.
Toza kitoblarda odatda tenglamani yechishning qisqartirilgan belgisi qo'llaniladi va nafaqat tenglamalarni o'rganishning dastlabki bosqichida juda zarur bo'lgan o'lchov belgilari, menimcha, hatto butun tenglamalar ham qisqartiriladi. . Shunday qilib, darsliklarda keltirilgan misollarga ko'ra (500.1) tenglama yechimining toza nusxadagi qisqartirilgan yozuvi quyidagicha bo'ladi:
x + 2 = 8 (500.1.1)
x = 8 - 2 (500.3.1)
x = 6 (500.4)
Natijada, og'irliklar bilan o'xshashlikdan foydalanib, biz taklif qilingan darsliklar bilan solishtirganda yechish usuli yoki ushbu yechimni yozib olish shakli bo'yicha qo'shimcha tenglama (500.2) tuzdik. Menimcha, bu tenglama, bundan tashqari, taxminan bu shaklda yozilgan, ya'ni. o'lchovlarning ramziy belgisi bilan - bu tenglamalarning ma'nosini tushunish uchun muhim bo'lgan etishmayotgan havola.
Bular. tenglamalarni yechishda biz qarama-qarshi belgi bilan hech narsani o'tkazmaymiz, lekin tenglamaning chap va o'ng tomonlari bilan bir xil matematik amallarni bajaramiz.
Endilikda tenglamalar yechimini yuqorida keltirilgan qisqartirilgan shaklda yozish odatiy holdir. (500.1.1) tenglamadan so'ng darhol (500.3.1) tenglama keladi, shuning uchun teskari belgilar qoidasi keladi, ammo bu ko'pchilik uchun tenglamalarning ma'nosini o'rganishdan ko'ra eslash osonroqdir.
Eslatma: Yozuvning qisqartirilgan shakliga qarshi, menda hech narsa yo'q, bundan tashqari. ilg'or foydalanuvchilar ushbu shaklni yanada qisqartirishlari mumkin, ammo bu faqat tenglamalarning umumiy ma'nosi aniq tushunilganidan keyin amalga oshirilishi kerak.
Va kengaytirilgan yozuv sizga tenglamalarni echishning asosiy qoidalarini tushunishga imkon beradi:
1. Agar tenglamalarning chap va o’ng tomonlari bilan bir xil matematik amallarni bajarsak, u holda tenglik saqlanib qoladi.
2. Ko'rib chiqilayotgan tenglamaning qaysi qismi chap va qaysi qismi o'ng bo'lishi muhim emas, biz ularni erkin almashtirishimiz mumkin.
Ushbu matematik operatsiyalar har qanday bo'lishi mumkin. Yuqorida ko'rsatilganidek, chap va o'ng tomondan bir xil sonni ayirishimiz mumkin. Biz bir xil raqamni tenglamaning chap va o'ng tomonlariga qo'shishimiz mumkin, masalan:
x - 2, = 8, (500.5.1)
x - 2, + 2 = 8, + 2 (500.5.2)
x, = 8 + 2 , (500.5.3)
x = 10 (500.5.4)
Biz ikkala qismni bir xil songa bo'lishimiz yoki ko'paytirishimiz mumkin, masalan:
3x, = 12, (500.6.1)
3x, : 3 = 12, : 3 (500.6.2)
x, = 12 : 3 , (500.6.3)
x = 4 (500.6.4)
3x - 6, \u003d 12, (500.7.1)
3x - 6, + 6 = 12, + 6 (500.7.2)
3x, = 18, (500.7.3)
3x, : 3 = 18, : 3 (500.7.4)
x = 6 (500.7.5)
Biz ikkala qismni birlashtira olamiz yoki farqlay olamiz. Biz chap va o'ng tomonlar bilan xohlagan narsani qila olamiz, lekin agar bu harakatlar chap va o'ng tomonlar uchun bir xil bo'lsa, unda tenglik saqlanib qoladi (tarozi bir xil gorizontal darajada qoladi).
Albatta, siz noma'lum qiymatni tez va sodda tarzda aniqlashga imkon beradigan harakatlarni tanlashingiz kerak.
Shu nuqtai nazardan, teskari harakatning klassik usuli, go'yo oddiyroq, ammo agar bola hali salbiy raqamlarni o'rganmagan bo'lsa-chi? Shu bilan birga, hosil bo'lgan tenglama quyidagi shaklga ega:
5 - x = 3 (500.8)
Bular. bu tenglamani klassik usul bilan yechishda biri variantlari Eng qisqa yozuvni beruvchi yechim quyidagicha:
- x = 3 - 5 (500.8.2)
- x = - 2 (500.8.3)
x = 2 (500.8.4)
Va eng muhimi - (500.8.3) tenglama (500.8.4) bilan bir xil ekanligini bolaga qanday tushuntirish mumkin?
Bu shuni anglatadiki, bu holatda, hatto klassik usuldan foydalanganda ham, yozishni tejashning ma'nosi yo'q va birinchi navbatda siz chap tomonda salbiy belgiga ega bo'lgan noma'lum qiymatdan xalos bo'lishingiz kerak.
5 - x = 3 (500.8)
5 = 3 + x (500.8.5)
3 + x = 5 (500.8.6)
x = 5 - 3 (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Bunday holda, to'liq yozuv quyidagicha ko'rinadi:
5 - x, = 3, (500.8)
5 - x, + x = 3, + x (500.9.2)
5, = 3 + x, (500.9.3)
3 + x, = 5, (500.8.6)
3 + x, - 3 = 5, - 3 (500.9.3)
x, = 5 - 3, (500.8.7)
x = 2 (500.8.4)
Men uni yana qo'shaman. Yechimning to'liq yozuvi o'qituvchilarga kerak emas, balki tenglamalarni echish usulini yaxshiroq tushunish uchun. Tenglamaning chap va o'ng tomonlarini almashtirganimizda, bu xaridor nuqtai nazaridan sotuvchi nuqtai nazaridan tarozi ko'rinishini o'zgartirishga o'xshaydi, shunga qaramay, tenglik saqlanib qoladi.
Afsuski, men qizimga hatto qoralamalarda ham to'liq yechimni yozishga majbur qila olmadim. Uning temir argumenti bor: "bizni bunday o'rgatilmagan". Shu bilan birga, tuzilayotgan tenglamalarning murakkabligi oshadi, noma'lum qiymatni aniqlash uchun qanday harakat qilish kerakligini taxmin qilish foizi kamayadi va hisob-kitoblar tushadi. Men u bilan nima qilishni bilmayman ...
Eslatma: zamonaviy matematikada tenglik va tenglamalarni ajratish odatiy holdir, ya'ni. 1 \u003d 1 - bu shunchaki raqamli tenglik va agar tenglik qismlaridan birida topilishi kerak bo'lgan noma'lum bo'lsa, bu allaqachon tenglama. Menga kelsak, ma'nolarning bunday farqlanishi unchalik ma'noga ega emas, faqat materialni idrok etishni murakkablashtiradi. Men har qanday tenglikni tenglama deb atash mumkinligiga ishonaman va har qanday tenglama tenglikka asoslanadi. Bundan tashqari, x \u003d 6 savol tug'iladi, bu allaqachon tenglikmi yoki bu hali ham tenglamami?
Eng oddiy tenglamalar, vaqt bilan o'xshashlik
Albatta, tenglamalarni echishda og'irliklarga o'xshashlik yagona emas. Masalan, tenglamalar yechimini vaqt aspektida ham ko'rib chiqish mumkin. Keyin (500.1) tenglama bilan tavsiflangan shart quyidagicha eshitiladi:
Noma'lum miqdorga qo'shilganimizdan keyin X Yana 2 birlik, bizda 8 birlik (hozirgi) bor. Biroq, u yoki bu sabablarga ko'ra, biz ularning nechtasi bo'lganligi bilan emas, balki o'tgan zamonda ularning nechtasi bo'lganligi bilan qiziqamiz. Shunga ko'ra, bizda qancha bir xil birlik borligini bilish uchun biz qarama-qarshi harakatni bajarishimiz kerak, ya'ni. 8 dan 2 ni ayirish (500.3 tenglama). Ushbu yondashuv darsliklarda aytilganlarga to'liq mos keladi, ammo menimcha, og'irliklarga o'xshashlik kabi aniq emas. Biroq, bu masala bo'yicha fikrlar turlicha bo'lishi mumkin.
Qavslar bilan tenglamani yechishga misol
Men ushbu maqolani yozda qizim 4-sinfni tugatganida yozgan edim, lekin maktabda ularga quyidagi ko'rinishdagi tenglamalarni yechish taklif qilinganiga yarim yildan kamroq vaqt o'tdi:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 = 300 (500.10)
Sinfdagi hech kim bu tenglamani yecha olmadi, lekin shu bilan birga, men taklif qilgan usul yordamida uni yechishda qiyin narsa yo'q, faqat yozuvning to'liq shakli juda ko'p joy egallaydi:
(500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), \u003d 300: 3, (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x), \u003d 100, (500.10.4)
(500.10.5)
75: (50 - 5x), \u003d 100 - 97, (500.10.6)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
(500.10.8)
75, \u003d 3 (50 - 5x), (500.10.9)
(500.10.10)
75: 3, \u003d 50 - 5x, (500.10.11)
25, \u003d 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, \u003d 50 - 25, (500.10.16)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x, = 25:5, (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Biroq, bu bosqichda bunday to'liq yozuvga ehtiyoj yo'q. Ikki qavsga kelganimiz sababli, chap va o'ng tomonlardagi matematik operatsiyalar uchun alohida tenglama yozish shart emas, shuning uchun loyihadagi yechim yozuvi quyidagicha ko'rinishi mumkin:
97 + 75: (50 - 5x) : 3 = 300 : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), \u003d 100, (500.10.4)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 \u003d 100 - 97, (500.10.5)
75: (50 - 5x), = 3, (500.10.7)
75: (50 - 5x) , (50 - 5x) = 3 , (50 - 5x) (500.10.8)
75, \u003d 3 (50 - 5x), (500.10.9)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, \u003d 50 - 5x, (500.10.12)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, = 50, (500.10.14)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, = 25, (500.10.17)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Hammasi bo'lib, ushbu bosqichda asl tenglamani echish uchun 14 ta tenglama yozish kerak edi.
Bunday holda, tenglama yechimining toza nusxadagi yozuvi quyidagicha ko'rinishi mumkin:
97 + 75: (50 - 5x) = 300: 3 (500.10.3)
97 + 75: (50 - 5x) = 100 (500.10.4)
75: (50 - 5x) = 100 - 97 (500.10.6)
75: (50 - 5x) = 3 (500.10.7)
75 = 3 (50 - 5x) (500.10.9)
75: 3 = 50 - 5x (500.10.11)
25 = 50 - 5x (500.10.12)
25 + 5x = 50 (500.10.14)
5x = 50 - 25 (500.10.16)
5x = 25 500.10.17)
x=25:5 (500.10.19)
x = 5 (500.10.20)
Bular. qisqartirilgan shaklda, biz hali ham 12 tenglama qilishimiz kerak. Shu bilan birga, ro'yxatga olishda tejash minimaldir, lekin beshinchi sinf o'quvchisi haqiqatan ham kerakli harakatlarni tushunishda muammolarga duch kelishi mumkin.
P.S. Faqat ikki qavatli qavslar haqida gap ketganda, qiz men taklif qilgan tenglamalarni echish usuliga qiziqib qoldi, lekin shu bilan birga, uning yozma shaklida, hatto qoralamada ham, 2 baravar kam tenglamalar mavjud, chunki u yakuniyni o'tkazib yuboradi. (500.10.4), (500.10. 7) va shunga o'xshash tenglamalar va yozishda darhol keyingi matematik amal uchun joy qoldiradi. Natijada, uning loyihasidagi yozuv shunday ko'rinishga ega edi:
(97 + 75: (50 - 5x)) 3 : 3 = 300 : 3 (500.10.2)
97 + 75: (50 - 5x), - 97 \u003d 100, - 97 (500.10.5)
75: (50 - 5x) , (50 - 5x) = 3 , (50 - 5x) (500.10.8)
75 , : 3 = 3 (50 - 5x) , : 3 (500.10.10)
25, + 5x = 50 - 5x, + 5x (500.10.13)
25 + 5x, - 25 = 50, - 25 (500.10.15)
5x, : 5 = 25, : 5 (500.10.18)
x = 5 (500.10.20)
Natijada, faqat 8 ta tenglama olindi, bu qisqartirilgan yechim uchun talab qilinganidan ham kamroq. Aslida, men bunga qarshi emasman, bu foydali bo'ladi.
Bitta noma'lum miqdorni o'z ichiga olgan eng oddiy tenglamalarning yechimi haqida aytmoqchi bo'lgan narsam shu edi. Ikki noma'lum miqdorni o'z ichiga olgan tenglamalarni echish uchun sizga kerak bo'ladi
1.2. Astronomiyada vaqtni o'lchash
1.2.1. Umumiy holat
Geodezik astronomiya, astrometriya va kosmik geodeziyaning vazifalaridan biri osmon jismlarining koordinatalarini aniqlashdir. berilgan moment vaqt. Ular astronomik vaqt shkalalarini yaratish bilan shug'ullanadilar milliy xizmatlar vaqt va Xalqaro vaqt byurosi.
Uzluksiz vaqt shkalalarini qurish uchun barcha ma'lum usullar asoslanadi ommaviy jarayonlar, Misol uchun:
- Yerning o'z o'qi atrofida aylanishi;
- Yerning Quyosh atrofida aylanishi;
- orbitada Oyning Yer atrofida aylanishi;
- tortishish kuchi ta'sirida mayatnikning tebranishi;
- o'zgaruvchan tok ta'sirida kvarts kristalining elastik tebranishlari;
- molekulalar va atomlarning elektromagnit tebranishlari;
- atom yadrolarining radioaktiv parchalanishi va boshqa jarayonlar.
Vaqt tizimi quyidagi parametrlar bilan o'rnatilishi mumkin:
1) mexanizm - davriy takrorlanadigan jarayonni ta'minlovchi hodisa (masalan, Yerning kunlik aylanishi);
2) masshtab - jarayon takrorlanadigan vaqt davri;
3) boshlang'ich nuqtasi , nol nuqtasi - jarayonni takrorlashning boshlanish momenti;
4) vaqtni hisoblash usuli.
Geodeziya astronomiyasida astrometriya, osmon mexanikasida Yerning oʻz oʻqi atrofida aylanishiga asoslangan yulduz va quyosh vaqti tizimlari qoʻllaniladi. Bu davriy harakat eng yuqori daraja bir xil, vaqt bilan cheklanmagan va insoniyatning butun borlig'i davomida uzluksiz.
Bundan tashqari, astrometriya va samoviy mexanikada,
Efemer va dinamik vaqt tizimlari , ideal sifatida
yagona vaqt shkalasining tuzilishi;
Tizim atom vaqti- ideal bir xil vaqt shkalasini amaliy amalga oshirish.
1.2.2. yulduz vaqti
Sideral vaqt s bilan belgilanadi. Yulduzli vaqt tizimining parametrlari:
1) mexanizm - Yerning o'z o'qi atrofida aylanishi;
2) masshtab - bahorgi tengkunlik nuqtasining ketma-ket ikkita yuqori cho'qqisi orasidagi vaqt oralig'iga teng yulduzli kun
ichida kuzatuv punkti;
3) samoviy sferada boshlang'ich nuqta - bahorgi tengkunlik nuqtasi, nol nuqtasi (yulduz kunining boshlanishi) - nuqtaning yuqori cho'qqisining momenti;
4) hisoblash usuli. Yulduzli vaqtning o'lchovi nuqtaning soat burchagidir
bahorgi tengkunlik, t. Uni o'lchash mumkin emas, lekin ifoda har qanday yulduz uchun to'g'ri
shuning uchun yulduzning to'g'ri ko'tarilishini bilib, uning soat burchagi t ni hisoblab, yulduz vaqtini s aniqlash mumkin.
Farqlash to'g'ri, o'rtacha va to'g'ri gamma nuqtalari (ajralish astronomik omil bilan bog'liq nutation , 1.3.9-bandga qarang), unga nisbatan o'lchanadi to'g'ri, o'rtacha va kvazi-haqiqiy yulduz vaqti.
Yulduzli vaqt tizimi Yer yuzasidagi nuqtalarning geografik koordinatalarini va yerdagi ob'ektlarga yo'nalishning azimutlarini aniqlashda, tartibsizliklarni o'rganishda qo'llaniladi. kunlik aylanish Yer, boshqa vaqt o'lchash tizimlarining shkalalarining nol nuqtalarini o'rnatishda. Ushbu tizim astronomiyada keng qo'llanilsa-da Kundalik hayot noqulay. Quyoshning ko'rinadigan kundalik harakati tufayli kunduz va tunning o'zgarishi Yerdagi inson faoliyatida juda aniq tsiklni yaratadi. Shuning uchun vaqtni hisoblash qadimdan Quyoshning kunlik harakatiga asoslangan.
1.2.3. Haqiqiy va o'rtacha quyosh vaqti. Vaqt tenglamasi
Haqiqiy quyosh vaqti tizimi (yoki haqiqiy quyosh vaqti- m ) Quyoshni astronomik yoki geodezik kuzatishlar uchun ishlatiladi. Tizim parametrlari:
1) mexanizm - Yerning o'z o'qi atrofida aylanishi;
2) masshtab - haqiqiy quyosh kuni- haqiqiy Quyosh markazining ikkita ketma-ket quyi kulminatsiyalari orasidagi vaqt oralig'i;
3) boshlang'ich nuqtasi - haqiqiy Quyosh diskining markazi - , nol nuqtasi - haqiqiy yarim tun, yoki haqiqiy Quyosh diskining markazining pastki kulminatsiya momenti;
4) hisoblash usuli. Haqiqiy quyosh vaqtining o'lchovi haqiqiy Quyoshning geosentrik soat burchagi t plyus 12 soat:
m = t + 12 soat.
Haqiqiy quyosh vaqtining birligi - soniya, haqiqiy quyosh kunining 1/86400 qismiga teng, vaqt birligiga bo'lgan asosiy talabni qondirmaydi - doimiy emas.
Haqiqiy quyosh vaqti shkalasining nomuvofiqligining sabablari
1) Yer orbitasining elliptikligi tufayli Quyoshning ekliptika bo'ylab notekis harakati;
2) yil davomida Quyoshning o'ng ko'tarilishining notekis o'sishi, chunki Quyosh ekliptika bo'ylab samoviy ekvatorga taxminan 23,50 burchak ostida moyil bo'ladi.
Shu sabablarga ko'ra amalda haqiqiy quyosh vaqti tizimidan foydalanish noqulay. Yagona quyosh vaqti shkalasiga o'tish ikki bosqichda sodir bo'ladi.
1-bosqich dummyga o'tish o'rtacha ekliptik quyosh. dan-
Ushbu bosqichda Quyoshning ekliptika bo'ylab notekis harakati istisno qilinadi. Noto'g'ri harakat elliptik orbitada bilan almashtiriladi yagona harakat dumaloq orbitada. Haqiqiy Quyosh va o'rtacha ekliptik Quyosh Yer o'z orbitasining perigelioni va afeliyasidan o'tganda bir vaqtga to'g'ri keladi.
2-bosqichga o'tish o'rtacha ekvatorial quyosh, ga teng harakatlanadi
samoviy ekvator bo'ylab raqamlangan. Bu erda ekliptikaning egilishi tufayli Quyoshning o'ng ko'tarilishining notekis o'sishi istisno qilinadi. Haqiqiy Quyosh va o'rtacha ekvatorial Quyosh bir vaqtning o'zida bahor va kuzgi tengkunlik nuqtalaridan o'tadi.
Ushbu harakatlar natijasida yangi tizim vaqt o'lchovlari - quyosh vaqti degani.
O'rtacha quyosh vaqti m bilan belgilanadi. O'rtacha quyosh vaqti tizimining parametrlari:
1) mexanizm - Yerning o'z o'qi atrofida aylanishi;
2) masshtab - o'rtacha kun - o'rtacha ekvatorial Quyoshning ikkita ketma-ket quyi cho'qqilari orasidagi vaqt oralig'i ekv ;
3) boshlang'ich nuqtasi - ekvatorial quyoshni anglatadi ekviv , nullpoint - o'rtacha yarim tun yoki o'rtacha ekvatorial Quyoshning quyi avj nuqtasi momenti;
4) hisoblash usuli. O'rtacha vaqt o'lchovi o'rtacha ekvatorial Quyoshning geosentrik soatlik burchagi t ekvivalent plyus 12 soat.
m = t ekviv + 12h.
O'rtacha quyosh vaqtini to'g'ridan-to'g'ri kuzatishlar asosida aniqlash mumkin emas, chunki o'rtacha ekvatorial Quyosh osmon sferasidagi xayoliy nuqtadir. O'rtacha quyosh vaqti haqiqiy quyosh vaqtidan hisoblanadi, haqiqiy quyosh kuzatuvlari asosida aniqlanadi. Haqiqiy quyosh vaqti m va o'rtacha quyosh vaqti m o'rtasidagi farq deyiladi vaqt tenglamasi va ifodalanadi:
M - m = t - t sr.eq. .
Vaqt tenglamasi yillik va yarim yillik ikki sinusoid bilan ifodalanadi
yangi davrlar:
1 + 2 -7,7m sin (l + 790 )+ 9,5m sin 2l,
bu erda l - o'rtacha ekliptik Quyoshning ekliptik uzunligi.
Grafik ikki maksimal va ikkita minimal bo'lgan egri chiziq bo'lib, Dekart to'rtburchaklar koordinatalar tizimida shaklda ko'rsatilgan shaklga ega. 1.18.
1.18-rasm. Vaqt tenglamasining grafigi
Vaqt tenglamasining qiymatlari +14 m dan -16 m gacha.
Astronomik yilnomada har bir sana uchun E ning qiymati teng berilgan
E \u003d + 12 soat.
Bilan berilgan qiymat, o'rtacha quyosh vaqti va haqiqiy Quyoshning soatlik burchagi o'rtasidagi bog'liqlik ifoda bilan aniqlanadi
m = t -E.
1.2.4. Julian kunlari
Da aniq ta'rif Ikki uzoq sanalar orasidagi vaqt oralig'ining raqamli qiymati, astronomiyada deb ataladigan kunning uzluksiz hisobini ishlatish qulay. Julian kunlari.
Julian kunlarini hisoblashning boshlanishi miloddan avvalgi 4713 yil 1 yanvarda Grinvichning o'rtacha kunduzi bo'lib, bu davr boshidan boshlab o'rtacha quyosh kuni hisoblab chiqiladi va har bir kalendar sanasi JD deb qisqartirilgan ma'lum bir Julian kuniga to'g'ri kelishi uchun raqamlanadi. Shunday qilib, 1900 yil, yanvar 0,12 soat UT Julian sanasi JD 2415020,0 va 2000 yil, 1 yanvar, 12 soat UT - JD2451545,0 davriga to'g'ri keladi.
Strukturaviy mexanikaning asosiy vazifasining matematik tomoni materiallarning mustahkamligiga bog'liqliklarga asoslanadi. Keling, ularni ramka elementining kuchlanish-deformatsiya holati misolida eslaylik, buning uchun nurdan farqli o'laroq, ko'ndalang egilish qo'shimcha kuchlanish yoki siqilish bilan birga keladi.
Bunday uzunlik elementi bo'lsin dx mahalliy koordinatalar tizimida joylashgan Oksi, o'q qayerda ho'kiz novda o'qi bo'ylab yo'naltiriladi va zichlikning taqsimlangan yuki bilan yuklanadi. q x va q y birga ho'kiz va Oy mos ravishda (1.20-rasm).
Rodning kuchlanish-deformatsiya holati to'qqiz komponent bilan belgilanadi:
- ichki harakatlar M, Q, N,);
- harakatlar ( u, v, );
– deformatsiyalar (k, , ).
Ushbu funktsiyalarni aniqlash uchun tenglamalarni uch guruhga bo'lish mumkin:
Statik tenglamalar- ichki kuchlarni (1.20-rasm, b) berilgan yuk bilan bog'lash:
dN/dx = – q x ;
dQ/dx= q y; y (1.10)
dM/dx= Q .
Geometrik tenglamalar- shaklda ko'rsatilgan siljishlar orqali deformatsiyalarni ifodalash. 1.20, b, c:
κ = d/ dx;
= dv/dx; (1,11)
= du/dx.
Fizik tenglamalar- ichki kuchlar va deformatsiyalar o'rtasidagi munosabatni ifodalaydi:
κ = M/EJ;
= Q/GF; (1,12)
= N/EF;
qayerda E– Yang moduli;
G kesish moduli;
F novdaning tasavvurlar maydoni;
J uning inersiya momenti;
- sterjenning kesimida kesishish kuchlanishlarining notekis taqsimlanishini hisobga oluvchi koeffitsient.
E'tibor bering, ifodalar EJ va EF (1.12) da chaqiriladi egilish va taranglikda (siqilishda) tayoqning qattiqligi mos ravishda.
(1.10) - (1.12) tenglamalar tizimini echishda ikkita variant mumkin:
1) ichki harakatlar M, Q, N, (1.10) tenglamalar tizimidan qolgan tenglamalarga murojaat qilmasdan topish mumkin - bu SOS;
2) ichki kuchlarni faqat barcha to'qqiz tenglamani birgalikda yechish orqali topish mumkin - bu SNA.
Ikkinchi holda, ushbu tenglamalarni echishda ikkita yondashuv mumkin:
- harakatlar asosiy noma'lumlar sifatida tanlanadi M, Q, N, qolganlarning hammasini ular bilan ifodalash - bu kuch usuli shaklidagi yechim;
– asosiy noma’lumlar sifatida siljishlar tanlanadi u, v, hisoblanadi ko'chirish usuli ko'rinishidagi yechim.
(1.10) - (1.12) chiziqli tenglamalar bilan tavsiflangan tizimlar chiziqli deformatsiyalanuvchi deyiladi. Ularga adolatli superpozitsiya printsipi, bunga ko'ra:
Berilgan yukdan (yoki boshqa ta'sirdan) ichki kuchlar, siljishlar va deformatsiyalar har bir yukdan alohida-alohida mos keladigan qiymatlar yig'indisi sifatida topilishi mumkin.
Eslatmalar:
1. Statik tenglamalarning birinchisi (1.10) ko'rib chiqilayotgan ramka elementining muvozanat holatidan olinadi. Uning ichida faraz qilish q x= const, va tenglamani tuzish X= 0, biz olamiz:
– N+ q x dx+ (N+dN) = 0,
bu yerdan kerakli bog'liqlik kelib chiqadi. (1.10) dan qolgan ikkita tenglama Juravskiyning differentsial bog'liqliklari.
2. (1.12) fizik tenglamalarning birinchisi nurning egilgan o'qining differentsial tenglamasi:
κ = d/ dx = d 2 v/dx 2 = M /EJ.
Shtrix kesimida kesishish kuchlanishlarining bir xil taqsimlanishi farazidagi ikkinchi tenglama ( =1) ifodalaydi. Guk qonuni kesishda:
= Q/F= G.
Shu bilan birga, biz § 3.5da ko'rsatilgan sababga ko'ra koeffitsientining ma'nosini aniqlamaymiz. Fizik tenglamalarning oxirgisi (1.12) dir CRS da Guk qonuni:
= N/F= E.
3. Bundan buyon, agar boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, biz belgidan foydalanishda davom etamiz Oksi butun tuzilish bilan bog'liq global koordinatalar tizimi uchun.
Vaqt tenglamasi o'rtacha va haqiqiy quyosh vaqti o'rtasidagi farq; haqiqiy va o'rtacha Quyoshning to'g'ri ko'tarilishlari orasidagi farqga teng. Koʻpincha U. asr. haqiqiy va o'rtacha vaqt o'rtasidagi farq sifatida aniqlanadi; bu holda, u kataloglardan foydalanishda yodda tutish kerak bo'lgan qarama-qarshi belgiga ega.
U. in. doimo o'zgarib turadi. Buning sababi, haqiqiy Quyoshning soat burchagi bilan o'lchanadigan haqiqiy quyosh vaqti, birinchidan, Yerning o'z orbitasi bo'ylab notekis harakatlanishi va ikkinchidan, ekliptikaning tekislikka moyilligi tufayli notekis o'tadi. ekvator. Shuning uchun U. c. Taxminan sinusoidal shakldagi va deyarli teng amplitudali ikkita to'lqinni qo'shish orqali olinadi (2-rasmga qarang). guruch. ). Bu to'lqinlardan biri bir yillik, ikkinchisi yarim yillik davrga ega. Yiliga toʻrt marta, yaʼni: taxminan 16 aprel, 14 iyun, 1 sentyabr va 25 dekabr, U. c. nolga teng va eng katta qiymatdan 4 baravar ko'p (mutlaq qiymatda): taxminan 12 fevral + 14,3 min, 15 may - 3,8 min, 27 iyul + 6,4 min va 4-noyabr - 16.4 min. U. asrning yordami bilan. o'rtacha mahalliy quyosh vaqtini topish mumkin, agar haqiqiy quyosh vaqti ma'lum bo'lsa, Quyoshni kuzatish natijasida aniqlangan, masalan, quyosh soati yordamida; formuladan foydalanganda:
m = m 0+soat ,
qayerda m- o'rtacha vaqt, m 0 – haqiqiy vaqt, h - U. v. Qadriyatlar U. in. har bir kun uchun astronomik yilnomalar va kalendarlarda berilgan. Sm. Vaqt.
Vaqt tenglamasining grafigi: 1 - Yerning orbitada notekis harakati bilan aniqlangan vaqt tenglamasining komponenti; 2 - ekliptikaning ekvatorga moyilligi bilan aniqlangan vaqt tenglamasining komponenti; 3 - vaqt tenglamasi.
Buyuk Sovet Entsiklopediyasi M.: " Sovet entsiklopediyasi", 1969-1978
Vaqt tenglamasining grafigi (ko'k chiziq) va uning ikkita komponenti, bu tenglama SW = SNE - WIS sifatida aniqlanganda.
Vaqt tenglamasi- o'rtacha quyosh vaqti (SST) va haqiqiy quyosh vaqti (TSV) o'rtasidagi farq, ya'ni SW = SST - WIS. Vaqtning har qanday momentidagi bu farq Yerning istalgan nuqtasidagi kuzatuvchi uchun bir xil bo'ladi. Vaqt tenglamasini ixtisoslashtirilgan astronomik nashrlarda, astronomik dasturlarda topish mumkin yoki quyidagi formuladan foydalanib hisoblash mumkin.
Astronomik kalendar kabi nashrlarda vaqt tenglamasi o'rtacha ekvatorial quyosh va haqiqiy quyoshning soatlik burchaklari orasidagi farq sifatida belgilanadi, ya'ni bu ta'rif bilan SW = NNE - WIS.
Ingliz tilidagi nashrlarda vaqt tenglamasining boshqa ta'rifi ("teskari" deb ataladi) ko'pincha ishlatiladi: SW \u003d WIS - SV, ya'ni haqiqiy quyosh vaqti (WIS) va o'rtacha quyosh vaqti o'rtasidagi farq (SSV).
Ta'rif bo'yicha ba'zi tushuntirishlar
Vaqt tenglamasining ta'rifini "mahalliy haqiqiy quyosh vaqti" va "mahalliy o'rtacha quyosh vaqti" o'rtasidagi farq sifatida topishingiz mumkin (ingliz adabiyotida - mahalliy quyosh vaqti va mahalliy o'rtacha quyosh vaqti). Bu ta'rif rasmiy ravishda aniqroq, ammo natijaga ta'sir qilmaydi, chunki bu farq Yerdagi har qanday nuqta uchun bir xil.
Bundan tashqari, "mahalliy haqiqiy quyosh vaqti" ham, "mahalliy o'rtacha quyosh vaqti" ham rasmiy mahalliy vaqt bilan aralashmasligi kerak ( standart vaqt).
Haqiqiy Quyoshning tartibsiz harakatini tushuntirish
Kundalik koʻrinadigan harakati deyarli bir xil boʻlgan va faqat Yerning oʻz oʻqi atrofida aylanishiga bogʻliq boʻlgan yulduzlardan farqli oʻlaroq, Quyoshning kunlik harakati Yerning oʻz oʻqi atrofida aylanishi bilan bogʻliq boʻlganidek, bir xil emas. Yerning Quyosh atrofida aylanishi va Yer o'qining Yer orbitasi tekisligiga moyilligi.
Orbitaning elliptikligi tufayli tartibsizlik
Yer Quyosh atrofida elliptik orbitada aylanadi. Keplerning ikkinchi qonuniga ko'ra, bunday harakat bir xil emas, perigeliya hududida tezroq va afelion hududida sekinroqdir. Erdagi kuzatuvchi uchun bu Quyoshning ekliptika bo'ylab harakatsiz yulduzlarga nisbatan ko'rinadigan harakati tezlashishi yoki sekinlashishi bilan ifodalanadi.
Yer o'qining egilishi tufayli tartibsizlik
Vaqt tenglamasi yiliga to'rt marta nolga tushadi: 14 aprel, 14 iyun, 2 sentyabr va 24 dekabr.
Shunga ko'ra, har bir mavsumda maksimal vaqt tenglamasi mavjud: taxminan 12 fevral - +14,3 daqiqa, 15 may - -3,8 daqiqa, 27 iyul - +6,4 daqiqa va 4 noyabr - -16,4 daqiqa. Vaqt tenglamasining aniq qiymatlari astronomik yilnomalarda keltirilgan.
U ba'zi soat modellarida qo'shimcha funktsiya sifatida ishlatilishi mumkin.
Hisoblash
Tenglamani Furye seriyasining segmenti bilan mos ravishda bir yil va olti oylik davrlarga ega bo'lgan ikkita sinusoidal egri yig'indisi sifatida taxmin qilish mumkin:
E = 7,53 cos (B) + 1,5 sin (B) - 9,87 sin (2 B) (\displaystyle E=7,53\cos(B)+1,5\sin(B)-9,87\sin(2B)) B = 360 ∘ (N - 81) / 365 (\displaystyle B=360^(\circ )(N-81)/365) agar burchaklar darajalarda ifodalangan bo'lsa. B = 2 p (N - 81) / 365 (\displaystyle B=2\pi (N-81)/365) agar burchaklar radianlarda ifodalangan bo'lsa. Qayerda N (\displaystyle N)- yildagi kun soni, masalan: N = 1 (\displaystyle N=1) 1 yanvarda N = 2 (\displaystyle N=2) 2 yanvardaJoriy sana uchun Ruby kalkulyatori
#!/usr/bin/ruby =Vaqt tenglamasini hisoblashni boshlash ***Hech qanday kafolatlar nazarda tutilmagan. O'zingizning xavf-xataringiz bilan foydalaning *** Muallif: E. Sevastyanov, 2017-05-14 28.11.2016 yildagi "Vaqt tenglamasi" WikiPedia maqolasiga asoslangan (bu burchaklarni darajalar va radianlarning hayratlanarli aralashmasida tasvirlaydi) va Del Smit, 2016-11-29 Bu yaxshi natija berganga o'xshaydi, lekin men aniqlik uchun hech qanday da'vo qilmayman.=end pi = (Matematik :: PI ) # pi delta = (Vaqt . hozir . getutc . yday - 1 ) # (Yilning joriy kuni - 1) yy = vaqt. hozir. getutc. yearnp = holat yy #Np soni - 1 yanvardan Yerning perigeliy davrigacha bo'lgan kunlar soni.(http://www.astropixels.com/ephemeris/perap2001.html) qachon 2017; 3 qachon 2018; 2-qachon 2019-yil; 2when2020 ; 2021 yilda 4; 1when2022; 3when 2023; 3when2024; 2when2025; 3when2026; 2when2027 ; 2when2028; 4when 2029; 1when2030; yana 2; 2 oxiri a = Vaqt. hozir. getutc. to_a; delta = delta + a [ 2 ]. to_f / 24 + a [ 1 ]. to_f / 60/24 # Kunning kasr qismi uchun tuzatish lambda = 23. 4406*pi/180; # Yerning egilishi radianlarda omega = 2 * pi / 365. 2564 # yillik aylanishning burchak tezligi (radian/kun) alfa = omega * ((delta + 10 ) % 365 ) (o'rtacha) dumaloq orbitadagi # burchak, quyosh yili boshlanadi 21. dekabr beta = alfa + 0. 033405601 88317 * Matematika. gunoh (omega * ((delta - np ) % 365 )) # elliptik orbitadagi burchak, perigeydan (radian) gamma = (alfa - Matematik . atan (Matematik . tan (beta ) / Math . cos (lambda ))) / pi # burchakni tuzatish eot = (43200 * (gamma - gamma . davra )) # soniyalardagi vaqt tenglamasi " EOT =" + (- 1 * eot). to_s + "soniyalar"