O'qlarga nisbatan kuch momentini belgilab, va , yozishimiz mumkin:

qayerda , va moment aniqlanadigan o'qqa perpendikulyar bo'lgan tekisliklardagi kuchlar proyeksiyalarining modullari; l - elkalarining uzunligi teng

o'qning tekislik bilan kesishgan nuqtasidan proyeksiyaga yoki uning davomiga perpendikulyarlar; ortiqcha yoki minus belgisi elkaning qaysi tomonga burilishiga qarab qo'yiladi l proyeksiya vektori, agar siz proyeksiya tekisligiga o'qning musbat yo'nalishidan qarasangiz; proyeksiya vektori qo'lni soat sohasi farqli ravishda aylantirishga moyil bo'lganda, biz momentni ijobiy deb hisoblashga rozi bo'lamiz va aksincha.

Binobarin, o'qga nisbatan kuch momenti o'qning tekislik bilan kesishish nuqtasiga nisbatan o'qqa perpendikulyar bo'lgan tekislikka kuchning proyeksiyasi momentiga teng algebraik (skalyar) kattalik deb ataladi.

Oldingi rasmda Z o'qiga nisbatan kuch momentini aniqlash ketma-ketligi ko'rsatilgan.Agar kuch berilgan bo'lsa va o'q tanlangan (yoki ko'rsatilgan) bo'lsa: a) o'qga perpendikulyar tekislik tanlanadi (XOY tekisligi). ; b) F kuch shu tekislikka proyeksiyalanadi va bu proyeksiyaning moduli aniqlanadi; v) o'qning tekislik bilan kesishishining 0 nuqtasidan proyeksiyaga perpendikulyar OS tushiriladi va yelka l = OS aniqlanadi; d) Z o'qining musbat yo'nalishi tomondan (ya'ni, bu holda, yuqoridan) XOU tekisligiga qarab, biz OS vektor tomonidan soatga qarshi aylanayotganini ko'ramiz, ya'ni

Agar kuch va o'q bir tekislikda yotsa, o'qqa nisbatan kuch momenti nolga teng: a) kuch o'qni kesishadi (bu holda l = 0);

b) kuch o'qqa parallel ();

c) kuch eksa bo'ylab ta'sir qiladi ( l=0 va).

O'zboshimchalik bilan joylashgan kuchlarning fazoviy tizimi.

Muvozanat holati

Ilgari, kuchlarni bir nuqtaga etkazish jarayoni batafsil tavsiflangan va har qanday tekis kuchlar tizimi kuchga - asosiy vektor va juftlikka qisqarishi isbotlangan, ularning momenti asosiy moment deb ataladi va kuch. va bu kuchlar sistemasiga ekvivalent juftlik berilgan sistema bilan bir tekislikda harakat qiladi. Shunday qilib, agar Asosiy nuqta vektor sifatida ifodalanadi asosiy vektor va asosiy nuqta tekis tizim kuchlar har doim bir-biriga perpendikulyar.

Shunga o'xshab bahslashsak, fazoviy tizimning kuch nuqtasiga izchil olib kelish mumkin. Ammo endi asosiy vektor fazoviy (tekis emas, balki) kuch ko'pburchagining yopilish vektoridir; asosiy momentni endi bu kuchlarning qisqarish nuqtasiga nisbatan momentlarini algebraik qo‘shish yo‘li bilan olish mumkin emas. Fazoviy kuchlar sistemasining bir nuqtasiga qisqartirilganda, biriktirilgan juftliklar turli tekisliklarda harakat qiladi va ularning momentlarini vektorlar shaklida tasvirlash va ularni geometrik qo'shish maqsadga muvofiqdir. Shuning uchun kuchlarning fazoviy tizimini kamaytirish natijasida olingan asosiy vektor ( geometrik yig'indi tizimning kuchlari) va asosiy moment (kuchlarning qisqarish nuqtasiga nisbatan momentlarining geometrik yig'indisi), umuman olganda, bir-biriga perpendikulyar emas.

Vektor tengliklari va kerakli va ifodalaydi etarli holat o'zboshimchalik bilan joylashgan kuchlarning fazoviy tizimining muvozanati.

Agar asosiy vektor nolga teng bo'lsa, uning uchta o'zaro perpendikulyar o'qdagi proyeksiyalari ham nolga teng. Agar asosiy moment nolga teng bo'lsa, uning bir xil o'qdagi uchta komponenti nolga teng.

Bu shuni anglatadiki, kuchlarning ixtiyoriy fazoviy tizimi faqat noma'lumlar soni oltitadan oshmasa, statik jihatdan aniqlanishi mumkin.

Statika muammolari orasida ko'pincha bir-biriga parallel bo'lgan fazoviy kuchlar tizimi tanaga ta'sir qiladigan holatlar mavjud.

IN fazoviy tizim uchtadan ko'p bo'lmagan parallel noma'lum kuchlar bo'lishi kerak, aks holda muammo statik jihatdan noaniq bo'lib qoladi.

6-bob

Kinematikaning asosiy tushunchalari

Harakatni o'rganish bilan shug'ullanadigan mexanika bo'limi moddiy jismlar ularning massalari va ularga ta'sir qiluvchi kuchlarni hisobga olmagan holda, deyiladi kinematika.

Harakat- butun moddiy dunyo mavjudligining asosiy shakli; tinchlik va muvozanat- alohida holatlar.

Har qanday harakat, shu jumladan mexanik harakat, makon va vaqtda sodir bo'ladi.

Barcha jismlar moddiy nuqtalardan iborat. Jismlarning harakati haqida to'g'ri tasavvurga ega bo'lish uchun siz nuqta harakati bilan o'rganishni boshlashingiz kerak. Nuqtaning kosmosdagi harakati metrlarda, shuningdek, uzunlik birliklarining pastki (sm, mm) yoki ko'paytmali (km) birliklarida, vaqt - soniyalarda ifodalanadi. Amalda yoki hayotiy vaziyatlarda vaqt ko'pincha daqiqalar yoki soatlarda ifodalanadi. Nuqtaning u yoki bu harakatini ko'rib chiqishda vaqt ma'lum, oldindan belgilangan boshlang'ich momentdan hisoblanadi ( t= 0).

Ko'rib chiqilayotgan mos yozuvlar tizimidagi harakatlanuvchi nuqtaning joylashuvi deyiladi traektoriya. Trayektoriya turiga ko'ra, nuqta harakati quyidagilarga bo'linadi to'g'ri chiziqli Va egri chiziqli. Nuqtaning traektoriyasi aniqlanishi va oldindan belgilanishi mumkin. Masalan, traektoriyalar sun'iy yo'ldoshlar Er va sayyoralararo stantsiyalar oldindan hisoblab chiqiladi, yoki agar biz shahar bo'ylab harakatlanadigan avtobuslarga chiqsak moddiy nuqtalar, keyin ularning traektoriyalari (marshrutlari) ham ma'lum. Bunday hollarda vaqtning har bir momentidagi nuqtaning pozitsiyasi masofa (yoy koordinatasi) S bilan belgilanadi, ya'ni. traektoriya kesmasining uzunligi, uning ba'zi qo'zg'almas nuqtalaridan sanab, boshlanish sifatida qabul qilinadi. Traektoriya boshidan masofalarni hisoblash har ikki yo'nalishda ham amalga oshirilishi mumkin, shuning uchun bir yo'nalishda hisoblash shartli ravishda ijobiy deb qabul qilinadi va

qarama-qarshi - salbiy uchun , bular. masofa S - algebraik miqdor. Bu ijobiy (S > 0) yoki salbiy (S<0).

Harakatlanayotganda, ma'lum bir vaqt uchun nuqta bir oz o'tadi yo'l L, bu sayohat yo'nalishi bo'yicha yo'l bo'ylab o'lchanadi.

Agar nuqta O dan emas, balki S o boshlang'ich masofadagi joydan harakatlana boshlagan bo'lsa

Vaqtning istalgan momentida nuqtaning harakat yo'nalishi va tezligini tavsiflovchi vektor miqdori deyiladi tezlik.

Harakatning istalgan momentidagi nuqta tezligi traektoriyaga tangensial ravishda yo'naltiriladi.

E'tibor bering, bu vektor tengligi faqat pozitsiyani va vaqt bo'yicha o'rtacha tezlik modulini tavsiflaydi:

vaqt nuqtasi bosib o'tgan yo'l qayerda.

O'rtacha tezlikning moduli bosib o'tgan masofani ushbu yo'l bosib o'tgan vaqtga bo'linganiga teng.

Yo'nalishni o'zgartirish tezligini va tezlikning raqamli qiymatini tavsiflovchi vektor miqdori deyiladi tezlashuv.

Egri chiziqli traektoriya bo'ylab bir tekis harakatda nuqta ham tezlanishga ega, chunki bu holda tezlik yo'nalishi ham o'zgaradi.

Tezlanish birligi odatda sifatida qabul qilinadi.

6.2. Nuqtaning harakatini belgilash usullari

Uchta yo'l bor: tabiiy, muvofiqlashtirish, vektor.

Nuqta harakatini aniqlashning tabiiy usuli. Agar kelib chiqishi O belgilangan traektoriyaga qo'shimcha ravishda, bog'liqlik

masofa S va vaqt t o'rtasida, bu tenglama deyiladi nuqtaning berilgan traektoriya bo‘ylab harakatlanish qonuni.

Masalan, nuqtaning harakati tenglama bilan aniqlanadigan ba'zi bir traektoriya berilsin. Keyin o'z vaqtida, ya'ni. nuqta O nuqtada; vaqtning bir nuqtasida, nuqta uzoqda; vaqtning bir nuqtasida nuqta koordinata O dan uzoqda joylashgan.

Nuqta harakatini belgilashning koordinatali usuli. Nuqtaning traektoriyasi oldindan maʼlum boʻlmasa, nuqtaning fazodagi oʻrni uchta koordinata bilan aniqlanadi: abscissa X, ordinata Y va ilova Z.

Yoki vaqtni hisobga olmaganda.

Bu tenglamalar ifodalanadi to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi nuqtaning harakat qonuni (OXYZ).

Muayyan holatda, agar nuqta tekislikda harakat qilsa, nuqta harakat qonuni ikkita tenglama bilan ifodalanadi: yoki .

Misol uchun. Tekis koordinatalar sistemasidagi nuqtaning harakati tenglamalar bilan berilgan va ( X Va Y– sm, t – c). Keyin vaqtda va , ya'ni. nuqta boshlang'ichda; vaqt nuqtasida nuqtaning koordinatalari , ; vaqt nuqtasida nuqtaning koordinatalari , va hokazo.

To'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi nuqtaning harakat qonunini bilib, aniqlash mumkin nuqta traektoriyasi tenglamasi.

Masalan, yuqoridagi tenglamalardan va t vaqtini chiqarib tashlab, biz traektoriya tenglamasini olamiz. Ko'rib turganingizdek, bu holda nuqta koordinatali nuqtadan o'tadigan to'g'ri chiziq bo'ylab harakatlanadi.

6.3. Nuqta tezligini tabiiy usulda aniqlash
uning harakatining vazifalari

A nuqtasi berilgan traektoriya bo'ylab tenglama bo'yicha harakatlansin, nuqtaning t vaqtidagi tezligini aniqlash kerak.

Bir muncha vaqt davomida nuqta yo'l bosib o'tdi , bu yo'l bo'ylab o'rtacha tezlikning qiymati deyiladi tangens, yoki tangensial tezlanish. Tangensial tezlanish moduli

,

vaqtning ma'lum bir momentidagi tezlikning hosilasiga teng yoki aks holda, vaqt bo'yicha masofaning ikkinchi hosilasi tezlik qiymatining o'zgarish tezligini tavsiflaydi.

Istalgan vaqtda vektor tangensga perpendikulyar ekanligi isbotlangan, shuning uchun deyiladi normal tezlashuv.

Demak, normal tezlanish moduli ma’lum momentdagi tezlik modulining ikkinchi darajasiga proporsional, ma’lum nuqtadagi traektoriyaning egrilik radiusiga teskari proporsional va tezlik yo‘nalishidagi o‘zgarish tezligini xarakterlaydi. .

Tezlashtirish moduli

Eksaga nisbatan kuch momenti o‘qning shu tekislik bilan kesishish nuqtasiga nisbatan kuchning o‘qqa perpendikulyar tekislikka proyeksiyalash momenti.

Agar kuch o'qqa perpendikulyar bo'lgan tekislikni o'qga qarab soat sohasi farqli ravishda aylantirishga moyil bo'lsa, o'q atrofidagi moment ijobiy hisoblanadi.

Ikki holatda o'qga nisbatan kuch momenti 0 ga teng:

Agar kuch o'qga parallel bo'lsa

Agar kuch o'qni kesib o'tsa

Agar ta'sir chizig'i va o'q bir tekislikda yotsa, o'qga nisbatan kuch momenti 0 ga teng.

27. O‘qqa nisbatan kuch momenti bilan nuqtaga nisbatan vektor momenti o‘rtasidagi bog‘liqlik.

Mz(F)=Mo(F)*cosa Kuch momenti o’qqa nisbatan kuchlar momenti vektorining o’q nuqtasiga nisbatan shu o’qdagi proyeksiyasiga teng.

28. Kuchlar sistemasini berilgan markazga keltirish haqidagi statikaning asosiy teoremasi (Puinso teoremasi). Kuchlar sistemasining bosh vektori va bosh momenti.

Umumiy holatda har qanday fazoviy kuchlar tizimini tananing biron bir nuqtasida (qaytarilish markazi) qo'llaniladigan va ushbu kuchlar tizimining asosiy vektoriga teng bo'lgan bir kuchdan va bir juft kuchdan iborat ekvivalent tizim bilan almashtirilishi mumkin. tanlangan yo'naltiruvchi markazga nisbatan barcha kuchlarning asosiy momentiga teng bo'lgan moment.

Quvvat tizimining asosiy vektori vektor deb ataladi R bu kuchlarning vektor yig'indisiga teng:

R = F 1 + F 2 + ... + F n= F men.

Yassi kuchlar tizimi uchun uning asosiy vektori bu kuchlarning harakat tekisligida yotadi.

Kuchlar tizimining asosiy momenti markaziga nisbatan O vektor deyiladi L O , bu kuchlarning O nuqtaga nisbatan vektor momentlari yig'indisiga teng:

L O= M O( F 1) + M O( F 2) + ... + M O( F n) = M O( F i).

Vektor R markaz O, va vektorni tanlashga bog'liq emas L O markazning o'rnini o'zgartirganda O odatda o'zgarishi mumkin.

Puinsot teoremasi: ixtiyoriy fazoviy kuchlar sistemasi qattiq jismning holatini buzmagan holda kuchlar sistemasining bosh vektori va asosiy momentga ega juft kuchlar bilan bitta kuch bilan almashtirilishi mumkin. Asosiy vektor - qattiq jismga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning geometrik yig'indisi va kuchlarning ta'sir tekisligida joylashgan. Asosiy vektor uning koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari orqali ko'rib chiqiladi.

Qattiq jismning biron bir nuqtasida qo'llaniladigan kuchlarni ma'lum bir markazga etkazish uchun quyidagilar zarur: 1) kuch modulini o'zgartirmasdan, kuchni ma'lum bir markazga parallel ravishda o'tkazish; 2) berilgan markazda vektor momenti nisbiy yangi markazning uzatilgan kuchining vektor momentiga teng bo'lgan bir juft kuch qo'llaniladi, bu juft biriktirilgan juftlik deb ataladi.

Asosiy momentning qisqartirish markazini tanlashga bog'liqligi. Yangi qaytarilish markaziga nisbatan bosh moment eski qaytarilish markaziga nisbatan bosh momentning geometrik yig‘indisiga va yangi qaytarilish markazini eski bilan bog‘lovchi radius vektorining vektor mahsulotiga va bosh vektorga teng.

29 Kuchlarning fazoviy tizimini kamaytirishning alohida holatlari

	Bosh vektor va bosh momentning qiymatlari	Translatsiya natijasi
		Kuchlar tizimi asosiy momentga teng bo'lgan bir juft kuchga qisqartiriladi (kuchlar tizimining asosiy momenti O ni kamaytirish markazini tanlashga bog'liq emas).
		Kuchlar sistemasi O markazidan oʻtishga teng natijaga keltiriladi.
		Kuchlar tizimi asosiy vektorga teng va unga parallel natijaga keltiriladi va undan uzoqda ajratiladi. Natijaning ta'sir chizig'ining holati shunday bo'lishi kerakki, uning momentining O ning qisqarish markaziga nisbatan yo'nalishi O markazga nisbatan yo'nalishga to'g'ri keladi.
	, va vektorlar perpendikulyar emas	Kuchlar tizimi dinamoga (kuch vintiga) tushiriladi - bu kuchga perpendikulyar tekislikda yotgan kuch va kuchlar juftligi kombinatsiyasi.
		Qattiq jismga qo'llaniladigan kuchlar tizimi muvozanatli.

30. Dinamizmni pasaytirish. Mexanikada dinamo - bu qattiq jismga ta'sir qiluvchi kuchlar to'plami va kuchlar juftligi () bo'lib, unda kuch juft kuchlarning ta'sir tekisligiga perpendikulyar bo'ladi. Bir juft kuchning vektor momentidan foydalanib, dinamoni kuch va kuchlar juftligining vektor momentiga parallel bo'lgan juftlik birikmasi sifatida ham aniqlash mumkin.

Markaziy spiral o'q tenglamasi Faraz qilaylik, koordinata o'qlari bo'yicha olingan qisqarish markazida koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari bo'lgan bosh vektor va proyeksiyalari bilan bosh moment olinadi.Kuchlar sistemasini kamaytirish markaziga O 1 keltirilsa (30-rasm). , asosiy vektor va asosiy moment bilan dinamo olinadi , Vektorlar va linam hosil qiluvchi sifatida. parallel va shuning uchun faqat skalyar omil k 0 bilan farq qilishi mumkin.

Statikaning asosiy elementlaridan biri bo'lgan juft kuchlarning xossalarini o'rganish nuqtaga nisbatan kuch momentining muhim tushunchasini kiritishni talab qiladi.

A nuqtada tanaga kuch qo'llanilsin (89-rasm). Biz O fazodagi istalgan nuqtani tanlaymiz (odatda, bu nuqta sifatida boshlang'ich nuqta tanlanadi) va undan bu kuchning qo'llanilishi nuqtasiga o'tadigan radius vektorini chizamiz.

O nuqtaga nisbatan kuchning vektor momenti erkin vektor deb ataladi, bu ko'paytma bilan aniqlanadi

Bizda orqali bildirish

Vektor moduli vektorlar ustida qurilgan uchburchak maydonining ikki barobariga teng va vektor vektorlar tomonidan aniqlangan tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan bo'lib, agar siz ushbu tekislikka uning oxiridan qarasangiz, kuch aylanishga moyil bo'ladi. tanani soat sohasi farqli ravishda O nuqtasi atrofida. Odatda, vektor nuqtaga biriktirilgan deb hisoblanadi. Agar kuch nolga teng bo'lmasa, O nuqta kuchning ta'sir chizig'ida yotsagina vektor momenti nolga teng bo'ladi. SI birliklar tizimida nuqtaga nisbatan kuch momentining o'lchami

Vektor momentining ta'rifidan kelib chiqadiki, agar kuch uning ta'sir chizig'i bo'ylab harakatlansa, u o'zgarmaydi. Darhaqiqat, bu holda vektorlar tomonidan aniqlangan tekislik o'zgarmaydi

kosmosdagi joylashuvi va bu vektorlarda qurilgan uchburchakning maydoni o'zgarmaydi (89-rasm).

Bu xossadan kelib chiqadiki, vektorning nuqtaga nisbatan momenti tushunchasi sirpanuvchi vektor tushunchasi bilan chambarchas bog‘liq.

Kuchning algebraik momenti

Agar bir tekislikda joylashgan kuchlar yoki kuchlarning tekis tizimi ko'rib chiqilsa, u holda kuchning algebraik momenti tushunchasini kiritish maqsadga muvofiqdir.

Vektor momentining moduli, ko'rsatilgandek, vektorlar ustida qurilgan uchburchakning ikki barobariga teng.Agar vektorlar orasidagi burchak a bo'lsa, u holda

Lekin ish

O nuqtadan kuchning ta'sir chizig'iga perpendikulyar uzunligi. Qiymat O nuqtaga nisbatan kuchning yelkasi deyiladi. Keling, uni vektorlar va koordinata o'qlari bilan aniqlangan tekislikka joylashtiramiz, z o'qi esa bu tekislikka perpendikulyar bo'ladi (90-rasm). Kuchning algebraik momenti kuch yelkasi va kuch modulining mahsulotidir

Agar musbat z o'qi bo'ylab joylashgan kuzatuvchi uchun kuch O nuqta atrofida soat miliga teskari yo'nalishda aylanishga moyil bo'lsa, algebraik momentning belgisi plyus bo'ladi. Aks holda, algebraik momentning belgisi manfiy bo'ladi.

Eksaga nisbatan kuch momenti

Nuqtaga nisbatan kuch momenti tushunchasi o‘qga nisbatan kuch momenti tushunchasi bilan chambarchas bog‘liq.

O'qga nisbatan kuch momenti o'qning ixtiyoriy nuqtasiga nisbatan kuch momentining o'qga proyeksiyasidir.

Ushbu ta'rifning mantiqiy bo'lishi uchun o'qning ikkita ixtiyoriy nuqtasiga nisbatan kuch momentlarining o'qiga proyeksiyalari teng ekanligini isbotlash kerak.

Buni isbotlash uchun o‘qga perpendikulyar tekislik chizamiz (91-rasm) va bu tekislikka vektorni proyeksiyalaymiz.

vektorning o'q bilan hosil qilgan burchagini a bilan belgilang.U holda vektorning o'qqa nisbatan momenti quyidagi formula bilan aniqlanadi:

Demak, qiymat O nuqtaning o'qdagi holatiga bog'liq bo'lmagani uchun (92-rasm), u holda

Eksenel momentni aniqlaydigan formula uni hisoblash uchun geometrik qoidani o'rnatishga imkon beradi. Bu qoida quyidagicha: o'qga perpendikulyar tekislikni chizish, unga vektorni proyeksiya qilish

Ushbu proyeksiyadan hosil bo'lgan uchburchakning ikki barobar maydoni va o'qning tekislik bilan kesishish nuqtasi eksenel momentning kattaligini aniqlaydi.

Agar o'qning musbat yo'nalishi bo'ylab joylashgan kuzatuvchi uchun vektorning proyeksiyasi o'qning tekislik bilan kesishish nuqtasi atrofida soat miliga teskari yo'nalishda aylanishga moyil bo'lsa, momentning belgisi ijobiy bo'ladi; agar proyeksiya soat yo'nalishi bo'yicha aylanishga moyil bo'lsa, u holda momentning belgisi salbiy bo'ladi.

Proyeksiyalar orqali momentlarni aniqlash formulalari

Sirpanish vektorining momenti hisoblangan O nuqtasi sifatida odatda koordinatalarning kelib chiqishi tanlanadi. Keyin koordinatalarning boshlanishida kuch momenti qo'llaniladi va uning o'qdagi proyeksiyalari mos keladigan eksenel momentlar bo'ladi. Eksenel momentni hisoblashning ta'rifi va geometrik qoidasidan kelib chiqadiki, agar vektor o'qga parallel bo'lsa yoki uning harakat chizig'i o'qni kesib o'tsa, u nolga teng bo'ladi. Agar kuch uning proyeksiyalari bilan berilgan bo'lsa va kuch qo'llash nuqtasini belgilovchi radius vektorining proyeksiyalari (yoki oddiygina shu nuqtaning koordinatalari) ma'lum bo'lsa, u holda vektorning O nuqtaga nisbatan momenti va momentlari.

koordinata o'qlariga nisbatan avvalgisidan quyidagicha formula bilan aniqlanadi:

Bir juft kuch momenti

Ba'zi nuqtaga (markazga) nisbatan kuch momenti son jihatdan kuch moduli va qo'lning mahsulotiga teng vektor, ya'ni. Belgilangan nuqtadan kuchning ta'sir chizig'igacha bo'lgan eng qisqa masofa va tanlangan nuqtadan o'tadigan tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan va kuchning "aylanish" atrofidagi kuch tomonidan amalga oshiriladigan yo'nalishdagi ta'sir chizig'i. nuqta soat sohasi farqli ravishda sodir bo'ladi. Kuch momenti uning aylanish harakatini xarakterlaydi.

Agar HAQIDA- kuch momenti joylashgan nuqtaga nisbatan F, keyin kuch momenti belgi bilan belgilanadi M o (F). Ko'rsatamizki, agar kuchning qo'llanilishi nuqtasi F radius vektori bilan aniqlanadi r, keyin munosabat

M o (F)=r×F. (3.6)

Ushbu nisbatga ko'ra kuch momenti vektorning vektor mahsulotiga teng r F vektoriga.

Haqiqatan ham, o'zaro faoliyat mahsulotning moduli

M o ( F)=RF gunoh = Fh, (3.7)

qayerda h- kuch qo'li. Shuningdek, vektorga e'tibor bering M o (F) vektorlardan o'tuvchi tekislikka perpendikulyar yo'naltirilgan r Va F, vektorning eng qisqa burilish yo'nalishi bo'yicha r vektor yo'nalishiga F soat miliga teskari ko'rinadi. Shunday qilib, (3.6) formula kuch momentining moduli va yo'nalishini to'liq aniqlaydi F.

Ba'zan (3.7) formulani shaklda yozish foydali bo'ladi

M o ( F)=2S, (3.8)

qayerda S- uchburchakning maydoni OAB.

Bo'lsin x, y, z kuch qo'llash nuqtasining koordinatalari va Fx, Fy, Fz koordinata o'qlaridagi kuch proyeksiyalaridir. Keyin nuqta bo'lsa HAQIDA boshlang'ichda joylashgan bo'lsa, kuch momenti quyidagicha ifodalanadi:

Bundan kelib chiqadiki, kuch momentining koordinata o'qlariga proyeksiyalari quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:

M Ox(F)=yF z -zF y,

M Oy(F)=zF x -xF z ,

M Oy(F)=xF y -yF x. (3.10)

Endi kuchning tekislikka proyeksiyasi tushunchasi bilan tanishamiz.

Kuch bersin F va ba'zi samolyot. Bu tekislikka kuch vektorining boshidan va oxiridan perpendikulyarlarni tushiramiz.

Kuchning tekislikdagi proyeksiyasi chaqirdi vektor , uning boshlanishi va oxiri kuchning bu tekislikdagi boshlanishi va oxiri proyeksiyasi bilan mos keladi.

Agar biz samolyotni hisoblangan tekislik sifatida olsak hoy, keyin kuchning proyeksiyasi F bu tekislikda vektor bo'ladi Fhu.

Quvvat momenti Fhu nuqtaga nisbatan HAQIDA(o'qning kesishish nuqtalari z samolyot bilan hoy) ni olsak (3.9) formula bilan hisoblash mumkin z=0, Fz=0. Oling

MO(Fhu)=(xF y -yF x)k.

Shunday qilib, moment eksa bo'ylab yo'naltiriladi z, va uning o'qga proyeksiyasi z kuch momentining bir xil o'qiga proyeksiyasi bilan to'liq mos keladi F nuqtaga nisbatan HAQIDA. Boshqa so'z bilan,

M Oz(F)=M Oz(Fhu)= xF y -yF x. (3.11)

Shubhasiz, xuddi shunday natijani kuchni loyihalash orqali olish mumkin F ga parallel bo'lgan har qanday boshqa tekislikka hoy. Bunday holda, o'qning kesishish nuqtasi z samolyot bilan har xil bo'ladi (biz yangi kesishish nuqtasini orqali belgilaymiz HAQIDA biri). Biroq, tenglikning o'ng tomonidagi barcha miqdorlar (3.11) X, da, F x, F o'zgarishsiz qoladi va shuning uchun biz yozishimiz mumkin

M Oz(F)=M O 1 z ( Fhu).

Boshqa so'z bilan, kuch momentining shu nuqtadan o'tuvchi o'qdagi nuqtaga nisbatan proyeksiyasi o'qdagi nuqtani tanlashga bog'liq emas. . Shuning uchun, keyingi narsada, belgi o'rniga M Oz(F) belgisidan foydalanamiz Mz(F). Bu moment proyeksiyasi deyiladi o'qga nisbatan kuch momenti z. O'qga nisbatan kuch momentini hisoblash ko'pincha kuch proyeksiyasi bilan qulayroq amalga oshiriladi. F o'qiga perpendikulyar bo'lgan tekislikka va miqdorni hisoblash Mz(Fhu).

(3.7) formulaga muvofiq va proyeksiya belgisini hisobga olgan holda biz quyidagilarni olamiz:

Mz(F)=Mz(Fhu)=± F xy h*. (3.12)

Bu yerda h*- kuch qo'li Fhu nuqtaga nisbatan HAQIDA. Agar kuzatuvchi z o'qining ijobiy yo'nalishini tomondan ko'rsa, bu kuch Fhu tanani o'q atrofida aylantirishga intiladi z soat sohasi farqli o'laroq, keyin "+" belgisi olinadi, aks holda - "-" belgisi.

Formula (3.12) o'qga nisbatan kuch momentini hisoblash uchun quyidagi qoidani shakllantirish imkonini beradi. Buning uchun sizga kerak:

o'qda ixtiyoriy nuqtani tanlash va o'qga perpendikulyar tekislik qurish;

ushbu tekislikka kuchni loyihalash;

Kuchning proyeksiya qo'lini aniqlang h*.

Eksa bo'yicha kuch momenti tegishli belgi bilan olingan uning yelkasidagi kuch proyeksiyasi modulining mahsulotiga teng (yuqoridagi qoidaga qarang).

(3.12) formuladan kelib chiqadiki Ikki holatda o'qga nisbatan kuch momenti nolga teng:

· kuchning o'qqa perpendikulyar bo'lgan tekislikdagi proyeksiyasi nolga teng bo'lganda, ya'ni. kuch va o'q parallel bo'lganda ;

elka proyeksiyasi qachon h* nolga teng, ya'ni. harakat chizig'i o'qni kesib o'tganda .

Ushbu ikkala holatni bitta holatga birlashtirish mumkin: agar kuch va o'qning ta'sir chizig'i bir tekislikda bo'lsa, o'qga nisbatan kuch momenti nolga teng bo'ladi. .

Vazifa 3.1. Nuqtaga nisbatan hisoblang HAQIDA kuch momenti F nuqtaga qo'llaniladi LEKIN va yon tomoni bilan kubning diagonal yo'naltirilgan yuzi lekin.

Bunday masalalarni hal qilishda birinchi navbatda kuch momentlarini hisoblash maqsadga muvofiqdir F koordinata o'qlariga nisbatan x, y, z. Nuqta koordinatalari LEKIN kuch qo'llash F bo'ladi

Kuch proyeksiyalari F koordinata o'qlari bo'yicha:

Ushbu qiymatlarni tengliklarga almashtirib (3.10) topamiz

, , .

Xuddi shu iboralar kuch momentlari uchun F koordinata o'qlariga nisbatan (3.12) formula yordamida olinishi mumkin. Buning uchun biz kuchni loyihalashtiramiz F o'qiga perpendikulyar tekislikda X Va da. Bu aniq . Yuqoridagi qoidani qo'llagan holda, biz kutilganidek, bir xil iboralarni olamiz:

, , .

Momentning moduli tenglik bilan aniqlanadi

.

Keling, juftlik momenti tushunchasi bilan tanishamiz. Avval juftlikni tashkil etuvchi kuchlar momentlarining yig‘indisi ixtiyoriy nuqtaga nisbatan qanday ekanligini topamiz. Bo'lsin HAQIDA fazodagi ixtiyoriy nuqtadir va F Va F"- juftlikni tashkil etuvchi kuchlar.

Keyin M o (F)= O.A × F, M o (F") = O.V × F",

M o (F) + M o (F ") = O.A × F+ O.V × F",

lekin beri F= -F", keyin

M o (F) + M o (F ") = O.A × F- O.V × F=(O.A-O.V)× F.

Tenglikni hisobga olgan holda OA-OV=VA , biz nihoyat topamiz:

M o (F) + M o (F ") = VA × F.

Binobarin, juftlikni tashkil etuvchi kuchlar momentlarining yig'indisi momentlar olingan nuqtaning holatiga bog'liq emas. .

vektor mahsuloti VA × F va chaqirdi juftlik momenti . Juftlik momenti belgi bilan belgilanadi M(F, F"), va

M(F, F")=VA × F= AB × F",

yoki qisqasi,

M=VA × F= AB × F". (3.13)

Ushbu tenglikning o'ng tomonini hisobga olsak, biz buni sezamiz juftlik momenti juftlik tekisligiga perpendikulyar vektor bo‘lib, mutlaq qiymati bo‘yicha juftlik kuchlaridan birining moduli va juftlik qo‘lining ko‘paytmasiga teng (ya’ni, chiziqlar orasidagi eng qisqa masofa). juftlikni tashkil etuvchi kuchlarning ta'siri) va juftning "aylanishi" soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'ladigan tomonga yo'naltirilgan . Agar h demak, bu juftlikning yelkasi M(F, F")=h×F.

Ta'rifning o'zidan ko'rinib turibdiki, kuchlar juftligi momenti erkin vektor bo'lib, uning ta'sir chizig'i aniqlanmagan (bu fikrni qo'shimcha asoslash ushbu bobning 2 va 3 teoremalaridan kelib chiqadi).

Bir juft kuch muvozanatlashgan sistema (nolga ekvivalent kuchlar tizimi) hosil qilishi uchun juftlik momenti nolga teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. Haqiqatan ham, agar juftlikning momenti nolga teng bo'lsa, M=h×F, keyin ham F=0, ya'ni. kuch yo'q, yoki er-xotinning elkasi h nolga teng. Ammo bu holda, er-xotinning kuchlari bir tekis chiziqda harakat qiladi; chunki ular mutlaq qiymatda teng va qarama-qarshi yo'nalishda yo'naltirilgan bo'lsa, u holda 1-aksioma asosida ular muvozanatli tizimni tashkil qiladi. Aksincha, agar ikkita kuch bo'lsa F1 Va F2, juftlikni tashkil etuvchi , muvozanatlashgan bo'lsa, bir xil aksioma 1 asosida ular bitta to'g'ri chiziq bo'ylab harakat qiladilar. Lekin bu holda, juftlik kaldıraç h nolga teng va shuning uchun M=h×F=0.

Juftlik teoremalari

Juftlarning ekvivalent o'zgarishi mumkin bo'lgan uchta teoremani isbotlaylik. Barcha mulohazalarda shuni esda tutish kerakki, ular har qanday qattiq jismga ta'sir qiluvchi juftlarni nazarda tutadi.

Teorema 1. Bir tekislikda yotgan ikkita juftni, berilgan ikki juft momentlar yig'indisiga teng momentga ega bo'lgan bir tekislikda yotgan bir juft bilan almashtirish mumkin.

Ushbu teoremani isbotlash uchun ikkita juftlikni ko'rib chiqing ( F1,F" 1) va ( F2,F" 2) va barcha kuchlarning ta'sir qilish chiziqlari bo'ylab ta'sir nuqtalarini nuqtalarga o'tkazing LEKIN Va IN mos ravishda. 3-aksiomaga muvofiq kuchlarni qo'shib, biz olamiz

R=F1+F2 Va R"=F" 1+F" 2,

lekin F1=-F" 1 Va F2=-F" 2.

Binobarin, R=-R", ya'ni. kuch R Va R" juftlik hosil qiling. Bu juftlikning momentini (3.13) formuladan foydalanib topamiz:

M=M(R, R")=VA× R= VA× (F1+F2)=VA× F1+VA× F2. (3.14)

Juftlikni tashkil etuvchi kuchlar ularning harakat chiziqlari bo'ylab o'tkazilganda, juftlarning qo'li ham, aylanish yo'nalishi ham o'zgarmaydi, shuning uchun juftlik momenti ham o'zgarmaydi. Ma'nosi,

VA × F 1 \u003d M(F1,F" 1)=M 1, VA× F 2 \u003d M(F2,F" 2)=M 2

va formula (3.14) shaklni oladi

M \u003d M 1 + M 2, (3.15)

bu esa yuqoridagi teoremaning to‘g‘riligini isbotlaydi.

Keling, ushbu teorema bo'yicha ikkita fikr bildiraylik.

1. Juftlarni tashkil etuvchi kuchlarning ta'sir chiziqlari parallel bo'lib chiqishi mumkin. Teorema bu holatda ham o'z kuchini saqlab qoladi, lekin buni isbotlash uchun parallel kuchlarni qo'shish qoidasidan foydalanish kerak.

2. Qo'shimchadan keyin shunday bo'lishi mumkin M(R, R")=0; Yuqorida aytilgan fikrga asoslanib, bu ikki juftlik to'plami ( F1,F" 1, F2,F" 2)=0.

Teorema 2. Geometrik jihatdan teng momentlarga ega bo'lgan ikkita juft ekvivalentdir.

Samolyotda tanaga ruxsat bering I er-xotin ( F1,F" 1) moment bilan M 1. Keling, bu juftlikni juftlik bilan boshqasiga almashtirish mumkinligini ko'rsatamiz ( F2,F" 2) tekislikda joylashgan II, faqat uning momenti M 2 teng M 1(ta'rifga ko'ra (1.1 ga qarang) bu juftliklar ( F1,F" 1) va ( F2,F" 2) ekvivalentdir). Avvalo, biz samolyotlar ekanligini ta'kidlaymiz I Va II parallel bo'lishi kerak, xususan, ular mos kelishi mumkin. Haqiqatan ham, lahzalarning parallelligidan M 1 Va M 2(bizning holatda M 1=M 2) shundan kelib chiqadiki, momentlarga perpendikulyar juftlarning harakat tekisliklari ham parallel.

Keling, yangi juftlikni taqdim qilaylik ( F3,F" 3) va uni juftlik bilan birga qo'llang ( F2,F" 2) tanaga, ikkala juftni tekislikka qo'yib II. Buning uchun aksioma 2 ga ko'ra biz juftlikni tanlashimiz kerak ( F3,F" 3) moment bilan M 3 qo'llaniladigan kuchlar tizimi ( F2,F" 2, F3,F" 3) muvozanatli edi. Bu, masalan, quyidagicha amalga oshirilishi mumkin: biz o'rnatamiz F3=-F" 1 Va F" 3 =-F1 va bu kuchlarning qo'llanish nuqtalarini proyeksiyalar bilan birlashtiramiz LEKIN 1 va IN 1 ball LEKIN Va IN samolyotga II. Qurilishga ko'ra bizda quyidagilar bo'ladi: M 3 \u003d -M 1 yoki buni hisobga olgan holda M 1 = M 2,

M 2 + M 3 = 0.

Oldingi teoremaning ikkinchi izohini hisobga olib, biz ( F2,F" 2, F3,F" 3)=0. Shunday qilib, juftliklar ( F2,F" 2) va ( F3,F" 3) o'zaro muvozanatli va ularning tanaga biriktirilishi uning holatini buzmaydi (aksioma 2), shuning uchun

(F1,F" 1)= (F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3). (3.16)

Boshqa tomondan, kuchlar F1 Va F3, shuningdek F" 1 Va F" 3 bir yo'nalishda yo'naltirilgan parallel kuchlarni qo'shish qoidasiga ko'ra qo'shilishi mumkin. Modulo, bu barcha kuchlar bir-biriga teng, shuning uchun ularning natijasi R Va R" to'rtburchakning diagonallarining kesishish nuqtasida qo'llanilishi kerak ABB 1 LEKIN bitta; bundan tashqari, ular mutlaq qiymatda teng va qarama-qarshi yo'nalishlarga yo'naltirilgan. Bu shuni anglatadiki, ular nolga teng bo'lgan tizimni tashkil qiladi. Shunday qilib,

(F1,F" 1, F3,F" 3)=(R, R")=0.

Endi biz yozishimiz mumkin

(F1,F" 1, F2,F" 2, F3,F" 3)=(F3,F" 3). (3.17)

(3.16) va (3.17) munosabatlarini taqqoslab, biz ( F1,F" 1)=(F2,F" 2), bu isbotlanishi kerak edi.

Bu teoremadan kelib chiqadiki, bir juft kuch uning harakat tekisligida harakatlanishi, parallel tekislikka o'tkazilishi mumkin; nihoyat, juftlikda siz faqat juftlikning aylanish yo'nalishini va uning momentum modulini saqlab, bir vaqtning o'zida kuchlar va elkani o'zgartirishingiz mumkin ( F 1 h 1 =F 2 h 2).

Keyinchalik, biz juftlikning bunday ekvivalent o'zgarishlaridan keng foydalanamiz.

Teorema 3. Kesishgan tekisliklarda yotgan ikkita juft momenti berilgan ikkita juftlik momentlari yig‘indisiga teng bo‘lgan bir juftga ekvivalentdir.

Er-xotinlarga ruxsat bering ( F1,F" 1) va ( F2,F" 2) kesishuvchi tekisliklarda joylashgan I Va II mos ravishda. 2-teoremaning xulosasidan foydalanib, biz ikkala juftlikni elkaga qisqartiramiz AB tekisliklarning kesishish chizig'ida joylashgan I Va II. O'zgartirilgan juftlarni (( 1-savol,Q" 1) va ( 2-savol,Q" 2). Bunday holda, tenglik

M 1 =M(1-savol,Q" 1)=M(F1,F" 1) Va M 2 =M(2-savol,Q" 2)=M(F2,F" 2).

3-aksiomaga muvofiq nuqtalarda qo'llaniladigan kuchlarni qo'shamiz LEKIN Va IN mos ravishda. Keyin olamiz R \u003d Q 1 + Q 2 Va R"= Q" 1 +Q" 2. Sharti bilan; inobatga olgan holda Q" 1 \u003d -Q 1 Va Q" 2 \u003d -Q 2, olamiz R=-R". Shunday qilib, biz ikkita juftlik tizimi bir juftga ekvivalent ekanligini isbotladik ( R,R").

Keling, bir lahzani topaylik M bu juftlik. Formula (3.13) asosida bizda mavjud

M(R,R")=VA× (1+Q2)=VA× Q1+ VA× 2-savol=

=M(1-savol,Q" 1)+M(2-savol,Q" 2)=M(F1,F" 1)+M(F2,F" 2)

M \u003d M 1 + M 2,

bular. teorema isbotlangan.

E'tibor bering, olingan natija parallel tekisliklarda yotgan juftliklar uchun ham amal qiladi. 2-teorema bo'yicha bunday juftlarni bitta tekislikka, 1-teorema bo'yicha esa momenti komponentlar juftlari momentlari yig'indisiga teng bo'lgan bitta juftlik bilan almashtirish mumkin.

Yuqorida isbotlangan juft teoremalar muhim xulosaga olib keladi: juftlik momenti erkin vektor bo'lib, bu juftlikning mutlaqo qattiq jismga ta'sirini to'liq aniqlaydi. . Haqiqatan ham, agar ikkita juftning momentlari bir xil bo'lsa (va shuning uchun bir tekislikda yoki parallel tekisliklarda yotsa), ular bir-biriga ekvivalent ekanligini isbotladik (2-teorema). Boshqa tomondan, kesishgan tekisliklarda yotgan ikkita juft ekvivalent bo'lishi mumkin emas, chunki bu ularning biri va ikkinchisiga qarama-qarshi bo'lgan juftlik nolga teng ekanligini anglatadi, bu mumkin emas, chunki bunday juftlarning momentlari yig'indisi boshqacha. noldan.

Shunday qilib, er-xotinning momenti tushunchasi juda foydali, chunki u er-xotinning tanadagi mexanik ta'sirini to'liq aks ettiradi. Shu ma'noda aytishimiz mumkinki, moment juftlikning qattiq jismga ta'sirini to'liq ifodalaydi.

Deformatsiyalanuvchi jismlar uchun yuqoridagi juftlik nazariyasi qo'llanilmaydi. Ikki qarama-qarshi juft, masalan, novda uchlarida harakat qilib, qattiq jismning statikasi nuqtai nazaridan nolga teng. Ayni paytda, ularning deformatsiyalanadigan rodga ta'siri uning buralib ketishiga olib keladi va qanchalik ko'p bo'lsa, momentlarning modullari shunchalik katta bo'ladi.

Keling, tanaga faqat juft kuchlar ta'sir qilganda, statikaning birinchi va ikkinchi masalalarini echishga o'tamiz.