Maktab matematika kursidan ma'lumki, tekislikdagi vektor yo'naltirilgan segmentdir. Uning boshi va oxiri ikkita koordinataga ega. Vektor koordinatalari yakuniy koordinatalardan boshlang'ich koordinatalarini ayirish yo'li bilan hisoblanadi.
Vektor tushunchasini n o'lchovli fazoga ham kengaytirish mumkin (ikkita koordinata o'rniga n ta koordinata bo'ladi).
Gradient z = f(x 1 , x 2 , …x n) funksiyaning grad z nuqtadagi funksiyaning qisman hosilalari vektori, yaʼni. koordinatalari bo'lgan vektor.
Isbotlash mumkinki, funktsiya gradienti nuqtadagi funksiya darajasining eng tez o'sish yo'nalishini xarakterlaydi.
Masalan, z \u003d 2x 1 + x 2 funktsiyasi uchun (5.8-rasmga qarang) har qanday nuqtadagi gradient koordinatalarga ega bo'ladi (2; 1). Siz uni samolyotda qurishingiz mumkin turli yo'llar bilan, vektorning boshi sifatida istalgan nuqtani olish. Masalan, (0; 0) nuqtani (2; 1) nuqtaga yoki (1; 0) nuqtani (3; 1) yoki (0; 3) nuqtani (2; 4) nuqtaga ulashingiz mumkin, yoki t .P. (5.8-rasmga qarang). Shu tarzda tuzilgan barcha vektorlar koordinatalariga ega bo'ladi (2 - 0; 1 - 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).
5.8-rasmda funktsiya darajasi gradient yo'nalishi bo'yicha o'sib borishi aniq ko'rsatilgan, chunki qurilgan darajali chiziqlar 4 > 3 > 2 daraja qiymatlariga mos keladi.
5.8-rasm - Gradient funktsiyasi z \u003d 2x 1 + x 2
Yana bir misolni ko'rib chiqing - z = 1/(x 1 x 2) funktsiyasi. Ushbu funktsiyaning gradienti endi har doim turli nuqtalarda bir xil bo'lmaydi, chunki uning koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
5.9-rasmda 2 va 10 darajalar uchun z = 1/(x 1 x 2) funksiyaning darajali chiziqlari ko‘rsatilgan (1/(x 1 x 2) = 2 chiziq nuqtali chiziq bilan ko‘rsatilgan va chiziq
1 / (x 1 x 2) \u003d 10 - qattiq chiziq).
5.9-rasm - Har xil nuqtalarda z \u003d 1 / (x 1 x 2) funktsiyasining gradientlari
Masalan, (0,5; 1) nuqtani oling va bu nuqtadagi gradientni hisoblang: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . E'tibor bering (0,5; 1) nuqta 1 / (x 1 x 2) \u003d 2 daraja chizig'ida yotadi, chunki z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. To 5.9-rasmdagi vektorni (-4; -2) tasvirlaymiz, biz (0,5; 1) nuqtani (-3,5; -1) nuqta bilan bog'laymiz, chunki
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).
Xuddi shu darajadagi chiziqdagi yana bir nuqtani olaylik, masalan, nuqta (1; 0,5) (z = f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Ushbu nuqtadagi gradientni hisoblang
(-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Uni 5.9-rasmda tasvirlash uchun (1; 0,5) nuqtani (-1; -3,5) nuqta bilan bog`laymiz, chunki (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - 4).
Keling, bir xil darajadagi chiziqda yana bir nuqtani olaylik, lekin faqat hozir ijobiy bo'lmagan koordinatali chorakda. Masalan, nuqta (-0,5; -1) (z = f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Bu nuqtada gradient bo'ladi
(-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Uni 5.9-rasmda (-0,5; -1) nuqtani (3,5; 1) nuqta bilan tutashtirib tasvirlaymiz, chunki (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
15-ma'ruza
Ikki o'zgaruvchili funktsiyaning gradienti va yo'nalishli hosilasi.
Ta'rif. Funktsiya gradienti
vektor deb ataladi
.
Funksiya gradientining ta’rifidan ko‘rinib turibdiki, gradient vektorining komponentlari funksiyaning qisman hosilalari hisoblanadi.
Misol. Funktsiya gradientini hisoblash
A(2,3) nuqtada.
Yechim. Funktsiyaning qisman hosilalarini hisoblaymiz.
Umuman olganda, funktsiyaning gradienti quyidagi shaklga ega:
=
A(2,3) nuqtaning koordinatalarini qisman hosilalarning ifodalariga almashtiring.
A(2,3) nuqtadagi funktsiya gradienti quyidagi ko'rinishga ega:
Xuddi shunday, biz uchta o'zgaruvchining funktsiyasi gradienti tushunchasini aniqlashimiz mumkin:
Ta'rif. Uch o'zgaruvchining gradient funktsiyasi
vektor deb ataladi
Aks holda, bu vektor quyidagicha yozilishi mumkin:
Ta'rif yo'nalish hosilasi.
Ikki o‘zgaruvchili funksiya berilgan bo‘lsin
va ixtiyoriy vektor
Ushbu funktsiyaning o'sishini hisobga oling berilgan vektor
Bular. vektor vektorga nisbatan kollineardir. Argument o'sishi uzunligi
Argument o'sishi uzunligi 0 ga moyil bo'lganda, biron bir yo'nalishdagi hosila - bu berilgan yo'nalish bo'ylab funktsiya o'sishining argument o'sishi uzunligiga nisbati chegarasi.
Yo'nalishli hosila formulasi.
Gradientning ta'rifiga asoslanib, funktsiyaning yo'nalishi bo'yicha hosilasini quyidagicha hisoblash mumkin.
ba'zi vektor. Xuddi shu yo'nalishli vektor, lekin yolg'iz uzunligini chaqiramiz
Ushbu vektorning koordinatalari quyidagicha hisoblanadi:
Yo‘nalishli hosilaning ta’rifidan kelib chiqib, yo‘nalishli hosilani quyidagi formula yordamida hisoblash mumkin:
Ushbu formulaning o'ng tomoni ikkita vektorning skalyar mahsulotidir
Shunday qilib, yo'nalishli hosila quyidagi formula bilan ifodalanishi mumkin:
Bu formuladan gradient vektorining bir qancha muhim xossalari kelib chiqadi.
Gradientning birinchi xossasi ikkita vektorning nuqta mahsuloti olishi aniq haqiqatdan kelib chiqadi eng yuqori qiymat vektorlar bir xil yo'nalishda bo'lganda. Ikkinchi xususiyat perpendikulyar vektorlarning skalyar mahsuloti nolga teng ekanligidan kelib chiqadi. Bundan tashqari, gradientning geometrik ma'nosi birinchi xususiyatdan kelib chiqadi - gradient yo'nalish bo'ylab vektor bo'lib, uning yo'nalishi bo'yicha hosilasi eng katta. Yo‘nalishli hosila funksiya yuzasiga teginish qiyaligining tangensini aniqlaganligi sababli, gradient tangensning eng katta qiyaligi bo‘ylab yo‘naltiriladi.
2-misol Funktsiya uchun (1-misoldan)
Yo'nalishli hosilani hisoblang
A(2,3) nuqtada.
Yechim. Yo'nalishli lotinni hisoblash uchun siz belgilangan nuqtada gradient vektorini hisoblashingiz kerak va birlik vektor yo'nalishlar (ya'ni vektorni normallashtirish ).
Gradient vektori 1-misolda hisoblangan:
Birlik yo'nalishi vektorini hisoblang:
Biz lotinni quyidagi yo'nalishda hisoblaymiz:
#2. Bir nechta o'zgaruvchilar funksiyasining maksimal va minimumi.
Ta'rif. Funktsiya
Agar nuqtada (ya'ni, va ) maksimalga ega
Ta'rif. Xuddi shu tarzda, biz funktsiyani aytamiz
Agar nuqtada (ya'ni, va ) minimal qiymatiga ega
nuqtaga etarlicha yaqin va undan ajralib turadigan barcha nuqtalar uchun.
Funksiyaning maksimal va minimumi funksiyaning ekstremal qismi deyiladi, ya’ni ular funksiyaning ma’lum nuqtada maksimal yoki minimumiga ega bo‘lsa, berilgan nuqtada ekstremumga ega ekanligini aytishadi.
Masalan, funktsiya
X = 1 va y = 2 da aniq minimal z = -1 ga ega.
X = 0 va y = 0 nuqtada maksimalga ega.
Teorema.(kerakli ekstremal sharoitlar).
Agar funktsiya , da ekstremumga yetsa, u holda z ning har bir birinchi tartibli qisman hosilasi argumentlarning ushbu qiymatlarida yo yo'qoladi yoki mavjud emas.
Izoh. Bu teorema funktsiyaning ekstremal qiymatlari haqidagi savolni o'rganish uchun etarli emas. Ayrim nuqtalarda qisman hosilalari nolga teng bo‘lgan, lekin bu nuqtalarda ekstremumga ega bo‘lmagan funksiyalarga misollar keltirish mumkin.
Misol. Nol qisman hosilalari bo'lgan, lekin ekstremumi bo'lmagan funksiya.
Haqiqatdan ham:
Ekstremum uchun etarli sharoitlar.
Teorema. Nuqtani o'z ichiga olgan ba'zi sohalarda funksiya uchinchi tartibgacha bo'lgan uzluksiz qisman hosilalarga ega bo'lsin; qo'shimcha ravishda, nuqta funktsiyaning kritik nuqtasi bo'lsin, ya'ni.
Keyin da,
3.2-misol. Funktsiyani maksimal va minimal darajaga qarab tekshiring
Kritik nuqtalarni topamiz, ya'ni. birinchi qisman hosilalari nolga teng yoki mavjud bo'lmagan nuqtalar.
Birinchidan, biz qisman hosilalarni o'zimiz hisoblaymiz.
Biz qisman hosilalarni nolga tenglashtiramiz va quyidagi chiziqli tenglamalar tizimini yechamiz
Ikkinchi tenglamani 2 ga ko'paytiring va uni birinchisiga qo'shing. Siz faqat y dan tenglama olasiz.
Birinchi tenglamada toping va almashtiring
Keling, aylantiramiz
Shuning uchun () nuqta juda muhim.
Ikkinchi tartibli ikkinchi hosilalarni hisoblab chiqamiz va ularga kritik nuqtaning koordinatalarini almashtiramiz.
Bizning holatda, kritik nuqtalarning qiymatlarini almashtirish shart emas, chunki ikkinchi hosilalar raqamlardir.
Natijada bizda:
Shuning uchun topilgan kritik nuqta ekstremum nuqta hisoblanadi. Bundan tashqari, beri
keyin bu minimal nuqta.
Ta'rif 1
Agar biron bir domendan ikkita mustaqil o'zgaruvchining qiymatlarining har bir juftligi $(x,y)$ bo'lsa, ma'lum qiymat$z$ boʻlsa, $z$ $(x,y)$ ikkita oʻzgaruvchining funksiyasi deyiladi. Belgilash: $z=f(x,y)$.
$z=f(x,y)$ funksiyasini ko'rib chiqaylik, u $Oxy$ fazosida ba'zi domenlarda aniqlangan.
Binobarin,
Ta'rif 3
Agar biron-bir domendan uchta mustaqil o'zgaruvchining har uchlik $(x,y,z)$ qiymati uchun ma'lum bir $w$ qiymati tayinlangan bo'lsa, $w$ uchta o'zgaruvchining funktsiyasi deyiladi $(x, bu hududda y,z)$.
Belgilash:$w=f(x,y,z)$.
$w=f(x,y,z)$ funksiyasini ko'rib chiqaylik, u $Oxyz$ fazosida ba'zi domenlarda aniqlangan.
Uchun berilgan funksiya vektorni aniqlang, buning uchun koordinata o'qlari bo'yicha proyeksiyalar ma'lum bir nuqtada berilgan funktsiyaning qisman hosilalarining qiymatlari $\frac(\partial z)(\qisman x) ;\frac(\qisman z)(\ qisman y) $.
Ta'rif 4
Berilgan $w=f(x,y,z)$ funksiyaning gradienti quyidagi shakldagi $\overrightarrow(gradw) $ vektoridir:
Teorema 3
$w=f(x,y,z)$ skalyar maydonda gradient maydoni aniqlansin
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\qisman w)(\qisman x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\qisman w)(\qisman y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\qisman w)(\qisman z) \cdot \overrightarrow(k) .\]
Berilgan $\overrightarrow(s) $ vektori yoʻnalishidagi $\frac(\partial w)(\qisman s) $ hosilasi $\overrightarrow(gradw) $ gradient vektorining berilgan vektorga proyeksiyasiga teng. $\overrightarrow(lar) $.
4-misol
Yechim:
Gradientning ifodasi formula bo'yicha topiladi
\[\overrightarrow(gradw) =\frac(\qisman w)(\qisman x) \cdot \overrightarrow(i) +\frac(\qisman w)(\qisman y) \cdot \overrightarrow(j) +\frac (\qisman w)(\qisman z) \cdot \overrightarrow(k) .\]
\[\frac(\qisman w)(\qisman x) =2x;\frac(\qisman w)(\qisman y) =4y;\frac(\qisman w)(\qisman z) =2.\]
Binobarin,
\[\overrightarrow(gradw) =2x\cdot \overrightarrow(i) +4y\cdot \overrightarrow(j) +2\cdot \overrightarrow(k) .\]
5-misol
Berilgan funksiyaning gradientini aniqlang
$M(1;2;1)$ nuqtada. $\left(|\overrightarrow(gradz) |\right)_(M) $ ni hisoblang.
Yechim:
Berilgan nuqtadagi gradientning ifodasi formula orqali topiladi
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =\left(\frac(\qisman w)(\qisman x) \o'ng)_(M) \cdot \overrightarrow(i) +\chap (\frac(\qisman w)(\qisman y) \o'ng)_(M) \cdot \overrightarrow(j) +\left(\frac(\qisman w)(\qisman z) \o'ng)_(M) \cdot \overrightarrow(k) .\]
Qisman hosilalar quyidagi shaklga ega:
\[\frac(\qisman w)(\qisman x) =2x;\frac(\qisman w)(\qisman y) =4y;\frac(\qisman w)(\qisman z) =6z^(2) .\]
$M(1;2)$ nuqtadagi hosilalar:
\[\frac(\qisman w)(\qisman x) =2\cdot 1=2;\frac(\qisman w)(\qisman y) =4\cdot 2=8;\frac(\qisman w)( \qisman z) =6\cdot 1^(2) =6.\]
Binobarin,
\[\left(\overrightarrow(gradw) \right)_(M) =2\cdot \overrightarrow(i) +8\cdot \overrightarrow(j) +6\cdot \overrightarrow(k) \]
\[\left(|\overrightarrow(gradw) |\right)_(M) =\sqrt(2^(2) +8^(2) +6^(2) ) =\sqrt(4+64+36) ) =\sqrt(104) .\]
Keling, ba'zilarini sanab o'tamiz gradient xususiyatlari:
$\overrightarrow(s)$ vektorining yo'nalishi bo'yicha berilgan nuqtada berilgan funktsiyaning hosilasi, agar berilgan $\overrightarrow(s)$ vektorining yo'nalishi gradient yo'nalishiga to'g'ri kelsa, eng katta qiymatga ega bo'ladi. Bunday holda, lotinning bu eng katta qiymati gradient vektorining uzunligiga to'g'ri keladi, ya'ni. $|\overrightarrow(gradw) |$.
Berilgan funktsiyaning gradient vektoriga perpendikulyar bo'lgan vektor yo'nalishiga nisbatan hosilasi, ya'ni. $\overrightarrow(gradw) $ 0 ga teng. $\varphi =\frac(\pi )(2) $ ekan, $\cos \varphi =0$; shuning uchun $\frac(\qisman w)(\qisman s) =|\overrightarrow(gradw) |\cdot \cos \varphi =0$.
Funktsiya gradienti nuqtada koordinatalari mos keladigan qisman hosilalarga teng bo'lgan vektor deyiladi va belgilanadi.
Agar birlik vektor e=() ni ko‘rib chiqsak, (3) formulaga ko‘ra, yo‘nalishdagi hosila gradientning skalyar ko‘paytmasi va yo‘nalishni aniqlovchi birlik vektor hisoblanadi. Ma'lumki, ikkita vektorning yo'nalishi bir xil bo'lsa, ularning skalyar ko'paytmasi maksimal bo'ladi. Demak, funksiyaning berilgan nuqtadagi gradienti ushbu nuqtadagi funksiyaning maksimal o‘sishining yo‘nalishi va kattaligini xarakterlaydi.
Teorema . Agar funktsiya differentsial bo'lsa va M nuqtada 0 Agar gradient qiymati nolga teng bo'lmasa, u holda gradient o'tuvchi sath chizig'iga perpendikulyar bo'ladi. berilgan nuqta va bir vaqtning o'zida funktsiyani oshirish yo'nalishiga yo'naltiriladi
Xulosa: 1) Funktsiyaning ko'rsatilgan nuqtadagi gradienti bilan aniqlangan yo'nalishdagi nuqtadagi hosilasi mavjud maksimal qiymat har qanday boshqa yo'nalishda o'sha nuqtada hosila bilan solishtirganda.
- 2) funktsiyaning berilgan nuqtadagi gradientini aniqlaydigan yo'nalishdagi hosilasining qiymati ga teng.
- 3) Funksiyaning har bir nuqtadagi gradientini bilgan holda, qandaydir xatolik bilan darajali chiziqlar qurish mumkin. M 0 nuqtasidan boshlaylik. Keling, shu nuqtada gradient quramiz. Yo'nalishni gradientga perpendikulyar o'rnating. Keling, daraja chizig'ining kichik qismini quraylik. M 1 yaqin nuqtasini ko'rib chiqing, unga gradient quring va hokazo.
Agar fazoning har bir nuqtasida yoki fazoning bir qismida ma'lum miqdorning qiymati aniqlansa, u holda bu miqdorning maydoni berilgan deyiladi. Agar ko'rib chiqilgan qiymat skaler bo'lsa, maydon skalyar deb ataladi, ya'ni. uning raqamli qiymati bilan yaxshi tavsiflanadi. Masalan, harorat maydoni. Skayar maydon u = /(M) nuqtaning skalyar funksiyasi bilan beriladi. Agar fazoda dekart koordinatalar tizimi kiritilsa, u holda uchta o'zgaruvchining funksiyasi mavjud bo'ladi x, yt z - M nuqtaning koordinatalari: Ta'rif. Skayar maydonning sath yuzasi f(M) funksiyasi bir xil qiymatni qabul qiladigan nuqtalar to'plamidir. Darajali sirt tenglamasiga misol 1. Skalar maydonning darajali yuzalarini toping VEKTOR TAHLIL Skalar maydon darajasidagi yuzalar va sath chiziqlari Skalar maydonning yo'nalishli hosilaviy gradienti Asosiy gradient xossalari Invariant Gradientning ta'rifi Gradientning ta'rifi Gradientning ta'rifi bo'yicha a ta'rifi bo'yicha a Gradient uchun qoida - Hisob4 sirt tenglamasi bo'ladi. Bu koordinata boshida joylashgan sharning (F 0 bilan) tenglamasi. Agar biror tekislikka parallel barcha tekisliklarda maydon bir xil bo'lsa, skalyar maydon tekis deyiladi. Agar ko'rsatilgan tekislik xOy tekislik sifatida qabul qilinsa, u holda maydon funktsiyasi z koordinatasiga bog'liq bo'lmaydi, ya'ni u faqat x va y argumentlarining funktsiyasi va shuningdek ma'nosi bo'ladi. Darajali chiziq tenglamasi - 2-misol. Skayar maydonning sath chiziqlarini toping Darajali chiziqlar tenglamalar bilan beriladi c = 0 da biz bir juft chiziqni olamiz, giperbolalar oilasini olamiz (1-rasm). 1.1. Yo'nalishli hosila U = /(Af) skalyar funksiya bilan aniqlangan skalyar maydon bo'lsin. Afo nuqtasini olamiz va I vektor bilan aniqlangan yo'nalishni tanlaymiz.M0M vektori 1 vektorga parallel bo'lishi uchun yana bir M nuqtani olaylik (2-rasm). MoM vektorining uzunligini A/ bilan, D1 siljishiga mos keladigan /(Af) - /(Afo) funksiyaning o'sishini Di bilan belgilaymiz. Munosabat belgilaydi o'rtacha tezlik M0M vektori doimo I vektorga parallel bo'lib qolishi uchun berilgan yo'nalish bo'yicha skalyar maydonning birlik uzunligiga o'zgarishi.. Ta'rif. Agar D/O uchun (5) munosabatning chekli chegarasi mavjud bo'lsa, u holda u funksiyaning berilgan Afo nuqtasida berilgan I yo'nalishga hosilasi deyiladi va zr belgisi bilan belgilanadi! Shunday qilib, ta'rifga ko'ra, Bu ta'rif koordinata tizimini tanlash bilan bog'liq emas, ya'ni u **variant xarakterga ega. Dekart koordinata tizimidagi yo‘nalishga nisbatan hosila ifodasini topamiz. Funktsiya / nuqtada differentsial bo'lsin. Bir nuqtada /(Af) qiymatini ko'rib chiqing. Keyin to'liq o'sish funksiyalar quyidagi shaklda yozilishi mumkin: bu yerda va belgilar qisman hosilalarning Afo nuqtasida hisoblanganligini bildiradi. Demak, bu erda jfi, ^ miqdorlar vektorning yo'nalish kosinuslari. MoM va I vektorlari birgalikda yoʻnaltirilganligi sababli ularning yoʻnalish kosinuslari bir xil boʻladi: M Afo har doim toʻgʻri chiziqda joylashganligi sababli, vektorga parallel 1, keyin burchaklar doimiy, shuning uchun Nihoyat, (7) va (8) tengliklardan Eamuan va 1 ni olamiz. Qisman hosilalar funktsiyaning hosilalari va tashqi nno bilan koordinata o'qlari yo'nalishlari bo'yicha 3. Toping. nuqtaga nisbatan funksiyaning hosilasi Vektor uzunligiga ega. Uning yo'nalishi kosinuslari: (9) formula bo'yicha biz ega bo'lamiz Haqiqat, shuni anglatadiki, skalyar maydon ma'lum yo'nalishdagi nuqtada- Yassi maydon uchun nuqtada I yo'nalishdagi hosila formula bilan hisoblanadi. bu yerda a - vektor I Oh o'qi bilan hosil qilgan burchak. Zmmchmm 2. Afo berilgan nuqtada I yo‘nalishi bo‘yicha hosilani hisoblash uchun formula (9) M nuqta PrISp nuqtasida I vektor tangens bo‘lgan egri chiziq bo‘ylab Mo nuqtaga moyil bo‘lganda ham o‘z kuchida qoladi 4. Hisoblang. Afo(l, 1) nuqtadagi skalyar maydon hosilasi. bu egri chiziq yo'nalishi bo'yicha (abtsissalar ortishi yo'nalishida) parabolaga tegishli. Parabolaning bir nuqtadagi yo'nalishi ] bu nuqtadagi parabolaga teginish yo'nalishidir (3-rasm). Afo nuqtada parabolaga tegish Ox o'qi bilan o' burchak hosil qilsin. Keyin tangensning kosinuslari qayerdan yo'naltiriladi, keling, qiymatlarni va nuqtada hisoblaymiz. Formula (10) bo'yicha bizda Now bor. Skalar maydonning aylana yo'nalishidagi bir nuqtada hosilasini toping Doiraning vektor tenglamasi ko'rinishga ega. Aylanaga teginishning birlik vektori m ni topamiz.Nuqta parametr qiymatiga mos keladi. Skalar maydon gradienti Skalar maydon differentsial deb qabul qilingan skalyar funksiya bilan aniqlansin. Ta'rif. Skalar maydonning » berilgan M nuqtadagi gradienti grad belgisi bilan belgilanadigan va tenglik bilan aniqlangan vektor bo'lib, bu vektor ham funktsiyaga /, ham uning hosilasi hisoblangan M nuqtaga bog'liq ekanligi aniq. 1 yo'nalishi bo'yicha birlik vektor bo'lsin U holda yo'nalishli hosilaning formulasini quyidagicha yozish mumkin: . shunday qilib, funktsiyaning hosilasi va 1 yo'nalishi bo'yicha teng nuqta mahsuloti u(M) funktsiya gradientining vektor birligiga 1° yo'nalishning I. 2.1. Gradientning asosiy xossalari teorema 1. Skalar maydon gradienti sath yuzasiga (yoki maydon tekis bo'lsa, sath chizig'iga) perpendikulyar. (2) Ixtiyoriy M nuqta orqali u = const tekislik sirtini chizamiz va M nuqtadan o'tuvchi bu sirtda tekis L egri chiziqni tanlaymiz (4-rasm). M nuqtada L egri chizig'iga vektor tangensi bo'lsin. Har qanday Mj ∈ L nuqta uchun tekislik yuzasida u(M) = u(M|) bo'lgani uchun, boshqa tomondan, = (gradu, 1°) . Shunung uchun. Bu grad va va 1° vektorlari ortogonal ekanligini bildiradi.Demak, grad va vektori M nuqtadagi sath yuzasiga har qanday teginishga ortogonaldir. Gradient maydon funktsiyasini oshirish yo'nalishi bo'yicha yo'naltiriladi. Oldin skalar maydonning gradienti u(M) funksiyaning ortishi yoki uning kamayishi tomon yoʻnaltirilishi mumkin boʻlgan normal boʻylab sath yuzasiga yoʻnaltirilganligini isbotlagan edik. Ti(M) funksiyaning ortish yoʻnalishiga yoʻnaltirilgan sath sirtining normalini n bilan belgilaymiz va u funksiyaning shu normal yoʻnalishdagi hosilasini topamiz (5-rasm). Bizda beri bor 5-shakl sharti bo'yicha va shuning uchun VEKTOR TAHLIL Skalar maydon Yuzalar va sath chiziqlari Yo'nalish bo'yicha hosila Skayar maydonning hosilasi Gradientning asosiy xossalari Gradientning o'zgarmas ta'rifi Gradientni hisoblash qoidalari Bundan kelib chiqadiki, grad va normal n ni tanlaganimiz bilan bir xil yo'nalishda, ya'ni u (M) funktsiyani oshirish yo'nalishida yo'naltiriladi. Teorema 3. Gradientning uzunligi maydonning berilgan nuqtasidagi yo'nalishga nisbatan eng katta hosilaga teng, (bu erda max $ nuqtaga berilgan M nuqtada barcha mumkin bo'lgan yo'nalishlarda olinadi). Bizda 1 va grad n vektorlari orasidagi burchak qayerda bo'lsa, eng katta qiymat 1-misol bo'lgani uchun. Nuqtadagi eng katta va mutlaq skalyar maydonning yo'nalishini, shuningdek, ushbu eng katta o'zgarishning ko'rsatilgan nuqtadagi kattaligini toping. Skayar maydondagi eng katta o'zgarish yo'nalishi vektor bilan ko'rsatilgan. Bizda shunday Ushbu vektor maydonning nuqtaga qadar eng katta o'sish yo'nalishini belgilaydi. Ushbu nuqtada maydondagi eng katta o'zgarishlarning qiymati 2,2 ga teng. Gradientning o'zgarmas ta'rifi O'rganilayotgan ob'ektning xususiyatlarini tavsiflovchi va koordinatalar tizimini tanlashga bog'liq bo'lmagan kattaliklar berilgan ob'ektning invariantlari deyiladi. Masalan, egri chiziqning uzunligi bu egri chiziqning invariantidir, lekin x o'qi bilan egri chiziqqa tegish burchagi o'zgarmas emas. Skayar maydon gradientining yuqorida isbotlangan uchta xususiyatiga asoslanib, gradientning quyidagi invariant ta’rifini berishimiz mumkin. Ta'rif. Skayar maydon gradienti - bu maydon funktsiyasi ortib borish yo'nalishi bo'yicha sath yuzasiga normal bo'ylab yo'naltirilgan va eng katta yo'nalish hosilasiga (ma'lum nuqtada) teng uzunlikka ega vektor. O'sish maydoniga yo'naltirilgan birlik normal vektor bo'lsin. Keyin 2-misol. Masofa gradientini toping - ba'zi bir qo'zg'almas nuqta va M(x,y,z) - joriy. 4 Bizda birlik yo'nalishi vektori qaerda. c doimiy son bo'lgan gradientni hisoblash qoidalari. Yuqoridagi formulalar to'g'ridan-to'g'ri gradientning ta'rifidan va hosilalarning xossalaridan olinadi. Mahsulotni differentsiallash qoidasiga ko'ra.Isbot xossaning isbotiga o'xshaydi.F(u) differensiallanuvchi bo'lsin. skalyar funksiya. Keyin 4 Gradientning ta'rifiga ko'ra, biz o'ng tomondagi barcha shartlarga farqlash qoidasini qo'llaymiz. murakkab funktsiya. Biz, xususan, formulalar tekisligidan ushbu tekislikning ikkita sobit nuqtasiga (6) formulani olamiz. Fj va F] fokuslari bo‘lgan ixtiyoriy ellipsni ko‘rib chiqaylik va ellipsning bir fokusidan chiqadigan har qanday yorug‘lik nuri ellipsdan aks etgandan so‘ng uning boshqa fokusiga kirishini isbotlang. Funksiyaning sath chiziqlari (7) VEKTOR TAHLIL Skalyar maydon Sirt va sath chiziqlari Yoʻnalishli hosilaviy hosila Skalyar maydon gradienti gradientning asosiy xossalari Gradientning oʻzgarmas taʼrifi Gradientni hisoblash qoidalari (8) tenglamalar fokuslari F nuqtalarda joylashgan ellipslar turkumini tavsiflaydi. ) va Fj. 2-misol natijasiga ko'ra, biz bor va radius vektorlari. F| fokuslaridan P(x, y) nuqtaga chizilgan va Fj va demak, bu radius vektorlari orasidagi burchakning bissektrisasida yotadi (6-rasm). Tooromo 1 ga binoan, PQ gradienti nuqtadagi ellipsga (8) perpendikulyar. Shuning uchun, 6-rasm. ixtiyoriy nuqtadagi ellipsning (8) normali shu nuqtaga chizilgan radius vektorlari orasidagi burchakni ikkiga bo'ladi. Bu yerdan va tushish burchagi ko'zgu burchagiga teng ekanligidan shunday xulosaga kelamiz: ellipsning bir fokusidan chiqadigan, undan aks ettirilgan yorug'lik nuri, albatta, bu ellipsning boshqa fokusiga tushadi.