2-misol Masalan, uchta o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing f(X,da,z), quyidagi haqiqat jadvaliga ega:

O'zgaruvchan qiymatlar vektorlarining joylashuvining leksikografik tartibi bilan  X n ular o'tkazib yuborilishi mumkin va funktsiya o'z-o'zidan to'liq aniqlanadi haqiqat qiymatlari vektori f= (10110110).

Matritsa usuli

Bu ko'p o'zgaruvchilarni anglatadi  X n ikki qismga bo'linadi  da m Va  z n–m shunday qilib, vektorning barcha mumkin bo'lgan haqiqat qiymatlari  da m matritsa qatorlari va vektorning barcha mumkin bo'lgan haqiqat qiymatlari bo'ylab chiziladi  z n-m- ustunlar bo'yicha. Funktsiya haqiqat qiymatlari f har bir to'plamda   n = ( 1 , ...,  m ,  m+ 1 ,...,  n) chiziqning kesishmasidan hosil bo'lgan kataklarga joylashtiriladi ( 1 , ...,  m) va ustun ( m+ 1 ,...,  n).

Yuqorida ko'rib chiqilgan 2-misolda, o'zgaruvchilarni bo'lishda ( x, y, z) kichik to'plamlarga ( X) va ( y, z) matritsa quyidagi shaklni oladi:

	y,z

O'rnatishning matritsa usulining muhim xususiyati o'zgaruvchilarning to'liq to'plamidir  X n, qo'shni (vertikal va gorizontal) hujayralarga mos keladigan, bir koordinatada farqlanadi.

To'liq ikkilik daraxt yordamida topshiriq

Tavsif uchun n- mahalliy funktsiya f( X n) balandlikdagi ikkilik daraxt xususiyatidan foydalanadi n, bu undagi har bir osilgan cho'qqi birma-bir vektorning ma'lum qiymatlari to'plamiga mos kelishidan iborat.  X n. Shunga ko'ra, bu osilgan cho'qqiga funktsiya ushbu to'plamdagi bir xil haqiqat qiymatini belgilash mumkin f. Misol tariqasida (1.3-rasm) yuqorida ko'rib chiqilgan uch o'rinli funktsiyaning binar daraxti yordamida vazifani taqdim etamiz. f=(10110110).

Daraxtning osilgan uchlariga tayinlangan raqamlarning birinchi qatori to'plamning leksikografik raqamini, ikkinchisi to'plamning o'zini, uchinchisi esa undagi funktsiyaning qiymatini bildiradi.

Bilan ishlangn - o'lchov birligi kubiIN n

Chunki tepaliklar IN n shuningdek, barcha to'plamlar to'plamiga birma-bir ko'rsatilishi mumkin  X n, keyin n- mahalliy funktsiya f(X n) uning haqiqat qiymatlarini kubning mos keladigan uchlariga belgilash orqali aniqlanishi mumkin IN n . 1.4-rasmda funktsiyaning vazifasi ko'rsatilgan f= (10110110) Kubada IN 3 . Haqiqat qiymatlari kubning uchlariga tayinlangan.

Ta'rif . Mantiq algebrasi mantiqiy konstantalar va oʻzgaruvchilar toʻplamini ularga kiritilgan mantiqiy bogʻlovchilar bilan birga nomlang.

formula vazifasi

Mantiqiy algebra funktsiyalari analitik ifoda sifatida berilishi mumkin.

Ta'rif. Bo'lsin X― mantiq algebrasida qo'llaniladigan o'zgaruvchilar va konstantalar alifbosi, F― barcha elementar funktsiyalar uchun belgilar to'plami va ularning 2 dan ortiq o'zgaruvchilar soni uchun umumlashmalari.

X, F ustidagi formula(mantiqiy algebra formulasi) formaning barcha yozuvlarini nomlaymiz:

lekin) X, qayerda X X;

b)  F 1 , F 1 &F 2 ,F 1 F 2 , F 1 F 2 , F 1  F 2 , F 1 F 2 ,F 1 F 2 ,F 1 F 2 , qayerda F 1 , F 2 ta formulalar tugadi X, F;

ichida) h(F 1 , … ,F n ), qayerda n > 2, F 1 ,… ,F n formulalar tugadi X,F, h ― dan umumlashtirilgan chegara funksiyasi uchun belgi F .

Ta'rifdan ko'rinib turibdiki, ikkilik elementar funktsiyalar uchun funktsiya belgisi argumentlar orasiga joylashtirilgan infiks shakli, inkor va umumlashtirilgan funktsiyalar uchun prefiks shakli qo'llaniladi, unda funktsiya belgisi argumentdan oldin joylashtiriladi. ro'yxati.

3-misol

1. Ifodalar X(daz); ( x, y, z  u) mantiq algebrasining formulalaridir, chunki ular yuqorida berilgan ta'rifni qondiradi.

2. Ifoda  X (da z) mantiq algebrasining formulasi emas, chunki operatsiya noto'g'ri qo'llaniladi  .

Ta'rif. F formulasi orqali amalga oshirilgan funktsiya, - bu o'zgaruvchilar qiymatlarini almashtirish orqali olingan funktsiya F. Uni belgilaylik f(F).

4-misol Formulani ko'rib chiqing F=hu (Xz). Amalga oshirilgan funktsiyaning haqiqat jadvalini tuzish uchun mantiqiy bog'lanishlarning kuchini hisobga olgan holda mantiqiy ko'paytirishni ketma-ket bajarish kerak. hu, keyin ma'no ( Xz), keyin olingan haqiqat qiymatlarini qo'shing modul 2. Harakatlar natijasi jadvalda ko'rsatilgan:

				X z

Funktsiyalarning formulali ko'rinishi funktsiyalarning ko'plab xususiyatlarini apriori baholash imkonini beradi. Formula vazifasidan haqiqat jadvaliga o'tish har doim haqiqat qiymatlarini formulaga kiritilgan elementar funktsiyalarga ketma-ket almashtirish orqali amalga oshirilishi mumkin. Teskari o'tish noaniq, chunki bir xil funktsiya turli formulalar bilan ifodalanishi mumkin. Bu alohida ko'rib chiqishni talab qiladi.

Skayar argumentning vektor funksiyasi qiymatlari toʻplami 0 nuqtadagi umumiy koordinataga keltirilsin. Dekart koordinata tizimining kelib chiqishini shu nuqta bilan birlashtiramiz. Keyin har qanday vektor uchun orts bo'yicha kengaytirilishi mumkin

Shunday qilib, skalar argumentning vektor funksiyasini ko'rsatish uchta skalyar funksiyani ko'rsatishni anglatadi Argumentning qiymati o'zgarganda, vektorning oxiri fazodagi egri chiziqni tasvirlaydi, bu vektorning godografi deb ataladi.

uchun yaqin qiymat bo'lsin Keyin vektor funksiyaning skalyar argumentga hosilasi chaqiriladi

№17 Egri chiziqli harakatdagi nuqtaning tezligi va tezlashishi

Tezlik

Tezlik moddiy nuqta harakatining xarakteristikasi sifatida kiritiladi. Tezlik vektor kattalik bo'lib, u ma'lum bir vaqtda harakat tezligi (tezlik vektorining moduli) va uning yo'nalishi (tezlik vektorining yo'nalishi) bilan tavsiflanadi. Moddiy nuqta qandaydir egri chiziqli traektoriya bo‘ylab harakatlansin va t vaqtida u radius vektor r0 ga to‘g‘ri keladi (1-rasm). Kichkina Dt vaqt oralig'ida nuqta Ds yo'lini qiladi va shu bilan birga elementar (cheksiz kichik) Dr siljishini oladi.

O'rtacha tezlik vektori nuqta radius-vektorining Dr ortishining Dt vaqt oralig'iga nisbati:

O'rtacha tezlik vektorining yo'nalishi Dr yo'nalishiga to'g'ri keladi. Dt ning cheksiz pasayishi bilan o'rtacha tezlik v oniy tezlik deb ataladigan qiymatga intiladi:

Demak, oniy tezlik v vektor kattalik bo'lib, u harakatlanuvchi nuqta radius-vektorining vaqtga nisbatan birinchi hosilasiga teng. Chunki chegarada sekant tangensga to'g'ri keladi, keyin tezlik vektori v harakat yo'nalishi bo'yicha traektoriyaga tangensial yo'naltiriladi (2-rasm).

2-rasm

Dt kamayishi bilan Ds tobora |Dr| ga yaqinlashadi, shuning uchun lahzali tezlik moduli

Bu shuni anglatadiki, bir lahzali tezlik moduli vaqtga nisbatan yo'lning birinchi hosilasiga teng:

Qachon bo'lmasa bir tekis harakat lahzali tezlik moduli turli vaqtlarda har xil. Bunday holda, skalyar qiymat ishlatiladi - o'rtacha tezlik notekis harakat:

Agar ds=vdt ifodasini t dan t + Dt gacha bo‘lgan vaqt oralig‘ida integrallasak ((2) formulaga qarang), u holda Dt vaqt ichida nuqta bosib o‘tgan yo‘l uzunligini topamiz:

Bir tekis harakatda lahzali tezlikning son qiymati doimiy; Keyin (3) ifoda shaklni oladi

t1 dan t2 gacha bo'lgan vaqt oralig'ida nuqta bosib o'tgan yo'lning uzunligi integral bilan beriladi.

TEZLASH

Noto'g'ri harakat bilan, tez-tez vaqt o'tishi bilan tezlik qanchalik tez o'zgarishini bilish kerak. Jismoniy miqdor, tezlikning kattalik va yo'nalishdagi o'zgarish tezligini tavsiflovchi tezlanish deyiladi. Tekis harakatni ko'rib chiqaylik - ko'rib chiqilayotgan tizimning har bir nuqtasining traektoriyalari bir tekislikda joylashgan harakat. V vektor A nuqtaning t vaqtdagi tezligi bo'lsin. Dt vaqt ichida nuqta B pozitsiyasiga o'tdi va modul va yo'nalish bo'yicha v dan farq qiluvchi va v1 + Dv ga teng tezlikni oldi. v1 vektorni A nuqtaga o'tkazamiz va Dv ni topamiz (1-rasm).

t dan t + Dt gacha bo'lgan oraliqda notekis harakatning o'rtacha tezlashishi Dv tezlik o'zgarishining Dt vaqt oralig'iga nisbatiga teng vektor kattalikdir:

Darhol tezlashtirish va t vaqtdagi moddiy nuqtaning (tezlanishi) vektor kattalik bo'ladi:

tezlikning vaqtga nisbatan birinchi hosilasiga teng.

Dv vektorini ikkita komponentga ajratamiz. Buning uchun A nuqtadan (1-rasm) v tezlik yo'nalishi bo'yicha AD vektorini chetga qo'yamiz, moduli v1 ga teng. Shubhasiz, Dvt ga teng bo'lgan CD vektori vaqt bo'yicha tezlikning Dt moduli o'zgarishini aniqlaydi: Dvt=v1-v. DV vektorning ikkinchi komponenti Dvn tezlikning Dt vaqt davomida yo'nalish bo'yicha o'zgarishini xarakterlaydi.

Tangensial tezlanish komponenti:

ya'ni tezlik modulining birinchi marta hosilasiga teng, bu bilan tezlik modulining o'zgarish tezligi aniqlanadi.

Biz tezlashtirishning ikkinchi komponentini qidiramiz. Faraz qilamizki, B nuqta A nuqtaga juda yaqin, shuning uchun Ds ni AB akkordasidan biroz farqli r radiusli aylana yoyi deb hisoblash mumkin. AOB uchburchagi EAD uchburchagiga o'xshaydi, bu Dvn/AB=v1/r degan ma'noni anglatadi, lekin AB=vDt bo'lgani uchun u holda

Dt→0 chegarasida biz v1→v ni olamiz.

Chunki v1→v, EAD burchagi nolga intiladi va shundan beri EAD uchburchagi teng yonli bo'lsa, u holda v va Dvn orasidagi ADE burchagi to'g'ri burchakka moyil bo'ladi. Shuning uchun Dt→0 bo'lgani uchun Dvn va v vektorlari o'zaro perpendikulyar bo'ladi. Chunki tezlik vektori tangensial ravishda traektoriyaga yo'naltiriladi, so'ngra tezlik vektoriga perpendikulyar Dvn vektor nuqta traektoriyasining egrilik markaziga yo'naltiriladi. Tezlashtirishning ikkinchi komponenti, teng

tezlanishning normal komponenti deyiladi va uning egrilik markaziga traektoriyaga (normal deb ataladi) tangensiga perpendikulyar to'g'ri chiziq bo'ylab yo'naltiriladi (shuning uchun uni markazga yo'naltirilgan tezlanish ham deyiladi).

Tananing umumiy tezlashishi geometrik yig'indi tangensial va normal komponentlar (2-rasm):

Bu shuni anglatadiki, tezlanishning tangensial komponenti tezlikning mutlaq qiymatdagi o'zgarish tezligining xarakteristikasi (traektoriyaga tangensial yo'naltirilgan), tezlanishning normal komponenti esa tezlikning yo'nalishi (to'g'ri yo'naltirilgan) tezligining xarakteristikasidir. traektoriyaning egrilik markazi). Tezlanishning tangensial va normal komponentlariga qarab harakatni quyidagicha tasniflash mumkin:

1)at=0, an=0 - toʻgʻri chiziqli bir tekis harakat;

2)at=an=const, an=0 - to‘g‘ri chiziqli bir tekis harakat. Ushbu turdagi harakat bilan

Vaqtning boshlang'ich momenti t1 = 0 va boshlang'ich tezligi v1 = v0 bo'lsa, u holda t2=t va v2 = v ni belgilab, a=(v-v0)/t ni olamiz, bu erdan

Ushbu formulani noldan ixtiyoriy vaqt t ga integrallash orqali biz bir tekis oʻzgaruvchan harakatda nuqta bosib oʻtgan yoʻl uzunligini topamiz.

3)at=f(t), an=0 - to'g'ri chiziqli harakat o'zgaruvchan tezlashtirish bilan;

4)aτ=0, an=const. aτ=0 bo'lganda modul tezligi o'zgarmaydi, balki yo'nalishi bo'yicha o'zgaradi. an=v2/r formulasidan egrilik radiusi doimiy bo'lishi kerakligi kelib chiqadi. Demak, aylanma harakat bir xil; bir xil egri chiziqli harakat;

5)aτ=0, an≠0 bir tekis egri chiziqli harakat;

6)aτ=const, an≠0 - egri chiziqli bir tekis harakat;

7)aτ=f(t), an≠0 - tezlanish o‘zgaruvchan bo‘lgan egri chiziqli harakat.

#18 Tangens tekislik va sirt normal tenglamalari

Ta'rif. Ikki o‘zgaruvchili z =f(x,u), M0(x0;y0) funksiya D ning ichki nuqtasi, M(x0+Dx;y+Dy) D “qo‘shni” dan M0 gacha bo‘lgan nuqta bo‘lsin.

O'ylab ko'ring to'liq o'sish Xususiyatlari:

Agar Dz quyidagicha ifodalansa:

Bu erda A, B doimiylar (Dx, Dy dan mustaqil), - M va M0 orasidagi masofa, a(Dx,Dy) - Dx 0, Dy 0 da cheksiz kichik; u holda z = f(x, y) funksiya M0 nuqtada differentsiallanuvchi deyiladi va ifoda

z = f(x; y) funktsiyaning M0 nuqtadagi to'liq differentsiali deyiladi.

1.1 teorema. Agar M0 nuqtada z =f(x;y) differensiallansa, u holda

Isbot

(1.16) da Dx, Dy ixtiyoriy cheksiz kichik bo'lgani uchun Dy =0, Dx≠0, Dx 0 ni olishimiz mumkin, keyin

shundan keyin u (1.16) dan kelib chiqadi.

Xuddi shunday, bu ham isbotlangan

va teorema 1.1. isbotlangan.

Izoh: M0 nuqtadagi z = f(x, y) ning differentsialligi qisman hosilalarning mavjudligini bildiradi. Buning aksi to'g'ri emas (M0 nuqtada qisman hosilalarning mavjudligi M0 nuqtada differentsiallikni anglatmaydi).

Natijada 1.1 teoremani hisobga olgan holda (1.18) formula quyidagi shaklni oladi:

Natija. M0 nuqtadagi differentsiallanuvchi funktsiya bu nuqtada uzluksizdir (chunki (1.17) Dx 0, Dy 0 uchun: Dz 0, z(M) z(M0) ekanligini bildiradi).

Eslatma: Xuddi shunday, uch yoki undan ortiq o'zgaruvchilar uchun. (1.17) ifoda quyidagi shaklda bo'ladi:

Foydalanish geometrik ma'no(1.3-rasm) qisman hosilalari va sirtga teguvchi p kass tekisligining quyidagi tenglamasini (1.24) olishingiz mumkin: z = f (x, y) nuqtada C0 (x0, y0, z0), z0 = z. (M):

(1.24) va (1.21) ni taqqoslab, biz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining to'liq differentsialining geometrik ma'nosini olamiz:

C nuqtaning teginish tekisligi bo'ylab C0 nuqtadan nuqtaga siljishida ilovaning z ortishi.

qayerdan (1.24).

Oddiy Ln ning sirtga tenglamasi: C0 nuqtasida z \u003d f (x, y) tangens tekislikka perpendikulyar C0 orqali o'tadigan to'g'ri chiziq tenglamasi sifatida olinadi:

No 19 Yo'nalish bo'yicha hosila. Gradient

Funktsiyaga ruxsat bering va nuqta . Yo'nalish kosinuslari bo'lgan nuqtadan vektor chizamiz . Vektorda, uning kelib chiqishidan uzoqda, nuqtani ko'rib chiqing, ya'ni. .

Funktsiya deb faraz qilamiz va uning birinchi tartibli qisman hosilalari sohada uzluksizdir.

at munosabatining chegarasi funksiyaning hosilasi deyiladi nuqtada vektor yo'nalishi bo'yicha va bilan belgilanadi, ya'ni. .

Funktsiyaning hosilasini topish ichida berilgan nuqta vektor yo'nalishi bo'yicha formuladan foydalaning:

qayerda vektorning yo'nalish kosinuslari , ular formulalar bo'yicha hisoblanadi:
.

Funktsiyaga ruxsat bering .

Koordinata o'qlaridagi proyeksiyalari ushbu funktsiyaning tegishli nuqtadagi qisman hosilalarining qiymatlari bo'lgan vektor funktsiyaning gradienti deb ataladi. va ifodalanadi yoki ("nabla u" ni o'qing): .

Bunday holda, biz domenda gradientlarning vektor maydoni aniqlanganligini aytamiz.

Funksiyaning gradientini topish uchun ma'lum bir nuqtada formuladan foydalaning: .

22-son asosiy xususiyatlar emas aniq integral

Noaniq integral

bu yerda F f funksiyaning anti hosilasi (interval bo'yicha); C ixtiyoriy doimiydir.

Asosiy xususiyatlar

1.

2.

3. Agar keyin

24)

25)

28)

Bu usul integral heterojen funksiyalarning mahsuloti yoki koeffitsienti bo'lgan hollarda qo'llaniladi. Bunda V'(x) oson integrallanuvchi qism sifatida qabul qilinadi.

29)

32) Ratsional kasrni oddiy kasrlarga ajratish.

Har bir to'g'ri ratsional kasr
birinchi - to'rtinchi turdagi oddiy ratsional kasrlarning cheklangan soni yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin. Parchalanish uchun
maxrajni oddiy kasrlarga ajratish kerak Q m (x) chiziqli va kvadrat omillar, buning uchun siz tenglamani echishingiz kerak:

- (5)

Teorema.To'g'ri ratsional kasr
, qayerda
, mumkin yagona yo'l oddiy kasrlar yig'indisiga ajrating:

- (6)

(A 1 , A 2 , …, A k , B 1 , B 2 , …, B 1 , M 1 , N 1 , M 2 , M 2 , …, M s , N s baʼzi haqiqiy sonlar).

33) To'g'ri kasrni maxrajning murakkab ildizlari bo'lgan oddiy kasrlarga ajratish

Muammoni shakllantirish. Noaniq integralni toping

1 . Keling, belgi bilan tanishamiz:

Numerator va maxrajning kuchlarini solishtiring.

Agar integral noto'g'ri ratsional kasr bo'lsa, ya'ni. numerator darajasin maxraj kuchidan katta yoki tengm , keyin biz birinchi navbatda ratsional funktsiyaning butun qismini ajratgichni maxrajga bo'lish orqali tanlaymiz:

Bu erda ko'phad ga va darajaga bo'linishning qolgan qismidirpk(x) kamroq darajaQm

2 . To'g'ri ratsional kasrni kengaytirish

elementar kasrlarga.

Agar uning maxraji tub bo'lsa murakkab ildizlar bular.

keyin parchalanish shaklga ega bo'ladi

3 . Noaniq koeffitsientlarni hisoblash uchun,A1,A2,A3...B1,B1,B3... biz identifikatsiyaning o'ng tomonidagi kasrni umumiy maxrajga kamaytiramiz, shundan so'ng biz bir xil kuchlarda koeffitsientlarni tenglashtiramiz.X chap va o'ngdagi numeratorlarda. Keling, tizimni olamiz 2 S bilan tenglamalar 2 S noma'lum, o'ziga xos yechimga ega.

4 Shaklning elementar kasrlarini birlashtiramiz

47) Agar integral yig‘indining chekli I chegarasi l → 0 bo‘lsa va u l i nuqtalarning tanlanish usuliga, segmentning qanday bo‘linishiga bog‘liq bo‘lmasa, u holda bu chegara f funksiyaning aniq integrali deyiladi. (x) segment ustida va quyidagicha belgilanadi:

Bunda f (x) funksiya ga integrallanuvchi deyiladi. a va b raqamlari mos ravishda integratsiyaning pastki va yuqori chegaralari deb ataladi, f (x) - integrand, x - integrasiya o'zgaruvchisi. Shuni ta'kidlash kerakki, aniq integralning integral o'zgaruvchisini qaysi harf bilan bildirishi muhim emas.

chunki bunday turdagi yozuvni o'zgartirish integral yig'indining harakatiga hech qanday ta'sir ko'rsatmaydi. Belgilar va terminologiyadagi o'xshashliklarga qaramay, ma'lum va noaniq integrallar boshqacha

48) Aniq integral mavjudligi haqidagi teorema

Kesimni x1,x2,x3... nuqtalar orqali qismlarga ajratamiz, shunday qilib

deltaX bilan i-chi bo‘lakning uzunligini va shu uzunliklarning maksimali bilan belgilang.

Keling, har bir segmentda o'zboshimchalik bilan biron bir nuqtani tanlaylik (u "o'rta nuqta" deb ataladi) va tuzamiz.

miqdor, bu integral yig'indi deb ataladi

Keling, chegarani topaylik

Ta'rif. Agar u mavjud bo'lsa va unga bog'liq bo'lmasa

a) segmentni qismlarga va dan ajratish usuli

b) tanlash usuli o'rta nuqta,

f(x) funksiyaning segment ustidagi aniq integralidir.

Bu holda f(x) funksiya oraliqda integrallanuvchi deyiladi. a va b qiymatlari mos ravishda integratsiyaning pastki va yuqori chegaralari deb ataladi.

50) Aniq integralning asosiy xossalari

1) Agar integrallash oralig’i cheklangan sonli qisman intervallarga bo’lingan bo’lsa, u holda oraliqda olingan aniq integral uning barcha qisman oraliqlarida olingan aniq integrallar yig’indisiga teng bo’ladi.

2) o'rtacha qiymat teoremasi.

y = f(x) funksiya ,m=min f(x) va M=max f(x) segmentida integrallansin, u holda shunday son mavjud.

Natija.

Agar y = f(x) funksiya segmentida uzluksiz bo'lsa, unda shunday son mavjud.

3) Integrallash chegaralari qayta tartiblanganda, aniq integral o'z belgisini teskari tomonga o'zgartiradi.

4) Integrallash chegaralari bir xil bo’lgan aniq integral nolga teng.

5) Funksiya moduli integratsiyasi

Agar f(x) funksiya integrallansa, uning moduli ham intervalda integrallanadi.

6) Tengsizlik integratsiyasi

Agar f(x) va q(x) intervalda integrallansa va x ga tegishli bo'lsa

keyin

7) Chiziqlilik

Doimiy omilni aniq integral belgisidan chiqarish mumkin

agar f(x) mavjud bo'lsa va oraliqda integrallansa, A=const

Agar y=f(x) funksiya oraliqda uzluksiz bo‘lsa va F(x) uning (F’(x)=f(x)) ga qarshi hosilalari bo‘lsa, formula

ning integralini hisoblaylik uzluksiz funksiya x=a(t) almashtirish amalga oshiriladi.

1) x=a(t) funksiya va uning hosilasi x’=a’(t) ga tegishli t uchun uzluksizdir.

2) t ga tegishli x=a(t) funksiya qiymatlari to‘plami segmentdir

3) A a(c)=a va a(v)=b

f(x) funksiya intervalda uzluksiz va x=b da cheksiz uzilishga ega bo'lsin. Agar chegara mavjud bo'lsa, u ikkinchi turdagi noto'g'ri integral deb ataladi va bilan belgilanadi.

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra,

Agar o'ng tomonda chegara mavjud bo'lsa, unda noto'g'ri integral birlashadi. Agar ko'rsatilgan chegara mavjud bo'lmasa yoki cheksiz bo'lsa, u holda integral deyiladi farqlanadi.

Ta'rif 1. Agar skayarning ruxsat etilgan qiymatlar oralig'idagi har bir qiymati r vektorining ma'lum bir qiymatiga to'g'ri kelsa, r vektori skalyar argumentning vektor funksiyasi deb ataladi.Buni quyidagicha yozamiz: Agar vektor r skalyar argumentning t funksiyasi, u holda r vektorning x, y, z koordinatalari ham t argumentining funksiyalari: Skayar argumentning vektor funksiyasi. Godografiya. Skayar argument vektor funksiyasining chegarasi va uzluksizligi Aksincha, agar r vektorning koordinatalari t% funksiya bo‘lsa, u holda r vektorning o‘zi ham t ning funksiyasi bo‘ladi: Shunday qilib, r(f) vektor funksiyasini belgilash y(t), z(t) uchta skalyar funksiyani belgilashga teng. Ta’rif 2. Skayar argumentning r(t) vektor-funksiyasining godografi skalyar t o‘zgarganda, r(f) vektorning boshi r(*) vektorning oxirini tavsiflovchi nuqtalar lokusudir. fazoda qo'zg'almas O nuqtaga joylashtiriladi (I-rasm). r = r(*) radius vektorining godografi harakatlanadi Tegishli nuqtaning 1-bandi ushbu nuqtaning traektoriyasi L bo'ladi. Bu nuqtaning v = v(J) tezligining godografi boshqa L\ chiziq bo'ladi (2-rasm). Demak, agar moddiy nuqta aylana bo'ylab doimiy tezlik bilan |v| harakat qilsa = const, u holda uning tezlik godografi ham markazi 0\ nuqtada joylashgan va radiusi |v| ga teng bo'lgan doiradir. 1-misol. r = ti + t\ + t\ vektorining godografini tuzing. Yechim. 1. Bu konstruksiyani nuqtama-nuqta bajarish, jadval tuzish mumkin: 3-rasm 2i Buni ham qilishingiz mumkin. V vektorning koordinatalarini x, y, z bilan belgilab, biz Hc ga ega bo'lamiz Va bu tenglamalardan kalit 1Y parametr, biz y - z = x1 sirtlarning tenglamalarini olamiz, ularning kesishish chizig'i L bo'ladi. r() vektorining godografini aniqlang (3-rasm). D> Mustaqil qaror qabul qilish uchun topshiriqlar. Vektorlarning godograflarini tuzing: r = skalar argument t vektor funksiyasi t argumentining qiymatining ba'zi bir qo'shnisida aniqlansin, ehtimol 1 kengaytma qiymatidan tashqari. A doimiy vektori vektorning chegarasi deyiladi. r(t) da, agar har qanday e > 0 uchun b > 0 mavjud bo‘lsa, shunday bo‘ladiki, hamma t ph uchun 11-shartni qanoatlantiradigan bo‘lsa - tengsizlik qanoatlantiriladi. yo'nalishda (4-rasm). ta'rif 2. a(t) vektor t -» ga cheksiz kichik deyiladi, agar a(t) ning t -* gacha chegarasi bo'lsa va bu chegara nolga teng bo'lsa: Skayar argumentning vektor funksiyasi. Godografiya. Skayar argumentning vektor funksiyasining chegarasi va uzluksizligi yoki bir xil bo'lgan har qanday e uchun 6 > 0 mavjud bo'lib, shartni qondirish uchun hamma t F uchun |a(t)| misol 1. t -* 0 uchun vektor cheksiz qizil vektor ekanligini ko'rsating. Bizda aniq ko'rinib turibdiki, agar har qanday e 0 uchun biz 6 = ~ ni olamiz, u holda -0| da belgilaymiz |. Ta'rifga ko'ra, bu a(t) t 0 kabi cheksiz qizil vektor ekanligini bildiradi. r ni mustaqil yechish uchun 1> masalalar.Vektor modulining chegarasi uning chegarasi moduliga teng ekanligini ko'rsating, agar oxirgi chegara mavjud. . r(*) vektor funksiyasining to uchun chegarasi A bo‘lishi uchun r( t ko‘rinishda ifodalanishi mumkin) t -* t0 uchun cheksiz vektor bo‘lishi zarur va yetarli ekanligini isbotlang 14. Vektor funksiyasi. a + b(*) t = t0 uchun uzluksiz Bundan a(t) va b(J) vektorlar t - dan 15 gacha ham uzluksiz ekanligini isbotlang. Agar a( uzluksiz vektor funksiyalar bo'lsa, u holda ularning skalyar mahsulot(a(*), b(f)) va vektor mahsuloti|a(f),b(t)] ham uzluksizdir.

va uning farqlanishi.

Bo'shliq egri chizig'ini aniqlashning eng oddiy usullaridan biri vektor tenglamasini aniqlashdir:

qayerda egri chiziq nuqtasining radius vektori va - nuqta o'rnini belgilovchi parametr.

Bu. o'zgaruvchan vektor skalyar funksiya hisoblanadi . Matematik analizda bunday funksiyalar skalyar argumentning vektor funksiyalari deyiladi.

parchalanish vektorlar bo'yicha (1) tenglama quyidagi ko'rinishda berilishi mumkin:

Ushbu parchalanish egri chiziqning parametrik tenglamasiga o'tish imkonini beradi:

Boshqacha qilib aytganda, vektor funksiyani ko'rsatish uchta skalyar funksiyani ko'rsatishga teng.

Berilgan egri chiziqni aniqlovchi vektor funksiyasiga (1) nisbatan egri chiziqning o‘zi bu funksiyaning godografi deyiladi. Koordinatalarning kelib chiqishi bu holda godograf qutbi deb ataladi.

Keling
Va
- (1) tenglama bilan aniqlangan egri chiziqning nuqtalari. Va
, lekin
Bu nuqtalarning radius vektorlari bo'ladi

Va
.

Vektor
vektor funksiyaning o'sishi deyiladi
o'sishga mos keladi
uning argumenti va bilan belgilanadi
,

vektor funktsiyasi
uzluksiz funksiya bo‘ladi , agar

.

ning hosilasini topish
Keling, buni shunday qilaylik -

.

Yo'nalishni hozir belgilang
. Bu aniq bilan mos keladi
va da
bilan bir xil yo'nalishda yo'naltirilgan
va da
- qarama-qarshi yo'nalishda. Lekin birinchi holatda
va ikkinchisida
Bu. vektor har doim godografning sekant bo'ylab yo'naltirilgan
yuqoriga .

Agar biz kengaytirishdan foydalansak Va orts tomonidan, keyin

Bu yerdan (*) ga bo'linadi
va chegaraga boradi
uchun
olamiz

(4) ga asoslanib, quyidagi formulalar haqiqiy ekanligini ko'rsatish mumkin:

(5)

(6)

skalyar funksiya hisoblanadi.

Isbot (7).

Endi biz ba'zi xususiyatlarni ko'rib chiqamiz
. Avvalo, uning modulini topamiz:

.

Chunki u holda godograf yoyni to'g'rilanadigan deb hisoblaymiz
akkord uzunligi, va
- yoy uzunligi. Shunung uchun

Bu. skaler argumentning vektor funksiyasi hosilasi moduli xuddi shu argumentga nisbatan godograf yoyi hosilasiga teng.

Xulosa 1. Agar - o'sish yo'nalishi bo'yicha godografga tangensial yo'naltirilgan birlik vektor , keyin

Xulosa 2. Agar vektor funksiyaning argumenti sifatida godograf yoyi uzunligi qabul qilinsa. , keyin

(chunki
)

Bu. godograf yoyi uzunligi bo'yicha vektor funksiyaning hosilasi yoy uzunligini oshirish yo'nalishiga yo'naltirilgan hodografik tangensning birlik vektoriga teng.

Xulosa 3. Agar vektor funksiyaning godografi nuqtaning traektoriyasi sifatida qaralsa va - harakat vaqti sifatida, ba'zilaridan hisoblangan , keyin
kattaligi va yo'nalishi bo'yicha tezlik vektoriga to'g'ri keladi
.

Darhaqiqat, tezlikning skalyar qiymati vaqtga nisbatan yo'lning hosilasiga teng:

Bundan tashqari, vektor o'sish yo'nalishiga mos keladigan harakat yo'nalishi bo'yicha traektoriyaga tangensial yo'naltirilgan , ya'ni. yo'nalishiga mos keladi .

Bu.
.

Endi o'ylab ko'ring
uzunligi doimiy bo'lgan,
, ya'ni.

(*)
qayerda

Farqlash (*), biz quyidagilarni topamiz:

Bular.

Xususan, birlik yo'nalishi bo'yicha har qanday o'zgaruvchining olingan vektori har doim
.

Keling
nuqtalarga chizilgan birlik sharining radiuslari orasidagi burchak
Va
godograf
. Keyin akkord uzunligi
uchburchakdan
ga teng bo'ladi

Birlik o'zgaruvchan vektorning hosilasi moduli bu vektorning aylanish burchak tezligiga teng.

Skayar funksiyalarga kelsak, vektor funksiyaning differensialligi quyidagicha yoziladi

Ammo shunga qaramay

Fazoviy egri chiziqning egriligi.

Hamrohlik qiluvchi uchburchak.

Xulosa 2 ga ko'ra, uchun formulani yozishingiz mumkin:

Yo'nalishni o'zgartirish , fazoviy egri chiziqqa tangensning o'zgarishi bilan bog'liq, egri chiziqning egriligini tavsiflaydi. Fazoviy egri chiziqning egrilik o'lchovi uchun, xuddi tekis uchun, ular qo'shnilik burchagining yoy uzunligiga nisbati chegarasini oladi, qachonki

egrilik,
qo'shnilik burchagi,
yoy uzunligi.

Boshqa tomondan,
birlik vektor va uning hosilaviy vektori unga perpendikulyar va uning moduli
farqlash yoqilgan va tanishtirish
yo'nalishi bilan birlik vektor , topamiz:

Vektor
fazoviy egri chiziqning egrilik vektori. Uning tangens yo'nalishiga perpendikulyar yo'nalishi fazo egri chizig'ining normal yo'nalishidir. Ammo fazoviy egri chiziq istalgan nuqtada son-sanoqsiz normalar to‘plamiga ega bo‘lib, ularning barchasi egri chiziqning berilgan nuqtasidan o‘tuvchi va berilgan nuqtadagi tangensga perpendikulyar bo‘lgan tekislikda yotadi. Bu tekislik fazoviy egri chiziqning normal tekisligi deyiladi.

Ta'rif. Egri chiziqning egrilik vektori berilgan nuqtaga yo'naltirilgan egri chiziqning normali fazoviy egri chiziqning asosiy normasi hisoblanadi. Bu.
asosiy normalning birlik vektori.

Endi uchinchi birlik vektorini tuzamiz vektor mahsulotiga teng Va

Vektor , kabi ham perpendikulyar bular. normal tekislikda yotadi. Uning yo'nalishi berilgan nuqtadagi fazo egri chizig'ining binormal yo'nalishi deb ataladi. Vektor
Va o'zaro perpendikulyar birlik vektorlarining uch karrasini tashkil qiladi, ularning yo'nalishi nuqtaning fazoviy egri chiziqdagi holatiga bog'liq va nuqtadan nuqtaga o'zgaradi. Bu vektorlar deb atalmish hosil qiladi. fazoviy egri chiziqqa hamroh bo'lgan uchburchak (Frenet triedri). Vektor
Va birlik vektorlari kabi to'g'ri uchlikni hosil qiladi
to'g'ri koordinatalar tizimida.

Juftlikda olingan
egri chiziqning bir xil nuqtasidan o'tuvchi uchta tekislikni aniqlang va unga hamroh bo'lgan uchburchakning yuzlarini hosil qiling. Qayerda Va kontakt tekisligini aniqlang (b.m. egri chiziqning berilgan nuqtaga yaqin yoyi - tutash tekislikdagi tekis egri chiziqning yoyi, yuqori tartibli b.m gacha);

Va - tekislash tekisligi;

Va oddiy tekislikdir.

Tangens, normal va binormal tenglamalar.

Hamrohlik qiluvchi uchburchak tekisliklarining tenglamalari.

Bilish
Va , yoki har qanday birlik bo'lmagan vektorlar ularga to'g'ri keladi T, N Va B biz ushbu bo'limda nomlangan tenglamalarni olamiz.

Buning uchun in kanonik tenglama Streyt

va berilgan nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasida

qabul qilmoq; yutib olmoq
egri chiziqda tanlangan nuqtaning koordinatalari
yoki mos ravishda uchun
vektorlarning koordinatalarini qabul qiling
yoki
, bu kerakli chiziqning yo'nalishini yoki kerakli tekislikka normalni belgilaydi:

yoki - tangens yoki oddiy tekislik uchun,

yoki - asosiy normal va to'g'rilash tekisligi uchun;

yoki - binormal va tutash tekislik uchun.

Agar egri chiziq vektor tenglama bilan berilgan bo'lsa
yoki
keyin vektor uchun
tangens yo'nalishini olish mumkin

Topish uchun
Va avval kengaytmani topamiz
vektorlar bo'yicha
Ilgari (xulosa 1) biz buni topdik
ga nisbatan farqlash , biz olamiz:

Lekin, chunki

Endi vektorni ko'paytiring Va

(*)

Har bir vektor uchun (*) asosida binormalning yo'nalishi bo'lgan , biz vektorni olishimiz mumkin

Ammo keyin, uchun
ikkinchisining vektor mahsulotini olishingiz mumkin:

Bu. ixtiyoriy egri chiziqning istalgan nuqtasida biz hamrohlik qiluvchi uchburchakning barcha elementlarini aniqlashimiz mumkin.

Misol. Istalgan nuqtada o'ng spiralning tangens, normal va binormal tenglamasi.

Tangent

asosiy normal

Binormal

Depozit fayllaridan yuklab oling

DIFFERENTSIAL Geometriya

I. SKALAR ARGUMENTNING VEKTOR FUNKSIYASI

Vektor-funksiya (1.1 ta'rif), uni aniqlash usullari.

Radius vektor va godograf, godografning parametrik ta'rifi.

Vektor funksiyaning hosilasi (1.6 ta'rif).

Vektor funksiya hosilasining geometrik ma'nosi.

Vektor funksiyalarni differensiallash qoidalari.

1.1. VEKTOR FUNKSIYALARNING TA’RIFI

Ta'rif 1.1Agar skaler argumentning har bir qiymatitekislangan vektor
uch o'lchovli fazo R3 , u holda skaler argumentning vektor funksiyasi (yoki vektor funksiyasi) X to‘plamda berilganligini aytamiz.t .

Agar kosmosda bo'lsa R3 berilgan kartezian tizimi koordinatalarHAQIDA xyz , keyin vazifa vektor - funktsiyalar
,
uchta skalyar funksiyani belgilashga tengX( t ), y ( t ), z ( t ) - vektorning koordinatalari:

= { x ( t ), y ( t ), z ( t )} (1.1)

yoki , (1.2)

qayerda
koordinata vektorlaridir.

1.2. RADIUS-VEKTORNING HODOGRAFI SOTIYDIGAN FAZON CHIZIQ

Ta'rif 1.2 Agar barcha vektorlarning boshlanishi,koordinata boshiga joylashtirilsa, ular radius vektorlari deyiladi.

Ta'rif 1.3 , radius vektorlari uchlari joylashuvi bo'lgan chiziq vektor funktsiyaning godografi, ularning umumiy boshlanishi godograf qutbi deb ataladi.

Agar parametr t vaqt, va harakatlanuvchi nuqtaning radius vektori, u holda funksiyaning godografi harakatlanuvchi nuqtaning traektoriyasidir.

Godograf tenglama vektor (1.2) yoki parametrik shaklda yozilishi mumkin:

(1.3)

Xususan, vektor funktsiyasi bo'lsaargumentning o'zgarishi bilan faqat uning moduli o'zgaradi va yo'nalish o'zgarmaydi (), u holda bunday vektor funktsiyasining godografi koordinatadan kelib chiqadigan to'g'ri chiziqli nur bo'ladi; faqat vektorning yo'nalishi o'zgarsa va moduli o'zgarishsiz qolsa (
), u holda vektor funksiyasining godografi markazi qutbda va radiusi vektorning doimiy moduliga teng bo'lgan sharda joylashgan egri chiziq bo'ladi.

1-rasm.

1.3. VEKTOR-FUNKSIYANING CHEKORI, UZOLIYLIGI VA Hosilasi

Ta'rif 1. 4 Vektor vektor funksiyaning chegarasi deyiladida
, agar

. (1.4)

Ta'rif 1.5 Vektor funksiyasi deyiladi bir nuqtada uzluksizt 0, agar u bu nuqtada vektor funksiyasining qiymatiga teng chegaraga ega bo'lsa:

. (1.5)

Ta'rif 1.6Hosila vektor funksiyasi nuqtada t vektor funksiya o'sishning argument o'sishiga nisbati chegarasi deyiladi
da
:

(1.6)

1.4. BIRINCHI HOSULAV VEKTOR-FUNKSIYANING GEOMETRIK VA MEXANIK MA'NOSI.

Skayar argumentning vektor funksiyasining birinchi hosilasining geometrik ma'nosi shundaki, bu hosila godografga tangensial yo'naltirilgan yangi vektordir:
. Keling, ko'rsataylik.

2-rasm

Ko'rib chiqilayotgan vektor funktsiyaning godografi uning istalgan nuqtasida tangensga ega bo'lgan uzluksiz chiziq deb faraz qilamiz.

Keling, bir dalil keltiraylik t o'sish, keyin geometrik nisbat
qandaydir vektor hisoblanadi
MM sekantida yotgan. Bu vektor bilan aylanadi va vektorga aylanadi
, tangens ustida yotgan va o'sish yo'nalishiga yo'naltirilgant . Shunday qilib vektor

(1.7)

tangensning parametrni oshirish yo'nalishiga yo'naltirilgan birlik vektori bo'ladit .

Shuning uchun vektor
nuqtadagi egri chiziqqa tangensning yo'nalish vektori sifatida qabul qilinishi mumkin ), (yoki
) va tangens tenglamani quyidagicha yozing:

(1.8)

Agar t – vaqt, va nuqtaning radius vektoridir
ichiga o'tish uch o'lchovli fazo, keyin taxminanmunosabat deyiladi o'rtacha tezlik segmentdagi nuqtalar [t; t+t].

mexanik sezgivektor funksiyaning birinchi hosilasi shuki, bu hosila M nuqtaning momentdagi tezligidirt :

Vektor funksiyalarni differensiallash qoidalari

1-qoidani vektorlarni ayirish va vektorni songa bo'lish qoidalaridan foydalanib isbotlaymiz:

Qolgan qoidalarning isboti 1-qoidaga va vektorlar bilan ishlash qoidalariga asoslanadi.

1.1-misol: vektor funksiya berilgan.Uning godografini tuzing va ixtiyoriy nuqtada tangens tenglamasini tuzing.

Yechim. Har qanday nuqta uchun ( x , y , z ) godograf vektor - bizda mavjud funktsiyalar:x = xarajat ; y = asint ; z = bt va shuning uchun har qanday uchun
tenglikx 2 + y 2 = a 2 , va generatrix o'qga parallel Oz. Agar parametr t vaqt sifatida talqin qilinadi, so'ngra radius vektorining uchining tekislikka proyeksiyasi aylanasi bo'ylab bir tekis harakat bilan.Oksi uning o'qga proyeksiyasiOz tezlikda bir tekis va to'g'ri chiziqda harakatlanadib . Boshqacha qilib aytganda, vektor funksiyasining godograf nuqtasining ilovasi uning proyeksiyasining tekislikka burilish burchagiga mutanosib ravishda o'sadi.Oksi . Shuning uchun kerakli godograf 3-rasmda ko'rsatilgan shaklga ega bo'ladi va u spiral deyiladi. Godografning (spiral) tangenslarini topish uchun vektor funksiyaning hosilasini topamiz.

Yechim. Shu darajada, keyin va