Ellipsning kanonik tenglamasi shaklga ega

bu erda a - yarim katta o'q; b - kichik yarim o'q. F1(c,0) va F2(-c,0) − c nuqtalari deyiladi

a, b - ellipsning yarim o'qlari.

Agar kanonik tenglamasi ma'lum bo'lsa, ellipsning fokuslarini, ekssentrisitetini, direktrissini topish.

Giperbolaning ta'rifi. Giperbola o'choqlari.

Ta'rif. Giperbola - tekislikdagi nuqtalar to'plami bo'lib, ular uchun fokuslar deb ataladigan ikkita berilgan nuqtadan masofalar farqining moduli o'zgarmas qiymat, fokuslar orasidagi masofadan kichikdir.

Ta'rifi bo'yicha |r1 – r2|= 2a. F1, F2 - giperbolaning o'choqlari. F1F2 = 2c.

Giperbolaning kanonik tenglamasi. Giperbolaning yarim akslari. Agar uning kanonik tenglamasi ma'lum bo'lsa, giperbolaning qurilishi.

Kanonik tenglama:

Giperbolaning yarim katta o'qi giperbolaning ikki shoxlari orasidagi minimal masofaning yarmini tashkil etadi, o'qning ijobiy va salbiy tomonlarida (boshiga nisbatan chap va o'ng). Ijobiy tomonda joylashgan filial uchun yarim o'q quyidagilarga teng bo'ladi:

Agar uni konus kesimi va ekssentrisitet bilan ifodalasak, ifoda quyidagi shaklni oladi:

Agar giperbolaning kanonik tenglamasi ma'lum bo'lsa, uning fokuslarini, ekssentrisitetini, direktrissini topish.

Giperbolaning ekssentrikligi

Ta'rif. Bu nisbat giperbolaning ekssentrikligi deyiladi, bu erda c -

fokuslar orasidagi masofaning yarmi va haqiqiy yarim o'qdir.

c2 - a2 = b2 ekanligini hisobga olgan holda:

Agar a \u003d b, e \u003d bo'lsa, giperbola teng tomonli (teng qirrali) deb ataladi.

Giperbolaning direktrikslari

Ta'rif. Giperbolaning haqiqiy o'qiga perpendikulyar bo'lgan va markazdan a/e masofada simmetrik joylashgan ikkita chiziq giperbolaning direktrikslari deyiladi. Ularning tenglamalari:

Teorema. Agar r giperbolaning ixtiyoriy M nuqtasidan qaysidir fokusgacha bo'lgan masofa bo'lsa, d - bir xil nuqtadan shu fokusga mos keladigan direktrisagacha bo'lgan masofa, u holda r/d nisbati ekssentrisitetga teng doimiy qiymatdir.

Parabolaning ta'rifi. Parabolaning fokussi va direktrisasi.

Parabola. Parabola - bu har biri ma'lum bir qo'zg'almas nuqtadan va ma'lum bir qo'zg'almas chiziqdan bir xil masofada joylashgan nuqtalarning joylashuvi. Ta'rifda ko'rsatilgan nuqta parabolaning fokusi, to'g'ri chiziq esa uning direktrisasi deb ataladi.

Parabolaning kanonik tenglamasi. parabola parametri. Parabolaning qurilishi.

To'rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi parabolaning kanonik tenglamasi: (yoki o'qlar teskari bo'lsa).

p parametrining berilgan qiymati uchun parabola qurish quyidagi ketma-ketlikda amalga oshiriladi:

Parabolaning simmetriya o'qini chizib, uning ustiga KF=p segmentini yotqiz;

Direktrix DD1 simmetriya o'qiga perpendikulyar K nuqta orqali o'tkaziladi;

Parabolaning 0 cho'qqisini olish uchun KF segmenti yarmiga bo'linadi;

Bir qator ixtiyoriy nuqtalar 1, 2, 3, 5, 6 ular orasidagi asta-sekin ortib borayotgan masofa bilan yuqoridan o'lchanadi;

Bu nuqtalar orqali parabola o'qiga perpendikulyar yordamchi chiziqlar o'tkaziladi;

Yordamchi to'g'ri chiziqlarda seriflar to'g'ri chiziqdan direktrisagacha bo'lgan masofaga teng radius bilan amalga oshiriladi;

Olingan nuqtalar silliq egri chiziq bilan bog'langan.

ball F 1 (–c, 0) va F 2 (c, 0), bu erda chaqiriladi ellips fokuslari , qiymati esa 2 c belgilaydi interfokal masofa .

ball LEKIN 1 (–lekin, 0), LEKIN 2 (lekin, 0), IN 1 (0, –b), B 2 (0, b) deyiladi ellipsning uchlari (9.2-rasm), esa LEKIN 1 LEKIN 2 = 2lekin ellipsning katta o'qini hosil qiladi va IN 1 IN 2 - kichik, - ellipsning markazi.

Ellipsning shaklini tavsiflovchi asosiy parametrlari:

ε = dan/a – ellips ekssentrikligi ;

– ellipsning fokus radiuslari (nuqta M ellipsga tegishli) va r 1 = a + ex, r 2 = a – ex;

– ellips direktrisi .

Bu ellips uchun to'g'ri: direktrixlar ellipsning chegarasi va ichki qismini kesib o'tmaydi, shuningdek, xususiyatga ega.

Ellipsning ekssentrikligi uning "siqilish" o'lchovini ifodalaydi.

Agar b > a> 0, u holda ellips (9.7) tenglama bilan beriladi, buning uchun shart (9.8) o'rniga shart.

Keyin 2 lekin- kichik o'q, 2 b- asosiy o'q, - fokuslar (9.3-rasm). Qayerda r 1 + r 2 = 2b,
ε = c/b, direktrisalar tenglamalar bilan aniqlanadi:

Shartda bizda (ellipsning maxsus holati ko'rinishida) radiusli doira mavjud R = a. Qayerda dan= 0, ya'ni ε = 0.

Ellipsning nuqtalari bor xarakterli xususiyat : ularning har biridan fokuslargacha bo'lgan masofalar yig'indisi 2 ga teng doimiy qiymatdir lekin(9.2-rasm).

Uchun ellipsning parametrik ta'rifi (9.8) va (9.9) shartlar bajarilgan hollarda (formula (9.7)) parametr sifatida t ellipsda yotgan nuqtaning radius vektori bilan o'qning musbat yo'nalishi orasidagi burchak qiymatini olish mumkin. ho'kiz:

Agar yarim o'qli ellipsning markazi bir nuqtada bo'lsa, uning tenglamasi:

1-misol Ellips tenglamasini keltiring x 2 + 4y 2 = 16 kanonik shaklga va uning parametrlarini aniqlang. Ellips chizish.

Yechim. Tenglamani ajrating x 2 + 4y 2 \u003d 16 dan 16 gacha, shundan so'ng biz quyidagilarni olamiz:

Olingan tenglama shakliga ko'ra, biz bu ellipsning kanonik tenglamasi degan xulosaga kelamiz (formula (9.7)), bu erda lekin= 4 - asosiy o'q, b= 2 - yarim kichik o'q. Demak, ellipsning uchlari nuqtalardir A 1 (–4, 0), A 2 (4, 0), B 1 (0, –2), B 2(0, 2). Fokuslararo masofaning yarmi bo'lgani uchun nuqtalar ellipsning o'choqlari hisoblanadi. Eksantriklikni hisoblaymiz:

Direktorlar D 1 , D 2 tenglamalar bilan tavsiflanadi:

Biz ellipsni tasvirlaymiz (9.4-rasm).

2-misol Ellips parametrlarini aniqlang

Yechim. Keling, taqqoslaylik berilgan tenglama siljigan markaziga ega ellipsning kanonik tenglamasi bilan. Ellipsning markazini topish FROM: Yarim katta o'q, yarim kichik o'q, to'g'ri - asosiy o'qlar. Interfokal uzunlikning yarmi, ya'ni fokuslar Directrixning eksantrikligi D 1 va D 2 ni tenglamalar yordamida tasvirlash mumkin: (9.5-rasm).

3-misol Qaysi egri chiziq tenglama bilan berilganligini aniqlang, uni chizing:

1) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0; 2) x 2 + y 2 + 4x – 2y + 6 = 0;

3) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0; 4) x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 17 = 0;

Yechim. 1) Biz binomialning to'liq kvadratini tanlab, tenglamani kanonik shaklga keltiramiz:

x 2 + y 2 + 4x – 2y + 4 = 0;

(x 2 + 4x) + (y 2 – 2y) + 4 = 0;

(x 2 + 4x + 4) – 4 + (y 2 – 2y + 1) – 1 + 4 = 0;

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Shunday qilib, tenglamani shaklga keltirish mumkin

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 1.

Bu markazi (-2, 1) va radiusi bo'lgan aylana tenglamasi R= 1 (9.6-rasm).

2) Biz tenglamaning chap tomonidagi binomiallarning to'liq kvadratlarini tanlaymiz va olamiz:

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 = –1.

Bu tenglama to'plamda mantiqiy emas haqiqiy raqamlar, chunki chap tomon o'zgaruvchilarning har qanday haqiqiy qiymatlari uchun manfiy emas x Va y, to'g'risi esa salbiy. Shuning uchun ular bu tenglamani "xayoliy aylana" deb aytishadi yoki u tekislikdagi bo'sh nuqtalar to'plamini belgilaydi.

3) To'liq kvadratlarni tanlang:

x 2 + 4y 2 – 2x + 16y + 1 = 0;

(x 2 – 2x + 1) – 1 + 4(y 2 + 4y + 4) – 16 + 1 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 – 16 = 0;

(x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 16.

Shunday qilib, tenglama quyidagicha ko'rinadi:

Olingan tenglama va demak, asl tenglama ellipsni aniqlaydi. Ellipsning markazi nuqtada HAQIDA 1 (1, -2), asosiy o'qlar tenglamalar bilan berilgan y = –2, x= 1 va asosiy yarim o'q lekin= 4, yarim kichik o'q b= 2 (9.7-rasm).

4) To'liq kvadratlarni tanlagandan so'ng, bizda:

(x – 1) 2 + 4(y+ 2) 2 – 17 + 17 = 0 yoki ( x – 1) 2 + 4(y + 2) 2 = 0.

Olingan tenglama tekislikning bitta nuqtasini koordinatalari (1, –2) bilan belgilaydi.

5) Tenglamani kanonik shaklga keltiramiz:

Shubhasiz, u ellipsni belgilaydi, uning markazi asosiy o'qlar katta yarim o'q kichik yarim o'q bo'lgan tenglamalar bilan berilgan nuqtada (9.8-rasm).

4-misol Markazi ellipsning oʻng fokusida joylashgan radiusi 2 boʻlgan aylanaga teguvchi tenglamani yozing. x 2 + 4y Y o'qi bilan kesishish nuqtasida 2 = 4.

Yechim. Ellips tenglamasini kanonik shaklga keltiramiz (9.7):

Demak, to'g'ri fokus - Demak, 2 radiusli doiraning kerakli tenglamasi shaklga ega (9.9-rasm):

Doira Y o'qini koordinatalari tenglamalar tizimidan aniqlangan nuqtalarda kesib o'tadi:

Biz olamiz:

Bu nuqta bo'lsin N(0; -1) va M(0; 1). Demak, ikkita tangens yasash, ularni belgilash mumkin T 1 va T 2. Ma'lum xususiyatga ko'ra, tangens aloqa nuqtasiga chizilgan radiusga perpendikulyar.

Keyin tangens tenglamasi bo'lsin T 1 shaklni oladi:

Shunday ham T 1: Bu tenglamaga teng

Ta'rif 7.1. Ikki qo'zg'almas F 1 va F 2 nuqtalarigacha bo'lgan masofalar yig'indisi berilgan doimiy bo'lgan tekislikdagi barcha nuqtalar to'plami deyiladi. ellips.

Ellipsning ta'rifi uning quyidagi usulini beradi geometrik qurilish. Biz tekislikda ikkita F 1 va F 2 nuqtalarni o'rnatamiz va manfiy bo'lmagan doimiy qiymatni 2a bilan belgilaymiz. F 1 va F 2 nuqtalari orasidagi masofa 2c ga teng bo'lsin. Tasavvur qiling-a, 2a uzunlikdagi cho'zilmaydigan ip F 1 va F 2 nuqtalarida, masalan, ikkita igna yordamida mahkamlangan. Bu faqat ≥ c uchun mumkinligi aniq. Ipni qalam bilan tortib, chiziq torting, bu ellips bo'ladi (7.1-rasm).

Shunday qilib, tasvirlangan to'plam bo'sh emas, agar a ≥ c bo'lsa. a = c bo'lsa, ellips F 1 va F 2 uchlari bo'lgan segmentdir va c = 0 bo'lganda, ya'ni. agar ellips ta'rifida ko'rsatilgan qo'zg'almas nuqtalar bir-biriga to'g'ri kelsa, u a radiusli doiradir. Ushbu buzuq holatlardan voz kechsak, biz, qoida tariqasida, a > c > 0 deb taxmin qilamiz.

Ellipsning 7.1 ta'rifidagi F 1 va F 2 sobit nuqtalari (7.1-rasmga qarang) deyiladi. ellips fokuslari, ular orasidagi masofa, 2c bilan belgilangan, - fokus uzunligi, va F 1 M va F 2 M segmentlari ellipsdagi ixtiyoriy M nuqtani uning fokuslari bilan bog'laydi, - fokus radiuslari.

Ellipsning shakli fokus masofasi bilan to'liq aniqlanadi |F 1 F 2 | = 2s va parametr a, va uning tekislikdagi holati - F 1 va F 2 nuqtalari juftligi bilan.

Ellipsning ta'rifidan kelib chiqadiki, u F 1 va F 2 fokuslaridan o'tuvchi to'g'ri chiziqqa, shuningdek F 1 F 2 segmentini yarmiga bo'luvchi va unga perpendikulyar bo'lgan to'g'ri chiziqqa nisbatan simmetrikdir (1-rasm). 7.2, a). Bu qatorlar deyiladi ellips o'qlari. Ularning kesishish nuqtasi O ellipsning simmetriya markazidir va u deyiladi ellipsning markazi, va ellipsning simmetriya o'qlari bilan kesishish nuqtalari (7.2, a-rasmdagi A, B, C va D nuqtalari) - ellipsning uchlari.

a raqami deyiladi ellipsning yarim katta o'qi, va b = √ (a 2 - c 2) - uning yarim kichik o'q. Ko'rinib turibdiki, c > 0 uchun katta yarim o'q a ellips markazidan ellips fokuslari bilan bir xil o'qda joylashgan cho'qqilarigacha bo'lgan masofaga teng (3-rasmdagi A va B cho'qqilari). 7.2, a) va kichik yarim o'q b markaz ellipsdan uning boshqa ikkita cho'qqigacha bo'lgan masofaga teng (7.2, a-rasmdagi C va D cho'qqilari).

Ellips tenglamasi. F 1 va F 2, asosiy o'q 2a nuqtalarida o'choqlari bo'lgan tekislikdagi bir nechta ellipsni ko'rib chiqing. 2c fokus uzunligi bo'lsin, 2c = |F 1 F 2 |

Biz tekislikda Oksi to'rtburchaklar koordinata tizimini tanlaymiz, shunda uning kelib chiqishi ellips markaziga to'g'ri keladi va fokuslar yoniq bo'ladi. abscissa(7.2-rasm, b). Ushbu koordinatalar tizimi deyiladi kanonik ko'rib chiqilayotgan ellips uchun va mos keladigan o'zgaruvchilar kanonik.

Tanlangan koordinatalar tizimida fokuslar F 1 (c; 0), F 2 (-c; 0) koordinatalariga ega. Nuqtalar orasidagi masofa formulasidan foydalanib |F 1 M| shartini yozamiz + |F 2 M| = 2a koordinatalarda:

√((x - c) 2 + y 2) + √((x + c) 2 + y 2) = 2a. (7.2)

Bu tenglama noqulay, chunki u ikkita kvadrat radikalni o'z ichiga oladi. Shunday qilib, keling, uni o'zgartiraylik. Biz (7.2) tenglamadagi ikkinchi radikalni o'ng tomonga o'tkazamiz va kvadratga aylantiramiz:

(x - c) 2 + y 2 = 4a 2 - 4a√((x + c) 2 + y 2) + (x + c) 2 + y 2 .

Qavslarni ochib, o'xshash shartlarni qisqartirgandan so'ng, biz olamiz

√((x + c) 2 + y 2) = a + ex

bu erda e = c/a. Ikkinchi radikalni ham olib tashlash uchun kvadratlashtirish amaliyotini takrorlaymiz: (x + c) 2 + y 2 = a 2 + 2eax + e 2 x 2 yoki kiritilgan parametr e qiymatini hisobga olgan holda, (a 2 - c 2) ) x 2 / a 2 + y 2 = a 2 - c 2. a 2 - c 2 = b 2 > 0 bo'lgani uchun

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, a > b > 0. (7.4)

(7.4) tenglama ellipsda yotgan barcha nuqtalarning koordinatalari bilan qanoatlantiriladi. Ammo bu tenglamani chiqarishda dastlabki tenglamaning (7.2) ekvivalent bo'lmagan o'zgarishlari qo'llanilgan - kvadrat radikallarni olib tashlaydigan ikkita kvadrat. Agar ikkala tomonda bir xil belgiga ega bo'lgan miqdorlar bo'lsa, tenglamaning kvadrati ekvivalent transformatsiya hisoblanadi, lekin biz buni o'zgartirishlarimizda tekshirmadik.

Quyidagilarni hisobga olsak, transformatsiyalarning ekvivalentligini tekshira olmaymiz. F 1 va F 2 nuqtalari juftligi, |F 1 F 2 | = 2c, tekislikda bu nuqtalarda o'choqlari bo'lgan ellipslar oilasini belgilaydi. F 1 F 2 segmentining nuqtalaridan tashqari tekislikning har bir nuqtasi ko'rsatilgan oilaning ba'zi ellipslariga tegishli. Bunday holda, ikkita ellips kesishmaydi, chunki fokus radiuslarining yig'indisi o'ziga xos ellipsni aniqlaydi. Shunday qilib, tasvirlangan kesishmalarsiz ellipslar oilasi F 1 F 2 segmentining nuqtalaridan tashqari butun tekislikni qamrab oladi. Koordinatalari a parametrining berilgan qiymati bilan (7.4) tenglamani qanoatlantiradigan nuqtalar to'plamini ko'rib chiqaylik. Ushbu to'plamni bir nechta ellipslar orasida taqsimlash mumkinmi? To'plamning ba'zi nuqtalari a yarim katta o'qi bo'lgan ellipsga tegishli. Bu to‘plamda yarim katta o‘qi a bo‘lgan ellipsda yotgan nuqta bo‘lsin. Keyin bu nuqtaning koordinatalari tenglamaga bo'ysunadi

bular. (7.4) va (7.5) tenglamalar umumiy yechimlarga ega. Biroq, tizimni tekshirish oson

ã ≠ a uchun yechimlari yo‘q. Buning uchun, masalan, x ni birinchi tenglamadan chiqarib tashlash kifoya:

bu transformatsiyalardan keyin tenglamaga olib keladi

ã ≠ a uchun yechim yo'q, chunki . Demak, (7.4) yarim katta o’qi a > 0 va kichik yarim o’qi b = √ (a 2 - c 2) > 0 bo’lgan ellips tenglamasi deyiladi. ellipsning kanonik tenglamasi.

Ellips ko'rinishi. Yuqorida ko'rib chiqilgan ellipsni qurishning geometrik usuli etarli darajada tasavvur beradi ko'rinish ellips. Lekin ellips shaklini uning kanonik tenglamasi (7.4) yordamida ham tekshirish mumkin. Masalan, y ≥ 0 ni hisobga olsak, y ni x shaklida ifodalash mumkin: y = b√(1 - x 2 /a 2) va bu funktsiyani o'rganib chiqib, uning grafigini tuzing. Ellipsni qurishning yana bir usuli bor. Ellipsning (7.4) kanonik koordinata sistemasining boshiga markazlashgan a radiusli aylana x 2 + y 2 = a 2 tenglama bilan tavsiflanadi. Agar u bo'ylab a/b > 1 koeffitsienti bilan siqilsa y o'qi, keyin siz x 2 + (ya / b) 2 \u003d a 2, ya'ni ellips tenglamasi bilan tavsiflangan egri chiziqni olasiz.

Izoh 7.1. Xuddi shu doira a/b koeffitsienti bilan siqilsa

Ellipsning ekssentrikligi. Ellipsning fokus uzunligining uning katta o'qiga nisbati deyiladi ellips ekssentrikligi va e bilan belgilanadi. Berilgan ellips uchun

kanonik tenglama (7.4), e = 2c/2a = s/a. Agar (7.4) da a va b parametrlar a tengsizlik bilan bog'langan bo'lsa

c = 0 uchun, ellips aylanaga aylanganda va e = 0. Boshqa hollarda, 0.

(7.3) tenglama (7.4) tenglamaga ekvivalentdir, chunki (7.4) va (7.2) tenglamalar ekvivalentdir. Demak, (7.3) ham ellips tenglamadir. Bundan tashqari, (7.3) munosabati qiziqarli, chunki u |F 2 M| uzunlik uchun radikalsiz oddiy formulani beradi. ellipsning M(x; y) nuqtasining fokus radiuslaridan biri: |F 2 M| = a + ex.

Ikkinchi fokus radiusi uchun shunga o'xshash formulani simmetriyani hisobga olgan holda yoki (7.2) kvadratik tenglamadan oldin birinchi radikal ikkinchisiga emas, balki o'ng tomonga o'tkaziladigan takroriy hisob-kitoblar orqali olinishi mumkin. Demak, ellipsning istalgan M(x; y) nuqtasi uchun (7.2-rasmga qarang).

|F 1 M | = a - ex, |F 2 M| = a + ex, (7.6)

va bu tenglamalarning har biri ellips tenglamadir.

7.1-misol. Yarim katta o'qi 5 va ekssentrikligi 0,8 bo'lgan ellipsning kanonik tenglamasini topamiz va uni tuzamiz.

Ellipsning katta yarim o'qini a = 5 va ekssentrisitet e = 0,8 ni bilib, biz uning kichik yarim o'qini b topamiz. b \u003d √ (a 2 - c 2) va c \u003d ea \u003d 4 bo'lgani uchun, keyin b \u003d √ (5 2 - 4 2) \u003d 3. Shunday qilib, kanonik tenglama x 2 / 5 2 ko'rinishga ega. + y 2 / 3 2 \u003d 1. Ellipsni qurish uchun tomonlari ellipsning simmetriya o'qlariga parallel va unga teng bo'lgan kanonik koordinatalar tizimining boshida joylashgan to'rtburchaklar chizish qulay. mos keladigan o'qlar (7.4-rasm). Bu to'rtburchak bilan kesishadi

ellipsning A(-5; 0), B(5; 0), C(0; -3), D(0; 3) cho’qqilaridagi o’qlari va ellipsning o’zi unga chizilgan. Shaklda. 7.4, shuningdek, ellipsning F 1,2 (±4; 0) fokuslarini ko'rsatadi.

Ellipsning geometrik xossalari.(7.6) dagi birinchi tenglamani |F 1 M| shaklida qayta yozamiz = (a/e - x)e. E'tibor bering, a > c uchun a / e - x qiymati ijobiydir, chunki F 1 fokusi ellipsga tegishli emas. Bu qiymat d vertikal chiziqqa bo'lgan masofa: x = a/e M(x; y) nuqtadan shu chiziqning chap tomoniga. Ellips tenglamasini quyidagicha yozish mumkin

|F 1 M|/(a/e - x) = e

Bu shuni anglatadiki, bu ellips tekislikning M (x; y) nuqtalaridan iborat bo'lib, ular uchun fokus radiusi F 1 M uzunligining d to'g'ri chiziqqa bo'lgan masofaga nisbati e ga teng doimiy qiymat bo'ladi (1-rasm). 7.5).

D chizig'ida "juft" - vertikal chiziq d, ellips markaziga nisbatan nosimmetrik bo'lib, u x \u003d -a / e tenglamasi bilan berilgan. D ga nisbatan, ellips d ga nisbatan xuddi shunday tasvirlangan. Ikkala qator d va d" deyiladi ellips direktrixlari. Ellipsning to'g'ridan-to'g'ri yo'nalishlari uning o'choqlari joylashgan ellipsning simmetriya o'qiga perpendikulyar bo'lib, ellips markazidan a / e \u003d a 2 / c masofada ajratilgan (7.5-rasmga qarang). .

Direktrisadan unga eng yaqin fokusgacha bo'lgan masofa p deyiladi ellipsning fokus parametri. Ushbu parametr tengdir

p \u003d a / e - c \u003d (a 2 - c 2) / c \u003d b 2 / c

Ellipsning yana bir muhim xususiyati bor geometrik xususiyat: F 1 M va F 2 M fokus radiuslari M nuqtadagi ellipsga teginish bilan teng burchaklar hosil qiladi (7.6-rasm).

Bu xususiyat aniq xususiyatga ega jismoniy ma'no. Agar yorug'lik manbai F 1 fokusiga joylashtirilsa, u holda bu fokusdan chiqadigan nur ellipsdan aks etgandan so'ng, ikkinchi fokus radiusi bo'ylab o'tadi, chunki aks ettirilgandan keyin u ko'zgudan oldingi kabi egri burchak ostida bo'ladi. . Shunday qilib, F 1 fokusni tark etuvchi barcha nurlar ikkinchi fokusda F 2 va aksincha to'planadi. Ushbu talqinga asoslanib, bu xususiyat deyiladi ellipsning optik xususiyati.

Ellips

Ellips. Fokuslar. Ellips tenglamasi. Fokus uzunligi.

Ellipsning katta va kichik o'qlari. Eksantriklik. Tenglama

ellipsga teginish. Chiziq va ellips orasidagi teginish sharti.

Ellips (1-rasm ) - nuqtalarning joylashuvi, berilgan ikkita nuqtagacha bo'lgan masofalar yig'indisi F 1 va F 2 chaqirdi nayranglar ellips doimiy qiymatdir.

Ellips tenglamasi (1-rasm):

Bu yerda kelib chiqishiellipsning simmetriya markazi, lekin koordinata o'qlari uning simmetriya o'qlaridir. Daa > bellipsning o'choqlari o'qda yotadi OH (1-rasm) , da a< b ellipsning o'choqlari o'qda yotadi HAQIDA Y, va qachon a= bellips aylanaga aylanadi(bu holda ellipsning o'choqlari aylananing markaziga to'g'ri keladi). Shunday qilib, aylana - ellipsning maxsus holati .

Bo'lim F 1 F 2 = 2 dan, qayerda , deyiladi fokus uzunligi . Bo'limAB = 2 achaqirdi ellipsning asosiy o'qi , va segment CD = 2 b – kichik o'q ellips . Raqame = c / a , e < 1 называется ekssentriklik ellips .

Bo'lsin R(X 1 , da 1 ) ellipsning nuqtasi, demakellipsning tangens tenglamasi ichida