raqamlar ichida trigonometrik shakl.
De Moivre formulasi
z 1 = r 1 (cos 1 + isin 1) va z 2 = r 2 (cos 2 + isin 2) bo‘lsin.
Trigonometrik belgilar murakkab son ko‘paytirish, bo‘lish, butun son darajaga ko‘tarish va n daraja ildizini olish amallarini bajarishda foydalanish qulay.
z 1 ∙ z 2 = r 1 ∙ r 2 (cos ( 1 + 2) + i sin( 1 + 2)).
Ikkita murakkab sonni ko'paytirishda trigonometrik shaklda ularning modullari ko'paytiriladi va argumentlari qo'shiladi. Ajratish paytida ularning modullari bo'linadi va argumentlari ayiriladi.
Kompleks sonni ko'paytirish qoidasining natijasi kompleks sonni darajaga ko'tarish qoidasidir.
z = r(cos + i sin ).
z n \u003d r n (cos n + isin n).
Bu nisbat deyiladi De Moivre formulasi.
8.1-misol Raqamlarning hosilasi va qismini toping:
Va 
Yechim
z1∙z2 
∙
=
;
8.2-misol Raqamni trigonometrik shaklda yozing
∙
-i) 7 .
Yechim
Belgilamoq 
va z 2 = 
– men.
r 1 = |z 1 | = √ 1 2 + 1 2 = √ 2; 1 = argz 1 = arctg 
;
z1 = 
;
r 2 = |z 2 | = √(√ 3) 2 + (– 1) 2 = 2; 2 = arg z 2 = arctg 
;
z2 = 2 
;
z 1 5 = ( 
) 5 
; z 2 7 = 2 7 
z = ( 
) 5 2 7 
=
2 9 
§ 9 Kompleks sonning ildizini ajratib olish
Ta'rif. ildiznkompleks sonning th darajasi z (belgilaydi 
) w n = z bo'ladigan w kompleks son. Agar z = 0 bo'lsa, u holda 
= 0.
z 0, z = r(cos + isin) bo‘lsin. w = (cos + sin) ni belgilaymiz, keyin w n = z tenglamani quyidagi shaklda yozamiz.
n (cos(n ) + isin(n )) = r(cos + isin).
Demak, n = r,
=
Shunday qilib, w k = 
·
.
Bu qiymatlar orasida aniq n ta farq bor.
Demak, k = 0, 1, 2, …, n – 1.
Murakkab tekislikda bu nuqtalar radiusli aylana ichiga chizilgan muntazam n-burchakning uchlaridir. 
O nuqtada markazlashtirilgan (12-rasm).
12-rasm
9.1-misol Barcha qiymatlarni toping 
.
Yechim.
Bu sonni trigonometrik shaklda ifodalaylik. Uning moduli va argumentini toping.
w k = 
, bu yerda k = 0, 1, 2, 3.
w 0 = 
.
w 1 = 
.
w 2 = 
.
w 3 = 
.
Murakkab tekislikda bu nuqtalar radiusli aylana ichiga chizilgan kvadratning uchlaridir 
kelib chiqishida markazlashgan (13-rasm).
13-rasm 14-rasm
9.2-misol Barcha qiymatlarni toping 
.
Yechim.
z = - 64 = 64(cos + isin);
w k = 
, bu yerda k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
w 0 = 
; w 1 = 
;
w 2 = 
w 3 = 
w4 = 
; w 5 = 
.
Kompleks tekislikda bu nuqtalar markazi O (0; 0) nuqtada joylashgan radiusi 2 ga teng aylana ichiga chizilgan muntazam oltiburchakning uchlaridir - 14-rasm.
§ 10 Kompleks sonning ko'rsatkichli shakli.
Eyler formulasi
Belgilamoq 
= cos + isin va 
= cos - isin . Bu nisbatlar deyiladi Eyler formulalari .
Funktsiya 
eksponensial funktsiyaning odatiy xususiyatlariga ega:
Kompleks z son trigonometrik z = r(cos + isin) ko‘rinishda yozilsin.
Eyler formulasidan foydalanib, biz quyidagilarni yozishimiz mumkin:
z = r 
.
Ushbu yozuv deyiladi indikativ shakl murakkab son. Undan foydalanib, biz ko'paytirish, bo'lish, darajaga ko'tarish va ildiz chiqarish qoidalarini olamiz.
Agar z 1 = r 1 bo'lsa 
va z 2 = r 2 
?keyin
z 1 z 2 = r 1 r 2 
;
·
z n = r n 
, bu yerda k = 0, 1, … , n – 1.
10.1-misol Raqamni algebraik shaklda yozing
z= 
.
Yechim.
10.2-misol z 2 + (4 - 3i)z + 4 - 6i = 0 tenglamani yeching.
Yechim.
Har qanday murakkab koeffitsientlar uchun bu tenglama ikkita ildizga ega z 1 va z 1 (ehtimol mos keladi). Bu ildizlarni haqiqiy holatda bo'lgani kabi bir xil formuladan foydalanib topish mumkin. Chunki 
faqat belgi bilan farq qiluvchi ikkita qiymatni oladi, keyin bu formula quyidagi shaklga ega:
–9 \u003d 9 e i dan beri, keyin qiymatlar 
raqamlar bo'ladi:
Keyin 
Va 
.
|
10.3-misol z 3 +1 = 0 tenglamalarni yeching; z 3 = - 1. |
Yechim.
Tenglamaning kerakli ildizlari qiymatlar bo'ladi 
.
z = –1 uchun bizda r = 1, arg(–1) = .
w k = 
, k = 0, 1, 2.
Mashqlar
9 Raqamlarni eksponensial shaklda keltiring:
|
b) |
G) |
+i;
.10 Sonning ko'rsatkichli va algebraik shakllarida yozing:
|
lekin) |
ichida) |
|
b) |
d) 7(cos0 + isin0). |
11 Raqamlarni algebraik va geometrik shakllarda yozing:
|
lekin) |
b) |
ichida) |
G) |
12 Berilgan raqamlar 
Ularni eksponensial shaklda taqdim eting, toping 
.
13 Foydalanish shaklini ko'rsatish murakkab raqam, quyidagilarni bajaring:
lekin) 
b) 
ichida) 
G) 
|
e) |
|
|
|
|
.dan Va natural son n 2 .
Kompleks raqam Z chaqirdi ildizn– c, agar Z n = c.
Barcha ildiz qiymatlarini toping n–
kompleks sondan th daraja dan. Bo'lsin c=|
c|·(cos
Arg
c+
i·
gunoh
Argdan), lekin
Z
= |
Z|·(bilanos
Arg
Z
+
i·
gunoh
Arg
Z)
, qayerda Z ildiz n-
kompleks sondan th daraja dan. Keyin shunday bo'lishi kerak
=
c
= |
c|·(cos
Arg
c+
i·
gunoh
Argdan). Demak, bundan kelib chiqadi 
Va n·
Arg
Z
=
Argdan 
Arg
Z
=
(k=0,
1,…)
. Binobarin, Z
=
(cos
+
i·
gunoh
),
(k=0,
1,…)
. Qadriyatlardan har qandayini ko'rish oson
,
(k=0,
1,…)
mos keladigan qiymatlardan biridan farq qiladi
,(k
= 0,1,…,
n-1)
bir nechtaga 2p. Shunung uchun , (k
= 0,1,…,
n-1)
.
Misol.
(-1) ning ildizini hisoblang.
, aniq |-1|
= 1,
arg
(-1) =
π
-1 = 1 (cos π + i· gunoh π )
,
(k = 0, 1).
=
i
Ixtiyoriy ratsional ko'rsatkichli daraja
Ixtiyoriy kompleks sonni oling dan. Agar n u holda natural son dan n
= |
c|
n · (danos
nArg+ bilani·
gunoh
nArgdan)(6). Bu formula vaziyatda ham to'g'ri n
= 0
(c≠0)
. Bo'lsin n
< 0
Va n
Z Va c ≠ 0, keyin
dan n
=
(chunki nArgdan+men gunoh qilaman nArgdan)
=
(chunki nArgdan+ men nArg gunoh qilamandan)
. Shunday qilib, formula (6) har qanday uchun amal qiladi n.
Ratsional sonni olaylik 
, qayerda q natural son, va R butun sondir.
Keyin ostida daraja
c r raqamni tushunamiz 
.
Biz buni tushunamiz ,
(k = 0, 1, …, q-1). Bu qadriyatlar q dona, agar kasr kamaymasa.
3-ma'ruza Kompleks sonlar ketma-ketligi chegarasi
Tabiiy argumentning murakkab qiymatli funktsiyasi deyiladi kompleks sonlar ketma-ketligi va belgilandi (dan n ) yoki dan 1 , dan 2 , ..., dan n . dan n = a n + b n · i (n = 1,2, ...) murakkab sonlar.
dan 1 , dan 2 , … - ketma-ketlik a'zolari; dan n - umumiy a'zo
Kompleks raqam dan
=
a+
b·
i chaqirdi kompleks sonlar ketma-ketligi chegarasi (c n )
, qayerda dan n
= a n +
b n ·
i
(n
= 1, 2, …)
, har qanday uchun qaerda 
, bu hamma uchun n
>
N tengsizlik 
. Cheklangan chegaraga ega bo'lgan ketma-ketlik deyiladi yaqinlashish ketma-ketlik.
Teorema.
Murakkab sonlar ketma-ketligi uchun (bilan n ) (dan n = a n + b n · i) bilan songa yaqinlashadi = a+ b· i, tenglik uchun zarur va yetarlilim a n = a, lim b n = b.
Isbot.
Teoremani quyidagi aniq qo'sh tengsizlik asosida isbotlaymiz
, qayerda Z
=
x
+
y·
i
(2)
Kerak. Bo'lsin lim(dan n ) = bilan. Keling, tenglikni ko'rsataylik lim a n = a Va lim b n = b (3).
Shubhasiz (4)
Chunki 
, qachon n
→ ∞
, keyin (4) tengsizlikning chap tomonidan kelib chiqadi 
Va 
, qachon n
→ ∞
. shuning uchun (3) tenglik o'rinli. Ehtiyoj isbotlangan.
Adekvatlik. Endi tenglik (3) saqlanib qolsin. Tenglikdan (3) kelib chiqadiki 
Va 
, qachon n
→ ∞
, shuning uchun (4) tengsizlikning o'ng tomoni tufayli u bo'ladi 
, qachon n→∞
, degan ma'noni anglatadi lim(dan n )=s. Etarliligi isbotlangan.
Demak, kompleks sonlar ketma-ketligining yaqinlashuvi masalasi ikkita haqiqiy sonlar ketma-ketligining yaqinlashuviga ekvivalentdir, shuning uchun haqiqiy sonlar ketma-ketligi chegaralarining barcha asosiy xossalari kompleks sonlar ketma-ketligiga taalluqlidir.
Masalan, kompleks sonlar ketma-ketligi uchun Koshi mezoni amal qiladi: murakkab sonlar ketma-ketligi uchun (bilan n ) birlashtirilgan, har qanday uchun zarur va etarli 
, bu har qanday uchunn,
m
>
Ntengsizlik 
.
Teorema.
Kompleks sonlar ketma-ketligi bo'lsin (bilan n ) va (z n ) mos ravishda va bilan yaqinlashadiz, keyin tengliklim(dan n
z n )
=
c 
z,
lim(dan n ·
z n )
=
c·
z. Agar bu aniq ma'lum bo'lsaz0 ga teng emas, u holda tenglik 
.