Quyida chiziqli bog'liqlik uchun bir nechta mezon va shunga mos ravishda berilgan chiziqli mustaqillik vektor tizimlari.

Teorema. (majburiy va etarli holat vektorlarning chiziqli bog'liqligi.)

Vektorlar tizimi, agar tizim vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu tizimning qolganlari bilan ifodalangan bo'lsa, bog'liqdir.

Isbot. Kerak. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin. Keyin, ta'rifga ko'ra, u nol vektorni noan'anaviy tarzda ifodalaydi, ya'ni. nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlar tizimining ahamiyatsiz kombinatsiyasi mavjud:

bu chiziqli birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng bo'lmasa. Bo'lsin,.

Oldingi tenglikning ikkala qismini ushbu nolga teng bo'lmagan koeffitsientga bo'ling (ya'ni, ko'paytiring:

Belgilang: , qaerda .

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda shu sistemaning qolganlari bilan ifodalanadi va hokazo.

Adekvatlik. Tizim vektorlaridan biri shu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalansin:

Keling, vektorni ushbu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz:

Vektorning koeffitsienti bo'lganligi sababli, biz vektorlar tizimi tomonidan nolning ahamiyatsiz bo'lmagan ko'rinishiga ega bo'lamiz, ya'ni bu vektorlar tizimi chiziqli bog'liq va hokazo.

Teorema isbotlangan.

Natija.

1. Vektorlar sistemasi vektor fazosi sistema vektorlaridan hech biri ushbu sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalana olmasagina chiziqli mustaqil hisoblanadi.

2. Nol vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Isbot.

1) zarurat. Tizim chiziqli mustaqil bo'lsin. Buning aksini faraz qiling va bu sistemaning boshqa vektorlari orqali chiziqli ifodalangan tizim vektori mavjud. Keyin, teorema bo'yicha, tizim chiziqli bog'liqdir va biz qarama-qarshilikka erishamiz.

Adekvatlik. Tizim vektorlarining hech biri boshqalari bilan ifodalanmasin. Buning aksini faraz qilaylik. Tizim chiziqli bog'liq bo'lsin, lekin keyin teoremadan kelib chiqadiki, bu tizimning boshqa vektorlari orqali chiziqli ravishda ifodalangan tizim vektori mavjud va biz yana ziddiyatga kelamiz.

2a) sistemada nol vektor bo'lsin. Aniqlik uchun vektor :. Keyin tenglik

bular. sistemaning vektorlaridan biri chiziqli ravishda ushbu sistemaning boshqa vektorlari bilan ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki, bunday vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq va hokazo.

E'tibor bering, bu haqiqatni to'g'ridan-to'g'ri vektorlarning chiziqli bog'liq tizimidan isbotlash mumkin.

dan boshlab, quyidagi tenglik aniq

Bu nol vektorning ahamiyatsiz bo'lmagan ko'rinishidir, ya'ni tizim chiziqli bog'liqdir.

2b) sistema ikkita teng vektorga ega bo'lsin. uchun ruxsat bering. Keyin tenglik

Bular. birinchi vektor bir xil sistemaning boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalanadi. Teoremadan kelib chiqadiki bu tizim chiziqli bog'liq va boshqalar.

Avvalgisiga o'xshab, bu tasdiqni to'g'ridan-to'g'ri chiziqli bog'liq tizimning ta'rifidan ham isbotlash mumkin.U holda bu tizim nol vektorni notrivial tarzda ifodalaydi.

sistemaning chiziqli bog'liqligi shundan kelib chiqadi.

Teorema isbotlangan.

Natija. Bitta vektordan tashkil topgan tizim, agar bu vektor nolga teng bo'lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

3.3. Vektorlarning chiziqli mustaqilligi. Asos.

Chiziqli kombinatsiya vektor tizimlari

vektor deb ataladi

bu yerda a 1 , a 2 , ..., a n - ixtiyoriy raqamlar.

Agar hammasi a i = 0, keyin chiziqli birikma chaqiriladi ahamiyatsiz . Bu holda, aniq

Ta'rif 5.

Agar vektorlar tizimi uchun ahamiyatsiz chiziqli kombinatsiya mavjud (kamida bitta a i ¹ 0) nol vektorga teng: keyin vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli qaram. Agar tenglik (1) faqat hamma bo'lsa mumkin bo'lsa a i =0, keyin vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli mustaqil .

Teorema 2 (Chiziqli qaramlik shartlari).

Ta'rif 6.

3-teoremadan shundan kelib chiqadiki, agar fazoda asos berilgan bo'lsa, unga ixtiyoriy vektor qo'shilsa, biz chiziqli ravishda olamiz. bog'liq tizim vektorlar. Ga muvofiq 2-teorema (1) , ulardan biri (vektor ekanligini ko'rsatish mumkin ) qolganlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin:

.

Ta'rif 7.

Raqamlar chaqirdi koordinatalar asosdagi vektorlar (belgilangan

Agar vektorlar tekislikda ko'rib chiqilsa, u holda asos bo'ladi tartiblangan juft kollinear bo'lmagan vektorlar

va bu asosdagi vektorning koordinatalari bir juft sondir:

Izoh 3. Buni ko'rsatish mumkin berilgan asos uchun vektorning koordinatalari yagona aniqlanadi . Bundan, xususan, shundan kelib chiqadiki agar vektorlar teng bo'lsa, ularning mos keladigan koordinatalari teng bo'ladi va aksincha .

Shunday qilib, agar fazoda asos berilgan bo'lsa, u holda fazoning har bir vektori raqamlarning tartiblangan uchligiga (shu asosda vektor koordinatalariga) mos keladi va aksincha: raqamlarning har bir uchligi vektorga mos keladi.

Samolyotda xuddi shunday yozishmalar vektorlar va raqamlar juftlari o'rtasida o'rnatiladi.

Teorema 4 (Vektorlar koordinatalari orqali chiziqli amallar).

Agar biron bir asosda Va a ixtiyoriy son, keyin shu asosda

Boshqa so'zlar bilan aytganda:

vektor songa ko'paytirilsa, uning koordinatalari shu raqamga ko'paytiriladi ;

vektorlar qo'shilganda, ularning tegishli koordinatalari qo'shiladi .

1-misol . Ba'zi bir asosda vektorlarkoordinatalariga ega

Vektorlar bazis tashkil qilishini ko'rsating va shu asosda vektorning koordinatalarini toping.

Vektorlar, agar ular o'zaro bog'liq bo'lmasa, asos bo'ladi, shuning uchun (ko'ra Teorema 3(2) ) chiziqli mustaqildir.

Ta'rifi bo'yicha 5 bu tenglikni anglatadi

faqat qachon mumkinx = y = z = 0.

Ta'rif 1. Vektorlar sistemasi, agar tizim vektorlaridan biri tizimning qolgan vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa, chiziqli bog'liq, aks holda chiziqli mustaqil deyiladi.

Ta'rif 1'. Agar raqamlar mavjud bo'lsa, vektorlar tizimi chiziqli bog'liq deb ataladi dan 1 , dan 2 , …, dan k , hammasi nolga teng emas, shundayki, berilgan koeffitsientli vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng: = , aks holda tizim chiziqli mustaqil deyiladi.

Keling, ushbu ta'riflar ekvivalent ekanligini ko'rsatamiz.

1-ta'rif qanoatlansin, ya'ni. sistemaning vektorlaridan biri qolganlarning chiziqli birikmasiga teng:

Vektorlar tizimining chiziqli birikmasi nol vektorga teng va bu kombinatsiyaning barcha koeffitsientlari nolga teng emas, ya'ni. 1' ta'rifi amal qiladi.

1' ta'rifi qanoatlansin. Vektorlar tizimining chiziqli birikmasi , va kombinatsiyaning barcha koeffitsientlari nolga teng emas, masalan, vektorning koeffitsientlari .

Biz tizimning vektorlaridan birini qolganlarning chiziqli birikmasi sifatida taqdim etdik, ya'ni. ta'rif 1 bajarildi.

Ta'rif 2. Birlik vektori yoki ort deyiladi n o'lchovli vektor, qaysi biri i th koordinatasi birga teng, qolganlari esa nolga teng.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Teorema 1. Har xil birlik vektorlari n-o'lchovli fazo chiziqli mustaqildir.

Isbot. Bu vektorlarning ixtiyoriy koeffitsientli chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lsin.

Bu tenglikdan kelib chiqadiki, barcha koeffitsientlar nolga teng. Bizda qarama-qarshilik bor.

Har bir vektor n- o'lchovli fazo ā (lekin 1 , lekin 2 , ..., lekin n ) chiziqli birikma sifatida ifodalanishi mumkin birlik vektorlari vektorning koordinatalariga teng koeffitsientlar bilan

Teorema 2. Agar vektorlar tizimi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Isbot. Vektorlar sistemasi berilgan va vektorlardan biri nolga teng bo'lsin, masalan =. Keyin, ushbu tizimning vektorlari bilan nol vektorga teng chiziqli kombinatsiyani tuzish mumkin va barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lmaydi:

Shuning uchun tizim chiziqli bog'liqdir.

Teorema 3. Agar vektorlar tizimining ba'zi bir quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda butun tizim chiziqli bog'liqdir.

Isbot. Vektorlar sistemasi berilgan. Faraz qilaylik, tizim chiziqli bog'liq, ya'ni. raqamlar mavjud dan 1 , dan 2 , …, dan r , hammasi nolga teng emas, shuning uchun = . Keyin

Ma'lum bo'lishicha, butun tizim vektorlarining chiziqli birikmasi tengdir va bu kombinatsiyaning barcha koeffitsientlari nolga teng emas. Shuning uchun vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Natija. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.

Isbot.

Buning aksini tasavvur qiling, ya'ni. ba'zi quyi tizimlar chiziqli bog'liqdir. Teoremadan kelib chiqadiki, butun tizim chiziqli bog'liqdir. Biz qarama-qarshilikka keldik.

Teorema 4 (Shtaynits teoremasi). Agar vektorlarning har biri vektorlarning chiziqli birikmasi bo'lsa va m>n, u holda vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Natija. Har qanday n o'lchovli vektorlar tizimida n tadan ortiq chiziqli mustaqil bo'lishi mumkin emas.

Isbot. Har n-o’lchovli vektor n ta birlik vektorning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi. Shuning uchun, agar tizim mavjud bo'lsa m vektorlar va m>n, u holda, teorema bo'yicha, bu tizim chiziqli bog'liqdir.

Bo'lsin L maydon ustidagi chiziqli fazodir R . Bo'lsin A1, a2, ... , an (*) dan vektorlarning chekli tizimi L . Vektor IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) chaqirdi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki vektor ayting IN vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.

Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi chiziqli bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi chiziqli mustaqil.

Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.

10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Keyin 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Bo'lsin A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× LEKIN N= 0.

30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.

Þ (*) chiziqli bog‘liq bo‘lsin. U holda a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× LEKIN N. Demak, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Biz buni birinchi vektor deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard LEKIN N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard LEKIN N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.

Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlash mumkin.

Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, ... , an , … (**) deyiladi chiziqli bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi chiziqli mustaqil.

40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning vektorlaridan hech biri boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalana olmasagina, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.

60. Agar berilgan vektorlar sistemasining ayrim quyi tizimi chiziqli bog’liq bo’lsa, butun sistema ham chiziqli bog’liqdir.

Ikki vektor sistemasi berilgan bo'lsin A1, a2, ... , an , … (16) va V1, v2, … , vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalangan deymiz.

Ta'rif 16. Ikki vektor sistemasi deyiladi ekvivalent , agar ularning har biri chiziqli ravishda ikkinchisi bilan ifodalangan bo'lsa.

Teorema 9 (chiziqli bog'liqlik haqidagi asosiy teorema).

Qo'ying va - ikkita yakuniy tizimlar dan vektorlar L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.

Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema bo'yicha

(21)

Tizim chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik (18) w X1=x2=…=xN=0. Bu yerda vektor ifodalarini almashtiramiz: …+=0 (19). Shuning uchun (20). (18), (19) va (20) shartlar aniq ekvivalentdir. Lekin (18) faqat qachon qanoatlansa X1=x2=…=xN=0.(20) tenglik qachon to'g'ri ekanligini topamiz. Agar uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa, u shubhasiz haqiqatdir. Ularni nolga tenglashtirib, (21) sistemani olamiz. Ushbu tizim nolga ega bo'lgani uchun, u

qo'shma. Tenglamalar sonidan beri ko'proq raqam noma'lum bo'lsa, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega x10, x20, …, xN0. Ushbu qiymatlar uchun (18) tenglik to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Binobarin, N£ s.

Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Ta'rif 17. Vektorlar sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shsa L bu tizimga kirmasa, u chiziqli bog'liq bo'ladi.

10-teorema. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .

Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L Ushbu fazoning vektorlarining maksimal chiziqli mustaqil tizimiga to'ldirilishi mumkin.

Misollar:

1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.

2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.

3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlarning har qanday tizimi maksimal chiziqli mustaqildir.

4. Barcha ko‘phadlar to‘plamida daraja eng ko‘p N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, …, xn U maksimal chiziqli mustaqildir.

5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltiriladi.

lekin) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. O'lchov matritsalari to'plami M´ N hisoblanadi chiziqli fazo(buni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil sistemaga matritsalar sistemasi misol bo`la oladi E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, ... , qarang (*). (*) dan vektorlarning quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa har qanday vektori qo'shilsa, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning har qanday maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlari bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi. (O'zingiz isbotlang.) Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.

Funktsiyalar chaqiriladi chiziqli mustaqil, agar

(faqat arzimas chiziqli funktsiyalar kombinatsiyasiga ruxsat beriladi, bu bir xil nolga teng). Vektorlarning chiziqli mustaqilligidan farqli o'laroq, bu erda chiziqli birikmaning o'ziga xosligi tenglik emas, balki nolga teng. Bu tushunarli, chunki chiziqli birikmaning nolga tengligi argumentning har qanday qiymati uchun qondirilishi kerak.

Funktsiyalar chaqiriladi chiziqli bog'liq, agar nolga teng bo'lmagan doimiylar to'plami mavjud bo'lsa (barcha konstantalar nolga teng emas), shundayki (bir xil darajada nolga teng bo'lgan funktsiyalarning trivial bo'lmagan chiziqli birikmasi mavjud).

Teorema.Funksiyalarning chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning har qandayining qolganlari bilan chiziqli ifodalanishi (ularning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi) zarur va etarli.

Bu teoremani o'zingiz isbotlang, u xuddi vektorlarning chiziqli bog'liqligiga o'xshash teorema kabi isbotlangan.

Vronskiyning aniqlovchisi.

Funktsiyalar uchun Vronskiy determinanti determinant sifatida kiritiladi, uning ustunlari noldan (funktsiyalarning o'zi) n-1-tartibgacha bo'lgan bu funktsiyalarning hosilalaridir.

.

Teorema. Funktsiyalar bo'lsa chiziqli bog'liq, keyin

Isbot. Funktsiyalardan beri chiziqli bog'liq bo'lsa, ulardan biri qolganlari bilan chiziqli ravishda ifodalanadi, masalan,

Shaxsni farqlash mumkin, shuning uchun

Keyin Wronskiy determinantining birinchi ustuni qolgan ustunlar bo'yicha chiziqli tarzda ifodalanadi, shuning uchun Wronskiy determinanti xuddi shunday nolga teng.

Teorema.Chiziqli bir jinslilikni yechish uchun differensial tenglama n-tartib chiziqli bog'liq, bu zarur va etarli.

Isbot. Oldingi teoremadan zaruriyat kelib chiqadi.

Adekvatlik. Keling, bir nuqtani tuzataylik. Chunki , u holda bu nuqtada hisoblangan determinantning ustunlari chiziqli bog'liq vektorlardir.

, bu munosabatlar

Chiziqli yechimlarning chiziqli birikmasidan beri bir jinsli tenglama uning yechimi bo'lsa, u holda shaklning yechimini kiritishimiz mumkin

Chiziqli birikma bir xil koeffitsientli yechimlar.

E'tibor bering, bu yechim uchun nol boshlang'ich shartlarni qondiradi, bu yuqorida yozilgan tenglamalar tizimidan kelib chiqadi. Lekin chiziqli bir jinsli tenglamaning trivial yechimi ham xuddi shu nol boshlang'ich shartlarni qanoatlantiradi. Demak, Koshi teoremasidan kelib chiqadiki, kiritilgan yechim trivialga bir xil darajada teng, demak,

shuning uchun yechimlar chiziqli bog'liqdir.

Natija.Agar chiziqli bir jinsli tenglama yechimlari asosida qurilgan Vronskiy determinanti kamida bir nuqtada yo'qolsa, u xuddi shunday nolga teng bo'ladi.

Isbot. Agar bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liq, demak, .

Teorema.1. Yechimlarning chiziqli bog`liqligi uchun zarur va yetarli(yoki ).

2. Yechimlarning chiziqli mustaqilligi uchun bu zarur va etarli.

Isbot. Birinchi fikr yuqorida isbotlangan teorema va natijadan kelib chiqadi. Ikkinchi fikr qarama-qarshilik bilan osongina isbotlanadi.

Yechimlar chiziqli mustaqil bo'lsin. Agar bo'lsa, u holda echimlar chiziqli bog'liqdir. Qarama-qarshilik. Binobarin, .

Bo'lsin . Agar yechimlar chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda , demak, qarama-qarshilik. Shuning uchun yechimlar chiziqli mustaqildir.

Natija.Vronskiy determinantining hech bo'lmaganda bir nuqtada yo'qolishi chiziqli bir hil tenglama echimlarining chiziqli bog'liqligi uchun mezondir.

Vronskiy determinantining noldan farqi chiziqli bir jinsli tenglama yechimlarining chiziqli mustaqilligi mezoni hisoblanadi.

Teorema.n-darajali chiziqli bir jinsli tenglama yechimlari fazosining o'lchami n ga teng.

Isbot.

a) n-tartibli chiziqli bir jinsli differensial tenglamaning n ta chiziqli mustaqil yechimlari mavjudligini ko'rsatamiz. Yechimlarni ko'rib chiqing , quyidagi dastlabki shartlarni qondirish:

...........................................................

Bunday echimlar mavjud. Darhaqiqat, nuqta orqali Koshi teoremasi bo'yicha yagona integral egri chiziqdan - yechimdan o'tadi. Nuqta orqali nuqta orqali eritmani o‘tkazadi

- yechim , nuqta orqali - yechim.

Bu yechimlar chiziqli mustaqil, chunki .

b) Chiziqli bir jinsli tenglamaning har qanday yechimi shu yechimlar orqali chiziqli ifodalanganligini ko'rsatamiz (ularning chiziqli birikmasidir).

Keling, ikkita yechimni ko'rib chiqaylik. Biri bilan o'zboshimchalik bilan qaror qabul qilish boshlang'ich sharoitlar . Adolatli nisbat