Shaklni ifodalash chaqirdi vektorlarning chiziqli birikmasi A 1 , A 2 ,..., A n koeffitsientlar bilan l 1, l 2 ,...,l n.

Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligini aniqlash

Vektor tizimi A 1 , A 2 ,..., A n chaqirdi chiziqli bog'liq, agar nolga teng bo'lmagan raqamlar to'plami mavjud bo'lsa l 1, l 2 ,...,l n, qaysi ostida chiziqli birikma vektorlar l 1 *A 1 +l 2 *A 2 +...+l n *A n nolga teng vektor, ya'ni tenglamalar tizimi: nolga teng bo'lmagan yechimga ega.
Raqamlar to'plami l 1, l 2 ,...,l n raqamlardan kamida bittasi bo'lsa, nolga teng l 1, l 2 ,...,l n noldan farq qiladi.

Vektorlar sistemasining chiziqli mustaqilligini aniqlash

Vektor tizimi A 1 , A 2 ,..., A n chaqirdi chiziqli mustaqil, agar bu vektorlarning chiziqli birikmasi l 1 *A 1 +l 2 *A 2 +...+l n *A n faqat nol sonlar to'plami uchun nol vektorga teng l 1, l 2 ,...,l n , ya'ni tenglamalar tizimi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D noyob nol yechimga ega.

29.1-misol

Vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqligini tekshiring

Qaror:

1. Biz tenglamalar tizimini tuzamiz:

2. Biz uni Gauss usuli yordamida hal qilamiz. Tizimning Iordaniya o'zgarishlari 29.1-jadvalda keltirilgan. Hisoblashda tizimning o'ng qismlari yozilmaydi, chunki ular nolga teng va Iordaniya transformatsiyasida o'zgarmaydi.

3. Jadvalning oxirgi uchta qatoridan biz ruxsat etilgan tizimni originalga ekvivalentini yozamiz tizim:

4. Biz tizimning umumiy yechimini olamiz:

5. Erkin o'zgaruvchining x 3 =1 qiymatini o'z xohishingizga ko'ra belgilab, ma'lum bir nolga teng bo'lmagan yechimni olamiz X=(-3,2,1).

Javob: Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan raqamlar to'plami (-3,2,1) bilan vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektor -3A 1 +2A 2 +1A 3 =D ga teng. Demak, chiziqli bog'liq vektorlar tizimi.

Vektor sistemalarining xossalari

Mulk (1)
Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda vektorlardan kamida bittasi qolgan qismida parchalanadi va aksincha, agar tizimning kamida bitta vektori qolganlarida parchalangan bo'lsa, u holda vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir. .

Ko'chmas mulk (2)
Agar vektorlarning har qanday quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda butun tizim chiziqli bog'liqdir.

Ko'chmas mulk (3)
Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari chiziqli mustaqildir.

Ko'chmas mulk (4)
Nol vektorni o'z ichiga olgan har qanday vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Ko'chmas mulk (5)
M o'lchovli vektorlar tizimi, agar n vektorlar soni ularning o'lchamidan (n>m) katta bo'lsa, har doim chiziqli bog'liqdir.

Vektor tizimining asoslari

Vektorlar sistemasining asosi A 1 , A 2 ,..., A n shunday quyi tizim B 1 , B 2 ,...,B r(B 1 ,B 2 ,...,B r vektorlarining har biri A 1 , A 2 ,..., A n vektorlaridan biri) quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi;
2. har qanday vektor A j sistemaning A 1 , A 2 ,..., A n B 1 ,B 2 ,...,B r vektorlari bilan chiziqli ifodalanadi.

r- bazaga kiritilgan vektorlar soni.

Teorema 29.1 Vektorlar sistemasining birlik asosidagi.

Agar m o'lchamli vektorlar sistemasi m farqli bo'lsa birlik vektorlari E 1 E 2,..., E m, keyin ular tizimning asosini tashkil qiladi.

Vektorlar sistemasi asosini topish algoritmi

A 1 ,A 2 ,...,A n vektorlar sistemasining asosini topish uchun quyidagilar zarur:

• Tegishli vektorlar sistemasini tuzing bir hil tizim tenglamalar A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D
• bu tizimni keltiring

Vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli bog'liq, Agar bunday raqamlar mavjud bo'lsa, ular orasida kamida bittasi noldan farq qiladi, bu tenglik https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src" =" >.

Agar bu tenglik faqat hammasi bo'lsa bajarilsa, vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli mustaqil.

Teorema. Vektorlar tizimi bo'ladi chiziqli bog'liq agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsa.

1-misol Polinom polinomlarning chiziqli birikmasidir https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. bog'liq tizim, polinom beri https://pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

2-misol Matritsa tizimi , , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> chiziqli mustaqil, chunki chiziqli birikma tengdir. nol matritsa faqat https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text/78/ 624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> chiziqli bog'liq.

Qaror.

Ushbu vektorlarning chiziqli kombinatsiyasini tuzing https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" balandligi = "22">.

Teng vektorlarning bir xil nomli koordinatalarini tenglashtirib, biz https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69"> ni olamiz.

Nihoyat, olamiz

va

Tizim noyob trivial yechimga ega, shuning uchun bu vektorlarning chiziqli birikmasi faqat barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa, nolga teng. Shunday qilib bu tizim vektorlar chiziqli mustaqildir.

4-misol Vektorlar chiziqli mustaqildir. Vektorlar sistemalari qanday bo'ladi

a).;

b).?

Qaror.

a). Chiziqli birikma tuzing va uni nolga tenglashtiring

Chiziqli fazoda vektorlar bilan amallar xossalaridan foydalanib, biz oxirgi tenglikni shaklda qayta yozamiz

Vektorlar chiziqli mustaqil bo'lganligi sababli, uchun koeffitsientlar nolga teng bo'lishi kerak, ya'ni.gif" width="12" height="23 src=">

Olingan tenglamalar tizimi o'ziga xos trivial yechimga ega .

Tenglik beri (*) faqat https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif saytida bajariladi width="115 height=20" height="20"> - chiziqli mustaqil;

b). Tenglikni tuzing https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Shunga o'xshash mulohazalarni qo'llash orqali biz olamiz

Tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish orqali erishamiz

yoki

Oxirgi tizimda cheksiz ko'p echimlar mavjud https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Shunday qilib, bo'lmagan mavjud. tenglik bo'lgan nol koeffitsientlar to'plami (**) . Shuning uchun vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqdir.

5-misol Vektor tizimi chiziqli mustaqil, vektor tizimi esa chiziqli bog'liq..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

Tenglikda (***) . Haqiqatan ham, uchun tizim chiziqli bog'liq bo'ladi.

Munosabatdan (***) olamiz yoki Belgilamoq .

Oling

Mustaqil hal qilish uchun vazifalar (sinfda)

1. Nol vektorni o'z ichiga olgan tizim chiziqli bog'liqdir.

2. Yagona vektorli tizim a, chiziqli bog'liq bo'ladi, agar va faqat, agar, a=0.

3. Ikki vektordan tashkil topgan sistema, agar vektorlar proportsional boʻlsa (yaʼni, ulardan biri ikkinchisidan songa koʻpaytirilsa) chiziqli bogʻliq boʻladi.

4. Agar chiziqli bog'liq tizimga vektor qo'shilsa, u holda chiziqli bog'liq tizim olinadi.

5. Agar vektor chiziqli mustaqil tizimdan olib tashlansa, natijada vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'ladi.

6. Agar tizim S chiziqli mustaqil, lekin vektor qo'shilganda chiziqli bog'liq bo'ladi b, keyin vektor b sistema vektorlari bilan chiziqli ifodalangan S.

c). Ikkinchi tartibli matritsalar fazosida , , matritsalar tizimi.

10. Vektorlar sistemasi bo'lsin a,b,c vektor fazosi chiziqli mustaqil. Quyidagi vektorlar sistemalarining chiziqli mustaqilligini isbotlang:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– ixtiyoriy raqam

c).a+b, a+c, b+c.

11. Bo'lsin a,b,c uchburchak hosil qilish uchun ishlatilishi mumkin bo'lgan tekislikdagi uchta vektor. Bu vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladimi?

12. Ikki vektor berilgan a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Yana ikkita 4D vektorni oling a3 vaa4 shunday qilib, tizim a1,a2,a3,a4 chiziqli mustaqil edi .

Bo'lsin L maydon ustidagi chiziqli fazodir R . Bo'lsin A1, a2, ... , an (*) dan vektorlarning chekli tizimi L . Vektor DA = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) chaqirdi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki vektor ayting DA vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.

Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi chiziqli bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi chiziqli mustaqil.

Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.

10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Keyin 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Bo'lsin A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× LEKIN N= 0.

30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.

Þ (*) chiziqli bog'liq bo'lsin. U holda a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× LEKIN N. Demak, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Biz buni birinchi vektor deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard LEKIN N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard LEKIN N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.

Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlash mumkin.

Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, ... , an , … (**) deyiladi chiziqli bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi chiziqli mustaqil.

40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning birorta vektorini boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalab bo‘lmasa, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.

60. Agar berilgan vektorlar sistemasining ayrim quyi tizimi chiziqli bog’liq bo’lsa, butun sistema ham chiziqli bog’liqdir.

Ikki vektor sistemasi berilgan bo'lsin A1, a2, ... , an , … (16) va V1, v2, … , vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalangan deymiz.

Ta'rif 16. Ikki vektor sistemasi deyiladi ekvivalent , agar ularning har biri chiziqli ravishda ikkinchisi bilan ifodalangan bo'lsa.

Teorema 9 (chiziqli bog'liqlik haqidagi asosiy teorema).

Qo'ying va dan vektorlarning ikkita chekli tizimidir L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.

Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema bo'yicha

(21)

Tizim chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik (18) w X1=x2=…=xN=0. Bu yerda vektor ifodalarini almashtiramiz: …+=0 (19). Shuning uchun (20). (18), (19) va (20) shartlar aniq ekvivalentdir. Lekin (18) faqat qachon qanoatlansa X1=x2=…=xN=0.(20) tenglik qachon to'g'ri ekanligini topamiz. Agar uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa, u shubhasiz haqiqatdir. Ularni nolga tenglashtirib, (21) sistemani olamiz. Ushbu tizim nolga ega bo'lgani uchun, u

qo'shma. Tenglamalar soni noma'lumlar sonidan ko'p bo'lganligi sababli, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega x10, x20, …, xN0. Bu qiymatlar uchun (18) tenglik to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Demak, N£ s.

Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Ta'rif 17. Vektorlar sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shsa L bu tizimga kirmasa, u chiziqli bog'liq bo'ladi.

10-teorema. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .

Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L Ushbu fazoning vektorlarining maksimal chiziqli mustaqil tizimiga to'ldirilishi mumkin.

Misollar:

1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.

2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.

3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlarning har qanday tizimi maksimal chiziqli mustaqildir.

4. Barcha ko‘phadlar to‘plamida daraja eng ko‘p N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, …, xn U maksimal chiziqli mustaqildir.

5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltirilgan.

a) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. O'lchov matritsalari to'plami M´ N chiziqli fazodir (uni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil sistemaga matritsalar sistemasi misol bo`la oladi E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, ... , qarang (*). (*) dan vektorlar quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa har qanday vektori qo'shilsa, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlarining har qandayida bir xil miqdordagi vektorlar mavjud. (O'zingiz isbotlang.) Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.

Vektorlar, ularning xossalari va ular bilan harakatlari

Vektorlar, vektorlar bilan amallar, chiziqli vektor fazosi.

Vektorlar cheklangan miqdordagi haqiqiy sonlarning tartiblangan to'plamidir.

Amallar: 1. Vektorni raqamga ko'paytirish: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * x n).(3.4, 0.7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )

2. Vektorlarni qo'shish (ular bir xil vektor fazosiga tegishli) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)

3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n o‘lchamli (chiziqli fazo) vektor x + vektor 0 = vektor x

Teorema. n vektor sistemasi uchun n o'lchovli chiziqli fazo chiziqli bog'liq bo'lsa, vektorlardan biri boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

Teorema. n o'lchovli chiziqli fazoning n+ 1-vektorining istalgan to'plami yavl. chiziqli bog'liq.

Vektorlarni qo'shish, vektorlarni raqamlarga ko'paytirish. Vektorlarni ayirish.

Ikki vektor yig'indisi vektorning boshidan oxirigacha yo'naltirilgan vektor, agar boshlanishi vektorning oxiriga to'g'ri kelsa. Agar vektorlar bazis vektorlari bo'yicha kengayishlari bilan berilgan bo'lsa, vektorlarni qo'shish ularning tegishli koordinatalarini qo'shadi.

Keling, buni Dekart koordinata tizimi misolida ko'rib chiqaylik. Bo'lsin

Keling, buni ko'rsataylik

3-rasm buni ko'rsatadi

Har qanday chekli vektorlar yig'indisini ko'pburchak qoidasi yordamida topish mumkin (4-rasm): chekli vektorlar yig'indisini qurish uchun har bir keyingi vektorning boshini oldingisining oxiri bilan moslashtirish kifoya. va birinchi vektorning boshini oxirgi vektorning oxiri bilan bog‘lovchi vektorni tuzing.

Vektor qo'shish operatsiyasining xususiyatlari:

Bu ifodalarda m, n sonlardir.

Vektorlar ayirmasi vektor deyiladi.Ikkinchi a'zo vektor yo'nalishi bo'yicha vektorga qarama-qarshi, lekin uzunligi bo'yicha unga teng vektor.

Shunday qilib, vektorni ayirish operatsiyasi qo'shish amali bilan almashtiriladi

Boshi koordinatalar boshida, oxiri esa A (x1, y1, z1) nuqtada joylashgan vektor A nuqtaning radius vektori deb ataladi va oddiy yoki oddiy qilib belgilanadi. Uning koordinatalari A nuqtaning koordinatalariga to'g'ri kelganligi sababli vektorlar bo'yicha kengayishi ko'rinishga ega.

A(x1, y1, z1) nuqtadan boshlanib, B(x2, y2, z2) nuqtada tugaydigan vektorni quyidagicha yozish mumkin.

bu yerda r 2 B nuqtaning radius vektori; r 1 - A nuqtaning radius vektori.

Shuning uchun vektorning orts bo'yicha kengayishi shaklga ega

Uning uzunligi A va B nuqtalari orasidagi masofaga teng

KO'PTIRISH

Demak, har holda samolyot muammosi vektorning a = (ax; ay) va b sonining ko'paytmasi formula bo'yicha topiladi

a b = (ax b; ay b)

1-misol. a = (1; 2) vektorining 3 ga ko‘paytmasini toping.

3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)

Demak, har holda fazoviy muammo a = (ax; ay; az) vektorining ko'paytmasi va b soni formula bo'yicha topiladi

a b = (ax b; ay b; az b)

Misol 1. a = (1; 2; -5) vektorining 2 ga ko‘paytmasini toping.

2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)

Vektorlarning nuqta mahsuloti va vektorlar orasidagi burchak qayerda; agar bo'lsa, unda

Skayar mahsulotning ta'rifidan kelib chiqadiki

bu erda, masalan, vektorning vektor yo'nalishiga proyeksiyasining qiymati.

Vektorning skalyar kvadrati:

Dot mahsulot xususiyatlari:

Koordinatalarda nuqta mahsuloti

Agar a keyin

Vektorlar orasidagi burchak

Vektorlar orasidagi burchak - bu vektorlarning yo'nalishlari orasidagi burchak (eng kichik burchak).

Vektor mahsuloti(Ikki vektorning vektor mahsuloti.)- uch oʻlchovli Evklid fazosidagi vektorlar ustida “vektorlarni koʻpaytirish” ikkilik operatsiyasining natijasi boʻlgan ikki omil yordamida tuzilgan tekislikka perpendikulyar psevdovektordir. Mahsulot kommutativ ham, assotsiativ ham emas (u antikommutativ) va vektorlarning nuqta mahsulotidan farq qiladi. Ko'pgina muhandislik va fizika muammolarida ikkita mavjudga perpendikulyar vektor qurish imkoniyatiga ega bo'lish kerak - vektor mahsuloti bu imkoniyatni beradi. O'zaro ko'paytma vektorlarning perpendikulyarligini "o'lchash" uchun foydalidir - ikkita vektorning kesishgan mahsulotining uzunligi, agar ular perpendikulyar bo'lsa, ularning uzunliklari ko'paytmasiga teng bo'ladi va vektorlar parallel yoki antiparallel bo'lsa, nolga kamayadi.

Vektor mahsuloti faqat uch o'lchovli va etti o'lchovli bo'shliqlarda aniqlanadi. Vektor mahsulotining natijasi, xuddi skalar mahsulot kabi, Evklid fazosining metrikasiga bog'liq.

Uch o'lchovli to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi vektorlarning koordinatalari bo'yicha skalyar mahsulotni hisoblash formulasidan farqli o'laroq, vektor mahsuloti formulasi to'rtburchaklar koordinata tizimining yo'nalishiga yoki boshqacha qilib aytganda, uning "xiralligi" ga bog'liq.

Vektorlarning kollinearligi.

Ikki nolga teng bo'lmagan (0 ga teng bo'lmagan) vektorlar, agar ular parallel yoki bir xil to'g'ri chiziqda yotsa, kollinear deyiladi. Biz sinonimga ruxsat beramiz, lekin tavsiya etilmaydi - "parallel" vektorlar. Kollinear vektorlar bir yo'nalishda ("birga yo'naltirilgan") yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lishi mumkin (oxirgi holatda ular ba'zan "antikollinear" yoki "antiparallel" deb ataladi).

Vektorlarning aralash mahsuloti ( a,b,c)- a vektorning skalyar ko'paytmasi va b va c vektorlarning vektor ko'paytmasi:

(a,b,c)=a ⋅(b×c)

ba'zan uchlik deb ataladi skalyar mahsulot vektorlar, aftidan, natija skaler (aniqrog'i, psevdoskalar) bo'lganligi bilan bog'liq.

geometrik ma'no: Aralash mahsulotning moduli son jihatdan vektorlar hosil qilgan parallelepiped hajmiga teng. (a,b,c) .

Xususiyatlari

aralash mahsulot uning barcha argumentlariga nisbatan skew-simmetrik: ya'ni, e) har qanday ikki omilning almashtirilishi mahsulot belgisini o'zgartiradi. Bundan kelib chiqadiki, o'ng dekart koordinata tizimidagi aralash mahsulot (ortonormal asosda) vektorlardan tashkil topgan matritsaning determinantiga teng va:

Chap kartezian koordinata tizimidagi aralash mahsulot (ortonormal asosda) vektorlardan tashkil topgan va minus belgisi bilan olingan matritsaning determinantiga teng:

Ayniqsa,

Agar ikkita vektor parallel bo'lsa, u holda har qanday uchinchi vektor bilan ular nolga teng aralash mahsulot hosil qiladi.

Agar uchta vektor chiziqli bog'liq bo'lsa (ya'ni, koplanar, bir tekislikda yotsa), unda ularning aralash mahsuloti nolga teng.

Geometrik ma'no - mutlaq qiymatdagi aralash mahsulot vektorlar tomonidan hosil qilingan parallelepiped (rasmga qarang) hajmiga teng va; belgisi vektorlarning bu uchligi o'ng yoki chapga bog'liq.

Vektorlarning solishtirmaligi.

Uch vektor (yoki Ko'proq) koplanar deyiladi, agar ular umumiy kelib chiqishiga keltirilib, bir tekislikda yotsa

Muqobillik xususiyatlari

Agar uchta vektordan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, u holda uchta vektor ham koplanar hisoblanadi.

Bir juft kollinear vektorni o'z ichiga olgan vektorlarning uchligi koplanardir.

Koplanar vektorlarning aralash mahsuloti. Bu uchta vektorning mutanosibligi uchun mezondir.

Koplanar vektorlar chiziqli bog'liqdir. Bu ham mutanosiblik mezoni hisoblanadi.

3 o'lchovli fazoda 3 ta tekis bo'lmagan vektor asosni tashkil qiladi

Chiziqli bog'liq va chiziqli mustaqil vektorlar.

Vektorlarning chiziqli bog'liq va mustaqil tizimlari.Ta'rif. Vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli bog'liq, agar nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlarning kamida bitta noan'anaviy chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, ya'ni. agar berilgan vektorlarning faqat trivial chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lsa, vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.

Teorema (chiziqli bog'liqlik mezoni). Chiziqli fazodagi vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq bo'lishi uchun bu vektorlardan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.

1) Agar vektorlar orasida kamida bitta nol vektor bo'lsa, u holda vektorlarning butun tizimi chiziqli bog'liqdir.

Darhaqiqat, agar, masalan, , deb faraz qilsak, bizda notrivial chiziqli birikma mavjud.▲

2) Agar vektorlarning ba'zilari chiziqli bog'liq tizimni tashkil qilsa, u holda butun tizim chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, , , vektorlari chiziqli bog'liq bo'lsin. Demak, nol vektorga teng notrivial chiziqli birikma mavjud. Ammo keyin, taxmin qilsak , biz shuningdek, nol vektorga teng bo'lmagan trivial chiziqli birikmani olamiz.

2. Asos va o‘lcham. Ta'rif. Chiziqli mustaqil vektorlar tizimi vektor fazosi deyiladi asos bu bo'shliq, agar dan har qanday vektorni ushbu tizim vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalash mumkin bo'lsa, ya'ni. har bir vektor uchun mavjud haqiqiy raqamlar tenglik shunday bo'ladi.Bu tenglik deyiladi vektor parchalanishi asos va raqamlarga ko'ra chaqirdi bazaga nisbatan vektor koordinatalari(yoki asosda) .

Teorema (asosiy jihatdan kengayishning o'ziga xosligi to'g'risida). Har bir fazo vektori asos nuqtai nazaridan kengaytirilishi mumkin yagona yo'l, ya'ni. asosdagi har bir vektorning koordinatalari aniq belgilangan.

Ushbu maqolada biz quyidagilarni ko'rib chiqamiz:

• kollinear vektorlar nima;
• kollinear vektorlar uchun qanday shartlar mavjud;
• kollinear vektorlarning xossalari qanday;
• kollinear vektorlarning chiziqli bog'liqligi qanday.

Ta'rif 1

Kollinear vektorlar bir xil chiziqqa parallel yoki bir chiziqda yotuvchi vektorlardir.

1-misol

Kollinear vektorlar uchun shartlar

Quyidagi shartlardan biri to‘g‘ri bo‘lsa, ikkita vektor kollinear hisoblanadi:

• shart 1 . a va b vektorlari a = l b bo'lgan l soni bo'lsa, kollineardir;
• shart 2 . a va b vektorlari koordinatalarning teng nisbati bilan kollineardir:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

• shart 3 . a va b vektorlari kollinear bo'ladi, agar vektor mahsuloti va nol vektor teng bo'lsa:

a ∥ b ⇔ a , b = 0

Izoh 1

2-shart vektor koordinatalaridan biri nolga teng bo'lsa, qo'llanilmaydi.

Izoh 2

3-shart faqat fazoda berilgan vektorlar uchun amal qiladi.

Vektorlarning kollinearligini o'rganishga oid masalalarga misollar

1-misol

Biz a \u003d (1; 3) va b \u003d (2; 1) vektorlarini kollinearlik uchun tekshiramiz.

Qanday qaror qilish kerak?

Bunda kollinearlikning 2-shartidan foydalanish zarur. Berilgan vektorlar uchun u quyidagicha ko'rinadi:

Tenglik noto'g'ri. Bundan a va b vektorlar kollinear emas degan xulosaga kelish mumkin.

Javob : a | | b

2-misol

Vektorlar kollinear bo'lishi uchun a = (1 ; 2) va b = (- 1 ; m) vektorning qanday m qiymati kerak?

Qanday qaror qilish kerak?

Ikkinchi kollinear shartdan foydalanib, vektorlar, agar ularning koordinatalari proportsional bo'lsa, ular kollinear bo'ladi:

Bu m = - 2 ekanligini ko'rsatadi.

Javob: m = - 2.

Vektorlar sistemalarining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi mezonlari

Teorema

Vektor fazodagi vektorlar sistemasi faqat sistema vektorlaridan biri tizimning qolgan vektorlari bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan taqdirdagina chiziqli bog'liq bo'ladi.

Isbot

Sistema e 1, e 2, bo'lsin. . . , e n chiziqli bog'liqdir. Ushbu sistemaning nol vektoriga teng chiziqli birikmasini yozamiz:

a 1 e 1 + a 2 e 2 +. . . + a n e n = 0

unda birikmaning koeffitsientlaridan kamida bittasi nolga teng emas.

a k ≠ 0 k ∈ 1, 2, bo'lsin. . . , n.

Tenglikning ikkala tomonini nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ajratamiz:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Belgilang:

A k - 1 a m, bu erda m ∈ 1, 2,. . . , k - 1, k + 1, n

Unday bo `lsa:

b 1 e 1 + . . . + b k - 1 e k - 1 + b k + 1 e k + 1 +. . . + bn e n = 0

yoki e k = (- b 1) e 1 + . . . + (- b k - 1) e k - 1 + (- b k + 1) e k + 1 + . . . + (- b n) e n

Bundan kelib chiqadiki, tizim vektorlaridan biri tizimning barcha boshqa vektorlari bilan ifodalanadi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (p.t.d.).

Adekvatlik

Vektorlardan biri tizimning barcha boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalansin:

e k = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n

e k vektorini ushbu tenglikning o'ng tomoniga o'tkazamiz:

0 = g 1 e 1 +. . . + g k - 1 e k - 1 - e k + g k + 1 e k + 1 +. . . + g n e n

e k vektorining koeffitsienti - 1 ≠ 0 ga teng bo'lgani uchun e 1 , e 2 , vektorlar sistemasi orqali nolning notrivial tasvirini olamiz. . . , e n va bu, o'z navbatida, berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqligini bildiradi. Qaysi narsa isbotlanishi kerak edi (p.t.d.).

Natija:

• Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil hisoblanadi, agar uning vektorlaridan hech biri tizimning boshqa barcha vektorlari bilan ifodalana olmasa.
• Null vektor yoki ikkita teng vektorni o'z ichiga olgan vektor tizimi chiziqli bog'liqdir.

Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari

1. 2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun shart bajariladi: ikkita chiziqli bog'liq vektor kollineardir. Ikki kollinear vektor chiziqli bog'liqdir.
2. 3 o'lchovli vektorlar uchun shart bajariladi: uchta chiziqli bog'liq vektorlar- koplanar. (3 koplanar vektor - chiziqli bog'liq).
3. n o'lchovli vektorlar uchun shart bajariladi: n + 1 vektorlar doimo chiziqli bog'liqdir.

Vektorlarning chiziqli bog’liqligi yoki chiziqli mustaqilligi masalalarini yechish misollari

3-misol

a = 3 , 4 , 5 , b = - 3 , 0 , 5 , c = 4 , 4 , 4 , d = 3 , 4 , 0 vektorlarning chiziqli mustaqilligini tekshiramiz.

Qaror. Vektorlar chiziqli bog'liqdir, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.

4-misol

a = 1 , 1 , 1 , b = 1 , 2 , 0 , c = 0 , - 1 , 1 vektorlarning chiziqli mustaqilligini tekshiramiz.

Qaror. Biz chiziqli birikma nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Biz vektor tenglamani chiziqli shaklda yozamiz:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ushbu tizimni Gauss usuli yordamida hal qilamiz:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

2-qatordan 1-chini, 3-chidan 1-ni ayiramiz:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

1-qatordan 2-chini ayirib, 2-ni 3-chi qatorga qoʻshing:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Yechimdan kelib chiqadiki, tizim ko'plab echimlarga ega. Bu shuni anglatadiki, x 1, x 2, x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, ular uchun a, b, c chiziqli birikmasi nol vektoriga teng. Demak, a , b , c vektorlar chiziqli bog'liq. ​​​​​​​

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing