Asosiy ta'rif. Vektorlar tizimi asos bo'ladi, agar:

1) chiziqli mustaqil,

2) u orqali o'tgan fazoning istalgan vektori chiziqli ifodalanadi.

1-misol Kosmik asos: .

2. Vektorlar sistemasida vektorlar asos hisoblanadi: , chunki vektorlar bilan chiziqli ifodalangan.

Izoh. Berilgan vektorlar tizimining asosini topish uchun quyidagilar kerak:

1) matritsadagi vektorlarning koordinatalarini yozing;

2) yordamida elementar transformatsiyalar matritsani uchburchak shaklga keltiring,

3) nolga teng bo'lmagan matritsa qatorlari bo'ladi tizim asosi,

4) bazisdagi vektorlar soni matritsaning darajasiga teng.

Kroneker-Kapelli teoremasi

Kroneker-Kapelli teoremasi izchillik haqidagi savolga to'liq javob beradi ixtiyoriy tizim chiziqli tenglamalar noma'lum bilan

Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, agar tizimning kengaytirilgan matritsasining darajasi asosiy matritsaning darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi, .

Izchil chiziqli tenglamalar tizimining barcha yechimlarini topish algoritmi Kroneker-Kapelli teoremasidan va quyidagi teoremalardan kelib chiqadi.

Teorema. Agar qo'shma tizimning darajasi soniga teng noma'lum, keyin tizim noyob yechimga ega.

Teorema. Agar qo'shma tizimning darajasi sonidan kam noma'lum, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Ixtiyoriy chiziqli tenglamalar tizimini yechish algoritmi:

1. Tizimning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining darajalarini toping. Agar ular teng bo'lmasa (), u holda tizim mos kelmaydi (echimlari yo'q). Agar darajalar teng bo'lsa ( , u holda tizim mos keladi.

2. Mos sistema uchun matritsaning tartibini belgilaydigan qandaydir minorni topamiz (bunday minor asosiy deyiladi). Keling, tuzamiz yangi tizim noma’lumlar koeffitsientlari asosiy minorga kiritilgan tenglamalardan (bu noma’lumlar asosiy noma’lumlar deyiladi), qolgan tenglamalarni olib tashlaymiz. Biz asosiy noma'lumlarni koeffitsientlari bilan chap tomonda qoldiramiz va qolgan noma'lumlarni (ular erkin noma'lumlar deb ataladi) tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz.

3. Bosh noma’lumlarning erkinlari bo‘yicha ifodalarini topamiz. Biz tizimning umumiy yechimini olamiz.

4. Erkin noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar berib, asosiy noma’lumlarning mos qiymatlarini olamiz. Shunday qilib, biz dastlabki tenglamalar tizimiga maxsus echimlarni topamiz.

Chiziqli dasturlash. Asosiy tushunchalar

Chiziqli dasturlash oʻzgaruvchilar va chiziqli mezon oʻrtasidagi chiziqli munosabat bilan tavsiflanadigan ekstremal masalalarni yechish usullarini oʻrganuvchi matematik dasturlash yoʻnalishi.

Kerakli holat Chiziqli dasturlash muammosining bayoni resurslarning mavjudligi, talabning kattaligi, korxonaning ishlab chiqarish quvvati va boshqa ishlab chiqarish omillariga cheklovlardir.

Chiziqli dasturlashning mohiyati eng katta yoki nuqtalarini topishdan iborat eng kichik qiymat argumentlar va generatorlar uchun ma'lum cheklovlar to'plami bilan ba'zi funktsiyalar cheklovlar tizimi , bu odatda cheksiz ko'p echimlarga ega. Har bir o'zgaruvchan qiymatlar to'plami (funktsiya argumentlari F ) cheklovlar sistemasini qanoatlantiruvchi deyiladi maqbul reja chiziqli dasturlash masalalari. Funktsiya F , maksimal yoki minimali aniqlangan, deyiladi maqsad funktsiyasi vazifalar. Funktsiyaning maksimal yoki minimaliga erishiladigan ruxsat etilgan reja F , deyiladi optimal reja vazifalar.

Rejalar to'plamini belgilaydigan cheklovlar tizimi ishlab chiqarish sharoitlari bilan belgilanadi. Chiziqli dasturlash muammosi ( ZLP ) amalga oshirish mumkin bo'lgan rejalar to'plamidan eng foydali (optimal)ni tanlashdir.

Chiziqli dasturlash muammosining umumiy formulasi quyidagicha:

Ba'zi o'zgaruvchilar mavjud x \u003d (x 1, x 2, ... x n) va bu o'zgaruvchilarning funktsiyasi f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , nomini olgan maqsad funktsiyalari. Vazifa qo'yiladi: maqsad funktsiyasining ekstremumini (maksimal yoki minimal) topish f(x) o'zgaruvchilar bo'lishi sharti bilan x qaysidir hududga tegishli G :

Funktsiya turiga qarab f(x) va hududlar G va matematik dasturlashning bo'limlarini ajrata oladi: kvadratik dasturlash, qavariq dasturlash, butun sonli dasturlash va boshqalar. Chiziqli dasturlash shunisi bilan tavsiflanadi
a) funktsiya f(x) hisoblanadi chiziqli funksiya o'zgaruvchilar x 1, x 2, ... x n
b) hudud G tizimi tomonidan belgilanadi chiziqli tenglik yoki tengsizlik.

Vektorlarning chiziqli birikmasi vektor hisoblanadi
, bu yerda l 1 , ... , l m ixtiyoriy koeffitsientlar.

Vektor tizimi
ga teng chiziqli birikma mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deyiladi , kamida bitta nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ega.

Vektor tizimi
agar uning biron birida bo'lsa, chiziqli mustaqil deyiladi chiziqli birikma ga teng , barcha koeffitsientlar nolga teng.

Vektorlar sistemasining asosi
uning bo'sh bo'lmagan chiziqli mustaqil quyi tizimi deyiladi, bu tizim orqali tizimning istalgan vektorini ifodalash mumkin.

2-misol. Vektorlar sistemasining asosini toping = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) va qolgan vektorlarni bazis bilan ifodalang.

Yechish.Biz matritsa quramiz, unda bu vektorlarning koordinatalarini ustunlarga joylashtiramiz. Biz uni bosqichli shaklga keltiramiz.

~
~
~
.

Ushbu tizimning asosini vektorlar tashkil qiladi ,,, ular doiralar bilan belgilangan qatorlarning etakchi elementlariga mos keladi. Vektor ifodasi uchun x 1 tenglamasini yeching +x2 +x4 =. U chiziqli tenglamalar tizimiga qisqartiradi, ularning matritsasi asl nusxadan mos keladigan ustunni almashtirish orqali olinadi. , erkin a'zolar ustuni o'rniga. Shuning uchun tizimni yechish uchun biz hosil bo'lgan matritsani bosqichma-bosqich shaklda ishlatamiz, unda kerakli almashtirishlarni qilamiz.

Biz ketma-ket topamiz:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Izoh 1. Agar bazis orqali bir nechta vektorlarni ifodalash talab etilsa, ularning har biri uchun mos chiziqli tenglamalar tizimi tuziladi. Ushbu tizimlar faqat bepul a'zolar ustunlarida farqlanadi. Shuning uchun ularni hal qilish uchun bitta matritsa tuzilishi mumkin, unda bir nechta erkin a'zolar ustunlari bo'ladi. Bunday holda, har bir tizim boshqalardan mustaqil ravishda hal qilinadi.

Izoh 2. Har qanday vektorni ifodalash uchun faqat undan oldingi sistemaning bazis vektorlaridan foydalanish kifoya. Bunday holda, matritsani qayta shakllantirishning hojati yo'q, to'g'ri joyga vertikal chiziq qo'yish kifoya.

2-mashq. Vektorlar sistemasining asosini toping va qolgan vektorlarni bazis orqali ifodalang:

lekin) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

ichida) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Qaror qabul qilishning asosiy tizimi

Chiziqli tenglamalar sistemasi, agar uning barcha erkin hadlari nolga teng bo'lsa, bir jinsli deyiladi.

Bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi yechimlarining fundamental tizimi uning yechimlari to'plamining asosi hisoblanadi.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan sistemasi berilgan bo'lsin. Berilgan bilan bog'langan bir hil sistema - bu berilgandan barcha bo'sh shartlarni nolga almashtirish orqali olingan tizim.

Agar bir jinsli bo'lmagan sistema izchil va noaniq bo'lsa, uning ixtiyoriy yechimi f n +  1 f o1 + ... +  k f o k ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda f n ma'lum bir yechimdir. heterojen tizim f o1, ..., f o k esa bog`langan bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar sistemasidir.

3-misol. 1-misoldan bir jinsli sistemaning muayyan yechimini toping va asosiy tizim bog'langan bir jinsli tizimning yechimlari.

Yechish.1-misolda olingan yechimni vektor ko‘rinishida yozamiz va hosil bo‘lgan vektorni o‘z ichiga olgan erkin parametrlar va qat’iy sonli qiymatlar bo‘yicha yig‘indiga kengaytiramiz:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Biz f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1) ni olamiz.

Izoh. Bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar tizimini topish masalasi ham xuddi shunday hal qilinadi.

3.1-mashq Bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar tizimini toping:

lekin)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

MASHQ 3.2. Bir jinsli sistemaning ma'lum yechimini va unga bog'liq bo'lgan bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar tizimini toping:

lekin)

b)

Chiziqli bog'liqlik va chiziqli mustaqillik vektorlar.
Vektorlar asoslari. Affin koordinata tizimi

Tomoshabinlarda shokoladli arava bor va bugungi kunda har bir tashrif buyuruvchi shirin juftlik - chiziqli algebra bilan analitik geometriyani oladi. Ushbu maqola bir vaqtning o'zida ikkita bo'limni qamrab oladi. oliy matematika, va biz ular bir o'ramda qanday munosabatda bo'lishlarini ko'rib chiqamiz. Tanaffus qiling, Twixni iste'mol qiling! ... la'nat, yaxshi, bema'nilik bahslasha. Yaxshi bo'lsa-da, men gol urmayman, oxir-oqibat, o'qishga ijobiy munosabat bo'lishi kerak.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi, vektorlarning chiziqli mustaqilligi, vektor asosi va boshqa atamalar nafaqat geometrik talqinga, balki, birinchi navbatda, algebraik ma'noga ega. Chiziqli algebra nuqtai nazaridan "vektor" tushunchasi har doim biz tekislikda yoki kosmosda tasvirlashimiz mumkin bo'lgan "oddiy" vektordan uzoqdir. Dalil izlashning hojati yo‘q, besh o‘lchamli fazo vektorini chizishga harakat qiling . Yoki men hozirgina Gismeteo-ga borgan ob-havo vektori: - harorat va Atmosfera bosimi mos ravishda. Misol, albatta, vektor fazosining xususiyatlari nuqtai nazaridan noto'g'ri, ammo shunga qaramay, hech kim bu parametrlarni vektor sifatida rasmiylashtirishni taqiqlamaydi. Kuz nafasi...

Yo'q, men sizni nazariya, chiziqli vektor bo'shliqlari bilan zeriktirmoqchi emasman, vazifa shu tushunish ta'riflar va teoremalar. Yangi atamalar (chiziqli bog'liqlik, mustaqillik, chiziqli birikma, bazis va boshqalar) algebraik nuqtai nazardan barcha vektorlarga tegishli, ammo misollar geometrik tarzda beriladi. Shunday qilib, hamma narsa oddiy, qulay va ingl. Analitik geometriya muammolaridan tashqari ba'zilarini ham ko'rib chiqamiz tipik vazifalar algebra. Materialni o'zlashtirish uchun darslar bilan tanishish tavsiya etiladi Dummies uchun vektorlar Va Determinantni qanday hisoblash mumkin?

Tekis vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Tekislik asosi va afin koordinatalar tizimi

Kompyuter stolining tekisligini ko'rib chiqing (shunchaki stol, choyshab, pol, ship, sizga yoqadigan narsa). Vazifa quyidagi harakatlardan iborat bo'ladi:

1) Samolyot asosini tanlang. Taxminan aytganda, stol usti uzunligi va kengligi bor, shuning uchun asosni qurish uchun ikkita vektor talab qilinishi intuitiv ravishda aniq. Bitta vektor etarli emas, uchta vektor juda ko'p.

2) Tanlangan asosga asoslanadi koordinatalar tizimini o'rnatish(koordinatalar panjarasi) jadvaldagi barcha elementlarga koordinatalarni belgilash uchun.

Hayron bo'lmang, dastlab tushuntirishlar barmoqlarda bo'ladi. Bundan tashqari, sizniki. Iltimos, joylashtiring chap qo'lning ko'rsatkich barmog'i stol usti chetida, shunda u monitorga qaraydi. Bu vektor bo'ladi. Endi joy o'ng qo'lning kichik barmog'i stolning chetida xuddi shu tarzda - monitor ekraniga yo'naltirilgan bo'lishi uchun. Bu vektor bo'ladi. Tabassum qiling, siz ajoyib ko'rinasiz! Vektorlar haqida nima deyish mumkin? Ma'lumotlar vektorlari kollinear, bu degani chiziqli bir-biri orqali ifodalanadi:
, yaxshi yoki aksincha: , bu erda nolga teng bo'lmagan son.

Ushbu harakatning rasmini darsda ko'rishingiz mumkin. Dummies uchun vektorlar, bu erda vektorni songa ko'paytirish qoidasini tushuntirdim.

Barmoqlaringiz kompyuter stolining tekisligiga asos soladimi? Shubhasiz. Kollinear vektorlar oldinga va orqaga harakatlanadi yolg'iz yo'nalish, tekislikning uzunligi va kengligi bor.

Bunday vektorlar deyiladi chiziqli bog'liq.

Malumot: “Chiziqli”, “chiziqli” so‘zlari matematik tenglamalarda, ifodalarda kvadrat, kub, boshqa darajalar, logarifmlar, sinuslar va hokazolarning yo‘qligini bildiradi. Faqat chiziqli (1-darajali) ifodalar va bog'liqliklar mavjud.

Ikki tekis vektor chiziqli bog'liq agar ular kollinear bo'lsa.

Barmoqlaringizni stol ustida kesib o'ting, ular orasida 0 yoki 180 gradusdan tashqari har qanday burchak bo'lsin. Ikki tekis vektorchiziqli emas Agar ular kollinear bo'lmasa, bog'liqdir. Shunday qilib, asos olinadi. Turli uzunlikdagi perpendikulyar bo'lmagan vektorlar bilan asos "qiyshiq" bo'lib chiqqanidan xijolat bo'lishning hojati yo'q. Tez orada biz uni qurish uchun nafaqat 90 graduslik burchak, balki teng uzunlikdagi birlik vektorlari ham mos kelishini ko'ramiz.

Har qanday tekislik vektori yagona yo'l asos bo'yicha kengaytirildi:
, haqiqiy sonlar qayerda. Raqamlar chaqiriladi vektor koordinatalari shu asosda.

Ular ham shunday deyishadi vektorshaklida taqdim etiladi chiziqli birikma bazis vektorlari. Ya'ni, ifoda deyiladi vektor parchalanishiasos yoki chiziqli birikma bazis vektorlari.

Masalan, vektor tekislikning ortonormal asosida kengaytirilgan deb aytish mumkin yoki u vektorlarning chiziqli birikmasi sifatida tasvirlangan deb aytish mumkin.

Keling, shakllantiramiz asosli ta'rif rasmiy ravishda: tekislik asosi chiziqli mustaqil (kollinear bo'lmagan) vektorlar juftligi, , unda har qanday tekislik vektori asosiy vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ta'rifning muhim nuqtasi vektorlar olinganligidir ma'lum bir tartibda. asoslar Bu ikkita butunlay boshqa asoslar! Ular aytganidek, chap qo'lning kichik barmog'ini o'ng qo'lning kichik barmog'i joyiga o'tkazib bo'lmaydi.

Biz asosni aniqladik, lekin koordinatalar panjarasini o'rnatish va kompyuter stolidagi har bir elementga koordinatalarni belgilash etarli emas. Nega yetarli emas? Vektorlar erkin va butun tekislik bo'ylab aylanib yuradilar. Xo'sh, qanday qilib yovvoyi dam olish kunlaridan qolgan kichik iflos stol nuqtalariga koordinatalarni belgilash mumkin? Boshlanish nuqtasi kerak. Va bunday mos yozuvlar nuqtasi hamma uchun tanish bo'lgan nuqta - koordinatalarning kelib chiqishi. Koordinatalar tizimini tushunish:

Men “maktab” tizimidan boshlayman. Kirish darsida allaqachon Dummies uchun vektorlar Men to'rtburchaklar koordinatalar tizimi va ortonormal asos o'rtasidagi ba'zi farqlarni ta'kidladim. Mana standart rasm:

Haqida gapirganda to'rtburchaklar koordinatalar tizimi, keyin ko'pincha ular koordinatalarning kelib chiqishini anglatadi, koordinata o'qlari va o'qlar bo'ylab masshtablash. Qidiruv tizimida "to'rtburchaklar koordinatalar tizimi" deb yozib ko'ring va ko'p manbalar sizga 5-6-sinfdan tanish bo'lgan koordinata o'qlari va nuqtalarni tekislikda qanday chizish haqida aytib berishini ko'rasiz.

Boshqa tomondan, to'rtburchaklar koordinatalar tizimini ortonormal asos nuqtai nazaridan yaxshi aniqlash mumkin degan taassurot paydo bo'ladi. Va bu deyarli. So'z quyidagicha bo'ladi:

kelib chiqishi, Va ortonormal asos to'plami Tekislikning kartezian koordinata tizimi . Ya'ni to'rtburchaklar koordinatalar tizimi albatta bitta nuqta va ikkita birlik ortogonal vektor bilan aniqlanadi. Shuning uchun siz yuqorida men bergan chizmani ko'rasiz - geometrik masalalarda vektorlar ham, koordinata o'qlari ham ko'pincha (lekin har doimgidan uzoqda) chiziladi.

Menimcha, hamma buni nuqta (kelib chiqishi) va ortonormal asos yordamida tushunadi Samolyotning HAR QANDAY NOKTA va samolyotning HAR QANDAY VEKTORI koordinatalarini belgilash mumkin. Majoziy ma'noda aytganda, "samolyotdagi hamma narsani raqamlash mumkin".

Koordinata vektorlari birlik bo'lishi kerakmi? Yo'q, ular o'zboshimchalik bilan nolga teng bo'lmagan uzunlikka ega bo'lishi mumkin. Bir va ikkita nuqtani ko'rib chiqing ortogonal vektorlar ixtiyoriy noldan farqli uzunlik:

Bunday asos deyiladi ortogonal. Vektorlar bilan koordinatalarning kelib chiqishi koordinatalar panjarasini belgilaydi va tekislikning istalgan nuqtasi, har qanday vektor berilgan asosda o'z koordinatalariga ega. Masalan, yoki. Aniq noqulaylik shundaki, koordinata vektorlari umuman birlikdan tashqari turli uzunliklarga ega. Agar uzunliklar birga teng bo'lsa, u holda odatiy ortonormal asos olinadi.

! Eslatma : ortogonal asosda, shuningdek quyida afin asoslar o'qlar bo'ylab tekislik va fazo birliklari ko'rib chiqiladi SHARTLI. Misol uchun, abscissa bo'ylab bir birlik 4 sm, ordinata bo'ylab bitta birlik 2 sm ni o'z ichiga oladi.Bu ma'lumot "nostandart" koordinatalarni kerak bo'lganda "bizning odatiy santimetrlarimiz" ga aylantirish uchun etarli.

Va ikkinchi savolga, aslida allaqachon javob berilgan - asosiy vektorlar orasidagi burchak 90 darajaga tengmi? Yo'q! Ta'rifda aytilganidek, bazis vektorlari bo'lishi kerak faqat kollinear emas. Shunga ko'ra, burchak 0 va 180 darajadan tashqari har qanday narsa bo'lishi mumkin.

Samolyotdagi nuqta chaqirildi kelib chiqishi, Va kollinear bo'lmagan vektorlar, , oʻrnating tekislikning affin koordinata tizimi :

Ba'zan bu koordinatalar tizimi deyiladi qiyshiq tizimi. Nuqtalar va vektorlar chizmada misol sifatida ko'rsatilgan:

Siz tushunganingizdek, affin koordinata tizimi bundan ham qulayroq emas, biz darsning ikkinchi qismida ko'rib chiqqan vektorlar va segmentlarning uzunliklari uchun formulalar unda ishlamaydi. Dummies uchun vektorlar, bilan bog'liq ko'plab mazali formulalar vektorlarning skalyar mahsuloti. Ammo vektorlarni qo'shish va vektorni raqamga ko'paytirish qoidalari amal qiladi, bu borada segmentni bo'lish formulalari, shuningdek, biz yaqinda ko'rib chiqamiz.

Va xulosa shuki, eng qulay alohida holat afin tizimi koordinatalar dekart to'rtburchaklar sistemasidir. Shuning uchun, u ko'pincha o'zini ko'rishi kerak. ... Biroq, bu hayotda hamma narsa nisbiydir - ko'p holatlar mavjud bo'lib, ularda oblique (yoki boshqa, masalan, qutbli) koordinatalar tizimi. Ha, va gumanoidlar bunday tizimlar tatib ko'rishi mumkin =)

Keling, amaliy qismga o'tamiz. Ushbu darsdagi barcha masalalar to'rtburchaklar koordinatalar tizimi uchun ham, umumiy affin holati uchun ham amal qiladi. Bu erda hech qanday murakkab narsa yo'q, barcha materiallar hatto maktab o'quvchisi uchun ham mavjud.

Tekis vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Oddiy narsa. Ikki tekis vektor uchun kollinear bo'lsa, ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'lishi zarur va etarli.Aslida, bu aniq munosabatlarni koordinata bo'yicha aniqlashtirishdir.

1-misol

a) vektorlarning kollinear ekanligini tekshiring .
b) Vektorlar asosni tashkil qiladimi? ?

Yechim:
a) Vektorlar mavjudligini aniqlang mutanosiblik koeffitsienti, shuning uchun tenglik bajariladi:

Men sizga, albatta, amalda juda yaxshi ishlaydigan ushbu qoidani qo'llashning "axloqsiz" versiyasi haqida gapirib beraman. G'oya darhol proportsiyani tuzish va uning to'g'ri yoki yo'qligini tekshirishdir:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalarining nisbatlaridan proporsiya tuzamiz:

Biz qisqartiramiz:
, shuning uchun mos keladigan koordinatalar proportsionaldir, shuning uchun

Aloqa tuzilishi mumkin va aksincha, bu ekvivalent variant:

O'z-o'zini sinab ko'rish uchun kollinear vektorlarning bir-biri orqali chiziqli ifodalanganligidan foydalanish mumkin. Bunday holda, tenglik mavjud . Ularning to'g'riligini osongina tekshirish mumkin elementar harakatlar vektorlar bilan:

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Biz vektorlarni kollinearlik uchun tekshiramiz . Keling, tizim yarataylik:

Birinchi tenglamadan kelib chiqadiki, ikkinchi tenglamadan shunday chiqadi, ya'ni, tizim mos kelmaydi(echimlar yo'q). Shunday qilib, vektorlarning mos keladigan koordinatalari proportsional emas.

Chiqish: vektorlar chiziqli mustaqil va asosni tashkil qiladi.

Yechimning soddalashtirilgan versiyasi quyidagicha ko'rinadi:

Vektorlarning mos keladigan koordinatalaridan nisbatni tuzing :
, demak, bu vektorlar chiziqli mustaqil va bazisni tashkil qiladi.

Odatda sharhlovchilar bu variantni rad etmaydilar, lekin ba'zi koordinatalar nolga teng bo'lgan hollarda muammo paydo bo'ladi. Mana bunday: . Yoki shunday: . Yoki shunday: . Bu erda proportsiya bilan qanday ishlash kerak? (Haqiqatan ham, siz nolga bo'linmaysiz). Shuning uchun men soddalashtirilgan yechimni "foppish" deb atadim.

Javob: a) , b) shakl.

Mustaqil yechim uchun kichik ijodiy misol:

2-misol

Parametr vektorlarining qaysi qiymatida kollinear bo'ladimi?

Namuna eritmasida parametr nisbat orqali topiladi.

Vektorlarning kollinearligini tekshirishning nafis algebraik usuli mavjud.Keling, bilimlarimizni tizimlashtirib, uni beshinchi nuqta sifatida qo‘shamiz:

Ikki tekis vektor uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:

2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar kollinear emas;

+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant nolga teng.

Mos ravishda, quyidagi qarama-qarshi gaplar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli bog'liqdir;
2) vektorlar asos hosil qilmaydi;
3) vektorlar kollinear;
4) vektorlar bir-biri orqali chiziqli ifodalanishi mumkin;
+ 5) bu vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng..

Umid qilamanki, siz hozirda duch kelgan barcha atamalar va bayonotlarni tushunasiz.

Keling, yangi, beshinchi nuqtani batafsil ko'rib chiqaylik: ikkita tekis vektor Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular kollinear bo'ladi.:. Bu xususiyatdan foydalanish uchun, albatta, qobiliyatga ega bo'lishingiz kerak determinantlarni toping.

Biz qaror qilamiz Ikkinchi usulda 1-misol:

a) Vektorlar koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblang :
, shuning uchun bu vektorlar kollineardir.

b) Ikki tekis vektor, agar ular kollinear (chiziqli mustaqil) bo'lmasa, bazis hosil qiladi. Vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblaylik :
, demak vektorlar chiziqli mustaqil va bazisni tashkil qiladi.

Javob: a) , b) shakl.

Bu proportsional eritmaga qaraganda ancha ixcham va chiroyli ko'rinadi.

Ko'rib chiqilayotgan material yordamida faqat vektorlarning kollinearligini o'rnatish, balki segmentlar, to'g'ri chiziqlar parallelligini isbotlash mumkin. Muayyan geometrik shakllar bilan bog'liq bir nechta muammolarni ko'rib chiqing.

3-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak parallelogramm ekanligini isbotlang.

Isbot: Muammoning chizmasini qurishning hojati yo'q, chunki yechim faqat analitik bo'ladi. Paralelogramma ta'rifini eslang:
Paralelogramma Qarama-qarshi tomonlari juft parallel bo'lgan to'rtburchak deyiladi.

Shunday qilib, isbotlash kerak:
1) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va;
2) qarama-qarshi tomonlarning parallelligi va .

Biz isbotlaymiz:

1) vektorlarni toping:

2) vektorlarni toping:

Natijada bir xil vektor ("maktab bo'yicha" - teng vektorlar). Kollinearlik juda aniq, ammo qarorni tartibga solish bilan to'g'ri qabul qilish yaxshiroqdir. Vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblang:
, shuning uchun bu vektorlar kollinear va .

Chiqish: To'rtburchakning qarama-qarshi tomonlari juft parallel, shuning uchun u ta'rifiga ko'ra parallelogrammadir. Q.E.D.

Yana yaxshi va turli raqamlar:

4-misol

To'rtburchakning uchlari berilgan. To'rtburchak trapetsiya ekanligini isbotlang.

Dalilni yanada qat'iy shakllantirish uchun, albatta, trapezoidning ta'rifini olish yaxshiroqdir, lekin uning qanday ko'rinishini eslab qolish kifoya.

Bu mustaqil qaror qabul qilish vazifasi. To'liq yechim dars oxirida.

Va endi asta-sekin samolyotdan kosmosga o'tish vaqti keldi:

Kosmik vektorlarning kollinearligini qanday aniqlash mumkin?

Qoida juda o'xshash. Ikki fazo vektori kollinear bo'lishi uchun ularning tegishli koordinatalari ga mutanosib bo'lishi zarur va etarli..

5-misol

Quyidagi fazo vektorlari kollinear ekanligini aniqlang:

lekin);
b)
ichida)

Yechim:
a) vektorlarning tegishli koordinatalari uchun mutanosiblik koeffitsienti mavjudligini tekshiring:

Tizimda yechim yo'q, ya'ni vektorlar kollinear emas.

"Soddalashtirilgan" nisbatni tekshirish orqali amalga oshiriladi. Ushbu holatda:
- mos keladigan koordinatalar proportsional emas, ya'ni vektorlar kollinear emas.

Javob: vektorlar kollinear emas.

b-c) Bular mustaqil qaror qabul qilish nuqtalari. Buni ikki usulda sinab ko'ring.

Fazoviy vektorlarni kollinearlik va uchinchi tartibli determinant orqali tekshirish usuli mavjud, Bu yerga maqolada yoritilgan Vektorlarning o'zaro mahsuloti.

Samolyot holatiga o'xshab, ko'rib chiqilgan asboblar fazoviy segmentlar va chiziqlarning parallelligini o'rganish uchun ishlatilishi mumkin.

Ikkinchi bo'limga xush kelibsiz:

Uch o'lchovli fazo vektorlarining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi.
Fazoviy asos va affin koordinatalar tizimi

Samolyotda biz ko'rib chiqqan ko'plab qonuniyatlar kosmos uchun ham amal qiladi. Men nazariyaning qisqacha mazmunini minimallashtirishga harakat qildim, chunki ma'lumotlarning asosiy ulushi allaqachon chaynalgan. Shunga qaramay, men kirish qismini diqqat bilan o'qib chiqishingizni tavsiya qilaman, chunki yangi atamalar va tushunchalar paydo bo'ladi.

Endi, kompyuter stolining tekisligi o'rniga, uch o'lchovli fazoni ko'rib chiqamiz. Birinchidan, uning asosini yarataylik. Kimdir hozir uyda, kimdir tashqarida, lekin har qanday holatda biz uchta o'lchovdan uzoqlasha olmaymiz: kenglik, uzunlik va balandlik. Shuning uchun, asosni qurish uchun, uchta fazoviy vektor. Bir yoki ikkita vektor etarli emas, to'rtinchisi ortiqcha.

Va yana barmoqlar ustida isinamiz. Iltimos, qo'lingizni yuqoriga ko'taring va turli yo'nalishlarda yoying bosh barmoq, ko'rsatkich va o'rta barmoq. Bu vektorlar bo'ladi, ular turli yo'nalishlarga qaraydilar, turli uzunliklarga ega va o'zaro turli burchaklarga ega. Tabriklaymiz, uch o'lchamli makonning asosi tayyor! Aytgancha, barmoqlaringizni qanday burishingizdan qat'i nazar, buni o'qituvchilarga ko'rsatishingiz shart emas, lekin siz ta'riflardan uzoqlasha olmaysiz =)

Keyin biz muhim savol beramiz, har qanday uchta vektor uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi? Iltimos, kompyuter stolining tepasiga uchta barmog'ingizni mahkam bosing. Nima sodir bo `LDI? Uch vektor bir xil tekislikda joylashgan va, taxminan, biz o'lchovlardan birini - balandlikni yo'qotdik. Bunday vektorlar koplanar va uch o'lchovli fazoning asosi yaratilmaganligi aniq.

Shuni ta'kidlash kerakki, koplanar vektorlar bir tekislikda yotishi shart emas, ular bir tekisda bo'lishi mumkin. parallel tekisliklar(Faqat barmoqlaringiz bilan qilmang, faqat Salvador Dali shunday chiqdi =)).

Ta'rif: vektorlar deyiladi koplanar agar ular parallel bo'lgan tekislik mavjud bo'lsa. Bu erda shuni qo'shish mantiqan to'g'riki, agar bunday tekislik mavjud bo'lmasa, vektorlar koplanar bo'lmaydi.

Uchta koplanar vektor har doim chiziqli bog'liqdir, ya'ni ular bir-biri orqali chiziqli tarzda ifodalanadi. Oddiylik uchun ular bir tekislikda yotishlarini yana bir bor tasavvur qiling. Birinchidan, vektorlar nafaqat koplanar, balki kollinear ham bo'lishi mumkin, keyin har qanday vektor har qanday vektor orqali ifodalanishi mumkin. Ikkinchi holda, masalan, vektorlar kollinear bo'lmasa, uchinchi vektor ular orqali o'ziga xos tarzda ifodalanadi: (va nima uchun oldingi bo'lim materiallaridan taxmin qilish oson).

Qarama-qarshilik ham to'g'ri: uchta koplanar bo'lmagan vektor har doim chiziqli mustaqildir, ya'ni ular hech qanday tarzda bir-biri orqali ifodalanmaydi. Va, shubhasiz, faqat bunday vektorlar uch o'lchovli makonning asosini tashkil qilishi mumkin.

Ta'rif: Uch o'lchovli fazoning asosi chiziqli mustaqil (komplanar bo'lmagan) vektorlarning uch karrasi deyiladi, ma'lum bir tartibda olinadi, bo'shliqning istalgan vektori bo'lganda yagona yo'l berilgan asosda kengayadi , bu erda vektorning koordinatalari berilgan asosda

Eslatib o'tamiz, vektor sifatida ifodalanganligini ham aytishingiz mumkin chiziqli birikma bazis vektorlari.

Koordinatalar tizimi tushunchasi ham xuddi shunday tarzda kiritilgan tekis korpus, bitta nuqta va har qanday uchta chiziqli mustaqil vektorlar:

kelib chiqishi, Va tekis bo'lmagan vektorlar, ma'lum bir tartibda olinadi, oʻrnating uch o'lchovli fazoning affin koordinata tizimi :

Albatta, koordinatalar tarmog'i "qiyshiq" va noqulay, ammo shunga qaramay, tuzilgan koordinatalar tizimi bizga imkon beradi albatta har qanday vektorning koordinatalarini va fazodagi istalgan nuqtaning koordinatalarini aniqlang. Tekislikka o'xshab, men aytib o'tgan ba'zi formulalar fazoning affin koordinata tizimida ishlamaydi.

Affin koordinatalar tizimining eng tanish va qulay maxsus holati, har kim taxmin qilishi mumkin to'rtburchaklar fazo koordinatalari tizimi:

fazodagi nuqta deyiladi kelib chiqishi, Va ortonormal asos to'plami Fazoning kartezian koordinata tizimi . tanish rasm:

Amaliy topshiriqlarga o'tishdan oldin biz ma'lumotlarni yana bir bor tizimlashtiramiz:

Uch fazo vektori uchun quyidagi bayonotlar ekvivalentdir:
1) vektorlar chiziqli mustaqil;
2) vektorlar asosni tashkil qiladi;
3) vektorlar koplanar emas;
4) vektorlarni bir-biri orqali chiziqli ifodalash mumkin emas;
5) bu vektorlarning koordinatalaridan tuzilgan determinant noldan farq qiladi.

Qarama-qarshi bayonotlar, menimcha, tushunarli.

Kosmik vektorlarning chiziqli bog'liqligi / mustaqilligi an'anaviy ravishda determinant yordamida tekshiriladi (5-band). Qolgan amaliy vazifalar aniq algebraik xususiyatga ega bo'ladi. Geometrik tayoqni mixga osib, chiziqli algebra beysbol tayoqchasini qo'llash vaqti keldi:

Uch kosmik vektor Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng bo'lsa, ular koplanar hisoblanadi: .

Men sizning e'tiboringizni kichik texnik nuancega qarataman: vektorlarning koordinatalarini nafaqat ustunlar, balki satrlarda ham yozish mumkin (determinantning qiymati bundan o'zgarmaydi - determinantlarning xususiyatlariga qarang). Ammo ustunlarda bu ancha yaxshi, chunki u ba'zi amaliy muammolarni hal qilish uchun foydaliroqdir.

Determinantlarni hisoblash usullarini biroz unutgan yoki ular umuman yo'naltirilgan bo'lmagan o'quvchilar uchun men eng qadimgi darslarimdan birini tavsiya qilaman: Determinantni qanday hisoblash mumkin?

6-misol

Quyidagi vektorlar uch o'lchamli fazoning asosini tashkil qiladimi yoki yo'qligini tekshiring:

Yechim: Aslida, butun yechim determinantni hisoblashdan kelib chiqadi.

a) vektorlar koordinatalaridan tuzilgan determinantni hisoblang (birinchi qatorda determinant kengaytiriladi):

, ya'ni vektorlar chiziqli mustaqil (komplanar emas) va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

Javob: bu vektorlar asosni tashkil qiladi

b) Bu mustaqil qaror qabul qilish nuqtasi. To'liq yechim va javob dars oxirida.

Bundan tashqari, ijodiy vazifalar mavjud:

7-misol

Parametrning qaysi qiymatida vektorlar koplanar bo'ladi?

Yechim: Agar berilgan vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinant nolga teng boʻlsagina vektorlar koplanar boʻladi:

Asosan, determinant bilan tenglamani yechish talab qilinadi. Biz uçurtmalar jerboasga o'xshab nolga uchamiz - ikkinchi qatorda determinantni ochish va darhol minuslardan xalos bo'lish eng foydalidir:

Biz qo'shimcha soddalashtirishlarni amalga oshiramiz va masalani eng oddiy chiziqli tenglamaga keltiramiz:

Javob: da

Bu erda tekshirish oson, buning uchun siz olingan qiymatni asl determinantga almashtirishingiz va ishonch hosil qilishingiz kerak uni qayta ochish orqali.

Xulosa qilib aytganda, ko'proq algebraik xususiyatga ega bo'lgan va chiziqli algebra kursiga an'anaviy ravishda kiritilgan yana bir tipik masalani ko'rib chiqamiz. Bu shunchalik keng tarqalganki, u alohida mavzuga loyiqdir:

3 ta vektor uch o‘lchamli fazoning asosini tashkil etishini isbotlang
va berilgan asosdagi 4-vektorning koordinatalarini toping

8-misol

Vektorlar berilgan. Vektorlar uch o'lchamli fazoning asosini tashkil etishini ko'rsating va shu asosda vektorning koordinatalarini toping.

Yechim: Avval shart bilan shug'ullanamiz. Shartga ko'ra, to'rtta vektor berilgan va siz ko'rib turganingizdek, ular allaqachon biron bir asosda koordinatalarga ega. Asos nima - bizni qiziqtirmaydi. Va quyidagi narsa qiziq: uchta vektor yangi asos bo'lishi mumkin. Va birinchi qadam 6-misolning yechimi bilan butunlay bir xil, vektorlarning haqiqatan ham chiziqli mustaqilligini tekshirish kerak:

Vektorlarning koordinatalaridan tashkil topgan determinantni hisoblang:

, shuning uchun vektorlar chiziqli mustaqil va uch o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladi.

! Muhim : vektor koordinatalari albatta yozib qo'ying ustunlarga satrlar emas, determinant. Aks holda, keyingi yechim algoritmida chalkashlik bo'ladi.

Geometriyada vektor deganda yo'naltirilgan segment va bir-biridan olingan vektorlar tushuniladi parallel uzatish, teng deb hisoblanadi. Barcha teng vektorlar bir xil vektor sifatida qabul qilinadi. Vektorning boshi fazo yoki tekislikning istalgan nuqtasiga joylashtirilishi mumkin.

Agar vektor uchlarining koordinatalari fazoda berilgan bo'lsa: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), keyin

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Xuddi shunday formula tekislikda ham mavjud. Bu vektorni koordinatalar qatori sifatida yozish mumkinligini bildiradi. Vektorlar ustida amallar, - songa qo'shish va ko'paytirish, satrlarda komponentlar bo'yicha bajariladi. Bu vektor tushunchasini kengaytirish, vektorni har qanday raqamlar qatori sifatida tushunish imkonini beradi. Masalan, chiziqli tenglamalar tizimini, shuningdek, har qanday qiymatlar to'plamini yechish tizim o'zgaruvchilari, vektor sifatida ko'rish mumkin.

Bir xil uzunlikdagi satrlarda qo'shish amali qoida bo'yicha bajariladi

(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Satrni raqamga ko'paytirish qoidaga muvofiq amalga oshiriladi

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Berilgan uzunlikdagi qator vektorlari to'plami n ko'rsatilgan vektor qo'shish va songa ko'paytirish amallari bilan atalgan algebraik strukturani hosil qiladi n o'lchovli chiziqli fazo.

Vektorlarning chiziqli birikmasi vektor hisoblanadi , bu yerda l 1 , ... , l m ixtiyoriy koeffitsientlardir.

Agar kamida bitta noldan farqli koeffitsientga ega bo'lgan chiziqli birikma mavjud bo'lsa, vektorlar tizimi chiziqli bog'liq deb ataladi.

Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil deyiladi, agar uning chiziqli birikmalaridan birida ga teng bo'lsa, barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa.

Shunday qilib, vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi haqidagi savolning yechimi tenglamaning yechimiga keltiriladi.

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Agar bu tenglama nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega bo'lsa, u holda vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir. Agar nol yechim yagona bo'lsa, vektorlar tizimi chiziqli mustaqildir.

Tizimni (4) yechish uchun, ravshanlik uchun vektorlarni satr shaklida emas, balki ustunlar shaklida yozish mumkin.

Keyin, chap tomonda o'zgartirishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz (4) tenglamaga ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimiga kelamiz. Ushbu tizimning asosiy matritsasi ustunlar bo'ylab joylashtirilgan dastlabki vektorlarning koordinatalari orqali hosil bo'ladi. Bu erda bepul a'zolar ustuni kerak emas, chunki tizim bir hil.

Asos vektorlar tizimi (cheklangan yoki cheksiz, xususan, barcha chiziqli fazo) uning bo'sh bo'lmagan chiziqli mustaqil quyi tizimi bo'lib, u orqali tizimning istalgan vektorini ifodalash mumkin.

1.5.2-misol. Vektorlar sistemasining asosini toping = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) va boshqa vektorlarni bazis orqali ifodalang.

Yechim. Ushbu vektorlarning koordinatalari ustunlar shaklida joylashtirilgan matritsa quramiz. Bu tizimning matritsasi x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Matritsani bosqichli shaklga keltiramiz:

~ ~ ~

Ushbu vektorlar tizimining asosini aylanalar bilan belgilangan qatorlarning etakchi elementlariga mos keladigan , , vektorlari tashkil qiladi. Vektorni ifodalash uchun tenglamani yechamiz x 1 + x 2 + x 4 =. U chiziqli tenglamalar tizimiga keltiriladi, uning matritsasi asl nusxadan mos ustunni erkin shartlar ustuni joyiga qayta joylashtirish orqali olinadi. Shuning uchun, bosqichli shaklga qisqartirilganda, matritsada yuqoridagi kabi o'zgarishlar amalga oshiriladi. Bu shuni anglatadiki, biz hosil bo'lgan matritsani undagi ustunlarning kerakli o'rnini bosish orqali bosqichli shaklda ishlatishimiz mumkin: aylanali ustunlar vertikal chiziqning chap tomoniga, vektorga mos keladigan ustun esa o'ngga joylashtiriladi. bardan.

Biz ketma-ket topamiz:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Izoh. Agar bazis orqali bir nechta vektorlarni ifodalash talab etilsa, ularning har biri uchun tegishli chiziqli tenglamalar tizimi tuziladi. Ushbu tizimlar faqat bepul a'zolar ustunlarida farqlanadi. Bunday holda, har bir tizim boshqalardan mustaqil ravishda hal qilinadi.

MASHQ 1.4. Vektorlar sistemasining asosini toping va qolgan vektorlarni bazis bilan ifodalang:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

Berilgan vektorlar tizimida bazis odatda turlicha farqlanishi mumkin, ammo barcha asoslar bir xil miqdordagi vektorlarga ega bo'ladi. Chiziqli fazo asosidagi vektorlar soni fazoning o'lchami deyiladi. Uchun n-o'lchovli chiziqli fazo n fazoning o'lchamidir, chunki bu bo'shliq standart asosga ega = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Bu asos orqali har qanday vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) quyidagicha ifodalanadi:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Shunday qilib, vektor qatoridagi komponentlar = (a 1 , a 2 , … , a n) standart asos bo'yicha kengayishda uning koeffitsientlari.

Samolyotda to'g'ri chiziqlar

Analitik geometriya muammosi - qo'llash geometrik masalalar koordinata usuli. Bu vazifani tarjima qiladi algebraik shakl va algebra yordamida yechiladi.

Bazisga kiritilmagan vektorlar va vektorlar tizimining asosini toping, asos bo'yicha kengaytiring:

lekin 1 = {5, 2, -3, 1}, lekin 2 = {4, 1, -2, 3}, lekin 3 = {1, 1, -1, -2}, lekin 4 = {3, 4, -1, 2}, lekin 5 = {13, 8, -7, 4}.

Yechim. O'ylab ko'ring bir hil tizim chiziqli tenglamalar

lekin 1 X 1 + lekin 2 X 2 + lekin 3 X 3 + lekin 4 X 4 + lekin 5 X 5 = 0

yoki kengaytirilgan.

Biz ushbu tizimni Gauss usulidan foydalanib, qatorlar va ustunlarni almashtirmasdan va qo'shimcha ravishda tanlamasdan hal qilamiz. asosiy element yuqori chap burchakda emas, balki butun chiziq bo'ylab. Vazifa - o'zgartirilgan vektorlar tizimining diagonal qismini tanlang.

~ ~

~ ~ ~ .

Ruxsat etilgan vektorlar tizimi asl nusxaga ekvivalent shaklga ega

lekin 1 1 X 1 + lekin 2 1 X 2 + lekin 3 1 X 3 + lekin 4 1 X 4 + lekin 5 1 X 5 = 0 ,

qayerda lekin 1 1 = , lekin 2 1 = , lekin 3 1 = , lekin 4 1 = , lekin 5 1 = . (1)

Vektorlar lekin 1 1 , lekin 3 1 , lekin 4 1 diagonal sistema hosil qiladi. Shuning uchun vektorlar lekin 1 , lekin 3 , lekin 4 vektorlar sistemasining asosini tashkil qiladi lekin 1 , lekin 2 , lekin 3 , lekin 4 , lekin 5 .

Endi vektorlarni kengaytiramiz lekin 2 Va lekin 5 asosda lekin 1 , lekin 3 , lekin 4 . Buning uchun avvalo mos vektorlarni kengaytiramiz lekin 2 1 Va lekin 5 1 diagonal tizim lekin 1 1 , lekin 3 1 , lekin 4 1, diagonal tizimda vektor kengayish koeffitsientlari uning koordinatalari ekanligini hisobga olgan holda x i.

(1) dan bizda:

lekin 2 1 = lekin 3 1 (-1) + lekin 4 1 0 + lekin 1 1 1 lekin 2 1 = lekin 1 1 – lekin 3 1 .

lekin 5 1 = lekin 3 1 0 + lekin 4 1 1+ lekin 1 1 2 lekin 5 1 = 2lekin 1 1 + lekin 4 1 .

Vektorlar lekin 2 Va lekin 5 asosda kengaytiriladi lekin 1 , lekin 3 , lekin 4 vektorlar bilan bir xil koeffitsientlarga ega lekin 2 1 Va lekin 5 1 diagonal tizim lekin 1 1 , lekin 3 1 , lekin 4 1 (bu koeffitsientlar x i). Binobarin,

lekin 2 = lekin 1 – lekin 3 , lekin 5 = 2lekin 1 + lekin 4 .

Vazifalar. bitta.Vektorlar sistemasining asosini va bazisga kirmaydigan vektorlarni toping, bazisga qarab kengaytiring:

1. a 1 = { 1, 2, 1 }, a 2 = { 2, 1, 3 }, a 3 = { 1, 5, 0 }, a 4 = { 2, -2, 4 }.

2. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 0, 1, 2 }, a 3 = { 2, 1, -4 }, a 4 = { 1, 1, 0 }.

3. a 1 = { 1, -2, 3 }, a 2 = { 0, 1, -1 }, a 3 = { 1, 3, 0 }, a 4 = { 0, -7, 3 }, a 5 = { 1, 1, 1 }.

4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.

2. Vektorlar sistemasining barcha asoslarini toping:

1. a 1 = { 1, 1, 2 }, a 2 = { 3, 1, 2 }, a 3 = { 1, 2, 1 }, a 4 = { 2, 1, 2 }.

2. a 1 = { 1, 1, 1 }, a 2 = { -3, -5, 5 }, a 3 = { 3, 4, -1 }, a 4 = { 1, -1, 4 }.