Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi a 1 , ..., a n koeffitsientlari x 1 , ..., x n vektor deyiladi.
x 1 a 1 + ... + x n a n.
ahamiyatsiz, agar barcha koeffitsientlar x 1 , ..., x n nolga teng bo'lsa.
Ta'rif. x 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz, agar x 1 , ..., x n koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.
chiziqli mustaqil, agar nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlarning ahamiyatsiz birikmasi bo'lmasa.
Ya'ni, a 1 , ..., a n vektorlari x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 bo'lsa, faqat x 1 = 0, ..., x n = 0 bo'lsa, chiziqli mustaqildir.
Ta'rif. a 1 , ..., a n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, agar nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlarning ahamiyatsiz birikmasi mavjud bo'lsa.
Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari:
n o'lchovli vektorlar uchun.
n + 1 vektorlar har doim chiziqli bog'liqdir.
2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun.
Ikki chiziqli qaram vektor kollineardir. (Kollinear vektorlar chiziqli bog'liqdir.) .
3 o'lchovli vektorlar uchun.
Uchta chiziqli bog'liq vektorlar koplanardir. (Uchta koplanar vektor chiziqli bog'liqdir.)
Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi uchun topshiriqlarga misollar:
1-misol. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring. .
Yechim:
Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.
2-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Yechim:
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + x3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo‘shing:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ushbu yechim tizimning ko'plab echimlarga ega ekanligini ko'rsatadi, ya'ni x 1 , x 2 , x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud chiziqli birikma a , b , c vektorlari nol vektorga teng, masalan:
A + b + c = 0
ya'ni a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
Javob: a , b , c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
3-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Yechim: Ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Bu vektor tenglamani sistema sifatida yozish mumkin chiziqli tenglamalar
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + 2x3 = 0 |
Bu sistemani Gauss usuli yordamida yechamiz
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
ikkinchi qatordan birinchisini ayirmoq; uchinchi qatordan birinchisini ayirish:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing.
Vektorlar algebrasini o‘rganishda chiziqli bog‘liqlik va vektorlar tizimining mustaqilligi tushunchalari juda muhim, chunki ular asosida o‘lcham va fazo asosi tushunchalari yotadi. Ushbu maqolada biz ta'riflar beramiz, chiziqli bog'liqlik va mustaqillik xususiyatlarini ko'rib chiqamiz, chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish algoritmini olamiz va misollar yechimlarini batafsil tahlil qilamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligini aniqlash.
p n o'lchovli vektorlar to'plamini ko'rib chiqing, ularni quyidagicha belgilang. Ushbu vektorlar va ixtiyoriy sonlarning chiziqli birikmasini tuzing 
(haqiqiy yoki murakkab): . n o'lchovli vektorlar ustidagi amallarning ta'rifiga, shuningdek vektorlarni qo'shish va vektorni raqamga ko'paytirish operatsiyalarining xususiyatlariga asoslanib, qayd etilgan chiziqli birikma qandaydir n o'lchovli vektor , ya'ni, .
Shunday qilib, biz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi ta'rifiga keldik.
Ta'rif.
Agar chiziqli birikma raqamlar orasida nol vektor bo'lishi mumkin 
noldan boshqa hech bo'lmaganda bitta bo'lsa, vektorlar tizimi deyiladi chiziqli bog'liq.
Ta'rif.
Agar chiziqli birikma faqat barcha raqamlar bo'lganda null vektor bo'lsa nolga teng bo'lsa, vektorlar tizimi deyiladi chiziqli mustaqil.
Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.
Ushbu ta'riflarga asoslanib, biz shakllantiramiz va isbotlaymiz vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi xossalari.
Agar chiziqli bog'liq vektorlar tizimiga bir nechta vektor qo'shilsa, natijada olingan sistema chiziqli bog'liq bo'ladi.
Isbot.
Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lganligi sababli, raqamlardan kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqam bo'lsa, tenglik mumkin. . Bo'lsin.
Dastlabki vektorlar sistemasiga yana s vektor qo‘shamiz 
, va biz tizimni olamiz. beri va , keyin shaklning ushbu sistemasi vektorlarining chiziqli birikmasi
nol vektor va . Shuning uchun hosil bo'lgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.
Agar chiziqli mustaqil vektorlar tizimidan bir nechta vektorlar chiqarib tashlansa, natijada olingan tizim chiziqli mustaqil bo'ladi.
Isbot.
Olingan tizim chiziqli bog'liq deb faraz qilamiz. Ushbu vektorlar tizimiga barcha tashlangan vektorlarni qo'shsak, biz vektorlarning dastlabki tizimini olamiz. Shartga ko'ra, u chiziqli mustaqildir va chiziqli bog'liqlikning oldingi xususiyati tufayli u chiziqli bog'liq bo'lishi kerak. Biz qarama-qarshilikka keldik, shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri.
Agar vektorlar sistemasi kamida bitta nol vektorga ega bo'lsa, bunday tizim chiziqli bog'liqdir.
Isbot.
Bu vektorlar sistemasidagi vektor nolga teng bo'lsin. Faraz qilaylik, vektorlarning dastlabki sistemasi chiziqli mustaqil. U holda vektor tengligi faqat qachon mumkin bo'lsa. Biroq, agar biz nolga teng bo'lmagan har qanday nolni olsak, u holda tenglik hali ham amal qiladi, chunki . Shuning uchun, bizning taxminimiz noto'g'ri va vektorlarning dastlabki tizimi chiziqli bog'liqdir.
Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, unda uning vektorlaridan kamida bittasi boshqalari bilan chiziqli ravishda ifodalanadi. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, u holda vektorlarning hech birini boshqalar bilan ifodalab bo'lmaydi.
Isbot.
Keling, birinchi fikrni isbotlaylik.
Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsin, u holda kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqam mavjud va tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikni ga nisbatan hal qilish mumkin, chunki , bu holda, biz bor 
Binobarin, vektor isbotlanishi kerak bo'lgan tizimning qolgan vektorlari bilan chiziqli tarzda ifodalanadi.
Endi biz ikkinchi fikrni isbotlaymiz.
Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik faqat uchun mumkin.
Aytaylik, tizimning ba'zi vektorlari chiziqli ravishda boshqalari bilan ifodalangan. U holda bu vektor bo'lsin. Bu tenglikni quyidagicha qayta yozish mumkin, uning chap tomonida tizim vektorlarining chiziqli birikmasi mavjud va vektor oldidagi koeffitsient nolga teng emas, bu esa vektorlarning dastlabki tizimining chiziqli bog'liqligini ko'rsatadi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, ya'ni mulk isbotlangan.
Oxirgi ikkita xususiyatdan muhim bayonot kelib chiqadi:
agar vektorlar sistemasi vektorlarni o'z ichiga olsa va bu erda - ixtiyoriy raqam, u holda chiziqli bog'liqdir.
Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish.
Keling, vazifani qo'yaylik: biz chiziqli bog'liqlikni yoki chiziqli mustaqillikni o'rnatishimiz kerak vektorlar tizimi .
Mantiqiy savol: "Buni qanday hal qilish kerak?"
Amaliy nuqtai nazardan foydali narsani yuqoridagi ta'riflar va vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi xususiyatlaridan olish mumkin. Ushbu ta'riflar va xususiyatlar vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligini quyidagi hollarda aniqlashga imkon beradi:
Ko'pchilik bo'lgan boshqa hollarda-chi?
Keling, bu bilan shug'ullanamiz.
Biz maqolada keltirgan matritsa darajasi bo'yicha teorema formulasini eslang.
Teorema.
Bo'lsin r - p tartibli A matritsasining n ga tengligi, 
. M matritsaning asosiy minori bo'lsin. Bazis minor M ni hosil qilishda ishtirok etmaydigan A matritsaning barcha satrlari (barcha ustunlari) matritsaning bazis minor M ni hosil qiluvchi satrlari (ustunlari) bilan chiziqli tarzda ifodalanadi.
Endi esa matritsa ranjlari haqidagi teoremaning chiziqli bog’liqlik uchun vektorlar sistemasini o’rganish bilan bog’lanishini tushuntirib beramiz.
Keling, A matritsasini tuzamiz, uning qatorlari o'rganilayotgan tizim vektorlari bo'ladi: 
Nima degani chiziqli mustaqillik vektor tizimlari?
Vektorlar sistemasining chiziqli mustaqilligining to‘rtinchi xossasidan shuni bilamizki, sistemaning vektorlaridan birortasini boshqalar bilan ifodalab bo‘lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, A matritsasining hech bir satri boshqa qatorlar bilan chiziqli ifodalanmaydi, shuning uchun, vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligi Rank(A)=p shartiga ekvivalent bo'ladi..
Vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi nimani anglatadi?
Hammasi juda oddiy: A matritsasining kamida bitta qatori qolganlari bilan chiziqli ifodalanadi, shuning uchun vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi Rank(A) shartiga ekvivalent bo'ladi.
.
Demak, chiziqli bog’liqlik uchun vektorlar sistemasini o’rganish muammosi shu sistemaning vektorlaridan tuzilgan matritsaning rankini topish masalasiga tushiriladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, p>n uchun vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi.
Izoh: A matritsasini kompilyatsiya qilishda tizim vektorlarini satr sifatida emas, balki ustunlar sifatida olish mumkin.
Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish algoritmi.
Keling, algoritmni misollar bilan tahlil qilaylik.
Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganishga misollar.
Misol.
Vektorlar sistemasi berilgan. Uni chiziqli munosabatlar uchun tekshiring.
Yechim.
c vektor nolga teng bo'lganligi sababli, vektorlarning dastlabki tizimi uchinchi xususiyat tufayli chiziqli bog'liqdir.
Javob:
Vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.
Misol.
Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini ko'rib chiqing.
Yechim.
c vektorning koordinatalari vektorning mos koordinatalarini 3 ga ko'paytirilganiga teng ekanligini ko'rish qiyin emas, ya'ni . Shuning uchun vektorlarning dastlabki tizimi chiziqli bog'liqdir.
Vektorlar, ularning xossalari va ular bilan harakatlari
Vektorlar, vektor amallar, chiziqli vektor fazosi.
Vektorlar cheklangan miqdordagi haqiqiy sonlarning tartiblangan to'plamidir.
Amallar: 1. Vektorni raqamga ko'paytirish: lambda * vektor x \u003d (lamda * x 1, lambda * x 2 ... lambda * xn).(3.4, 0.7) * 3 \u003d (9, 12,0.21 )
2. Vektorlarni qo'shish (ular bir xil vektor fazosiga tegishli) vektor x + vektor y \u003d (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. Vektor 0=(0,0…0)---n E n – n o‘lchamli (chiziqli fazo) vektor x + vektor 0 = vektor x
Teorema. n o‘lchovli chiziqli fazodagi n ta vektor sistemasi chiziqli bog‘liq bo‘lishi uchun vektorlardan biri boshqalarining chiziqli birikmasi bo‘lishi zarur va yetarlidir.
Teorema. n o'lchovli chiziqli fazoning n+ 1-vektorining istalgan to'plami yavl. chiziqli bog'liq.
Vektorlarni qo'shish, vektorlarni raqamlarga ko'paytirish. Vektorlarni ayirish.
Ikki vektor yig'indisi vektorning boshidan oxirigacha yo'naltirilgan vektor, agar boshlanishi vektorning oxiriga to'g'ri kelsa. Agar vektorlar bazis vektorlari bo'yicha kengayishlari bilan berilgan bo'lsa, vektorlarni qo'shish ularning tegishli koordinatalarini qo'shadi.
Keling, buni Dekart koordinata tizimi misolida ko'rib chiqaylik. Bo'lsin
Keling, buni ko'rsataylik
3-rasm buni ko'rsatadi 
Har qanday chekli vektorlar yig'indisini ko'pburchak qoidasi yordamida topish mumkin (4-rasm): chekli vektorlar yig'indisini qurish uchun har bir keyingi vektorning boshini oldingisining oxiri bilan moslashtirish kifoya. va birinchi vektorning boshini oxirgi vektorning oxiri bilan bog‘lovchi vektorni tuzing.
Vektor qo'shish operatsiyasining xususiyatlari:
Bu ifodalarda m, n sonlardir.
Vektorlar ayirmasi vektor deyiladi.Ikkinchi a'zo vektor yo'nalishi bo'yicha vektorga qarama-qarshi, lekin uzunligi bo'yicha unga teng vektor.
Shunday qilib, vektorni ayirish operatsiyasi qo'shish amali bilan almashtiriladi
Boshi koordinatalar boshida, oxiri esa A (x1, y1, z1) nuqtada joylashgan vektor A nuqtaning radius vektori deb ataladi va oddiy yoki oddiy qilib belgilanadi. Uning koordinatalari A nuqtaning koordinatalariga to'g'ri kelganligi sababli vektorlar bo'yicha kengayishi ko'rinishga ega.
A(x1, y1, z1) nuqtadan boshlanib, B(x2, y2, z2) nuqtada tugaydigan vektorni quyidagicha yozish mumkin.
bu yerda r 2 B nuqtaning radius vektori; r 1 - A nuqtaning radius vektori.
Shuning uchun vektorning orts bo'yicha kengayishi shaklga ega
Uning uzunligi A va B nuqtalari orasidagi masofaga teng
KO'PTIRISH
Demak, har holda samolyot muammosi vektorning a = (ax; ay) va b sonining ko'paytmasi formula bo'yicha topiladi
a b = (ax b; ay b)
1-misol. a = (1; 2) vektorining 3 ga ko‘paytmasini toping.
3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)
Demak, har holda fazoviy muammo a = (ax; ay; az) vektorining ko'paytmasi va b soni formula bo'yicha topiladi
a b = (ax b; ay b; az b)
Misol 1. a = (1; 2; -5) vektorining 2 ga ko‘paytmasini toping.
2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
Vektorlarning nuqta mahsuloti va 
vektorlar orasidagi burchak qayerda; agar bo'lsa, u holda
Skayar mahsulotning ta'rifidan kelib chiqadiki 
bu erda, masalan, vektorning vektor yo'nalishiga proyeksiyasining qiymati.
Vektorning skalyar kvadrati:
Dot mahsulot xususiyatlari:
Koordinatalarda nuqta mahsuloti
Agar 
keyin 
Vektorlar orasidagi burchak
Vektorlar orasidagi burchak - bu vektorlarning yo'nalishlari orasidagi burchak (eng kichik burchak).
Vektor mahsuloti(Ikki vektorning vektor mahsuloti.)- uch oʻlchovli Evklid fazosidagi vektorlar ustida “vektorlarni koʻpaytirish” ikkilik operatsiyasining natijasi boʻlgan ikki omil yordamida tuzilgan tekislikka perpendikulyar psevdovektordir. Mahsulot kommutativ ham, assotsiativ ham emas (u antikommutativ) va vektorlarning nuqta mahsulotidan farq qiladi. Ko'pgina muhandislik va fizika muammolarida ikkita mavjudga perpendikulyar vektor qurish imkoniyatiga ega bo'lish kerak - vektor mahsuloti bu imkoniyatni beradi. O'zaro ko'paytma vektorlarning perpendikulyarligini "o'lchash" uchun foydalidir - ikkita vektorning kesishgan mahsulotining uzunligi, agar ular perpendikulyar bo'lsa, ularning uzunliklari ko'paytmasiga teng bo'ladi va vektorlar parallel yoki antiparallel bo'lsa, nolga kamayadi.
Vektor mahsuloti faqat uch o'lchovli va etti o'lchovli bo'shliqlarda aniqlanadi. Vektor mahsulotining natijasi, xuddi skalar mahsulot kabi, Evklid fazosining metrikasiga bog'liq.
Uch o'lchovli to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi vektorlarning koordinatalari bo'yicha skalyar mahsulotni hisoblash formulasidan farqli o'laroq, vektor mahsuloti formulasi to'rtburchaklar koordinata tizimining yo'nalishiga yoki boshqacha qilib aytganda, uning "xiralligi" ga bog'liq.
Vektorlarning kollinearligi.
Ikki nolga teng bo'lmagan (0 ga teng bo'lmagan) vektorlar, agar ular parallel yoki bir xil to'g'ri chiziqda yotsa, kollinear deyiladi. Biz sinonimga ruxsat beramiz, lekin tavsiya etilmaydi - "parallel" vektorlar. Kollinear vektorlar bir yo'nalishda ("birga yo'naltirilgan") yoki qarama-qarshi yo'naltirilgan bo'lishi mumkin (oxirgi holatda ular ba'zan "antikollinear" yoki "antiparallel" deb ataladi).
Vektorlarning aralash mahsuloti ( a,b,c)- a vektorning skalyar ko'paytmasi va b va c vektorlarning vektor ko'paytmasi:
(a,b,c)=a ⋅(b×c)
ba'zan uchlik deb ataladi skalyar mahsulot vektorlar, aftidan, natija skaler (aniqrog'i, psevdoskalar) bo'lganligi bilan bog'liq.
geometrik ma'no: Aralashtirilgan mahsulotning moduli son jihatdan vektorlar hosil qilgan parallelepiped hajmiga teng. (a,b,c) .
Xususiyatlari
aralash mahsulot uning barcha argumentlariga nisbatan skew-simmetrik: ya'ni, e) har qanday ikki omilning almashtirilishi mahsulot belgisini o'zgartiradi. Bundan kelib chiqadiki, o'ng dekart koordinata tizimidagi aralash mahsulot (ortonormal asosda) vektorlardan tashkil topgan matritsaning determinantiga teng va:
Chap kartezian koordinata tizimidagi aralash mahsulot (ortonormal asosda) vektorlardan tashkil topgan va minus belgisi bilan olingan matritsaning determinantiga teng:
Ayniqsa,
Agar ikkita vektor parallel bo'lsa, u holda har qanday uchinchi vektor bilan ular nolga teng aralash mahsulot hosil qiladi.
Agar uchta vektor chiziqli bog'liq bo'lsa (ya'ni, koplanar, bir tekislikda yotsa), unda ularning aralash mahsuloti nolga teng.
Geometrik ma'no - mutlaq qiymatdagi aralash mahsulot vektorlar tomonidan hosil qilingan parallelepiped (rasmga qarang) hajmiga teng va; belgisi vektorlarning bu uchligi o'ng yoki chapga bog'liq.
Vektorlarning solishtirmaligi.
Uch vektor (yoki undan ko'p) koplanar deb ataladi, agar ular umumiy kelib chiqishiga keltirilsa, bir tekislikda yotsa.
Muqobillik xususiyatlari
Agar uchta vektordan kamida bittasi nolga teng bo'lsa, u holda uchta vektor ham koplanar hisoblanadi.
Bir juft kollinear vektorni o'z ichiga olgan vektorlarning uchligi koplanardir.
Koplanar vektorlarning aralash mahsuloti. Bu uchta vektorning mutanosibligi uchun mezondir.
Koplanar vektorlar chiziqli bog'liqdir. Bu ham mutanosiblik mezoni hisoblanadi.
3 o'lchovli fazoda 3 ta tekis bo'lmagan vektor asosni tashkil qiladi
Chiziqli bog'liq va chiziqli mustaqil vektorlar.
Vektorlarning chiziqli bog'liq va mustaqil tizimlari.Ta'rif. Vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli bog'liq, agar nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlarning kamida bitta noan'anaviy chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, ya'ni. agar berilgan vektorlarning faqat trivial chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lsa, vektorlar deyiladi chiziqli mustaqil.
Teorema (chiziqli bog'liqlik mezoni). Chiziqli fazodagi vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq bo'lishi uchun bu vektorlardan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lishi zarur va etarli.
1) Agar vektorlar orasida kamida bitta nol vektor bo'lsa, u holda vektorlarning butun tizimi chiziqli bog'liqdir.
Darhaqiqat, agar, masalan, , deb faraz qilsak, bizda notrivial chiziqli birikma mavjud.▲
2) Agar vektorlarning ba'zilari chiziqli bog'liq tizimni tashkil qilsa, u holda butun tizim chiziqli bog'liqdir.
Haqiqatan ham, , , vektorlari chiziqli bog'liq bo'lsin. Demak, nol vektorga teng notrivial chiziqli birikma mavjud. Ammo keyin, taxmin qilsak 
, biz shuningdek, nol vektorga teng bo'lmagan trivial chiziqli birikmani olamiz.
2. Asos va o‘lcham. Ta'rif. Tizim chiziqli mustaqil vektorlar 
vektor fazosi deyiladi asos bu bo'shliq, agar dan har qanday vektorni ushbu tizim vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalash mumkin bo'lsa, ya'ni. har bir vektor uchun mavjud haqiqiy raqamlar 
tenglik shunday bo'ladi.Bu tenglik deyiladi vektor parchalanishi asos va raqamlarga ko'ra chaqirdi bazaga nisbatan vektor koordinatalari(yoki asosda) .
Teorema (asosiy jihatdan kengayishning o'ziga xosligi to'g'risida). Har bir fazo vektori asos nuqtai nazaridan kengaytirilishi mumkin yagona yo'l, ya'ni. asosdagi har bir vektorning koordinatalari aniq belgilangan.
Bazisning asosiy qiymati shundan iboratki, bazani o'rnatishda vektorlarni qo'shish va ularni raqamlarga ko'paytirish amallari raqamlar bo'yicha mos keladigan operatsiyalarga - bu vektorlarning koordinatalariga aylanadi. Ya'ni, quyidagi to'g'ri.
Teorema. Chiziqli fazoning istalgan ikkita vektorini qo'shganda ularning koordinatalari (fazoning istalgan asosiga nisbatan) qo'shiladi; ixtiyoriy vektorni istalgan songa ko'paytirishda bu vektorning barcha koordinatalari ga ko'paytiriladi.
Ta'rif - o'lchovli, agar u chiziqli mustaqil vektorlarni o'z ichiga olsa va har qanday vektor allaqachon chiziqli bog'liq bo'lsa. Raqam chaqiriladi o'lcham bo'shliqlar.
Bir nol vektordan iborat vektor fazoning o'lchami nolga teng deb qabul qilinadi.
Kosmosning o'lchami odatda belgi bilan belgilanadi.
Ta'rif. Vektor fazosi deyiladi cheksiz o'lchovli, agar u har qanday sonli chiziqli mustaqil vektorlarni o'z ichiga olsa. Bunday holda, yozing.
Keling, asos va fazo o'lchovi tushunchalari o'rtasidagi bog'liqlikni aniqlaylik.
Teorema. Agar o'lchamli vektor fazo bo'lsa, bu fazoning har qanday chiziqli mustaqil vektorlari uning asosini tashkil qiladi.
Teorema. Agar vektor fazoda vektorlardan tashkil topgan bazis bo'lsa, u holda .
Shunga o'xshash ma'lumotlar.
Bo'lsin L maydon ustidagi chiziqli fazodir R . Bo'lsin A1, a2, ... , an (*) dan vektorlarning chekli tizimi L . Vektor IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) chaqirdi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki vektor ayting IN vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.
Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi chiziqli bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi chiziqli mustaqil.
Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.
10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.
Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Keyin 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .
20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.
Bo'lsin A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× LEKIN N= 0.
30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.
Þ (*) chiziqli bog'liq bo'lsin. U holda a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× LEKIN N. Demak, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.
Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Biz buni birinchi vektor deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard LEKIN N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard LEKIN N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.
Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlash mumkin.
Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, ... , an , … (**) deyiladi chiziqli bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi chiziqli mustaqil.
40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning vektorlaridan hech biri boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalana olmasagina, chiziqli mustaqil hisoblanadi.
50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.
60. Agar berilgan vektorlar sistemasining qaysidir quyi tizimi chiziqli bog’liq bo’lsa, butun sistema ham chiziqli bog’liq bo’ladi.
Ikki vektor sistemasi berilgan bo'lsin A1, a2, ... , an , … (16) va V1, v2, … , vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalangan deymiz.
Ta'rif 16. Ikki vektor sistemasi deyiladi ekvivalent , agar ularning har biri chiziqli ravishda ikkinchisi bilan ifodalangan bo'lsa.
Teorema 9 (chiziqli bog'liqlik haqidagi asosiy teorema).
Qo'ying va - ikkita yakuniy tizimlar dan vektorlar L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.
Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema bo'yicha
|
|
Tizim chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik (18) w X1=x2=…=xN=0. Bu yerda vektor ifodalarini almashtiramiz: …+=0 (19). Shuning uchun (20). (18), (19) va (20) shartlar aniq ekvivalentdir. Lekin (18) faqat qachon qanoatlantiriladi X1=x2=…=xN=0.(20) tenglik qachon to'g'ri ekanligini topamiz. Agar uning barcha koeffitsientlari nolga teng bo'lsa, u shubhasiz haqiqatdir. Ularni nolga tenglashtirib, (21) sistemani olamiz. Ushbu tizim nolga ega bo'lgani uchun, u |
(21)qo'shma. Tenglamalar sonidan beri ko'proq raqam noma'lum bo'lsa, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega x10, x20, …, xN0. Ushbu qiymatlar uchun (18) tenglik to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Binobarin, N£ s.
Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.
Ta'rif 17. Vektorlar sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shsa L bu tizimga kirmasa, u chiziqli bog'liq bo'ladi.
10-teorema. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.
Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .
Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L Ushbu fazoning vektorlarining maksimal chiziqli mustaqil tizimiga to'ldirilishi mumkin.
Misollar:
1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.
2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.
3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlarning har qanday tizimi maksimal chiziqli mustaqildir.
4. Barcha ko‘phadlar to‘plamida daraja eng ko‘p N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, …, xn U maksimal chiziqli mustaqildir.
5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltiriladi.
lekin) 1, x, x2, … , xn, … ;
b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …
6. O'lchov matritsalari to'plami M´ N hisoblanadi chiziqli fazo(buni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil sistemaga matritsalar sistemasi misol bo`la oladi E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .
Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, ... , qarang (*). (*) dan vektorlarning quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa har qanday vektori qo'shilsa, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning har qanday maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlari bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi. (O'zingiz isbotlang.) Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.
Shaklni ifodalash chaqirdi vektorlarning chiziqli birikmasi A 1 , A 2 ,..., A n koeffitsientlar bilan l 1, l 2 ,...,l n.
Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligini aniqlash
Vektor tizimi A 1 , A 2 ,..., A n chaqirdi chiziqli bog'liq, agar nolga teng bo'lmagan raqamlar to'plami mavjud bo'lsa l 1, l 2 ,...,l n, uning ostida vektorlarning chiziqli birikmasi l 1 *A 1 +l 2 *A 2 +...+l n *A n nolga teng vektor, ya'ni tenglamalar tizimi: nolga teng bo'lmagan yechimga ega.
Raqamlar to'plami l 1, l 2 ,...,l n raqamlardan kamida bittasi bo'lsa, nolga teng l 1, l 2 ,...,l n noldan farq qiladi.
Vektorlar sistemasining chiziqli mustaqilligini aniqlash
29.1-misolVektor tizimi A 1 , A 2 ,..., A n chaqirdi chiziqli mustaqil, agar bu vektorlarning chiziqli birikmasi l 1 *A 1 +l 2 *A 2 +...+l n *A n faqat nol sonlar to'plami uchun nol vektorga teng l 1, l 2 ,...,l n , ya'ni tenglamalar tizimi: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D noyob nol yechimga ega.
Vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqligini tekshiring
Yechim:
1. Biz tenglamalar tizimini tuzamiz:
2. Biz uni Gauss usuli yordamida hal qilamiz. Tizimning Iordaniya o'zgarishlari 29.1-jadvalda keltirilgan. Hisoblashda tizimning o'ng qismlari yozilmaydi, chunki ular nolga teng va Iordaniya transformatsiyasida o'zgarmaydi.
3. Jadvalning oxirgi uchta qatoridan biz ruxsat etilgan tizimni originalga ekvivalentini yozamiz tizim:
4. Biz tizimning umumiy yechimini olamiz:
5. Erkin o'zgaruvchining x 3 =1 qiymatini o'z xohishingizga ko'ra belgilab, ma'lum bir nolga teng bo'lmagan yechimni olamiz X=(-3,2,1).
Javob: Shunday qilib, nolga teng bo'lmagan raqamlar to'plami (-3,2,1) bilan vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektor -3A 1 +2A 2 +1A 3 =D ga teng. Binobarin, chiziqli bog'liq vektorlar tizimi.
Vektor sistemalarining xossalari
Mulk (1)
Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda vektorlardan kamida bittasi qolgan qismida parchalanadi va aksincha, agar tizimning kamida bitta vektori qolganlarida parchalangan bo'lsa, u holda vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir. .
Mulk (2)
Agar vektorlarning har qanday quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, u holda butun tizim chiziqli bog'liqdir.
Ko'chmas mulk (3)
Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari chiziqli mustaqildir.
Ko'chmas mulk (4)
Nol vektorni o'z ichiga olgan har qanday vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.
Ko'chmas mulk (5)
M o'lchovli vektorlar tizimi, agar n vektorlar soni ularning o'lchamidan (n>m) katta bo'lsa, har doim chiziqli bog'liqdir.
Vektor tizimining asoslari
Vektorlar sistemasining asosi A 1 , A 2 ,..., A n shunday quyi tizim B 1 , B 2 ,...,B r(B 1 ,B 2 ,...,B r vektorlarining har biri A 1 , A 2 ,..., A n vektorlaridan biri) quyidagi shartlarni qanoatlantiradi:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi;
2. har qanday vektor Aj sistemaning A 1 , A 2 ,..., A n B 1 ,B 2 ,...,B r vektorlari bilan chiziqli ifodalanadi.r- bazaga kiritilgan vektorlar soni.
Teorema 29.1 Vektorlar sistemasining birlik asosidagi.Agar m o'lchovli vektorlar sistemasi m farqli bo'lsa birlik vektorlari E 1 E 2,..., E m, keyin ular tizimning asosini tashkil qiladi.
Vektorlar sistemasi asosini topish algoritmi
A 1 ,A 2 ,...,A n vektorlar sistemasining asosini topish uchun quyidagilar zarur:
- Tegishli vektorlar sistemasini tuzing bir hil tizim tenglamalar A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =D
- bu tizimni keltiring