Asosiy ta'rif. Vektorlar tizimi asos bo'ladi, agar:

1) chiziqli mustaqil,

2) u orqali o'tgan fazoning istalgan vektori chiziqli ifodalanadi.

1-misol Kosmik asos: .

2. Vektorlar sistemasida vektorlar asos hisoblanadi: , chunki vektorlar bilan chiziqli ifodalangan.

Izoh. Berilgan vektorlar tizimining asosini topish uchun quyidagilar kerak:

1) matritsadagi vektorlarning koordinatalarini yozing;

2) yordamida elementar transformatsiyalar matritsani uchburchak shaklga keltiring,

3) nolga teng bo'lmagan matritsa qatorlari bo'ladi tizim asosi,

4) bazisdagi vektorlar soni matritsaning darajasiga teng.

Kroneker-Kapelli teoremasi

Kroneker-Kapelli teoremasi izchillik haqidagi savolga to'liq javob beradi ixtiyoriy tizim chiziqli tenglamalar noma'lum bilan

Kroneker-Kapelli teoremasi. Chiziqli algebraik tenglamalar tizimi, agar tizimning kengaytirilgan matritsasi darajasi asosiy matritsaning darajasiga teng bo'lsa, izchil bo'ladi, .

Izchil chiziqli tenglamalar tizimining barcha yechimlarini topish algoritmi Kroneker-Kapelli teoremasidan va quyidagi teoremalardan kelib chiqadi.

Teorema. Agar qo'shma tizimning darajasi soniga teng noma'lum, keyin tizim noyob yechimga ega.

Teorema. Agar qo'shma tizimning darajasi sonidan kam noma'lum, u holda tizim cheksiz ko'p echimlarga ega.

Ixtiyoriy chiziqli tenglamalar tizimini yechish algoritmi:

1. Tizimning asosiy va kengaytirilgan matritsalarining darajalarini toping. Agar ular teng bo'lmasa (), u holda tizim mos kelmaydi (echimlari yo'q). Agar darajalar teng bo'lsa ( , u holda tizim mos keladi.

2. Mos sistema uchun tartibi matritsaning darajasini belgilaydigan ba'zi bir minorni topamiz (bunday minor asosiy deb ataladi). Keling, tuzamiz yangi tizim noma’lumlar koeffitsientlari asosiy minorga kiritilgan tenglamalardan (bu noma’lumlar asosiy noma’lumlar deyiladi), qolgan tenglamalarni olib tashlaymiz. Biz asosiy noma'lumlarni koeffitsientlari bilan chap tomonda qoldiramiz va qolgan noma'lumlarni (ular erkin noma'lumlar deb ataladi) tenglamalarning o'ng tomoniga o'tkazamiz.

3. Bosh noma’lumlarning erkinlari bo‘yicha ifodalarini topamiz. Biz tizimning umumiy yechimini olamiz.

4. Erkin noma’lumlarga ixtiyoriy qiymatlar berib, asosiy noma’lumlarning mos qiymatlarini olamiz. Shunday qilib, biz dastlabki tenglamalar tizimiga maxsus echimlarni topamiz.

Chiziqli dasturlash. Asosiy tushunchalar

Chiziqli dasturlash oʻzgaruvchilar va chiziqli mezon oʻrtasidagi chiziqli munosabat bilan tavsiflanadigan ekstremal masalalarni yechish usullarini oʻrganuvchi matematik dasturlash boʻlimidir.

Kerakli holat Chiziqli dasturlash muammosining bayoni resurslarning mavjudligi, talabning kattaligi, korxonaning ishlab chiqarish quvvati va boshqa ishlab chiqarish omillariga cheklovlardir.

Chiziqli dasturlashning mohiyati eng katta yoki nuqtalarini topishdan iborat eng kichik qiymat argumentlar va generatorlar uchun ma'lum cheklovlar to'plami bilan ba'zi funktsiyalar cheklovlar tizimi , bu odatda cheksiz ko'p echimlarga ega. Har bir o'zgaruvchan qiymatlar to'plami (funktsiya argumentlari F ) cheklovlar sistemasini qanoatlantiruvchi deyiladi maqbul reja chiziqli dasturlash masalalari. Funktsiya F , maksimal yoki minimali aniqlangan, deyiladi maqsad funktsiyasi vazifalar. Funktsiyaning maksimal yoki minimaliga erishiladigan ruxsat etilgan reja F , deyiladi optimal reja vazifalar.

Rejalar to'plamini belgilaydigan cheklovlar tizimi ishlab chiqarish sharoitlari bilan belgilanadi. Chiziqli dasturlash muammosi ( ZLP ) amalga oshirish mumkin bo'lgan rejalar to'plamidan eng foydali (optimal)ni tanlashdir.

Chiziqli dasturlash muammosining umumiy formulasi quyidagicha:

Ba'zi o'zgaruvchilar mavjud x \u003d (x 1, x 2, ... x n) va bu o'zgaruvchilarning funktsiyasi f (x) \u003d f (x 1, x 2, ... x n) , nomini olgan maqsad funktsiyalari. Vazifa qo'yiladi: maqsad funktsiyasining ekstremumini (maksimal yoki minimal) topish f(x) o'zgaruvchilar bo'lishi sharti bilan x qaysidir hududga tegishli G :

Funktsiya turiga qarab f(x) va hududlar G va matematik dasturlashning bo'limlarini ajrata oladi: kvadratik dasturlash, qavariq dasturlash, butun sonli dasturlash va boshqalar. Chiziqli dasturlash shunisi bilan tavsiflanadi
a) funktsiya f(x) hisoblanadi chiziqli funksiya o'zgaruvchilar x 1, x 2, ... x n
b) hudud G tizimi tomonidan belgilanadi chiziqli tenglik yoki tengsizlik.

Vektorlarning chiziqli birikmasi vektor hisoblanadi
, bu yerda l 1 , ... , l m ixtiyoriy koeffitsientlar.

Vektor tizimi
ga teng chiziqli birikma mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deyiladi , kamida bitta nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ega.

Vektor tizimi
agar uning biron birida bo'lsa, chiziqli mustaqil deyiladi chiziqli birikma ga teng , barcha koeffitsientlar nolga teng.

Vektorlar sistemasining asosi
uning bo'sh bo'lmagan chiziqli mustaqil quyi tizimi deyiladi, bu tizim orqali tizimning istalgan vektorini ifodalash mumkin.

2-misol. Vektorlar sistemasining asosini toping = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) va qolgan vektorlarni bazis bilan ifodalang.

Yechish.Biz matritsa quramiz, unda bu vektorlarning koordinatalarini ustunlarga joylashtiramiz. Biz uni bosqichli shaklga keltiramiz.

~
~
~
.

Ushbu tizimning asosini vektorlar tashkil qiladi ,,, ular doiralar bilan belgilangan qatorlarning etakchi elementlariga mos keladi. Vektor ifodasi uchun x 1 tenglamasini yeching +x2 +x4 =. U chiziqli tenglamalar tizimiga qisqartiradi, ularning matritsasi asl nusxadan mos keladigan ustunni almashtirish orqali olinadi. , erkin a'zolar ustuni o'rniga. Shuning uchun tizimni yechish uchun biz hosil bo'lgan matritsani bosqichma-bosqich shaklda ishlatamiz, unda kerakli almashtirishlarni qilamiz.

Biz ketma-ket topamiz:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Izoh 1. Agar bazis orqali bir nechta vektorlarni ifodalash talab etilsa, ularning har biri uchun mos chiziqli tenglamalar tizimi tuziladi. Ushbu tizimlar faqat bepul a'zolar ustunlarida farqlanadi. Shuning uchun ularni hal qilish uchun bitta matritsa tuzilishi mumkin, unda bir nechta erkin a'zolar ustunlari bo'ladi. Bunday holda, har bir tizim boshqalardan mustaqil ravishda hal qilinadi.

Izoh 2. Har qanday vektorni ifodalash uchun faqat undan oldingi sistemaning bazis vektorlaridan foydalanish kifoya. Bunday holda, matritsani qayta shakllantirishning hojati yo'q, to'g'ri joyga vertikal chiziq qo'yish kifoya.

2-mashq. Vektorlar sistemasining asosini toping va qolgan vektorlarni bazis orqali ifodalang:

lekin) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

ichida) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Qaror qabul qilishning asosiy tizimi

Chiziqli tenglamalar sistemasi, agar uning barcha erkin hadlari nolga teng bo'lsa, bir jinsli deyiladi.

Asosiy qarorlar tizimi bir hil tizim chiziqli tenglamalar uning yechimlari to'plamining asosi deyiladi.

Chiziqli tenglamalarning bir jinsli bo'lmagan sistemasi berilgan bo'lsin. Berilgani bilan bog'langan bir hil sistema barcha bo'sh shartlarni nolga almashtirish orqali berilgan tizimdan olingan tizimdir.

Agar bir jinsli bo'lmagan sistema izchil va noaniq bo'lsa, uning ixtiyoriy yechimi f o1 +  1 f o1 + ... +  kf ok ko'rinishga ega bo'ladi, bu erda fo - bir jinsli bo'lmagan sistemaning muayyan yechimi va f o1 , ... , fok - bog'langan bir jinsli tizimning asosiy tizim echimlari.

3-misol. 1-misoldan bir jinsli sistemaning muayyan yechimini toping va asosiy tizim bog'langan bir jinsli tizimning yechimlari.

Yechish.1-misolda olingan yechimni vektor ko‘rinishida yozamiz va hosil bo‘lgan vektorni o‘z ichiga olgan erkin parametrlar va qat’iy sonli qiymatlar bo‘yicha yig‘indiga kengaytiramiz:

\u003d (x 1, x 2, x 3, x 4) \u003d (-2a + 7b - 2, a, -2b + 1, b) \u003d (-2a, a, 0, 0) + (7b, 0, - 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0).

Biz f n = (- 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1) ni olamiz.

Izoh. Bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar tizimini topish masalasi ham xuddi shunday hal qilinadi.

3.1-mashq Bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar tizimini toping:

lekin)

b)

c) 2x 1 - x 2 + 3x 3 \u003d 0.

MASHQ 3.2. Bir jinsli sistemaning ma'lum yechimini va unga bog'liq bo'lgan bir jinsli sistemaning asosiy yechimlar tizimini toping:

lekin)

b)

Geometriyada vektor deganda yo'naltirilgan segment va bir-biridan olingan vektorlar tushuniladi parallel uzatish, teng deb hisoblanadi. Barcha teng vektorlar bir xil vektor sifatida qabul qilinadi. Vektorning boshi fazo yoki tekislikning istalgan nuqtasiga joylashtirilishi mumkin.

Agar vektor uchlarining koordinatalari fazoda berilgan bo'lsa: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), keyin

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Xuddi shunday formula tekislikda ham mavjud. Bu vektorni koordinatalar qatori sifatida yozish mumkinligini bildiradi. Vektorlar ustida amallar, - songa qo'shish va ko'paytirish, satrlarda komponentlar bo'yicha bajariladi. Bu vektor tushunchasini kengaytirish, vektorni har qanday raqamlar qatori sifatida tushunish imkonini beradi. Masalan, chiziqli tenglamalar tizimini, shuningdek, har qanday qiymatlar to'plamini yechish tizim o'zgaruvchilari, vektor sifatida ko'rish mumkin.

Bir xil uzunlikdagi satrlarda qo'shish amali qoida bo'yicha bajariladi

(a 1 , a 2 , … , a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Satrni raqamga ko'paytirish qoidaga muvofiq amalga oshiriladi

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Berilgan uzunlikdagi qator vektorlari to'plami n ko'rsatilgan vektor qo'shish va songa ko'paytirish amallari bilan atalgan algebraik strukturani hosil qiladi n o'lchovli chiziqli fazo.

Vektorlarning chiziqli birikmasi vektor hisoblanadi , bu yerda l 1 , ... , l m ixtiyoriy koeffitsientlardir.

Agar kamida bitta nolga teng bo'lmagan koeffitsientga ega bo'lgan chiziqli birikma mavjud bo'lsa, vektorlar tizimi chiziqli bog'liq deb ataladi.

Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil deyiladi, agar uning chiziqli birikmalaridan birida ga teng bo'lsa, barcha koeffitsientlar nolga teng bo'lsa.

Shunday qilib, vektorlar sistemasining chiziqli bog’liqligi haqidagi savolning yechimi tenglama yechimiga keltiriladi.

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Agar bu tenglama nolga teng bo'lmagan yechimlarga ega bo'lsa, u holda vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir. Agar nol yechim yagona bo'lsa, vektorlar tizimi chiziqli mustaqildir.

Tizimni (4) yechish uchun, ravshanlik uchun vektorlarni satr shaklida emas, balki ustunlar shaklida yozish mumkin.

Keyin, chap tomonda o'zgartirishlarni amalga oshirgandan so'ng, biz (4) tenglamaga ekvivalent chiziqli tenglamalar tizimiga kelamiz. Ushbu tizimning asosiy matritsasi ustunlar bo'ylab joylashtirilgan dastlabki vektorlarning koordinatalari orqali hosil bo'ladi. Bu erda bepul a'zolar ustuni kerak emas, chunki tizim bir hil.

Asos vektorlar tizimi (cheklangan yoki cheksiz, xususan, barcha chiziqli fazo) uning bo'sh bo'lmagan chiziqli mustaqil quyi tizimi bo'lib, u orqali tizimning istalgan vektorini ifodalash mumkin.

1.5.2-misol. Vektorlar sistemasining asosini toping = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) va boshqa vektorlarni bazis orqali ifodalang.

Yechim. Ushbu vektorlarning koordinatalari ustunlar shaklida joylashtirilgan matritsa quramiz. Bu tizimning matritsasi x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Matritsani bosqichli shaklga keltiramiz:

~ ~ ~

Bu vektorlar sistemasining asosini aylanalar bilan belgilangan qatorlarning yetakchi elementlariga mos keladigan , , vektorlari tashkil qiladi. Vektorni ifodalash uchun tenglamani yechamiz x 1 + x 2 + x 4 =. U chiziqli tenglamalar tizimiga keltiriladi, uning matritsasi asl nusxadan mos ustunni erkin shartlar ustuni joyiga qayta joylashtirish orqali olinadi. Shuning uchun, bosqichli shaklga qisqartirilganda, matritsada yuqoridagi kabi o'zgarishlar amalga oshiriladi. Bu shuni anglatadiki, biz hosil bo'lgan matritsani undagi ustunlarning kerakli o'rnini bosish orqali bosqichli shaklda ishlatishimiz mumkin: aylanali ustunlar vertikal chiziqning chap tomoniga, vektorga mos keladigan ustun esa o'ngga joylashtiriladi. bardan.

Biz ketma-ket topamiz:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Izoh. Agar bazis orqali bir nechta vektorlarni ifodalash talab etilsa, ularning har biri uchun tegishli chiziqli tenglamalar tizimi tuziladi. Ushbu tizimlar faqat bepul a'zolar ustunlarida farqlanadi. Bunday holda, har bir tizim boshqalardan mustaqil ravishda hal qilinadi.

MASHQ 1.4. Vektorlar sistemasining asosini toping va qolgan vektorlarni bazis bilan ifodalang:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, -6, -2).

Berilgan vektorlar tizimida bazis odatda turlicha farqlanishi mumkin, ammo barcha asoslar bir xil miqdordagi vektorlarga ega bo'ladi. Chiziqli fazo asosidagi vektorlar soni fazoning o'lchami deyiladi. Uchun n-o'lchovli chiziqli fazo n fazoning o'lchamidir, chunki bu bo'shliq standart asosga ega = (1, 0, … , 0), = (0, 1, … , 0), … , = (0, 0, … , 1). Bu asos orqali har qanday vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) quyidagicha ifodalanadi:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, ... ,1) = a 1 + a 2 + ... + a n .

Shunday qilib, vektor qatoridagi komponentlar = (a 1 , a 2 , … , a n) standart asos bo'yicha kengayishda uning koeffitsientlari.

Samolyotda to'g'ri chiziqlar

Analitik geometriya muammosi - qo'llash geometrik masalalar koordinata usuli. Bu vazifani tarjima qiladi algebraik shakl va algebra yordamida yechiladi.

n o'lchovli vektorlar haqidagi maqolada biz n o'lchovli vektorlar to'plami tomonidan hosil qilingan chiziqli fazo tushunchasiga keldik. Endi biz o'lchov va asos kabi muhim tushunchalarni ko'rib chiqishimiz kerak. vektor fazosi. Ular vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi kontseptsiyasi bilan bevosita bog'liq, shuning uchun qo'shimcha ravishda ushbu mavzuning asoslarini ham eslatib turish tavsiya etiladi.

Keling, ba'zi ta'riflar bilan tanishaylik.

Ta'rif 1

Vektor fazosining o'lchami- mos keladigan raqam maksimal raqam bu fazoda chiziqli mustaqil vektorlar.

Ta'rif 2

Vektor fazo asosi- tartiblangan va soni bo'yicha fazo o'lchamiga teng chiziqli mustaqil vektorlar to'plami.

n -vektorlarning ma'lum bir fazosini ko'rib chiqaylik. Uning o'lchami mos ravishda n ga teng. n-birlik vektorlar sistemasini olaylik:

e (1) = (1 , 0 , . . . , 0) e (2) = (0 , 1 , . . . . , 0) e (n) = (0 , 0 , . . . . , 1)

Ushbu vektorlardan A matritsasining komponentlari sifatida foydalanamiz: u n dan n o'lchamli birlik bo'ladi. Ushbu matritsaning darajasi n ga teng. Demak, vektor sistema e (1) , e (2) , . . . , e (n) chiziqli mustaqil. Bunday holda, tizimga uning chiziqli mustaqilligini buzmasdan bitta vektor qo'shish mumkin emas.

Tizimdagi vektorlar soni n bo'lgani uchun n o'lchovli vektorlar fazosining o'lchami n bo'ladi va birlik vektorlari e (1) , e (2) , . . . , e (n) ko'rsatilgan bo'shliqning asosidir.

Olingan ta'rifdan shunday xulosaga kelamiz: vektorlar soni n dan kam bo'lgan har qanday n o'lchovli vektorlar tizimi fazoning asosi emas.

Agar birinchi va ikkinchi vektorni almashtirsak, e (2) , e (1) , vektorlar sistemasini olamiz. . . , e (n) . Shuningdek, u n o'lchovli vektor fazoning asosi bo'ladi. Olingan sistemaning vektorlarini uning qatorlari sifatida olib, matritsa tuzamiz. Matritsani identifikatsiya matritsasidan dastlabki ikki qatorni almashtirish orqali olish mumkin, uning darajasi n ga teng bo'ladi. Tizim e (2) , e (1) , . . . , e (n) chiziqli mustaqil va n o‘lchovli vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Asl tizimdagi boshqa vektorlarni qayta tartibga solib, biz yana bitta asosga ega bo'lamiz.

Biz birlik bo'lmagan vektorlarning chiziqli mustaqil tizimini olishimiz mumkin va bu ham n o'lchovli vektor fazosining asosini ifodalaydi.

Ta'rif 3

n o'lchamli vektor fazoda n soniga ega n o'lchovli vektorlarning chiziqli mustaqil tizimlari mavjud bo'lganidek ko'p asoslar mavjud.

Samolyot ikki o'lchovli fazodir - uning asosini har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor tashkil qiladi. Har qanday uchta tekis bo'lmagan vektor uch o'lchovli fazoning asosi bo'lib xizmat qiladi.

Ushbu nazariyani aniq misollarda qo'llashni ko'rib chiqing.

1-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Ko'rsatilgan vektorlar uch o'lchovli vektor fazosining asosi ekanligini aniqlash kerak.

Yechim

Muammoni hal qilish uchun chiziqli bog'liqlik uchun berilgan vektorlar tizimini o'rganamiz. Keling, matritsa tuzaylik, bu erda qatorlar vektorlarning koordinatalari. Keling, matritsaning darajasini aniqlaylik.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 (- 1) - 1 1 3 - (- 2) 2 (- 2) - 3 2 (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R ank (A) = 3

Binobarin, masalaning sharti bilan berilgan vektorlar chiziqli mustaqil bo’lib, ularning soni vektor fazoning o’lchamiga teng – ular vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Javob: bu vektorlar vektor fazoning asosi hisoblanadi.

2-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Ko'rsatilgan vektorlar tizimi uch o'lchovli fazoning asosi bo'lishi mumkinligini aniqlash kerak.

Yechim

Masala shartida ko'rsatilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liq, chunki chiziqli mustaqil vektorlarning maksimal soni 3. Shunday qilib, bu vektorlar tizimi uch o'lchovli vektor fazosi uchun asos bo'lib xizmat qila olmaydi. Lekin shuni ta'kidlash joizki, dastlabki tizimning quyi tizimi a = (3 , - 2 , 1) , b = (2 , 1 , 2) , c = (3 , - 1 , - 2) asosdir.

Javob: ko'rsatilgan vektorlar tizimi asos emas.

3-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a = (1 , 2 , 3 , 3) ​​b = (2 , 5 , 6 , 8) c = (1 , 3 , 2 , 4) d = (2 , 5 , 4 , 7)

Ular to'rt o'lchovli makonning asosi bo'la oladimi?

Yechim

Berilgan vektorlarning koordinatalarini qator sifatida ishlatib, matritsa tuzing

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Gauss usulidan foydalanib, biz matritsaning darajasini aniqlaymiz:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R ank (A) = 4

Shuning uchun berilgan vektorlar tizimi chiziqli mustaqil va ularning soni vektor fazoning o'lchamiga teng - ular to'rt o'lchovli vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Javob: berilgan vektorlar to'rt o'lchovli fazoning asosidir.

4-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Ular 4 o'lchovli fazoning asosini tashkil qiladimi?

Yechim

Vektorlarning asl tizimi chiziqli mustaqildir, lekin undagi vektorlar soni to'rt o'lchovli fazoning asosi bo'lish uchun etarli emas.

Javob: yo'q, ular yo'q.

Vektorning bazis nuqtai nazaridan parchalanishi

Biz e (1) , e (2) , ixtiyoriy vektorlarni qabul qilamiz. . . , e (n) vektor n o'lchovli fazoning asosi. Ularga qandaydir n o‘lchamli x → vektor qo‘shamiz: natijada vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq bo‘ladi. Chiziqli bog'liqlikning xossalari shuni ko'rsatadiki, bunday tizimning vektorlaridan kamida bittasi boshqalari bilan chiziqli ifodalanishi mumkin. Ushbu bayonotni qayta shakllantirgan holda, chiziqli bog'liq tizimning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarda kengaytirilishi mumkinligini aytishimiz mumkin.

Shunday qilib, biz eng muhim teoremani shakllantirishga keldik:

Ta'rif 4

n o'lchovli vektor fazoning istalgan vektori yagona yo'l asosida kengayadi.

Isbot 1

Bu teoremani isbotlaylik:

n o'lchovli vektor fazosining asosini o'rnating - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Unga n o'lchovli x → vektorni qo'shish orqali tizimni chiziqli bog'liq qilaylik. Bu vektorni asl vektorlar bilan chiziqli ravishda ifodalash mumkin e:

x = x 1 e (1) + x 2 e (2) + . . . + x n e (n) , bu erda x 1 , x 2 , . . . , x n - ba'zi raqamlar.

Endi biz bunday parchalanishning yagona ekanligini isbotlaymiz. Aytaylik, bunday emas va yana bir shunga o'xshash kengayish mavjud:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , bu erda x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - ba'zi raqamlar.

Ushbu tenglikning chap va o'ng qismlaridan mos ravishda tenglikning chap va o'ng qismlarini ayirish x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n e (n) . Biz olamiz:

0 = (x ~ 1 - x 1) e (1) + (x ~ 2 - x 2) e (2) + . . . (x~n - xn) e(2)

Bazis vektorlar tizimi e (1) , e (2) , . . . , e (n) chiziqli mustaqil; Vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligi ta'rifiga ko'ra, yuqoridagi tenglik faqat barcha koeffitsientlar (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , bo'lganda mumkin bo'ladi. . . , (x ~ n - x n) nolga teng bo'ladi. Bu adolatli bo'ladi: x 1 \u003d x ~ 1, x 2 \u003d x ~ 2,. . . , x n = x ~ n. Va bu vektorni asos nuqtai nazaridan kengaytirishning yagona yo'lini isbotlaydi.

Bunday holda, koeffitsientlar x 1 , x 2 , . . . , x n e (1) , e (2) , bazisdagi x → vektorining koordinatalari deyiladi. . . , e (n) .

Tasdiqlangan nazariya "n-o'lchovli vektor x = (x 1, x 2, .., xn) berilgan" iborasini aniq ko'rsatib beradi: vektor x → n o'lchovli vektor fazosi ko'rib chiqiladi va uning koordinatalari quyidagicha berilgan. qandaydir asos. Bundan tashqari, n o'lchovli fazoning boshqa asosidagi bir xil vektor turli koordinatalarga ega bo'lishi aniq.

Quyidagi misolni ko'rib chiqaylik: n o'lchovli vektor fazoning qaysidir asosida n ta chiziqli mustaqil vektor sistemasi berilgan bo'lsin.

va shuningdek x = (x 1 , x 2 , . . , x n) vektori berilgan.

Vektorlar e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) bu holda ham bu vektor fazoning asosi hisoblanadi.

Faraz qilaylik, e 1 (1) , e 2 (2) , asosda x → vektorining koordinatalarini aniqlash zarur. . . , e n (n) , x ~ 1, x ~ 2, sifatida belgilanadi. . . , x ~ n.

X → vektori quyidagicha ifodalanadi:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e(n)

Ushbu ifodani koordinata shaklida yozamiz:

(x 1 , x 2 , . . , xn) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2, ..., e (2) n) +. . . + + x ~ n (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . .. + x ~ ne 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . + x ~ ne 2 (n) , . . , x ~ 1 en (1) + x ~ 2 en (2) + ... + x ~ nen (n))

Olingan tenglik n ta noma'lum chiziqli o'zgaruvchisi x ~ 1 , x ~ 2 , bo'lgan n ta chiziqli algebraik ifodalar tizimiga ekvivalentdir. . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 +. . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 +. . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 +. . . + x ~ n e n n

Ushbu tizimning matritsasi quyidagicha ko'rinadi:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Bu A matritsa bo'lsin va uning ustunlari e 1 (1) , e 2 (2) , vektorlarning chiziqli mustaqil tizimi vektorlari bo'lsin. . . , e n (n) . Matritsaning darajasi n va determinanti nolga teng emas. Bu tenglamalar tizimi har qanday qulay usulda aniqlangan yagona yechimga ega ekanligini ko'rsatadi: masalan, Kramer usuli yoki matritsa usuli. Shu tarzda x ~ 1 , x ~ 2 , koordinatalarini aniqlashimiz mumkin. . . , x ~ n vektorining x → asosda e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Ko'rib chiqilgan nazariyani aniq misolda qo'llaymiz.

6-misol

Dastlabki ma'lumotlar: vektorlar uch o'lchovli fazo asosida berilgan

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

e (1) , e (2) , e (3) vektorlar sistemasi ham berilgan fazoning asosi bo‘lib xizmat qilishini tasdiqlash, shuningdek, berilgan asosdagi x vektor koordinatalarini aniqlash zarur. .

Yechim

e (1) , e (2) , e (3) vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, uch o'lchovli fazoning asosi bo'ladi. Satrlari berilgan e (1) , e (2) , e (3) vektorlari bo'lgan A matritsaning darajasini aniqlash orqali bu imkoniyatni aniqlaymiz.

Biz Gauss usulidan foydalanamiz:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 ga teng. Shunday qilib, e (1) , e (2) , e (3) vektorlar tizimi chiziqli mustaqil va bazisdir.

Bazisdagi x → vektori x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 koordinatalariga ega bo'lsin. Ushbu koordinatalarning ulanishi tenglama bilan aniqlanadi:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Muammoning shartlariga ko'ra qiymatlarni qo'llaymiz:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Biz tenglamalar tizimini Kramer usuli bilan yechamiz:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Demak, e (1) , e (2) , e (3) bazisdagi x → vektori x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1 koordinatalariga ega.

Javob: x = (1 , 1 , 1)

Bazalar orasidagi aloqa

Faraz qilaylik, n o‘lchamli vektor fazoning qaysidir asosida ikkita chiziqli mustaqil vektorlar tizimi berilgan:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , cn (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , cn (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , cn (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , en (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . , en (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , en (n))

Bu tizimlar ham berilgan makonning asosi hisoblanadi.

c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , bo'lsin. . . , c ~ n (1) - e (1) , e (2) , asosdagi c (1) vektorining koordinatalari. . . , e (3) , u holda koordinatalar munosabati chiziqli tenglamalar sistemasi bilan beriladi:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Matritsa ko'rinishida tizimni quyidagicha ko'rsatish mumkin:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , cn (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … uz (1) e 1 (2) e 2 (2) … uz (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … uz (n)

Analogiya bo'yicha c (2) vektori uchun ham xuddi shunday belgilaymiz:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , cn (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … uz (1) e 1 (2) e 2 (2) … uz (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … uz (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , cn (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … uz (1) e 1 (2) e 2 (2) … uz (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … uz (n)

Matritsa tengliklari bitta ifodaga birlashtiriladi:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ cn (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ en (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ en (n)

U ikki xil asos vektorlarining munosabatini aniqlaydi.

Xuddi shu printsipdan foydalanib, barcha bazis vektorlarini e (1) , e (2) , ifodalash mumkin. . . , e (3) asosi orqali c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ en (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ uz (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ en (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ cn (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ cn (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ cn (n)

Biz quyidagi ta'riflarni beramiz:

Ta'rif 5

Matritsa c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) - e (1) , e (2) , asoslaridan o'tish matritsasi. . . , e(3)

asosiga c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Ta'rif 6

Matritsa e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) - c (1) , c (2) , asoslaridan o'tish matritsasi. . . ,c(n)

asosga e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Bu tengliklardan ko'rinib turibdiki

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

bular. o'tish matritsalari o'zaro teskari.

Keling, nazariyani aniq misolda ko'rib chiqaylik.

7-misol

Dastlabki ma'lumotlar: bazisdan o'tish matritsasini topish kerak

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Shuningdek, berilgan asoslarda ixtiyoriy x → vektorining koordinatalari munosabatini ko'rsatish kerak.

Yechim

1. T o‘tish matritsasi bo‘lsin, u holda tenglik to‘g‘ri bo‘ladi:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Tenglamaning ikkala tomonini ga ko'paytiring

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

va oling:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. O‘tish matritsasini aniqlang:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. X → vektorining koordinatalarining munosabatini aniqlang:

deylik, asosda c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → koordinatalari x 1 , x 2 , x 3 ga ega, keyin:

x \u003d (x 1, x 2, x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1,

va asosda e (1) , e (2) , . . . , e (3) koordinatalariga ega x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 , keyin:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Chunki Bu tengliklarning chap qismlari teng, biz o'ng qismlarini ham tenglashtirishimiz mumkin:

(x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

O'ngdagi ikkala tomonni ko'paytiring

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

va oling:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1) , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Boshqa tomondan

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Oxirgi tengliklar x → vektorining koordinatalarining ikkala asosdagi munosabatini ko'rsatadi.

Javob: o'tish matritsasi

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Berilgan asoslardagi x → vektorining koordinatalari quyidagi munosabat bilan bog‘lanadi:

(x 1, x 2, x 3) = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilab, Ctrl+Enter tugmalarini bosing