Boshqacha qilib aytganda, vektorlar guruhining chiziqli bog'liqligi ular orasida ushbu guruhning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bilan ifodalanishi mumkin bo'lgan vektor mavjudligini anglatadi.
Aytaylik. Keyin
Shuning uchun vektor x bu guruh vektorlariga chiziqli bog'liq.
Vektorlar x, y, ..., z chiziqli deyiladi mustaqil vektorlar agar (0) tenglikdan kelib chiqsa
α=β= ...= γ=0.
Ya'ni, vektorlar guruhlari chiziqli mustaqil bo'ladi, agar birorta vektor ushbu guruhdagi boshqa vektorlarning chiziqli birikmasi bilan ifodalana olmasa.
Vektorlarning chiziqli bog'liqligini aniqlash
n tartibli satrlarning m vektori berilgan bo‘lsin:
Gauss istisnosini amalga oshirib, biz (2) matritsani yuqori uchburchak shaklga keltiramiz. Oxirgi ustunning elementlari faqat satrlar qayta joylashtirilganda o'zgartiriladi. Yo'q qilish bosqichlaridan so'ng biz quyidagilarni olamiz:
qayerda i 1 , i 2 , ..., i m - satrlarning mumkin bo'lgan almashtirilishidan olingan satrlar indekslari. Qator indekslaridan olingan qatorlarni hisobga olsak, biz qatorlarning null vektoriga mos keladiganlarni istisno qilamiz. Qolgan qatorlar chiziqli mustaqil vektorlarni hosil qiladi. E'tibor bering, (2) matritsani kompilyatsiya qilishda qator vektorlari ketma-ketligini o'zgartirish orqali chiziqli mustaqil vektorlarning boshqa guruhini olish mumkin. Ammo bu ikkala vektor guruhini tashkil etuvchi pastki fazo bir xil.
Vektorlar algebrasini o‘rganishda chiziqli bog‘liqlik va vektorlar tizimining mustaqilligi tushunchalari juda muhim, chunki ular asosida o‘lcham va fazo asosi tushunchalari yotadi. Ushbu maqolada biz ta'riflar beramiz, chiziqli bog'liqlik va mustaqillik xususiyatlarini ko'rib chiqamiz, chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish algoritmini olamiz va misollar yechimlarini batafsil tahlil qilamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligini aniqlash.
p n o'lchovli vektorlar to'plamini ko'rib chiqing, ularni quyidagicha belgilang. Ushbu vektorlar va ixtiyoriy sonlarning chiziqli birikmasini tuzing 
(haqiqiy yoki murakkab): . n o‘lchovli vektorlar ustida amallar ta’rifiga, shuningdek vektorlarni qo‘shish va vektorni songa ko‘paytirish amallarining xossalariga asoslanib, yozish mumkin. chiziqli birikma ba'zi bir n o'lchovli vektor , ya'ni.
Shunday qilib, biz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi ta'rifiga keldik.
Ta'rif.
Agar chiziqli birikma raqamlar orasida nol vektor bo'lishi mumkin 
noldan boshqa hech bo'lmaganda bitta bo'lsa, vektorlar tizimi deyiladi chiziqli bog'liq.
Ta'rif.
Agar chiziqli birikma faqat barcha raqamlar bo'lganda null vektor bo'lsa nolga teng bo'lsa, vektorlar tizimi deyiladi chiziqli mustaqil.
Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.
Ushbu ta'riflarga asoslanib, biz shakllantiramiz va isbotlaymiz vektorlar sistemasining chiziqli bog`liqligi va chiziqli mustaqilligi xossalari.
Agar chiziqli bog'liq vektorlar tizimiga bir nechta vektor qo'shilsa, natijada olingan sistema chiziqli bog'liq bo'ladi.
Isbot.
Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lganligi sababli, raqamlardan kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqam bo'lsa, tenglik mumkin. . Bo'lsin.
Dastlabki vektorlar sistemasiga yana s vektor qo‘shamiz 
, va biz tizimni olamiz. beri va , keyin shaklning ushbu sistemasi vektorlarining chiziqli birikmasi
nol vektor va . Shuning uchun hosil bo'lgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.
Agar chiziqli mustaqil vektorlar tizimidan bir nechta vektorlar chiqarib tashlansa, natijada olingan tizim chiziqli mustaqil bo'ladi.
Isbot.
Olingan tizim chiziqli bog'liq deb faraz qilamiz. Ushbu vektorlar tizimiga barcha tashlangan vektorlarni qo'shsak, biz vektorlarning dastlabki tizimini olamiz. Shartga ko'ra, u chiziqli mustaqildir va chiziqli bog'liqlikning oldingi xususiyati tufayli u chiziqli bog'liq bo'lishi kerak. Biz qarama-qarshilikka keldik, shuning uchun bizning taxminimiz noto'g'ri.
Agar vektorlar sistemasi kamida bitta nol vektorga ega bo'lsa, bunday tizim chiziqli bog'liqdir.
Isbot.
Bu vektorlar sistemasidagi vektor nolga teng bo'lsin. Faraz qilaylik, vektorlarning dastlabki sistemasi chiziqli mustaqil. U holda vektor tengligi faqat qachon mumkin bo'lsa. Biroq, agar biz nolga teng bo'lmagan har qanday nolni olsak, u holda tenglik hali ham amal qiladi, chunki . Shuning uchun, bizning taxminimiz noto'g'ri va vektorlarning dastlabki tizimi chiziqli bog'liqdir.
Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsa, unda uning vektorlaridan kamida bittasi boshqalari bilan chiziqli ravishda ifodalanadi. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa, u holda vektorlarning hech birini boshqalar bilan ifodalab bo'lmaydi.
Isbot.
Keling, birinchi fikrni isbotlaylik.
Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'lsin, u holda kamida bitta nolga teng bo'lmagan raqam mavjud va tenglik to'g'ri bo'ladi. Bu tenglikni ga nisbatan hal qilish mumkin, chunki , bu holda, biz bor 
Binobarin, vektor isbotlanishi kerak bo'lgan tizimning qolgan vektorlari bilan chiziqli tarzda ifodalanadi.
Endi biz ikkinchi fikrni isbotlaymiz.
Vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lgani uchun tenglik faqat uchun mumkin.
Aytaylik, tizimning ba'zi vektorlari chiziqli ravishda boshqalari bilan ifodalangan. U holda bu vektor bo'lsin. Bu tenglikni quyidagicha qayta yozish mumkin, uning chap tomonida tizim vektorlarining chiziqli birikmasi mavjud va vektor oldidagi koeffitsient nolga teng emas, bu esa vektorlarning dastlabki tizimining chiziqli bog'liqligini ko'rsatadi. Shunday qilib, biz qarama-qarshilikka keldik, ya'ni mulk isbotlangan.
Oxirgi ikkita xususiyatdan muhim bayonot kelib chiqadi:
agar vektorlar sistemasi vektorlarni o'z ichiga olsa va bu erda - ixtiyoriy raqam, u holda chiziqli bog'liqdir.
Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish.
Keling, vazifani qo'yaylik: biz chiziqli bog'liqlikni yoki chiziqli mustaqillikni o'rnatishimiz kerak vektorlar tizimi .
Mantiqiy savol: "Buni qanday hal qilish kerak?"
Amaliy nuqtai nazardan foydali narsani yuqoridagi ta'riflar va vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi xususiyatlaridan olish mumkin. Ushbu ta'riflar va xususiyatlar vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligini quyidagi hollarda aniqlashga imkon beradi:
Ko'pchilik bo'lgan boshqa hollarda-chi?
Keling, bu bilan shug'ullanamiz.
Biz maqolada keltirgan matritsa darajasi bo'yicha teorema formulasini eslang.
Teorema.
Bo'lsin r - p tartibli A matritsasining n ga tengligi, 
. M matritsaning asosiy minori bo'lsin. Asosiy minor M ni hosil qilishda qatnashmaydigan A matritsaning barcha satrlari (barcha ustunlari) matritsaning asosiy minor M ni hosil qiluvchi satrlari (ustunlari) orqali chiziqli tarzda ifodalanadi.
Endi esa matritsa ranjlari haqidagi teoremaning chiziqli bog’liqlik uchun vektorlar sistemasini o’rganish bilan bog’lanishini tushuntirib beramiz.
Keling, A matritsasini tuzamiz, uning qatorlari o'rganilayotgan tizim vektorlari bo'ladi: 
Nima degani chiziqli mustaqillik vektor tizimlari?
Vektorlar sistemasining chiziqli mustaqilligining to‘rtinchi xossasidan shuni bilamizki, sistemaning vektorlaridan birortasini boshqalar bilan ifodalab bo‘lmaydi. Boshqacha qilib aytganda, A matritsasining hech bir satri boshqa qatorlar bilan chiziqli ifodalanmaydi, shuning uchun, vektorlar tizimining chiziqli mustaqilligi Rank(A)=p shartiga ekvivalent bo'ladi..
Vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi nimani anglatadi?
Hammasi juda oddiy: A matritsasining kamida bitta qatori qolganlari bilan chiziqli ifodalanadi, shuning uchun vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi Rank(A) shartiga ekvivalent bo'ladi.
.
Demak, chiziqli bog’liqlik uchun vektorlar sistemasini o’rganish muammosi shu sistemaning vektorlaridan tashkil topgan matritsaning rankini topish masalasiga tushiriladi.
Shuni ta'kidlash kerakki, p>n uchun vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi.
Izoh: A matritsasini kompilyatsiya qilishda tizim vektorlarini satr sifatida emas, balki ustunlar sifatida olish mumkin.
Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish algoritmi.
Keling, algoritmni misollar bilan tahlil qilaylik.
Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganishga misollar.
Misol.
Vektorlar sistemasi berilgan. Uni chiziqli munosabatlar uchun tekshiring.
Yechim.
c vektor nolga teng bo'lganligi sababli, vektorlarning dastlabki tizimi uchinchi xususiyat tufayli chiziqli bog'liqdir.
Javob:
Vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.
Misol.
Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini ko'rib chiqing.
Yechim.
c vektorining koordinatalari vektorning mos koordinatalarini 3 ga ko'paytirilganiga teng ekanligini ko'rish qiyin emas, ya'ni . Shuning uchun vektorlarning dastlabki tizimi chiziqli bog'liqdir.
Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi
Vektorlarning chiziqli bog'liq va mustaqil tizimlarining ta'riflari
Ta'rif 22
Bizda n-vektorlar tizimi va raqamlar to'plami bo'lsin 
, keyin
(11)
berilgan vektorlar tizimining berilgan koeffitsientlar to'plamiga ega chiziqli birikmasi deyiladi.
Ta'rif 23
Vektor tizimi 
agar shunday koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deb ataladi 
, ulardan kamida bittasi nolga teng emas, shuning uchun berilgan vektorlar tizimining ushbu koeffitsientlar to'plami bilan chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'ladi:
Bo'lsin 
, keyin
Ta'rif 24 ( tizimning bir vektorini boshqalarning chiziqli birikmasi sifatida ko'rsatish orqali)
Vektor tizimi 
Agar ushbu tizim vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa, chiziqli bog'liq deb ataladi.
Bayonot 3
23 va 24 ta'riflar ekvivalentdir.
Ta'rif 25(nol chiziq birikmasi orqali)
Vektor tizimi 
chiziqli mustaqil deyiladi, agar bu tizimning nol chiziqli birikmasi faqat hamma uchun mumkin bo'lsa 
nolga teng.
Ta'rif 26(tizimning bitta vektorini qolganlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalashning mumkin emasligi orqali)
Vektor tizimi 
Agar ushbu tizimning vektorlaridan hech biri ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalana olmasa, chiziqli mustaqil deyiladi.
Vektorlarning chiziqli bog'liq va mustaqil sistemalarining xossalari
Teorema 2 (vektorlar sistemasidagi nol vektor)
Agar vektorlar sistemasida nol vektor bo'lsa, u holda sistema chiziqli bog'liqdir.
Mayli 
, keyin.
Oling 
, shuning uchun nol chiziqli birikma nuqtai nazaridan vektorlarning chiziqli bog'liq sistemasi ta'rifi bilan (12)
tizim chiziqli bog'liqdir.
Teorema 3 (vektorlar tizimidagi qaram quyi tizim)
Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq quyi tizimga ega bo'lsa, u holda butun tizim chiziqli bog'liqdir.
Mayli 
- chiziqli bog'liq quyi tizim 
, ulardan kamida bittasi nolga teng emas:
Demak, 23-ta'rifga ko'ra, tizim chiziqli bog'liqdir.
Teorema 4
Chiziqli mustaqil tizimning har qanday quyi tizimi chiziqli mustaqildir.
Aksincha. Tizim chiziqli mustaqil bo'lsin va chiziqli bog'liq quyi tizimga ega bo'lsin. Ammo keyin, 3-teoremaga ko'ra, butun tizim ham chiziqli bog'liq bo'ladi. Qarama-qarshilik. Shuning uchun chiziqli mustaqil tizimning quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lishi mumkin emas.
Vektorlar sistemasining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligining geometrik ma'nosi
Teorema 5
Ikki vektor 
Va 
chiziqli bog'liq bo'lsa va faqat 
.
Kerak.
Va 
- chiziqli bog'liq 
bu shart 
. Keyin 
, ya'ni. 
.
Adekvatlik.
Chiziqli bog'liq.
Xulosa 5.1
Nol vektor har qanday vektorga kollineardir
Xulosa 5.2
Ikki vektor chiziqli mustaqil bo'lishi uchun bu zarur va etarli 
mos kelmas edi 
.
Teorema 6
Uch vektorli sistemaning chiziqli bog'liq bo'lishi uchun bu vektorlarning koplanar bo'lishi zarur va etarli. .
Kerak.
- chiziqli bog'liq, shuning uchun bitta vektor qolgan ikkitasining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin.
,
(13)
qayerda 
Va 
. Paralelogramma qoidasiga ko'ra 
tomonlari boʻlgan parallelogrammaning diagonali 
, lekin parallelogramm tekis shakldir 
koplanar 
ham mutanosibdir.
Adekvatlik.
- koplanar. O nuqtaga uchta vektorni qo'llaymiz:
C
B`
– chiziqli bog‘liq
Xulosa 6.1
Nol vektor har qanday vektorlar juftiga koplanardir.
Xulosa 6.2
Vektorlar uchun 
chiziqli mustaqil bo'ladi, agar ular koplanar bo'lmasa.
Xulosa 6.3
Har qanday tekislik vektorini bitta tekislikning har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ko'rsatish mumkin.
Teorema 7
Kosmosdagi har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir .
Keling, 4 ta holatni ko'rib chiqaylik:
Vektorlar orqali tekislikni, keyin vektorlar orqali tekislikni va vektorlar orqali tekislikni chizamiz. Keyin vektor juftlariga parallel ravishda D nuqtadan o'tadigan tekisliklarni chizamiz; ; mos ravishda. Biz tekisliklarning kesishish chiziqlari bo'ylab parallelepiped quramiz OB 1 D 1 C 1 ABDC.
O'ylab ko'ring OB 1
D 1
C 1
- parallelogramma qoidasiga ko'ra qurilishi bo'yicha parallelogramm 
.
OADD 1 ni ko'rib chiqing - parallelogramma (parallelepiped xususiyatidan) 
, keyin
EMBED tenglamasi.3.
1-teorema bo'yicha 
shu kabi . Keyin 
, va ta'rifi bo'yicha 24 vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.
Xulosa 7.1
Kosmosdagi uchta koplanar bo'lmagan vektor yig'indisi umumiy koordinataga biriktirilgan ushbu uchta vektorga qurilgan parallelepipedning diagonali bilan mos keladigan vektor bo'lib, yig'indisi vektorining boshlanishi ushbu uchta vektorning umumiy kelib chiqishiga to'g'ri keladi.
Xulosa 7.2
Agar fazoda 3 ta koplanar bo'lmagan vektorni oladigan bo'lsak, u holda bu fazoning istalgan vektorini shu uch vektorning chiziqli birikmasiga parchalash mumkin.
a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Yechim. Biz tenglamalar tizimining umumiy yechimini qidiramiz
a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
Gauss usuli. Buning uchun biz ushbu bir hil tizimni koordinatalarda yozamiz:
Tizim matritsasi
Ruxsat etilgan tizim quyidagicha ko'rinadi: 
(r A = 2, n= 3). Tizim izchil va aniqlanmagan. Uning umumiy yechimi ( x 2 - erkin o'zgaruvchi): x 3 = 13x 2 ; 3x 1 – 2x 2 – 13x 2 = 0 => x 1 = 5x 2 => X o =. Nolga teng bo'lmagan xususiy yechimning mavjudligi, masalan, , vektorlar ekanligini ko'rsatadi a
1 , a
2 , a
3
chiziqli bog'liq.
2-misol
Bor yoki yo'qligini bilib oling bu tizim vektorlar chiziqli bog'liq yoki chiziqli mustaqil:
1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.
Yechim. Bir jinsli tenglamalar tizimini ko'rib chiqing a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = Θ
yoki kengaytirilgan (koordinatalar bo'yicha)
Tizim bir hil. Agar u degenerativ bo'lmasa, unda o'ziga xos yechim mavjud. Qachon bir hil tizim nol (arzimas) yechimdir. Demak, bu holda vektorlar tizimi mustaqildir. Agar tizim buzilgan bo'lsa, u nolga teng bo'lmagan echimlarga ega va shuning uchun u bog'liqdir.
Tizimni degeneratsiyaga tekshirish:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
Tizim degenerativ emas va shuning uchun vektorlar a 1 , a 2 , a 3 chiziqli mustaqildir.
Vazifalar. Berilgan vektorlar sistemasi chiziqli bog'liqmi yoki chiziqli mustaqil ekanligini aniqlang:
1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.
2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.
6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.
7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Agar vektorlar sistemasi chiziqli bog‘liq bo‘lishini isbotlang, agar u quyidagilardan iborat bo‘lsa:
a) ikkita teng vektor;
b) ikkita proportsional vektor.
Ta'rif. Vektorlarning chiziqli birikmasi a 1 , ..., a n koeffitsientlari x 1 , ..., x n vektor deyiladi.
x 1 a 1 + ... + x n a n.
ahamiyatsiz, agar barcha koeffitsientlar x 1 , ..., x n nolga teng bo'lsa.
Ta'rif. x 1 a 1 + ... + x n a n chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz, agar x 1 , ..., x n koeffitsientlarining kamida bittasi nolga teng bo'lmasa.
chiziqli mustaqil, agar nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlarning ahamiyatsiz birikmasi bo'lmasa.
Ya'ni, a 1 , ..., a n vektorlari x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 bo'lsa, faqat x 1 = 0, ..., x n = 0 bo'lsa, chiziqli mustaqildir.
Ta'rif. a 1 , ..., a n vektorlari deyiladi chiziqli bog'liq, agar nol vektorga teng bo'lgan bu vektorlarning ahamiyatsiz birikmasi mavjud bo'lsa.
Chiziqli bog'liq vektorlarning xossalari:
n o'lchovli vektorlar uchun.
n + 1 vektorlar har doim chiziqli bog'liqdir.
2 va 3 o'lchovli vektorlar uchun.
Ikki chiziqli bog'liq vektorlar- kollinear. (Kollinear vektorlar chiziqli bog'liqdir.) .
3 o'lchovli vektorlar uchun.
Uchta chiziqli bog'liq vektorlar koplanardir. (Uchta koplanar vektor chiziqli bog'liqdir.)
Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va chiziqli mustaqilligi uchun topshiriqlarga misollar:
1-misol. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring. .
Yechim:
Vektorlar chiziqli bog'liq bo'ladi, chunki vektorlarning o'lchami vektorlar sonidan kamroq.
2-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Yechim:
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + x3 = 0 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 1 | 0 |
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 1 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 1 | 0 |
birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo‘shing:
| ~ | 1 - 0 | 1 - 1 | 0 - (-1) | 0 - 0 | ~ | 1 | 0 | 1 | 0 | ||||
| 0 | 1 | -1 | 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | ||||||
| 0 + 0 | -1 + 1 | 1 + (-1) | 0 + 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Ushbu yechim tizimning ko'plab echimlarga ega ekanligini ko'rsatadi, ya'ni x 1 , x 2 , x 3 raqamlari qiymatlarining nolga teng bo'lmagan kombinatsiyasi mavjud bo'lib, a , b , c vektorlarining chiziqli birikmasi teng bo'ladi. nol vektorga, masalan:
A + b + c = 0
ya'ni a, b, c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
Javob: a , b , c vektorlari chiziqli bog'liqdir.
3-misol. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektorlarining chiziqli mustaqilligini tekshiring.
Yechim: Ushbu vektorlarning chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'lgan koeffitsientlarning qiymatlarini topamiz.
x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0Bu vektor tenglamani sistema sifatida yozish mumkin chiziqli tenglamalar
| x1 + x2 = 0 | |
| x1 + 2x2 - x3 = 0 | |
| x1 + 2x3 = 0 |
Bu sistemani Gauss usuli yordamida yechamiz
| 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||
| 1 | 2 | -1 | 0 | |||
| 1 | 0 | 2 | 0 |
ikkinchi qatordan birinchisini ayirmoq; uchinchi qatordan birinchisini ayirish:
| ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | 1 | 1 | 0 | 0 | ~ | ||||
| 1 - 1 | 2 - 1 | -1 - 0 | 0 - 0 | 0 | 1 | -1 | 0 | |||||||
| 1 - 1 | 0 - 1 | 2 - 0 | 0 - 0 | 0 | -1 | 2 | 0 |
birinchi qatordan ikkinchisini olib tashlang; ikkinchi qatorni uchinchi qatorga qo'shing.