Demak, chiziqli bog’liqlik uchun vektorlar sistemasini o’rganish muammosi shu sistemaning vektorlaridan tuzilgan matritsaning rankini topish masalasiga tushiriladi.

Shuni ta'kidlash kerakki, p>n uchun vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi.

Izoh: A matritsasini kompilyatsiya qilishda tizim vektorlarini satr sifatida emas, balki ustunlar sifatida olish mumkin.

Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganish algoritmi.

Keling, algoritmni misollar bilan tahlil qilaylik.

Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini o'rganishga misollar.

Misol.

Vektorlar sistemasi berilgan. Uni chiziqli munosabatlar uchun tekshiring.

Yechim.

c vektor nolga teng bo'lganligi sababli, vektorlarning dastlabki tizimi uchinchi xususiyat tufayli chiziqli bog'liqdir.

Javob:

Vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

Misol.

Chiziqli bog'liqlik uchun vektorlar tizimini ko'rib chiqing.

Yechim.

c vektorining koordinatalari vektorning mos koordinatalarini 3 ga ko'paytirilganiga teng ekanligini ko'rish qiyin emas, ya'ni . Shuning uchun vektorlarning dastlabki tizimi chiziqli bog'liqdir.

Ta'rif 1. Vektorlarning chiziqli birikmasi bu vektorlar va skalarlarning ko'paytmalarining yig'indisidir
:

Ta'rif 2. Vektor tizimi
Agar ularning chiziqli birikmasi (2.8) yo'qolsa, chiziqli bog'liq tizim deyiladi:

va raqamlar orasida
noldan boshqa kamida bittasi mavjud.

Ta'rif 3. Vektorlar
chiziqli mustaqil deyiladi, agar ularning chiziqli birikmasi (2.8) faqat hammasi son bo'lsa, yo'qoladi.

Ushbu ta'riflardan quyidagi xulosalarni olish mumkin.

Xulosa 1. Chiziqli bog'liq vektor tizimida kamida bitta vektor boshqalarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin.

Isbot. (2.9) ushlab tursin va aniqlik uchun koeffitsient bo'lsin
. Keyin bizda:
. E'tibor bering, qarama-qarshilik ham to'g'ri.

Natija 2. Agar vektorlar sistemasi
nol vektorni o'z ichiga oladi, keyin bu tizim (majburiy) chiziqli bog'liq - isboti aniq.

Xulosa 3. Agar orasida n vektorlar
har qanday k(
) vektorlar chiziqli bog'liq, keyin hammasi n vektorlar chiziqli bog'liqdir (biz isbotni o'tkazib yuboramiz).

2 0 . Ikki, uch va to'rt vektorning chiziqli birikmalari. To'g'ri chiziq, tekislik va fazoda vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi masalalarini ko'rib chiqamiz. Keling, tegishli teoremalarni keltiraylik.

Teorema 1. Ikki vektor chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning kollinear bo'lishi zarur va etarli.

Kerak. Vektorlarga ruxsat bering Va chiziqli bog'liq. Bu ularning chiziqli birikmasini bildiradi
=0 va (aniqlik uchun)
. Bu tenglikni anglatadi
, va (vektorni raqamga ko'paytirish ta'rifi bo'yicha) vektorlar Va kollinear.

Adekvatlik. Vektorlarga ruxsat bering Va qarama-qarshi ( ║) (biz ular nol vektordan farq qiladi deb hisoblaymiz; aks holda, ularning chiziqli bog'liqligi aniq).

Teorema (2.7) bo'yicha (§2.1, 2 0 bandiga qarang).
shu kabi
, yoki
– chiziqli birikma nolga teng, koeffitsient esa at 1 ga teng - vektorlar Va chiziqli bog'liq.

Bu teoremadan quyidagi xulosa kelib chiqadi.

Natija. Agar vektorlar Va kollinear emas, u holda ular chiziqli mustaqildir.

Teorema 2. Uch vektor chiziqli bog'liq bo'lishi uchun ularning koplanar bo'lishi zarur va etarli.

Kerak. Vektorlarga ruxsat bering ,Va chiziqli bog'liq. Keling, ularning koplanar ekanligini ko'rsataylik.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligini aniqlash raqamlarning mavjudligini nazarda tutadi
Va shunday chiziqli birikma
, va ayni paytda (aniqlik uchun)
. Keyin bu tenglikdan vektorni ifodalashimiz mumkin :=
, ya'ni vektor bu tenglikning o'ng tomonidagi vektorlarga qurilgan parallelogramma diagonaliga teng (2.6-rasm). Bu vektorlar degan ma'noni anglatadi ,Va bir xil tekislikda yotish.

Adekvatlik. Vektorlarga ruxsat bering ,Va koplanar. Keling, ularning chiziqli bog'liqligini ko'rsataylik.

Har qanday vektor juftligining kollinearlik holatini istisno qilaylik (chunki u holda bu juft chiziqli bog'liq va 3-sonli xulosaga ko'ra (1 0-bandga qarang) uchta vektor ham chiziqli bog'liqdir). E'tibor bering, bunday taxmin ko'rsatilgan uchtasi orasida nol vektor mavjudligini ham istisno qiladi.

Biz uchta koplanar vektorni bitta tekislikka o'tkazamiz va ularni umumiy kelib chiqishiga keltiramiz. Vektorning oxiri orqali vektorlarga parallel chiziqlar torting Va ; vektorlarni olamiz Va (2.7-rasm) - ularning mavjudligi vektorlar mavjudligi bilan ta'minlanadi Va faraz bo'yicha kollinear bo'lmagan vektorlar. Bundan kelib chiqadiki, vektor =+. Bu tenglikni (-1) sifatida qayta yozish ++=0, vektorlar degan xulosaga kelamiz ,Va chiziqli bog'liq.

Tasdiqlangan teoremadan ikkita xulosa kelib chiqadi.

Xulosa 1. Bo'lsin Va kollinear bo'lmagan vektorlar, vektor – ixtiyoriy, vektorlar bilan aniqlangan tekislikda yotgan Va , vektor. Keyin raqamlar bor Va shu kabi

=+. (2.10)

Natija 2. Agar vektorlar ,Va koplanar emas, u holda ular chiziqli mustaqildir.

Teorema 3. Har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir.

Biz dalilni o'tkazib yuboramiz; Ba'zi o'zgartirishlar bilan u 2-teoremaning isbotini ko'chiradi. Keling, ushbu teoremaning xulosasini keltiramiz.

Natija. Har qanday koplanar bo'lmagan vektorlar uchun ,,va har qanday vektor
Va shu kabi

. (2.11)

Izoh. (Uch o'lchovli) fazodagi vektorlar uchun chiziqli bog'liqlik va mustaqillik tushunchalari yuqoridagi 1-3 teoremalardan kelib chiqqan holda oddiy geometrik ma'noga ega.

Ikki chiziqli bog'liq vektor bo'lsin Va . Bunday holda, ulardan biri ikkinchisining chiziqli birikmasidir, ya'ni u shunchaki raqamli omil bilan farq qiladi (masalan,
). Geometrik jihatdan bu ikkala vektor umumiy chiziqda ekanligini bildiradi; ular bir xil yoki qarama-qarshi yo'nalishga ega bo'lishi mumkin (2.8-rasm xx).

Agar ikkita vektor bir-biriga burchak ostida joylashgan bo'lsa (2.9-rasm xx), unda bu holda ulardan birini ikkinchisini raqamga ko'paytirish orqali olish mumkin emas - bunday vektorlar chiziqli mustaqildir. Shuning uchun ikkita vektorning chiziqli mustaqilligi Va bu vektorlarni bir xil to'g'ri chiziqqa yotqizish mumkin emasligini bildiradi.

Keling, uchta vektorning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligining geometrik ma'nosini bilib olaylik.

Vektorlarga ruxsat bering ,Va chiziqli bog'liq va vektor bo'lsin (aniqlik uchun). vektorlarning chiziqli birikmasidir Va , ya'ni vektorlarni o'z ichiga olgan tekislikda joylashgan Va . Bu vektorlar degan ma'noni anglatadi ,Va bir xil tekislikda yotish. Qarama-qarshi gap ham to'g'ri: vektorlar bo'lsa ,Va bir tekislikda yotadi, keyin ular chiziqli bog'liqdir.

Shunday qilib, vektorlar ,Va bir tekislikda yotmasagina va faqat chiziqli mustaqildir.

3 0 . Baza tushunchasi. Chiziqli va vektor algebrasining eng muhim tushunchalaridan biri bazis tushunchasidir. Biz ta'riflarni kiritamiz.

Ta'rif 1. Agar bu juftlikning qaysi vektori birinchi va qaysi biri ikkinchisi ekanligi aniqlansa, bir juft vektor tartibli deyiladi.

Ta'rif 2. Buyurtma qilingan juftlik ,kollinear bo'lmagan vektorlar berilgan vektorlar bilan aniqlangan tekislikdagi bazis deyiladi.

Teorema 1. Har qanday vektor tekislikda vektorlarning bazis tizimining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin ,:

(2.12)

va bu tasvir noyobdir.

Isbot. Vektorlarga ruxsat bering Va asos hosil qiladi. Keyin har qanday vektor sifatida ifodalanishi mumkin
.

Noyoblikni isbotlash uchun, deylik, yana bitta parchalanish bor
. Keyin biz = 0 ga ega bo'lamiz va farqlarning kamida bittasi nolga teng emas. Ikkinchisi vektorlar degan ma'noni anglatadi Va chiziqli bog'liq, ya'ni kollinear; bu ular asos tashkil qiladi degan fikrga zid keladi.

Ammo keyin parchalanish o'ziga xosdir.

Ta'rif 3. Qaysi vektor birinchi, qaysi biri ikkinchi, qaysi biri uchinchi ekanligi ko'rsatilgan bo'lsa, uch vektorlar tartibli deyiladi.

Ta'rif 4. Koplanar bo'lmagan vektorlarning tartiblangan uchligi fazoda bazis deb ataladi.

Bu erda parchalanish va yagonalik teoremasi ham amal qiladi.

Teorema 2. Har qanday vektor bazis vektor tizimining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin ,,:

(2.13)

va bu vakillik noyobdir (biz teoremaning isbotini o'tkazib yuboramiz).

Kengaytmalarda (2.12) va (2.13) miqdorlar vektorning koordinatalari deyiladi berilgan asosda (aniqrog'i, affin koordinatalarida).

Ruxsat etilgan asos uchun
Va
yozishingiz mumkin
.

Misol uchun, agar asos berilgan bo'lsa
va shuni hisobga olgan holda
, u holda bu vakillik (parchalanish) mavjudligini anglatadi.
.

4 0 . Koordinata shaklidagi vektorlar ustida chiziqli amallar. Bazisning kiritilishi vektorlar ustidagi chiziqli amallarni raqamlar ustidagi oddiy chiziqli amallar - bu vektorlarning koordinatalari bilan almashtirish imkonini beradi.

Bir oz asos berilsin
. Shubhasiz, bu asosda vektorning koordinatalarini o'rnatish vektorning o'zini to'liq aniqlaydi. Quyidagi takliflar mavjud:

a) ikkita vektor
Va
Agar ularning tegishli koordinatalari teng bo'lsa, teng bo'ladi:

b) vektorni ko'paytirishda
raqam uchun uning koordinatalari bu raqamga ko'paytiriladi:

; (2.15)

v) vektorlarni qo'shishda ularning tegishli koordinatalari qo'shiladi:

Biz bu xususiyatlarning dalillarini o'tkazib yuboramiz; b) xossasini faqat misol tariqasida isbotlaylik. Bizda ... bor

==

Izoh. Kosmosda (tekislikda) cheksiz ko'p asoslarni tanlash mumkin.

Biz bir bazisdan ikkinchisiga o'tishga misol keltiramiz, turli asoslarda vektor koordinatalari o'rtasidagi munosabatni o'rnatamiz.

1-misol. Asosiy tizimda
uchta vektor berilgan:
,
Va
. asosda ,,vektor parchalanish xususiyatiga ega. Vektor koordinatalarini toping asosda
.

Yechim. Bizda kengaytmalar mavjud:
,
,
; Binobarin,
=
+2
+
= =
, ya'ni
asosda
.

2-misol. Biroz asos bo'lsin
to'rt vektor ularning koordinatalari bilan berilgan:
,
,
Va
.

Vektorlarning hosil bo'lishini aniqlang
asos; ijobiy javob bo'lsa vektorning parchalanishini toping shu asosda.

Yechim. 1) vektorlar chiziqli mustaqil bo'lsa, asos bo'ladi. Vektorlarning chiziqli birikmasini tuzing
(
) va nima uchun ekanligini bilib oling
Va yo'qoladi:
=0. Bizda ... bor:

=
+
+
=

Koordinata ko'rinishidagi vektorlarning tengligini aniqlash orqali biz quyidagi (chiziqli bir hil algebraik) tenglamalar tizimini olamiz:
;
;
, kimning aniqlovchisi
=1
, ya'ni tizimda (yagona) ahamiyatsiz yechim mavjud
. Bu vektorlarning chiziqli mustaqil ekanligini anglatadi
va shuning uchun ular asosni tashkil qiladi.

2) vektorni kengaytiring shu asosda. Bizda ... bor: =
yoki koordinatali shaklda.

Koordinata ko'rinishidagi vektorlarning tengligiga o'tib, chiziqli bir hil bo'lmagan algebraik tenglamalar tizimini olamiz:
;
;
. Uni yechish (masalan, Kramer qoidasiga ko'ra) biz quyidagilarni olamiz:
,
,
va (
)
. Bizda vektor parchalanishi mavjud asosda
:=.

5 0 . Vektorning o'qga proyeksiyasi. Proyeksiya xususiyatlari. Bir oz eksa bo'lsin l, ya'ni yo'nalishi tanlangan to'g'ri chiziq va qandaydir vektor berilgan bo'lsin .Vektorning proyeksiyasi tushunchasini aniqlang aks boshiga l.

Ta'rif. Vektor proyeksiyasi aks boshiga l bu vektor moduli va eksa orasidagi burchak kosinusining mahsuloti deyiladi l va vektor (2.10-rasm):

. (2.17)

Ushbu ta'rifning natijasi - teng vektorlar teng proyeksiyalarga ega (bir xil o'qda).

Proyeksiyalarning xossalariga e'tibor bering.

1) vektorlar yig'indisining qandaydir o'qga proyeksiyasi l bir xil o'qdagi vektorlar hadlari proyeksiyalari yig'indisiga teng:

2) skalyar va vektor ko‘paytmasining proyeksiyasi shu skalerning ko‘paytmasiga va vektorning bir o‘qdagi proyeksiyasiga teng:

=
. (2.19)

Natija. Vektorlarning chiziqli birikmasining eksadagi proyeksiyasi ularning proyeksiyalarining chiziqli birikmasiga teng:

Biz xususiyatlarning dalillarini o'tkazib yuboramiz.

6 0 . Kosmosdagi to'rtburchak dekart koordinatalar tizimi.O'qlarning birlik vektorlarida vektorning parchalanishi. Asos sifatida uchta o'zaro perpendikulyar birlik vektor tanlansin; biz ular uchun maxsus belgini kiritamiz
. Ularni joylashtirish orqali nuqtadan boshlang O, ular bo'ylab to'g'ridan-to'g'ri (birlik vektorlari bo'yicha
) koordinata o'qlari ho'kiz,Oy va O z(musbat yo'nalish tanlangan, mos yozuvlar nuqtasi va uzunlik birligi bo'lgan o'q koordinata o'qi deb ataladi).

Ta'rif. Boshi umumiy va umumiy uzunlik birligiga ega boʻlgan uchta oʻzaro perpendikulyar koordinata oʻqlaridan iborat tartiblangan sistema fazodagi toʻgʻri burchakli dekart koordinatalar tizimi deyiladi.

Eksa ho'kiz x o'qi deb ataladi, Oy- y o'qi va O z – applikatsiya o'qi.

Keling, ixtiyoriy vektorning bazis nuqtai nazaridan kengayishi bilan shug'ullanamiz
. Teoremadan (2.2-band, 3-band, 0, (2.13) ga qarang) shundan kelib chiqadiki,
asosda yagona kengaytirilishi mumkin
(bu erda koordinatalarni belgilash o'rniga
foydalanish
):

. (2.21)

In (2.21)
vektorning (kartezian to'rtburchak) koordinatalari . Ma'nosi Dekart koordinatalari quyidagi teoremani o‘rnatadi.

Teorema. Dekart koordinatalari
vektor bu vektorning mos ravishda o'qlarga proyeksiyalari ho'kiz,Oy va O z.

Isbot. Keling, vektorni joylashtiramiz koordinata tizimining kelib chiqishiga - nuqta O. Keyin uning oxiri qaysidir nuqtaga to'g'ri keladi
.

Keling, nuqtadan o'tamiz
koordinata tekisliklariga parallel uchta tekislik Oyz,Oxz Va Oksi(2.11-rasm xx). Keyin olamiz:

. (2.22)

(2.22) da vektorlar
Va
vektor komponentlari deyiladi
eksa bo'ylab ho'kiz,Oy va O z.

O'tkazib yuboring
Va vektor tomonidan hosil qilingan burchaklar mos ravishda ko'rsatilgan orts bilan
. Keyin komponentlar uchun quyidagi formulalarni olamiz:

=
=
,
=
=
,
=
=
(2.23)

(2.21), (2.22) (2.23) dan biz quyidagilarni topamiz:

=
=
;=
=
;=
=
(2.23)

- koordinatalar
vektor bu vektorning koordinata o'qlariga proyeksiyalari mavjud ho'kiz,Oy va O z mos ravishda.

Izoh. Raqamlar
vektorning yo'nalish kosinuslari deyiladi .

Vektor moduli (to'rtburchaklar parallelepipedning diagonali) quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

. (2.24)

(2.23) va (2.24) formulalardan kelib chiqadiki, yo'nalish kosinuslarini formulalar yordamida hisoblash mumkin:

=
;
=
;
=
. (2.25)

(2.25) dagi har bir tenglikning ikkala qismini ko'tarib, hosil bo'lgan tenglikning chap va o'ng qismlarini hadlar bo'yicha qo'shib, formulaga kelamiz:

- har qanday uchta burchak fazoda ma'lum bir yo'nalishni emas, balki faqat kosinuslari munosabat bilan bog'liq bo'lgan burchaklarni hosil qiladi (2.26).

7 0 . Radius vektori va nuqta koordinatalari.Vektorni boshi va oxiri bo'yicha aniqlash. Keling, ta'rifni kiritaylik.

Ta'rif. Radius vektori (belgilangan ) koordinata boshini tutashtiruvchi vektor deyiladi O bu nuqta bilan (2.12-rasm xx):

. (2.27)

Kosmosdagi har qanday nuqta ma'lum bir radius vektoriga to'g'ri keladi (va aksincha). Shunday qilib, fazodagi nuqtalar vektor algebrasida radius vektorlari bilan ifodalanadi.

Koordinatalar aniq
ball M uning radius vektorining proyeksiyalaridir
koordinata o'qlari bo'yicha:

(2.28’)

va shunday qilib,

(2.28)

– nuqtaning radius vektori koordinata o‘qlaridagi proyeksiyalari shu nuqtaning koordinatalariga teng bo‘lgan vektordir. Bundan ikkita yozuv kelib chiqadi:
Va
.

Vektor proyeksiyalarini hisoblash formulalarini olish
uning boshlanishi koordinatalari bo'yicha - nuqta
va yakuniy nuqta
.

Radius vektorlarini chizing
va vektor
(2.13-rasm). Biz buni tushunamiz

=
=(2.29)

– vektorning koordinata vektorlariga proyeksiyalari vektorning oxiri va boshi mos keladigan koordinatalarining ayirmalariga teng.

8 0 . Dekart koordinatalari bo'yicha ba'zi muammolar.

1) vektor kollinearlik shartlari . Teoremadan (2.1-bandning 2 0-bandiga qarang, formula (2.7)) vektorlarning kollinarligi uchun Va quyidagi munosabatlarni amalga oshirish uchun zarur va etarli: =. Ushbu vektor tengligidan biz koordinata shaklida uchta tenglikni olamiz: koordinata shaklidagi vektorlarning kollinarligi sharti quyidagicha:

(2.30)

– kollinear vektorlar uchun Va ularning tegishli koordinatalari proportsional bo'lishi zarur va etarli.

2) nuqtalar orasidagi masofa . Vakillikdan (2.29) masofa kelib chiqadi
nuqtalar orasida
Va
formula bilan aniqlanadi

=
=. (2.31)

3) bu borada segmentlarga bo'linish . Ballar berilsin
Va
va munosabat
. Topish kerak
- nuqta koordinatalari M (2.14-rasm).

Kollinear vektorlar shartidan bizda:
, qayerda
Va

. (2.32)

(2.32) dan koordinata shaklida olamiz:

Formulalardan (2.32 ') segment o'rtasining koordinatalarini hisoblash uchun formulalarni olish mumkin.
, faraz qilish
:

Izoh. Keling, segmentlarni hisoblaylik
Va
ularning yo'nalishi kelib chiqish yo'nalishi bilan mos kelishiga qarab ijobiy yoki salbiy
oxirigacha kesib oling
, yoki mos kelmaydi. Keyin (2.32) - (2.32") formulalar yordamida siz segmentni ajratuvchi nuqtaning koordinatalarini topishingiz mumkin.
tashqi, ya'ni, shuning uchun bo'linish nuqtasi M kengaytmada joylashgan
, uning ichida emas. Shu bilan birga, albatta,
.

4) sferik sirt tenglamasi . Sferik sirt - nuqtalar joylashuvi tenglamasini tuzamiz
, masofaga teng masofada ba'zi sobit markazdan - nuqta
. Shubhasiz, bu holatda
va (2.31) formulasini hisobga olgan holda

Tenglama (2.33) - kerakli sferik sirt tenglamasi.

Bo'lsin L – chiziqli fazo maydon ustida R . Bo'lsin A1, a2, ... , an (*) dan vektorlarning chekli tizimi L . Vektor IN = a1× A1 + a2× A2 + … + an× An (16) chaqirdi Vektorlarning chiziqli birikmasi ( *), yoki vektor ayting IN vektorlar tizimi (*) orqali chiziqli ifodalangan.

Ta'rif 14. Vektorlar sistemasi (*) deyiladi chiziqli bog'liq , agar a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lsa, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0. Agar a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 Û a1 = a2 = … = an = 0, keyin tizim (*) chaqiriladi chiziqli mustaqil.

Chiziqli bog`liqlik va mustaqillik xossalari.

10. Agar vektorlar sistemasi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Haqiqatan ham, agar tizimda (*) vektor bo'lsa A1 = 0, Keyin 1 × 0 + 0× A2 + ... + 0 × An = 0 .

20. Agar vektorlar sistemasi ikkita proporsional vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir.

Bo'lsin A1 = L×a2. Keyin 1 × A1 –l× A2 + 0× A3 + … + 0× LEKIN N= 0.

30. n ³ 2 uchun cheklangan vektorlar tizimi (*) chiziqli bog'liq bo'ladi, agar uning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi bo'lsa.

Þ (*) chiziqli bog‘liq bo‘lsin. U holda a1, a2, … koeffitsientlarining nolga teng bo'lmagan to'plami mavjud bo'lib, a1× A1 + a2× A2 + … + an× An = 0 . Umumiylikni yo'qotmasdan, biz a1 ¹ 0 deb taxmin qilishimiz mumkin. Keyin mavjud A1 = ×a2× A2 + … + ×chan× LEKIN N. Demak, vektor A1 qolgan vektorlarning chiziqli birikmasidir.

Ü Vektorlardan biri (*) boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsin. Biz buni birinchi vektor deb hisoblashimiz mumkin, ya'ni. A1 = B2 A2+ … + milliard LEKIN N, demak (–1)× A1 + b2 A2+ … + milliard LEKIN N= 0 , ya'ni (*) chiziqli bog'liqdir.

Izoh. Oxirgi xususiyatdan foydalanib, cheksiz vektorlar tizimining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligini aniqlash mumkin.

Ta'rif 15. Vektor tizimi A1, a2, ... , an , … (**) deyiladi chiziqli bog'liq, Agar uning vektorlaridan kamida bittasi boshqa vektorlarning cheklangan sonining chiziqli birikmasi bo'lsa. Aks holda, tizim (**) chaqiriladi chiziqli mustaqil.

40. Cheklangan vektorlar sistemasi, agar uning vektorlaridan hech biri boshqa vektorlari bilan chiziqli ifodalana olmasagina, chiziqli mustaqil hisoblanadi.

50. Agar vektorlar sistemasi chiziqli mustaqil bo'lsa, uning har qanday quyi tizimlari ham chiziqli mustaqildir.

60. Agar berilgan vektorlar sistemasining ayrim quyi tizimi chiziqli bog’liq bo’lsa, butun sistema ham chiziqli bog’liqdir.

Ikki vektor sistemasi berilgan bo'lsin A1, a2, ... , an , … (16) va V1, v2, … , vs, … (17). Agar (16) sistemaning har bir vektorini (17) sistemaning chekli sonli vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida tasvirlash mumkin bo'lsa, u holda (17) sistema (16) orqali chiziqli ifodalangan deymiz.

Ta'rif 16. Ikki vektor sistemasi deyiladi ekvivalent , agar ularning har biri chiziqli ravishda ikkinchisi bilan ifodalangan bo'lsa.

Teorema 9 (chiziqli bog'liqlik haqidagi asosiy teorema).

Qo'ying va - ikkita yakuniy tizimlar dan vektorlar L . Agar birinchi tizim chiziqli mustaqil bo'lsa va ikkinchisi bilan chiziqli ifodalangan bo'lsa, u holda N£ s.

Isbot. Keling, shunday da'vo qilaylik N> S. Teorema bo'yicha

qo'shma. Tenglamalar sonidan beri ko'proq raqam noma'lum bo'lsa, tizim cheksiz ko'p echimlarga ega. Shuning uchun u nolga teng bo'lmagan qiymatga ega x10, x20, …, xN0. Ushbu qiymatlar uchun (18) tenglik to'g'ri bo'ladi, bu vektorlar tizimining chiziqli mustaqil ekanligiga zid keladi. Shunday qilib, bizning taxminimiz noto'g'ri. Binobarin, N£ s.

Natija. Agar ikkita ekvivalent vektorlar tizimi chekli va chiziqli mustaqil bo'lsa, ular bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Ta'rif 17. Vektorlar sistemasi deyiladi Vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi chiziqli fazo L , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga har qanday vektorni qo'shsa L bu tizimga kirmasa, u chiziqli bog'liq bo'ladi.

10-teorema. dan vektorlarning har qanday ikkita chekli maksimal chiziqli mustaqil tizimi L Bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi.

Isbot vektorlarning har qanday ikkita maksimal chiziqli mustaqil tizimi ekvivalent ekanligidan kelib chiqadi .

Fazoviy vektorlarning har qanday chiziqli mustaqil sistemasini isbotlash oson L Ushbu fazoning vektorlarining maksimal chiziqli mustaqil tizimiga to'ldirilishi mumkin.

Misollar:

1. Barcha kollinear geometrik vektorlar to'plamida bitta nolga teng bo'lmagan vektordan iborat har qanday tizim maksimal chiziqli mustaqildir.

2. Barcha koplanar geometrik vektorlar to'plamida har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor maksimal chiziqli mustaqil tizimni tashkil qiladi.

3. Uch o'lchovli Evklid fazosining barcha mumkin bo'lgan geometrik vektorlari to'plamida uchta koplanar bo'lmagan vektorlarning har qanday tizimi maksimal chiziqli mustaqildir.

4. Barcha ko‘phadlar to‘plamida daraja eng ko‘p N Haqiqiy (murakkab) koeffitsientlar bilan, polinomlar tizimi 1, x, x2, …, xn U maksimal chiziqli mustaqildir.

5. Haqiqiy (murakkab) koeffitsientli barcha ko‘phadlar to‘plamida maksimal chiziqli mustaqil sistemaga misollar keltiriladi.

lekin) 1, x, x2, … , xn, … ;

b) 1, (1 - x), (1 - x)2, … , (1 - x)N, …

6. O'lchov matritsalari to'plami M´ N chiziqli fazodir (uni tekshiring). Bu fazodagi maksimal chiziqli mustaqil sistemaga matritsalar sistemasi misol bo`la oladi E11= , E12 \u003d, ..., EMn = .

Vektorlar sistemasi berilgan bo'lsin C1, c2, ... , qarang (*). (*) dan vektorlarning quyi tizimi deyiladi Maksimal chiziqli mustaqil Quyi tizim Tizimlar ( *) , agar u chiziqli mustaqil bo'lsa, lekin unga ushbu tizimning boshqa har qanday vektori qo'shilsa, u chiziqli bog'liq bo'ladi. Agar tizim (*) chekli bo'lsa, uning har qanday maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimlari bir xil miqdordagi vektorlarni o'z ichiga oladi. (O'zingiz isbotlang.) Tizimning maksimal chiziqli mustaqil quyi tizimidagi vektorlar soni (*) deyiladi daraja Bu tizim. Shubhasiz, ekvivalent vektor tizimlari bir xil darajalarga ega.

Vektorlarning chiziqli bog'liqligi va mustaqilligi

Vektorlarning chiziqli bog'liq va mustaqil tizimlarining ta'riflari

Ta'rif 22

Bizda n-vektorlar tizimi va raqamlar to'plami bo'lsin
, keyin

(11)

berilgan vektorlar tizimining berilgan koeffitsientlar to'plamiga ega chiziqli birikmasi deyiladi.

Ta'rif 23

Vektor tizimi
agar shunday koeffitsientlar to'plami mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deyiladi
, ulardan kamida bittasi nolga teng emas, shuning uchun berilgan vektorlar tizimining ushbu koeffitsientlar to'plami bilan chiziqli birikmasi nol vektorga teng bo'ladi:

Bo'lsin
, keyin

Ta'rif 24 ( tizimning bir vektorini boshqalarning chiziqli birikmasi sifatida ko'rsatish orqali)

Vektor tizimi
Agar ushbu tizimning vektorlaridan kamida bittasi ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin bo'lsa, chiziqli bog'liq deb ataladi.

Bayonot 3

23 va 24 ta'riflar ekvivalentdir.

Ta'rif 25(nol chiziq birikmasi orqali)

Vektor tizimi
chiziqli mustaqil deyiladi, agar bu tizimning nol chiziqli birikmasi faqat hamma uchun mumkin bo'lsa
nolga teng.

Ta'rif 26(tizimning bitta vektorini qolganlarning chiziqli birikmasi sifatida ifodalashning mumkin emasligi orqali)

Vektor tizimi
Agar ushbu tizimning vektorlaridan hech biri ushbu tizimning boshqa vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ifodalana olmasa, chiziqli mustaqil deyiladi.

Vektorlarning chiziqli bog'liq va mustaqil sistemalarining xossalari

Teorema 2 (vektorlar sistemasidagi nol vektor)

Agar vektorlar sistemasida nol vektor bo'lsa, u holda sistema chiziqli bog'liqdir.

 Mayli
, keyin.

Oling
, shuning uchun nol chiziqli birikma nuqtai nazaridan vektorlarning chiziqli bog'liq sistemasi ta'rifi bilan (12) tizim chiziqli bog'liqdir. 

Teorema 3 (vektorlar tizimidagi qaram quyi tizim)

Agar vektorlar tizimi chiziqli bog'liq quyi tizimga ega bo'lsa, u holda butun tizim chiziqli bog'liqdir.

 Mayli
- chiziqli bog'liq quyi tizim
, ulardan kamida bittasi nolga teng emas:

Demak, 23-ta'rifga ko'ra, tizim chiziqli bog'liqdir. 

Teorema 4

Chiziqli mustaqil tizimning har qanday quyi tizimi chiziqli mustaqildir.

 Aksincha. Tizim chiziqli mustaqil bo'lsin va chiziqli bog'liq quyi tizimga ega bo'lsin. Ammo keyin, 3-teoremaga ko'ra, butun tizim ham chiziqli bog'liq bo'ladi. Qarama-qarshilik. Shuning uchun chiziqli mustaqil tizimning quyi tizimi chiziqli bog'liq bo'lishi mumkin emas. 

Vektorlar sistemasining chiziqli bog'liqligi va mustaqilligining geometrik ma'nosi

Teorema 5

Ikki vektor Va chiziqli bog'liq bo'lsa va faqat
.

 Kerak.

Va - chiziqli bog'liq
bu shart
. Keyin
, ya'ni.
.

Adekvatlik.

Chiziqli bog'liq. 

Xulosa 5.1

Nol vektor har qanday vektorga kollineardir

Xulosa 5.2

Ikki vektor chiziqli mustaqil bo'lishi uchun bu zarur va etarli mos kelmas edi .

Teorema 6

Uch vektorli sistemaning chiziqli bog'liq bo'lishi uchun bu vektorlarning koplanar bo'lishi zarur va etarli. .

 Kerak.

- chiziqli bog'liq, shuning uchun bitta vektor qolgan ikkitasining chiziqli birikmasi sifatida ifodalanishi mumkin.

, (13)

qayerda
Va
. Paralelogramma qoidasiga ko'ra tomonlari boʻlgan parallelogrammaning diagonali
, lekin parallelogramm tekis shakldir
koplanar
ham mutanosibdir.

Adekvatlik.

- koplanar. O nuqtaga uchta vektorni qo'llaymiz:

C

B`

– chiziqli bog‘liq 

Xulosa 6.1

Nol vektor har qanday vektorlar juftiga koplanardir.

Xulosa 6.2

Vektorlar uchun
chiziqli mustaqil bo'ladi, agar ular koplanar bo'lmasa.

Xulosa 6.3

Har qanday tekislik vektorini bitta tekislikning har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektorlarining chiziqli birikmasi sifatida ko'rsatish mumkin.

Teorema 7

Kosmosdagi har qanday to'rt vektor chiziqli bog'liqdir .

Keling, 4 ta holatni ko'rib chiqaylik:

Vektorlar orqali tekislikni, keyin vektorlar orqali tekislikni va vektorlar orqali tekislikni chizamiz. Keyin vektor juftlariga parallel ravishda D nuqtadan o'tadigan tekisliklarni chizamiz; ; mos ravishda. Biz tekisliklarning kesishish chiziqlari bo'ylab parallelepiped quramiz OB 1 D 1 C 1 ABDC.

O'ylab ko'ring OB 1 D 1 C 1 - parallelogramma qoidasiga ko'ra qurilishi bo'yicha parallelogramm
.

OADD 1 ni ko'rib chiqing - parallelogramma (parallelepiped xususiyatidan)
, keyin

EMBED tenglamasi.3.

1-teorema bo'yicha
shu kabi . Keyin
, va ta'rifi bo'yicha 24 vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir. 

Xulosa 7.1

Kosmosdagi uchta koplanar bo'lmagan vektorlar yig'indisi umumiy koordinataga biriktirilgan ushbu uchta vektorga qurilgan parallelepipedning diagonaliga to'g'ri keladigan vektor bo'lib, yig'indisi vektorining boshlanishi ushbu uchta vektorning umumiy kelib chiqishiga to'g'ri keladi.

Xulosa 7.2

Agar fazoda 3 ta koplanar bo'lmagan vektorni olsak, u holda bu fazoning istalgan vektorini shu uch vektorning chiziqli birikmasiga parchalash mumkin.

Bo'lsin L- ixtiyoriy chiziqli fazo, a i Î L uning elementlari (vektorlari).

Ta'rif 3.3.1. Ifoda , qayerda, - o'zboshimchalik bilan haqiqiy raqamlar, chiziqli birikma deyiladi vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n.

Agar vektor R = , keyin shunday deyishadi R vektorlarga ajraladi a 1 , a 2 ,…, a n.

Ta'rif 3.3.2. Vektorlarning chiziqli birikmasi deyiladi ahamiyatsiz, agar raqamlar orasida noldan boshqa hech bo'lmaganda bitta bo'lsa. Aks holda, chiziqli birikma deyiladi ahamiyatsiz.

Ta'rif 3.3.3 . a 1 , a 2 ,…, a vektorlari n Agar ularning notrivial chiziqli birikmasi mavjud bo'lsa, chiziqli bog'liq deyiladi

= 0 .

Ta'rif 3.3.4. a 1 , a 2 ,…, a vektorlari n tenglik bo'lsa chiziqli mustaqil deyiladi = 0 faqat barcha raqamlar bo'lsa mumkin l 1, l 2,…, l n bir vaqtning o'zida nolga teng.

E'tibor bering, har qanday nolga teng bo'lmagan element a 1 chiziqli mustaqil tizim sifatida qaralishi mumkin, chunki tenglik l a 1 = 0 sharti bilangina mumkin l= 0.

3.3.1 teorema. Zarur va etarli holat chiziqli bog'liqlik a 1 , a 2 ,…, a n bu elementlardan kamida bittasini qolgan qismiga parchalash imkoniyatidir.

Isbot. Kerak. a 1 , a 2 ,…, a elementlari boʻlsin n chiziqli bog'liq. Bu shuni anglatadiki = 0 , va raqamlardan kamida bittasi l 1, l 2,…, l n noldan farq qiladi. Aniqlik uchun ruxsat bering l 1 ¹ 0. Keyin

ya'ni a 1 elementi a 2 , a 3 , …, a elementlarga ajraladi. n.

Adekvatlik. a 1 elementi a 2, a 3, …, a elementlariga ajralsin n, ya'ni a 1 =. Keyin = 0 , shuning uchun a 1 , a 2 ,…, a vektorlarining ahamiyatsiz chiziqli birikmasi mavjud. n ga teng 0 , shuning uchun ular chiziqli bog'liqdir .

3.3.2 teorema. Agar a 1 , a 2 ,…, a elementlardan kamida bittasi boʻlsa n nolga teng bo'lsa, bu vektorlar chiziqli bog'liqdir.

Isbot . Bo'lsin a n= 0 , keyin = 0 , bu ko'rsatilgan elementlarning chiziqli bog'liqligini bildiradi.

3.3.3 teorema. Agar n vektor orasida har qanday p (s< n) векторов линейно зависимы, то и все n элементов линейно зависимы.

Isbot. Aniqlik uchun a 1 , a 2 ,…, a elementlari boʻlsin p chiziqli bog'liq. Bu shuni anglatadiki, bunday noan'anaviy chiziqli birikma mavjud = 0 . Agar elementni uning ikkala qismiga qo'shsak, belgilangan tenglik saqlanib qoladi. Keyin + = 0 , raqamlardan kamida bittasi bo'lsa l 1, l 2,…, lp noldan farq qiladi. Shuning uchun a 1 , a 2 ,…, a vektorlari n chiziqli bog'liqdir.

Xulosa 3.3.1. Agar n ta element chiziqli mustaqil bo'lsa, ularning har qanday k elementi chiziqli mustaqildir (k< n).

3.3.4 teorema. Agar vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n- 1 chiziqli mustaqil va elementlar a 1 , a 2 ,…, a n- 1, a n chiziqli bog'liq, keyin vektor a n vektorlarga parchalanishi mumkin a 1 , a 2 ,…, a n- 1 .

Isbot. Chunki a 1 shartiga ko'ra, a 2 ,…, a n- 1, a n chiziqli bog'liq bo'lsa, unda ularning notrivial chiziqli birikmasi mavjud = 0 , va (aks holda, chiziqli bo'lib chiqadi bog'liq vektorlar a 1 , a 2 ,…, a n- biri). Ammo keyin vektor

Q.E.D.