Yo'nalish kosinuslari kvadratlarining yig'indisi birga teng.

Agar vektorning yo'nalish kosinuslari ma'lum bo'lsa, u holda uning koordinatalarini formulalar orqali topish mumkin: Shunga o'xshash formulalar uch o'lchovli holatda ham sodir bo'ladi - agar vektorning yo'nalish kosinuslari ma'lum bo'lsa, u holda uning koordinatalarini topish mumkin. formulalar:

9 Chiziqli bog'liqlik Va chiziqli mustaqillik vektorlar. Samolyotda va kosmosda asos

Vektorlar to'plami deyiladi vektor tizimi.

chiziqli bog'liq, agar raqamlar mavjud bo'lsa, hammasi bir vaqtning o'zida nolga teng emas, shuning uchun

Vektorlar sistemasi deyiladi chiziqli mustaqil, tenglik faqat uchun mumkin bo'lsa, ya'ni. qachon chiziqli birikma tenglikning chap tomonida arzimas.

1. Bitta vektor ham sistema hosil qiladi: at - chiziqli bog'liq va at - chiziqli mustaqil.

2. Vektorlar sistemasining istalgan qismi deyiladi quyi tizim.

1. Agar vektorlar tizimi nol vektorni o'z ichiga olsa, u chiziqli bog'liqdir

2. Agar vektorlar sistemasi ikkita teng vektorga ega bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.

3. Agar vektorlar tizimi ikkita proportsional vektorga ega bo'lsa, u chiziqli bog'liqdir.

4. Vektorlar tizimi chiziqli bog'liq bo'ladi, agar vektorlardan kamida bittasi boshqalarning chiziqli birikmasi bo'lsa.

5. Chiziqli mustaqil tizimga kiritilgan har qanday vektorlar chiziqli mustaqil quyi tizimni tashkil qiladi.

6. Chiziqli bog'liq quyi tizimni o'z ichiga olgan vektorlar tizimi chiziqli bog'liqdir.

7. Agar vektorlar tizimi chiziqli mustaqil bo'lsa va unga vektor qo'shgandan so'ng u chiziqli bog'liq bo'lib chiqsa, vektor vektorlarda kengaytirilishi mumkin va bundan tashqari, yagona yo'l, ya'ni. kengaytirish koeffitsientlari yagona topiladi.

Asos tekislik va fazoda tekislikdagi yoki fazodagi vektorlarning maksimal chiziqli mustaqil tizimi deyiladi (tizimga yana bitta vektor qo'shilishi uni chiziqli bog'liq qiladi).

Shunday qilib, tekislikdagi bazis ma'lum tartibda olingan har qanday ikkita kollinear bo'lmagan vektor, fazodagi bazis esa ma'lum tartibda olingan har qanday uchta koplanar bo'lmagan vektordir.

Fazoda bazis boʻlsin, u holda T. 3 ga koʻra har qanday fazo vektori bazis vektorlari boʻyicha oʻziga xos tarzda parchalanadi:. Kengayish koeffitsientlari asosdagi vektorning koordinatalari deb ataladi

Vektorlar ustida chiziqli amallarni koordinatalar bo‘yicha yozish:

a) qo‘shish va ayirish: - asos

b) R soniga ko'paytirish:

Formulalar chiziqli amallar xususiyatidan kelib chiqadi.

10 Bazisga nisbatan vektor koordinatalari. Horts

Asos erkin vektorlar fazosida V 3 koplanar bo'lmagan vektorlarning har qanday tartiblangan uchligi deyiladi.

Bo'lsin IN :a 1,a 2,a 3 da sobit asos hisoblanadi V 3.

Koordinatalar vektor b asosga nisbatan IN raqamlarning tartiblangan uchligi deyiladi ( x, y, z), shu jumladan. b=x· a 1+ya 2+za 3.

Belgilash:b={x, y, z} B Eslatma: Ruxsat etilgan vektorning koordinatalari mos keladigan erkin vektorning koordinatalari.

1-teorema: Ruxsat etilgan asos uchun V 3 va R 3 o'rtasidagi yozishmalar birma-bir, ya'ni. b V 3 ! {x, y, z) R 3 va ( x, y, z) R 3 ! b V 3 , shu jumladan b={x, y, z} B

Vektor va uning koordinatalari o'rtasidagi muvofiqlik bu asos quyidagi xususiyatlarga ega:

1. Bo'lsin b 1 ={x1, y1, z1} B , b 2 ={x2, y2, z2} B b1 + b2 ={x 1 + x 2 , y 1 + y 2 , z 1 + z 2} B

2. Bo'lsin b={x, y, z} B , lR l· b={ λ· x, λ· y, λ· z} B

3. Mayli b 1 || b 2 , b 1 = {x1, y1, z1} B , b 2 ={x2, y2, z2} B
(Bu erda: istalgan raqam).

Birlik vektori, X o'qi bo'ylab yo'naltirilgan, belgilanadi i, birlik vektor, Y o'qi bo'ylab yo'naltirilgan, belgilanadi j, lekin birlik vektor, Z o'qi bo'ylab yo'naltirilgan, belgilanadi k. Vektorlar i, j, k chaqirdi orts– ular bitta modulga ega, ya'ni
i = 1, j = 1, k = 1

11 skalyar mahsulot vektorlar. Vektorlar orasidagi burchak. Vektorlarning ortogonallik sharti

Bu raqam ushbu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinuslari mahsulotiga teng.

Vektorlarning koordinatalari bo'yicha nuqta ko'paytmasi

Vektorlarning nuqta mahsuloti X, Y, Z va:

vektorlar orasidagi burchak qayerda; agar bo'lsa, unda

Skayar mahsulotning ta'rifidan kelib chiqadiki, bu erda, masalan, vektorning vektor yo'nalishi bo'yicha proyeksiyasining qiymati.

Vektorning skalyar kvadrati:

Dot mahsulot xususiyatlari:

Vektorlar orasidagi burchak

Vektorlarning ortogonalligi shartlari.

Ikki vektor a va b ortogonal (perpendikulyar), agar ularning skalyar ko'paytmasi nolga teng bo'lsa a b= 0

Demak, har holda samolyot muammosi vektor

a= (a x ;a y )va b= (b x ;b y )

a b= a x b x + a y b y = 0 boʻlsa, ular ortogonal boʻladi

12 vektor mahsuloti vektorlar, uning xossalari. Kollinear vektorlarning holati

Vektorning vektorning o'zaro ko'paytmasi - bu belgi bilan belgilangan va quyidagi uchta shart bilan aniqlangan vektor:

biri). Vektorning moduli , bu erda vektorlar orasidagi burchak va ;

2). Vektor har bir vektorga perpendikulyar va ;

3). Vektorning yo'nalishi "o'ng qo'l qoidasi" ga mos keladi. Bu shuni anglatadiki, agar , va vektorlari umumiy boshlanishga keltirilsa, u holda vektor o'ng qo'lning o'rta barmog'i bilan bir xil yo'naltirilishi kerak, uning bosh barmog'i birinchi omil bo'ylab yo'naltiriladi (ya'ni, vektor bo'ylab) va ko'rsatkich barmog'i ikkinchi bo'ylab (ya'ni vektor bo'ylab ). Vektor mahsuloti omillarning tartibiga bog'liq, ya'ni: .

O'zaro ko'paytmaning moduli vektorlar ustida qurilgan parallelogrammning S maydoniga teng: .

Vektor mahsulotining o'zi quyidagi formula bilan ifodalanishi mumkin:

vektor vektor mahsuloti qayerda.

Vektor mahsuloti faqat va vektorlar kollinear bo'lsa, yo'qoladi. Ayniqsa, .

Agar koordinata o'qlari tizimi to'g'ri bo'lsa va vektorlar ushbu tizimda ularning koordinatalari bilan berilgan bo'lsa:

u holda vektorning vektorning o'zaro ko'paytmasi formula bilan aniqlanadi

Vektor nolga teng bo'lmagan vektorga kollinear bo'ladi, agar koordinatalar bo'lsa

vektorlar vektorning mos keladigan koordinatalariga proportsionaldir, ya'ni.

Fazodagi koordinatalari bilan berilgan vektorlar ustida chiziqli amallar xuddi shunday bajariladi.

13 vektorlarning aralash mahsuloti. Uning xossalari. Vektorlar uchun solishtirish sharti

Uch vektorning aralash mahsuloti, , vektorning vektorning skalyar ko'paytmasiga teng son:

Aralash mahsulotning xususiyatlari:

3° Uch vektor koplanar bo'ladi, agar va faqat bo'lsa

4° Vektorlarning uchligi to'g'ri bo'ladi, agar va faqat bo'lsa. Agar , u holda vektorlar , va vektorlarning chap uchligini hosil qiladi.

10° Yakobi identifikatori:

Agar , va vektorlari ularning koordinatalari bilan berilgan bo'lsa, ularning aralash mahsuloti formula bo'yicha hisoblanadi

Xuddi shu tekislikka parallel yoki bir tekislikda yotuvchi vektorlar deyiladi koplanar vektorlar.

Vektorlar uchun solishtirish shartlari

Uch vektorlar koplanardir agar ularning aralash mahsuloti nolga teng bo'lsa.

Uch vektorlar koplanardir agar ular chiziqli bog'liq bo'lsa.

15 to'g'ri chiziq va tekislikning har xil turdagi tenglamalari

Tekislikdagi har qanday chiziq birinchi tartibli tenglama bilan berilishi mumkin

Ah + Wu + C = 0,

va A, B konstantalari bir vaqtning o'zida nolga teng emas. Bu birinchi tartibli tenglama deyiladi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. Qadriyatlarga qarab doimiy A, B va C, quyidagi maxsus holatlar mumkin:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - chiziq boshlang'ichdan o'tadi

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - chiziq Ox o'qiga parallel

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Axe + C \u003d 0) - chiziq Oy o'qiga parallel

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - to'g'ri chiziq Oy o'qiga to'g'ri keladi

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - to'g'ri chiziq Ox o'qiga to'g'ri keladi

To'g'ri chiziq tenglamasi har qanday boshlang'ich sharoitga qarab turli ko'rinishlarda taqdim etilishi mumkin.

Def. 1.5.6. Yo'nalish kosinuslari vektor lekin keling, bu vektor mos ravishda bazis vektorlari bilan hosil qilgan burchaklarning kosinuslarini ataylik, i , j , k .

Vektor yo'nalishi kosinuslari lekin = (X, da, z) formulalar bilan topiladi:

Yo'nalish kosinuslari kvadratlarining yig'indisi bittaga teng:

Vektor yo'nalishi kosinuslari a uning orth koordinatalari: .

Bazis vektorlari bo'lsin i , j , k umumiy nuqtadan chizilgan HAQIDA. Biz orts o'qlarning ijobiy yo'nalishlarini o'rnatgan deb taxmin qilamiz Oh, OU, Oz. nuqta yig'ish HAQIDA (kelib chiqishi) va ortonormal asos i , j , k chaqirdi Kosmosdagi kartezian to'rtburchaklar koordinatalar tizimi. Bo'lsin LEKIN fazodagi ixtiyoriy nuqtadir. Vektor lekin = O.A= x i + y j + z k chaqirdi radius vektori ball LEKIN, bu vektorning koordinatalari ( x, y, z) nuqta koordinatalari deb ham ataladi LEKIN(belgi: LEKIN(x, y, z)). Koordinata o'qlari Oh, OU, Oz mos ravishda eksa deb ham ataladi abscissa, eksa ordinata, eksa ariza berish.

Agar vektor uning boshlang'ich nuqtasi koordinatalari bilan berilgan bo'lsa IN 1 (x 1 , y 1 , z 1) va yakuniy nuqta IN 2 (x 2 , y 2 , z 2), u holda vektorning koordinatalari oxiri va boshi koordinatalari orasidagi farqga teng bo'ladi: (chunki ).

Tekislikdagi va chiziqdagi dekart to'rtburchaklar koordinata tizimlari mos keladigan miqdoriy (o'lchov bo'yicha) o'zgarishlar bilan aynan bir xil tarzda aniqlanadi.

Oddiy vazifalarni hal qilish.

1-misol Vektorning uzunligi va yo‘nalishi kosinuslarini toping lekin = 6i – 2j -3k .

Yechim. Vektor uzunligi: . Yo'nalish kosinuslari: .

2-misol Vektor koordinatalarini toping lekin , koordinata o'qlari bilan teng o'tkir burchaklarni hosil qilish, agar bu vektorning uzunligi teng bo'lsa.

Yechim. Chunki , keyin formulani (1.6) o'rniga qo'yamiz, biz olamiz . Vektor lekin koordinata o'qlari bilan o'tkir burchaklar hosil qiladi, shuning uchun orto . Shuning uchun vektorning koordinatalarini topamiz .

3-misol Uchta koplanar bo'lmagan vektor berilgan e 1 = 2i – k , e 2 = 3i + 3j , e 3 = 2i + 3k . Vektorni parchalash d = i + 5j - 2k asos e 1 , e 2 , e 3 .

bu vektorning koordinatalarning musbat yarim o'qlari bilan yasaydigan burchaklarining kosinuslari. Yo'nalish kosinuslari vektorning yo'nalishini noyob tarzda belgilaydi. Agar vektorning uzunligi 1 bo'lsa, uning yo'nalishi kosinuslari koordinatalariga teng bo'ladi. Umuman olganda, koordinatali vektor uchun ( a; b; c) yo'nalish kosinuslari teng:

bu yerda a, b, g - vektorning o'qlar bilan hosil qilgan burchaklari x, y, z mos ravishda.

21) Vektorning vektorlar bo'yicha parchalanishi. Koordinata o'qining orthi bilan, o'qlari - bilan, o'qlari - bilan belgilanadi (1-rasm).

Tekislikda joylashgan har qanday vektor uchun quyidagi parchalanish sodir bo'ladi:

Agar vektor fazoda joylashgan bo'lsa, u holda koordinata o'qlarining birlik vektorlari nuqtai nazaridan kengayish quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:

22)Nuqta mahsuloti nolga teng bo'lmagan ikkita vektor va bu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchakning kosinuslari ko'paytmasiga teng son deyiladi:

23) Ikki vektor orasidagi burchak

Ikki vektor orasidagi burchak o'tkir bo'lsa, ularning nuqta mahsuloti musbat; agar vektorlar orasidagi burchak toʻq boʻlsa, bu vektorlarning skalyar koʻpaytmasi manfiy boʻladi. Ikki nolga teng bo'lmagan vektorlarning skalyar ko'paytmasi, agar bu vektorlar ortogonal bo'lsa, nolga teng.

24) Ikki vektorning parallellik va perpendikulyarlik sharti.

Vektorlarning perpendikulyarlik sharti
Vektorlar ichki mahsuloti nolga teng bo'lgan taqdirdagina perpendikulyar bo'ladi.Ikki a(xa;ya) va b(xb;yb) vektorlari berilgan. Agar xaxb + yayb ifodasi = 0 bo'lsa, bu vektorlar perpendikulyar bo'ladi.

25) Ikki vektorning vektor ko'paytmasi.

Ikki kollinear bo'lmagan vektorning vektor ko'paytmasi c=a×b vektor bo'lib, quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 1) |c|=|a| |b| sin(a^b) 2) c⊥a, c⊥b 3) a, b, c vektorlar vektorlarning oʻng uchlik uchligini hosil qiladi.

26) Kollinear va koplanar vektorlar..

Agar birinchi vektorning abssissasi ikkinchi vektorning abssissasi bilan xuddi birinchi vektorning ordinatasi bilan bog'langan bo'lsa, vektorlar kollinear hisoblanadi.Ikki vektor berilgan. a (xa;ha) Va b (xb;yb). Agar bu vektorlar kollinear bo'lsa x a = xb Va y a = yb, qayerda R.

Vektorlar −→ a,−→b va −→ c chaqirdi koplanar agar ular parallel bo'lgan tekislik mavjud bo'lsa.

27) Uch vektorning aralash mahsuloti. Vektorlarning aralash mahsuloti- a vektorning skalyar ko'paytmasi va b va c vektorlarning vektor ko'paytmasi. a = (1; 2; 3), b = (1; 1; 1), c = (1; 2; 1) vektorlarining aralash mahsulotini toping.

Yechim:

1 1 1 + 1 1 2 + 1 2 3 - 1 1 3 - 1 1 2 - 1 1 2 = 1 + 2 + 6 - 3 - 2 - 2 = 2

28) Tekislikdagi ikki nuqta orasidagi masofa. Berilgan ikkita nuqta orasidagi masofa shu nuqtalarning bir xil koordinatalarining kvadrat ayirmalari yig'indisining kvadrat ildiziga teng.

29) segmentning bo'linishi bu hurmat. Agar M(x; y) nuqta berilgan ikkita ( , ) va ( , ) nuqtalardan oʻtuvchi toʻgʻri chiziqda yotsa va M nuqta segmentni boʻlish munosabati berilgan boʻlsa, M nuqtaning koordinatalari aniqlanadi. formulalar bo'yicha

Agar M nuqta segmentning o'rta nuqtasi bo'lsa, u holda uning koordinatalari formulalar bilan aniqlanadi

30-31. To'g'ri chiziqning qiyaligi bu to'g'ri chiziq qiyaligining tangensi deyiladi. To'g'ri chiziqning qiyaligi odatda harf bilan belgilanadi k. Keyin ta'rif bo'yicha

Nishab bilan chiziqli tenglama qaerda shakliga ega k- to'g'ri chiziqning burchak koeffitsienti, b qandaydir haqiqiy raqam. Nishabli to'g'ri chiziq tenglamasi har qanday to'g'ri chiziqni belgilashi mumkin, emas o'qiga parallel Oy(y o'qiga parallel bo'lgan to'g'ri chiziq uchun qiyalik aniqlanmagan).

33. Tekislikdagi to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi. Tenglama turi yemoq to'g'ri chiziqning umumiy tenglamasi Oksi. A, B va C konstantalarining qiymatlariga qarab, quyidagi maxsus holatlar mumkin:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - chiziq boshlang'ichdan o'tadi

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (By + C \u003d 0) - chiziq Ox o'qiga parallel

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Axe + C \u003d 0) - chiziq Oy o'qiga parallel

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - to'g'ri chiziq Oy o'qiga to'g'ri keladi

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - to'g'ri chiziq Ox o'qiga to'g'ri keladi

34.To'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi to'rtburchaklar koordinata tizimidagi tekislikda Oksi qaerda shakliga ega a Va b- noldan boshqasi haqiqiy raqamlar. Bu nom tasodifiy emas, chunki raqamlarning mutlaq qiymatlari lekin Va b to'g'ri chiziq kesib o'tadigan segmentlarning uzunliklariga teng koordinata o'qlari ho'kiz Va Oy mos ravishda (segmentlar kelib chiqishidan hisobga olinadi). Shunday qilib, to'g'ri chiziqning segmentlardagi tenglamasi chizmada bu to'g'ri chiziqni qurishni osonlashtiradi. Buning uchun tekislikda koordinatali va to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi nuqtalarni belgilang va chizg‘ich yordamida ularni to‘g‘ri chiziq bilan bog‘lang.

35. To'g'ri chiziqning normal tenglamasi ko'rinishga ega

to'g'ri chiziqdan boshlang'ichgacha bo'lgan masofa qayerda;  - normal to'g'ri chiziq va o'q orasidagi burchak.

Normal tenglamani umumiy tenglamadan (1) normallashtiruvchi omilga ko'paytirish orqali olish mumkin,  belgisi ning belgisiga qarama-qarshi bo'ladi, shuning uchun .

Chiziq va koordinata o'qlari orasidagi burchaklarning kosinuslari yo'nalish kosinuslari deyiladi,  - chiziq bilan o'q orasidagi burchak,  - chiziq bilan o'q orasidagi burchak:

Shunday qilib, normal tenglamani quyidagicha yozish mumkin

Nuqtadan masofa to'g'riga formula bilan aniqlanadi

36. Nuqta va chiziq orasidagi masofa orqali hisoblanadi quyidagi formula:

bu yerda x 0 va y 0 nuqtaning koordinatalari, A, B va C esa chiziqning umumiy tenglamasidan olingan koeffitsientlardir.

37. To‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini normal tenglamaga keltirish. Bu kontekstdagi tenglama va tekislik bir-biridan tenglamalardagi hadlar soni va fazoning o'lchamidan boshqa hech narsa bilan farq qilmaydi. Shuning uchun, avvaliga men samolyot haqida hamma narsani aytaman va oxirida to'g'ri chiziq haqida rezervasyon qilaman.
Tekislikning umumiy tenglamasi berilgan bo'lsin: Ax + By + Cz + D = 0.
;. sistemani olamiz: g;Mc=cosb, MB=cosaKeling uni normal shaklga keltiramiz. Buning uchun tenglamaning ikkala qismini ham normallashtiruvchi omil M.ga ko'paytiramiz: Max + Mvu + MSz + MD = 0. Bu holda MA=cos;.g;Mc=cosb, MB=cosa sistemasini olamiz:

M2 B2=cos2b
M2 C2=cos2g

Tizimning barcha tenglamalarini qo'shib, M*(A2 + B2 + C2) = 1 hosil bo'ladi, endi asl umumiy tenglamani normal holatga keltirish uchun uni qaysi normallashtiruvchi omilga ko'paytirish kerakligini bilish uchun bu erdan M ni ifodalashgina qoladi. shakl:
M \u003d - + 1 / ROOT KV A2 + B2 + C2
MD har doim noldan kichik bo'lishi kerak, shuning uchun M sonining belgisi D sonining belgisiga qarama-qarshi olinadi.
To'g'ri chiziq tenglamasi bilan hamma narsa bir xil, faqat M formulasidan faqat C2 atamasi olib tashlanishi kerak.

Ax + tomonidan + cz + D = 0,

38. Umumiy tenglama samolyot fazoda shakl tenglamasi deyiladi

qayerda A 2 + B 2 + C 2 ≠ 0 .

3D fazoda Dekart tizimi koordinatalar, har qanday tekislik 1-darajali tenglama (chiziqli tenglama) bilan tavsiflanadi. Va aksincha, har qanday chiziqli tenglama tekislikni belgilaydi.

40.Segmentlardagi tekislik tenglamasi. To'rtburchaklar koordinatalar tizimida Oxyz uch o'lchovli fazoda, shaklning tenglamasi , qayerda a, b Va c noldan boshqa haqiqiy sonlar deyiladi segmentlardagi tekislik tenglamasi. Raqamlarning mutlaq qiymatlari a, b Va c koordinata o'qlarida tekislik kesib tashlaydigan segmentlarning uzunliklariga teng ho'kiz, Oy Va Oz mos ravishda, kelib chiqishidan sanab. Raqam belgisi a, b Va c koordinata o'qlarida segmentlar qaysi yo'nalishda (musbat yoki salbiy) chizilganligini ko'rsatadi

41) Samolyotning normal tenglamasi.

Tekislikning normal tenglamasi uning shaklida yozilgan tenglamadir

bu yerda , , tekislik normalining yo‘nalish kosinuslari, e

p - boshlang'ich nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa. Normalning yo'nalish kosinuslarini hisoblashda uning koordinata boshidan tekislikka yo'naltirilganligini hisobga olish kerak (agar tekislik koordinatsiyadan o'tsa, u holda normalning ijobiy yo'nalishini tanlash befarq bo'ladi).

42) Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa.Tekislik tenglama bilan berilgan bo'lsin va ball berildi. Keyin nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa formula bo'yicha aniqlanadi

Isbot. Nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa, ta'rifga ko'ra, nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning uzunligi.

Samolyotlar orasidagi burchak

va tekisliklari mos ravishda va tenglamalar bilan berilgan bo'lsin. Bu tekisliklar orasidagi burchakni topish talab qilinadi.

Kesishgan tekisliklar to'rtta ikki burchakli burchak hosil qiladi: ikkita o'tkir va ikkita o'tkir yoki to'rtta to'g'ri va ikkala o'tkir burchak ham bir-biriga teng va ikkala o'tkir burchak ham bir-biriga teng. Biz har doim o'tkir burchakni qidiramiz. Uning qiymatini aniqlash uchun biz tekisliklarning kesishish chizig'ida va shu nuqtada har birida nuqta olamiz

tekisliklar kesishish chizig'iga perpendikulyarlarni chizamiz.

Vektor yo'nalishi kosinuslari.

A vektorning yo'nalish kosinuslari- koordinatalarning musbat yarim o'qlari bilan vektor hosil qiladigan burchaklarning kosinuslari.

a vektorining yo'nalish kosinuslarini topish uchun vektorning mos keladigan koordinatalarini vektor moduliga bo'lish kerak.

Mulk: Yo'nalish kosinuslari kvadratlarining yig'indisi birga teng.

Shunday qilib samolyot muammosi bo'lsa a = (ax; ay) vektorining yo'nalish kosinuslari quyidagi formulalar bilan topiladi:

Vektorning yo'nalish kosinuslarini hisoblash misoli:

a = (3; 4) vektorining yo'nalish kosinuslarini toping.

Yechim: |a| =

Shunday qilib, ichida fazoviy muammo holati a = (ax; ay; az) vektorining yo'nalish kosinuslari quyidagi formulalar bilan topiladi:

Vektorning yo'nalish kosinuslarini hisoblashga misol

a = (2; 4; 4) vektorining yo'nalish kosinuslarini toping.

Yechim: |a| =

Vektorning fazodagi yo'nalishi vektorning koordinata o'qlari bilan hosil qilgan burchaklari bilan aniqlanadi (12-rasm). Bu burchaklarning kosinuslari deyiladi vektorning yo'nalish kosinuslari: , , . Proyeksiyalar xossalaridan:, , . Binobarin, Buni ko'rsatish oson 2) har qanday birlik vektorning koordinatalari uning yo nalish kosinuslari bilan mos tushadi: .

"Vektorning yo'nalish kosinuslarini qanday topish mumkin"

Koordinata o'qlarining musbat yo'nalishi bilan a vektor tomonidan hosil qilingan burchaklarni alfa, beta va gamma bilan belgilang (1-rasmga qarang). Bu burchaklarning kosinuslari a vektorning yo'nalish kosinuslari deyiladi.

Dekart to‘rtburchaklar koordinatalar sistemasidagi a koordinatalari vektorning koordinata o‘qlariga proyeksiyalariga teng bo‘lgani uchun a1 = |a|cos(alfa), a2 = |a|cos(beta), a3 = |a|cos (gamma). Demak: cos (alfa)=a1||a|, cos(beta)=a2||a|, cos(gamma)= a3/|a|. Bundan tashqari, |a|=sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2). Shunday qilib cos(alfa)=a1|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(beta) =a2|sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2), cos(gamma)= a3/sqrt(a1^2+ a2^2+ a3^2).

Yo'nalish kosinuslarining asosiy xususiyatini ta'kidlash kerak. Vektorning yo'nalish kosinuslari kvadratlari yig'indisi birga teng. Haqiqatan ham, cos^2(alfa)+cos^2(beta)+cos^2(gamma)= = a1^2|(a1^2+ a2^2+ a3^2)+ a2^2|(a1^2) + a2^2+ a3^2)+ a3^2/(a1^2+ a2^2+ a3^2) = =(a1^2+ a2^2+ a3^2)|(a1^2+ a2^ 2+ a3^2) = 1.

Birinchi yo'l

Misol: berilgan: vektor a=(1, 3, 5). Uning yo'nalishi kosinuslarini toping. Yechim. Topganimizga ko'ra, biz quyidagilarni yozamiz: |a|= sqrt(ax^2+ ay^2+ az^2)=sqrt(1+9 +25)=sqrt(35)=5.91. Shunday qilib, javobni quyidagi shaklda yozish mumkin: (cos(alfa), cos(beta), cos(gamma))=(1/sqrt(35), 3/sqrt(35), 5/(35)) =( 0,16; 0,5; 0,84).

Ikkinchi yo'l

A vektorining yo'nalish kosinuslarini topishda siz skalyar mahsulot yordamida burchaklarning kosinuslarini aniqlash texnikasidan foydalanishingiz mumkin. Bunda to'rtburchakning a va yo'naltiruvchi birlik vektorlari orasidagi burchaklarni tushunamiz Dekart koordinatalari i, j va k. Ularning koordinatalari mos ravishda (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) dir. Eslatib o'tamiz, vektorlarning skalyar ko'paytmasi quyidagicha aniqlanadi.

Agar vektorlar orasidagi burchak ph bo'lsa, u holda ikkita shamolning skalyar mahsuloti (ta'rifi bo'yicha) vektorlar modullarining cosph ko'paytmasiga teng sondir. (a, b) = |a||b|cos f. Keyin, agar b=i bo'lsa, u holda (a, i) = |a||i|cos(alfa) yoki a1 = |a|cos(alfa). Bundan tashqari, barcha harakatlar j va k koordinatalarini hisobga olgan holda 1-usulga o'xshash tarzda amalga oshiriladi.

TA'RIF

Vektor tartiblangan juft nuqta deyiladi va (ya'ni, bu juftlikdagi nuqtalarning qaysi biri birinchi bo'lishi aniq ma'lum).

Birinchi nuqta deyiladi vektorning boshlanishi, ikkinchisi esa uniki oxiri.

Vektorning boshi va oxiri orasidagi masofa deyiladi uzoq yoki vektor moduli.

Boshi va oxiri bir xil bo'lgan vektor deyiladi nol va bilan belgilanadi; uning uzunligi nolga teng deb hisoblanadi. Aks holda, vektorning uzunligi ijobiy bo'lsa, u chaqiriladi nolga teng bo'lmagan.

Izoh. Agar vektor uzunligi birga teng bo'lsa, u chaqiriladi ortom yoki birlik vektor va belgilanadi.

MISOL

Vazifa	Vektor mavjudligini tekshiring yolg'iz.
Yechim	Berilgan vektorning uzunligini hisoblaymiz, u kvadrat koordinatalar yig'indisining kvadrat ildiziga teng: Vektor uzunligi bir ga teng bo'lgani uchun vektor vektor hisoblanadi.
Javob	Vektor bitta.

Nolga teng bo'lmagan vektorni yo'naltirilgan segment sifatida ham aniqlash mumkin.

Izoh. Null vektorning yo'nalishi aniqlanmagan.

Vektor yo'nalishi kosinuslari

TA'RIF

Yo'nalish kosinuslari ba'zi vektorlar koordinata o'qlarining musbat yo'nalishlari bilan vektor hosil qiladigan burchaklarning kosinuslari deb ataladi.

Izoh. Vektorning yo'nalishi yagona yo'nalish kosinuslari bilan aniqlanadi.

Vektorning yo'nalish kosinuslarini topish uchun vektorni normallashtirish kerak (ya'ni vektorni uzunligiga bo'lish):

Izoh. Birlik vektorining koordinatalari uning yo'nalishi kosinuslariga teng.

TEOREMA

(Yo'nalish kosinuslarining xossasi). Yo'nalish kosinuslari kvadratlarining yig'indisi bittaga teng: