Yuqori darajadagi hosilalarni hisoblash misollari ko'rib chiqiladi. aniq funktsiyalar. n-tartibli hosilalarni hisoblash uchun foydali formulalar berilgan.
TarkibYuqori tartibli hosilalarning ta'rifi
Bu erda y o'zgaruvchisi x o'zgaruvchisiga aniq bog'liq bo'lgan holatni ko'rib chiqamiz:
.
Funktsiyani x o'zgaruvchisiga nisbatan farqlash, biz birinchi tartibli hosila yoki shunchaki hosila olamiz:
.
Natijada, biz yangi funktsiyani olamiz, bu funktsiyaning hosilasidir. Ushbu yangi funktsiyani x o'zgaruvchisiga nisbatan farqlash orqali biz ikkinchi tartibli hosilani olamiz:
.
Funktsiyani farqlab, uchinchi tartibli hosilani olamiz:
.
Va boshqalar. Dastlabki funktsiyani n marta farqlab, biz n-tartibli hosila yoki n-chi hosilani olamiz:
.
Hosilalarni belgilash mumkin shtrixlar, rim raqamlari, qavs ichidagi arab raqamlari yoki differentsiallardan kasrlar. Masalan, uchinchi va to'rtinchi tartibli hosilalarni quyidagicha belgilash mumkin:
;
.
Quyida yuqori tartibli hosilalarni hisoblashda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan formulalar keltirilgan.
n-tartibli hosilalar uchun foydali formulalar
Ayrimlarning hosilalari elementar funktsiyalar
:
;
;
;
;
.
Funktsiyalar yig'indisining hosilasi:
,
doimiylar qayerda.
Leybnits formulasi ikki funksiya hosilasining hosilasi:
,
qayerda
binomial koeffitsientlardir.
1-misol
Birinchi va ikkinchi tartibli hosilalarni toping keyingi funksiya:
.
Birinchi tartibning hosilasini topamiz. Biz doimiyni hosila belgisidan chiqaramiz va hosilalar jadvalidan formulani qo'llaymiz:
.
Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz:
.
Bu yerda .
Biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz va topilgan hosilalardan foydalanamiz:
.
Bu yerda .
.
Ikkinchi tartibli hosilani topish uchun birinchi tartibli hosilaning, ya'ni funksiyaning hosilasini topishimiz kerak:
.
Belgilash bilan adashmaslik uchun biz ushbu funktsiyani harf bilan belgilaymiz:
(P1.1) .
Keyin ikkinchi tartib hosilasi asl funktsiyadan funktsiyaning hosilasi:
.
Funktsiyaning hosilasini topamiz. Logarifmik hosila bilan buni qilish osonroq. Biz logarifm qilamiz (A1.1):
.
Endi biz farqlaymiz:
(P1.2) .
Lekin bu doimiy. Uning hosilasi nolga teng. ning hosilasini allaqachon topdik. Qolgan hosilalarni kompleks funktsiyani differentsiallash qoidasiga muvofiq topamiz.
;
;
.
(A1.2) o'rniga:
.
Bu yerdan
.
;
.
2-misol
Uchinchi tartibli hosilani toping:
.
Birinchi tartibning hosilasini topamiz. Buning uchun hosila belgisidan doimiyni olamiz, ishlatamiz hosilaviy jadval va murojaat qiling murakkab funksiyaning hosilasini topish qoidasi .
.
Bu yerda .
Shunday qilib, biz birinchi tartibli hosilani topdik:
.
Ikkinchi tartibli hosilani topamiz. Buning uchun ning hosilasini topamiz. Kasr hosilasi uchun formulani qo'llaymiz.
.
Ikkinchi tartibli hosila:
.
Endi biz qidirayotganimizni topamiz uchinchi tartib hosilasi. Buning uchun biz farqlaymiz.
;
;
.
Uchinchi tartib hosilasi
.
3-misol
Quyidagi funksiyaning oltinchi hosilasini toping:
.
Qavslarni ochsangiz, asl funktsiya darajali polinom ekanligi aniq bo'ladi. Uni polinom sifatida yozamiz:
,
qayerda - doimiy koeffitsientlar.
Keyingi murojaat qiling n-formula quvvat funksiyasining hosilasi:
.
Oltinchi tartibli hosila uchun (n = 6
) bizda ... bor:
.
Bundan ma'lum bo'ladiki, da. Bizda:
.
Funktsiyalar yig'indisining hosilasi uchun formuladan foydalanamiz:
.
Shunday qilib, asl funktsiyaning oltinchi hosilasini topish uchun biz faqat eng yuqori darajadagi ko'phadning koeffitsientini topishimiz kerak. Biz uni asl funktsiya yig'indilarining mahsulotidagi eng yuqori darajalarni ko'paytirish orqali topamiz:
.
Bu yerdan. Keyin
.
4-misol
Funktsiyaning n-chi hosilasini toping
.
5-misol
Quyidagi funksiyaning n-chi hosilasini toping:
,
qaerda va doimiylar.
Ushbu misolda hisob-kitoblar murakkab raqamlar yordamida qulay tarzda amalga oshiriladi. Bizda qandaydir murakkab funktsiya bo'lsin
(P5.1) ,
bu yerda va haqiqiy x o‘zgaruvchining funksiyalari;
- xayoliy birlik, .
(A.1) n marta differensiatsiya qilsak, bizda:
(P5.2) .
Ba'zan funktsiyaning n-chi hosilasini topish osonroq. Keyin funksiyalarning n-chi hosilalari va ning haqiqiy va xayoliy qismlari sifatida aniqlanadi. n-chi hosila :
;
.
Keling, misolimizni hal qilish uchun ushbu texnikadan foydalanamiz. Funktsiyani ko'rib chiqing
.
Bu erda biz Eyler formulasini qo'lladik
,
va yozuvni kiritdi
.
Keyin asl funktsiyaning n-chi hosilasi quyidagi formula bilan aniqlanadi:
.
Keling, n-ni topamiz funksiya hosilasi
.
Buning uchun formulani qo'llang:
.
Bizning holatda
.
Keyin
.
Shunday qilib, biz kompleks funktsiyaning n-chi hosilasini topdik:
,
qayerda.
Keling, topamiz haqiqiy qismi funktsiyalari.
Buning uchun, keling, tasavvur qilaylik murakkab son ichida indikativ shakl:
,
qayerda;
;
.
Keyin
;
.
Misol yechim
.
Bo'lsin,.
Keyin;
.
Da ,
,
,
.
Va biz kosinusning n-chi hosilasi uchun formulani olamiz:
.
,
qayerda
;
.
Ikki o'zgaruvchining funktsiyasini ko'rib chiqing:
$x$ va $y$ oʻzgaruvchilari mustaqil boʻlganligi sababli, bunday funksiya uchun qisman hosila tushunchasini kiritishimiz mumkin:
$f$ funktsiyasining $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ nuqtadagi $x$ oʻzgaruvchisiga nisbatan qisman hosilasi boʻladi. chegara
\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \o'ng))(\Delta x)\]
Xuddi shunday, biz $y$ o'zgaruvchisiga nisbatan qisman hosilani belgilashimiz mumkin:
\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \o'ng))(\Delta y)\]
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, bir nechta o'zgaruvchining funksiyasining qisman hosilasini topish uchun siz xohlagan o'zgaruvchidan tashqari barcha boshqa o'zgaruvchilarni tuzatishingiz kerak, so'ngra ushbu kerakli o'zgaruvchiga nisbatan oddiy hosilani topishingiz kerak.
Shundan kelib chiqadiki, bunday hosilalarni hisoblashning asosiy texnikasi: berilganidan tashqari barcha o'zgaruvchilar doimiy ekanligini hisobga oling va keyin funktsiyani "oddiy"ni bitta o'zgaruvchi bilan farqlaganingizdek farqlang. Misol uchun:
$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2) )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \o'ng))^(\ asosiy ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \o'ng))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(tuzala)$
Shubhasiz, turli o'zgaruvchilarga nisbatan qisman hosilalar turli xil javoblar beradi - bu normaldir. Nima uchun, aytaylik, birinchi holatda, biz $10y $ ni hosila belgisi ostidan xotirjamlik bilan olib tashlaganimizni, ikkinchi holatda esa birinchi atamani butunlay bekor qilganimizni tushunish juda muhim. Bularning barchasi farqlash amalga oshiriladigan o'zgaruvchidan tashqari barcha harflar doimiy deb hisoblanishi bilan bog'liq: ularni olib tashlash, "yoqish" va hokazo.
"Qisman hosila" nima?
Bugun biz bir nechta o'zgaruvchilarning funktsiyalari va ularning qisman hosilalari haqida gapiramiz. Birinchidan, bir nechta o'zgaruvchining funktsiyasi nima? Shu paytgacha biz funktsiyani $y\left(x \right)$ yoki $t\left(x \right)$ yoki istalgan oʻzgaruvchi va undan bitta funksiya deb tasavvur qilishga odatlangan edik. Endi bizda bitta funktsiya va bir nechta o'zgaruvchilar bo'ladi. $y$ va $x$ oʻzgarganda funksiyaning qiymati oʻzgaradi. Misol uchun, agar $x$ ikki barobar oshsa, funktsiya qiymati o'zgaradi, agar $x$ o'zgarmasa va $y$ o'zgarmasa, funktsiya qiymati ham xuddi shunday o'zgaradi.
Albatta, bir o‘zgaruvchining funksiyasi kabi bir necha o‘zgaruvchining funksiyasi ham farqlanishi mumkin. Biroq, bir nechta o'zgaruvchilar mavjud bo'lganligi sababli, turli xil o'zgaruvchilarga ko'ra farqlash mumkin. Bunday holda, bitta o'zgaruvchini farqlashda mavjud bo'lmagan aniq qoidalar paydo bo'ladi.
Avvalo, har qanday o‘zgaruvchining funksiyasining hosilasini ko‘rib chiqsak, qaysi o‘zgaruvchini hosilasi deb hisoblashimizni ko‘rsatishimiz kerak – bu qisman hosila deyiladi. Misol uchun, bizda ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi bor va biz uni $x$ da, $y$ da - har bir o'zgaruvchining ikkita qisman hosilasida hisoblashimiz mumkin.
Ikkinchidan, biz o'zgaruvchilardan birini aniqlab, unga nisbatan qisman hosilani hisoblashni boshlaganimizdan so'ng, ushbu funktsiyaga kiritilgan barcha qolganlar doimiy hisoblanadi. Masalan, $z\left(xy \right)$ da, agar biz $x$ ga nisbatan qisman hosilasini ko'rib chiqsak, u holda $y$ ga har joyda duch kelsak, uni doimiy deb hisoblaymiz va uni doimiy deb hisoblaymiz. Xususan, mahsulotning hosilasini hisoblashda qavs ichidan $y$ ni olishimiz mumkin (bizda doimiy bo'ladi), yig'indining hosilasini hisoblashda esa, biror joyda $y$ bo'lgan ifoda hosilasini oladigan bo'lsak. va tarkibida $x$ boʻlmasa, bu ifodaning hosilasi doimiyning hosilasi sifatida “nol” ga teng boʻladi.
Bir qarashda, men murakkab narsa haqida gapirayotgandek tuyulishi mumkin va ko'pchilik o'quvchilar boshida sarosimaga tushishadi. Biroq, qisman hosilalarda g'ayritabiiy narsa yo'q va endi biz buni aniq muammolar misolida ko'ramiz.
Radikallar va ko'phadlar bilan bog'liq masalalar
№1 vazifa
Vaqtni behuda sarf qilmaslik uchun boshidanoq jiddiy misollar bilan boshlaymiz.
Quyidagi formuladan boshlaylik:
Bu biz standart kursdan biladigan standart jadval qiymati.
Bu holda $z$ hosilasi quyidagicha hisoblanadi:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)\]
Yana aytaylik, ildiz $x$ emas, balki boshqa ifoda bo'lganligi sababli, bu holda $\frac(y)(x)$, keyin biz avval standart jadval qiymatidan foydalanamiz, keyin esa ildiz $ emasligi sababli. x $ va boshqa ifoda bo'lsa, biz bir xil o'zgaruvchiga nisbatan hosilamizni ushbu ifodaning yana bittasiga ko'paytirishimiz kerak. Quyidagilardan boshlaylik:
\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac((((y)"))_(x))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot xy\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)((x)^(2)))\]
Biz o'z ifodamizga qaytamiz va yozamiz:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \o'ng)\]
Asosan, hammasi shu. Biroq, uni bu shaklda qoldirish noto'g'ri: bunday qurilishni keyingi hisob-kitoblar uchun ishlatish noqulay, shuning uchun uni biroz o'zgartiramiz:
\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \o'ng)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]
\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2))))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)((x)^(3))))\]
Javob topildi. Endi $y$ bilan ishlaymiz:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)\]
Keling, alohida yozamiz:
\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac((((y)"))_(y))\cdot xy \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot xy\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]
Endi biz yozamiz:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]
\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]
Bajarildi.
Vazifa №2
Bu misol avvalgisidan ham sodda, ham murakkabroq. Keyinchalik qiyin, chunki ko'proq harakatlar bor, lekin osonroq, chunki ildiz yo'q va bundan tashqari, funktsiya $ x $ va $ y $ ga nisbatan nosimmetrikdir, ya'ni. agar $x$ va $y$ almashtirsak, formula o'zgarmaydi. Ushbu eslatma qisman lotinni hisoblashni yanada soddalashtiradi, ya'ni. ulardan birini hisoblash kifoya, ikkinchisida esa $x$ va $y$ almashish kifoya.
Keling, biznesga tushamiz:
\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \o‘ng ))^(\prime ))_(x)=\frac((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \o'ng)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))\]
Keling, hisoblaymiz:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]
Biroq, ko'plab talabalar bunday yozuvni tushunmaydilar, shuning uchun biz uni quyidagicha yozamiz:
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \o'ng))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]
Shunday qilib, biz qisman hosila algoritmining universalligiga yana bir bor amin bo'ldik: ularni qanday ko'rib chiqmaylik, agar barcha qoidalar to'g'ri qo'llanilsa, javob bir xil bo'ladi.
Keling, katta formulamizdan yana bir qisman hosila bilan shug'ullanamiz:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ))_(x)=((\left((() x)^(2)) \o'ng))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \o'ng))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]
Olingan iboralarni formulamizga almashtiramiz va quyidagilarni olamiz:
\[\frac(((\left(xy \o'ng))^(\prime ))_(x)\left((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ o'ng)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\bosh ))_(x))((\chap) (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\]
\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((() x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\]
\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \o'ng))(((\) chap(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \o'ng))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(2 )))\]
$x$ hisoblangan. Xuddi shu iboradan $y$ ni hisoblash uchun keling, bir xil harakatlar ketma-ketligini bajarmaylik, balki asl ifodamizning simmetriyasidan foydalanamiz - biz asl ifodadagi barcha $y$ ni $x$ bilan almashtiramiz va aksincha:
\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \o'ng))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]
Simmetriya tufayli biz bu ifodani ancha tezroq hisoblab chiqdik.
Yechimning nuanslari
Hammasi qisman hosilalar uchun ishlaydi standart formulalar, biz oddiylar uchun foydalanamiz, ya'ni bo'linmaning hosilasi. Bunda esa uning o'ziga xos xususiyatlari yuzaga keladi: agar $x$ ning qisman hosilasini ko'rib chiqsak, uni $x$ dan olganimizda, biz uni doimiy deb hisoblaymiz va shuning uchun uning hosilasi " ga teng bo'ladi. nol".
Oddiy hosilalarda bo'lgani kabi, koeffitsient (bir va bir xil) bir nechta hisoblab chiqilishi mumkin. turli yo'llar bilan. Masalan, biz hozirgina hisoblagan qurilishni quyidagicha qayta yozish mumkin:
\[((\left(\frac(y)(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \o'ng)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]
\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]
Biroq, boshqa tomondan, hosila yig'indisidan formuladan foydalanishingiz mumkin. Ma'lumki, u hosilalarning yig'indisiga teng. Masalan, quyidagini yozamiz:
\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \o'ng))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]
Endi, bularning barchasini bilgan holda, keling, jiddiyroq iboralar bilan ishlashga harakat qilaylik, chunki haqiqiy qisman hosilalar faqat polinomlar va ildizlar bilan cheklanmaydi: trigonometriya, logarifmlar va eksponensial funktsiya mavjud. Endi buni qilaylik.
Trigonometrik funktsiyalar va logarifmlar bilan bog'liq masalalar
№1 vazifa
Biz quyidagi standart formulalarni yozamiz:
\[((\left(\sqrt(x) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]
\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]
Ushbu bilim bilan qurollangan holda, keling, hal qilishga harakat qilaylik:
\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
Keling, bitta o'zgaruvchini alohida yozamiz:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Dizaynimizga qaytish:
\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Biz $x$ uchun hamma narsani topdik, endi $y$ uchun hisob-kitoblarni bajaramiz:
\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left) (\cos \frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
Yana bir iborani ko'rib chiqing:
\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left() \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \o'ng)\]
Biz asl iboraga qaytamiz va yechimni davom ettiramiz:
\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]
Bajarildi.
Vazifa №2
Bizga kerakli formulani yozamiz:
\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]
Endi $x$ ga hisoblaymiz:
\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \o'ng)=\frac(1)(x+\ln y)\]
$x$ tomonidan topilgan. $y$ bilan hisoblash:
\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \o'ng)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \o'ng))\ ]
Muammo hal qilindi.
Yechimning nuanslari
Shunday qilib, biz qaysi funktsiyadan qisman hosila olsak ham, trigonometriya, ildizlar yoki logarifmlar bilan ishlayotganimizdan qat'i nazar, qoidalar bir xil bo'lib qoladi.
Standart hosilalar bilan ishlashning klassik qoidalari o'zgarishsiz qoladi, ya'ni yig'indi va ayirma hosilasi, qism va kompleks funktsiya.
Oxirgi formula ko'pincha qisman hosilalar bilan muammolarni hal qilishda topiladi. Biz ularni deyarli hamma joyda uchratamiz. Hali biz u erda duch kelmagan birorta vazifamiz yo'q. Ammo qaysi formuladan foydalanmasak ham, biz yana bitta talabni qo'shamiz, ya'ni qisman hosilalar bilan ishlash xususiyati. Bitta o'zgaruvchini tuzatganimizdan so'ng, qolganlarning hammasi doimiy hisoblanadi. Xususan, $\cos \frac(x)(y)$ ifodasining $y$ ga nisbatan qisman hosilasini ko‘rib chiqsak, u holda $y$ o‘zgaruvchi bo‘ladi va $x$ hamma joyda doimiy bo‘lib qoladi. Xuddi shu narsa aksincha ishlaydi. Uni hosilaning belgisidan chiqarish mumkin va doimiyning hosilasi "nol" ga teng bo'ladi.
Bularning barchasi bir xil ifodaning qisman hosilalari, ammo turli o'zgaruvchilarga nisbatan butunlay boshqacha ko'rinishi mumkinligiga olib keladi. Masalan, quyidagi iboralarni ko'rib chiqing:
\[((\left(x+\ln y \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=1+0=1\]
\[((\left(x+\ln y \o'ng))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]
Ko‘rsatkichli funksiyalar va logarifmlar bilan bog‘liq masalalar
№1 vazifa
Keling, quyidagi formulani yozishdan boshlaylik:
\[((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=((e)^(x))\]
Ushbu faktni, shuningdek, murakkab funktsiyaning hosilasini bilib, hisoblashga harakat qilaylik. Endi men ikki xil yo'l bilan hal qilaman. Birinchi va eng aniq mahsulot hosilasi:
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ) )_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
Quyidagi ifodani alohida yechamiz:
\[((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac((((x)"))_(x))\cdot yx .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot yx\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]
Biz asl dizaynimizga qaytamiz va yechimni davom ettiramiz:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\chap(1) +\frac(1)(y)\o'ng)\]
Hammasi, $x$ hisoblangan.
Biroq, men va'da qilganimdek, endi biz bir xil qisman hosilani boshqacha tarzda hisoblashga harakat qilamiz. Buning uchun quyidagilarga e'tibor bering:
\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=(e)^(x+\frac(x)(y)))\]
Keling, buni shunday yozamiz:
\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y) )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=(e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \o'ng)\]
Natijada, biz aynan bir xil javob oldik, ammo hisob-kitoblar miqdori kichikroq bo'lib chiqdi. Buning uchun mahsulot ko'paytirilganda ko'rsatkichlar qo'shilishi mumkinligini payqash kifoya edi.
Endi $y$ ga hisoblaymiz:
\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ) )_(y)=\]
\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
Keling, bitta ifodani alohida hal qilaylik:
\[((\left(\frac(x)(y) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac((((x)"))_(y))\cdot yx \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]
Keling, asl qurilishimizning yechimini davom ettiramiz:
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]
Albatta, xuddi shu hosilani ikkinchi usulda hisoblash mumkin edi, javob bir xil bo'ladi.
Vazifa №2
$x$ ga hisoblaymiz:
\[(((z)")_(x))=((\left(x \o'ng))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \o'ng )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
Keling, bitta ifodani alohida hisoblaylik:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]
Keling, asl qurilishning yechimini davom ettiramiz: $$
Mana javob.
$y$ ga o'xshashlik bo'yicha topish qoladi:
\[(((z)")_(y))=((\left(x \o'ng))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \o'ng)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
Keling, har doimgidek bitta ifodani alohida hisoblaylik:
\[((\left(((x)^(2))+y \o'ng))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \o'ng) )^(\prime ))_(y)+((y)")_(y))=0+1=1\]
Biz asosiy tuzilmaning yechimini davom ettiramiz:
Hamma narsa hisoblangan. Ko'rib turganingizdek, farqlash uchun qaysi o'zgaruvchi olinganiga qarab, javoblar butunlay boshqacha.
Yechimning nuanslari
Mana bir xil funktsiyaning hosilasini ikki xil usulda qanday hisoblash mumkinligiga yorqin misol. Mana qarang:
\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+(e)^(x))\cdot ((e)^(\frac) (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ chap (1+\frac(1)(y)\o'ng)\]
\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \o'ng)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \o'ng))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\chap(x+\frac(x)(y) \o'ng))^(\bosh ))_(x)=\]
\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \o'ng)\ ]
Turli yo'llarni tanlashda hisob-kitoblar miqdori boshqacha bo'lishi mumkin, ammo javob, agar hamma narsa to'g'ri bajarilgan bo'lsa, bir xil bo'ladi. Bu klassik va qisman hosilalarga ham tegishli. Shu bilan birga, yana bir bor eslatib o'taman: lotin qaysi o'zgaruvchidan olinganiga qarab, ya'ni. farqlash, javob butunlay boshqacha bo'lishi mumkin. Qarang:
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]
\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \o'ng) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x) )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \o‘ng))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]
Xulosa qilib aytganda, ushbu materialning barchasini birlashtirish uchun yana ikkita misolni sanashga harakat qilaylik.
Trigonometrik funktsiya va uchta o'zgaruvchili funksiya bilan bog'liq masalalar
№1 vazifa
Keling, ushbu formulalarni yozamiz:
\[((\left(((a)^(x)) \o'ng))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]
\[((\left(((e)^(x)) \o'ng))^(\prime ))=((e)^(x))\]
Endi ifodamizni yechamiz:
\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \o'ng))^(\prime ))_(x)=((3) )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]
Alohida-alohida, quyidagi qurilishni ko'rib chiqing:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]
Biz asl ifodani hal qilishni davom ettiramiz:
\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]
Bu $x$ bo'yicha yakuniy shaxsiy o'zgaruvchi javobdir. Endi $y$ ga hisoblaymiz:
\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=((3) )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]
Keling, bitta ifodani alohida hal qilaylik:
\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]
Biz qurilishimizni oxirigacha hal qilamiz:
\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]
Vazifa №2
Bir qarashda, bu misol juda murakkab ko'rinishi mumkin, chunki uchta o'zgaruvchi mavjud. Aslida, bu bugungi video darsdagi eng oson vazifalardan biridir.
$x$ boʻyicha toping:
\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \o'ng))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \o'ng))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e)) ^(z)) \o'ng))^(\asosiy ))_(x)=\]
\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y) )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]
Endi $y$ bilan ishlaymiz:
\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \o'ng))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot) ((e)^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(y)=\]
\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+(e)^(z))\cdot ((\chap) (y \o'ng))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+(e)^(z))\]
Biz javob topdik.
Endi $z$ bilan topish qoladi:
\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e) )^(z)) \o'ng))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \o'ng))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]
Biz uchinchi hosilani hisoblab chiqdik, bunda ikkinchi masalani yechish to'liq yakunlanadi.
Yechimning nuanslari
Ko'rib turganingizdek, bu ikki misolda murakkab narsa yo'q. Biz ko‘rgan yagona narsa shuki, murakkab funksiyaning hosilasi tez-tez ishlatiladi va qaysi qisman hosilani ko‘rib chiqishimizga qarab, turlicha javoblar olamiz.
Oxirgi vazifada bizdan bir vaqtning o'zida uchta o'zgaruvchining funktsiyasi bilan shug'ullanishni so'rashdi. Buning hech qanday yomon joyi yo'q, lekin oxirida biz ularning barchasi bir-biridan sezilarli darajada farq qilishiga ishonch hosil qildik.
Asosiy fikrlar
Bugungi video darsdan yakuniy xulosalar quyidagilar:
- Qisman hosilalar oddiylar kabi ko'rib chiqiladi, bir o'zgaruvchiga nisbatan qisman hosilalarni hisoblash uchun esa boshqa barcha o'zgaruvchilar kiritiladi. bu funksiya, biz doimiylar sifatida qabul qilamiz.
- Qisman hosilalar bilan ishlashda biz oddiy hosilalar bilan bir xil standart formulalardan foydalanamiz: yig'indi, ayirma, mahsulot va qismning hosilasi va, albatta, murakkab funktsiyaning hosilasi.
Albatta, ushbu mavzuni to'liq tushunish uchun ushbu video darslikni tomosha qilishning o'zi etarli emas, shuning uchun hozir mening veb-saytimda ushbu maxsus video uchun bugungi mavzuga bag'ishlangan vazifalar to'plami mavjud - boring, yuklab oling, ushbu vazifalarni hal qiling va javobni tekshiring. Va shundan so'ng, imtihonlarda ham, qisman lotinlar bilan ham muammolar bo'lmaydi mustaqil ish qilmaysiz. Albatta, bu oxirgi dars emas oliy matematika, shuning uchun bizning veb-saytimizga tashrif buyuring, VKontakte-ni qo'shing, YouTube-ga obuna bo'ling, yoqtirishlarni qo'ying va biz bilan qoling!
Ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning qisman hosilalari.
Tushuncha va yechimlar misollari
Ushbu darsda biz buni davom ettiramiz ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi va, ehtimol, eng keng tarqalgan tematik vazifani ko'rib chiqing - topish birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalari, shuningdek, funktsiyaning umumiy differentsiali. Sirtqi ta'lim talabalari, qoida tariqasida, 1-kursda 2-semestrda qisman hosilalarga duch kelishadi. Bundan tashqari, mening kuzatishlarimga ko'ra, qisman hosilalarni topish vazifasi deyarli har doim imtihonda topiladi.
Uchun samarali o'rganish quyidagi material zarur bir o‘zgaruvchining funksiyasining “odatiy” hosilalarini ozmi-ko‘pmi ishonch bilan topa olish. Darslarda hosilalarni to'g'ri ishlashni o'rganishingiz mumkin hosilani qanday topish mumkin? Va Murakkab funktsiyaning hosilasi . Bizga, shuningdek, elementar funktsiyalarning hosilalari jadvali va differentsiatsiya qoidalari kerak, agar u bosma shaklda bo'lsa, eng qulaydir. Uni olish ma'lumotnoma materiali sahifada mumkin Matematik formulalar va jadvallar .
Keling, kontseptsiyani tezda takrorlaylik. ikkita o'zgaruvchining funktsiyalari, Men o'zimni minimal darajada cheklashga harakat qilaman. Ikki o'zgaruvchining funktsiyasi odatda o'zgaruvchilar chaqirilgan holda yoziladi mustaqil o'zgaruvchilar yoki argumentlar.
Misol: - ikkita o'zgaruvchining funksiyasi.
Ba'zan belgi qo'llaniladi. Harf o'rniga harf qo'llaniladigan vazifalar ham mavjud.
Geometrik nuqtai nazardan, ko'pincha ikkita o'zgaruvchining funktsiyasi uch o'lchovli fazoning yuzasi(samolyot, silindr, shar, paraboloid, giperboloid va boshqalar). Ammo, aslida, bu allaqachon ko'proq analitik geometriya va bizda kun tartibi mavjud matematik tahlil, Universitet o'qituvchimni yozishimga hech qachon ruxsat bermagan "otim".
Birinchi va ikkinchi tartiblarning qisman hosilalarini topish masalasiga murojaat qilamiz. Bir necha chashka qahva ichgan va tasavvur qilib bo'lmaydigan darajada qiyin materialga tayyor bo'lganlar uchun yaxshi xabarim bor: qisman hosilalar bir oʻzgaruvchining funksiyasining “oddiy” hosilalari bilan deyarli bir xil..
Qisman hosilalar uchun barcha farqlash qoidalari va elementar funksiyalarning hosilalari jadvali amal qiladi. Faqat bir nechta kichik farqlar bor, biz hozir bilib olamiz:
... ha, aytmoqchi, men ushbu mavzu uchun yaratganman Kichik pdf kitob, bu sizga bir necha soat ichida "qo'lingizni to'ldirish" imkonini beradi. Ammo, saytdan foydalanib, siz, albatta, natijaga erishasiz - ehtimol biroz sekinroq:
1-misol
Funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalarini toping
Birinchidan, birinchi tartibning qisman hosilalarini topamiz. Ulardan ikkitasi bor.
Belgilash:
yoki - "x" ga nisbatan qisman hosila
yoki - "y" ga nisbatan qisman hosila
dan boshlaylik. "X" ga nisbatan qisman hosilani topsak, o'zgaruvchi doimiy (doimiy son) hisoblanadi..
Amalga oshirilgan harakatlar bo'yicha sharhlar:
(1) Qisman hosila topishda birinchi qiladigan ishimiz xulosa chiqarishdir hammasi tire ostidagi qavs ichida funksiya subscript bilan.
Diqqat muhim! Yechim jarayonida subscripts YO'qotmaydi. Bunday holda, agar siz biron bir joyda "zarba" chizsangiz, o'qituvchi, hech bo'lmaganda, uni vazifaning yoniga qo'yishi mumkin (e'tiborsizlik uchun darhol ballning bir qismini tishlab oling).
(2) Farqlash qoidalaridan foydalaning 
, . Bu kabi oddiy misol uchun ikkala qoida ham bir bosqichda qo'llanilishi mumkin. Birinchi muddatga e'tibor bering: beri doimiy deb hisoblanadi va hosila belgisidan istalgan doimiyni olish mumkin, keyin biz uni qavslardan chiqaramiz. Ya'ni, bu vaziyatda oddiy raqamdan yaxshiroq emas. Endi uchinchi muddatga qaraylik: bu erda, aksincha, olib tashlash uchun hech narsa yo'q. Bu doimiy bo'lgani uchun u ham doimiydir va bu ma'noda oxirgi atama - "etti" dan yaxshiroq emas.
(3) Biz jadvalli hosilalardan foydalanamiz va .
(4) Biz javobni soddalashtiramiz yoki men aytmoqchi bo'lganimdek, "birlashtiramiz".
Endi . "y" ga nisbatan qisman hosilani topsak, u holda o'zgaruvchidoimiy (doimiy son) hisoblanadi.
(1) Biz bir xil farqlash qoidalaridan foydalanamiz 
, . Birinchi hadda hosila belgisidan tashqari doimiyni chiqaramiz, ikkinchi hadda esa hech narsani chiqarib bo'lmaydi, chunki u allaqachon doimiydir.
(2) Biz elementar funksiyalarning hosilalari jadvalidan foydalanamiz. Jadvaldagi barcha "X" ni "Y" ga aqliy ravishda o'zgartiring. Ya'ni berilgan jadval uchun (va, albatta, deyarli har qanday harf uchun) teng darajada amal qiladi. Xususan, biz foydalanadigan formulalar quyidagicha ko'rinadi: va .
Qisman hosilalarning ma'nosi nima?
Ularning mohiyatida 1-tartibli qisman hosilalar o'xshaydi "oddiy" hosila :
- bu funktsiyalari, xarakterlovchi o'zgarish darajasi o'qlar yo'nalishi bo'yicha va mos ravishda ishlaydi. Masalan, funktsiya 
"ko'tarilish" va "qiyaliklarning" tikligini tavsiflaydi yuzalar
abscissa o'qi yo'nalishi bo'yicha va funktsiya bizga bir xil sirtning ordinata o'qi yo'nalishidagi "relyefi" haqida gapiradi.
! Eslatma : bu erda yo'nalishlarga ishora qiladi paralleldir koordinata o'qlari.
Yaxshiroq tushunish uchun keling, tekislikning ma'lum bir nuqtasini ko'rib chiqamiz va undagi funktsiyaning ("balandlik") qiymatini hisoblaymiz:
- va endi siz shu erda ekanligingizni tasavvur qiling (Juda yuzada).
Berilgan nuqtada "x" ga nisbatan qisman hosilani hisoblaymiz:
"X" hosilasining salbiy belgisi bu haqda bizga xabar beradi tushayotgan x o'qi yo'nalishidagi nuqtada ishlaydi. Boshqacha qilib aytganda, kichik-kichik qilsak (cheksiz) o'qning uchiga qadam qo'ying (ushbu o'qga parallel), keyin sirtning qiyalik bo'ylab pastga tushing.
Endi biz y o'qi yo'nalishi bo'yicha "er" ning tabiatini bilib olamiz:
"y" ga nisbatan hosila ijobiy, shuning uchun o'q bo'ylab bir nuqtada funktsiya ortadi. Agar bu juda oddiy bo'lsa, unda biz toqqa chiqishni kutmoqdamiz.
Bundan tashqari, bir nuqtada qisman hosila xarakterlanadi o'zgarish darajasi tegishli yo‘nalishda faoliyat yuritadi. Olingan qiymat qanchalik katta bo'lsa modul - sirt qanchalik tik bo'lsa va aksincha, u nolga qanchalik yaqin bo'lsa, sirt tekisroq bo'ladi. Shunday qilib, bizning misolimizda abscissa o'qi yo'nalishidagi "qiyalik" ordinata o'qi yo'nalishidagi "tog'" dan tikroqdir.
Ammo bu ikkita shaxsiy yo'l edi. Biz turgan joydan shunisi aniqki, (va umuman berilgan sirtning istalgan nuqtasidan) biz boshqa yo'nalishda harakat qilishimiz mumkin. Shunday qilib, bizga sirtning "landshafti" haqida ma'lumot beradigan umumiy "navigatsiya jadvali" ni tuzishga qiziqish mavjud. iloji bo'lsa har bir nuqtada ushbu funktsiya doirasi barcha mavjud usullarda. Bu va boshqa qiziqarli narsalar haqida keyingi darslardan birida gaplashaman, ammo hozircha masalaning texnik tomoniga qaytaylik.
Biz oddiy qo'llaniladigan qoidalarni tizimlashtiramiz:
1) orqali farqlansak, o'zgaruvchi doimiy hisoblanadi.
2) ga ko'ra farqlash amalga oshirilganda, keyin doimiy hisoblanadi.
3) Elementar funktsiyalarning hosilalari qoidalari va jadvali har qanday o'zgaruvchi (yoki boshqa) uchun amal qiladi va farqlash amalga oshiriladi.
Ikkinchi qadam. Ikkinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz. Ulardan to'rttasi bor.
Belgilash:
yoki - "x" ga nisbatan ikkinchi hosila
yoki - "y" ga nisbatan ikkinchi hosila
yoki - aralashgan hosila "x by y"
yoki - aralashgan"X bilan Y" hosilasi
Ikkinchi lotin bilan bog'liq muammolar yo'q. gapirish oddiy til, ikkinchi hosila birinchi hosilaning hosilasidir.
Qulaylik uchun men allaqachon topilgan birinchi darajali qisman hosilalarni qayta yozaman: 
Avval aralash hosilalarni topamiz:
Ko'rib turganingizdek, hamma narsa oddiy: biz qisman lotinni olamiz va uni yana farqlaymiz, lekin bu holda, allaqachon "y" bilan.
Xuddi shunday:
Amaliy misollarda siz quyidagi tenglikka e'tibor qaratishingiz mumkin:
Shunday qilib, ikkinchi tartibli aralash hosilalar orqali biz birinchi tartibning qisman hosilalarini to'g'ri topganimizni tekshirish juda qulaydir.
Biz "x" ga nisbatan ikkinchi hosilani topamiz.
Ixtirolar yo'q, biz qabul qilamiz 
va yana "X" bilan farqlang:
Xuddi shunday:
Shuni ta'kidlash kerakki, topishda siz ko'rsatishingiz kerak e'tiborni kuchaytirdi, chunki ularni sinash uchun mo''jizaviy tenglik yo'q.
Ikkinchi hosilalar ham kengdir amaliy foydalanish, xususan, ular topish masalasida ishlatiladi ikkita o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremasi . Ammo hamma narsaning o'z vaqti bor:
2-misol
Nuqtadagi funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini hisoblang. Ikkinchi tartibli hosilalarni toping.
Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxiridagi javoblar). Agar siz ildizlarni farqlashda qiynalsangiz, darsga qayting hosilani qanday topish mumkin? Umuman olganda, tez orada siz xuddi shunday hosilalarni tezda qanday topishni o'rganasiz.
Keling, qo'limizni ko'proq tutaylik qiyin misollar:
3-misol
Buni tekshiring. kuydirmoq umumiy farq birinchi buyurtma.
Yechish: Birinchi tartibli qisman hosilalarni topamiz: 
Pastki belgisiga e'tibor bering: "x" yonida uning doimiy ekanligini qavslar ichida yozish taqiqlanmaydi. Ushbu belgi yangi boshlanuvchilar uchun yechimni boshqarishni osonlashtirish uchun juda foydali bo'lishi mumkin.
Qo'shimcha sharhlar:
(1) hosila belgisidan tashqaridagi barcha konstantalarni chiqaramiz. Bunda, va, va, demak, ularning hosilasi doimiy son hisoblanadi.
(2) Ildizlarni qanday qilib to'g'ri ajratishni unutmang.
(1) hosila belgisidan barcha konstantalarni chiqaramiz, bu holda konstanta .
(2) Asosiy ostida biz ikkita funktsiyaning mahsulotiga egamiz, shuning uchun biz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanishimiz kerak. 
.
(3) Bu murakkab funktsiya ekanligini unutmang (garchi murakkab bo'lganlarning eng soddasi bo'lsa ham). Tegishli qoidadan foydalanamiz: 
.
Endi biz ikkinchi tartibli aralash hosilalarni topamiz:
Bu barcha hisob-kitoblar to'g'ri ekanligini anglatadi.
Keling, umumiy differentsialni yozamiz. Ko'rib chiqilayotgan vazifa kontekstida ikkita o'zgaruvchining funktsiyasining umumiy differentsialligi nima ekanligini aytishning ma'nosi yo'q. Muhimi shundaki, bu juda tez-tez differensial amaliy masalalarda yozilishi kerak.
Jami birinchi tartibli differensial Ikki o'zgaruvchining funktsiyalari quyidagi shaklga ega: 
Ushbu holatda:
Ya'ni, formulada siz shunchaki topilgan birinchi tartibning qisman hosilalarini ahmoqona almashtirishingiz kerak. Differensial piktogramma va shu va shunga o'xshash holatlarda, agar iloji bo'lsa, numeratorlarda yozish yaxshidir:
Va o'quvchilarning takroriy iltimosiga binoan, ikkinchi tartibli to'liq differentsial.
Bu shunday ko'rinadi:
2-tartibdagi "bitta harfli" hosilalarni EHTIYOT bilan toping: 
va "yirtqich hayvonni" yozing, ehtiyotkorlik bilan kvadratlarni, mahsulotni "biriktiring" va aralash hosilani ikki baravar oshirishni unutmang: 
Agar biror narsa qiyin bo'lib tuyulsa, farqlash texnikasini o'rganganingizdan so'ng, hosilalarga keyinroq qaytishingiz mumkin:
4-misol
Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping 
. Buni tekshiring. Birinchi tartibdagi to‘liq differensialni yozing.
bilan bir qator misollarni ko'rib chiqing murakkab funktsiyalar:
5-misol
Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping.
Yechim: 
6-misol
Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping 
.
Umumiy farqni yozing.
Bu o'z-o'zini hal qilish uchun misol (dars oxirida javob). To'liq yechim Men keltirmayman, chunki bu juda oddiy
Ko'pincha yuqoridagi barcha qoidalar birgalikda qo'llaniladi.
7-misol
Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping 
.
(1) Biz yig'indini farqlash qoidasidan foydalanamiz
(2) Bu holda birinchi atama doimiy hisoblanadi, chunki ifodada "x" ga bog'liq bo'lgan hech narsa yo'q - faqat "y". Bilasizmi, kasrni nolga aylantirish har doim yoqimli). Ikkinchi muddat uchun biz mahsulotni farqlash qoidasini qo'llaymiz. Aytgancha, bu ma'noda, agar uning o'rniga funktsiya berilsa, hech narsa o'zgarmas edi - bu erda muhim Ikki funktsiyaning mahsuloti, Ularning har biri o'ziga bog'liq "X", va shuning uchun siz mahsulotni farqlash qoidasidan foydalanishingiz kerak. Uchinchi muddat uchun biz murakkab funktsiyani differentsiallash qoidasini qo'llaymiz.
(1) Numerator va maxrajdagi birinchi atama "y" ni o'z ichiga oladi, shuning uchun siz qismni farqlash uchun qoidadan foydalanishingiz kerak: 
. Ikkinchi atama FAQAT "x" ga bog'liq, ya'ni u doimiy hisoblanadi va nolga aylanadi. Uchinchi atama uchun biz murakkab funksiyani differentsiallash qoidasidan foydalanamiz.
Darsning oxiriga qadar jasorat bilan erishgan o'quvchilar uchun men sizga eski Mehmatov latifasini aytib beraman:
Bir marta funksiyalar maydonida yovuz lotin paydo bo'ldi va u qanday qilib hammani farqlash uchun ketdi. Barcha funktsiyalar har tomonga tarqaladi, hech kim burilishni xohlamaydi! Va faqat bitta funktsiya hech qayerdan qochib qutula olmaydi. Loyqa unga yaqinlashadi va so'raydi:
— Nega mendan qochmayapsiz?
- Ha. Lekin menga farqi yo'q, chunki men "x kuchiga e"man va siz menga hech narsa qila olmaysiz!
Bunga yovuz hosila makkor tabassum bilan javob beradi:
- Bu erda siz noto'g'risiz, men sizni "y" bilan farqlayman, shuning uchun siz uchun nol bo'ling.
Kim hazilni tushundi, u lotinlarni o'zlashtirdi, hech bo'lmaganda "troyka" uchun).
8-misol
Funksiyaning birinchi tartibli qisman hosilalarini toping 
.
Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. To'liq yechim va muammoning namunaviy dizayni dars oxirida.
Xo'sh, bu deyarli hammasi. Nihoyat, matematiklarni yana bir misol bilan xursand qilmasdan ilojim yo'q. Bu hatto havaskorlar haqida ham emas, har kimning matematik tayyorgarlik darajasi har xil - qiyinroq vazifalar bilan raqobat qilishni yaxshi ko'radigan odamlar (va unchalik kam emas) bor. Garchi ushbu darsdagi oxirgi misol hisob-kitoblar nuqtai nazaridan unchalik murakkab emas.
Ko'p o'zgaruvchilar funksiyasi tushunchasi
n-o'zgaruvchilar bo'lsin va ma'lum bir x to'plamdagi har bir x 1, x 2 ... x n ga ta'rif beriladi. Z raqami, keyin x to'plamida ko'p o'zgaruvchilarning Z \u003d f (x 1, x 2 ... x n) funktsiyasi berilgan.
X - belgilangan funktsiyalar maydoni
x 1, x 2 ... x n - mustaqil o'zgaruvchi (argumentlar)
Z - funksiya Misol: Z \u003d P x 2 1 * x 2 (silindr hajmi)
Z \u003d f (x; y) ni ko'rib chiqing - 2 ta o'zgaruvchining f-tion x (x 1, x 2 o'rniga x, y). Natijalar analogiya bo'yicha ko'plab o'zgaruvchilarning boshqa funktsiyalariga o'tkaziladi. 2 o'zgaruvchining funktsiyasini aniqlash maydoni kvadratning butun shnuri (ooh) yoki uning bir qismidir. Mn-2 o'zgaruvchining th funksiyasi qiymatida - 3 o'lchovli fazodagi sirt.
Grafiklarni qurish texnikasi: - Kvadrat yuzasi ustidagi Rassm-t kesma || koordinatali kvadratlar.
Misol: x \u003d x 0, zn. kvadrat X || 0yz y \u003d y 0 0xz Funktsiya turi: Z \u003d f (x 0, y); Z=f(x, y 0)
Masalan: Z=x 2 +y 2 -2y
Z= x 2 +(y-1) 2 -1 x=0 Z=(y-1) 2 -1 y=1 Z= x 2 -1 Z=0 x 2 +(y-1) 2 -1
Parabola doirasi(markazi(0;1)
Ikki o‘zgaruvchili funksiyalarning chegaralari va uzluksizligi
Z = f (x; y) berilgan bo'lsin, u holda A f-tsionning m dagi chegarasi (x 0, y 0), agar har qanday ixtiyoriy kichik qo'yish uchun. soni E>0 ot-t musbat son b>0, bu barcha x,y uchun qanoatlantiruvchi |x-x 0 |<б; |y-y 0 |<б выполняется нерав-во |f(x,y)-A| Z \u003d f (x; y) t.da uzluksiz (x 0, y 0), agar: - bu t.da aniqlangan; - chegarasi bor x da chegara, x 0 ga va y dan y 0 ga moyil; - bu chegara = qiymat t.dagi funksiyalar (x 0, y 0), ya'ni. limf (x; y) \u003d f (x 0, y 0) Funktsiya har birida uzluksiz bo'lsa. t.mn-va X, keyin bu sohada uzluksiz Differensial funksiya, uning geomanosi. Taxminiy qiymatlarda dif-la dan foydalanish. dy=f’(x)∆x – differentsial funksiya dy=dx, ya'ni. dy=f '(x)dx, agar y=x bo'lsa Geolog nuqtai nazaridan funksiya differensiali funksiya grafigiga abtsissa x 0 bo‘lgan nuqtada chizilgan tangens ordinatasidagi o‘sishdir. Dif-l taxminan hisoblashda ishlatiladi. formula bo'yicha funktsiya qiymatlari: f(x 0 +∆x)~f(x 0)+f'(x 0)∆x ∆x x ga qanchalik yaqin bo'lsa, natija shunchalik aniq bo'ladi. Birinchi va ikkinchi tartibli qisman hosilalar Birinchi tartibli hosila (bu xususiy deb ataladi) O. X va y mustaqil oʻzgaruvchilarning X mintaqasining qaysidir nuqtasida oʻsishlari x, y boʻlsin. U holda z = f(x + x, y + y) = f(x, y) ga teng qiymat deyiladi. x 0 nuqtadagi umumiy o'sish, y 0. Agar x o'zgaruvchisi o'zgarmas bo'lsa va y o'zgaruvchisi y ga oshirilsa, u holda zu = f(x, y, + y) – f(x, y) ni olamiz. y o'zgaruvchining qisman hosilasi xuddi shunday aniqlanadi, ya'ni. 2 o'zgaruvchili funktsiyaning qisman hosilasi bitta o'zgaruvchining funktsiyalari bilan bir xil qoidalarga muvofiq topiladi. Farqi shundaki, funktsiyani x o'zgaruvchisiga nisbatan differentsiallashda y const, y ga nisbatan farqlashda esa x const hisoblanadi. Izolyatsiya qilingan konstlar qo'shish/ayirish amallari bilan funksiyaga bog'langan. Bog'langan konstlar funktsiyaga ko'paytirish/bo'lish amallari bilan bog'langan. Izolyatsiya qilingan const = 0 hosilasi 1.4.2 o'zgaruvchili funktsiyaning to'liq differentsiali va uning qo'llanilishi
U holda z = f(x,y) bo‘lsin tz = 2-tartibning qisman hosilasi 2 o'zgaruvchining uzluksiz funktsiyalari uchun 2-tartibdagi aralash qisman hosilalar va mos keladi. Maks va min funksiyalarning qisman hosilalarini aniqlash uchun qisman hosilalardan foydalanish ekstremama deyiladi. A. Nuqtalar max yoki min z = f(x,y) deyiladi, agar shunday segmentlar mavjudki, shunday segmentlar mavjudki, bu qo'shnilikdagi barcha x va y uchun f(x,y) T. Agar 2 oʻzgaruvchili funksiyaning ekstremum nuqtasi berilgan boʻlsa, bu nuqtadagi qisman hosilalarning qiymati 0 ga teng, yaʼni. , Birinchi tartibli qisman hosilalar statsionar yoki kritik deb ataladi. Shuning uchun 2 o'zgaruvchili funktsiyaning ekstremum nuqtalarini topish uchun etarli ekstremum shartlar qo'llaniladi. z = f(x,y) funksiya ikki marta differentsiallansin va statsionar nuqta, 1) , va maxA<0, minA>0. 1.4.(*)to'liq differentsial. Differensialning geometrik ma'nosi. Differensialni taxminiy hisoblarda qo'llash
O. y = f(x) funksiya nuqtalarda qandaydir qo'shnilikda aniqlansin. f(x) funksiya nuqtadagi differensiallanuvchi deyiladi, agar uning shu nuqtadagi o'sishi Bu yerda A ga bog'liq bo'lmagan doimiy qiymat, sobit x nuqtada, - da cheksiz kichik. Nisbatan chiziqli A funksiya f(x) funksiyaning nuqtadagi differensiali deyiladi va df() yoki dy bilan belgilanadi. Shunday qilib, (1) ifodani shunday yozish mumkin (1) ifodadagi funktsiya differentsial dy = A ko'rinishga ega. Har qanday chiziqli funktsiya singari, u har qanday qiymat uchun aniqlanadi Differensialni belgilash qulayligi uchun o'sish dx bilan belgilanadi va mustaqil x o'zgaruvchining differensiali deb ataladi. Shuning uchun differentsial dy = Adx shaklida yoziladi. Agar f(x) funksiya qaysidir oraliqning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo‘lsa, uning differentsiali ikki o‘zgaruvchining – x nuqta va dx o‘zgaruvchining funksiyasi bo‘ladi: T. y = g(x) funksiya qaysidir nuqtada differensiallanuvchi boʻlishi uchun uning shu nuqtada hosilasi boʻlishi zarur va yetarlidir. (*) Isbot. Kerak. f(x) funksiya nuqtada differentsiallanuvchi bo‘lsin, ya’ni, Demak, f'() hosilasi mavjud va A ga teng. Demak, dy = f'()dx Adekvatlik. f'() hosilasi bo'lsin, ya'ni. = f'(). U holda y = f(x) egri chiziq tangens segmentdir. Funksiyaning x nuqtadagi qiymatini hisoblash uchun uning ba’zi qo‘shnisidagi nuqtani oling, shunda f() va f’()/ ni topish qiyin bo‘lmaydi.
- to'liq o'sish deyiladi
, bu erda (1) shaklda ifodalangan
().
funktsiyaning o'sishini faqat f(x) funksiya sohasiga + tegishli bo'lganlar uchun hisobga olish kerak.. Keyin