R 1 , R 2 , R 3 ,…,R n ,… sonlar ketma-ketligi berilsin. R 1 + R 2 + R 3 +…+ R n +… ifodasi deyiladi cheksiz yaqin, yoki oddiygina yaqin, va raqamlari R 1 , R 2 , R 3 ,… - raqam a'zolari. Shu bilan birga, ular qator yig'indisining to'planishi uning birinchi a'zolaridan boshlanishini anglatadi. S n = yig'indisi deyiladi qisman summa qator: n=1 uchun - birinchi qisman yig'indi, n=2 uchun - ikkinchi qisman yig'indi va hokazo.

chaqirdi konvergent qator, agar uning qisman ketma-ketligi so'mning chegarasi bor va turlicha- aks holda. Bir qator yig'indisi tushunchasi kengaytirilishi mumkin, keyin ba'zi bir divergent qatorlar ham yig'indilarga ega bo'ladi. Aynan kengaytirilgan tushunish miqdor qator masalaning quyidagi bayoni bilan algoritmlarni ishlab chiqishda foydalaniladi: yig‘indini to‘plash qatorning keyingi hadi berilgan e qiymatidan mutlaq qiymatda kattaroq bo‘lgunga qadar bajarilishi kerak.

Umumiy holatda qator a'zolarining hammasi yoki bir qismi qator a'zosi va o'zgaruvchilar soniga qarab ifodalar bilan berilishi mumkin. Misol uchun,

Keyin savol tug'iladi: hisob-kitoblar miqdorini qanday kamaytirish kerak - seriyaning keyingi a'zosining qiymatini hisoblash uchun qator a'zosining umumiy formulasi(mavjud misolda u yig'indi belgisi ostida ifoda bilan ifodalanadi), rekursiv formula bilan (uning hosilasi quyida keltirilgan) yoki faqat qator a'zosi ifodasi qismlari uchun rekursiv formulalardan foydalaning (pastga qarang).

Seriya hadini hisoblash uchun rekursiv formulani chiqarish

R 1 , R 2 , R 3 ,… raqamlar qatorini formulalar boʻyicha ketma-ket hisoblab topish talab qilinsin.

,
, …,

Bu holda hisob-kitoblarni qisqartirish uchun foydalanish qulay takrorlanuvchi formula mehribon
, N>1 uchun R N qiymatini hisoblash imkonini beradi, R N-1 seriyasining oldingi a'zosining qiymatini bilib, bu erda
- N uchun (3.1) formuladagi ifodaning N-1 ifodasiga munosabatini soddalashtirgandan keyin olinadigan ifoda:

Shunday qilib, rekursiv formula shaklni oladi
.

Seriya (3.1) va rekursiv (3.2) termini uchun umumiy formulani taqqoslash shuni ko'rsatadiki, rekursiv formula hisob-kitoblarni ancha soddalashtiradi. Buni bilgan holda N=2, 3 va 4 uchun amal qilaylik
:

Seriya a'zosining qiymatini hisoblash usullari

Bir qator a'zosining qiymatini uning turiga qarab hisoblash uchun qator a'zosining umumiy formulasidan yoki rekursiv formuladan foydalanish afzalroq bo'lishi mumkin, yoki qator a'zosining qiymatini hisoblashning aralash usuli, ketma-ket a'zoning bir yoki bir nechta qismlari uchun takroriy formulalar qo'llanilganda va keyin ularning qiymatlari qator a'zosining umumiy formulasiga almashtiriladi. Masalan, - qator uchun qator a'zosining qiymatini hisoblash osonroq
uning umumiy formulasiga muvofiq
(bilan solishtiring
- takroriy formula); - qator uchun
rekursiv formuladan foydalanish yaxshidir
; - ketma-ketlik uchun rekursiv formuladan foydalanib A N \u003d X 3N ni hisoblaydigan aralash usul qo'llanilishi kerak.
, N=2, 3,… bilan A 1 =1 va B N =N! - rekursiv formula bo'yicha ham
, N=2, 3,… da B 1 =1, keyin esa - qator a'zosi
- shaklni oladigan umumiy formula bo'yicha
.

Misol 3.2.1 vazifani bajarish

0 o  X  45 o uchun e aniqlik bilan hisoblang.

ketma-ketlik muddatini hisoblash uchun rekursiv formuladan foydalanish:

,

cos X funksiyasining aniq qiymati,

taxminiy qiymatning mutlaq va nisbiy xatolari.

Loyiha 1 dasturi;

($APPTYPE CONSOLE)

K=Pi/180; //Darajadan radianga aylantiriladigan omil

Eps: Kengaytirilgan=1E-8;

X: kengaytirilgan=15;

R, S, Y, D: kengaytirilgan;

($IFNDEF DBG) //Izohlar disk raskadrovka uchun ishlatilmaydi

Write("kerakli aniqlikni kiriting:");

Write("Burchak qiymatini darajalarda kiriting: ");

D:=Sqr(K*X); // X ni radianga va kvadratga aylantirish

//O'zgaruvchilar uchun boshlang'ich qiymatlarni o'rnating

//Qator a'zolarini hisoblash va ularning yig'indisini yig'ish uchun sikl.

//Serialning keyingi a'zosining moduli Eps dan katta bo'lganda bajaring.

esa Abs(R)>Eps bajaradi

agar N<10 then //Вывод, используемый при отладке

WriteLn("N=", N, "R=", R:14:11, "S=", S:14:11);

//Hisoblash natijalarining chiqishi:

WriteLn(N:14," = Qadamlar soni",

"belgilangan aniqlik");

WriteLn(S:14:11," = Taxminiy funktsiya qiymati");

WriteLn(Cos(K*X):14:11," = Funktsiyaning aniq qiymati");

WriteLn(Abs(Cos(K*X)-S):14:11," = Mutlaq xato");

WriteLn(Abs((Cos(K*X)-S)/Cos(K*X)):14:11,

" = nisbiy xato");

Asosiy tushunchalar va ta'riflar

Cheksiz sonlar ketma-ketligi berilsin:

, … (1.1)

O'tgan yili biz raqamlar ketma-ketligini tabiiy argumentning funktsiyasi sifatida aniqladik. Bu ketma-ketlikning har bir a'zosi uning sonining funktsiyasi ekanligini anglatadi P: . Quyida biz ba'zan ko'rib chiqamiz P nolga teng, shuning uchun raqamli ketma-ketlik funktsiya sifatida aniqlanadi butun son argument ("butun" so'zlaridan).

Ta'rif 1. Ifoda

(1.2)

chaqirdi cheksiz son qatori yoki qisqasi, yaqin. Ketma-ket a'zolar ,… deyiladi raqam a'zolari; indeks bilan ifodalash P- seriyaning umumiy a'zosi.

Ketmalarni qatordan ajratish oson: qator a'zolari vergul bilan ajratilgan holda yoziladi, qator a'zolari ortiqcha belgisi bilan bog'lanadi.

Shunday qilib, qator tushunchasi cheksiz sonli hadlar holiga yig’indini umumlashtirishdir.

Agar uning umumiy termini formulasi ma’lum (berilgan) bo‘lsa, qator berilgan hisoblanadi. (1.2) qatorning umumiy hadi (1.1) ketma-ketlikning umumiy hadi bilan mos keladi va butun son argumentining funksiyasi hamdir. n, ya'ni. . Masalan, umumiy atama sifatida berilgan bo'lsa

, (1.3)

keyin, bu formulani qo'yish n= 1, 2, 3,..., seriyaning istalgan a'zosini va shu tariqa butun qatorni topish mumkin:

- ketma-ketlik a'zolari yoki qator a'zolari;

(1.4)

Raqamli qator.

Ta'rif. so'm n turkumning birinchi a'zolari deb ataladi n- Oh qatorning qisman yig'indisi va quyidagi belgi bilan belgilanadi:

Buni shunday yozish mumkin: .

Ayniqsa,

(1.2) qatorlarning barcha qisman yig'indilaridan biz raqamli ketma-ketlikni tuzamiz:

(1.7)

U deyiladi qisman summalar ketma-ketligi. Har qanday raqamlar ketma-ketligi kabi, u chegaraga ega bo'lishi mumkin, ya'ni. yaqinlashadi yoki chegarasi yo'q, ya'ni. ajralish. Qisman summalar ketma-ketligi chegarasi, agar mavjud bo'lsa, harf bilan belgilanadi S.

Ta'rif. Qator deyiladi yaqinlashish(qator birlashadi) agar bu qatorning qisman yig’indilari ketma-ketligi yaqinlashsa. Shu bilan birga, chegara S qisman yig'indilar ketma-ketligi deyiladi bu seriyaning yig'indisi, ya'ni.

. (1.8)

Yig'indili konvergent qator uchun S, tenglikni rasmiy ravishda yozishimiz mumkin:

Yig'indisi (1,8) bo'lmagan qator deyiladi turlicha. Xususan, agar , keyin qator ga ajraladi deymiz va bu holda ramziy tenglikdan foydalanamiz

.

Izoh. Tenglikdan (1.6) kelib chiqadiki, qatorning har qanday a'zosi qisman yig'indilar va ning farqi sifatida ifodalanishi mumkin:

. (1.10)

Keling, qisman yig'indilar ketma-ketligini geometrik tarzda ifodalaylik. 1.1-rasmda a va b qatorlar yaqinlashadi, 1.1-rasmda c ajraladi.

lekin) b)

1.1-rasm

Izoh 3. Ba'zan qator a'zolarining soni noldan boshlanadi: .

Raqamlar qatoriga misollar. Bir qator yig'indisini hisoblash

1-misolº.

1 + 1 + 1 + . . . + 1 + . . .

Bu yerda , .

Bu qator Þ 1 + 1 + 1 + ni ajratib turadi. . . + 1 +. . .=+¥.

2-misolº .

Odatdagidek, + va - belgilarining o'zgarishi (-1) daraja yordamida belgilanadi. Bu erda qisman yig'indilar ketma-ketligi shaklga ega:

bular. qisman yig'indining qiymati sonning paritetiga bog'liq P:

Shunday qilib, juft va toq qisman summalar ikki xil chegaraga intiladi:

hatto nolga, to birga:

1.2-rasm

Shuning uchun ketma-ketlikning chegarasi yo'q va berilgan qator ajralib chiqadi.

3-misolº .

1 + 2 + 3 + ... + n + ...

Bu farqli arifmetik progressiyadir. Eslatib o'tamiz, "arifmetika" nomi ushbu progressiyaning har bir a'zosi ikkinchidan boshlab teng bo'lishidan kelib chiqqan. arifmetik o'rtacha qo'shni a'zolar:

.

Ushbu taraqqiyotda , va qisman summalar ketma-ketligi quyidagi shaklga ega:

Misol 6º.

.

Chiqish quyida keltiriladi. Bu erda maxraj faqat toq raqamlardan iborat.

Misol 7º.

. Chiqish quyida keltiriladi.

Misol 8º.

Chiqish quyida keltiriladi. Seriyaning yig'indisi raqamga teng e- natural logarifmning asosi.

Bir qator yig'indisini hisoblash har doim ham oson emas va hatto har doim ham mumkin emas. Shuning uchun qatorlar nazariyasida ko'pincha oddiyroq masala hal qilinadi - qatorning yaqinlashishi yoki ajralib chiqishini aniqlash. U deyiladi qatorlarning konvergentsiyasini o'rganish.

Ketma-ketlik - ma'lum bir qonunga muvofiq tuzilgan, yuqori tartibli sonlar to'plami. "Seriya" atamasi tegishli ketma-ketlikning shartlarini qo'shish natijasini bildiradi. Turli sonli ketma-ketliklar uchun biz uning barcha a'zolarining yig'indisini yoki berilgan chegaragacha bo'lgan elementlarning umumiy sonini topishimiz mumkin.

Keyingi ketma-ketlik

Bu atama raqamlar fazosining berilgan elementlar to'plamiga ishora qiladi. Har bir matematik ob'ektga ketma-ketlikning umumiy elementini aniqlash uchun ma'lum bir formula berilgan va ko'pchilik chekli sonli to'plamlar uchun ularning yig'indisini aniqlash uchun oddiy formulalar mavjud. Bizning dasturimiz eng mashhur raqamli to'plamlarning yig'indisini hisoblash uchun mo'ljallangan 8 ta onlayn kalkulyatorlar to'plamidir. Keling, eng oddiyidan boshlaylik - biz kundalik hayotda ob'ektlarni hisoblash uchun ishlatadigan tabiiy seriyalar.

tabiiy ketma-ketlik

Talabalar raqamlarni o'rganishganda, ular birinchi navbatda olma kabi narsalarni hisoblashni o'rganadilar. Tabiiy sonlar ob'ektlarni sanashda tabiiy ravishda paydo bo'ladi va har bir bola 2 olma har doim 2 olma ekanligini biladi, ko'p va kam emas. Tabiiy qator n ga o'xshash oddiy qonun bilan berilgan. Formulada aytilishicha, sonlar to'plamining n-a'zosi n ga teng: birinchisi 1, ikkinchisi 2, to'rt yuz ellik birinchisi 451 va hokazo. Birinchi n natural sonni, ya'ni 1 dan boshlab yig'ish natijasi oddiy formula bilan aniqlanadi:

∑ = 0,5n × (n+1).

Tabiiy qatorlar yig'indisini hisoblash

Hisob-kitoblar uchun kalkulyator menyusida tabiiy qator n formulasini tanlashingiz va ketma-ketlikdagi atamalar sonini kiritishingiz kerak bo'ladi. 1 dan 15 gacha bo'lgan tabiiy qatorlar yig'indisini hisoblaymiz. n = 15 ni ko'rsatib, natijani ketma-ketlikning o'zi ko'rinishida olasiz:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

va tabiiy qatorlar yig'indisi 120 ga teng.

Yuqoridagi formula yordamida hisob-kitoblarning to'g'riligini tekshirish oson. Bizning misolimiz uchun qo'shish natijasi 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120 bo'ladi. To'g'ri.

Kvadratchalar ketma-ketligi

Kvadrat ketma-ketlik tabiiy ketma-ketlikdan har bir hadni kvadratga solish orqali hosil bo'ladi. n 2 qonuniga muvofiq bir qator kvadratlar hosil bo'ladi, shuning uchun ketma-ketlikning n-chi a'zosi n 2 ga teng bo'ladi: birinchisi - 1, ikkinchisi - 2 2 \u003d 4, uchinchisi - 3 2 \ u003d 9 va boshqalar. Kvadrat ketma-ketlikning boshlang'ich n elementini yig'ish natijasi quyidagi qonun bo'yicha hisoblanadi:

∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6.

Ushbu formula yordamida siz ixtiyoriy katta n uchun 1 dan n gacha bo'lgan kvadratlar yig'indisini osongina hisoblashingiz mumkin. Ko'rinib turibdiki, bu ketma-ketlik ham cheksizdir va n o'sishi bilan sonlar to'plamining umumiy qiymati ham o'zgaradi.

Kvadrat qator yig'indisini hisoblash

Bunday holda, dastur menyusida n 2 kvadrat ketma-ketligi qonunini tanlab, so'ngra n qiymatini tanlash kerak bo'ladi. Ketma-ketlikning birinchi o'nta hadining yig'indisini hisoblaymiz (n=10). Dastur ketma-ketlikni o'zi beradi:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

shuningdek, 385 ga teng miqdor.

kubik qator

Kublar qatori kubikli natural sonlar ketma-ketligidir. Ketma-ketlikning umumiy elementining hosil bo'lish qonuni n 3 shaklida yoziladi. Shunday qilib, qatorning birinchi a'zosi 1 3 = 1, ikkinchisi 2 3 = 8, uchinchisi 3 3 = 27 va hokazo. Kub qatorining birinchi n elementining yig'indisi quyidagi formula bilan aniqlanadi:

∑ = (0,5n × (n+1)) 2

Oldingi hollarda bo'lgani kabi, son fazosining elementlari cheksizlikka intiladi va hadlar soni qancha ko'p bo'lsa, yig'ish natijasi shunchalik katta bo'ladi.

Kub qatorlari yig'indisini hisoblash

Ishni boshlash uchun kalkulyator menyusida n 3 kubik qator qonunini tanlang va n ning istalgan qiymatini o'rnating. 13 ta haddan iborat qator yig’indisini aniqlaymiz. Kalkulyator bizga natijani ketma-ketlik shaklida beradi:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

va unga mos keladigan qatorlar yig'indisi 8281 ga teng.

Toq sonlar ketma-ketligi

Natural sonlar to'plami toq elementlarning kichik to'plamini, ya'ni 2 ga qoldiqsiz bo'linmaydiganlarni o'z ichiga oladi. Toq raqamlar ketma-ketligi 2n - 1 ifodasi bilan aniqlanadi. Qonunga ko'ra, ketma-ketlikning birinchi a'zosi 2 × 1 - 1 = 1, ikkinchisi - 2 × 2 - 1 = 3, uchinchisi - 1 ga teng bo'ladi. - 2 × 3 - 1 = 5 va boshqalar. Toq qatorning boshlang'ich n elementi yig'indisi oddiy formula yordamida hisoblanadi:

Bir misolni ko'rib chiqing.

Toq sonlar yig'indisini hisoblash

Birinchidan, dastur menyusida 2n−1 toq qatorning hosil bo'lish qonunini tanlang, so'ngra n kiriting. Toq qatorning dastlabki 12 ta hadini va uning yig‘indisini aniqlaymiz. Kalkulyator natijani darhol raqamlar to'plami sifatida beradi:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

shuningdek, toq qatorlar yig'indisi, ya'ni 144. Va haqiqatan ham, 12 2 = 144. To'g'ri.

To'rtburchak raqamlar

To'rtburchaklar sonlar geometrik shakllar va qattiq jismlarni qurish uchun zarur bo'lgan raqamli elementlar sinfi bo'lgan jingalak raqamlar sinfiga tegishli. Masalan, uchburchakni qurish uchun sizga 3, 6 yoki 10 ball, kvadratga - 4, 9 yoki 16 ball, tetraedrni yotqizish uchun esa 4, 10 yoki 20 shar yoki kub kerak bo'ladi. To'rtburchaklar ikkita ketma-ket raqam yordamida qurish oson, masalan, 1 va 2, 7 va 8, 56 va 57. To'rtburchaklar sonlar ketma-ket ikkita natural sonning ko'paytmasi sifatida ifodalanadi. Seriyaning umumiy terimi formulasi n × (n+1) ga o'xshaydi. Bunday raqamli to'plamning birinchi o'nta elementi quyidagicha ko'rinadi:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

N ning ortishi bilan to'rtburchaklar sonlarning qiymati ham ortadi, shuning uchun bunday qatorlarning yig'indisi ham ortadi.

teskari ketma-ketlik

To'rtburchaklar sonlar uchun 1 / (n × (n+1)) formulasi bilan aniqlangan teskari ketma-ketlik mavjud. Raqamlar to'plami kasrlar to'plamiga aylantiriladi va quyidagicha ko'rinadi:

1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110…

Bir qator kasrlar yig'indisi formula bilan aniqlanadi:

∑ = 1 - 1/(n+1).

Shubhasiz, qatordagi elementlar soni ortib borishi bilan 1/(n+1) kasrning qiymati nolga intiladi va qo‘shish natijasi bittaga yaqinlashadi. Misollarni ko'rib chiqing.

To'rtburchaklar qatorining yig'indisi va uning teskarisi

N = 20 uchun to'rtburchaklar ketma-ketlikning qiymatini hisoblaymiz. Buning uchun onlayn kalkulyator menyusida n × (n + 1) sonli to'plamning umumiy a'zosini ko'rsatish qonunini tanlang va n ni belgilang. Dastur bir lahzali natijani 3080 sifatida qaytaradi. Teskari qatorni hisoblash uchun qonunni 1 / (n × (n+1)) ga o'zgartiring. O'zaro raqamli elementlarning yig'indisi 0,952 ga teng bo'ladi.

Ketma-ket uchta sonli mahsulotlar seriyasi

To'rtburchaklar sonlar to'plamini unga boshqa ketma-ket ko'paytuvchi qo'shish orqali o'zgartirish mumkin. Shuning uchun to'plamning n-a'zosini hisoblash formulasi n × (n+1) × (n+2) ga aylantiriladi. Ushbu formulaga ko'ra, qator elementlari ketma-ket uchta sonning ko'paytmasi sifatida hosil bo'ladi, masalan, 1 × 2 × 3 yoki 10 × 11 × 12. Bunday qatorning birinchi o'nta elementi quyidagicha ko'rinadi:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Bu tez o'sib borayotgan sonlar to'plami va n o'sishi bilan mos keladigan qatorlar yig'indisi abadiylikka boradi.

teskari ketma-ketlik

Oldingi holatda bo'lgani kabi, biz n-sonning formulasini teskari qilib, 1 / (n × (n+1) × (n+2)) ifodasini olishimiz mumkin. Keyin butun sonlar to'plami bir qator kasrlarga aylantiriladi, ularning maxraji ketma-ket uchta sonning ko'paytmasi bo'ladi. Bunday to'plamning boshlanishi quyidagicha ko'rinadi:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Tegishli qatorlar yig'indisi formula bilan aniqlanadi:

∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)).

Shubhasiz, elementlar soni ortib borishi bilan 1 / ((n + 1) × (n + 2)) kasr nolga intiladi va qatorlar yig'indisi 0,5 × 0,5 = 0,25 qiymatiga yaqinlashadi. Misollarni ko'rib chiqing.

Ketma-ket uchta sonning ko'paytmalari qatori va uning teskarisi

Bu to‘plam bilan ishlash uchun umumiy element n × (n + 1) × (n + 2) va n to‘plamini aniqlash qonunini tanlashingiz kerak, masalan, 100. Kalkulyator sizga ketma-ketlikni o‘zi ham beradi. 26 527 650 ga teng yuzlab raqamlarni qo'shish natijasi qiymati sifatida. Agar teskari qonun 1 / (n × (n + 1) × (n + 2)) ni tanlasak, 100 ta shartlar qatorining yig'indisi. 0,250 ga teng bo'ladi.

Xulosa

Terminlar to‘plamini yig‘ish masalasi qatorlar nazariyasida yechilgan.

qayerda u 1, u 2, u 3 …., u n ... cheksiz sonli ketma-ketlikning a'zolari, deyiladi raqamli qator.

Raqamlar u 1, u 2, u 3 …., u n ... deyiladi raqam a'zolari, lekin u n - qatorning umumiy atamasi.

Qatorning birinchi hadlarining chekli n sonining yig'indisi qatorning n- qisman yig'indisi deyiladi.

S n = u 1 + u 2 +… + u n

bular. S 1 \u003d u 1; S2 = u 1 + u 2

S n = u 1 + u 2 +…+ u n

S n uchun qisman yig'indining chekli chegarasi mavjud bo'lsa, qator konvergent deb ataladi n, ya'ni

Raqam S qator yig'indisi deyiladi.

Aks holda:

Keyin qator divergent deb ataladi.

Malumot liniyalari.

1. Geometrik qator (geometrik progressiya)

Misol.

2. Garmonik qator.

3. Umumiy garmonik qatorlar.

Misol.

.

Belgili-musbat qatorlarning yaqinlashish belgilari

Teorema 1. Konvergentsiyaning zaruriy mezoni.

Ushbu xususiyat yordamida siz ketma-ketlikdagi farqni o'rnatishingiz mumkin.

Misol.

Etarli belgilar

Teorema 1. Seriyalarni taqqoslash belgisi.

Ikkita ijobiy qator berilsin:

Bundan tashqari, agar (2) qator yaqinlashsa, u holda (1) qator ham yaqinlashadi.

Agar (1) qator ajralsa, u holda (2) qator ham ajralib chiqadi.

Misol. Konvergentsiya uchun qatorlarni ko'rib chiqing:

Ushbu qatorni geometrik qator bilan solishtiring:

Shuning uchun, taqqoslash uchun, kerakli seriyalar yaqinlashadi.

Teorema 2. d'Alember testi.

Misol. Konvergentsiya uchun qatorlarni ko'rib chiqing:

d'Alembert testiga ko'ra, qatorlar yaqinlashadi.

Teorema 3. Koshining radikal testi.

3) uchun, konvergentsiya masalasi ochiq qoladi.

Misol: Raqamli qatorlarning yaqinlashuvini tekshiring:

Yechim:

Shuning uchun qator Koshi ma'nosida birlashadi.

Teorema 4. Koshi integral testi.

Serial a'zolariga ruxsat bering

musbat bo'ladi va o'smaydi, ya'ni doimiy o'smaydigan funktsiyaning qiymatlari f(x) da x= 1, 2, …, n.

U holda qatorning yaqinlashuvi uchun noto'g'ri integralning yaqinlashishi zarur va etarli:

Misol.

Yechim:

Shuning uchun qator ajraladi, chunki noto'g'ri integral ajralib chiqadi.

O'zgaruvchan qatorlar. Muqobil qatorning mutlaq va shartli yaqinlashuvi tushunchasi.

Qator deyiladi muqobil, agar uning shartlaridan biri ham ijobiy, ham salbiy bo'lishi mumkin bo'lsa.

Muqobil seriyalarni ko'rib chiqing:

Teorema 1. Leybnits testi (etarli test).

Agar o'zgaruvchan seriya bo'lsa

atamalar mutlaq qiymatning pasayishi, ya'ni

keyin qator yaqinlashadi va uning yig'indisi birinchi haddan oshmaydi, ya'ni. S ≤ .

Misol.

Yechim:

Biz Leybnits belgisini qo'llaymiz:

.

Shuning uchun qator Leybnits ma'nosida yaqinlashadi.

Teorema 2. O‘zgaruvchan qator yaqinlashuvining yetarli mezoni.

Agar o'zgaruvchan qator uchun uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator yaqinlashsa, u holda bu o'zgaruvchan qator yaqinlashadi.

Misol: ketma-ketlikni konvergentsiya uchun tekshiring:

Yechim:

asl qator shartlarining mutlaq qiymatlaridan umumiy garmonik qator sifatida yaqinlashadi.

Shunday qilib, asl seriyalar birlashadi.

Bu belgi yetarli, lekin shart emas, ya'ni mutlaq qiymatlardan tashkil topgan qatorlar bir-biridan ajralib tursa-da, birlashuvchi o'zgaruvchan qatorlar mavjud.

Ta'rif 1. mutlaqo konvergent, agar uning shartlarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator yaqinlashsa.

Ta'rif 2. Muqobil qator deyiladi shartli konvergent, agar qatorning o'zi yaqinlashsa, lekin uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator ajralib chiqsa.

Ularning bir-biridan farqi shundaki, absolyut yaqinlashuvchi qator uning hadlari tez kamayib borishi tufayli, shartli yaqinlashuvchi qator esa ijobiy va manfiy hadlar bir-birini yo‘q qilgani uchun yaqinlashadi.

Misol.

Yechim:

Biz Leybnits belgisini qo'llaymiz:

Shuning uchun qator Leybnits ma'nosida yaqinlashadi. Ammo uning a'zolarining mutlaq qiymatlaridan tashkil topgan qator garmonik sifatida ajralib turadi.

Shunday qilib, asl seriya shartli ravishda yaqinlashadi.

Ketma-ket yig'indisining aniq qiymatini hisoblash har doim ham imkoni bo'lmagani uchun (biz bunday muammolarni ko'rib chiqdik), berilgan aniqlik bilan qator yig'indisini taxminiy hisoblash muammosi paydo bo'ladi.

Eslatib o'tamiz, seriyaning qolgan qismi asl seriyadan olingan birinchisini bekor qilish shartlar:

Keyin, chunki konvergent qator uchun
,

konvergent qatorning qolgan qismi va qatorlar yig'indisi orasidagi farqga teng qisman summasi:

,

va etarlicha kattaligi uchun bizda taxminan tenglik bor

.

Seriyaning qolgan qismining ta'rifidan kelib chiqadiki, yig'indining aniq noma'lum qiymatini almashtirishda mutlaq xato. uning qisman summasi qatorning qolgan moduliga teng:

.

Shunday qilib, agar siz ma'lum bir aniqlik bilan ketma-ketlik yig'indisini hisoblamoqchi bo'lsangiz , keyin siz bunday raqamning yig'indisini qoldirishingiz kerak Seriyaning bekor qilingan qolgan qismi uchun quyidagi tengsizlik amal qilishi uchun shartlar tuzing:

.

Yig'indini taxminiy hisoblash usuli ketma-ketlik turiga qarab tanlanadi:

agar qator ijobiy bo'lsa va integral mezon bo'yicha yaqinlashuv tekshirilishi mumkin bo'lsa (tegishli teorema shartlarini qondirsa), yig'indini baholash uchun formuladan foydalanamiz.

;

agar bu Leybnits seriyasi bo'lsa, biz taxminni qo'llaymiz:

.

Boshqa masalalarda cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yig‘indisi formulasidan foydalanish mumkin.

Vazifa raqami 1. Seriyaning qancha shartlarini olish kerak
uning yig'indisini 0,01 aniqlik bilan olish uchun.

Yechim. Avvalo, biz ushbu ketma-ketlikni birlashtirganini ta'kidlaymiz. O'ylab ko'ring -qatorning qolgan qismi, ya'ni qatorlar yig'indisini hisoblashdagi xato:

Keling, bu qatorni cheksiz kamayuvchi geometrik progressiya yordamida baholaylik. Buning uchun har bir atamada omilni almashtiramiz ustida , har bir muddat oshib boradi:

Qavsdan umumiy koeffitsientni chiqargandan so'ng, qavs cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning a'zolaridan tashkil topgan qatorni qoldirdi, biz uning yig'indisini formula bo'yicha hisoblaymiz.

.

Belgilangan aniqlikka erishiladi, agar shartni qondiradi

.

Biz buni hisobga olgan holda tengsizlikni hal qilamiz - butun.

Da
bizda ... bor

.

Da
bizda ... bor

.

Funktsiyaning monotonligi tufayli
, tengsizlik
hamma uchun amalga oshiriladi
.

Shuning uchun, agar summaning aniq qiymati o'rniga biz birinchi besh (yoki undan ko'p) shartni olsak, u holda hisoblash xatosi 0,01 dan oshmaydi.

Javob:
.

Vazifa raqami 2. Seriya yig'indisini almashtirishda olingan xatoni hisoblang
dastlabki 100 ta shartning yig'indisi.

Yechim. E'tibor bering, bu qator yaqinlashuvchi va belgisi bo'yicha o'zgaruvchan. Biz seriyani baholaymiz
, dastlabki seriyali modullardan iborat bo'lib, bu darhol hisoblash xatosini oshiradi. Bundan tashqari, biz (taqqoslash testi yordamida) kattaroq, sodda konvergent qatorga o'tishimiz kerak bo'ladi:

.

Seriyani ko'rib chiqing . Ushbu qator teorema shartlarini - yaqinlashuvning integral mezonini qondirganligi sababli, yig'indini hisoblashda xatolikni baholash uchun biz mos keladigan formuladan foydalanamiz:

.

Noto'g'ri integralni hisoblaymiz:

hisoblash xatosi formula bo'yicha baholanishi mumkin

,

shart bo'yicha
, keyin.

Javob:
.

Vazifa raqami 3. Seriya yig'indisini almashtirishda olingan xatoni hisoblang
dastlabki 10 ta shartning yig'indisi.

Yechim. Biz yana bir bor ta'kidlaymizki, yig'indini taxminiy hisoblash muammosi faqat konvergent qator uchun mantiqiydir, shuning uchun birinchi navbatda, biz ushbu qator yaqinlashishini ta'kidlaymiz. O'rganilayotgan qator belgilarni murakkab o'zgartirish qoidasi bilan almashtirilganligi sababli, oldingi misolda bo'lgani kabi, ushbu seriyaning bir qator modullarini baholash kerak:

.

Bundan foydalanish
argumentning har qanday qiymati uchun bizda:

.

Keling, seriyaning qolgan qismini taxmin qilaylik:

.

Biz cheksiz kamayuvchi geometrik progressiyaning a'zolaridan tashkil topgan qatorni oldik, unda

,

uning yig'indisi:

,

.

Javob:
.

Vazifa raqami 4. Bir qator yig'indisini hisoblang
0,01 aniqlik bilan.

Yechim. Bu seriya Leybnits seriyasidir. Xatoni hisoblash uchun formula to'g'ri:

,

boshqacha qilib aytganda, hisoblash xatosi birinchi tashlab yuborilgan atamaning modulidan kamroq. Keling, raqam tanlaylik Shuning uchun; ... uchun; ... natijasida

.

Da
bizda ... bor

.

Da
bizda ... bor

.

Xato
, agar yig'indining qiymati sifatida dastlabki to'rtta shartning yig'indisini olsak:

Javob:
.