qayerda p bilan, J/(kg×K) – izobarik issiqlik sig’imi; r, kg/m 3 - zichlik; l, W/(m×K) - issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti; w x, w y, w z suyuqlik tezligi vektorining proyeksiyalari; kv, Vt / m 3 - suyuqlikning ichki issiqlik chiqishi hajmining zichligi.
Ish uchun (1.12) tenglama yoziladi l=const.
uchun differensial qattiq moddalar issiqlik o'tkazuvchanligining differensial tenglamasi deyiladi va sharti ostida (1.12) dan olinishi mumkin w x = w y = w z = 0, p bilan=bilan v=dan:
,
bu erda - termal diffuziya, tanadagi harorat o'zgarishi tezligini tavsiflaydi. Qiymatlar a = f(t) turli organlar uchun ma'lumotnomalarda berilgan.
Differensial tenglama issiqlik o'tkazuvchanligi
 | (1.13) |
ichki issiqlik chiqishi (ichki issiqlik manbalari bilan) bo'lgan qattiq jismlarning statsionar bo'lmagan harorat maydonini tavsiflaydi. Bunday issiqlik manbalari quyidagilar bo'lishi mumkin: Elektr tokining o'tkazgichlar orqali o'tishi paytida chiqarilgan Joule issiqlik; yadro reaktorlarining yoqilg'i elementlari tomonidan chiqariladigan issiqlik va boshqalar.
Differensial issiqlik tenglamasi (1.13) da yozilgan Dekart koordinatalari, silindr shaklida ifodalanishi mumkin (r,z, φ) va sharsimon (r, φ , ψ).
Xususan, in silindrsimon koordinatalar ( r- radius; φ qutb burchagi; z- qo'llash), issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi shaklga ega
 | (1.14) |
O'ziga xoslik shartlari
Differensial tenglama ko'plab issiqlik o'tkazuvchanlik jarayonlarini tavsiflaydi. Ushbu to'plamdan ma'lum bir jarayonni ajratib ko'rsatish uchun ushbu jarayonning deb ataladigan xususiyatlarini shakllantirish kerak o'ziga xoslik shartlari va quyidagilarni o'z ichiga oladi:
· geometrik shartlar tananing shakli va hajmini tavsiflash;
· jismoniy sharoitlar issiqlik almashinuvida ishtirok etuvchi jismlarning xususiyatlarini tavsiflash;
· chegara shartlari tananing chegarasida jarayonning shartlarini tavsiflash;
· dastlabki shartlar da tizimning dastlabki holatini tavsiflovchi statsionar bo'lmagan jarayonlar.
Issiqlik o'tkazuvchanligi muammolarini hal qilishda quyidagilar mavjud:
· birinchi turdagi chegara shartlari tana yuzasida harorat taqsimoti berilganda:
t c = f (x, y, z, t) yoki t c = const;
· ikkinchi turdagi chegara shartlari tana yuzasida issiqlik oqimining zichligi berilganda:
q c = f (x, y, z, t) yoki q c = const;
· uchinchi turdagi chegara shartlari o'rtacha harorat o'rnatilganda t va sirt va muhit o'rtasidagi issiqlik uzatish koeffitsienti.
Nyuton-Rixman qonuniga ko'ra, issiqlik oqimi sirtning 1 m 2 dan haroratli muhitga o'tkaziladi. t,
Shu bilan birga, bu issiqlik oqimi tananing chuqur qatlamlaridan 1 m 2 sirtga issiqlik o'tkazuvchanligi bilan ta'minlanadi.
Keyin tana yuzasi uchun issiqlik balansi tenglamasi shaklda yozilishi mumkin
 | (1.15) |
(1.15) tenglama uchinchi turdagi chegaraviy shartlarning matematik formulasidir.
Differensial tenglamalar tizimi yagonalik shartlari bilan birgalikda masalaning matematik formulasi hisoblanadi. Differensial tenglamalar yechimlari yagonalik shartlari yordamida aniqlanadigan integral konstantalarni o'z ichiga oladi.
Nazorat savollari va topshiriqlari
1. Issiqlik qanday o'tishini tahlil qiling issiq suv radiator devori orqali havoga: suvdan ichki yuzaga, devor orqali, tashqi yuzadan havoga.
2. Nima uchun (1.3) tenglamaning o'ng tomonida minus mavjud?
3. Bog‘likni mos adabiyotlar yordamida tahlil qiling l(t) metallar, qotishmalar, issiqlik izolyatsiyalovchi materiallar, gazlar, suyuqliklar uchun va savolga javob bering: bu materiallar uchun issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti harorat bilan qanday o'zgaradi?
4. Issiqlik oqimi qanday aniqlanadi? (Q, V ) konvektiv issiqlik uzatish, issiqlik o'tkazuvchanligi, issiqlik nurlanishi bilan?
5. Ichki issiqlik manbalari bo'lmagan uch o'lchovli statsionar harorat maydonini tavsiflovchi Dekart koordinatalarida issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasini yozing.
6. Doimiy elektr yukida uzoq vaqt davomida quvvatlangan simning harorat maydoni uchun differensial tenglamani yozing.
2. ISILIK O'TKAZISH VA ISIQLIK O'TKAZISHI
STATSION REJIMDA
2.1. Yassi devorning issiqlik o'tkazuvchanligi
Berilgan: tekis bir xil devor qalinligi δ (2.1-rasm) bilan doimiy koeffitsient issiqlik o'tkazuvchanligi λ va doimiy harorat t1 Va t2 yuzalarda.
Belgilang:
harorat maydoni tenglamasi t=f(x) va issiqlik oqimining zichligi q, Vt / m 2.
Devorning harorat maydoni quyidagi sharoitlarda differensial issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamasi (1.3) bilan tavsiflanadi:
Rejim statsionar bo'lgani uchun;
· chunki issiqlikning ichki manbalari yo'q;
· 
chunki harorat t1 Va t2 devor sirtlarida doimiy bo'ladi.
Devor harorati faqat bitta koordinataning funktsiyasidir X va (1.13) tenglama shaklni oladi
(2.1), (2.2), (2.3) ifodalar muammoning matematik formulasi bo'lib, uning yechimi bizga kerakli haroratli maydon tenglamasini olish imkonini beradi. t=f(x).
(2.1) tenglamaning integrasiyasi beradi
Takroriy integrasiya natijasida biz differensial tenglamaning yechimini shaklda olamiz
Giyohvandlik t=f(x), (2.5) ga ko'ra to'g'ri chiziq (2.1-rasm) uchun to'g'ri keladi l=const.
Devordan o'tadigan issiqlik oqimining zichligini aniqlash uchun biz Furye qonunidan foydalanamiz
Hisob bilan 
tekis devor orqali o'tadigan issiqlik oqimining zichligi uchun hisoblash formulasini olamiz,
Formula (2.6) quyidagicha yozilishi mumkin
qayerda 
Qiymat deyiladi issiqlik o'tkazuvchanligi issiqlik qarshiligi tekis devor.
Tenglama asosida
qR=t 1 – t 2
devorning issiqlik qarshiligi devor qalinligi bo'ylab harorat farqiga to'g'ridan-to'g'ri proportsional degan xulosaga kelish mumkin.
Issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientining haroratga bog'liqligini hisobga oling, l(t), agar (2.6) va (2.7) tenglamalarga qiymatlarni almashtirsak, bu mumkin. lav harorat oralig'i uchun t 1 -t 2.
Issiqlik o'tkazuvchanligini ko'rib chiqing ko'p qatlamli tekis devor, masalan, uchta qatlamdan iborat
(2.2-rasm).
Berilgan:d1, d2, d3, l1, l2, l 3, t 1 = const, t4=const.
Belgilang: q, Vt / m 2; t2, t3.
Statsionar rejimda va devor sirtlarining doimiy haroratida uch qatlamli devor orqali uzatiladigan issiqlik oqimi tenglamalar tizimi bilan ifodalanishi mumkin:
Qatlam chegaralaridagi haroratlar t2 Va t3 issiqlik oqimi zichligidan keyin (2.8) - (2.10) tenglamalar yordamida hisoblash mumkin. q) tomonidan (2.12).
dan tashkil topgan ko'p qatlamli tekis devor uchun tenglamaning umumiy shakli (2.12). P tashqi yuzalarida doimiy haroratga ega bo'lgan bir hil qatlamlar va , shaklga ega
2.2. Silindrsimon devorning issiqlik o'tkazuvchanligi
birinchi turdagi chegara sharoitida
Berilgan:
Ichki radiusli bir hil silindrsimon devor (quvur devori). r1, tashqi - r2, uzunligi , doimiy issiqlik o'tkazuvchanligi bilan λ
, doimiy sirt harorati bilan t1 Va t2.
(2.3-rasm).
Belgilang: harorat maydoni tenglamasi
t=f(r), devor orqali uzatiladigan issiqlik oqimi
Q, V.
Issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi silindrsimon koordinatalar(1.14) ushbu muammoning shartlari uchun:
shaklni oladi
(2.15) - (2.17) tenglamalar tizimini yechish tartibi yassi devordagi kabi: ikkinchi tartibli differensial tenglamaning (2.15) bosh integrali topiladi, u ikkita integral konstantasini o'z ichiga oladi.
1 dan Va 2 dan beri. Ikkinchisi chegara shartlari (2.16) va (2.17) yordamida aniqlanadi va ularning qiymatlarini differentsial tenglama (umumiy integral) yechimiga almashtirgandan so'ng, biz olamiz silindrsimon devorning harorat maydoni tenglamasi t = f (r) sifatida
Agar (2.18) tenglamaning o'ng tomonining hosilasini olib, (2.19) ga almashtirsak, hisoblash formulasini olamiz. silindrsimon devorning issiqlik oqimi
 | (2.20) |
Texnik hisob-kitoblarda issiqlik oqimi ko'pincha quvur uzunligi 1 m uchun hisoblanadi:
va chaqirdi chiziqli issiqlik oqimi zichligi.
(2.20) tenglamani quyidagicha yozamiz
qayerda 
– silindrsimon devorning issiqlik o'tkazuvchanligining issiqlik qarshiligi.
Uch qavatli silindrsimon devor uchun(ikki qatlamli issiqlik izolatsiyasi bilan qoplangan quvur) ma'lum doimiy sirt harorati ( t1 Va t4), ma'lum geometrik o'lchamlari bilan ( r1, r2, r3, r4, ) va qatlamlarning issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsientlari ( l1, l2, l 3) (2.4-rasm), issiqlik oqimi uchun quyidagi tenglamalarni yozishimiz mumkin Q:
Qatlamlar chegaralaridagi haroratlar (t 2,t3)(2.21) tenglamalardan hisoblash mumkin.
Uchun ko'p qatlamli silindrsimon devor dan iborat P qatlamlarda (2.22) formula yozilishi mumkin umumiy ko'rinish
 | (2.23) |
Samarali issiqlik o'tkazuvchanligi ko'p qatlamli silindrsimon devor uchun, shuningdek, ko'p qatlamli tekis devor uchun ko'p qatlamli devorning issiqlik qarshiligi yig'indisidan ko'p qatlamli bir xil qalinlikdagi bir hil devorning issiqlik qarshiligiga tengligidan aniqlanadi. Shunday qilib, quvurning ikki qatlamli issiqlik izolatsiyasi uchun
(2.4-rasm) samarali issiqlik o'tkazuvchanligi (eff) tengligidan aniqlanadi
2.3. Yassi va silindrsimon devorlarning issiqlik o'tkazuvchanligi
uchinchi turdagi chegara sharoitida (issiqlik uzatish)
Uchinchi turdagi chegara shartlari suyuqlikning haroratini belgilashdan iborat (t w) va issiqlik uzatish koeffitsienti () devor yuzasi va suyuqlik o'rtasida.
Issiqlikning bir suyuqlikdan ikkinchisiga ularni ajratib turadigan devor orqali o'tishi deyiladi issiqlik uzatish.
Issiqlik uzatishga misollar - bug 'qozonining trubkasi devori orqali chiqindi gazlaridan suvga issiqlik o'tkazish, issiqlik batareyasining devori orqali issiq suvdan atrof-muhit havosiga o'tish va boshqalar.
Sirt va vosita (sovutuvchi) o'rtasida issiqlik almashinuvi bo'lishi mumkin konvektiv sovutish suyuqligi suyuqlik (suv, moy va boshqalar) bo'lsa yoki radiatsion-konvektiv issiqlik konvektiv issiqlik uzatish va radiatsiya orqali uzatilganda, agar sovutish suyuqligi gaz (tutun gazlari, havo va boshqalar) bo'lsa.
Keling, sirtlarda faqat konvektiv issiqlik o'tkazuvchanligi sharoitida tekis va silindrsimon devorlar orqali issiqlik uzatishni ko'rib chiqaylik. Sirtlarda radiatsion-konvektiv issiqlik uzatish (murakkab issiqlik uzatish) bilan issiqlik uzatish keyinroq ko'rib chiqiladi.Vt / m 2 issiqlik uzatish (Q)
agar a 1 Va a 2 solishtirish mumkin.
Ko'p qatlamli silindrsimon devor orqali issiqlik uzatish formula bo'yicha hisoblanadi
| (2.35) |
qayerda F1 Va F2 ko'p qatlamli silindrsimon devorning ichki va tashqi yuzalarining maydonlari.
zx
4-MA'RUZA
Har xil koordinatalar sistemalarida issiqlik o'tkazuvchanligi muammolari.
Dekart tizimi koordinatalar
T
T
T
q
i
j
k
T T x, y, z, t
y
x
x
y
T
T T T
c
qV
t x x y y z z
c
T T
qV
t x x
(1)
(2)
(3)
Amalda ko'pincha tenglamani yozish zaruriyatiga olib keladigan bunday shartlar mavjud
issiqlik o'tkazuvchanligi boshqa shaklda, eritma va uning fizikasini ifodalash uchun qulayroqdir
talqinlar.
Tenglama turiga bog'liqligi
ishlatiladigan tizimdan
koordinatalar chiqarib tashlanishi mumkin,
operator belgilaridan foydalanish
1T
q
T V
da
2
x
2
2
y
2
2
z2
a c
T
c
div gradT qV
t
yoki
c
T
TqV
t
(4)
Issiqlik chiqarish va energiyani saqlashni ifodalovchi atamalar ga nisbatan o'zgarmasdir
koordinata tizimlari (ya'ni, o'zgarmagan); lekin hosil bo'lgan o'tkazgichni ifodalovchi atamalar
issiqlik oqimi geometriyaga va shuning uchun koordinatalar tizimiga bog'liq. Silindrsimon koordinatalar tizimi
z
c
dr
r
dz
r, z
z
x
T
divq q
t
q T
x r cos
y
r, z
(5)
y r gunoh
(6)
1 1 2
2
r 2 2 2
r r r
z
d
y
dr
d
dy
dx
z
qr
(7)
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r 2 2 2
a t r r r
z
x
1 T 1 T
r
qV
a t r r
T
1T
T
; q
; qz
r
r
z
a
(9)
T Ts
c
(8)r ,
Sferik tizim koordinatalar
z
dr
r ,
r
d
x
1T
divq q
da
q T
y
1 2
1
1
2
2r
2
gunoh
2
r gunoh 2
r r r gunoh
T
1T
1T
; q
; q
r
r
r gunoh
(10)
1 T 1 2 T
1
T
1
2T qV
2r
2
gunoh 2
2
a t r r r r gunoh
r gunoh
(11)
d
qr
1 T 1 2 T qV
2r
a t r r
x r sin cos
y r gunoh gunoh
z
(12)
z r cos
y
x Kanonik shakldagi jismlar uchun issiqlik o'tkazuvchanlik tenglamalari
Turli koordinata tizimlarida tenglamalarni yozish ayniqsa qulay,
kanonik jismlardagi harorat taqsimotini topish kerak bo'lganda
shakllar - silindrda yoki to'pda. Bunday hollarda tenglamalar mohiyatan
harorat maydoni bo'lganda, maxsus shartlarni belgilashda soddalashtiriladi
faqat bitta koordinataga bog'liq.
parallelepiped
plastinka
silindr
shar
c
T T T T
qV
t x x y y z z
1 T 2T qV
2
a t x
qe
1 T 1 T qV
r
a t r r
1 T 1 2 T qV
r
2
a t r r
T Ts
z
y
x 1 T 1 n T qV
r
n
a t r r
Oxirgi uchtasi
tenglamalar birgalikda:
n 0
n 2
n 1 silindr
samolyot
T T0
T* T0
t
t*
(13)
shar
r
r*
1 1n
qV
n
Fo
Stol ustida
Furye raqami
da*
Fo 2
r*
qV1:
da*
da
1: 2
2
r*
r*
(14)
qV r*2
qV
T* T0
q
T* T0 V r*2
1n
1
n
Fo Har xil koordinatalar sistemalarida issiqlik o'tkazuvchanligining statsionar masalalari
Silindrsimon devor: statsionar issiqlik o'tkazish jarayoni
ichki radiusi r1 bo'lgan silindrsimon devor (quvur);
d1 2r1
r1
1 T 1 T 1 2T 2T qV
r
a t r r r 2 2 z 2
r2
Te1
2
1
T1
d1
T2
Te 2
dT
u
dr
du 1
u 0
Doktor-r
T C1 log r C2
q
d2
(17)
dT
C
1 (18)
dr
r
d 2T
1dT
0
2 dr
dr
(15)
ln u ln r ln C1
(16)
Maxsus issiqlik oqimi emas
qalinligi doimiy va kamayib boradi
tashqi yuzasiga qarab
Statsionar sharoitda umumiy issiqlik oqimi o'tadi
uzunligi l va teng bo'lgan silindrsimon trubaning kesimi
Q q F q 2 rl
Maxsus issiqlik oqimi
radius bilan kamayadi
!!!
(19)
Sirt maydoni
radius bilan ortadi
Quvurning qalinligi bo'ylab harorat doimiy bo'lsa ham, chiziqli bo'lmagan holda o'zgaradi
issiqlik o'tkazuvchanligi
Integratsiya konstantalarini chegara shartlaridan topish mumkin.
r r1: T T1; r r2: T T2
T1 C1 log r1 C2,
Chiziqli tizim
tenglamalar
T2 C1 log r2 C2,
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
q
Q
Chiziqli issiqlik oqimi
qp
(20)
dT
C
1
dr
r
dT
T
l 2 r
2 l,
dr
log r2 r1
Seshanba
Q
2
T , T T1 T2
l ln r2 r1
(21)
(22)
(devor harorati noma'lum)
T C1 log r C2
Biz ham shunday qila olamiz:
r r1:
Keling, buni boshqacha qilaylik:
(23)
T
T
1e T Te1; r r2:
2e Te2 T
r
r
Uzunlik birligiga konvektiv issiqlik oqimi
quvurlar chiziqli issiqlik oqimiga teng bo'lishi kerak
issiqlik o'tkazuvchanligi tufayli:
qp 1e Te1 T1 2 r1
2
T1 T2
qp
log r2 r1
qp Kc Te1 Te2
1
Kc
, Vt/(M K)
1
1r
1
ln 2
2 1e r1 2 r1 2 2e r2
qp 2e T2 Te2 2 r2
Uchun issiqlik uzatish koeffitsienti
silindrsimon devor
Rc
1
1
1r
1
ln 2
Kc 2 1er1 2 r1 2 2er2
tekis devor
R
1 l 1
1 2
1 l 1
K
1
2
1
Vt/(M2 K)
(23) tenglamalar sistemasidan topishimiz mumkin
va devor harorati va o'rniga (20)
To'liq termal
quvur qarshiligi
(24)
(25)
(26)
Hajmi
dan farq qiladi
uchun K o'lchami
tekis devor!
T log r2 r T2 log r r1
T1
;
log r2 r1
mumkin
Stol ustida O'lchovsiz o'zgaruvchilarda
r1
d2
d
r2
2
1d
0
d
(27)
d
Bi
d
(28)
r1 r2:
Te1
2
1
d1
d2
Vazifa
uyda:
1:
T Te 2
r
; r* r2
Te1 Te2
r2
d
Bi 1
d
(29)
2er2 1e
Bi
2e
C1 jurnali C2
Te 2
C1
Bi C1 ln C2
C1 Bi C2 1
(30)
A) Ehtiyotkorlik bilan o'lchamsiz o'zgaruvchilarga o'ting
B) Tizimdan integrasiya konstantalarini toping (30)
B) uchun qurish turli qiymatlar parametrlari
10.
Prinsiplarizchil
Va
parallel
zanjirdagi termal qarshiliklarning ulanishlari,
to'rtburchaklar shaklidagi tekis devor uchun amal qiladi
koordinatalar tizimi muammosiga ham qo'llanilishi mumkin
ichi bo'sh silindrda issiqlik o'tkazuvchanligi.
Elektr analogiyasi
2
Q
1
Q
T0
r3
r2
r1
T1
T2
Ts
RT
log r2 r1
2l
Suyuqlik quvurda oqadi, R 1 1
0
F 2 r1l
izolyator bilan qoplangan
material
dT
T
l 2 r
2l,
dr
log r2 r1
T
Q
,
log r2 r1 2 l
shaklida
Ohm qonuni
Termal qarshilik
ichi bo'sh silindr
konvektiv termal
suyuqlik qarshiligi
Biz suyuqlikning konvektiv qarshiligini ikkita bilan ketma-ket bog'laymiz
Supero'tkazuvchilar termal qarshiliklar. Agar suyuqlikning harorati va harorati berilgan bo'lsa
tashqi yuza:
T0 Ts
T
Q
LEKIN)
R
to'la
r
r
1
1
1
ln 2
ln 3
2 1r1l 2 l 1 r1 2 l 2 r2
(31)
Qarshilik
izolyatsiya
Agar ichki va tashqi yuzalarning haroratlari berilgan bo'lsa
B)
T
Q
Rfull
T1 Ts
r
r
1
1
ln 2
ln 3
2 l 1 r1 2 l 2 r2
(32)
11.
Misol1 185
Issiqlik o'tkazuvchanligiga ega alyuminiy quvurda
Vt / (m K), suv bug'lari oqadi
◦
110 S haroratda quvurning ichki diametri 10 sm, tashqi diametri 12
Te
qarang Quvur haroratli xonada joylashgan
30◦S; koeffitsienti
e
quvurdan konvektiv issiqlik uzatish
havoga
15 Vt/(m2K) ga teng. 1) Majburiy
quvur issiqlik izolyatsiyalanmagan bo'lsa, quvur uzunligi birligiga issiqlik oqimini toping.
2) Quvurdan issiqlik yo'qotilishini kamaytirish uchun u issiqlik izolyatsiyasi qatlami bilan qoplangan
(2 0,2 Vt / (m K)) 5 sm qalinlikdan uzunlik birligiga issiqlik oqimini toping
issiqlik izolyatsiya qilingan quvur. Faraz qilaylik, konvektiv termal
bug 'qarshiligi ahamiyatsiz.
Yechim. Issiqlik izolyatsiyasi bo'lmagan quvur uchun eng muhimi
quvurning o'zi va konvektiv termal o'tkazuvchan issiqlik qarshiligi
xona havosiga qarshilik. Buyon konvektiv termal
bug 'qarshiligini e'tiborsiz qoldirish mumkin, ichki yuzaning harorati
quvurlar bug'ning haroratiga teng. Quvurning uzunligi birligiga issiqlik oqimi dan kelib chiqadi
munosabatlar T.T
110 30
80
q
0
e
log r2 r1
1
2 1
2 r2 e
ln 6 5
1
2 185 2 0 ,06 15
1,57 10
4
0 ,177
452 Vt/m.
Issiqlik izolyatsiyasi bo'lgan quvur uchun siz issiqlik qarshiligini qo'shishingiz kerak
issiqlik izolatsiyasi va issiqlik oqimi uchun nisbat shaklni oladi
q
T0 Te
80
138
ln r3 r2 1,57 10 4 0,096 0,482
log r2 r1
1
2 1
2 r3 e
2 2
Vt/m
12.
Ko'p qatlamli silindrsimon devorqc
Tn T1 1
n
d
1
log i 1
2 i
di
, d i 2r1
qc
men 1
Kontseptsiya o'z kuchini saqlab qoladi.
ekvivalent koeffitsient
issiqlik o'tkazuvchanligi
ek
log d n 1 d1
n
men 1
T1
T2
1
(33)
T3
2
(34)
1 d va 1
ln
men
r1 d1 2
... ...
Tn 1
n 1
Tn
n
Tn 1
r2 d2 2
Harorat Ti 1
Ti 1 Ti
2 ekviv T1 Tn 1
log d n 1 d1
i-chi va i+1-qatlamlar orasidagi chegarada
qc 1 d 2 1 d3
1d
ln ln ... ln i 1
2 1 d1 2 d 2
i
di
(35)
Issiqlik uzatish koeffitsienti:
Kc
1
1
1d1
n
men 1
1 di 1
1
ln
2 i di 2 d 2
(36)
13.
r1
Quvurdagi radial issiqlik oqimi logarifmga teskari proportsionaldir
tashqi radius (radial o'tkazuvchanlikning qarshiligi ortadi);
r2
Tashqi yuzadan issiqlik tarqalishi bunga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir
radius (sovutish yuzasining maydoni oshadi)
qc K c Te1 Te 2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
Shuning uchun, ma'lum bir radius mavjud, at
issiqlik yo'qotilishi eng katta bo'lgan joyda.
Agar qattiq (kichik) ichki radius uchun, oshiring
quvur devorining qalinligi (ya'ni, tashqi radius r2 ni oshirish), keyin harakat
termal qarshilik formulasida logarifm ko'proq bo'ladi
kattaroq ichki radiusga qaraganda kuchliroq
14.
Issiqlik izolyatsiyasining kritik diametriqc Kc Te1 Te2
Kc
1
,
1
1r2
1
ln
2 1r1 2 r1 2 2 r2
dqc
0
dr2
Ekstremal holat:
beradi
r2*1
2
Kritik radius
Nolinchi ichki qarshilikning maxsus holati, 1 1 0
y
q
2 Te1 Te 2
1
r
,x2,
ln x x
r1
2r1
(38)
0 Tashqi qarshilik ham nolga teng
r1 r2
Devor qalinligi 0 ga teng
1:x2r2
Berilgan ichki radius uchun kritikning qiymati
oshsa, tashqi radius ortadi
quvurning issiqlik o'tkazuvchanligi yoki koeffitsient kamaysa
tashqi yuzada issiqlik uzatish
(37)
Bi 1
15.
izolyatsiyaKritik tashqi radiusning mavjudligi at
odatiy g'oyalardan farqli o'laroq, ba'zi haqiqiy sharoitlar,
izolyatsiya qilingan quvurning issiqlik yo'qotilishi aslida kamayishi mumkin
izolyatsiya qalinligini kamaytirish orqali
d1
d2
Ikki qatlamli quvur uchun umumiy termal qarshilik, uning kesimi
rasmda ko'rsatilgan, formula bilan aniqlanadi
d3
Rc
1 2
quvur
Vaziyat
ekstremal:
d2 d3*
d3 d2
(39)
- izolyatsiya qalinligi
Izolyatsiyaning issiqlik o'tkazuvchanligining issiqlik qarshiligi (I) ortishi bilan ortadi
izolyatsion qoplamaning qalinligi; issiqlik uzatish izolyatsiyasining issiqlik qarshiligi
(II) - tushadi (issiqlik o'tkazuvchanligi oshishi sababli)
dRC
1
1
0
dd3 2 2 d3 2 d 32
Rc
d2 d3*
1
1
1d2
1d3
1
ln
ln
K c 1d1 2 1 d1 2 2 d 2 2 d3
II
(men)
d3*
22
8 32
0
d3 * 2 2
2
ga bog'liq emas
d2
(40)
(ya'ni, quvur liniyasining diametriga bog'liq emas)
Kritik nuqtada umumiy termal
qarshilik minimal!
izolyatsiya qalinligini oshirish issiqlik uzatishni kamaytiradi
tanlangan qoplamani qo'llash dastlab o'sishga olib keladi
issiqlik uzatish va faqat kritik diametrga erishilganda, issiqlik oqimi bo'ladi
pasayish; keyin u izolyatsiyasiz bo'lgan qiymatga etadi va shundan keyingina
kerakli effektga olib keladi.
16.
Ichi bo'sh to'p uchun muammo(to'p devori)
d 2T
dr
2
2dT
0
r dr
(41)
Biz fazoviy bir o'lchovli statsionarni ko'rib chiqamiz
berilgan bilan sharsimon devorda issiqlik o'tkazish muammosi
ichki va tashqi yuzalarning radiuslari. Bir o'lchovlilik
muammo devordagi harorat taqsimotini bildiradi
faqat radiusga bog'liq
O'zgartirish orqali
o'zgaruvchilar
r1
dT
u
dr
du
2u
Umumiy qaror
dr
r
C
C
dT C1
ln u 2 ln r ln C1; u 21; T r 1 C2;
2
r
Doktor-r
r
r2
Birinchi turdagi chegara shartlari
r r1: T T1
C1
C2
r1
T 1 r 1 r2 T2 1 r1 1 r
T r 1
1 r1 1 r2
r r2: T T2
(42)
Issiqlik oqimining zichligi
Umumiy issiqlik oqimi
Q
T1
T2
C1
C2
r2
(43)
(44)
dT
r2
T1 T2
q
2C1
dr
1 r1 1 r2
r
(45)
dT
4
T1 T2
4 r 2 4 C1
dr
1 r1 1 r2
(46)
17.
Uchinchi turdagi chegara shartlariT r
Umumiy qaror
o'zgarmaydi
C1
C2
r
T
r r1: -
1TTe1
r
T
r r2: -
2 Te2 T
r
(47)
2r2 C1 2r22C2 2r22Te2
C1
1r1
1r12
2 r22
2r2
r1
r2
1r1 C1 1r12C2 1r12Te1
1r12 Te 2 Te1
dT C1
2
Doktor-r
C2
(48)
Umumiy issiqlik oqimi Q emas
joriy radiusga bog'liq
1r1 T 1r12 T
2 r2 e 2 2 r22 e1
1r1 1r12
2 r2 2 r22
(49)
Berilgan haroratlar bilan muhitning ideal issiqlik uzatish chegarasida va
sferik devor (ya'ni cheksiz issiqlik uzatish koeffitsientlarida) bilan muammoni hal qilish
uchinchi turdagi chegara shartlari chegaraviy shartli masalani yechishga o‘tadi
birinchi turdagi shartlar.
4
Q
T T
1 1 1 2
r1 r2
=
issiqlik oqimi,
4 r1 2 1 Te1 T
ga kelish
ichki devor
=
issiqlik oqimi,
4 r 2 2 2 T Te 2
ketish
tashqi devor
18.
Sferik devorda haroratning taqsimlanishiuchinchi turdagi chegara shartlari uchun
Uylar:
hammasini o'ynang
yechim
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
T r
1 1
r1 r2
Devor harorati:
T1
r12 1Te1 s Te 2
2Te1
r2 2
r12 1
s 1 2 r12 1
r
2 2
r12 1
r12 1
s Te 2 2 Te1
r2 2
2
r1 1 2
s 1 2 r1 1
r
2 2
r12 1Te 2
T2
To'p devorining o'tkazuvchanligi:
s
1 1
r1 r2
r1r2
r 2 r1
19.
O'lchovsiz shakldagi eng oddiy masalalar yechimlariKanonik shakldagi jismlar uchun statsionar masalalarning yechimlarini to'playmiz
birinchi turdagi chegara shartlari birgalikda
T p T1 T1 T2
r
r2
Uy: O'ynang!
Tc
1 1
1 1
T1 T2
r r
r1 r
2
Ts
1 1
r1 r2
T1 log r 2 r T 2 log r r1
l n r 2 r1
T T2
T1 T2
r
r2
0,8
p1
ln
ln
1 1
1
1
1 1
c
p
0 1
0,6
r2
1
r1
2
0,2
0,0
0,0
Yassi devorda sifat taqsimoti
harorat (chiziqli) unga bog'liq emas
qalinligi. Ammo silindrsimon va sharsimon -
radiusga qarab nochiziqli o'zgaradi;
xarakter
taqsimlanishi (egri chiziqning egriligi) ga bog'liq
tashqi va ichki radiuslarning nisbati.
1
3
0,4
0,2
0,4
0,6
0,8
Kvartirada haroratni taqsimlash
(1), silindrsimon (2) va shar (3)
devor. qattiq chiziqlar
;
10
nuqtali chiziqlar - . besh
20.
Uchinchi turdagi chegaraviy shartlar bo'lsa, eng oddiy masalalarning echimlariissiqlik uzatishni tavsiflovchi parametrlarga bog'liq.
Xuddi shu issiqlik uzatish koeffitsientlari uchun.
T Te 2
Te1 Te2
r
r2
1 2
0,8
plastinka uchun
1
p 1 1 2
1 1
2 Bi
2
1
2 Bi
silindr uchun:
0,6
3
0,4
3
1
2
0,2
1 2 log 2 log
ln
1 1
2
1 milliard
1 milliard
c
shar uchun:
s
1
1 1 1 2
1
1 Bi 1
1 1 Bi
2
Bi
r1
1
1 1 Bi
0,0
0,2
0,4
0,6
1
0,8
2
Harorat taqsimoti
tekislikdagi koordinata bo'ylab (1),
silindrsimon (2) va sharsimon
(3) sharoitlarda devorlar
konvektiv issiqlik uzatish.
Qattiq chiziqlar - Bi 2 ;
nuqta - Bi 1 0
21.
Misollar: Dyuar shishasiOksid plyonkasi bilan qoplangan metall zarracha
Uy vazifasi:
1. Ikki qavatli haroratni taqsimlash masalasini tuzing
sferik qobiq uning konvektiv sovutish paytida, material yordamida
ma'ruzalar. Qatlamlar orasidagi termal aloqa ideal deb hisoblanadi. Qo'rg'oshin
muammoni o'lchovsiz shaklga o'tkazish. Aniq analitik yechimni yarating
bu vazifa.
2.*Koptokning ichki va tashqi yuzalarining haroratini hisoblang
1-muammodagi qobiqlar, shuningdek, kontaktdagi harorat; to'liqligini aniqlang
haroratlar deb faraz qilgan holda, to'pning sirtini tark etadigan issiqlik oqimi
qobiq ichidagi muhit - 175 S, harorat muhit- 25 S;
issiqlik uzatish koeffitsientlari bir xil va teng - 28,8 kkal / (m2 soat deg);
ichki va tashqi qobiq radiuslari - 3 sm va 5 sm, qalinligi
ichki qobiq - 25 mm. Ichki qobiqdan yasalgan
issiqlik o'tkazuvchanligi 1,45 kkal / (m soat deg) bo'lgan material; tashqi
issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti 0,137 kkal / (m h deg) bo'lgan material. Qanday
issiqlik oqimi tashqi qalinligining o'zgarishi bilan o'zgaradi
25 mm dan 300 mm gacha bo'lgan qobiqlar?
22.
d 2T
Te 2
2
T1
Te1
T2
1
xmax
qV
0;
2
dx
G.u. birinchi turdagi: r r1:
qV const
T T1;
(1)
r r2:
T T2 (2)
G.u. uchinchi tur:
r r1:
-
T
1 T Te1;
r
r r2:
-
T
2 Te2 T
r
Yechimning birinchi "yo'li":
Muammo elementar integratsiya orqali hal qilinadi:
qV x 2
T x
C1xC2
2
dT
q
V x C1;
dx
(4)
Umumiy yechimni CG ga almashtirib, biz integrasiya konstantalarini topamiz.
Maksimal sirtlardan biroz masofada joylashgan.
Maksimal pozitsiyani shartdan topish mumkin (ekstremal holat)
dT
q x
V C1 0
dx
(5)
dT
0
dx
(3)
23.
Ichki issiqlik manbalari bilan vazifalarISITILIK O'TKAZIShI HACIMI ISSIQLIK BO'LGAN YASSI DEVR
Te 2
2
T1
Te1
1
2
1
Keling, buni biroz boshqacha qilaylik. (Ikkinchi yo'l
yechimlar)
qV x 2
T x
C1xC2
umumiy
yechim
2
(4)
Koordinatalarning kelib chiqishini bu yerga joylashtiramiz
harorat maksimal
T2
1; 2
- maksimaldan plastinkaning chetlarigacha bo'lgan masofa
0
C10
O'ng tarafdagi chegara shartini quyidagicha qayta yozamiz:
x2:
dT
dx
2
2 T Te 2
2
2
q
V
2
2 C2
Te 2 qV 2
2
(6)
X=0 tekislikni issiqlik izolyatsiyalangan deb hisoblash mumkinligi sababli, barcha issiqlik ajralib chiqadi
vaqt birligida o'ngdagi plastinka atrof-muhitga yo'naltirilishi kerak
o'ng devordan issiqlik uzatish orqali. Aks holda, shart buziladi
statsionarlik
qV 2 - vaqt birligi uchun qalinligi \u003d 1 bo'lgan plastinka hajmida chiqariladigan issiqlik miqdori
Chapda - plastinka yuzasining birlik maydoniga issiqlik uzatish oqimining ifodasi
24.
Qalinligi bilan plastinkaning chap qatlami uchun xuddi shunday fikrlash1 2
ifodaga olib keladi
2
q
V
2
1 C2
Te1 qV 2
2
(7)
Tengliklardan (6), (7) foydalanib, biz pozitsiyani topamiz
maksimal
2
2 1 2 Te1 Te 2 qV 2 1 2
2kV 1 2 1 2
(8)
Doimiy C2 ni aniqlab, (tengliklarning istalgani mos keladi), biz umumiy yechimni topamiz.
Agar u eng oddiy shaklni oladi
1 2 ;Te1 Te2 Te
1 2 2
keyin
qV qV 2
C2
Te
2
8
Va
2
q
qV
2
T x
x V Te
2 2
2
(9)
(10)
qV 2 qV
Qanchalik past bo'lsa, plastinkaning issiqlik o'tkazuvchanligi shunchalik yuqori bo'ladi
Tmax T x 0
Te
8
2
q
Devorning harorati Ts T1 T2 V Te issiqlik uzatishning yomonlashishi bilan ortadi
2
25.
Birinchi turdagi chegara shartlariT1
2
1
T2
0
kv 22
C2 T2
2
dT
dx
2 T1 T2
2 1
2
qV 2
(11)
qV 2 2
C2 T1
2
2
qV 2 T1 T2
2
T x T2
x
1
2
2 2
qV
Juda katta qiymatlar uchun
x2:
qV x 2
T x
C1x C , C1 0 (4)
2
2
Uchinchi turdagi chegaraviy shartlar chegaraviy shartlarga aylanadi
birinchi turdagi shartlar. Shuning uchun bizda bir xil yechim bor
oldingi yechimdan foydalaning
2 T Te 2
2
(12)
T x T2 T2e
2
(13)
Demak, uchinchi turdagi chegaraviy shartli simmetrik masaladan (10) topamiz.
2
qV
2
T x
x Ts
2 2
Tmax T x 0
q
V Ts
8
2
Harorat
devorlar
(14)
Xuddi shu tenglik oldingi yechimdan kelib chiqadi, agar devor harorati teng bo'lsa
26.
Bir xilda isitiladigan cheksiz qattiq silindrni ko'rib chiqing (yoki
sovutilgan) yon yuzadan. Issiqlik manbai silindrning hajmida joylashgan
doimiy intensivlik. Buning uchun harorat taqsimotini topish talab qilinadi
belgilangan rejim.
d 2T 1 dT q
dr
u dT dr
2
r dr
q r
du
r
u V 0
dr
V
yoki
0
(1)
d ru qV r
0
dr
qV r 2
uz
C1
2
q r C
dT
V 1
dr
2
r
Umumiy qaror
Birinchidan
integral
(3)
qV r 2
T
C1 log r C2
4
Markazdagi holat
qattiq silindr
dTdr0; r0
(2)
(4)
C10
27.
Volumetrik issiqlik tarqalishiga ega silindrdT
T Te
r R
dr
qV 2
qV R
2
qV R qV R 2
T
R
r
Te
C2
Te
4
2
2
4
q
qR
qR
Tmax V R 2 V Te
Ts V Te
4
2
2
Tashqi holat:
Silindr yuzasida issiqlik oqimining zichligi:
silindr yuzasidan umumiy issiqlik oqimi:
q Ts Te
QqF
(5)
(6)
(7)
qV R
2
qV R
2 Rl qV R 2l
2
Volumetrik issiqlik chiqishi bilan silindrni sovutish muammosi, ichida
Xususan, katodlarda harorat taqsimotini topish uchun qiziqish,
ion oqimlarini hosil qilish uchun plazma mash'allarida ishlatiladi. Amalda
Ilova, bu muammoni quyidagicha qayta shakllantirish mumkin: quvvatni toping
Agar bu talab qilsa, katodni sochish uchun etarli manba
katod materialining erish nuqtasiga erishing
Umumiy yechim (4) yordamida haroratning qalinligi bo'yicha taqsimlanishini topish mumkin
ichi bo'sh silindrning devorlari yoki himoya qatlami bilan qoplangan silindrning qalinligi bo'yicha
(biz bundan keyin ham ko'rib chiqamiz). Birinchi holda, siz ichki yuzada shartlarni o'rnatishingiz kerak
silindr. Ikkinchi holda, interfeysda qo'shimcha shart talab qilinadi
turli xil xususiyatlarga ega bo'lgan ikkita material, ya'ni. to'rtinchi turdagi chegara sharti.
28.
Volumetrik issiqlik tarqalishiga ega sharqV r 2 C1
Uyda: ko'rsatish
T
C2(2)
(1)
umumiy yechim nima
6
r1
dr2
(1) (2) shaklga ega
dT
Shartlar:
dTdr0; r 0 va dr T Te; r R
q
q
C1 0 ni bering va
C2 Te V R V R 2
3
6
2
qV
qV 2 r (3)
T Te
R
R1
3
6
R
q
q
Tmax Te V R V R 2 (4)
Maksimal harorat
3
6
q
q
Sirt harorati
Ts Te V R V R 2 (5)
3
6
R2dT
1
Sirt orqali umumiy issiqlik oqimi
Q
R 3qV
4 dr r R 3
to'p
qV R
qV 2 qV R
T
Te
Tmax
R
Te
silindr
s
2
4
2
Taqqoslash
d 2T
2 dT qV
0
r dr
Yassi qatlam Tmax
qV qV 2
Te
2
8
q
T s V Te
2
bilan (4), (5)
29.
Misol 1. O'tishi mumkin bo'lgan maksimal tokni topingdiametri 1 mm bo'lgan alyuminiy sim (l = 204 Vt / (m K)), shuning uchun u
harorat 200 C dan oshmadi sim bilan havoda to'xtatilgan
harorat 25 C. simdan konvektiv issiqlik uzatish koeffitsienti
havo 10 Vt/(m2 K). Elektr qarshiligi Re/l birlik uchun
sim uzunligi 0,037 ohm / m.
Yechim. Quyidagi formuladan (66) foydalanamiz
qV
Re I 2
R2l
Tmax
qV R R
I 2 Re
Te
1
Te
2
2
2Rl
R
1 2
Biz jismoniy miqdorlarning berilgan qiymatlarini almashtiramiz:
200 25
I
2
2 1 0 3
Bu erdan biz hozirgi kuchni topamiz:
1 0 3 2 1 0
0,0 3 7 1
2 204
2 10
Men 12.2A
30.
Izolyatsiya bilan telMuammoning qat'iy matematik formulasi:
d 2T1
dr
2
d 2T2
Birinchi shart - simmetriya sharti;
ikkinchisi termal ekanligini aytadi
sim va izolyatsiya o'rtasidagi aloqa
mukammal, uchinchisi mos keladi
bilan konvektiv issiqlik almashinuvi simlari
atrof-muhitdan izolyatsiya.
dr
2
1dT2
0
r dr
r0: dT dr0
r R: 1
r R
(1)
R r R
(2)
(3)
dT1
dT
2 2 ; T1 T2
dr
dr
r R: 2
Muammoning umumiy yechimi:
1 dT1 qV
0
r dr
1
dT2
T2 Te
dr
qV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
T2 C3 l n r C 4
(4)
(5)
Uyda: ko'rsatish
adolat
31.
Izolyatsiya bilan telqV r 2
T1
C1 l n r C 2
4 1
Muammoning umumiy yechimi:
T2 C3 l n r C 4
(3) shartdan bizda:
C10
qR
C
1 V 2 3
R
2 1
Shartlar (4) beradi:
qV R 2
C3
2 2
qV R 2
qV R 2
C2
l nR C 4
4 1
2 2
Shart (5) quyidagilarni nazarda tutadi:
qV R 2
C3 2 qV R 2
2
ln R C 4 Te
R
R22
2 2
Biz topamiz:
qV R 2
qR
C 4 Te
l n R V
2 2
2
qV R 2 2 1 qV R 2 R
C 2 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R
32.
Shuning uchun, izolyatsiya bilan simdagi harorat taqsimotiformulalar bilan tavsiflanadi
qV R 2 2 1 qV R 2 R qV r 2
T1 Te
ln
1
4 1 R 2 2
R41
Va
qV R 2 2 qV R 2 R
T 2 Te
ln
2 2 R
2 2
r
Yakuniy yechimni quyidagi shaklda taqdim etamiz:
T Te
men men
T Te
qV R 2
T Te
1
r
R
1
Bi K
2
1 1 2
jurnal 1
4
K2
4
2
K K 1
ln
2Bi
2
Sirtdan issiqlik oqimini aniqlang
dirijyor
q T2 R Te
Q R2l T2 R2 Te
K Bi 1
K Bi 1
Uyga boring
o'lchamsiz o'zgaruvchilar
0 1
Bi
1 1
K
Q
R2 2 l T* Te
1
2
R
2
K
Bi
- izolyatsiya oqim o'tkazuvchi o'tkazgichdan issiqlikni olib tashlamaydi
- ichidagi issiqlik yo'qotilishi tufayli o'tkazgichning mumkin bo'lgan sovishi
muhit
R
33.
Misol 2. Diametri 1 sm bo'lgan uzun alyuminiy simni bo'ylab qilaylikoqayotgan elektr toki oqim kuchi 1000 A. Tel qatlam bilan qoplangan
3 mm qalinlikdagi rezina izolyatsiya (l2=0,15 Vt/(m K)). Harorat
izolyatsiyasining tashqi yuzasi 30 C. Ichki haroratni toping
izolyatsiya yuzasi. Birlik uchun simning ohmik qarshiligi
uzunligi 3,7 10-4 Ohm / m.
Yechim. Ushbu muammoni hal qilish uchun biz T2 uchun ikkinchi formuladan foydalanamiz
qo'shma muammo deb hisoblanadi. Harorat o'rnatilganligini hisobga olsak
2
izolyatsiyaning tashqi yuzasi, ya'ni.
Re I 2
Re I 2
R
T2 r R Te
ln
qV
2
l
2
R
Rl
2
2
1000
0 . 005 0 . 003
273 30 3 . 7 10 4
ln
477 . 6
2 3 . 14 0 . 15
0 . 005
Alyuminiy simning issiqlik o'tkazuvchanligi qiymatidan foydalanish
1 232 Vt / (m K) va T formulasi, biz markazdagi haroratni hisoblashimiz mumkin
1
simlar. Ko'rib chiqilayotgan shartlarga muvofiq, bizda
2
Re I 2
Re I 2
R Re I
T1 r R Te
ln
T2 r R
l 2 2 R l 4 1
l 4 1
3 . 7 10 4 1000
477 . 6
477 . 7
4 3 . 14 232
2
34.
Uyga vazifa.1. I \u003d 200A quvvatga ega oqim zanglamaydigan po'lat sim orqali o'tkaziladi
diametri 2 mm va uzunligi 1 m bo'lgan simning elektr qarshiligi
0,125 Ohm, issiqlik o'tkazuvchanligi 17W / (m K). Harorat
simning yuzasi 150 S. Eksa bo'yicha haroratni hisoblash talab qilinadi
sim.
2. Xuddi shu masalada simni izolyatsiya qatlami bilan qoplangan deb hisoblang
(izolyatsiyaning issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti 0,15 Vt / (m K)), va koeffitsient
izolyatsiya yuzasida issiqlik uzatish 60 Vt / (m2K) ni tashkil qiladi. Zarur bo'lganda
joriy kuchini o'zgartirish (ortish yoki kamaytirish), shunday qilib, harorat
simning yuzasi 150 S ga teng bo'lib qoldi.
35.
Samarali (ekvivalent) termofizik xususiyatlarHaqiqatan ham mashinasozlikda va atrofimizdagi materiallarda qo'llaniladi
ko'p komponentli va ko'p fazali. Bu po'lat uchun amal qiladi
qotishmalar, intermetalik kompozitlar, sinterlangan materiallar,
tolali kompozitlar, polimer asosidagi kompozitsiyalar, aralashmalar,
yechimlar va boshqalar.
Agar boshlang'ich komponentlar uchun (qaysi kompozitsiyalar sintezlanadi).
turli texnologiyalar) yoki hammaning xususiyatlari bilan ishlatiladigan materiallar berilgan
ko'proq yoki kamroq aniq, keyin yangi ishlab chiqilgan materiallar uchun
xossalarini aniqlash asosiy muammo hisoblanadi.
Standart eksperimental usullar ishlamasligi yoki bo'lmasligi mumkin
qimmat yoki mehnat talab qiladigan
Hisoblash uchun tarkibiy qismlarning xususiyatlarini, tuzilishini va o'zaro bog'liqligini bilish kerak
jismoniy hodisalarning bir-biriga ta'siri.
Maʼlumot yoʻq jismoniy xususiyatlar oh, hech qanday ilmiy mumkin emas
yoki muhandislik hisobi
Dulnev G.N., Zarinchak Yu.P. Aralashmalarning va kompozitlarning issiqlik o'tkazuvchanligi
materiallar
36.
Xususiyatlarni hisoblash uchun modellar:korpuskulyar (molekulyar), kontinuum va kombinatsiyalangan
Korpuskulyar modellarda xususiyatlar tabiat haqidagi bilimlar asosida o'rganiladi,
zarrachalarning o'zaro ta'sirining tuzilishi va tabiati. Jismoniy xususiyatlarni hisoblash
Bunday holda, faqat boshqa xususiyatlar bo'yicha ma'lumotlardan foydalanish mumkin.
Geterogen tuzilmalarning tasnifi:
Dulnev, 10-52-betlar (ochiq)
Kompozitlar: 106-130-betlar
37.
Samarali koeffitsientlarni hisoblashning ko'plab usullari mavjudheterojen va gözenekli materiallarning issiqlik o'tkazuvchanligi
Alohida issiqlik o'tkazuvchanligi jarayoni uchun eng oddiy yaqinlashuvda
mikrodomen (u vakillik hajmi hisoblanadi)
fizik tenglamalar haqiqiydir
JT ,k k grad Tk , div JT ,k 0
Idealli hududlarning interfeyslaridagi chegara shartlari
Termal aloqa quyidagi shaklga ega:
T
T
k k k 1 k 1 ; Tk Tk 1
n
n
Materialning samarali issiqlik o'tkazuvchanligini aniqlash uchun (o'z ichiga oladi
turli fazalar), davomida jismoniy maydonlarning taqsimlanishini aniqlash kerak
barcha microdomains, va keyin bir yarim-homogen muhitga o'tish, uchun
qaysi munosabatlar
JT*T
1
J k dV ;
V
1
Tk d
T
V
V
Buning turini belgilash
Samarali koeffitsient: f k , k ;
bog'liqliklar va hisoblanadi
asosiy vazifa
- fazali fraktsiyalar
turli nazariyalar.
JT
T
38.
Ikki fazali tizim1
J
J1dV1 J 2dV2 1 1 T1 2 2 T2
V
V2
V1
1 V1 V, 2 V2 V
(1)
1 1 1 2 2 2 ;
k
T1 T1
2T2
Tk T
T
2
1 1 2 2 1
dan kuzatib boradi
oldingi
, k 1,2
- hajmning o'rtacha gradienti
Ikki tenglamalar tizimi (1) uchta noma'lumni o'z ichiga oladi. E yopish uchun
tuzilish tafsilotlari kabi qo'shimcha ma'lumotlar talab qilinadi
heterojen tizim, maxsus ishlab chiqilgan tajriba ma'lumotlari.
Bunday tizimlarning yopilishi muammosini hal qilish barchaning paydo bo'lishiga olib keldi
o'tkazish koeffitsientlarini aniqlashning turli usullari (nafaqat
issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti), adabiyotda ma'lum
39.
1. Tizim bo'lgan eng oddiy tuzilishdaJ oqimiga parallel cheksiz plitalar
1 2 1
Va
1 1 2 2
2. Qatlamlar oqimga perpendikulyar bo'lsa
1 T1 2 T2;
1 2 2 1
1 2
1 2
1
Bir hil bo'lmagan muhitning struktura turlari juda xilma-xildir. Shunday qilib, har holda
ikki fazali muhit, qaysi fazalar (turli fazalarni o'z ichiga olgan mikrohududlar)
kosmosda tasodifiy va tartibli ravishda taqsimlanishi mumkin;
izolyatsiyalangan shakldagi fazalardan birini o'z ichiga olgan tuzilmalarni ajratish mumkin
izomerik (1) yoki anizotropik yo'naltirilgan (2) qo'shimchalar
uzluksiz boshqa faza, uzluksiz ramka bilan granüler tizimlar (3) va
gözenekler (4), tolalarning tolali tizimlari (5) va teshiklar (6), statistik
o'xshash o'lchamdagi bir hil bo'lmagan (mikroinhomogen) tizimlar
komponentlar (7), parallel (8) va perpendikulyar qatlamli tizimlar
(9) oqim qatlamlari. Individual tizimlardan tashkil topgan tizimlarni tasavvur qilish mumkin
tavsiflangan turdagi turli tuzilmalarga ega quyi tizimlar. Qo'shimcha
tuzilmalarga kiritilgan fazalarning har biri ham ko'p komponentli, ham bo'lishi mumkin
va bitta komponent. Har holda, har bir bosqichning xususiyatlarini hisoblash talab qilinadi
yoki ularning eksperimental ta'rifi.
40.
Kondorskiy tenglamasi3 1 1 3 2 1 2
3 1 1 3 2 1
Odelevskiy (usul
1
samarali muhit)
4
16
2
2 1
1 V1 V, 2 V2 V
13
2 1
1 2
integral usul
Ikki tomonlama hisob-kitoblar (baholash
Xashin-Shtrixman)
Shermergaard:
1 2
1
2
1
1
2 1
1
1
1 3
1 3
1 2 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
1 2 1
1 1 2
Indeks 1 matritsaga, "2" esa qo'shimchalarga ishora qiladi
Soddalashtirilgan media modellariga qaramasdan, ba'zi taniqli formulalar
formulalar soni bo'lsa-da, juda ishonchli hisob-kitoblarni amalga oshirishga imkon beradi
ommaviy axborot vositalarining turli xil maxsus holatlari fazalar sonining ko'payishi bilan tez ortadi.
41.
Uylar:Kompozit mavjud. Matritsa volframga asoslangan qotishmadir (biz buni ko'rib chiqamiz
volframning issiqlik o'tkazuvchanligiga teng bo'lgan issiqlik o'tkazuvchanligi).
Zarrachalar (qo'shimchalar) titanium karbid.
Yuqoridagi formulalardan foydalanib, bog'liqliklarni hisoblang
fraktsiya bo'yicha kompozitning issiqlik o'tkazuvchanligining samarali koeffitsientlari
qo'shimchalar (p= 0 dan 0,75 gacha). Bitta diagrammada chizma.
Qanday xulosa chiqarish mumkin?
42.
Donador va g'ovakli materiallarning xossalariGözenekli materiallarning samarali issiqlik o'tkazuvchanligi bo'yicha, boshqa narsalar teng
sharoitlarga qattiq fazaning issiqlik o'tkazuvchanligi ta'sir qiladi. Shu bilan birga, uchun
ba'zi bir gözenekli materiallar uchun (A12O3, BeO, MgO va boshqalar asosida) koeffitsienti
issiqlik o'tkazuvchanligi harorat oshishi bilan kamayadi, esa uchun
boshqalar, SiO2, ZrO2 asosida tayyorlangan, - ortadi. Hal qiluvchi
porozlik samarali issiqlik o'tkazuvchanligiga ta'sir qiladi, chunki
gazning past o'tkazuvchanligi tufayli teshiklarning o'zi samarali bo'ladi
issiqlik tarqalishiga to'siq. Biroq, boshqalar ham bor
issiqlik uzatish mexanizmlari (konveksiya, radiatsiya).
Eng oddiy modellar gözenekli yoki vakilligiga asoslangan
tekis o'zgaruvchan qatlamlar shaklida tarqalgan material, tuzilgan va
qattiq ramka (yadro) va havo.
1
1
2
2
1
1 1 2
- teshiklarning nisbati; porozlik
- havo yoki boshqa moddalarni to'ldirishning issiqlik o'tkazuvchanligi
gözenekli bo'shliq
43.
Markazdagi rasmda keltirilgan modellar nomlar bilan bog'langanMaksvell-Eukken (Maksvell-Eyken). Natija o'xshaydi
1
2
2 1 2 2 1 2
2 1 2 2 1 2
2 2 1 2 2 1 1
2 2 1 2 2 1 1
1 1
2
0
1 2
2 2
qattiq ramka uzluksiz
uzluksiz g'ovakdir
bo'sh joy
samarali vosita nazariyasi modeli
Statsionar rejimda tekis va silindrsimon devorlarda issiqlik o'tkazuvchanligi bilan issiqlik tarqalishi (birinchi turdagi chegara shartlari)
Bir hil bir qatlamli tekis devor. Kengligi va uzunligi cheksiz bo'lgan 8 qalinlikdagi bir hil bir qavatli tekis devorda issiqlikning issiqlik o'tkazuvchanligi bilan tarqalishini ko'rib chiqaylik.
Eksa X uni devorga perpendikulyar yo'naltiring (7.4-rasm). Devorning ikkala yuzasida ham eksa yo'nalishi bo'yicha y, shuningdek, eksa yo'nalishi bo'yicha G issiqlikning bir xil ta'minlanishi va olib tashlanishi tufayli haroratlar teng ravishda taqsimlanadi.
Ushbu o'qlar yo'nalishidagi devor cheksiz katta o'lchamlarga ega bo'lganligi sababli, mos keladigan harorat gradyanlari W / yu \u003d (k / (k= = 0, va shunday qilib, devorning oxirgi yuzalarining issiqlik o'tkazuvchanligi jarayoniga ta'sir qilmaydi. Ushbu soddalashtirilgan sharoitlarda statsionar harorat maydoni faqat koordinataning funktsiyasidir X, bular. bir o'lchovli muammo ko'rib chiqiladi. Bu holatda qo'llanilganda, issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi shaklni oladi (at d^dh = 0)
Birinchi turdagi chegara shartlari berilgan: 
Guruch. 7.4.
Harorat maydoni tenglamasini topamiz va maydoni bo'lgan devor kesimidan o'tadigan issiqlik oqimi F ni aniqlaymiz LEKIN(rasmda. 1 l devor ko'rsatilmagan, chunki u rasm tekisligiga perpendikulyar tekislikda joylashgan). Birinchi integratsiya beradi
bular. harorat gradienti devorning butun qalinligida doimiydir.
Ikkinchi integratsiyadan so'ng biz kerakli harorat maydoni tenglamasini olamiz
qayerda lekin Va b - integratsiya konstantalari.
Shunday qilib, devor qalinligi bo'ylab harorat o'zgarishi chiziqli qonunga amal qiladi va izotermik sirtlar devor yuzlariga parallel bo'lgan tekisliklardir.
Integratsiyaning ixtiyoriy konstantalarini aniqlash uchun biz chegara shartlaridan foydalanamiz:
Chunki? > ? CT2 , keyin gradientning o'qga proektsiyasi X kabi salbiy
bu sirt issiqlik oqimi zichligi vektorining yo'nalishi bilan mos keladigan eksa tanlangan yo'nalishi uchun kutilgan edi.
(7.24) dagi konstantalar qiymatini almashtirib, nol haroratning yakuniy ifodasini olamiz.
Chiziq a-b rasmda. 7.4, deb atalmish harorat egri chizig'i, haroratning devor qalinligiga nisbatan o'zgarishini ko'rsatadi.
Harorat gradientini bilgan holda, Furye tenglamasidan (7.10) foydalanib, o'qga perpendikulyar bo'lgan sirt maydoni elementi ?? 4 orqali o'tadigan issiqlik miqdori 8 () ni topish mumkin. T.
va sirt maydoni uchun LEKIN
Issiqlik oqimi va sirt issiqlik oqimi zichligi uchun formula (7.28) shaklni oladi
Bir necha (masalan, uchta) yaqin qo'shni qatlamlardan tashkil topgan ko'p qatlamli tekis devorda issiqlikning issiqlik o'tkazuvchanligi bilan tarqalishini ko'rib chiqing (7.5-rasmga qarang).
Guruch. 7.5.
Shubhasiz, statsionar harorat maydonida issiqlik oqimi bir xil maydonning sirtlaridan o'tadi. LEKIN, barcha qatlamlar uchun bir xil bo'ladi. Shuning uchun (7.29) tenglama har bir qatlam uchun ishlatilishi mumkin.
Birinchi qatlam uchun
ikkinchi va uchinchi qatlamlar uchun
qayerda X 2, A 3 - qatlamlarning issiqlik o'tkazuvchanligi; 8 1? 8 2, 8 3 - qatlam qalinligi.
Uch qavatli devorning tashqi chegaralarida haroratlar ma'lum deb hisoblanadimi? St1 va? ST4. Haroratlar qatlamlarning interfeyslari bo'ylab o'rnatiladi? ST2 Va? noma'lum deb hisoblanadigan STZ. (7.31) - (7.33) tenglamalar harorat farqiga nisbatan echiladi:
va keyin muddat bo'yicha qo'shing va shu bilan noma'lum oraliq haroratlarni yo'q qiling:
Z-qatlamli devor uchun (7.36) umumlashtirib, biz olamiz
Oraliq haroratni aniqlash uchun? ST2, ? Qatlamlarni ajratish tekisliklarida STz, biz formulalardan foydalanamiz (7.34):
Va nihoyat, hosilani U qatlamli devorga umumlashtirib, biz i va (r + 1) qatlamlar chegarasidagi harorat formulasini olamiz:
Ba'zan ular ekvivalent issiqlik o'tkazuvchanligi R ekvivalenti tushunchasidan foydalanadilar. Yassi ko'p qatlamli devor orqali o'tadigan issiqlik oqimining sirt zichligi uchun,
ko'p qatlamli devorning barcha qatlamlarining umumiy qalinligi qaerda. (7.37) va (7.40) iboralarni solishtirib, shunday xulosaga kelamiz
Shaklda. 7.5 singan chiziq ko'rinishida ko'p qatlamli devor qalinligi bo'ylab harorat o'zgarishi grafigini ko'rsatadi. Qatlam ichida, yuqorida isbotlanganidek, harorat o'zgarishi chiziqli qonunga amal qiladi. Nishabning tangensi cp, harorat to'g'ri chiziq gorizontalga
bular. harorat gradientining mutlaq qiymatiga teng ^1 "ac1 Shunday qilib, to'g'ri chiziqlarning qiyaligiga ko'ra ab, mil va bilan
Binobarin,
bular. ko'p qatlamli tekis devorning alohida qatlamlari uchun harorat gradyanlari bu qatlamlarning issiqlik o'tkazuvchanligiga teskari proportsionaldir.
Bu shuni anglatadiki, katta harorat gradyanlarini olish uchun (masalan, bug 'quvurlarini izolyatsiyalashda va hokazolarda talab qilinadi) past issiqlik o'tkazuvchanlik qiymatlariga ega bo'lgan materiallar kerak bo'ladi.
Bir hil bir qatlamli silindrsimon devor. Bir hil bir qatlamli silindrsimon devor uchun issiqlik o'tkazuvchanligining statsionar rejimi uchun harorat maydoni va sirt issiqlik oqimi zichligini topamiz (7.6-rasm). Muammoni hal qilish uchun silindrsimon koordinatalarda issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasidan foydalanamiz.
Eksa 2 quvurning o'qi bo'ylab yo'naltiriladi. Quvurning uzunligi diametrga nisbatan cheksiz katta deb faraz qilaylik. Bunday holda, biz trubaning uchlarini o'q bo'ylab harorat taqsimotiga ta'sirini e'tiborsiz qoldirishimiz mumkin 2. Biz issiqlikning bir xil ta'minlanishi va olib tashlanishi tufayli ichki yuzadagi harorat hamma joyda teng deb hisoblaymiz? ST1, va tashqi yuzasida -? ST2 (birinchi turdagi chegara shartlari). Ushbu soddalashtirishlar bilan (k/ = 0 va har qanday diametrga (d) nisbatan harorat maydonining simmetriyasini hisobga olgan holda, bu erda G- silindrsimon devorning joriy radiusi.
Guruch. 7.6.
Shartda issiqlik o'tkazuvchanligining differensial tenglamasi (7.19). dt/d m = 0 shaklini oladi
Keling, yangi o'zgaruvchini kiritamiz
qaysi harorat gradienti (grad?).
O'zgaruvchini almashtirish Va(7.43) da biz ajratiladigan o'zgaruvchilarga ega bo'lgan birinchi tartibli differensial tenglamani olamiz
yoki 
Integratsiyalash, biz olamiz
Silindrsimon devor uchun harorat gradienti radiusning kamayishi bilan ortib boruvchi o'zgaruvchidir. G. Shuning uchun, ichki yuzadagi harorat gradienti tashqi tomondan kattaroqdir.
Qiymatni almashtirish Va(7.44) dan (7.45) gacha, biz olamiz 
Va
qayerda a b- integratsiya konstantalari.
Shuning uchun devor qalinligi bo'yicha haroratni taqsimlash egri logarifmik egri (egri a-b rasmda. 7.6).
Keling, konstantalarni aniqlaylik lekin Va b, birinchi turdagi chegara shartlariga asoslanib, harorat maydoni tenglamasiga kiritilgan. Biz sirtning ichki radiusini belgilaymiz r x, ochiq havoda - g 2 . Biz mos keladigan diametrlarni belgilaymiz (1 l Va (1 2 . Keyin bizda tenglamalar tizimi mavjud
Qaror qabul qilish bu tizim tenglamalarni olamiz
Nol harorat tenglamasi shaklni oladi 
Harorat gradienti (7.45) formula bilan aniqlanadi:
Chunki? ST1 > ? CT2 va r, r 2, keyin proyeksiya grad? radius vektorida manfiy qiymatga ega.
Ikkinchisi shuni ko'rsatadiki, bu holda issiqlik oqimi markazdan chetga yo'naltiriladi.
Uzunlikdagi silindrsimon yuzaning kesimidan o'tadigan issiqlik oqimini aniqlash b, tenglamadan foydalaning
(7.46) dan silindrsimon yuzadan o'tadigan issiqlik oqimi tashqi va ichki radiuslarning nisbatiga bog'liq r 2 / g x(yoki diametrlar c1 2 / (1 {), devor qalinligi emas.
Silindrsimon sirt uchun issiqlik oqimining sirt zichligini F issiqlik oqimini ichki yuzaning maydoniga bog'lash orqali topish mumkin. A vp yoki tashqi sirt maydoniga Va np. Hisoblashda ba'zan chiziqli issiqlik oqimining zichligi qo'llaniladi:
(7.47)-(7.49) dan kelib chiqadi
Ko'p qatlamli silindrsimon devor. Ichki diametrli A uzunlikdagi (7.7-rasm) uch qavatli silindrsimon devorda (quvurda) issiqlikning issiqlik o'tkazuvchanligi bilan tarqalishini ko'rib chiqing. c1 x va tashqi diametri (1 l. Alohida qatlamlarning oraliq diametrlari - c1 2 va X 2, X 3.
Guruch. 7.7.
Harorat ma'lummi? st) ichki va harorat? CT4 tashqi yuzasi. Issiqlik oqimi F va haroratni aniqlash kerakmi? ST2 Va? STz qatlam chegaralarida. Har bir qatlam uchun (7.46) ko'rinishdagi tenglama tuzamiz:
(7.51)-(7.53) ni harorat farqlari boʻyicha yechib, soʻngra atama boʻyicha qoʻshsak, hosil boʻlamiz.
(7.54) dan biz uch qavatli devor uchun issiqlik oqimini aniqlash uchun hisoblash ifodasiga egamiz:
U qatlamli quvur devoriga (7.55) formulani umumlashtiramiz: 
qayerda i- qatlamning seriya raqami.
(7.51)-(7.53) dan oraliq qatlamlar chegaralaridagi haroratni aniqlash ifodasini topamiz:
harorat? Art. +) chegarada?-chi va (G+ 1)-chi qavat xuddi shunday formula bilan aniqlanishi mumkin
Adabiyotda birinchi turdagi chegara sharoitida ichi bo'sh shar uchun differensial issiqlik tenglamasining yechimlari, shuningdek uchinchi turdagi chegara sharoitida barcha ko'rib chiqilayotgan jismlar uchun echimlar mavjud. Biz bu masalalarni hisobga olmaymiz. Doimiy va o'zgaruvchan tasavvurlar novdalarida (qovurg'alarida) statsionar issiqlik o'tkazuvchanligi masalalari, shuningdek, statsionar bo'lmagan issiqlik o'tkazuvchanligi masalalari ham bizning kursimiz doirasidan tashqarida qoldi.
Har qanday narsani o'rganish jismoniy jarayon bu jarayonni tavsiflovchi miqdorlar o'rtasidagi munosabatni o'rnatish bilan bog'liq. Issiqlik o'tkazuvchanligi bilan issiqlik uzatishni o'z ichiga olgan murakkab jarayonlar uchun kattaliklar o'rtasidagi munosabatni o'rnatishda jarayonning borishini butun o'rganilayotgan fazoda emas, balki matematik fizika usullaridan foydalanish qulay. cheksiz kichik vaqt oralig'ida materiyaning elementar hajmida. Issiqlik o'tkazuvchanligi bilan issiqlikni uzatishda ishtirok etadigan miqdorlar o'rtasidagi bog'liqlik bu holda shunday deyiladi. issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi. Tanlangan elementar hajm va cheksiz kichik vaqt oralig'ida jarayonni tavsiflovchi ba'zi kattaliklarning o'zgarishini e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'ladi.
Issiqlik o'tkazuvchanligining differensial tenglamasini olishda quyidagi taxminlar amalga oshiriladi: jismoniy miqdorlar l, p bilan Va ρ doimiy; ichki issiqlik manbalari yo'q; tanasi bir hil va izotropik; energiyaning saqlanish qonuni qo'llaniladi, bu holda u quyidagicha ifodalanadi: vaqt davomida elementar parallelepipedda issiqlik o'tkazuvchanligi tufayli kirgan issiqlik miqdori o'rtasidagi farq dt va undan ajralib chiqqan bir vaqtning o'zida ko'rib chiqilayotgan elementar hajmning ichki energiyasini o'zgartirishga sarflanadi. Natijada, biz tenglamaga erishamiz:
Qiymat deyiladi Laplas operatori va odatda 2 deb qisqartiriladi t(belgi "nabla" deb o'qiladi); qiymat λ /cr chaqirdi termal diffuziya va harf bilan belgilanadi lekin. Yuqoridagi belgilar bilan issiqlik o'tkazuvchanligi uchun differentsial tenglama shaklni oladi
(1-10) tenglama chaqiriladi issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi, yoki Fourier tenglamasi, ichki issiqlik manbalari bo'lmaganda uch o'lchovli statsionar bo'lmagan harorat maydoni uchun. Bu issiqlik o'tkazuvchanligi bilan issiqlik uzatish jarayonida jismlarni isitish va sovutishni o'rganishda asosiy tenglama bo'lib, maydonning istalgan nuqtasida vaqtinchalik va fazoviy harorat o'zgarishlari o'rtasidagi munosabatni o'rnatadi.
Termal diffuziya lekin= l/kr moddaning fizik parametridir va m 2 / s birligiga ega. Statsionar bo'lmagan issiqlik jarayonlarida, qiymat lekin haroratning o'zgarish tezligini tavsiflaydi. Agar issiqlik o'tkazuvchanlik koeffitsienti jismlarning issiqlik o'tkazish qobiliyatini tavsiflasa, u holda issiqlik tarqalish koeffitsienti lekin jismlarning issiqlik-inertial xossalarining o'lchovidir. (1-10) tenglamadan vaqt o'tishi bilan haroratning o'zgarishi kelib chiqadi ∂t / ∂t uchun tananing har qanday nuqtasi qiymatga proportsionaldir lekin Shuning uchun, xuddi shu sharoitda, katta termal diffuziyaga ega bo'lgan tananing harorati tezroq oshadi. Gazlar kichik, metallar esa termal tarqalishning katta qiymatlariga ega.
Tana ichidagi issiqlik manbalari bilan issiqlik o'tkazuvchanligining differentsial tenglamasi shaklga ega bo'ladi
qayerda kv- vaqt birligida moddaning birlik hajmiga chiqariladigan issiqlik miqdori; dan- tananing massa issiqlik sig'imi, ρ - tana zichligi .
Ichki issiqlik manbai bilan silindrsimon koordinatalarda differentsial issiqlik tenglamasi shaklga ega bo'ladi
qayerda r- silindrsimon koordinatalarda radius vektori; φ - in'ektsiya.