Xususiyatlari

Guruh ishtirokchisi

Ishlab chiqarish to'plami

Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun math/README ga qarang.: U(\mathbb(Z)/n\mathbb(Z)) siklik guruhdir, agar va faqat agar Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun math/README ga qarang.): \varphi(n)=\lambda(n). Tsiklik guruh bo'lsa, generator ibtidoiy ildiz deb ataladi.

Misol

Modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimi Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.): 10 dan tashkil topgan Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun matematika/README ga qarang.): 4 chegirma sinflari: Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.: _(10), _(10), _(10), _(10). Qoldiq sinflari uchun belgilangan ko'paytirishga nisbatan ular bir guruhni tashkil qiladi va Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc va Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.: _(10) o'zaro (ya'ni. Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang: _(10)(\cdot)_(10) = _(10)), a Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.: _(10) va Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.: _(10) o'zlariga teskari.

Guruh tuzilishi

Yozib olish Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun matematika/README ga qarang.): C_n“n-tartibning siklik guruhi” degan ma’noni bildiradi.

Ilova

Hikoya

Qoldiq halqasining multiplikativ guruhining tuzilishini o'rganishga Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Ferma, Huley, Euler hissa qo'shdilar. Lagrange lemmani isbotladi, agar Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.: f(x) \in k[x], va k - maydon, u holda f eng ko'p n ta aniq ildizga ega, bu erda n - f ning kuchi. U, shuningdek, taqqoslashdan iborat bo'lgan ushbu lemmaning muhim natijasini isbotladi Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Oʻrnatish boʻyicha yordam uchun matematika/README ga qarang.): x^(p-1)-1 ≡ Ifodani tahlil qilib bo'lmadi (bajariladigan fayl texvc topilmadi; Sozlash yordami uchun matematika/README ga qarang.: (x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p). Eyler Fermaning kichik teoremasini isbotladi. Uoring Vilson teoremasini shakllantirdi va Lagranj buni isbotladi. Eyler tub son moduli boʻyicha ibtidoiy ildizlarning mavjudligini taklif qildi. Gauss buni isbotladi. Artin borliq va miqdorni aniqlash haqidagi gipotezasini ilgari surdi tub sonlar, berilgan butun son tub ildiz bo'lgan modul. Brouver ketma-ket butun sonlar to'plamining mavjudligi muammosini o'rganishga hissa qo'shdi, ularning har biri k-quvvat moduli p. Bielhartz Artin taxminining o'xshashligini isbotladi. Xuli kengaytirilgan Rieman gipotezasi algebraik sonlar sohalarida haqiqiy degan faraz bilan Artinning taxminini isbotladi.

"Multiplikativ qoldiq halqa guruhi" maqolasiga sharh yozing

Eslatmalar

Adabiyot

• Irlandiya K., Rozen M. Zamonaviy raqamlar nazariyasiga klassik kirish. - M .: Mir, 1987 yil.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Kriptografiya asoslari. - Moskva: "Helios ARV", 2002 yil.
• Rostovtsev A.G., Maxovenko E.B. Nazariy kriptografiya. - Sankt-Peterburg: NPO "Professional", 2004 yil.

Havolalar

• Buxoro A. A. Raqamlar nazariyasi. - M .: Ta'lim, 1966 yil.
• Vaysshteyn, Erik V.(Ingliz tili) Wolfram MathWorld veb-saytida.

Qoldiq halqasining multiplikativ guruhini tavsiflovchi parcha

Teorema 7.

Isbot.

Quyida oddiylik uchun qo'shish va ko'paytirish modullarini odatiy + va ∙ belgilari bilan belgilaymiz (ba'zan ko'paytirish belgisini qoldirib) va qo'shamiz.

5) Qoldiq halqadagi teskari elementlar soni.

Eyler funksiyasi uchun quyidagi formulani isbotlashimiz mumkin: (3) bu yerda p1,….,ps n ning barcha tub bo‘luvchilari ro‘yxati. Ushbu formulani quyidagicha tushuntirish mumkin:

6) kichik guruhlar.

10. Agar chekli guruhning kichik guruhi bo'lsa, u holda bo'linadi.

11. Isbot.

12. Xulosa 8.1.

13. 7) Guruh elementi tomonidan yaratilgan kichik guruh.

14. Agar S guruhi chekli bo'lsa, u holda ketma-ketlik davriy bo'ladi (keyingi element oldingi element bilan belgilanadi, shuning uchun bir marta takrorlanganda, el.

15. Belgilangan t elementlar kichik guruhni tashkil qiladi, chunki guruh operatsiyasi "ko'rsatkichlar" qo'shilishiga mos keladi. Ushbu kichik guruh deyiladi

16. Turli elementlar tomonidan yaratilgan Z6 guruhining bir nechta kichik guruhlari: . Multiplikativ guruh uchun shunga o'xshash misol: bu erda aytilgan narsadan

17. Cheklangan guruh bo‘lsin. Agar, a tomonidan yaratilgan kichik guruhdagi elementlarning soni a (ya'ni) tartibiga to'g'ri kelsa.

18. Xulosa 9.1.

19. Xulosa 9.2.

20. 8) Chiziqli diofantin tenglamalarni yechish.

21. Eslatib o'tamiz, biz a elementi tomonidan yaratilgan kichik guruhni (bu holda Zn guruhining kichik guruhini) belgilaymiz. Demak, ta'rifga ko'ra, tenglamalar

22. Tenglama yechiladigan va uning yechimi bo‘lsin. U holda tenglama formula bilan berilgan Zn dagi d =gcd(a,n) yechimlarga ega, bunda i = 0,1,2,... , n - 1.

23. Isbot.

24. n > 1 bo‘lsin. Agar gcd(a, n) = 1 bo‘lsa, tenglama yagona yechimga ega (Zn da). Ayniqsa b=1 holi muhim - bu yerda x ning teskari elementini topamiz

25. Xulosa 10.2

26. 9) Xitoycha qoldiq teoremasi.

27. Ba'zi n soni juft ko'p tub sonlarning ko'paytmasi sifatida ifodalansin. Xitoy qoldiqlari teoremasi soni, deb ta'kidlaydi

28. 10) Elementning darajalari.

29. 11) 11-teorema (Eyler).

30. 12) 12-teorema (Fermatning kichik teoremasi).

31. Xulosa 12.1. p tub son bo'lsin. Xulosa 12.2. p tub son bo‘lsin, u holda Ferma teoremasi a=0 ga tegishli bo‘ladi.

32. 13) 13-teorema (Eyler teoremasining mustahkamlanishi).

33. h.t.d.

34. 14) Quvvatlarni takroriy kvadratlash orqali hisoblash.

35. Ab mod n ni hisoblamoqchimiz, bu yerda a qoldiq moduli n, b esa ikkilik yozuvda (bk,bk-1,...,b1,b0) ko‘rinishga ega bo‘lgan manfiy bo‘lmagan butun sondir ( raqami 3

36. c ni 2 ga ko'paytirganda ac soni kvadratga, c 1 ga ko'paytirilsa, ac soni a ga ko'paytiriladi. Har bir qadamda c ning ikkilik ko'rinishi siljiydi

37. Protseduraning ishlash vaqtini hisoblang. Agar uning dastlabki ma'lumotlari bo'lgan uchta raqam b bitdan ko'p bo'lmasa, u holda arifmetik amallar soni ec.

38.

Modul m, bu bilan belgilanadi $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$ yoki $U(\backslash mathbb(Z)\_m)$ .

Agar a m asosiy, keyin yuqorida aytib o'tilganidek, 1, 2, ..., elementlar m-1 kiritilgan $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$. Ushbu holatda $\backslash mathbb(Z)\_m^(\backslash times)$ maydon hisoblanadi.

Kirish shakllari

Modulli qoldiq halqasi n tayinlash $\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)$ yoki $\backslash mathbb(Z)\_n$. Uning multiplikativ guruhi, halqalarning teskari elementlar guruhlari umumiy holatida bo'lgani kabi, belgilanadi. $(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))^*,$ $(\backslash \; mathbb\; (Z)/n\; \backslash \; mathbb\; (Z))\; ^\backslash \; marta,$ $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $E(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z)),$ $\backslash mathbb\; (Z)\; \_n\; ^\; (\backslash \; marta),$ $U(\backslash mathbb(Z)\_n)$.

Eng oddiy holat

Guruh tuzilishini tushunish $U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$, biz maxsus holatni ko'rib chiqishimiz mumkin $n=p^a$, qayerda $p$- tub son va uni umumlashtiring. Eng oddiy holatni ko'rib chiqing $a=1$, ya'ni. $n=p$.

Teorema: $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$ siklik guruhdir.

Misol : Guruhni ko'rib chiqing $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$

$U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$= (1,2,4,5,7,8) Guruh generatori 2 raqamidir. $2^1\; \backslash equiv\; 2\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^2\; \backslash equiv\; 4\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^3\; \backslash ekviv\; 8\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^4\; \backslash ekviv\; 7\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^5\; \backslash ekviv\; 5\backslash \; \backslash pmod\; 9$ $2^6\; \backslash ekviv\; 1\backslash \; \backslash pmod\; 9$ Ko'rib turganingizdek, guruhning har qanday elementi $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$ shaklida taqdim etilishi mumkin $2^l$, qayerda . Bu guruh $U(\backslash mathbb(Z)/9\backslash mathbb(Z))$- tsiklik.

Umumiy holat

Umumiy holatni ko'rib chiqish uchun ibtidoiy ildizni aniqlash kerak. Boshlang'ich ildiz moduli $p$ qoldiq sinfi bilan birgalikda guruh hosil qiluvchi son $U(\backslash mathbb(Z)/p\backslash mathbb(Z))$.

Butun modul holatida $n$ ta'rifi bir xil.

Guruhning tuzilishi quyidagi teorema bilan aniqlanadi: Agar p toq tub son va l musbat butun son boʻlsa, modulli tub ildizlar mavjud. $p^(l)$, ya'ni $U(\backslash mathbb(Z)/p^(l)\backslash mathbb(Z))$ siklik guruhdir.

Oddiylik guvohi kichik guruhi

Bo'lsin $m$- 1 dan katta toq son. Raqam $m-1$ shaklida aniq ko'rsatilgan $m-1\; =\; 2^s\; \backslash cdot\; t$, qayerda $t$ g'alati. Butun son $a$, , deyiladi soddaligiga guvoh raqamlar $m$ agar quyidagi shartlardan biri bajarilsa:

• $a^t\backslash equiv\; 1\backslash pmod\; m$

• butun son mavjud $k$,

Agar raqam $m$- kompozitsion, oddiylik guvohlarining kichik guruhi deb ataladigan qoldiq halqasining ko'paytma guruhining kichik guruhi mavjud. Uning elementlari kuchga ko'tarildi $m-1$, bilan mos keladi $1$ modul $m$.

Misol : $m=9$. U yerda $6$ qoldiqlari bilan mos keladi $9$, Bu $1,2,4,5,7$ va $8$. $8$ ga teng $-1$ modul $9$, degan ma'noni anglatadi $8^\{8\}$ ga teng $1$ modul $9$. Ma'nosi, $1$ va $8$- raqamning soddaligiga guvohlar $9$. Bu holatda (1, 8) oddiylik guvohlarining kichik guruhidir.

Xususiyatlari

Guruh ishtirokchisi

Ishlab chiqarish to'plami

$U(\backslash mathbb(Z)/n\backslash mathbb(Z))$ siklik guruhdir, agar va faqat agar $\backslash varphi(n)=\backslash lambda(n).$ Tsiklik guruh bo'lsa, generator ibtidoiy ildiz deb ataladi.

Misol

Modulli qoldiqlarning qisqartirilgan tizimi $10$ dan tashkil topgan $4$ chegirma sinflari: $\_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\},\; \_\{10\}$. Qoldiq sinflari uchun belgilangan ko'paytirishga nisbatan ular bir guruhni tashkil qiladi va $\_\{10\}$ va $\_\{10\}$ o'zaro (ya'ni. $\_(10)(\backslash cdot)\_(10)\; =\; \_(10)$), a $\_\{10\}$ va $\_\{10\}$ o'zlariga teskari.

Guruh tuzilishi

Yozib olish $C\_n$“n-tartibning siklik guruhi” degan ma’noni bildiradi.

Ilova

Hikoya

Qoldiq halqasining multiplikativ guruhining tuzilishini o'rganishga Artin, Bielharz, Brouwer, Wilson, Gauss, Lagrange, Lemaire, Waring, Ferma, Huley, Euler hissa qo'shdilar. Lagrange lemmani isbotladi, agar $f(x)\; \backslash in\; k[x]$, va k - maydon, u holda f eng ko'p n ta aniq ildizga ega, bu erda n - f ning kuchi. U, shuningdek, taqqoslashdan iborat bo'lgan ushbu lemmaning muhim natijasini isbotladi $x^(p-1)-1$ ≡ $(x-1)(x-2)...(x-p+1)mod(p)$. Eyler Fermaning kichik teoremasini isbotladi. Uoring Vilson teoremasini shakllantirdi va Lagranj buni isbotladi. Eyler tub son moduli boʻyicha ibtidoiy ildizlarning mavjudligini taklif qildi. Gauss buni isbotladi. Artin o'zining gipotezasini o'z gipotezasini ilgari surdi, ular tub sonlar moduli bo'lib, ular tub ildiz bo'ladi. Brouver ketma-ket butun sonlar to'plamining mavjudligi muammosini o'rganishga hissa qo'shdi, ularning har biri k-quvvat moduli p. Bielhartz Artin taxminining o'xshashligini isbotladi. Xuli kengaytirilgan Rieman gipotezasi algebraik sonlar sohalarida haqiqiy degan faraz bilan Artinning taxminini isbotladi.

"Multiplikativ qoldiq halqa guruhi" maqolasiga sharh yozing

Eslatmalar

Adabiyot

• Irlandiya K., Rozen M. Zamonaviy raqamlar nazariyasiga klassik kirish. - M .: Mir, 1987 yil.
• Alferov A.P., Zubov A.Yu., Kuzmin A.S. Cheremushkin A.V. Kriptografiya asoslari. - Moskva: "Helios ARV", 2002 yil.
• Rostovtsev A.G., Maxovenko E.B. Nazariy kriptografiya. - Sankt-Peterburg: NPO "Professional", 2004 yil.

Havolalar

• Buxoro A. A. Raqamlar nazariyasi. - M .: Ta'lim, 1966 yil.
• Vaysshteyn, Erik V.(Ingliz tili) Wolfram MathWorld veb-saytida.

Qoldiq halqasining multiplikativ guruhini tavsiflovchi parcha

- Ma bonne amie, [Mening yaxshi do'stim,] - dedi kichkina malika 19 mart kuni ertalab nonushtadan keyin va uning mo'ylovli shimgichi eski odatidan ko'tarildi; Lekin hammada bo'lgani kabi bu uyda nafaqat tabassum, balki nutq sadolari, hatto yurish-turishlari ham dahshatli xabar olingan kundan boshlab qayg'u, hatto hozir ham umumiy kayfiyatga berilib ketgan kichkina malikaning tabassumi edi. u buning sababini bilmas edi, u umumiy qayg'uni yanada ko'proq eslatdi.
- Ma bonne amie, je crains que le fruschtique (comme dit Foka - oshpaz) de ce matin ne m "aie pas fait du mal. [Do‘stim, hozirgi frischtik (oshpaz Foka shunday ataydi) qo‘ymaydi, deb qo‘rqaman. meni yomon his qilish.]
Sen-chi, jonim? Siz oqaribsiz. Oh, siz juda oqaribsiz, - dedi malika Marya qo'rqib, og'ir, yumshoq qadamlari bilan kelinining oldiga yugurib.
— Janobi Oliylari, nega Marya Bogdanovnani chaqirtirmaysiz? – dedi shu yerda turgan kanizaklardan biri. (Marya Bogdanovna yana bir haftadan beri Lisiy Gorida yashagan tuman shaharchasidagi doya edi.)
- Haqiqatan ham, - dedi malika Marya, - ehtimol, aniq. Men boraman. Jasorat, mon ange! [Qo'rqma, farishtam.] U Lizani o'pdi va xonadan chiqmoqchi bo'ldi.
- Yo'q, yo'q! - Kichkina malika yuzida rangparlikdan tashqari, muqarrar jismoniy azob-uqubatlardan bolalarcha qo'rquv bor edi.
- Non, c "est l" estomac ... dites que c "est l" estomac, dites, Marie, dites ..., [Yo'q, bu oshqozon ... Mashaga ayting, bu oshqozon ... ] - va malika bolalarcha, azob chekib, injiq va hatto biroz o'xshab yig'lay boshladi, ularning qo'llarini sindirdi. Malika Marya Bogdanovnaning orqasidan xonadan yugurib chiqdi.
- Mon Dieu! Mon Dieu! [Xudoyim! Xudoyim!] Oh! u orqasidan eshitdi.
Doya uning to'la, kichkina, oppoq qo'llarini ishqalab, ancha xotirjam yuz bilan unga qarab yurgan edi.
- Mariya Bogdanovna! Bu boshlanganga o'xshaydi, - dedi malika Marya qo'rqib ketgan ochiq ko'zlari bilan buvisiga qarab.
- Xo'sh, Xudoga shukur, malika, - dedi Mariya Bogdanovna qadam qo'ymasdan. Siz qizlar, bu haqda bilishingiz shart emas.
"Ammo nega doktor Moskvadan haligacha kelmagan?" - dedi malika. (Liza va knyaz Andreyning iltimosiga ko'ra, ular belgilangan muddatda Moskvaga akusherga yuborilgan va ular har daqiqada uni kutishgan.)
- Yaxshi, malika, xavotir olma, - dedi Mariya Bogdanovna, - shifokorsiz hammasi yaxshi bo'ladi.
Besh daqiqadan so'ng malika xonasidan og'ir narsa ko'tarilayotganini eshitdi. U tashqariga qaradi - ofitsiantlar negadir yotoqxonaga shahzoda Andreyning kabinetida turgan charm divanni olib kirishdi. Ko‘tarib ketayotgan odamlarning yuzlarida qandaydir tantanali va sokinlik bor edi.
Malika Marya o'z xonasida yolg'iz o'tirar, uyning ovozlarini tinglar, ular o'tib ketganda vaqti-vaqti bilan eshikni ochib, koridorda nima bo'layotganiga diqqat bilan qarar edi. Bir necha ayollar sokin qadamlar bilan u yoqdan-bu yoqqa yurib, malikaga qarab, undan yuz o‘girishdi. U so'rashga jur'at eta olmadi, eshikni yopdi, xonasiga qaytdi va yo kursiga o'tirdi, yo namoz kitobini oldi, yoki kiot oldida tiz cho'kdi. Uning baxtsizligi va ajablanishi uchun u ibodat uning hayajonini tinchitmaganini his qildi. To'satdan uning xonasining eshigi jimgina ochildi va ostonada ro'molcha bilan bog'langan keksa hamshirasi Praskovya Savishna paydo bo'ldi, u knyazning taqiqi tufayli deyarli hech qachon xonasiga kirmagan.
- Men siz bilan o'tirishga keldim, Mashenka, - dedi enaga, - ha, u avliyoning oldiga knyazning to'y shamlarini olib keldi, farishtam, - dedi u xo'rsinib.
“Oh, naqadar xursandman, enaga.
“Xudo mehribon, kaptar. - Enaga piktogramma qutisi oldida oltin bilan o'ralgan shamlarni yoqib, paypoq bilan eshik oldiga o'tirdi. Malika Meri kitobni olib, o'qiy boshladi. Oyoq tovushlari yoki ovozlar eshitilgandagina malika qo‘rqib, so‘ragancha ko‘rindi, enaga esa ishonch bilan bir-biriga qaradi. Uyning hamma chekkasida malika Meri o'z xonasida o'tirgan bir xil tuyg'u to'lib-toshgan va hammani egallab olgan edi. Tug‘ilganning azob-uqubatlarini qanchalar kam odam bilsa, u shunchalik kam azob chekadi, degan e’tiqodga ko‘ra, hamma o‘zini nodon qilib ko‘rsatishga harakat qilgan; Bu haqda hech kim gapirmadi, lekin hamma odamlarda, shahzodaning xonadonida hukmronlik qiladigan odatiy daraja va odob-axloqdan tashqari, o'sha paytda sodir bo'layotgan buyuk, tushunarsiz narsa haqida bir xil umumiy tashvish, yumshoq yurak va ong bor edi. .
Katta qizlar xonasida kulgi yo'q edi. Ofitsiant xonasida hamma narsaga shay, jim o‘tirishdi. Hovlida mash'alalar, shamlar yoqib uxlamadilar. Keksa knyaz tovonini bosib, kabinetni aylanib chiqdi va Tixonni Mariya Bogdanovnaga so'rash uchun yubordi: nima? - Ayting-chi: shahzoda nima so'rashni buyurdi? va u nima deyishini menga ayt.
"Knyazga tug'ilish boshlangani haqida xabar bering", dedi Mariya Bogdanovna xabarchiga jiddiy qarab. Tixon borib, shahzodaga xabar berdi.
- Juda yaxshi, - dedi knyaz eshikni orqasidan yopdi va Tixon endi kabinetda hech qanday tovushni eshitmadi. Biroz vaqt o'tgach, Tixon shamlarni tuzatmoqchi bo'lgandek, ofisga kirdi. Tixon knyazning divanda yotganini ko'rib, shahzodaga, uning xafa bo'lgan yuziga qaradi, bosh chayqadi, indamay unga yaqinlashdi va uning yelkasidan o'pib, shamlarni moslashtirmasdan va nima uchun kelganini aytmasdan tashqariga chiqdi. Dunyodagi eng tantanali marosim davom ettirildi. Kech bo'ldi, tun keldi. Va tushunarsiz narsadan oldin yurakni kutish va yumshatish hissi tushmadi, balki ko'tarildi. Hech kim uxlamadi.

Bu mart oyining kechalaridan biri ediki, qish o'z joniga qasd qilib, so'nggi qor va qor bo'ronlarini umidsiz g'azab bilan yog'dirmoqchi edi. Moskvalik nemis shifokorini har daqiqada kutilgan va asosiy yo'lga, qishloq yo'liga burilishgacha kutib olish uchun uni chuqurchalar va bo'shliqlar bo'ylab olib borish uchun chiroqli otliqlar yuborilgan.
Malika Meri kitobni anchadan beri tark etgan edi: u jim o'tirdi va nurli ko'zlarini enaganing ajinlangan, mayda-chuydalarigacha tanish yuziga tikdi: sharf ostidan chiqqan kulrang sochlarning o'ralgan joyida. jag' ostidagi terining osilgan sumkasi.
Enaga Savishna qo'lida paypoq bilan, past ovozda, o'z so'zlarini eshitmasdan va tushunmasdan, Kishinyovdagi marhum malika moldaviyalik dehqon ayol o'rniga malika Maryani qanday dunyoga keltirgani haqida yuzlab marta aytib berdi. buvisi.
"Xudo rahm qilsin, sizga hech qachon shifokor kerak emas", dedi u. To'satdan xonaning ochiq ramkalaridan biriga shamol esdi (knyazning xohishiga ko'ra, har bir xonada har doim larklar bilan bitta ramka o'rnatilar edi) va yomon surtilgan murvatni urib, damask pardasini silkitdi va hid keldi. sovuq, qor, shamni o'chirdi. Malika Meri titrab ketdi; enaga paypog'ini qo'yib, deraza oldiga chiqdi va tashqariga egilib ochiq ramkani ushlay boshladi. Sovuq shamol ro‘molining uchlarini, oqarib ketgan soch tolalarini g‘ijimladi.
- Malika, onam, kimdir prefektura bo'ylab ketmoqda! — dedi ayol ramkani ushlab, yopmasdan. - Chiroq bilan, shunday bo'lishi kerak, doxtur ...
- Yo Xudo! Xudoga shukur! - dedi malika Meri, - biz u bilan uchrashishimiz kerak: u rus tilini bilmaydi.
Malika Marya ro'molini tashladi va sayohatchilarni kutib olish uchun yugurdi. U old dahlizdan o'tganida, u derazadan kiraverishda qandaydir arava va chiroqlar turganini ko'rdi. U zinapoyaga chiqdi. Qo'rqinchli ustunda yog'li sham turar va shamoldan oqib turardi. Ofitsiant Filipp qo'rqib ketgan yuz bilan va qo'lida boshqa sham bilan pastda, zinapoyaning birinchi qo'nishida turardi. Bundan ham pastroqda, egilish atrofida, zinapoyada issiq etik kiygan qadamlar eshitilardi. Va qandaydir tanish ovoz, malika Meriga o'xshab, nimadir demoqchi edi.

Jismlar bir guruh bo'lib, ularning barcha elementlari berilgan tananing nolga teng bo'lmagan elementlari bo'lib, operatsiya tanadagi ko'payish operatsiyasi bilan bir xil. M. g. dalalari abel guruhidir. O. A. Ivanova ... Matematik entsiklopediya

Modulli m qoldiqlarning kichraytirilgan tizimi - m ga modul moduli qoldiqlarning to'liq tizimining barcha raqamlari to'plami. Modulli m qoldiqlarning kichraytirilgan tizimi ph(m) sonlardan iborat, bu yerda ph( ) Eyler funksiyasi. Chegirmalarning qisqartirilgan tizimi sifatida ... ... Vikipediya

Guruh nazariyasi ... Vikipediya

Mavhum algebradagi guruh - bu quyidagi aksiomalarni qanoatlantiradigan ikkilik amali aniqlangan bo'sh bo'lmagan to'plamdir. Guruhlar bilan bog'liq bo'lgan matematikaning bo'limi guruh nazariyasi deb ataladi. Barcha tanish haqiqiy raqamlar ... ... Vikipediya bilan ta'minlangan

O'ng K modulda f ba'zi sesquilinear shakldagi avtomorfizmlar guruhi E, bu erda K - halqa; bundan tashqari, f va E (va ba'zan K) qo'shimcha shartlarni qondiradi. K. g ning aniq taʼrifi yoʻq. F nolga teng yoki degenerativ emas deb taxmin qilinadi... ... Matematik entsiklopediya

Identifikatsiyaga ega K assotsiativ halqa ustidagi n darajali barcha inversial matritsalar guruhi; umumiy belgi: GLn(K) yoki GL(n, K). P. l. d) GL(n, K) erkin o'ng K modulining Vs… … avtomorfizm guruhi sifatida ham aniqlanishi mumkin. Matematik entsiklopediya

Guruhlar nazariyasining umumiy tavsifi uchun Guruh (matematika) va Guruh nazariyasiga qarang. Kursiv bu lug'atga havolani bildiradi. # A B C D E F G I J K L M N O P R S T U ... Vikipediya

A bo'lsin?<А, ·>- multiplikativ guruh,

H - A, H? to'plamining kichik to'plami.

Ta'rif 1.<Н,·>- chaqirdi multiplikativ guruhning kichik guruhi Va agar quyidagi shartlar bajarilsa:

1. H - ikkilik operatsiyaga nisbatan yopiq "*" a, b H, ab H;

2. eH = eA mavjud - "°" ga nisbatan yagona element;

3. a H mavjud a-1 H.

Ta'rif 2. Agar H = A yoki H = (e), u holda<Н,·>A guruhining noto'g'ri kichik guruhi deb ataladi.

Agar H A, H A to'plamning to'g'ri kichik to'plami bo'lsa, u holda kichik guruh chaqiriladi A guruhining o'z kichik guruhi.

H \u003d A - A guruhining o'zi.

H \u003d (e) - bitta kichik guruh.

siklik kichik guruh multiplikativ guruh

Misol. Bu qiladi<А, ·>, bu erda A \u003d (1, - 1, i, - i), i - xayoliy birlik, guruh?

1) Multiplikativ guruhning shartlarini tekshiring.

"·" - A to'plamdagi ikkilik assotsiativ amal.

A to'plamidagi "·" uchun Cayley jadvali.

<А, ·>- kichik guruh.

Multiplikativ kichik guruhlarning muhim misoli deb ataladiganlardir multiplikativ tsiklik kichik guruhlar.

Bo'lsin<А, ·>- Guruh. E A elementi identifikatsiya elementidir. element a? e, A.

(a) - a elementining butun darajalar to'plami: (a) = (x = a n: n Z, a A, a ? e)

Yarmarka

Teorema 1.< (а), ·>guruhning kichik guruhidir<А, ·>.

Isbot. Keling, multiplikativ kichik guruhning shartlarini tekshiramiz.

1) H \u003d (a) - "·" ga nisbatan yopiq:

x \u003d a n, y \u003d a l, n, e Z, x, y H, xy \u003d a n a l \u003d a n + l H, chunki n+lZ;

2) e = 1 = a 0 H, A: x H xa 0 = a 0 x = x;

3) x \u003d a H, x -1 \u003d a -n H: a n a -n \u003d a -n a n \u003d a 0 \u003d 1.

1) dan - 3) ta'rifi bo'yicha H bizda< (а), ·>multiplikativ A guruhining kichik guruhidir.

Ta'rif 3. Keling<А, ·>ayrim multiplikativ guruh va

Elementning tartibi a eng kichik natural son n shundayki a n = e.

Misol. A = (1; - 1; i; - i) multiplikativ guruhning a = - 1, b = i, c = - i elementlarining tartiblarini toping.

1: (-1) 1 = - 1, (-1) 2 = 1 = e. Demak,

n = 2 - element tartibi - 1.

i: (i) 1 = i, (i) 2 = - 1, (i) 4 = 1 = e. Demak,

n = 4 - i elementning tartibi.

i: (-i) 1 = - i, (-i) 2 = - 1, (-i) 4 = 1 = e. Demak,

n = 4 element tartibi - i.

Teorema 2. Keling<А, ·>- guruh, A, a? e, a - n-tartibdagi element, u holda:

1) A guruhining (a) kichik guruhi quyidagi shaklga ega: (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, 2, ..., a n-1) -

n - a elementning manfiy bo'lmagan kuchlarining elementar to'plami;

2) a k , k Z elementning istalgan butun soni (a) va to'plamga tegishli

a k = e<=>k = nq, nN, qZ.

Isbot. Keling, barcha elementlar (a) har xil ekanligini ko'rsataylik. Buning aksini faraz qilaylik: a k = a l, k > l, keyin a k-l = e. k-l< n, что противоречит определению порядка элемента (а). В множестве (а) все элементы различны.

a k , K Z (a) to'plamga tegishli ekanligini ko'rsatamiz.

k = n, k: n, a k = a nq + r = a k × a nq + r = (a n) q × a r = e q × a r = e × a r = a r,

0? r? n? 1 => a k (a). Agar r = 0 bo'lsa, u holda k = nq<=>a k = e.

Ta'rif 4. Kichik guruh< (а), ·>, bu erda (a) \u003d (a 0 \u003d e, a, a 2, ..., a n-1), A guruhlari, a n-tartibning elementi deyiladi. A guruhining tsiklik kichik guruhi(A ning multiplikativ tsiklik kichik guruhi).

Ta'rif 5. O'zining kichik guruhiga to'g'ri keladigan guruh<А, ·>, < (а), ·>, multiplikativ tsiklik kichik guruh deyiladi tsiklik guruh.

Teorema 3. Har bir multiplikativ siklik guruh abeliandir.

Isbot. A = (a), a? e, a - guruhning yaratuvchi elementi

a k, a l A, a k N a l = a l N a k. Darhaqiqat, a k P a l = a k+l = a l+k = a l P a k, l,k Z.