Ikki (2Z, ) ning barcha butun darajalarining multiplikativ guruhini ko'rib chiqaylik, bu erda 2Z= (2 n | P e Z). Ushbu guruhning qo'shimcha til analogi juft butun sonlarning qo'shimcha guruhi (2Z, +), 2Z = (2n | p e Z). beraylik umumiy ta'rif guruhlar, ulardan bu guruhlar alohida misollardir.
Ta'rif 1.8. Multiplikativ guruh (G,) (qo'shimchalar guruhi (G, +)) deyiladi tsiklik, agar u bitta elementning barcha butun sonidan (mos ravishda barcha ko'paytmalari) iborat bo'lsa a e G, bular. G=(a p | p e Z) (mos ravishda, G - (pa | p e Z)). Belgilanishi: (a), o'qiladi: a elementi tomonidan hosil qilingan tsiklik guruh.
Misollarni ko'rib chiqing.
- 1. Ko'paytiruvchi cheksiz siklik guruhga misol sifatida ba'zi bir qo'zg'almas butun sonning barcha butun darajalari guruhini keltirish mumkin. a F±1, u belgilangan va janob Shunday qilib, va d - (a).
- 2. Ko'paytmali chekli siklik guruhga ildizlarning Cn guruhi misol bo'la oladi n-daraja birlikdan. Eslatib o'tamiz, birlikning n- ildizlari
formula bo'yicha e k= cos---hisin^-, qaerda k = 0, 1, ..., P - 1. Kuzatish - p p
Muhimi, S „ \u003d (e x) \u003d (e x \u003d 1, e x, ef \u003d e 2, ..., e "-1 \u003d? „_ x). Esda tuting murakkab sonlar e k, k = 1, ..., P - 1, ga ajratuvchi birlik doiradagi nuqtalar bilan ifodalanadi P teng qismlar.
- 3. Qo'shimchali cheksiz siklik guruhning xarakterli misoli Z butun sonlarining qo'shimcha guruhidir, u 1 raqami bilan hosil bo'ladi, ya'ni. Z = (1). Geometrik jihatdan u raqam chizig'ining butun nuqtalari sifatida tasvirlangan. Mohiyatan ko‘paytiruvchi guruh ham xuddi shunday tasvirlangan 2 7 - = (2), umuman a z \u003d (a), butun son qayerda a F±1 (1.3-rasmga qarang). Tasvirlarning bu o'xshashligi 1.6-bo'limda muhokama qilinadi.
- 4. Ixtiyoriy ravishda tanlaymiz multiplikativ guruh G ba'zi element lekin. Keyin ushbu elementning barcha butun soni tsiklik kichik guruhni (a) = hosil qiladi (a p p e Z) G.
- 5. Q ratsional sonlarning qo‘shimcha guruhining o‘zi siklik emas, balki uning istalgan ikkita elementi tsiklik kichik guruhda yotishini isbotlaylik.
A. Q qo‘shimcha guruhi siklik emasligini isbotlaylik. Buning aksini faraz qilaylik: Q = bo'lsin (-). Butun son bor b,
bo'lmaslik T. Chunki - eQ = (-) = sn-|neZ>, u holda bor
b t/ ( t J
- = n 0 - bo'ladigan rc 0 butun soni mavjud. Ammo keyin m = n 0 kb,
qayerda t:b- qarama-qarshilikka keldi.
B. Ikki ixtiyoriy ekanligini isbotlaylik ratsional sonlar -
dan „ /1
va - tsiklik kichik guruhga tegishli (-), bu erda T bor d t/
raqamlarning kichik umumiy soni b Va d. Haqiqatan ham, ruxsat bering t-bu
, va ai 1 /1 dan cv 1/1
va m = av, u, v e Z, keyin - = - = ai-e(-)u - = - = cv-e(-).
b bu t t/ a dv t t/
1.3 teorema. Tsiklik guruhning tartibi ushbu guruhning hosil qiluvchi elementining tartibiga teng, ya'ni.|(a)| = |a|.
Isbot. 1. |a| bo'lsin = ">. Keling, hammasini isbotlaylik tabiiy darajalar element lekin boshqacha. Buning aksini tasavvur qiling: ruxsat bering a k = a t va 0 dan Keyin T - uchun - natural son Va a t ~ k = e. Lekin bu haqiqatga zid keladi | | a =°°. Shunday qilib, elementning barcha tabiiy kuchlari lekin farq qiladi, bundan (a) guruh cheksiz ekanligi kelib chiqadi. Shuning uchun, | (a)| = °° = |a |.
2. Keling | a | = n. Keling, buni isbotlaylik (a) \u003d (e - a 0, a, 2,..., a "-1).Korilishi (a 0, a, a 2, ..., o" 1-1) c (a) siklik guruhning ta'rifidan kelib chiqadi. Keling, teskari inklyuziyani isbotlaylik. Tsiklik guruhning ixtiyoriy elementi (lekin) shaklga ega da, qayerda bular Z. Shnaplarni qolganga bo'ling: m-nq + r, qaerda 0 p. beri a n = e, keyin da = a p i + g \u003d a p h? a r = a r e(a 0, a, a 2,..., a "- 1). Demak, (a) c (a 0, a, a 2, ..., Shunday qilib, (a) \u003d (a 0, a, a 2, ..., a" - bitta).
To'plamning barcha elementlari (a 0, a, a 2,..., a” -1 ) farqlanadi. Aksincha, 0 i bo'lsin P, lekin a" = lekin). Keyin u - e va 0 j - i - shartiga zid keldi | a | = P. Teorema isbotlangan.
Kozeta, Lagranj teoremasi
Bo'lsin H guruh kichik guruhi G. Elementning chap koseti a kichik guruh bo'yicha H elementlar to'plami deb ataladi Oh, qayerda h tegishli H. Chap koset belgilangan aH. Xuddi shunday, elementning o'ng koseti kiritiladi a kichik guruh bo'yicha H, degan ma'noni anglatadi Ha.
Kichik guruh har doim neytral elementga ega bo'lganligi sababli, har bir element a qo'shni sinfda joylashgan aH (Ha).
Mulk 2.7. Elementlar a Va b kichik guruh bo'yicha bir xil chap kosetga tegishli H agar va faqat agar
Isbot. Agar , keyin b=Oh, va shuning uchun b chap kosetga tegishli aH. Aksincha, keling , keyin bu , va bor.
2.2 teorema. Agar chap (o'ng) elementlarning kosetlari a Va b H kichik guruhi tomonidan umumiy element mavjud, keyin ular bir-biriga mos keladi.
Isbot. Bo'lsin. Keyin bo'ladi. Chap qo'shni sinfdan ixtiyoriy element aH chap kosetda joylashgan bH. Haqiqatan ham, uchun, va, shuning uchun. Qo'shilish xuddi shunday isbotlangan. Shunday qilib, teorema isbotlangan.
Xulosa 2.1. Chap kosetalar kesishmaydi yoki mos kelmaydi.
Isbot aniq.
Xulosa 2.2. Chap (o'ng) koset H ga ekvikardinaldir.
Isbot. Kichik guruh elementlari o'rtasida yozishmalarni o'rnating H va qo'shni sinfning elementlari aH formula bo'yicha. Muloqot birma-bir. Shunday qilib, da'vo isbotlangan.
2.3 teorema (Lagranj). Cheklangan guruhning tartibi uning kichik guruhining tartibiga bo'linadi.
Isbot. Bo'lsin G- buyurtma guruhi n, lekin H- kichik guruh G buyurtma k.Tenglik amal qiladi. Tenglikning o'ng tomonidagi takrorlanuvchi shartlarni olib tashlaymiz. Natijada, kesishmaydigan qo'shni sinflar qoladi. Chunki qo'shni sinfdagi elementlar soni , u holda , qaerda m alohida kosetalar soni. Bu tenglikni o'rnatadi n=mk, bu talab qilingan narsa.
Aniq kosetalar soni kichik guruh indeksi deb ataladi H bir guruhda G.
G guruhidagi elementlar to'plami, agar G guruh operatsiyasi ostida ushbu to'plamni yopish orqali olingan bo'lsa, hosil qiluvchi deyiladi.
Bitta element tomonidan yaratilgan guruhga siklik deyiladi.
Xulosa 2.3. Har qanday guruh tsiklik kichik guruhni o'z ichiga oladi.
Isbot. Bo'lsin a-guruh elementi G. To'plam tsiklik kichik guruhdir.
Element tomonidan yaratilgan tsiklik kichik guruhning tartibi a, elementning tartibi deyiladi.
Mulk 2.8. Agar element a tartib bor n, keyin a n=e.
Isbot. Keling, ketma-ketlikni ko'rib chiqaylik. Ketma-ketlikdagi atamalar soni cheksiz bo'lgani uchun va elementning vakolatlari uchun a chegaralangan sonli imkoniyatlar mavjud bo'lsa, u holda ketma-ketlikda bir xil atamalar sodir bo'ladi. Qaerga ruxsat bering k<j Va k birinchi takrorlanuvchi atama. Keyin , va shuning uchun a'zo k-j+ 1 takrorlanadi. Binobarin, j=1 (aks holda). Shunday qilib, ketma-ketlik shakl va undagi takroriy to'plamlardan iborat k- 1 xil element. Binobarin, k=n+1. O'shandan beri .
Har qanday elementning tartibi guruh tartibining bo'luvchisidir, shuning uchun a | G | =e guruhning har qanday elementi uchun.
Xulosa 2.4. Guruh tartibi guruhning istalgan elementining tartibiga teng bo'linadi.
Isbot aniq.
2.4 teorema (tsiklik guruhlar bo'yicha)
I. Har qanday tabiiy uchun n siklik tartibli guruh mavjud n.
II. Bir xil tartibdagi siklik guruhlar bir-biriga izomorf.
III. Cheksiz tartibli siklik guruh butun sonlar guruhiga izomorfdir.
IV. Tsiklik guruhning har qanday kichik guruhi siklikdir.
V. Har bir bo‘luvchi uchun m raqamlar n(va faqat ular uchun) tsiklik guruhda n Buyurtmaning yagona kichik guruhi mavjud m.
Isbot. Darajaning murakkab ildizlari to'plami n 1 dan ko'paytirish amaliga nisbatan siklik tartib guruhini hosil qiladi n. Shunday qilib, birinchi da'vo isbotlangan.
Tsiklik guruh bo'lsin G buyurtma n element tomonidan hosil qilingan a, va tsiklik guruh H, bir xil tartibda, element tomonidan hosil qilinadi b. Muloqot birma-bir bo'lib, operatsiyani saqlaydi. Ikkinchi dalil isbotlangan
Element tomonidan yaratilgan cheksiz tartibli siklik guruh a, elementlardan tashkil topgan. Muloqot birma-bir bo'lib, operatsiyani saqlaydi. Shunday qilib, uchinchi fikr isbotlangan.
Bo'lsin H siklik guruhning kichik guruhidir G element tomonidan hosil qilingan a. Elementlar H daraja hisoblanadi a. Keling, tanlaylik H a. Bu element bo'lsin. Keling, ushbu element kichik guruhda yaratilayotganligini ko'rsatamiz H. dan ixtiyoriy elementni oling H. Ish ichiga kiritilgan H har qanday uchun r. Keling, tanlaymiz r bo'linish qismiga teng k ustida j, keyin k-rj bo'lingandan keyin qolgan qoldiq bor k ustida j va shuning uchun kamroq j. Chunki ichida H nol bo'lmagan kuchlar bo'lgan elementlar yo'q a, dan kichik; .. dan kamroq j, keyin k-rj= 0 va . To'rtinchi da'vo isbotlangan.
Tsiklik guruh bo'lsin G buyurtma n element tomonidan hosil qilingan a. Element tomonidan yaratilgan kichik guruh buyurtmaga ega m. Kichik guruhni ko'rib chiqing H buyurtma m. Keling, tanlaylik H mutlaq qiymatdagi eng kichik nolga teng bo'lgan element a. Bu element bo'lsin. Keling, buni ko'rsataylik j=n/m. Element tegishli H. Shuning uchun, shaklning nolga teng bo'lmagan raqami rj-nv mutlaq qiymatdan kam emas j, bu faqat agar mumkin bo'lsa n tomonidan bo'linadi j izsiz. tomonidan yaratilgan kichik guruh buyurtmaga ega n/j=m, Binobarin, j=n/m. Kichik guruhning hosil qiluvchi elementi uning tartibi bilan yagona aniqlanganligi sababli, beshinchi tasdiq isbotlangan.
kichik guruh deb ataladi tsiklik kichik guruh. Muddati eksponentatsiya bu erda guruh operatsiya elementiga bir nechta ilovani bildiradi:Ushbu jarayon natijasida hosil bo'lgan to'plam matnda sifatida belgilanadi . Shuni ham yodda tutingki, a 0 = e .
5.7-misol
G guruhidan =< Z 6 , +>to'rtta tsiklik kichik guruhlarni olish mumkin. Bu H 1 =<{0},+>, H 2 =<{0, 2, 4}, +>, H 3 =<{0, 3}, +> va H4=G. E'tibor bering, agar amal qo'shish bo'lsa, a n ni a ga ko'paytirishni anglatadi. Shuni ham yodda tutingki, ushbu guruhlarning barchasida operatsiya modul 6 qo'shiladi. Quyida ushbu tsiklik kichik guruhlarning elementlarini qanday topishimiz ko'rsatilgan.
a. 0 dan hosil bo'lgan tsiklik kichik guruh H 1 va faqat bitta elementga (neytral element) ega.
b. 1 dan hosil bo'lgan tsiklik kichik guruh H 4 dir, bu G guruhining o'zi.
1 0 mod 6 = 0 1 1 mod 6 = 1 1 2 mod 6 = (1 + 1) mod 6 = 2 1 3 mod 6 = (1 + 1 + 1) mod 6 = 3 1 4 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 4 1 5 mod 6 = (1 + 1 + 1 + 1 + 1) mod 6 = 5 (to'xtating, keyin jarayon takrorlanadi)
ichida. 2 dan hosil bo'lgan tsiklik kichik guruh H 2 bo'lib, u uchta elementga ega: 0, 2 va 4.
2 0 mod 6 = 0 2 1 mod 6 = 2 2 2 mod 6 = (2 + 2) mod 6 = 4 (to‘xtating, keyin jarayon takrorlanadi)
d) 3 dan hosil bo'lgan tsiklik kichik guruh H 3 bo'lib, u ikkita elementga ega: 0 va 3 .
e) 4 , - H 2 dan hosil bo'lgan tsiklik kichik guruh; bu yangi kichik guruh emas.
4 0 mod 6 = 0 4 1 mod 6 = 4 4 2 mod 6 = (4 + 4) mod 6 = 2 (to‘xtating, keyin jarayon takrorlanadi)
e) 5 dan hosil bo'lgan tsiklik kichik guruh H 4, ya'ni G guruhining o'zi.
5 0 mod 6 = 0 5 1 mod 6 = 5 5 2 mod 6 = 4 5 3 mod 6 = 3 5 4 mod 6 = 2 5 5 mod 6 = 1 (to‘xtatish, jarayonni takrorlash)
5.8-misol
Guruhdan uchta tsiklik kichik guruhni olish mumkin. G faqat to'rtta elementga ega: 1, 3, 7 va 9 . Tsiklik kichik guruhlar - 
Va . Quyida ushbu kichik guruhlarning elementlarini qanday topishimiz ko'rsatilgan.
a. 1 dan hosil qilingan tsiklik kichik guruh H 1 dir. Kichik guruh faqat bitta elementga ega, ya'ni neytral.
b. 3 dan hosil bo'lgan tsiklik kichik guruh H 3 bo'lib, bu G guruhidir.
3 0 mod 10 = 1 3 1 mod 10 = 3 3 2 mod 10 = 9 3 3 mod 10 = 7 (to'xtating, keyin jarayon takrorlanadi)
ichida. 7 dan hosil bo'lgan tsiklik kichik guruh H 3 bo'lib, bu G guruhidir.
7 0 mod 10 = 1 7 1 mod 10 = 7 7 2 mod 10 = 9 7 3 mod 10 = 3 (to‘xtating, keyin jarayon takrorlanadi)
d) 9 dan hosil qilingan tsiklik kichik guruh H 2 dir. Kichik guruh faqat ikkita elementdan iborat.
9 0 mod 10 = 1 9 1 mod 10 = 9 (to'xtating, keyin jarayon takrorlanadi)
Tsiklik guruhlar
Tsiklik guruh ning tegishli tsiklik kichik guruhi bo'lgan guruhdir. 5.7-misolda G guruhi H 5 = G tsiklik kichik guruhiga ega. Bu G guruhi siklik guruh ekanligini bildiradi. Bunday holda, tsiklik kichik guruhni yaratuvchi element guruhning o'zini ham yaratishi mumkin. Ushbu element bundan keyin "generator" deb ataladi. Agar g generator bo'lsa, chekli siklik guruhdagi elementlarni quyidagicha yozish mumkin
(e,g,g 2 ,….., g n-1 ), bu yerda g n = e .
E'tibor bering, tsiklik guruh ko'plab generatorlarga ega bo'lishi mumkin.
5.9-misol
lekin. G guruhi =
b. Guruh ikki generatorli g = 3 va g = 7 bo'lgan tsiklik guruhdir.
Lagrange teoremasi
Lagrange teoremasi guruh tartibi va uning kichik guruhi tartibi o'rtasidagi munosabatni ko'rsatadi. Faraz qilaylik, G guruh, H esa G ning kichik guruhi. Agar G va H ning tartibi |G| bo'lsa va |H| , mos ravishda, keyin bu teorema bo'yicha |H| ajratadi |G| . 5.7-misolda |G| = 6. Kichik guruh tartibi - |H1| = 1, | H2| = 3, |H3| = 2 va |H4| = 6. Shubhasiz, bu tartiblarning barchasi 6 ning bo'luvchisidir.
Lagrange teoremasi juda qiziqarli qo'llanilishiga ega. Qachon G guruh va uning tartibi |G| , bo'linuvchilarni topish mumkin bo'lsa, potentsial kichik guruhlarning tartiblarini osongina aniqlash mumkin. Masalan, guruhning tartibi G =
Element tartibi
Element tartibi guruhdagi ord(a) (tartib(a)) eng kichik n butun son bo'lib, a n = e bo'ladi. Boshqacha qilib aytganda: elementning tartibi u yaratgan guruhning tartibidir.
5.10-misol
a. G guruhida =
b. G guruhida =
O guruhi, agar uning barcha elementlari bir elementning darajalari bo'lsa, siklik deyiladi.Bu element O tsiklik guruhining generatori deyiladi.Har qanday siklik guruh aniq abeliandir.
Tsiklik guruh, masalan, qo'shish orqali butun sonlar guruhidir. Biz ushbu guruhni 2 belgisi bilan belgilaymiz. Uning avlodi 1 raqami (shuningdek, raqam - 1). Tsiklik guruh ham faqat bitta elementdan (bitta) tashkil topgan guruhdir.
Ixtiyoriy O guruhida har qanday g elementning vakolatlari g generatori bilan tsiklik kichik guruh hosil qiladi. Bu kichik guruhning tartibi g elementning tartibi bilan aniq mos keladi. Bu yerdan, Lagranj teoremasi (32-betga qarang) tufayli, guruhning istalgan elementining tartibi guruh tartibini ajratadi, degan xulosa kelib chiqadi (cheklangan guruhning barcha elementlari chekli tartibning elementlari ekanligiga e'tibor bering).
Demak, chekli tartibli guruhning har qanday g elementi uchun tenglik
Ushbu oddiy izoh ko'pincha foydali bo'ladi.
Haqiqatan ham, agar O guruhi siklik va uning generatori bo'lsa, elementning tartibi . Aksincha, agar O guruhi tartib elementiga ega bo'lsa, unda bu elementning vakolatlari orasida turli xillari mavjud va shuning uchun bu darajalar butun O guruhini tugatadi.
Shunday qilib, biz tsiklik guruhda bir nechta turli generatorlar bo'lishi mumkinligini ko'ramiz (ya'ni, tartibning har qanday elementi generatordir).
Vazifa. Har qanday guruh ekanligini isbotlang oddiy tartib siklik guruhdir.
Vazifa. Tartibning siklik guruhida aynan generatorlar borligini isbotlang, bu raqam qayerda ijobiy raqamlar, kichikroq va bilan moslashtiring.
Buyurtma bilan bir qatorda har qanday chekli guruhga raqam berilishi mumkin - uning barcha elementlari tartiblarining eng kichik umumiy karrali.
Vazifa. Har qanday chekli O guruhi uchun raqam guruh tartibini ajratishini isbotlang.
Shubhasiz, tsiklik guruh uchun raqam tartib bilan mos keladi. Qarama-qarshilik odatda to'g'ri emas. Shunga qaramay, chekli abel guruhlari sinfidagi siklik guruhlarni tavsiflovchi quyidagi tasdiq amal qiladi:
soni uning tartibiga teng bo'lgan chekli Abel guruhi O tsiklik guruhdir.
Haqiqatan ham, ruxsat bering
Cheklangan Abel guruhi O ning barcha mumkin bo'lgan yagona bo'lmagan elementlarining tartiblari tartibli va ularning eng kichik umumiy karrali bo'lsin.
Keling, sonni turli tub sonlarning darajalari ko'paytmasiga aylantiramiz:
Keling, son, ta'rifiga ko'ra, (1) sonlarning eng kichik umumiy karrali bo'lganligi sababli, bu sonlar orasida, ya'ni ga aniq bo'linadigan kamida bitta raqam mavjud bo'lib, bu erda b ga ko'paytiriladi. Bu son g elementning tartibi bo'lsin. Keyin elementning tartibi bor (29-betdagi Xulosa 1-ga qarang).
Shunday qilib, O guruhidagi har bir kishi uchun kamida bitta tartib elementi mavjud.Har biri uchun bitta shunday elementni tanlab, ularning mahsulotini ko'rib chiqing. 29-30-betlarda isbotlangan bayonotga ko'ra, ushbu mahsulotning tartibi buyurtmalar mahsulotiga teng, ya'ni. soniga teng. Oxirgi son shart bo'yicha ga teng bo'lgani uchun bu O guruhida n tartibli element mavjudligini isbotlaydi. Demak, bu guruh siklik guruhdir.
Endi O generatorga ega bo'lgan ixtiyoriy tsiklik guruh, H esa uning kichik guruhlari bo'lsin. H kichik guruhining har qanday elementi O guruhining elementi bo'lganligi sababli, uni quyidagicha ifodalash mumkin, bu erda d - qandaydir musbat yoki manfiy butun son (umuman aytganda, u yagona aniqlanmagan). Elementi H kichik guruhiga tegishli bo'lgan barcha musbat sonlar to'plamini ko'rib chiqaylik. Bu to'plam bo'sh bo'lmagani uchun (nima uchun?), unda mavjud. eng kichik raqam Ma'lum bo'lishicha, H kichik guruhining har qanday elementi h elementning darajasi hisoblanadi. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, d soni mavjud bo'lib, shunday (d raqami ham manfiy bo'lishi mumkin). d raqamini (qoldiq bilan) songa bo'ling
Chunki , demak, sonning minimalligi tufayli qoldiq nolga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, .
Bu element H guruhining generatori ekanligini, ya'ni H guruhining siklik ekanligini isbotlaydi. Demak, siklik guruhning har qanday kichik guruhi siklik guruhdir.
Vazifa. Bu raqam H kichik guruhi indeksiga teng ekanligini va shuning uchun O guruhining tartibini bo'lishini isbotlang (agar O guruhi cheklangan bo'lsa).
Bundan tashqari, chekli siklik Q guruhining har qanday tartibli bo'luvchisi uchun O guruhida bitta va faqat bitta H tartibli kichik guruh mavjud (ya'ni, generatorli kichik guruh)
Bu shuni anglatadiki, agar cheklangan tsiklik guruh oddiy bo'lsa, uning tartibi ham shunday bo'ladi tub son(yoki birlik).
Nihoyat, biz siklik Q guruhining har qanday bo'lak guruhi, demak, har qanday gomomorf tasviri) tsiklik guruh ekanligini ta'kidlaymiz.
Buning isboti uchun guruh generatori O guruhi generatorini o'z ichiga olgan koset ekanligini ta'kidlash kifoya.
Xususan, Z butun sonlar guruhining har qanday omil guruhi siklik guruhdir. Keling, ushbu tsiklik guruhlarni batafsilroq o'rganamiz.
Z guruhi abelian bo'lgani uchun uning har qanday kichik guruhlari R oddiy bo'luvchidir. Boshqa tomondan, yuqorida isbotlangan narsaga ko'ra, H kichik guruhi tsiklik guruhdir. Arzimas kichik guruhlar bo'yicha bo'linmalar guruhlari bizga ma'lum bo'lganligi sababli, biz kichik guruh ėni ahamiyatsiz deb hisoblashimiz mumkin. Raqam H kichik guruhining generatori bo'lsin. Biz bu sonni musbat (nima uchun?) va shuning uchun bittadan katta deb hisoblashimiz mumkin.
H. kichik guruhi, shubhasiz, ga boʻlinadigan barcha butun sonlardan iborat. Shuning uchun ikkita raqam H kichik guruhiga nisbatan bir xil kosetga tegishli, agar ularning farqi ga bo'linadigan bo'lsa, ya'ni modul bo'yicha solishtirish mumkin bo'lsa (Qarang: Kurs, 277-bet). Shunday qilib, H kichik guruhiga nisbatan kosetlar taqqoslanadigan modulli raqamlar sinflaridan boshqa narsa emas.
Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, H kichik guruhiga nisbatan Z guruhining omillar guruhi taqqoslanadigan modulli sonlar sinflari guruhidir (qo'shish orqali). Biz bu guruhni uning generatori 1 raqamini o'z ichiga olgan sinf bilan belgilaymiz.
Ma’lum bo‘lishicha, har qanday siklik guruh yo Z guruhiga (agar u cheksiz bo‘lsa) yoki guruhlardan biriga (agar uning tartibi chekli bo‘lsa) izomorf bo‘ladi.
Haqiqatan ham, O guruhining generatori bo'lsin. Biz 2-guruhning O guruhiga xaritasini belgilash orqali aniqlaymiz.
cheklangan guruhlar
Guruh (yarim guruh) deyiladi yakuniy agar u cheklangan miqdordagi elementlardan iborat bo'lsa. Cheklangan guruh elementlari soni uning deyiladi tartibda; ... uchun. Cheklangan guruhning har qanday kichik guruhi chekli hisoblanadi. Va agar HÍ G- guruhning kichik guruhi G, keyin har qanday element uchun lekinÎ G kopgina Ustida={X: x=h◦a, har qanday uchun hÎ H) deyiladi chap qo'shni sinf uchun G nisbatan H. Undagi elementlar soni aniq Ustida buyurtmaga teng H. (Shunga o'xshab, ta'rifni shakllantirish mumkin a N– ga nisbatan o‘ng koset H).
Har qanday kichik guruh uchun bu muhim H guruhlar G tomonidan istalgan ikkita chap (o'ng) koset H mos keladi yoki kesishmaydi, shuning uchun har qanday guruh ajratilgan chap (o'ng) kosetlar birlashmasi sifatida ifodalanishi mumkin. H.
Haqiqatan ham, agar ikkita sinf bo'lsa N a Va Hb, qayerda a, bÎ G, umumiy elementga ega X, keyin mavjud tÎ H shu kabi x = t◦a. Va keyin chap sinf uchun X: H x={y: y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Í H a, lekin a=t ‑1 ◦x Va N a={y: y=h◦a= h◦(t ‑1 ◦x) = (h◦t ‑1)◦x} Í H x. Bu yerdan H x=N a. Xuddi shunday, buni ko'rsatish mumkin H x=H b. Va shuning uchun N a=H b. Agar sinflar N a Va Hb Yo'q umumiy elementlar, keyin ular kesishmaydi.
Guruhning chap (o'ng) kosetlarga bo'linishi deyiladi guruhning H kichik guruhi nuqtai nazaridan parchalanishi.
2.6.1 teorema. Cheklangan guruhning tartibi uning har qanday kichik guruhlari tartibiga bo'linadi.
Isbot. Chunki G chekli guruh, keyin uning har qanday kichik guruhlari H cheklangan tartib bor. Guruhning kichik guruhlarga bo'linishini ko'rib chiqing H. Ushbu parchalanishdagi har bir kosetda elementlar soni bir xil va tartib bilan tengdir H. Shuning uchun, agar n- guruh tartibi G, lekin k- kichik guruh tartibi H, keyin n=m× k, qayerda m tomonidan kosetlar soni hisoblanadi H guruhning parchalanishida G.
Agar biron bir element uchun aÎ G Þ N a=a N(kichik guruhlar bo'yicha chap va o'ng kosetlar H o'yin), keyin H chaqirdi normal bo'luvchi guruhlar G.
Bayonot: agar G kommutativ guruh, keyin uning har qanday kichik guruhlari H oddiy bo'luvchidir G.
Guruhdagi (yarim guruhdagi) harakatning assotsiativligini hisobga olgan holda, biz uchta elementning "mahsuloti" haqida gapirishimiz mumkin ( lekin◦b◦c) =(lekin◦b)◦c = lekin◦(b◦c). Tushuncha murakkab ish dan n elementlar: lekin 1 ◦lekin 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.
Ishlash n Guruhning bir xil elementlari deyiladi element darajasi va belgilandi a n=. Bu ta'rif har qanday tabiiy uchun mantiqiy n. Har qanday guruh elementi uchun aÎ G tayinlash lekin 0 =e guruhning neytral elementi hisoblanadi G. Va elementning salbiy kuchlari a ‑ n sifatida belgilangan ( a ‑1)n yoki ( a n) -1 , qaerda a-1 - teskari element lekin. Ikkala ta'rif a ‑ n mos keladi, chunki a n◦(a ‑1)n = (lekin◦lekin◦ ¼◦ lekin)◦(a ‑1 ◦a-1◦ ¼◦ a ‑1) = lekin◦lekin◦¼◦( lekin◦a ‑1)◦a-1 ◦¼◦ a ‑1 =e n =e. Shunday qilib, ( a ‑1)n = (a n) ‑1 .
Qo'shimchalar guruhida element darajasining analogi a n bo'ladi n-uning ko'pligi, odatda belgilanadi na, bu mahsulot sifatida qabul qilinmasligi kerak n ustida lekin, darajada nÎℕ va ehtimol nÏ G. Bu. na⇋ qayerda n nℕ va 0 lekin=e⇋0 va (- n)a = ‑(na) = n(‑a) har qanday tabiiy uchun n, qaerda (- a) ga teskari aÎ G.
Har qanday butun sonlar uchun tanlangan belgi ostida buni ko'rsatish oson m Va n va har qanday uchun aÎ G mashhur xususiyatlar amalga oshiriladi: lekin) multiplikativ yozuv bilan a n ◦a m = a n + m va ( a n)m = a nm; b) qo'shimcha belgilar bilan na+ma = (n+m)a Va n(ma)=(nm)a.
Guruhning bir qismini ko'rib chiqing G, ixtiyoriy elementning barcha vakolatlaridan tashkil topgan gÎ G. Uni belgilaylik A g. Shunday qilib, A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Shubhasiz, A g guruhning kichik guruhidir G, chunki har qanday elementlar uchun X,daÎ A g shundan kelib chiqadi ( X◦da)Î A g, va har qanday element uchun XÎ A g bo'ladi X-1 O A g, Bundan tashqari, g 0 =eÎ A g.
Kichik guruh A g chaqirdi tsiklik kichik guruh guruhlar G element tomonidan hosil qilingan g. Bu kichik guruh har doim, hatto o'zi bo'lsa ham, kommutativdir G kommutativ emas. Agar guruh G uning tsiklik kichik guruhlaridan biriga to'g'ri keladi, keyin u deyiladi tsiklik guruh element tomonidan hosil qilingan g.
Agar elementning barcha vakolatlari bo'lsa g boshqacha, keyin guruh G chaqirdi cheksiz siklik guruh va element g- element cheksiz tartib.
Agar tsiklik guruh elementlari orasida teng bo'lsa, masalan, g k=g m da k>m, keyin gk-m=e; va ifodalovchi k-m bo'ylab n, olamiz gn=e, nÎℕ.
Eng kam tabiiy ko'rsatkich n shu kabi gn=e, deyiladi g elementning tartibi, va elementning o'zi g chaqirdi chekli tartibli element.
Bunday elementni har doim chekli guruhda topish mumkin, lekin u cheksiz guruhda ham bo'lishi mumkin.
Barcha elementlari cheklangan tartibda bo'lgan guruhlar deyiladi davriy nashr.
Chekli guruhning har qanday elementi chekli tartibga ega bo'lganligi sababli, barcha chekli guruhlar davriydir. Bundan tashqari, barchasi davriydir. tsiklik kichik guruhlar chekli guruh, chunki ular chekli va chekli tartibli har bir element n bir xil tartibdagi siklik guruhini hosil qiladi n, elementlardan iborat ( g 0 , g 1 , g 2,¼, gn- bitta). Haqiqatan ham, agar elementlarning soni ba'zilariga teng bo'lsa k<n, keyin g k=e=gn, bu tanlovga ziddir n, eng kam daraja sifatida shunday gn=e; boshqa tomondan, k>n ham mumkin emas, chunki bu holda, bir xil elementlar bo'ladi.
Bayonot: 1) barcha darajalar g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 farq qiladi, chunki agar teng bo'lsa, masalan, gi=gj (i>j), keyin g i-j=e, lekin ( i‑j)<n, va ta'rifi bo'yicha n- eng kichik daraja shunday gn=e.
2) har qanday boshqa daraja g, ijobiy yoki salbiy, elementlardan biriga teng g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 chunki har qanday butun son k ifoda bilan ifodalanishi mumkin: k=nq+r, qayerda q,rÎℤ va 0£ r<n, r- qoldiq va g k=gnq + r= gnq° r= (gn)q° r= e q° r= r.
1) Har bir guruh birinchi tartibdagi o'ziga xos elementga ega ( e) bir elementdan iborat birinchi tartibli siklik kichik guruhni hosil qilish e.
2) almashtirish guruhini ko'rib chiqing S 3 , elementlardan tashkil topgan: , , , , , . Buyurtma S 3=6. Element tartibi lekin 2 ga teng, chunki . Element tartibi b ham 2 ga teng, chunki . Element tartibi dan 3 ga teng, chunki Va . Element tartibi f ham 3 ga teng, chunki Va . Va nihoyat buyurtma d 2 ga teng, chunki . Shunday qilib, tsiklik kichik guruhlar S 3 elementlar tomonidan yaratilgan e, a, b, d, c Va f, mos ravishda teng: ( e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) va ( e, f, c), bu erda oxirgi ikkitasi mos keladi. Shuni ham yodda tutingki, har bir tsiklik kichik guruhning tartibi guruh tartibini qoldiqsiz ajratadi. Quyidagi teorema to'g'ri.
2.7.1 teorema. (Lagranj) Cheklangan guruhning tartibi uning istalgan elementining tartibiga bo'linadi (chunki elementning tartibi va u tomonidan hosil qilingan tsiklik kichik guruhning tartibi mos keladi).
Bundan tashqari, chekli guruhning istalgan elementi guruh tartibining kuchiga ko'tarilganda, guruhning o'ziga xosligini beradi. (Chunki g m=gnk=e k=e, qayerda m- guruh tartibi n- elementlar tartibi g, k butun son).
S guruhida 3 ta kichik guruh mavjud H={e, c, f) oddiy bo'luvchi, 2-tartibdagi kichik guruhlar esa oddiy bo'luvchilar emas. Buni chap va o'ng kosetlarni topish orqali tekshirish oson H guruhning har bir elementi uchun. Masalan, element uchun lekin chap qo'shni sinf Ustida={e ◦ a, dan◦ lekin, f◦ a} = {lekin, b, d) va to'g'ri koset a N={a ◦ e, lekin◦ c, lekin◦ f} = {lekin, d, b) mos keladi. Boshqa barcha elementlar uchun ham xuddi shunday S 3 .
3) Qo‘shish bilan barcha butun sonlar to‘plami generator elementi 1 (yoki -1) bilan cheksiz tsiklik guruh hosil qiladi, chunki 1 ga karrali har qanday butun son.
4) Ildizlar to'plamini ko'rib chiqing n‑ birlikdan daraja: E n=. Bu to'plam ildizlarni ko'paytirish operatsiyasiga nisbatan guruhdir. Haqiqatan ham, har qanday ikkita elementning mahsuloti e k Va e m dan E n, qayerda k, m £ n-1 ham element bo'ladi E n, chunki = = , qaerda r=(k+m) mod n Va r £ n- bitta; ko'paytirish assotsiativ, neytral elementdir e=e 0 =1 va har qanday element uchun e k teskari va mavjud. Bu guruh siklikdir, uning hosil qiluvchi elementi ibtidoiy ildizdir. Barcha darajalar har xil ekanligini ko'rish oson: , bundan keyin k³ n ildizlar qayta tiklana boshlaydi. Murakkab tekislikda ildizlar birlik radiusli doirada joylashgan va uni bo'linadi n 11-rasmda ko'rsatilganidek, teng yoylar.
Oxirgi ikkita misol, asosan, barcha tsiklik guruhlarni tugatadi. Chunki quyidagi teorema to'g'ri.
2.7.2 teorema. Barcha cheksiz siklik guruhlar bir-biriga izomorfdir. Barcha chekli siklik tartib guruhlari n bir-biriga izomorf.
Isbot. Bo'lsin ( G, ∘) generatorli cheksiz siklik guruhdir g. Keyin bijektiv xaritalash mavjud f: ℤ ® G Shunday qilib, har qanday butun sonlar uchun k Va m ularning tasvirlari f(k) Va f(m), mos ravishda teng g k Va g m, elementlardir G. Va unda f(k+m)=f(k)∘f(m), kabi g k + m=g k∘ g m.
Keling, ( G, ∘) tartibning chekli siklik guruhidir n asosiy element bilan g. Keyin har bir element g kÎ G yagona yo'l - elementga mos kelishdir e kÎ E n(0£ k<n), qoidaga muvofiq f(g k)=e k. Va shunga qaramay, har qanday uchun g k Va g mÎ G shunga amal qiladi f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), kabi f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(r), qayerda r=(k+m) mod n, Va f(r)=er=e k× e m. Bunday taqqoslash bijektiv xaritalash ekanligi aniq.