O guruhi, agar uning barcha elementlari bir elementning darajalari bo'lsa, siklik deyiladi.Bu element O tsiklik guruhining generatori deyiladi.Har qanday siklik guruh aniq abeliandir.

Tsiklik guruh, masalan, qo'shish orqali butun sonlar guruhidir. Biz ushbu guruhni 2 belgisi bilan belgilaymiz. Uning avlodi 1 raqami (shuningdek, raqam - 1). Tsiklik guruh ham faqat bitta elementdan (bitta) tashkil topgan guruhdir.

Ixtiyoriy O guruhida har qanday g elementning vakolatlari g generatori bilan tsiklik kichik guruh hosil qiladi. Bu kichik guruhning tartibi g elementning tartibi bilan aniq mos keladi. Bu erdan, Lagranj teoremasi (32-betga qarang) tufayli, guruhning har qanday elementining tartibi guruh tartibini ajratadi (esda tutingki, barcha elementlar cheklangan guruh chekli tartibli elementlardir).

Demak, chekli tartibli guruhning har qanday g elementi uchun tenglik

Ushbu oddiy izoh ko'pincha foydali bo'ladi.

Haqiqatan ham, agar O guruhi siklik va uning generatori bo'lsa, elementning tartibi . Aksincha, agar O guruhi tartib elementiga ega bo'lsa, unda bu elementning vakolatlari orasida turli xillari mavjud va shuning uchun bu darajalar butun O guruhini tugatadi.

Shunday qilib, biz tsiklik guruh bir nechta turli generatorlarga ega bo'lishi mumkinligini ko'ramiz (ya'ni, tartibning har qanday elementi generatordir).

Vazifa. Har qanday guruh ekanligini isbotlang oddiy tartib siklik guruhdir.

Vazifa. Tartibning siklik guruhida aynan generatorlar borligini isbotlang, bu raqam qayerda ijobiy raqamlar, kichikroq va bilan moslashtiring.

Buyurtma bilan bir qatorda har qanday chekli guruhga raqam berilishi mumkin - uning barcha elementlari tartiblarining eng kichik umumiy karrali.

Vazifa. Har qanday chekli O guruhi uchun raqam guruh tartibini ajratishini isbotlang.

Shubhasiz, tsiklik guruh uchun raqam tartib bilan mos keladi. Qarama-qarshilik odatda to'g'ri emas. Shunga qaramay, chekli Abel guruhlari sinfidagi tsiklik guruhlarni tavsiflovchi quyidagi tasdiq amal qiladi:

soni uning tartibiga teng bo'lgan chekli Abel guruhi O tsiklik guruhdir.

Haqiqatan ham, ruxsat bering

Cheklangan Abel guruhi O ning barcha mumkin bo'lgan yagona bo'lmagan elementlarining tartiblari tartibli va ularning eng kichik umumiy karrali bo'lsin.

Keling, raqamni har xil kuchlarning mahsulotiga aylantiramiz tub sonlar:

Keling, raqam, ta'rifiga ko'ra, (1) sonlarning eng kichik umumiy karrali bo'lganligi sababli, bu sonlar orasida, ya'ni ga aniq bo'linadigan kamida bitta raqam mavjud bo'lib, bu erda b ga ko'paytiriladi. Bu son g elementning tartibi bo'lsin. Keyin elementning tartibi bor (29-betdagi Xulosa 1-ga qarang).

Shunday qilib, O guruhidagi har bir kishi uchun kamida bitta tartib elementi mavjud.Har biri uchun bittadan shunday elementni tanlab, ularning mahsulotini ko'rib chiqing. 29-30-betlarda isbotlangan bayonotga ko'ra, ushbu mahsulotning tartibi buyurtmalar mahsulotiga teng, ya'ni. soniga teng. Oxirgi son shart boʻyicha ga teng boʻlgani uchun bu O guruhida n tartibli element mavjudligini isbotlaydi. Demak, bu guruh siklik guruhdir.

Endi O generatorga ega bo'lgan ixtiyoriy tsiklik guruh, H esa uning kichik guruhlari bo'lsin. H kichik guruhining har qanday elementi O guruhining elementi bo'lganligi sababli, uni quyidagicha ifodalash mumkin, bu erda d - qandaydir musbat yoki manfiy butun son (umuman aytganda, u yagona aniqlanmagan). Element H kichik guruhiga tegishli bo'lgan barcha musbat sonlar to'plamini ko'rib chiqaylik. Bu to'plam bo'sh bo'lmagani uchun (nima uchun?), unda mavjud. eng kichik raqam Ma'lum bo'lishicha, H kichik guruhining har qanday elementi h elementning darajasi hisoblanadi. Darhaqiqat, ta'rifga ko'ra, d soni mavjud bo'lib, shunday (d raqami ham manfiy bo'lishi mumkin). d raqamini (qoldiq bilan) songa bo'ling

Chunki , demak, sonning minimalligi tufayli qoldiq nolga teng bo'lishi kerak. Shunday qilib, .

Bu element H guruhining generatori ekanligini, ya'ni H guruhining siklik ekanligini isbotlaydi. Demak, siklik guruhning har qanday kichik guruhi siklik guruhdir.

Vazifa. Bu raqam H kichik guruhi indeksiga teng ekanligini va shuning uchun O guruhining tartibini bo'lishini isbotlang (agar O guruhi cheklangan bo'lsa).

Shuningdek, biz chekli siklik Q guruhining har qanday tartibli bo'luvchisi uchun O guruhida bitta va faqat bitta H tartibli kichik guruh (ya'ni, generatorli kichik guruh) mavjudligini ta'kidlaymiz.

Bu shuni anglatadiki, agar chekli siklik guruh oddiy bo'lsa, unda uning tartibi tub son (yoki bitta) bo'ladi.

Nihoyat, biz siklik Q guruhining har qanday bo'lak guruhi, demak, har qanday gomomorf tasviri) tsiklik guruh ekanligini ta'kidlaymiz.

Buning isboti uchun guruh generatori O guruhi generatorini o'z ichiga olgan koset ekanligini ta'kidlash kifoya.

Xususan, Z butun sonlar guruhining har qanday omil guruhi siklik guruhdir. Keling, ushbu tsiklik guruhlarni batafsilroq o'rganamiz.

Z guruhi abelian bo'lgani uchun uning har qanday kichik guruhlari R oddiy bo'luvchidir. Boshqa tomondan, yuqorida isbotlangan narsaga ko'ra, H kichik guruhi tsiklik guruhdir. Arzimas kichik guruhlar bo'yicha bo'linmalar guruhlari bizga ma'lum bo'lganligi sababli, biz kichik guruh ėni ahamiyatsiz deb hisoblashimiz mumkin. Raqam H kichik guruhining generatori bo'lsin. Biz bu sonni musbat (nima uchun?) va shuning uchun bittadan katta deb hisoblashimiz mumkin.

H. kichik guruhi, shubhasiz, ga boʻlinadigan barcha butun sonlardan iborat. Shuning uchun ikkita raqam H kichik guruhiga nisbatan bir xil kosetga tegishli, agar ularning farqi ga bo'linadigan bo'lsa, ya'ni modul bo'yicha solishtirish mumkin bo'lsa (Qarang: Kurs, 277-bet). Shunday qilib, H kichik guruhiga nisbatan kosetlar taqqoslanadigan modulli raqamlar sinflaridan boshqa narsa emas.

Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, H kichik guruhiga nisbatan Z guruhining omillar guruhi taqqoslanadigan modulli sonlar sinflari guruhidir (qo'shish orqali). Biz bu guruhni uning generatori 1 raqamini o'z ichiga olgan sinf bilan belgilaymiz.

Ma’lum bo‘lishicha, har qanday siklik guruh yo Z guruhiga (agar u cheksiz bo‘lsa) yoki guruhlardan biriga (agar uning tartibi chekli bo‘lsa) izomorf bo‘ladi.

Haqiqatan ham, O guruhining generatori bo'lsin. Biz 2-guruhning O guruhiga xaritasini belgilash orqali aniqlaymiz.

Ta'rif 1.22. Bo'lsin R- Bosh raqam. Guruh G chaqirdi p-guruhi, agar guruhning biron bir elementining tartibi tub sonning qandaydir darajasiga teng bo'lsa R.

Ta'rif 1.23. Sylow p-kichik guruhi cheklangan guruh G Ushbu guruhning kattaroq p kichik guruhida mavjud bo'lmagan p-kichik guruhi deyiladi.

1.25 teorema. Cheklangan Abel guruhi uning Sylow p-kichik guruhlarining to'g'ridan-to'g'ri mahsulotiga teng.

Isbot. Cheklangan abel guruhini ko'rib chiqing G n buyurtma qiling va ruxsat bering n = R"! p 2 2 p*1 k - sonning kengayishi P turli tub sonlarning darajalari hosilasiga. 1 uchun, 2,..., uchun Sylow rg kichik guruhini l va barcha l tomonidan yaratilgan kichik guruhni l bilan belgilaymiz; uchun; * i. I, n I, = (e) ekanligini isbotlash oson. Shuning uchun, I \u003d (H 1, H 2, ..., H gacha) \u003d H 1 xH 2 x ... xH gacha. Faraz qilaylik, g e element mavjud g, shundayki g g H. Lagranj teoremasining 2- yakuni bo'yicha |G| : |g|. Demak, bundan kelib chiqadi

|g| = pf "pjf 2 pk k > g D e Pi - a i Har qanday i = 1, 2 uchun, uchun. 1.23-teoremaning natijasi bo'yicha g 1 elementlar mavjud; g2, ..., gk e g, shunday qilib = x x... x (g k) va | i = 1, 2, ..., /s uchun g,-1 = pf 1. Agar ba'zi r uchun g, g R, deb faraz qilsak, u holda p,-kichik guruhni olamiz (gi, men,) F Sylow p,-kichik guruhning ta'rifiga zid bo'lgan I. Shunday qilib, har qanday i = 1, 2,..., /masalan, e e Men qayerdanman g e H. Demak, H = G va teorema isbotlangan.

1.26 teorema. Cheklangan Abel p-guruhi siklik kichik guruhlarning bevosita mahsulotiga teng.

Isbot. Cheklangan Abel p-guruhi berilgan bo'lsin G. Keling, elementni tanlaylik a maksimal tartibli p“ va H maksimal kichik guruh bo'lsin, shunday qilib (a) n H = (e). Keyin (a, R) = (a) x R. Gj = (a) x R belgilang.

Keling, shunday da'vo qilaylik G F G y G x ga tegishli bo'lmagan barcha elementlardan pP minimal tartibli g elementni tanlaymiz. Agar gPg deb faraz qilsak Gb keyin |gp|dan beri = pP- 1 , g elementni tanlash bilan ziddiyatga kelamiz. Shuning uchun, gP e G x = (a) x I va butun / c va element mavjud h e I, shundayki, gP = a fc /i. Bu yerdan a k= gp/i -1 . Agar gcd(/c, p) = 1 bo'lsa, gcd(/c, p°9 = 1 va u, v butun sonlar mavjud bo'lib, /u + p a v = 1. Keyin

Maksimal | | tufayli a = p a bizda gP" = e va e F aR“ _1 = = (gP"/i _u)P“ _1 =gP“h~ u P a~1=/i _u p““ 1 e R, bu (a) p R = (e) shartiga zid keladi. Shuning uchun, /s: r.

Bo'lsin uchun= r/s x. Keyin aP fc i \u003d a k \u003d g Ph ~ 1, qayerda h = a~P k igP == (a _fc ig)P. gj=a _/c ig ni belgilang. Keyin gf -heH. Faraz qilsak, gj =ar fc "geG] \u003d (a) xH, keyin g elementni tanlashga zid bo'lgan g e G x. Demak, g x g G x va demak, gj g I. I shartli maksimal kichik guruh bo'lgani uchun. (a) n I = (e), keyin (a) n (g x, I) ^ (e). Shuning uchun, bor t, p e Z va hj e i elementi shundayki, e * da= gf

Agar shunday deb taxmin qilsak n:r,top=rp 1 ba'zilarida n,eZ va e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, bu (a) n I = = (e) shartiga zid keladi. Shuning uchun, gcd(p, p) = 1 Hgf =am / 1 bo'lsa. Agar |g x | =pY, keyin gcd(n, p'0 = 1 va u x , v x g mavjud Z, shundayki, gsh x -t-pYv x = 1. Demak, g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Biz yana qarama-qarshilikka keldik. Shunday qilib, buni qabul qilish qoladi G - (a) x I. Endi, I kichik guruhda biz ham xuddi shunday to‘g‘ridan-to‘g‘ri ko‘rsatkich bo‘yicha maksimal ning tsiklik kichik guruhini ajratamiz. H tartib va ​​boshqalar, biz guruhning parchalanishini olmagunimizcha G tsiklik kichik guruhlarning bevosita mahsulotiga aylanadi. Teorema isbotlangan.

1.27 teorema. Cheklangan Abel guruhi siklik p-kichik guruhlarning bevosita mahsulotiga teng.

Isbot 1.25 va 1.26 teoremalaridan kelib chiqadi.

Guruhlar haqidagi bobni yakunlab, shuni ta'kidlaymizki, guruhni har qanday elementlar uchun assotsiativ bo'lgan bitta ikkilik operatsiyaga ega to'plam sifatida ko'rish mumkin. a va Kommersant tenglamalar yagona yechilishi mumkin ax = b uy-b. Guruhning bunday qarashi ikkita umumlashtirishga olib keladi. Bir tomondan, operatsiyaning assotsiativligi ma'nosini o'rganishga e'tibor qaratish mumkin va bu bitta assotsiativ operatsiyaga ega bo'lgan to'plam sifatida yarim guruh tushunchasiga olib keladi (ishga qarang). Boshqa tomondan, assotsiativlik talabini e'tiborsiz qoldirish mumkin va bu kvazigroupning bitta ikkilik operatsiyaga ega to'plam sifatidagi tushunchasiga olib keladi, unga nisbatan nomlangan tenglamalar yagona echilishi mumkin. Identifikatsiyaga ega kvazigroup halqa deb ataladi (qog'ozga qarang). Yarimguruhlar nazariyasi va kvazguruhlar nazariyasi ikkita mustaqil rivojlanuvchi substantiv nazariyaga aylandi. Biz ularni asosiy matnda "maksimal mumkin bo'lgan minimal" hajm sababli eslatib o'tmaymiz.

cheklangan guruhlar

Guruh (yarim guruh) deyiladi yakuniy agar u cheklangan miqdordagi elementlardan iborat bo'lsa. Cheklangan guruh elementlari soni uning deyiladi tartibda; ... uchun. Cheklangan guruhning har qanday kichik guruhi chekli hisoblanadi. Va agar HÍ G- guruhning kichik guruhi G, keyin har qanday element uchun aÎ G bir guruh Ustida={X: x=h◦a, har qanday uchun hÎ H) deyiladi chap qo'shni sinf uchun G nisbatan H. Undagi elementlar soni aniq Ustida buyurtmaga teng H. (Shunga o'xshab, ta'rifni shakllantirish mumkin a N– ga nisbatan o‘ng koset H).

Har qanday kichik guruh uchun bu muhim H guruhlar G tomonidan istalgan ikkita chap (o'ng) koset H mos keladi yoki kesishmaydi, shuning uchun har qanday guruh ajratilgan chap (o'ng) kosetlar birlashmasi sifatida ifodalanishi mumkin. H.

Haqiqatan ham, agar ikkita sinf bo'lsa N a va Hb, qayerda a, bÎ G, umumiy elementga ega X, keyin mavjud tÎ H shu kabi x = t◦a. Va keyin chap sinf uchun X: H x={y: y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Í H a, lekin a=t ‑1 ◦x va N a={y: y=h◦a= h◦(t ‑1 ◦x) = (h◦t ‑1)◦x} Í H x. Bu yerdan H x=N a. Xuddi shunday, buni ko'rsatish mumkin H x=H b. Va shuning uchun N a=H b. Agar sinflar N a va Hb Yo'q umumiy elementlar, keyin ular kesishmaydi.

Guruhning chap (o'ng) kosetlarga bo'linishi deyiladi guruhning H kichik guruhi nuqtai nazaridan parchalanishi.

2.6.1 teorema. Cheklangan guruhning tartibi uning har qanday kichik guruhlari tartibiga bo'linadi.

Isbot. Sifatida G chekli guruh, keyin uning har qanday kichik guruhlari H cheklangan tartib bor. Guruhning kichik guruhlarga bo'linishini ko'rib chiqing H. Ushbu parchalanishdagi har bir kosetda elementlar soni bir xil va tartib bilan tengdir H. Shuning uchun, agar n- guruh tartibi G, a k- kichik guruh tartibi H, keyin n=m× k, qayerda m tomonidan kosetlar soni hisoblanadi H guruhning parchalanishida G.

Agar biron bir element uchun aÎ G Þ N a=a N(kichik guruhlar bo'yicha chap va o'ng kosetlar H o'yin), keyin H chaqirdi normal bo'luvchi guruhlar G.

Bayonot: agar G kommutativ guruh, keyin uning har qanday kichik guruhlari H oddiy bo'luvchidir G.

Guruhdagi (yarim guruhdagi) harakatning assotsiativligini hisobga olgan holda, biz uchta elementning "mahsuloti" haqida gapirishimiz mumkin ( a◦b◦c) =(a◦b)◦c = a◦(b◦c). Tushuncha murakkab ish dan n elementlar: a 1 ◦a 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.

Ishlash n Guruhning bir xil elementlari deyiladi element darajasi va belgilandi a n=. Bu ta'rif har qanday tabiiy uchun mantiqiy n. Har qanday guruh elementi uchun aÎ G tayinlash a 0 =e guruhning neytral elementi hisoblanadi G. Va elementning salbiy kuchlari a ‑ n sifatida belgilangan ( a ‑1)n yoki ( a n) -1 , qaerda a-1 - teskari element a. Ikkala ta'rif a ‑ n mos keladi, chunki a n◦(a ‑1)n = (a◦a◦ ¼◦ a)◦(a ‑1 ◦a-1◦ ¼◦ a ‑1) = a◦a◦¼◦( a◦a ‑1)◦a-1 ◦¼◦ a ‑1 =e n =e. Shunday qilib, ( a ‑1)n = (a n) ‑1 .

Qo'shimchalar guruhida element darajasining analogi a n bo'ladi n-uning ko'pligi, odatda belgilanadi na, bu mahsulot sifatida qabul qilinmasligi kerak n ustida a, darajada nÎℕ va ehtimol nÏ G. Bu. na⇋ qayerda n nℕ va 0 a=e⇋0 va (- n)a = ‑(na) = n(‑a) har qanday tabiiy uchun n, qaerda (- a) ga teskari aÎ G.

Har qanday butun sonlar uchun tanlangan belgi ostida buni ko'rsatish oson m va n va har qanday uchun aÎ G mashhur xususiyatlar amalga oshiriladi: a) multiplikativ yozuv bilan a n ◦a m = a n + m va ( a n)m = a nm; b) qo'shimcha belgilar bilan na+ma = (n+m)a va n(ma)=(nm)a.

Guruhning bir qismini ko'rib chiqing G, ixtiyoriy elementning barcha vakolatlaridan tashkil topgan gÎ G. Uni belgilaylik A g. Shunday qilib, A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Shubhasiz, A g guruhning kichik guruhidir G, chunki har qanday elementlar uchun X,daÎ A g shundan kelib chiqadi ( X◦da)Î A g, va har qanday element uchun XÎ A g bo'ladi X-1 O A g, Bundan tashqari, g 0 =eÎ A g.

Kichik guruh A g chaqirdi tsiklik kichik guruh guruhlar G element tomonidan hosil qilingan g. Bu kichik guruh har doim, hatto o'zi bo'lsa ham, kommutativdir G kommutativ emas. Agar guruh G uning tsiklik kichik guruhlaridan biriga to'g'ri keladi, keyin u deyiladi tsiklik guruh element tomonidan hosil qilingan g.

Agar elementning barcha vakolatlari bo'lsa g boshqacha, keyin guruh G chaqirdi cheksiz siklik guruh va element g- element cheksiz tartib.

Agar tsiklik guruh elementlari orasida teng bo'lsa, masalan, g k=g m da k>m, keyin gk-m=e; va ifodalovchi k-m orqali n, olamiz gn=e, nÎℕ.

Eng kam tabiiy ko'rsatkich n shu kabi gn=e, deyiladi g elementning tartibi, va elementning o'zi g chaqirdi chekli tartibli element.

Bunday elementni har doim chekli guruhda topish mumkin, lekin u cheksiz guruhda ham bo'lishi mumkin.

Barcha elementlari cheklangan tartibda bo'lgan guruhlar deyiladi davriy nashr.

Chekli guruhning har qanday elementi chekli tartibga ega bo'lganligi sababli, barcha chekli guruhlar davriydir. Bundan tashqari, cheklangan guruhning barcha tsiklik kichik guruhlari davriydir, chunki ular cheklangan va har bir chekli tartibli element n bir xil tartibdagi siklik guruhini hosil qiladi n, elementlardan iborat ( g 0 , g 1 , g 2,¼, gn- bitta). Haqiqatan ham, agar elementlarning soni ba'zilariga teng bo'lsa k<n, keyin g k=e=gn, bu tanlovga ziddir n, eng kam daraja sifatida shunday gn=e; boshqa tomondan, k>n ham mumkin emas, chunki bu holda, bir xil elementlar bo'ladi.

Bayonot: 1) barcha darajalar g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 farq qiladi, chunki agar teng bo'lsa, masalan, gi=gj (i>j), keyin g i-j=e, lekin ( i‑j)<n, va ta'rifi bo'yicha n- eng kichik daraja shunday gn=e.

2) har qanday boshqa daraja g, ijobiy yoki salbiy, elementlardan biriga teng g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 chunki har qanday butun son k ifoda bilan ifodalanishi mumkin: k=nq+r, qayerda q,rÎℤ va 0£ r<n, r- qoldiq va g k=gnq + r= gnq° r= (gn)q° r= e q° r= r.

1) Har bir guruh birinchi tartibdagi o'ziga xos elementga ega ( e) bir elementdan iborat birinchi tartibli siklik kichik guruhni hosil qilish e.

2) almashtirish guruhini ko'rib chiqing S 3 , elementlardan tashkil topgan: , , , , , . Buyurtma S 3=6. Element tartibi a 2 ga teng, chunki . Element tartibi b ham 2 ga teng, chunki . Element tartibi bilan 3 ga teng, chunki va . Element tartibi f ham 3 ga teng, chunki va . Va nihoyat buyurtma d 2 ga teng, chunki . Shunday qilib, tsiklik kichik guruhlar S 3 elementlar tomonidan yaratilgan e, a, b, d, c va f, mos ravishda teng: ( e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) va ( e, f, c), bu erda oxirgi ikkitasi mos keladi. Shuni ham yodda tutingki, har bir tsiklik kichik guruhning tartibi guruh tartibini qoldiqsiz ajratadi. Quyidagi teorema to'g'ri.

2.7.1 teorema. (Lagranj) Cheklangan guruhning tartibi uning istalgan elementining tartibiga bo'linadi (chunki elementning tartibi va u tomonidan yaratilgan tsiklik kichik guruhning tartibi mos keladi).

Bu shuningdek, cheklangan guruhning har qanday elementi guruh tartibining kuchiga ko'tarilganda, guruhning o'ziga xosligini beradi. (Chunki g m=gnk=e k=e, qayerda m- guruh tartibi n- elementlar tartibi g, k butun son).

S guruhida 3 ta kichik guruh mavjud H={e, c, f) oddiy bo‘luvchi, 2-tartibdagi kichik guruhlar esa oddiy bo‘luvchilar emas. Buni chap va o'ng kosetlarni topish orqali tekshirish oson H guruhning har bir elementi uchun. Masalan, element uchun a chap qo'shni sinf Ustida={e ◦ a, bilan◦ a, f◦ a} = {a, b, d) va to'g'ri koset a N={a ◦ e, a◦ c, a◦ f} = {a, d, b) mos keladi. Boshqa barcha elementlar uchun ham xuddi shunday S 3 .

3) Qo‘shish bilan barcha butun sonlar to‘plami generator elementi 1 (yoki -1) bilan cheksiz tsiklik guruh hosil qiladi, chunki 1 ga karrali har qanday butun son.

4) Ildizlar to'plamini ko'rib chiqing n‑ birlikdan daraja: E n=. Bu to'plam ildizlarni ko'paytirish operatsiyasiga nisbatan guruhdir. Haqiqatan ham, har qanday ikkita elementning mahsuloti e k va e m dan E n, qayerda k, m £ n-1 ham element bo'ladi E n, chunki = = , qaerda r=(k+m) mod n va r £ n- bitta; ko'paytirish assotsiativ, neytral elementdir e=e 0 =1 va har qanday element uchun e k teskari va mavjud. Bu guruh siklikdir, uning hosil qiluvchi elementi ibtidoiy ildizdir. Barcha darajalar har xil ekanligini ko'rish oson: , bundan keyin k³ n ildizlar qayta tiklana boshlaydi. Murakkab tekislikda ildizlar birlik radiusli doirada joylashgan va uni bo'linadi n 11-rasmda ko'rsatilganidek, teng yoylar.

Oxirgi ikkita misol, asosan, barcha tsiklik guruhlarni tugatadi. Chunki quyidagi teorema to'g'ri.

2.7.2 teorema. Barcha cheksiz siklik guruhlar bir-biriga izomorfdir. Barcha chekli siklik tartib guruhlari n bir-biriga izomorf.

Isbot. Bo'lsin ( G, ∘) generatorli cheksiz siklik guruhdir g. Keyin bijektiv xaritalash mavjud f: ℤ ® G Shunday qilib, har qanday butun sonlar uchun k va m ularning tasvirlari f(k) va f(m), mos ravishda teng g k va g m, elementlardir G. Va unda f(k+m)=f(k)∘f(m), kabi g k + m=g k∘ g m.

Keling, ( G, ∘) tartibning chekli siklik guruhidir n asosiy element bilan g. Keyin har bir element g kÎ G yagona yo'l - elementga mos kelishdir e kÎ E n(0£ k<n), qoidaga muvofiq f(g k)=e k. Va shunga qaramay, har qanday uchun g k va g mÎ G shunga amal qiladi f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), kabi f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(r), qayerda r=(k+m) mod n, va f(r)=er=e k× e m. Bunday taqqoslash bijektiv xaritalash ekanligi aniq.

• 1. Guruh Z qo'shish amali bilan butun sonlar.
• 2. Darajaning barcha murakkab ildizlari guruhi n ko'paytirish amali bilan birlikdan. Chunki siklik son izomorfizmdir

guruh siklik, element esa generatordir.

Biz siklik guruhlarning chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkinligini ko'ramiz.

3. Ixtiyoriy guruh va ixtiyoriy element bo‘lsin. To'plam g generatoriga ega bo'lgan tsiklik guruhdir. U g element tomonidan hosil qilingan tsiklik kichik guruh deb ataladi va uning tartibi g elementning tartibidir. Lagranj teoremasiga ko'ra, elementning tartibi guruh tartibining bo'luvchisidir. Displey

formula bo'yicha harakat qiladi:

aniqki, gomomorfizm va uning tasviri bilan mos keladi. Agar guruh bo'lsa, xaritalash sur'ektiv hisoblanadi G- siklik va g uning tarkibiy elementi. Bunday holda biz siklik guruh uchun standart gomomorfizmni chaqiramiz G tanlangan generatrix bilan g.

Bu holda gomomorfizm teoremasini qo'llash orqali biz siklik guruhlarning muhim xususiyatini olamiz: har bir tsiklik guruh guruhning gomomorf tasviridir. Z .

Har qanday guruhda G belgilash mumkin daraja butun sonli darajali element:

Mulk bor

Bu aniq, agar . Qachonki vaziyatni ko'rib chiqing . Keyin

Boshqa holatlar ham xuddi shunday ko'rib chiqiladi.

(6) dan shunday xulosa kelib chiqadi

Bundan tashqari, ta'rifi bo'yicha. Shunday qilib, elementning vakolatlari guruhdagi kichik guruhni tashkil qiladi G. U deyiladi element tomonidan yaratilgan tsiklik kichik guruh, va bilan belgilanadi .

Ikkita tubdan farqli holatlar bo'lishi mumkin: yoki elementning barcha darajalari boshqacha yoki yo'q. Birinchi holda, kichik guruh cheksizdir. Keling, ikkinchi ishni batafsil ko'rib chiqaylik.

Bo'lsin ,; keyin. Eng kichik natural son t, Buning uchun, bu holda deyiladi tartibda; ... uchun element va bilan belgilanadi .

Taklif 1. Agar a , keyin

Isbot. 1) ajratish m ustida P qolganlari bilan:

Keyin, buyurtma ta'rifi bo'yicha

Oldingisiga ko'ra

Natija. Agar, mo kichik guruhi n ta elementdan iborat bo'lsa.

Isbot. Haqiqatan ham,

va barcha sanab o'tilgan elementlar boshqacha.

Agar bunday tabiiy bo'lmasa t,(ya'ni, yuqorida tavsiflangan holatlarning birinchisi sodir bo'ladi), biz taxmin qilamiz . Eslab qoling; guruhning boshqa barcha elementlarining tartiblari 1 dan katta.

Qo'shimchalar guruhida ular elementning vakolatlari haqida gapirmaydilar , lekin u haqida ko'paytmalar, bilan belgilanadi . Shunga ko'ra, qo'shimchalar guruhining elementi tartibi G eng kichik natural sondir t(agar mavjud bo'lsa) buning uchun

MISOL 1. Maydonning xarakteristikasi uning qo'shimcha guruhidagi har qanday nolga teng bo'lmagan elementning tartibidir.

2-MISA. Shubhasiz, chekli guruhda har qanday elementning tartibi chekli bo'ladi. Guruh elementlarining tartiblari qanday hisoblanishini ko'rsatamiz.Almashtirish deyiladi tsikl uzunligi va agar u tsiklik o'zgarib tursa, bilan belgilanadi

va qolgan barcha raqamlarni joyida qoldiradi. Shubhasiz, uzunlik tsiklining tartibi R. Tsikllar deyiladi mustaqil agar ular tomonidan qayta tashkil etilgan raqamlar orasida umumiy raqamlar bo'lmasa; Ushbu holatda . Har qanday almashtirish mustaqil tsikllar mahsulotiga noyob tarzda parchalanadi. Misol uchun,

Bu rasmda aniq ko'rsatilgan, bu erda almashtirish harakati o'qlar bilan tasvirlangan. Agar almashtirish uzunliklarning mustaqil tsikllari mahsulotiga aylansa , keyin

MISOL 3. Kompleks c sonining guruhdagi tartibi chekli bo‘ladi, agar bu son qandaydir birlik kuchining ildizi bo‘lsa, bu esa, o‘z navbatida, agar a bilan mutanosib bo‘lsa, ya’ni sodir bo‘ladi. .

MISOL 4. Tekis harakatlar guruhida chekli tartibli elementlar topilsin. Bo'lsin. Har qanday nuqta uchun

harakat bilan tsiklik ravishda qayta tartibga solinadi , shuning uchun ularning tortishish markazi haqida nisbatan harakatsiz. Shuning uchun, - yoki nuqta atrofida ko'rish burchagi bo'yicha aylanish haqida, yoki qaysidir toʻgʻri chiziqdan oʻtayotganini aks ettirish haqida.

5-Misol. Matritsaning tartibini topamiz

guruhning bir qismi sifatida. Bizda ... bor

shunday qilib. Albatta, bu misol maxsus tanlangan: tasodifiy tanlangan matritsaning tartibi chekli bo'lish ehtimoli nolga teng.

Taklif 2. Agar a , keyin

Isbot. Bo'lsin

shunday qilib. Bizda ... bor

Demak, .

Ta'rif 1 . Guruh G chaqirdi tsiklik, agar shunday element mavjud bo'lsa , nima . Har bir bunday element deyiladi generativ element guruhlar G.

6-MISA. Butun sonlarning qo'shimcha guruhi siklikdir, chunki u 1 element tomonidan hosil qilinadi.

MISOL 7. Modulo qo'shimcha qoldiqlari guruhi n elementi tomonidan yaratilganligi sababli tsiklikdir.

MISOL 8. 1 ning murakkab n- ildizlarining multiplikativ guruhi siklikdir. Darhaqiqat, bu ildizlar raqamlardir

Bu aniq . Shunday qilib, guruh element tomonidan yaratilgan.

Cheksiz tsiklik guruhda faqat va hosil qiluvchi elementlar ekanligini ko'rish oson. Shunday qilib, Z guruhida yagona ishlab chiqaruvchi elementlar 1 va -- 1 dir.

Cheklangan guruh elementlari soni G uni chaqirdi tartibda; ... uchun va bilan belgilanadi. Cheklangan siklik guruhning tartibi uning hosil qiluvchi elementining tartibiga teng. Shunday qilib, 2-taklif nazarda tutadi

Taklif 3 . Tsiklik guruh elementi n-tartibi agar va faqat bo'lsa hosil qiladi

9-MISA. Guruhning yaratuvchi elementlari deyiladi ibtidoiy ildizlar n 1 dan th quvvati. Bu shaklning ildizlari , qayerda. Masalan, 1 ning 12-darajali ibtidoiy ildizlari.

Tsiklik guruhlar tasavvur qilinadigan eng oddiy guruhlardir. (Xususan, ular abeliydir.) Quyidagi teorema ularga to'liq tavsif beradi.

Teorema 1. Har bir cheksiz siklik guruh guruh uchun izomorfdir. Har bir chekli siklik n-tartibli guruh guruh uchun izomorfdir.

Isbot. Agar cheksiz siklik guruh bo'lsa, u holda (4) formula bo'yicha xaritalash izomorfizmdir.

Tartibning chekli siklik guruhi bo'lsin P. Xaritani ko'rib chiqing

keyin xaritalash yaxshi belgilangan va bijektivdir. Mulk

xuddi shu formuladan (1) kelib chiqadi. Shunday qilib, izomorfizm mavjud.

Teorema isbotlangan.

Guruhning tuzilishini tushunish uchun uning kichik guruhlarini bilish muhim rol o'ynaydi. Tsiklik guruhning barcha kichik guruhlarini osongina tasvirlash mumkin.

Teorema 2. 1) Tsiklik guruhning har bir kichik guruhi siklikdir.

2)Tsiklik tartib guruhida n har qanday kichik guruhning tartibi bo'linadi n va sonning istalgan bo‘luvchisi q uchun n q tartibining aynan bitta kichik guruhi mavjud.

Isbot. 1) siklik guruh bo'lsin va H-- uning kichik guruhi dan farq qiladi (Identifikatsiya kichik guruhi aniq siklikdir.) E'tibor bering, agar ba'zilar uchun, keyin . Bo'lsin t uchun eng kichik natural sondir . Keling, buni isbotlaylik . Bo'lsin . Keling, ajratamiz uchun ustida t qolganlari bilan:

bu erdan, sonning ta'rifi tufayli t bundan kelib chiqadi va shuning uchun .

2) Agar , keyin oldingi mulohaza qo'llaniladi (bu holda ), shuni ko'rsatadi . Qayerda

va H buyurtmaning yagona kichik guruhidir q bir guruhda G. Aksincha, agar q-- istalgan son bo'linuvchisi P va , keyin kichik to'plam H, tenglik bilan belgilangan (9) - tartibning kichik guruhi q. Teorema isbotlangan.

Natija . Bosh tartibli siklik guruhda har qanday notrivial kichik guruh butun guruh bilan mos keladi.

10-Misol. Guruhda har bir kichik guruh qaerda shakliga ega.

11-Misol. 1 ning n-chi ildiz guruhida har qanday kichik guruh ildiz guruhidir q- 1-dan th daraja, bu erda.