Deyarli hamma cheksizlik belgisi qanday ko'rinishini biladi, teskari sakkiz raqamga o'xshaydi. Ushbu belgi "lemniskat" deb ham ataladi, bu qadimgi yunoncha lentani anglatadi. Tasavvur qiling-a, cheksizlik belgisi haqiqiy hayotdagi matematik figuraga juda o'xshaydi. Moebius Strip bilan tanishing!

Möbius chizig'i nima?

Mobius chizig'i(yoki u Mobius halqasi, Mobius tasmasi va hatto Mobius halqasi deb ham ataladi) matematikadagi eng mashhur sirtlardan biridir. Möbius halqasi - bu bir sirt va bir qirrali halqa.

Nima xavf ostida ekanligini va qanday bo'lishi mumkinligini tushunish uchun, bir varaq qog'ozni oling, to'rtburchaklar chiziqni kesib oling va uning uchlarini ulash vaqtida ulardan birini 180 daraja burang, so'ngra uni ulang. Quyidagi rasm sizga Mobius tasmasini qanday qilishni tushunishga yordam beradi.

Möbius chizig'ining nimasi diqqatga sazovor?

Mobius chizig'i- odatiy uch o'lchovli Evklid fazosida bir qirrali yo'naltirilmaydigan bir tomonlama sirtga misol. Aksariyat ob'ektlar yo'naltirilgan bo'lib, ikki tomoni bor, masalan, qog'oz varag'i.

Qanday qilib Möbius tasmasi yo'naltirilmaydigan, bir tomonlama sirt bo'lishi mumkin - siz aytasiz, chunki u tayyorlangan qog'ozning ikki tomoni bor. Va siz markerni olishga va lentaning bir tomonini rang bilan to'ldirishga harakat qilasiz, oxirida siz boshlang'ich holatiga tushasiz va butun lenta butunlay bo'yalgan bo'ladi, bu uning faqat bir tomoni borligini tasdiqlaydi.

Möbius halqasining faqat bitta qirrasi borligiga ishonish uchun - barmog'ingizni lentaning chetlaridan biri bo'ylab to'xtovsiz siljiting va siz, xuddi rang berishda bo'lgani kabi, harakatni boshlagan nuqtaga borasiz. Ajoyib, shunday emasmi?

Möbius chizig'i va boshqa ko'plab qiziqarli ob'ektlarni o'rganish bilan shug'ullanadi - topologiya, matematikaning ob'ektning uzluksiz deformatsiyasida - cho'zilishi, siqilishi, egilishi, yaxlitligini buzmasdan o'zgarmas xususiyatlarini o'rganadigan bo'limi.

Avgust Möbiusning kashfiyoti

Nemis matematigi ushbu noodatiy lentaning "otasi" sifatida tan olingan Avgust Ferdinand Möbius, geometriya bo'yicha bir nechta asar yozgan, lekin 1858 yilda asosan bir tomonlama sirtni kashf etgani bilan mashhur bo'lgan Gaussning shogirdi.

Ajablanarlisi shundaki, bitta sirtli lentani xuddi shu 1858 yilda Gaussning boshqa shogirdi - iste'dodli matematik kashf etgan. Iogan Listing, "topologiya" atamasini kiritgan va matematikaning ushbu sohasi bo'yicha bir qator fundamental ishlarni yozgan. Biroq, noodatiy lenta hali ham Möbius nomidan o'z nomini oldi.

"Cheksiz halqa" modelining prototipi professor Avgust Möbiusning xizmatkori tomonidan noto'g'ri tikilgan lenta bo'lgan degan mashhur e'tiqod mavjud.

Aslida, lenta uzoq vaqt oldin kashf etilgan qadimgi dunyo. Tasdiqlashlardan biri - Frantsiyada, Arles shahri muzeyida joylashgan, xuddi shu o'ralgan lenta bilan qadimiy Rim mozaikasi. Unda arfa sadolari bilan jonivorlarni sehrlab turgan Orfey tasvirlangan. Orqa fonda o'ralgan lentali bezak qayta-qayta tasvirlangan.

Möbius chizig'ining "sehrli"

1. Möbius chizig'ining ikki tomonining aniq mavjudligiga qaramay, aslida faqat bitta tomon bor va lentani ikki rangda bo'yash ishlamaydi.
2. Agar siz qo'lingizni varaqdan olmay, qalam yoki qalam bilan halqaning butun uzunligi bo'ylab chiziq chizsangiz, u holda stilus oxir-oqibat chiziq chizishni boshlagan nuqtada to'xtaydi;
3. Lentani kesishda ajoyib tajribalar olinadi, bu kattalarni ham, ayniqsa bolani ham hayratda qoldirishi mumkin.

• Avval aytib o'tilganidek, Möbius tasmasini yopishtiring. Keyin biz uni butun uzunligi bo'ylab, quyida ko'rsatilganidek, o'rtada kesib tashladik:

Natija sizni hayratda qoldiradi, chunki kutilganidan farqli o'laroq, sizning qo'lingizda ikkita lenta emas, balki ikkita alohida doira emas, balki boshqa, undan ham uzunroq lenta qolmaydi. Bu endi 180 gradusga o'ralgan Mobius tasmasi emas, balki 360 graduslik burilishli chiziq bo'ladi.

• Endi biz yana bir tajriba o'tkazamiz - biz yana bir Mobius halqasini qilamiz, shundan so'ng biz lenta kengligining 1/3 qismini o'lchaymiz va uni shu chiziq bo'ylab kesib tashlaymiz. Natija sizni yanada hayratda qoldiradi - turli o'lchamdagi ikkita alohida lenta sizning qo'lingizda qoladi, xuddi zanjirdagidek bir-biriga bog'langan: bitta kichik lenta va uzunroq ikkinchi.

Kichikroq Möbius chizig'i asl chiziq kengligining 1/3 qismiga, L uzunligiga ega bo'ladi va 180 gradusga aylanadi. Ikkinchi uzunroq lenta ham asl nusxaning 1/3 kengligida bo'ladi, lekin 2 litr uzunlikda va 360 daraja aylanadi.

• Siz tajribani davom ettirishingiz mumkin, natijada olingan lentalarni yanada torroq qilib kesib, natijani o'zingiz ko'rasiz.

Nega bizga Mobius loopi kerak? Ilova

Möbius chizig'i umuman mavhum figura emas, u faqat matematika maqsadlari uchun kerak, u haqiqiy kundalik hayotda ham qo'llanilgan. Ushbu kamar printsipiga ko'ra, aeroportda kamar ishlaydi, bagaj bo'limidan chamadonlarni harakatga keltiradi. Ushbu dizayn uniforma kiyish tufayli uzoqroq davom etishiga imkon beradi. Avgust Möbiusning kashfiyoti mashinasozlik sanoatida keng qo'llaniladi. Dizayn plyonkada uzoqroq yozib olish uchun, shuningdek, chop etishda lenta ishlatadigan printerlarda qo'llaniladi.

Ko'rinuvchanligi tufayli Möbius halqasi zamonaviy olimlarga tobora ko'proq yangi kashfiyotlar qilish imkonini beradi. Loopning ajoyib xususiyatlari kashf etilgandan beri, yangi patentlangan ixtirolar to'lqini dunyoni qamrab oldi. Misol uchun, Mobius usuli bilan o'ralgan ferromagnit lentadan yasalgan magnit yadrolarning xususiyatlarini sezilarli darajada yaxshilash.

N. Tesla Mobius halqasi kabi generator sariqlarining o'rashidan foydalangan holda ko'p fazali o'zgaruvchan tok tizimi uchun patent oldi.

Amerikalik olim Richard Devis reaktiv bo'lmagan Moebius rezistorini ishlab chiqdi - elektromagnit shovqinlarni keltirib chiqarmasdan reaktiv (sig'imli va induktiv) qarshilikni susaytirishga qodir.

Mobius strip - ilhom uchun keng maydon

Nafaqat ko'plab olimlarni, balki yozuvchilar va rassomlarni ham ilhomlantirgan Möbius halqasining kashfiyotining ahamiyatini baholash qiyin.

Möbius chizig'iga bag'ishlangan eng mashhur asar gollandiyalik grafik rassom Maurits Escherning "Moebius Strip II", "Qizil chumolilar" yoki "Qizil chumolilar" rasmidir. Rasmda chumolilarning Moebius halqasiga ikki tomondan ko'tarilishlari ko'rsatilgan, aslida faqat bitta tomon bor. Chumolilar bir xil sirt ustida birin-ketin cheksiz halqa bo'ylab emaklashadi.

Rassom o'z g'oyalarini matematikaga oid maqola va asarlardan chizgan, u geometriyaga juda qiziqgan. Shu munosabat bilan uning toshbosma va gravyuralarida ko'pincha turli geometrik shakllar, fraktallar, hayratlanarli optik illyuziyalar mavjud.

Hozirgacha Möbius loopiga qiziqish juda past darajada. yuqori daraja, hatto sportchilar ham xuddi shu nomdagi aerobatika figurasini taqdim etishdi.

Fantast yozuvchi Armin Deutschning Möbius Strip asari asosida bir nechta filmlar yaratilgan. Mobius halqasi shaklida juda ko'p turli xil zargarlik buyumlari, poyabzallar, haykallar va boshqa ko'plab ob'ektlar va shakllar yaratilgan.

Möbius chizig'i ishlab chiqarish, dizayn, san'at, fan, adabiyot va arxitekturada o'z izini qoldirdi.

Ko'p odamlarning ongi DNK molekulasi va Möbius halqasi shaklining o'xshashligidan xavotirda edi. Bu shakl degan sovet sitologi Navashin tomonidan ilgari surilgan gipoteza mavjud edi halqali xromosoma tuzilishi boʻyicha Möbius chizigʻiga oʻxshaydi. Olimning bu fikriga halqa xromosomasining ko'payishi sabab bo'lgan. boshidan ko'ra uzunroq halqaga yoki ikkita kichik halqaga aylanadi, lekin xuddi zanjirda bir-biriga bog'langandek, bu Möbius tasmasi bilan yuqorida tavsiflangan tajribalarni juda eslatadi.

2015-yilda Yevropa va Qo‘shma Shtatlardan bir guruh olimlar aylanishga muvaffaq bo‘lishdi Möbius halqasida yorug'lik. Ilmiy eksperimentda olimlar optik linzalar va tuzilgan yorug'likdan foydalanganlar - harakatining har bir nuqtasida oldindan belgilangan intensivlik va polarizatsiyaga ega bo'lgan fokuslangan lazer nurlari. Natijada engil Möbius chiziqlari olindi.

Yana bir kattaroq nazariya mavjud. Koinot ulkan Mobius halqasidir. Eynshteyn bu fikrga sodiq qoldi. U koinot yopiq, deb taklif qildi va kosmik kema, ma'lum bir nuqtadan boshlab va har doim to'g'ri uchib, uning harakati boshlangan fazo va vaqtning o'sha nuqtasiga qaytadi.

Hozircha bular ham tarafdorlari, ham muxoliflari bo'lgan farazlar. Olimlarni qanday kashfiyot olib borishini kim biladi, Möbius Strip kabi oddiy ob'ektga o'xshaydi.

Munitsipal byudjet ta'lim muassasasi shaxsni chuqur o'rganadigan o'rta maktab

bilan elementlar. Terbuny

Mobius chizig'i

To'ldiruvchi: Chepurina Anna Vitalievna,

10-sinf o'quvchisi

Rahbar: Kirikova M.A.

birinchi matematika o'qituvchisi

malaka toifasi

s.Terbuny

2015 yil

Kirish…………………………………………………………………………………………………. .....3

Tarix ma'lumotnomasi ……………………………………………4

Möbius tasmasi topologiyaning yangi fanining boshlanishi.................................5

Möbius tasmasini yasash ………………………………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………….

Möbius chizig'i bilan tajribalar ................................................ .. .................to‘qqiz

Möbius chizig'ining topologik xususiyatlari ……………………..11

Möbius chiziqli teoremalari……………………………… .12

Mobius tasmasi bilan fokuslar………………………………………15

Möbius chizig'ini qo'llash……………………………………..16

Xulosa................................................. ......................................23

Adabiyotlar roʻyxati .............................................. ................................ .25

Ilova

Kirish

Bizning zamonamizda g'ayrioddiy raqamlarning turli xil xususiyatlarini va nostandart ilovalarini o'rganish dolzarbdir.

Siz hech qachon Möbius chizig'i haqida eshitganmisiz? U qanday yasalishi mumkin, u matematika bilan qanday bog'liq va hayotda qayerda qo'llaniladi.

Ushbu ishni bajarayotib, men Möbius chizig'i XX asrda kashf etilgan bo'lsa-da, u XX asr va XX asrda dolzarb bo'lgan degan xulosaga keldim. Möbius chizig'ining ajoyib xususiyatlari pazandachilik, texnologiya, fizika, rasm, me'morchilik, zargarlik va bijuteriyada ishlatilgan va qo'llanilmoqda. U ko'plab yozuvchilar va rassomlarning ijodiga ilhom berdi.

Möbius chizig'iga qiziqish bugungi kunda ham so'nmagan. 2006 yil sentyabr oyida Moskvada Badiiy matematika festivali bo'lib o'tdi. Tokio shahridan professorning taqdimoti katta muvaffaqiyat bilan qabul qilindi.

Men bu mavzuga juda qiziqdim, qiziqdim. Men adabiyotni o'rgandim, keyin o'zim Möbius chizig'ini yasadim, keyin tadqiqot, tajriba, uning sehrli, g'ayrioddiy xususiyatlarini o'rgandim.

Möbius tasmasi - bir uchi yarim burilish (ya'ni 180 daraja) burilgan va ikkinchi uchiga yopishtirilgan qog'oz varag'i. Dunyoning barcha burchaklarida millionlab odamlar Möbius chizig'idan har kuni foydalanishlarini hatto bilishmaydi.

Maqsad : sinfdoshlarga oddiy lenta aylantirilganga o'xshashligini ayting va ko'rsating

yopishtirilgan uchlari bilan yarim burilish, ko'pchilikni o'z ichiga olishi mumkin

kutilmagan hodisalar.

O'rganish ob'ekti: Möbius chizig'i.

Vazifalar: mavzuga oid manbalar va adabiyotlarni aniqlash va ularni tahlil qilish;

Möbius chizig'ining paydo bo'lish tarixi bilan tanishish;

Möbius tasmasini yasashni o'rganish;

Möbius chizig'ining turli xususiyatlarini o'rganish;

Mavzu ustida ishlashda men quyidagilardan foydalandim usullari: tahlil, sintez,

kuzatish, tajriba, taqqoslash va sotsiologik so'rov.

BOB I

"Möbius chizig'i - yangi fanning boshlanishi"

1. 1. Tarixiy ma’lumotlar

Sirli va mashhur Möbius chizig'i 1858 yilda nemis geometriyasi tomonidan ixtiro qilingan.Avgust Ferdinand Möbius . Aytishlaricha, xizmatkor Möbiusga uzun lentaning uchlarini noto‘g‘ri tikib, “barg”ini ochishga yordam bergan. Etti yil davomida u o'z ishini ko'rib chiqishni kutdi va kutmasdan uning natijalarini e'lon qildi.

Möbius bilan bir vaqtda, bu barg K. F. Gaussning boshqa shogirdi tomonidan ixtiro qilingan -Iogan Benedikt ro'yxati, Gettingen universiteti professori. U o'z asarini Möbiusdan uch yil oldin, 1862 yilda nashr etgan. A. F. Möbius Shulpfort shahrida tug'ilgan. Bir muncha vaqt K. Gauss rahbarligida astronomiyani o'rgandi. U 1818-yilda Pleisenburg rasadxonasida mustaqil astronomik kuzatishlar olib bora boshladi. uning direktori bo'ldi. O'sha kunlarda matematika qo'llab-quvvatlanmadi va astronomiya ular haqida o'ylamaslik uchun etarli pul berdi va o'z fikrlash uchun vaqt qoldirdi. 1816 yildan Leyptsig universiteti professori boʻlgan Möbius ilk bor proyektiv geometriya, koordinatalar tizimi va tadqiqotning analitik usullarini joriy qildi; bir tomonlama yuzalar (Möbius chiziqlari), ko'pburchaklar mavjudligini aniqladi, ular uchun "qirra qonuni" qo'llanilmaydi va ular hajmi yo'q. Möbius geometrik o'zgarishlar nazariyasi, shuningdek, topologiyaning asoschilaridan biridir. U sonlar nazariyasida (Möbius funktsiyasi) muhim natijalarga erishdi va o'z davrining eng buyuk geometriyalaridan biriga aylandi.

1.2. Möbius chizig'i - topologiyaning yangi fanining boshlanishi

Nemis matematigi A. F. Möbius hayratlanarli bir tomonlama varaq borligini aniqlagan paytdan boshlab matematikaning topologiya deb ataladigan butunlay yangi tarmog'i rivojlana boshladi. "Topologiya" atamasini matematikaning ikkita bo'limiga kiritish mumkin. Ajdodi Puankare bo'lgan bir topologiya uzoq vaqt davomida kombinator deb nomlangan. Aslini nemis olimi Georg Kantor bo'lgan ikkinchisiga umumiy yoki to'plam nazariyasi nomi berilgan.

Kombinator topologiyasi geometriyaning bir bo'limidir. "Geometriya" yunoncha so'z bo'lib, rus tiliga tarjima qilinganda "o'lchash" degan ma'noni anglatadi ("geo" - yunoncha - yer va "mereo" - o'lchov) raqamlarning xususiyatlarini o'rganadi. Har qanday fan singari, geometriya ham bo'limlarga bo'lingan.

1. Planimetriya (lotincha soʻz, “planum” — sirt+geometriya), geometriyaning tekislikdagi (uchburchak, kvadrat, doira, doira va boshqalar) figuralarining xossalarini oʻrganuvchi boʻlimi.

2. Stereometriya (yun. «stereos» — fazo + oʻlchovlar) — geometriyaning fazodagi figuralarning xossalarini (toʻp, kub, parallelepiped va boshqalar) oʻrganuvchi boʻlimi.

3. Topologiya (yunoncha «topos» — joy, maydon + mantiq) — zamonaviy geometriyaning «eng yosh» bo‘limlaridan biri bo‘lib, bunday figuralarning egilgan, cho‘zilgan, siqilgan, lekin yopishtirilmagan holda o‘zgarmaydigan xossalarini o‘rganadi. va yirtmang, ya'ni deformatsiyalar bilan o'zgarmang. Topologik ob'ektlarga misol: I va H harflari, ingichka uzun sharlar.

Kombinator topologiyasi xossalarni o'rganadi geometrik shakllar, ular birma-bir va doimiy xaritalashlar ostida o'zgarishsiz qoladi. Uzoq vaqt topologiya faqat "inson ongini ulug'lash" uchun mo'ljallangan, hayotdan yiroq fan sifatida qabul qilingan. Ammo bizning davrimizda bu koinotning tuzilishini tushuntirish bilan bevosita bog'liq ekanligi ma'lum bo'ldi.

Umumiy topologiya toʻplamlar nazariyasiga qoʻshilib, matematikaning asosini tashkil qiladi. Bu aksiomatik nazariya, "chegara", "konvergentsiya", "uzluksizlik" kabi tushunchalarni o'rganish uchun mo'ljallangan. Topologik fazo aksiomatikasining asoslari Feliks Hausdorff tomonidan qo'yilgan va rus matematigi Pavel Sergeevich Aleksandrov tomonidan yakunlangan.

1.3. Möbius tasmasi qanday tayyorlanadi?

● Möbius tasmasi (matematik syurprizlardan) biridir. Möbius tasmasini yasash uchun AB to‘rtburchaklar tasmasini oling.CD, uni 180 daraja aylantiring va qarama-qarshi tomonlarni yopishtiring AB vaCD, ya'ni. shuning uchun A nuqtalari vaC va nuqtalar D va V.

Ilovaga qarang. o'n bir.

● Qog'oz tasmasi shakllari va o'lchamlari Möbius chizig'i uchun.

Ip tor va uzun bo'lishi kerak, bu mumkin bo'lgan eng katta uzunlik va kenglik nisbati bilan. Kvadrat varaqdan Möbius tasmasini yasay olmaysiz. Bu to'g'ri, lekin qog'ozning burishishiga yo'l qo'yilmaganda, o'lchamdagi cheklovlar muhimligini e'tiborsiz qoldirmaslik kerak. Agar qog'ozni maydalash taqiqlanmagan bo'lsa, u holda Möbius tasmasi nafaqat kvadratdan, balki har qanday o'lchamdagi to'rtburchakdan yopishtirilishi mumkin - yopishtirilgan tomonlar hatto yopishtirilmaganlardan bir necha baravar uzunroq bo'lishi mumkin.

● Raylash yuzasi.

Qog'ozni burishtirmaslik talabi muhim bo'lgani uchun, keling, uning matematik ma'nosi nima ekanligini ko'rib chiqaylik.

Ajinlanishning taqiqlanishini juda cheklashini tushunish oson

qog'oz varag'ini manipulyatsiya qilish qobiliyati. Misol uchun, qog'oz varag'ini naychaga o'rash yoki ajinlarsiz yarmiga buklash mumkin, lekin uni to'rtta buklab bo'lmaydi. Siz qog'oz varag'idan konusni ajinlarsiz yasashingiz mumkin, lekin siz shar yoki hatto undan bir parcha yasay olmaysiz: qog'oz varag'ini globusga bosing va ajinlar albatta paydo bo'ladi. Ko'rib turganingizdek, har bir shaklni qog'oz varag'iga berish mumkin emas. Ilovaga qarang. 2.

Qog'oz varag'idan bukish yo'li bilan yasash mumkin bo'lgan, lekin uni maydalamaslik mumkin bo'lgan yuzalarni matematiklar ochiladigan yuzalar deb atashadi. Matematikada ishlab chiqiladigan sirtlar boshqacha ta'riflanadi: metamatematik tilda "qog'oz", "burilish", "yasalish" so'zlari yo'q. Mavjud butun nazariya yutuqlari nima bo'lishi mumkinligi haqidagi savolga qoniqarli javobni o'z ichiga olgan joylashtiriladigan sirtlar; matematiklar buni "tasniflash" deb atashadi (javob Leonardo Eylerga bog'liq). Keling, eksperimental faktlar sifatida rivojlanadigan sirtlarning faqat ba'zi xususiyatlarini keltiraylik.

Ilovaga qarang. 3

1. Rivojlanuvchan sirtning chegarasida yotmaydigan har bir A nuqtasi orqali sirtda yotgan, A bilan tugamaydigan segment o‘tadi. Boshqacha aytganda, har bir nuqta rivojlantiriladigan sirtga biriktirilishi mumkin (egri, lekin g'ijimlangan qog'oz varag'i emas) shunday qilib, u olingan nuqtaning har ikki tomonida bir muncha masofa yuzasiga tutashgan. Bunday segment sirtning generatrix deb ataladi (biz bu nom faqat segmentlarga tegishli ekanligiga rozimiz maksimal uzunlik butunlay sirt ustida yotadi, ya'ni bu xususiyatga ega bo'lgan katta segmentlarda mavjud bo'lmagan segmentlarga).

2. Agar sirt chegarasida yotmagan A nuqtadan ikki xil generator o‘tsa va A ularning hech birining oxiri bo‘lmasa, u holda A ni o‘rab turgan sirtning yetarlicha kichik qismi tekis bo‘ladi. Bunday holda, A nuqta tekis deb ataladi.

3. Agar sirt chegarasida yotmagan A nuqta qandaydir generatrixning oxiri bo‘lsa, deylik.lekin , u holda A nuqtaning qo'shnisi quyidagicha joylashtirilgan: unda tugamaydigan yagona generator A nuqtadan o'tadi, deylik.b . Ushbu generatrix sirtni ikki qismga ajratadi. Generatorning boshqa tomonidab , u bilan generatrix joylashgana , generatrixga b qo'shni tekis bo'lak, boshqa tomonidab , A nuqtadan o'zboshimchalik bilan, tekis bo'lmagan nuqtalar mavjud. Bunday vaziyatda A nuqtasini biz yarim tekis deb ataymiz.

Biz shuni ta'kidlaymizki, agar sirtning biror nuqtasi chegara ham, tekis ham bo'lmasa, unda tugamaydigan yagona nasl o'tadi va bu naslning uchlari sirt chegarasida yotadi.

●Misollar: Tsilindrga yoki konusga o'ralgan qog'oz varag'ida tekis (yoki yarim tekis) nuqta yo'q. Tsilindr uchun generatorlar parallel segmentlar oilasini, konus uchun esa bir nuqtadan chiqadigan segmentlar oilasini tashkil qiladi. Jeneratorlarni yanada murakkab tartibga solish mumkin.

Ilovaga qarang. 4 .

Masalan, rivojlanayotgan sirtning generatrislari va tekis nuqtalari rasmda ko'rsatilgan (uning ustiga sirt tekis qog'oz varag'iga ochilgan): nozik chiziqlar generatorlar, to'ldirilgan joylar esa tekis nuqtalardan iborat.

Yassi nuqtalar maydoni chegarasida joylashgan nuqtalar butun sirt yoki yarim tekis chegara hisoblanadi. Agar sirt qog'ozli ko'pburchakdan (aytaylik, to'rtburchakdan) yasalgan bo'lsa, unda tekis nuqtalar bir yoki bir nechta tekis ko'pburchaklarni tashkil qiladi, bu ko'pburchaklarning har biri sirt chegarasida va tomonlarida cho'qqilarga ega yoki chegarada yotgan yoki quyidagilardan iborat. yarim tekis nuqtalar.

2-BOB

2.1. Möbius Strip bilan tajribalar

Har birimiz "sirt" nima ekanligi haqida intuitiv tasavvurga egamiz. Bir varaqning yuzasi, sinf devorlarining yuzasi, yuzasi globus hammaga ma'lum. Bunday oddiy tushunchada sirli narsa bo'lishi mumkinmi? Ha, ehtimol bu Möbius chizig'i. Uning xususiyatlarini o'rganish uchun men o'zim bir nechta tajribalar (ularni ikki guruhga bo'lish) o'tkazdim.

I tajribalar guruhi

Tajriba raqami 1. Biz har qanday sirt qanday bo'lishiga o'rganib qolganmiz

bizda sumka bor (qog'oz varag'i, velosiped yoki voleybol kamerasi) -

ikki tomon.

Men Möbius tasmasini ag'darmay bo'yashni boshladim.

Natija . Möbius chizig'i butunlay bo'yalgan.

“Agar kimdir faqat bir tomonni bo'yashga qaror qilsa

Moebius chizig'ining yuzasi, uni darhol bo'yoq chelakiga botirsin, Richard Courant va Gerbert Robins ajoyib tarzda yozadi

kitob Matematika nima?

Tajriba raqami 2. Men qog'ozdan o'rgimchak va pashsha yasadim va uni "yurish" uchun yubordim

oddiy uzuk, lekin ularga chegaralar orqali o'tishni taqiqladi.

Natija. O‘rgimchak pashshaga yeta olmadi.

Tajriba № 3. Men bu o'rgimchakni yubordim va faqat Möbius chizig'ida uchdim. VA

chegarani kesib o'tishni taqiqladi.

Natija.Bechora pashsha yeyiladi, agar o'rgimchak yugurmasa, albatta.

Tezroq!

Tajriba raqami 4. Men qog'ozdan kichkina odam yasadim va uni Möbius chizig'i bo'ylab sayohatga jo'natdim.

Natija. Kichkina odam o'zining oyna tasvirini uchratgan boshlang'ich nuqtasiga qaytadi.

II tajribalar guruhi

Möbius tasmasini kesish bilan bog'liq, natijalar jadvalda keltirilgan

tajriba

Tajriba tavsifi

Natija

Men oddiy halqani o'rta bo'ylab kesib oldim.

Men ikkita oddiy halqa oldim, bir xil uzunlikdagi, ikki barobar kengroq, ikkita chegara bilan.

Möbius chizig'i o'rta bo'ylab kesilgan.

Men 1 ta uzuk oldim, uning uzunligi ikki baravar uzunroq, kengligi ikki baravar torroq, 1 to'liq burilish o'ralgan, bitta chegara bilan.

Möbius tasma kengligi

5 sm chetidan 1 sm masofada uzunligi bo'ylab kesilgan.

Men bir-biriga bog'langan ikkita halqa oldim: 1) Mobius tasmasi - uzunligi = originalning uzunligi, kengligi 3 sm; 2) kengligi 1 sm, uzunligi asl nusxadan ikki baravar ko'p, ikkita to'liq burilish bilan o'ralgan, ikkita chegara bilan.

Möbius tasma kengligi

5 sm chetidan 2 sm masofada uzunligi bo'ylab kesilgan.

Men bir-biriga bog'langan ikkita halqa oldim: 1) uzuk kengligi 1 sm bo'lgan Möbius tasmasi, uzunligi = originalining uzunligi; 2) halqa - kengligi 2 sm, asl nusxadan ikki baravar uzunroq bir-ikki to'liq burilish, ikkita chegara bilan o'ralgan.

Möbius chizig'i 5 sm kengligida, uzunligi bo'ylab 3 sm masofada, chetidan kesilgan.

Men bir-biriga bog'langan ikkita halqa oldim: 1) uzuk kengligi bo'lgan Möbius tasmasi.

bir xil uzunlikdagi 1 sm; 2) halqa - kengligi 2 sm, uzunligi asl nusxasidan ikki baravar katta, ikkita to'liq burilish bilan o'ralgan.

10-sinf o'quvchilari bilan o'tkazilgan sotsiologik so'rov natijalari.

Savollar

Ha

Yo'q

Eshitildi

1. Topologiya nima ekanligini bilasizmi?

2. Mobius tasmasi nima ekanligini bilasizmi?

3.Bilasizmi Mobius strip xususiyatlari?

10-sinf o'quvchilarining atigi 5% topologiya nima ekanligini biladi. Talabalarning 30% Möbius chizig'i nima ekanligini biladi, 20% esa bu haqda eshitgan. 50% Möbius chizig'i haqida hech qanday tasavvurga ega emas. Talabalarning 25 foizi lentaning xususiyatlarini biladi, 10 foizi ular haqida eshitgan, 65 foizi Möbius chizig'ining xususiyatlari haqida hech narsa bilmaydi.

2.2 Möbius chizig'ining topologik xususiyatlari

Tajribalar natijalariga asoslanib, biz Möbius chizig'ining matematik kutilmagan hodisalar bilan bog'liq quyidagi topologik xususiyatlarini shakllantirishimiz mumkin.

Bir tomonlamalik Möbius chizig'ining topologik xususiyati bo'lib, u faqat unga xosdir.

Uzluksizlik - Möbius chizig'idagi istalgan nuqta ulanishi mumkin

boshqa har qanday nuqta bilan. Bo'shliqlar yo'q - davomiylik to'liq.

Topologik nuqtai nazardan, doira kvadratdan farq qilmaydi,

chunki ular buzilmasdan osongina biridan ikkinchisiga aylantirilishi mumkin

davomiylik.

Ulanish - halqani yarmiga bo'lish uchun ikkita kesish kerak. Möbius tasmasiga kelsak, ulanishlar soni lenta burilishlari sonining o'zgarishiga qarab almashtiriladi: agar bir burilish ikki marta ulangan bo'lsa, ikkita burilish oddiygina ulangan bo'lsa, uchtasi ikki marta bog'langan bo'lsa va hokazo. Lekin ajratish uchun kvadratni ikki qismga bo'ling, bizga faqat bitta kesish kerak. Ulanish odatda Betti raqami bilan baholanadi yoki ba'zan Eyler xarakteristikasidan foydalaniladi.

4. Orientatsiya - Möbius chizig'ida mavjud bo'lmagan xususiyat. Shunday qilib, agar odam Möbius chizig'ining barcha egilishlari bo'ylab sayohat qila olsa, u boshlang'ich nuqtasiga qaytadi, lekin uning oyna tasviriga aylanadi.

5. "Xromatik raqam" - sirtda chizilgan maydonlarning maksimal soni, ularning har biri boshqalar bilan umumiy chegaraga ega. Möbius tasmasining xromatik soni oltita.

6.Möbius tasmasi haqidagi teoremalar

1-teorema: l ≥ p/2

Dalilning murakkabligi tufayli men buni o'z ishimda hisobga olmayman.

2-teorema: l ≤ √3

Bu teorema avvalgisidan sodda: buni isbotlash uchun uzunligi √3 dan katta bo‘lgan tasmadan Möbius tasmasini qanday yopishtirish kerakligini tushuntirish kifoya. Faraz qilaylik, avval uning uzunligi aynan √3. Keyin bu chiziqqa ikkita muntazam uchburchak qo'yilishi mumkin. Ipni bu uchburchaklarning yon tomonlari bo'ylab katlayın, buklanish yo'nalishini o'zgartiring. AB va CD tasmalarining chetlari, A nuqta esa D nuqtaga, B nuqta esa C nuqtaga to'g'rilanadi. Siz Möbius tasmasi olasiz, uning chekkalari bukilgan (1.2-ilovaga qarang). )

Ushbu qurilishda asosiy qoida buzilgan - qog'ozni maydalamang. Ammo shuni tushunish osonki, agar chiziq uzunligi kamida √3 dan bir oz ko'proq bo'lsa, generatrix bo'ylab burilish tor qismda ishlab chiqarilgan egilish bilan almashtirilishi mumkin. Muxtasar qilib aytganda, biz to'g'ri segment bo'ylab tanaffusdan qo'rqmaymiz: uning o'rniga unga yaqin burilish bilan almashtirilishi mumkin. (Qog'ozning tuzatib bo'lmaydigan burmasi ikki katlama chizig'i kesishganda, ya'ni varaq ro'molcha kabi buklanganda sodir bo'ladi - bularning barchasi bizga kundalik tajribadan ma'lum.). Uning tuzilishini quyidagicha tasavvur qilish mumkin: uchta bir xil muntazam uchburchaklar ABC, A"B"C, A"B"C" bir-biriga parallel yotadi, mos cho'qqilar mos cho'qqilardan yuqorida joylashgan; AB va A "B", B "C" va B "C", C "A" va CA tomonlari ko'prikli. Yelimlash chizig'i uchburchaklardan birining medianasi bo'ylab o'tadi.

Nega l ni aniqroq topa olmaymiz?

Muammo hal etilmaguncha, nima uchun hal etilmaganini aytish qiyin. Shunga qaramay, ba'zida turli xil hal qilinmagan masalalarda umumiy qiyinchiliklarni kuzatish, matematik xaritada, ta'bir joiz bo'lsa, qiyin joylarni belgilash mumkin, bu esa ba'zan muayyan masalani hal qilishda muvaffaqiyat yoki muvaffaqiyatsizlikni taxmin qilish imkonini beradi.

Teorema 3. O'z-o'zidan kesishgan Möbius tasmasi har qanday uzunlikdagi p/2 dan katta bo'lgan chiziqdan yopishtirilishi mumkin.

Bu shunday amalga oshiriladi. Etarli darajada katta toq n ni oling va tuzing muntazam n-gon diametrli aylana ichiga chizilgan 1. Keyin aylananing markazini o'z ichiga olgan n ta uchburchakni ko'rib chiqaylik, ularning har biri n-burchakning bir tomoni va ikkita diagonali bilan chegaralangan (n=7). Bu uchburchaklar bizning n-gonamizni, uning ba'zi joylarini - bir necha marta qoplaydi. Endi bu n uchburchakni bir-biriga bog'laymiz, shundan so'ng biz eng chap uchburchakning yarmini uzun mediana bo'ylab kesib, eng o'ng uchburchakka biriktiramiz. Natijada uzunlik va kenglik nisbati p/2 dan katta bo'lgan va n ning ∞ ga intilishi bilan p/2 ga moyil bo'lgan to'rtburchaklar chiziq hosil bo'ladi (tasmaning kengligi 1 ga, uzunligi esa p/2 ga). Biz bu chiziqni ketma-ket chizilgan barcha chiziqlar bo'ylab katlamaning yo'nalishlarini almashtiramiz. Bunday holda, AB va CD segmentlari deyarli bir-biriga to'g'ri keladi - ular orasida faqat bir nechta katlanmış qog'oz qatlami bo'ladi. Ushbu "deyarli mos" bilan A nuqtasi D bilan, B nuqtasi esa C bilan tekislanadi, shuning uchun agar biz "lentani o'zidan o'tkaza olsak" va |AB| |CD| bilan, bu Mobius chizig'i bo'ladi. Agar lenta biroz ko'proq vaqt olinadigan bo'lsa, xuddi 2-teoremani isbotlaganimizdek, ajinlar paydo bo'lishining oldini olish mumkin. Biz Möbius tasmasi oldik, uning chetlari bir necha qatlam qog'oz bilan ajratilgan, 1.3-ilovaga qarang. Ammo Möbius chizig'iga qayting. 1-teorema, biz ko'rganimizdek, aslida o'z-o'zidan kesishgan lentalarga tegishli. O'z-o'zidan kesishish sharti l ga ta'sir qilmasligi dargumon; ammo bu ta'sirni hisobga olish mumkin emas, chunki matematikada o'z-o'zidan kesishishlarni o'rganish uchun etarli texnik vositalar mavjud emas. uch o'lchovli fazo. Aksincha, 2-teoremani yaxshilash mumkin emas. Axir, uni yaxshilash lentaning yangi dizayni bilan chiqishni anglatadi. Tajriba shuni ko'rsatadiki, optimal konstruktsiyalar oddiy va uyg'un bo'lishi mumkin, bu 2-teoremaning isbotidan kelib chiqadigan konstruktsiyadir. Agar yaxshiroq qurilish mavjud bo'lsa, u shunchalik ko'p yillar ichida topiladi deb taxmin qilish tabiiydir!

Shuning uchun biz l = √3 bo'lishini kutishimiz mumkin.

Mobius tasmasi bilan fokuslar

Tugunlarni bog'lash muammosi

Sharfning uchlarini qo'yib yubormasdan tugunni qanday bog'lash mumkin? Buni shunday qilish mumkin. Sharfni stolga qo'ying. Qo'llaringizni ko'kragingizda kesib o'ting. Ularni shu holatda ushlab turishni davom ettirib, stolga egilib, har bir qo'lingiz bilan navbatma-navbat sharfning bir uchini oling. Qo'llar ajratilgandan so'ng, ro'molning o'rtasida tugun o'z-o'zidan paydo bo'ladi. Topologik terminologiyadan foydalanib, tomoshabinning qo'llari, tanasi va sharfi "uch bargli" tugun shaklida yopiq egri chiziq hosil qiladi, deb aytishimiz mumkin. Qo'llarni yoyishda tugun faqat qo'llardan ro'molchaga o'tadi.

Sharfning uchini qo'lingizda ushlab, bir qo'lingiz bilan sharfga tugun bog'lang. Bu jumboqning javobini M.Gardnerning “Matematik mo‘jizalar va sirlar” kitobida topish mumkin.

Topologiya nuqtai nazaridan yelekni har biri oddiy yopiq egri chiziq bo'lgan uchta bog'lanmagan qirrali ikki tomonlama sirt deb hisoblash mumkin. Tugmali yelek to'rt qirrali ikki tomonlama sirtdir.

Sirli halqa.

Yelek kiygan tomoshabinni qo'liga ilmoq qo'yishadi va keyin yotqizish so'raladi Bosh barmoq yelekning pastki cho'ntagida. Endi siz hozir bo'lganlarni barmog'ingizni yelek cho'ntagidan chiqarmasdan qo'lingizdan halqani olib tashlashni taklif qilishingiz mumkin. Yechim shunday: halqani yeng uchun yelek teshigiga tortib, tomoshabinning boshiga tashlab, yeng uchun ikkinchi teshikdan chiqarib, ikkinchi qo'l ostiga o'tkazish kerak. Ushbu harakatlar natijasida pastadir ko'krak qafasini o'rab, yelek ostida bo'ladi. Yelek ostidan paydo bo'lguncha uni pastga tushiring va keyin polga tushib qolsin.

Yelekni odamdan olib tashlamasdan ichkariga aylantirish.

Yelek egasi barmoqlarini orqasiga yopishi kerak. Boshqalar esa yelekni kiyganning qo'llarini ajratmasdan ichkariga burishlari kerak. Ushbu tajribani ko'rsatish uchun yelekning tugmalarini yechish va uni kiyganning orqasidagi qo'llar bilan pastga tushirish kerak. Yelek havoda osilib turadi, lekin, albatta, tushmaydi, chunki qo'llar bog'langan. Endi siz yelekning chap yarmini olishingiz kerak va yelekni burishtirmaslikka harakat qilib, uni iloji boricha o'ng qo'l teshigiga suring. Keyin o'ng qo'l teshigini oling va uni bir xil qo'l teshigiga va bir xil yo'nalishda joylashtiring. Yelekni to'g'rilash va uni egasiga tortish qoladi. Yelek ichkariga buriladi. Biz bu nayrangni bajardik va sinfdoshlarimiz bilan videoga oldik. U Moebius Strip taqdimotida mavjud.

2.3. Möbius Stripning qo'llanilishi

∞ Vashingtondagi Tarix va texnologiya muzeyiga kiraverishda yarim burilishli po'lat lenta asta-sekin poydevorda aylanadi. 1967 yilda Braziliyada xalqaro matematika kongressi bo'lib o'tganida, uning tashkilotchilari besh sentavo nominalidagi esdalik markasini chiqarishdi. Uning ustida Möbius tasmasi bor edi. Ikki metrdan ortiq balandlikdagi yodgorlik ham, mayda marka ham nemis matematiki va astronomi Avgust Ferdinand Möbiusning asl yodgorligidir.

5-ilovaga qarang.

Patent idorasi bir xil bir tomonlama yuzaga asoslangan ko'plab ixtirolarni ro'yxatga oldi.

∞ Möbius tasmasi bir tomonlama yuzaning xususiyatlarini sinchkovlik bilan o'rganishdan ilhomlangan ko'plab ixtirolarda qo'llaniladi. Möbius tasmasi shaklida qilingan konveyer tasmasi uning ikki barobar uzoqroq ishlashiga imkon beradi, chunki varaqning butun yuzasi bir tekisda eskiradi. 1923 yilda ixtirochi Li de Forsga patent berildi, u bir vaqtning o'zida ikkala tomonning g'altaklarini almashtirmasdan plyonkaga ovoz yozishni taklif qildi. Magnitofon uchun kassetalar ixtiro qilindi, ularda lenta o'raladi va halqaga yopishtiriladi, shu bilan birga bir vaqtning o'zida ikkala tomondan ma'lumotlarni yozib olish yoki o'qish mumkin bo'ladi, bu esa kassetaning sig'imi va shunga mos ravishda ijro etish vaqtini ikki baravar oshiradi. Matritsali matritsali printerlarda siyoh lentasi saqlash muddatini oshirish uchun Möbius tasmasi shaklida edi. Bu sezilarli tejash imkonini beradi. Möbius chizig'i velosiped va voleybol kamerasida qo'llaniladi.

∞ Yaqinda uning uchun yana bir foydalanish topildi - u buloq rolini o'ynay boshladi, ammo buloqlar alohida. Ma'lumki, xo'roz buloq teskari yo'nalishda ishlaydi. Möbius chizig'i, barcha qonunlardan farqli o'laroq, ikkita barqaror pozitsiyaga ega mexanizmlar kabi ish yo'nalishini o'zgartirmaydi. Bunday buloq soat mexanizmi o'yinchoqlarida bebaho bo'lishi mumkin - uni oddiy kabi buralib bo'lmaydi - o'ziga xos doimiy harakat mashinasi.

Ilovaga qarang. 6.

∞ 1971 yilda Uralslik ixtirochi Chesnokov P.N. Möbius tasmasi shaklida filtr qo'llagan.

∞ Möbius tasmasi pazandachilikda bulochka, quritgich, cho'tka uchun qiziqarli va ishtahani ochuvchi ko'rinish yaratish uchun ishlatiladi. Va shuningdek, turli xil idishlarni tayyorlash va bezash uchun asboblar, quvvat inshootlari (mikser) ishlab chiqarishda.

Ilovaga qarang. 7.

∞ Möbius tasmasi yordamida butun durdona asarlar yaratiladi.

Möbius chizig'i haykallar va haykallar uchun ilhom manbai bo'lib xizmat qildi grafik san'at. Escher buni ayniqsa yaxshi ko'radigan va bir nechta toshbosmalarini ushbu matematik ob'ektga bag'ishlagan rassomlardan biri edi. Mashhurlardan birida chumolilar Möbius chizig'i yuzasida sudralib yurganini ko'rsatadi.

9-ilovaga qarang.

∞ Möbius chizig'i ilmiy fantastikalarda ham takrorlanadi, masalan, Artur C. Klarkning "Zulmat devori" qissasida. Ba'zida ilmiy fantastika hikoyalari bizning koinotimiz umumiy Möbius chizig'i bo'lishi mumkinligini ko'rsatadi. Yozuvchining hikoyasida A.J. Deutsch, Boston metrosi yangi liniya qurmoqda, uning yo'nalishi shunchalik chalkash bo'lib, u Mobius chizig'iga aylanadi, shundan so'ng poezdlar ushbu liniyada yo'qola boshlaydi.

∞ DNK spiralining o'zi ham Möbius chizig'ining bo'lagi ekanligi haqidagi gipoteza mavjud va faqat shu sababli genetik kod shifrlash va tushunish juda qiyin. Bundan tashqari, bunday tuzilma biologik o'limning boshlanishi sababini mantiqiy ravishda tushuntiradi: spiral o'z-o'zidan yopiladi va o'z-o'zini yo'q qilish sodir bo'ladi.

10-ilova.

∞ Möbius chizig'i nafaqat matematiklarga, balki sehrgarlarga ham yoqdi

100 yildan ortiq vaqt davomida Möbius chizig'i fokuslar va o'yin-kulgilarni amalga oshirish uchun ishlatilgan. Choyshabning ajoyib xususiyatlari hatto Möbius chiziqlari shaklida bir-biriga yopishtirilgan yorqin lentalar osilgan sirkda ham namoyon bo'ldi. Sehrgar sigaret tutdi va yonayotgan uchiga tegdi o'rta chiziq kaliy nitratdan qilingan har bir lenta. Olovli yo'l birinchi lentani uzunroqqa, ikkinchisini esa ikkita lentaga aylantirib, bir-biriga bog'lab qo'ydi. (Bu holda sehrgar Möbius tasmasini o'rtada emas, balki uning kengligining uchdan bir qismidagi masofada kesib tashladi).

∞ Fiziklar hamma narsani aytadilar optik qonunlar Möbius chizig'ining xususiyatlariga asoslanadi, xususan, ko'zgudagi aks etish - bu vaqtni o'tkazishning bir turi, qisqa muddatli, soniyaning yuzdan bir qismiga to'g'ri keladi, chunki biz oldimizda ... to'g'ri, bizning oynamiz ikki barobar. .

∞Nisbiylik nazariyasiga ko'ra, bizning koinotimiz bir xil Möbius chizig'ida yopiq bo'lishi mumkin degan gipoteza mavjud, massa qanchalik katta bo'lsa, fazoning egriligi shunchalik katta bo'ladi. Ushbu nazariya doimo to'g'ri uchib yuradigan kosmik kemaning boshlang'ich nuqtasiga qaytishi mumkinligi haqidagi taxminni to'liq tasdiqlaydi, bu koinotning cheksizligi va cheksizligini tasdiqlaydi.

Ilovaga qarang. o'n bir.

∞ Möbius chizig'iga qiziqish bugungi kunda ham so'nmagan. 2006 yil sentyabr oyida Moskvada Badiiy matematika festivali bo'lib o'tdi. Tokiolik professor Jin Akiyamaning nutqi katta muvaffaqiyat bilan qabul qilindi. Uning ijrosi illyuzionistning shousini eslatdi, u erda Möbius chizig'i uchun joy bor edi ("Möbius Strip va uning modifikatsiyalari" qog'ozi bilan ishlash).

SPORT

"Robur" qo'lda kengaytirgich

Ilovaga qarang. 12 .

BittasiBarcha maktab jismoniy tarbiya o'qituvchilarining sevimli narsalari, ularning fikriga ko'rao'z ifodasi "poezd qilmaydifaqat qo'lning mushaklari, lekinva miya muskullari." Karpal ekspander danStudio Art. Lebedev Möbius tasmasi shaklini takrorlaydi. Ajoyib stressni engillashtiradigan vositacheksizlik vaqo'llaringizni band qilishning foydali usuli.

PARFUM

Bugatti parfyumeriyasi

Ilovaga qarang. 13

KompaniyaBugattinafaqat o'ta qimmat avtomobillar ishlab chiqarishni yo'lga qo'ydi (modelVeyron1,3 million evro turadi), shuningdek ... spirtli ichimliklar. kristalldan yasalgan va haqiqiy oltin bilan qoplangan har bir shisha noodatiy Mobius tasmasi shaklida qilingan bo'lib, uning faqat bir tomoni bor. parfyumeriya narxiBugatti3500 evro.

Parfyumeriya Loewe Quzas, Quizalar, Quizalar

Ilovaga qarang. o'n to'rt.

2011 yil kuzida xushbo'y hidning binafsha rangli versiyasi chiqdi, uning shishasi tabiatdagi ehtiroslar tsiklining ramzi bo'lgan Mobius lentasi bilan o'ralgan. Kompozitsiyaning boyligi Osiyo apelsinlari, bergamot, qizil mevalarning yangiligidan iborat bo'lib, magnoliya, freziya va apelsin gulbarglarining gulli yuragi bilan davom etadi va shahvoniy kaşmir yog'ochlari, oltin kehribar va vetiver kompozitsiyasi bilan yakunlanadi.

Parfyumeriya UFO Limited Edition, Kenzo

Ilovaga qarang. 15 .

Aroma taqdimotiKenzo2009 yilda Ron Arad asarlarining retrospektiv ko'rgazmasida bo'lib o'tdi (RonArad) Parijdagi Pompidou markazida. Aynan shu rassom va me'mor Möbius chizig'i ko'rinishidagi shishaning kosmik dizaynini o'ylab topdi. U sizning kaftingizga to'liq sig'adigan qilib yaratilgan.Noma'lumXushbo'y hidOb'ekt, yoki Noma'lum aromatik ob'ekt, 180 nusxa bilan cheklangan va 188 dollar turadi.

MEBEL

Möbius jadvali

Ilovaga qarang. 16

Bemalol tik turish, o'tirish va yotish uchun bir yuzli stol.

Bookshelf Infinity

Ilovaga qarang. 17 .

Dizayner Job Kelevius Infiniti kitob javonini loyihalashda qolipni buzdi. Lemniskatning matematik kontseptsiyasidan va Moebius chizig'iga o'xshash narsadan foydalanib, dizayner cheksizlikning jismoniy g'oyasini Infinity shelfida o'zida mujassam etgan. Bu shuni anglatadiki, agar siz ushbu javondagi barcha kitoblarni o'qigan bo'lsangiz, adabiyotning butun cheksizligini tushungan deb hisoblang.

Möbius divan

Ilovaga qarang. o'n sakkiz.

"Ikki kishilik stul - qo'shaloq zavq" shiori ostida tug'ilgan, divan stulMoebiusIkki martaqo'ltiqli kreslodizayner tomonidan yaratilganGaesarg'ishVandeWyerBelgiyadan va sevuvchilar uchun mebelning yangi ko'rinishini olib keladi.

LOGOLAR

Woolmark kompaniyasi logotipi

Ilovaga qarang. 19.

Logotip 1964 yilda dizayn tanlovi natijasida yaratilgan. Hakamlar hay'ati a'zosiFrankoGrignaniqarshilik ko'rsata olmadi va taxallus ostida yashirinib, o'z versiyasini taklif qildiFrancheskoSeraglio. Ushbu logotip Möbius tasmasiga o'xshaydi va kompaniyaning abadiyligi va moslashuvchanligi ramzidir.

Qayta ishlash belgisi

Ilovaga qarang. yigirma.

Qayta ishlashning xalqaro ramzi Möbius Strip hisoblanadi. Qayta ishlash (boshqa shartlar: qayta ishlash, chiqindilarni qayta ishlash, qayta ishlash va qayta ishlash)- ishlab chiqarish chiqindilari yoki chiqindilaridan qayta foydalanish yoki muomalaga qaytarish. Eng keng tarqalgan ikkilamchi, uchinchi darajali va T. e) Shisha, qog'oz, alyuminiy, asfalt, temir, to'qimachilik va har xil turdagi plastmassalar kabi materiallarni qayta ishlash. Qadim zamonlardan beri ham ishlatilgan qishloq xo'jaligi organik qishloq xo'jaligi va maishiy chiqindilar.

Matematika belgisi

Ilovaga qarang. 21 .

Möbius chizig'i zamonaviy matematikaning ramzi hisoblanadi, chunki u yangi matematik tadqiqotlarga turtki bergan.

KIYIM VA POYABAL

Oyoq kiyimlari

Ilovaga qarang. 22.

2003-yilda arxitektor Ram Dee Koolhaas va poyabzalchi Galahad Klark tomonidan asos solingan.BirlashganYalang'ochinnovatsion dizaynerlik poyabzallarini ishlab chiqarishga ixtisoslashgan. Kompaniyaning eng muvaffaqiyatli ishlanmalaridan biri bu poyabzalMobius , Geometr Avgust Möbius va uning bir tomonlama sirt haqidagi g'oyasi sharafiga nomlangan. Oyoq kiyimining g'oyasi quyidagicha: poyabzalning charm ustki qismi va tagligi ma'lum bir tarzda o'ralgan bitta lentadir.

Moebius sharfi

Ilovaga qarang. 23.

Qizig'i shundaki, 21-asrning shkaflarida paydo bo'ladigan Moebius sharfi. Mobius sharfini o'zingiz qilishingiz mumkin, sharfning uchlarini bir burilish orqali bog'lab qo'ying.

BO'YNASH

Graffiti

Ilovaga qarang. 24.

Chexiya Respublikasining Praga shahridagi devorga zamonaviy Möbius tasmasi chizilgan.

 Lenta bo'ylab ikki turdagi transport vositalari harakatlanadi: tanklar va yo'l qurilish texnikasi.Zamonaviy sivilizatsiya ramzi: biz yo'q qilamiz-quramiz-buyron qilamiz-quramiz..

ARXITEKTURA

kutubxona binosi

Ilovaga qarang. 25.

Hozirda Qozog‘istonda Möbius chizig‘i ko‘rinishidagi kutubxona qurish loyihasi ko‘rib chiqilmoqda.

Binoning burmalari Möbius chizig'ini hosil qiladi, shuning uchun ichki makon tashqi tomonga o'tadi va aksincha; xuddi shunday, devorlar tomga aylanadi va tom yana devorlarga aylanadi. Tabiiy yorug'lik ichki koridorlarga tashqi qobiqdagi geometrik teshiklar orqali kirib, o'qish uchun ideal, chiroyli yoritilgan joylarni yaratadi.

diqqatga sazovor joylar

Ilovaga qarang. 26.

"Roller coaster" attraksioni Mobius tasmasi shakliga o'xshaydi. Moskvada dunyodagi eng katta teskari roller coaster bor, u erda odam osilgan stulda o'tiradi va uning oyoqlari havoda. Tezlik - 81 km / soat, balandligi 30 m. Balandligi, xorijiy analoglar bilan solishtirganda, kichik, ammo bu ko'plab spirallar, halqalar va o'lik halqalar bilan to'lanadi.

kino g'altak

Ilovaga qarang. 27.

1923 yilda ixtirochi Li de Forsga patent berildi, u bir vaqtning o'zida g'altakni almashtirmasdan plyonkaga ovoz yozishni taklif qildi.

Kasseta

Ilovaga qarang. 28.

Magnitofon uchun kassetalar ixtiro qilindi, ularda lenta o'raladi va halqaga yopishtiriladi, shu bilan birga bir vaqtning o'zida ikkala tomondan ma'lumotlarni yozib olish yoki o'qish mumkin bo'ladi, bu esa kassetaning sig'imini va shunga mos ravishda ijro etish vaqtini oshiradi.

Toyota MOB avtomobili

Ilovaga qarang. 29.

Möbius Bollid ispan dizayneri Xorxe Marti Vidal tomonidan ishlab chiqilgan va Möbius chizig'ining go'zalligi va sirini o'zida mujassam etgan. Kuzovning noyob shakli poyga avtomobilini yaxshi aerodinamika bilan ta'minlaydi

Matritsali printer

Ilovaga qarang. o'ttiz.

Ko'pgina matritsali printerlarda siyoh lentasi o'z manbasini oshirish uchun Möbius tasmasi shakliga ham ega.

Möbius qarshiligi

Ilovaga qarang. 31.

Bu yangi ixtiro qilingan elektron element bo'lib, u o'z induktivligiga ega emas.

silliqlash kamari

Ilovaga qarang. 32.

1969 yilda sovet ixtirochisi Gubaydullin Möbius chizig'i ko'rinishidagi cheksiz silliqlash kamarini taklif qildi.

Xulosa

Möbius tasmasi olim tomonidan kashf etilgan birinchi bir tomonlama sirtdir. Keyinchalik matematiklar ko'proq narsani kashf etdilar butun chiziq bir tomonlama yuzalar. Lekin

Bu geometriyaning butun bir yo'nalishiga asos solgan birinchi yo'nalish hali ham olimlar, ixtirochilar, rassomlar va biz talabalar e'tiborini tortmoqda. Men juda qiziqdim jamoat mulki Möbius chizig'i:

Moebius chizig'i bir chetiga, bir tomoniga ega

Möbius chizig'i topologik ob'ektdir. Har qanday topologik figura singari, u kesilmaguncha, parchalanmaguncha yoki uning alohida qismlari bir-biriga yopishtirilmaguncha o'z xususiyatlarini o'zgartirmaydi.

Möbius chizig'ining bir chekkasi va bir tomoni uning kosmosdagi holatiga bog'liq emas, masofa tushunchalari bilan bog'liq emas.

Möbius tasmasi pazandachilik, muhandislik, fizika, rassomlik, arxitektura, zargarlik buyumlari dizayni va koinot xususiyatlarini o'rganishda ko'plab maqsadlarga ega. U ko'plab yozuvchilar va rassomlarning ijodiga ilhom berdi.

1. Keling, avvalo muhim son-nazariy Möbiou funksiyasining ta'rifini eslaylik

1, agar n = 1 bo'lsa

µ (n)=0, agar p tub son mavjud bo‘lsa, p2 n (-1)k, agar n = p1 … pk k alohida tub omillarning mahsuloti bo‘lsa.

Möbius funksiyasining asosiy xossasini isbotlaylik:

Teorema 1.

♦ Agar n = 1 bo'lsa, u holda yagona bo'luvchi d = 1 va (1) to'g'ri, chunki m (1) = 1. Endi n > 1 bo'lsin. Uni ko'rinishda ifodalaymiz

n = p1 s 1 ps 2 2 K ps k k,

Bu yerda pi , i 1, k tub sonlar, si ularning darajalari. Agar d n ning bo'luvchisi bo'lsa, u holda d = p1 d 1 pd 2 2 K pd k k,

bu yerda 0 ≤ di ≤ si, i 1, k. Agar ba'zi i 1, k uchun di > 1 bo'lsa, u holda m (d) = 0. Demak, (1) da biz faqat di ≤ 1, i 1, k bo'lgan d ni hisobga olishimiz kerak. Har bir bunday bo'luvchi

r ning hosilasidir tub sonlar, bu erda r 1, k va uning yig'indiga qo'shgan hissasi

(1) (-1)r ga teng va jami k bor. Shunday qilib, biz olamiz

			µ (d) = 1 -	K + (−1) k	0. ♦
			Teorema 2. (Möbius inversiya formulasi). f(n) va g(n) natural funksiyalar bo‘lsin
haqiqiy argument. Keyin tenglik
					∑f(d)
tenglik to‘g‘ri bo‘lsagina to‘g‘ri bo‘ladi
					∑µ (d)g(

♦ Har qanday n uchun (2) to'g'ri bo'lsin. Keyin

g(d n ) = ∑ f(d' )

d'dn

(3) ning o'ng tomoniga almashtirib, biz olamiz

∑µ (d)g(			) = ∑ µ (d) ∑ f(d' )
					d'

O'ng tarafdagi qo'sh yig'indi barcha d, d' juftlari bo'yicha amalga oshiriladi, shunday qilib d d' n . Agar biz d' ni tanlasak, u holda d d n ' ning barcha bo'luvchilari orqali o'tadi. Shunday qilib

∑µ (d)g(

) = ∑ f(d′ ) ∑ m (d′ )

d'

d'

d'

n > d'

Lekin (1) ga ko'ra bizda ∑ mavjud

m (d' ) =

n = d'

d'

d'

Demak, tenglik (3) o'rnatiladi. Endi (3) har qanday n uchun amal qilsin. Keyin

∑ f(d) =

∑ ∑ µ (d′ )g(

), d′′ = d d ′ - n ning boʻluvchisi va qoʻsh yigʻindisi mumkin

d'

n d'

sifatida qayta yoziladi

∑ m (d′ )g(d′′ ) =

∑ g(d′′ )

∑µ (d' )

d'

n d'

d'

d'

d'

d'

(1) ga ko'ra, oxirgi yig'indi d′′ = n holatda, boshqa hollarda esa birlikka aylanadi.

choylar nolga teng. Bu tasdiqlaydi (2). ♦ 2. Möbius inversiyasini qo'llashni ko'rib chiqing.

s harflaridan iborat A alifbosi berilsin. Berilgan alifboda uzunligi n boʻlgan sn soʻzlar mavjud. Har bir so'z uchun w0 = a1 a2 … an n - 1 so'z aniqlanishi mumkin

w1 = a2 a3 … an a1 , w2 = a3 a4 … a1 a2 , … , wk-1 = an a1 … an-1 , bir-biridan siklik siljishlar orqali olingan. Barcha sn so'zlar to'plamida biz ekvivalentlik munosabatini kiritamiz: ikkita so'z, agar ikkinchisidan biri tsiklik siljish orqali olingan bo'lsa, ekvivalent deb e'lon qilinadi. Bizni aynan n ta so'zdan iborat sinflar soni qiziqtiradi. Bunday muammo kodlarni sinxronlashtirish nazariyasida paydo bo'ladi.

Agar w ni o'z ichiga olgan ekvivalentlik klassi n dan kam so'zdan iborat bo'lsa, biz w so'zini degeneratsiya deb ataymiz. Agar u so'zi va w = u u ... u (m marta) bo'lgan m natural soni mavjud bo'lsa, biz w davriy deb ataymiz.

Teorema 3. w so'zi faqat va faqat degenerativ bo'lsa davriy bo'ladi.

kabi biz olishimiz mumkin 1 a 2 … a p va m = sifatida

♦ Agar w davriy bo'lsa, u degeneratsiya ekanligi aniq. U buzuq bo'lsin. p eng kichik butun son bo'lsin, w = wp. Keyin agar

w = a1 a2 … an , keyin wp = a1+p a2+p … an+p (n moduli indekslari). Demak, biz buni n p da olamiz. (P n ni ko'rish oson). ♦ Fon rasmi

M(d) jihatidan ahamiyatli - d so'zni o'z ichiga olgan kvadratlar soni. Bizda oldingisidan

dn. Shunday qilib, formula∑ dM(d) = s n . d n

g(n) = sn , f(d) = dM(d) holatlari uchun Möbius inversiya formulasini qo llaymiz. Keyin olamiz

nM(n) = ∑ µ (d)s n d d n

∑µ (d)sn d

Shunday qilib, M (n) bizni qiziqtiradigan raqamdir. Agar n = p tub son bo'lsa, u holda

− s)

Möbius inversiyasining multiplikativ versiyasi mavjud. adolatli

Teorema 4. f(n) va g(n) bog langan natural argumentning funksiyalari bo lsin

kiyish

f(n) = ∏g(d)

mk(n

g(n) = ∏f(d)

Va aksincha, (5) dan (4) kelib chiqadi.

Möbius inversiya formulasidan foydalanib, cheklangan maydonda belgilangan darajali kamaytirilmaydigan polinomlar soni haqidagi amaliy muhim masalani hal qilish mumkin. GF(q) q elementli maydon, m natural son bo‘lsin. Keyin raqam uchun

GF(q) maydonidagi qaytarilmas ko‘phadlarning PH m (q), bizda formula mavjud

PH m (2) funktsiyasining bir nechta birinchi qiymatlari jadvalini keltiramiz.

m(2)

§ 5. Doimiy shaxslar va ularning ro'yxatga olishlarga qo'llanilishi

1. Ko`p kombinator masalalarni yechish uchun doimiylar qo`llaniladi. Raqamli matritsani ko'rib chiqing

A = (ai , j), i = 1, n , j = 1, m , n ≤ m

A matritsasining doimiyligi (belgilash - A uchun) tenglik bilan aniqlanadi

boshiga A = ∑			a 2 j L a nj
(j1 , K , jn )

bu erda yig'indi m elementning 1, 2, m barcha n-o'rin almashtirishlari bo'yicha bajariladi. Boshqacha qilib aytadigan bo'lsak, matritsaning doimiyligi har bir satrdan va turli ustunlardan bir vaqtning o'zida olingan elementlarning mahsuloti yig'indisiga teng.

Formula (1) kvadrat matritsalar uchun determinantga o'xshash doimiyning ba'zi aniq xususiyatlarini nazarda tutadi.

1. Agar qatorlardan biri bo'lsa(n × m)-matritsa A (n ≤ m) nollardan iborat, keyin A = 0 boshiga. n = m uchun, ustunlar uchun ham xuddi shunday.

2. A matritsa satrlaridan birining barcha elementlarini qandaydir songa ko'paytirishda doimiy A qiymati bir xil songa ko'paytiriladi.

3. Uning satrlari va ustunlari o'zgartirilganda doimiy o'zgarmaydi.

i-qator va j-ustunni oʻchirish orqali A dan olingan matritsani Aij bilan belgilang.

4. I-qatordagi doimiyni kengaytirish formulasi A = ai1 boshiga Ai1 + ai2 boshiga Ai2 + ... + Maqsad (2) uchun amal qiladi.

shunday qilib, doimiylarning ko'p xossalari determinantlarnikiga o'xshaydi.

Biroq det(A B) = detA detB determinantlarining asosiy xossasi doimiylar uchun amal qilmaydi va bu holat ularni hisoblashni ancha murakkablashtiradi.

Misol uchun,

					2, boshiga
Biroq, 4 = boshiga						≠ boshiga

Keling, kombinatsion masalalarda doimiy tushunchasining eng muhim qo'llanilishidan birini ko'rib chiqaylik.

dachalar. X = (x1 , xm ) chekli to‘plam, X1 , … , Xn esa kichik to‘plamlar sistemasi bo‘lsin.

Bunday holda, xi elementi Xi to'plamini ifodalaydi. Turli vakillar tizimini topish zarurati ko'plab amaliy masalalarni hal qilishda paydo bo'ladi. Quyidagi kodlash muammosini ko'rib chiqing. Biror jumla bo'lsin, ya'ni. qandaydir alifbodagi so‘zlarning tartiblangan to‘plami. Har bir so'z bir harf bilan bog'lanishi uchun ushbu jumlani kodlash talab qilinadi va bu harf ushbu so'zning bir qismi bo'lishi kerak va turli harflar turli so'zlarga mos kelishi kerak.

Misol: a bc ab d abe c de cd e jumlasini abecd sifatida kodlash mumkin. Shu bilan birga, ab ab bc abc bcd jumlasini bu tarzda kodlash mumkin emas, chunki jami birinchi to'rtta so'z faqat uchta harfdan iborat.

X1 , … , Xn toʻplamlar tizimi uchun biz aniqlaymiz insidans matritsasi A = (aij ), i = 1, n ,

				1, agar xi
		a ij =
				0 aks holda.
		adolatli
		Teorema 1. A = (aij ), i = bo'lsin					(n ≤ m) insidans matritsasi

X1 , … , Xn toʻplamlari, bunda Xi X, i = 1, n , X = (x1 , … , xm ) . Keyin tizimlar soni uchun

X1 , … , Xn toʻplamlarning shaxsiy vakillari R(X1 , … , Xn )

R(X1 , … , Xn ) = A uchun

♦ Darhaqiqat, A matritsadagi aij = 1 elementi bo'lgani uchun, agar xj Xi va aij = 0 bo'lsa,

agar xj

K, xi

) X ning elementlari har xil oldingi tizimdir.

Xi , keyin to'plam (xi

X1 , … , Xn uchun yetkazib beruvchilar

agar va faqat a1i bo'lsa

K , a ni

politsiyachilar a1i

K , a ni

A matritsasining turli ustunlarida joylashgan. Raqamlarni jamlang

a1i ,K ,a ni

1, 2, ..., m elementlarning barcha n-o‘rin almashtirishlari ustidan. Keyin biz yuzta olamiz

boshqa tomondan, X1 , … , Xn uchun turli vakillar tizimlari soni va boshqa tomondan, per-

matritsa A. ♦

a 1i 1 a 2i 2 L a ni n

Natija. X1 , … , Xn uchun turli vakillar tizimi, agar tegishli matritsa uchun A hodisasi bajarilsagina mavjud bo‘ladi:

(1) formulada m(m - 1) ... (m - n +1) atamalar mavjud bo'lganligi sababli, ta'rifga asoslangan doimiyni hisoblash qiyin. Buning uchun umumiy formulani beramiz.

2. Biz A = (aij ), i, j = 1, n kvadrat sonli matritsalarni ko'rib chiqish bilan cheklanamiz.

Keyin A = ∑ uchun

(i1 ,K ,da )

bu erda yig'indi elementlardagi i1 , … , barcha almashtirishlar bo'ylab tarqaladi

1, 2, …, n. A matritsaning doimiyligini hisoblash uchun kiritish-chiqib chiqarish formulasini qo‘llaylik. Har bir i1 , … , in to‘plamiga a1i 1 ,K ,a ni n ga teng og‘irlik beriladi.

Shunday qilib, doimiy A - bu almashtirishlarga mos keladigan to'plamlarning og'irliklarining yig'indisi. 1, 2, …, n dan boshlab barcha i1 , i2 , … , in toʻplamlari toʻplamiga P1 , … , Pn xossalarini kiritamiz, bunda Pi xossa i1 , … , in toʻplamida i elementi yoʻqligini bildiradi. Shunday qilib, doimiy A - bu P1, …, Pn xossalariga ega bo'lmagan i1, … to'plamlarning og'irliklarining yig'indisidir. K xossali to‘plamlarning W(Pi 1 ,K , Pi k ) og‘irliklari yig‘indisini aniqlash qoladi.

Pi 1, K, Pi k. Bizda barcha i1 , … , ik toʻplamlarning W(0) ogʻirliklari yigʻindisi bor.
W(0) = ∑			K, a ni		= (a 11 + L + a 1n )(a 21 + L + a 2n ) L (a n1 + L + a nn )
i1 ,K ,in
W(N(Pi )) =			a1i ,K , a ni				= (a 11 + L + a 1i	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nn ) (9)
	≠i

Bu erda A matritsasining elementi ustidagi ^ belgisi bu elementni tashlab qo'yish kerakligini anglatadi. Xuddi shunday sij uchun (ya'ni< j) имеем

W(N(Pi , Pj )) = (a11 + L + a1i	L+a1j	L + a1n )L (a n1 + L a ni + L + a nj + L + a nn ) (10)

Endi, inklyuziya-istisno formulasidan foydalanib, doimiy A uchun Raiser formulasini olamiz:

per A = ∏ i n = 1 (ai1 + L + ain ) − ∑∏ k n = 1 (a k1 + L + a ki + L + a kn )+ L +
+ (− 1)s	∑∏n
		(a k1 + L + a ki1	L+a ki	L + a kn ) + L
	1≤ i1< L < is ≤ k n= 1

Raiser formulasi bo'yicha doimiyni hisoblash talab qilinadigan tarzda tashkil etilishi mumkin

(2n - 1)(n - 4) ko'paytirish va (2n - 2)(n + 1) qo'shimchalar. Bu qiymat n bilan tez o'sib borishiga qaramasdan, bu formula eng ko'p beradi samarali usul doimiy hisob-kitoblar.

3. Endi (0, 1)-matritsa doimiyning nolga tengligi shartlari haqidagi savolga aniqlik kiritamiz. Biz o'zimizni kvadrat matritsa holati bilan cheklaymiz.

Teorema 2. A = (aij ), i, j = 1, n n tartibli a (0, 1)-matritsa bo‘lsin. Keyin

per A= 0, agar A ning s × t nollardan iborat submatritsasi bo‘lsa, bu yerda s + t = n + 1.

♦ Bunday nol submatritsa A da mavjud bo'lsin. Doimiy satrlar va ustunlar almashinuvidan o'zgarmasligi sababli, biz ushbu submatritsa pastki chap burchakda joylashgan deb taxmin qilishimiz mumkin, ya'ni.

Bu erda O - (s × t) nollarning matritsasi, B submatritsasi (n - s) × t o'lchamiga ega. Doimiy A ning har qanday a'zosi birinchi t ustunidan bittadan elementni o'z ichiga olishi kerak. Shuning uchun, agar qidirsangiz ijobiy atama doimiy bo'lsa, u holda bu ustunlarning elementlari 1, 2, …, n - s raqamlari bo'lgan juftlikdagi turli qatorlarga tegishli bo'lishi kerak. Biroq, n - s = t - 1< t и поэтому данное условие выполнить нельзя, т.е. per A = 0.

Endi per A = 0 bo'lsin. Teoremani n ga induksiya orqali isbotlaymiz. n = 1 uchun tasdiqlash aniq (A = (0)). U n dan kichik bo'lgan barcha buyurtmalar uchun amal qilsin. Agar A n tartibli nol matritsasi bo'lsa, unda tasdiq aniq bo'ladi. Agar A nol matritsa bo'lmasa, u holda aij = 1 bo'lsin. A ning parchalanishini i qatorga yozamiz:

boshiga A = ai1 Ai1 + … + ain Ain

Per A = 0 bo'lgani uchun, keyin per Aij = 0. Ammo Aij o'lchamiga ega (n - 1) × (n - 1) va induksiya gipotezasiga ko'ra, o'lchamdagi nollardan iborat submatritsa mavjud.

s1 × t1 va s1 + t1 = n - 1 + 1 = n. Ushbu nol submatritsa pastki chap burchakda bo'lishi uchun qatorlar va ustunlarni o'zgartiring:

A→B=

Bu yerda s1 × t1, s1 + t1 = n, S - o'lchamdagi O - nol submatritsa (n - s1 ) × t1 , D -

s1 × (n - t) o'lchamiga ega. Demak, S va D matritsalari kvadrat bo'lib, mos ravishda (t1 × t1 ) va (s1 × s1 ) tartiblarga ega. Doimiy ta'rifga ko'ra, bizda per B = per A va,

per B = per C boshiga D va shuning uchun per A = 0 dan kelib chiqadiki, yo C = 0 yoki D = 0.

Let per C = 0. Induktiv gipotezaga ko'ra, C nol o'lchamdagi submatritsaga ega.

u × v, bu erda u + v = t1 + 1. U i1 , … , iu raqamlari bo'lgan qatorlarda va j1 , … , jv raqamlari bo'lgan ustunlarda joylashgan bo'lsin. Qatorlardan tashkil topgan B submatritsasini ko'rib chiqaylik

i1 , … , iu , t1 + 1, … , n va ustunlar j1 , … , jv . Bu (u + n - t1 ) × v o'lchamdagi null submatritsa,

bu erda u + n - t1 + v = n + +1. Demak, B matritsasi s × t o'lchamdagi nol submatritsani o'z ichiga oladi, bu erda s + t = n + 1. A va B matritsalari qatorlar va ustunlar almashinuvida farq qilganligi sababli, teorema isbotlangan. ♦

Endi A matritsasining muhim alohida holatini ko‘rib chiqamiz. A(k, n) bilan 0,1 ta elementdan iborat n × n matritsani har bir satr va har bir ustun uchun k birlik bilan belgilaymiz (k > 0).

Teorema 3. Har qanday A(k, n) matritsa uchun A(k, n) > 0 ga ega bo‘lamiz.

♦ Aksincha, per A(k, n) = 0 deb faraz qilaylik. Demak, 2-teoremaga ko'ra, nol mavjud.

s × t o'lchamdagi kichik matritsa, bu erda s + t = n + 1. Keyin, A(k, n) matritsaning satr va ustunlarini qayta tartiblash orqali biz matritsani olamiz.

Bu erda O - nol (s × t) matritsa.

B va D matritsalaridagi 1 lar sonini hisoblaymiz. A(k, n) ning har bir satrida va har bir ustunida k 1 ga ega bo lgani uchun B ning har bir ustunida va D ning har bir satrida aynan k 1 lar mavjud.

birliklar. A(k, n) da jami n ta birlik mavjud, shuning uchun nk ≥ tk + sk = (t + s)n. Shunday qilib

zom, n ≥ t + s, bu mumkin emas, chunki s + t = n + 1

da'voning haqiqiyligi. ♦ Xuddi shunday isbotlangan

Teorema 3a. A n × m (n≤ m) o‘lchamdagi (0,1)-matritsa bo‘lsin. U holda perA = 0, agar u s × t o'lchamdagi nol submatritsani o'z ichiga olgan bo'lsa, bu erda s+t=m+1.

4. Endi ko'rib chiqilayotgan savollarning kenglik qurilishiga qo'llanilishini ko'rib chiqamiz.

qalay kvadratlari. Lotin (n × m)-to'rtburchak to'plam ustida X=(x1 ,…,xm )

X ning elementlarining (n × m)-matritsasi deyiladi, bunda har bir satr X ning n-o‘rin almashtirishi va har bir ustun X to‘plamning m-o‘rin almashtirishidir. n=m uchun lotincha to‘rtburchak. chaqirdi Lotin kvadrati.

Ko'rinib turibdiki, n=1 uchun lotincha 1 × m to'rtburchaklar soni m ga teng!. n=2 uchun birinchi qator tanlangandan so'ng har qanday almashtirish ikkinchisi sifatida qabul qilinishi mumkin.

tanlanganga zid bo'lgan yangilik. Bunday almashtirishlar soni Dm ga teng, shuning uchun soni 2× m -

lotin to'rtburchaklari m ga teng! Dm.

Lotin kvadratlarining induktiv qurilishi bilan bog'liq holda tabiiy savol tug'iladi. Keling, lotincha (n × m) - to'rtburchak (n< m). Можно ли его расширить до ((n+1)× m) -прямоугольника добавлением (n+1)-й строки?

adolatli

Teorema 4. Har bir lotincha (n × m) -to'rtburchak n

♦ X=(x1 ,…,xm ) va L-Lotin (n × m)-toʻrtburchaklar X dan elementlar boʻlsin. A1 ,… ,Am toʻplamlar toʻplamini koʻrib chiqaylik, bu yerda Ai lotin toʻrtburchagining i-ustunining elementlari. L. A - to'plam sistemasining insidans matritsasi A1 ,… ,Am bo'lsin. U m × m o'lchamga ega va A matritsasining har bir qatori aniq n tadan iborat, chunki Ai = n, i = 1, m . Har bir xi X elementi L ustunlarida m martadan ko'p bo'lmagan holda paydo bo'lishi mumkin, aks holda bu element ikki marta uchraydigan qator bo'ladi. Elementlarning umumiy soni

L m n ga teng, shuning uchun har bir xi X elementi ustunlarda to'liq n marta paydo bo'ladi. Bu A matritsasining har bir ustunida aynan n ta ustun borligini bildiradi. Endi har bir 1 ni nolga va har bir nolni 1 ga almashtirish orqali olingan A matritsasini ko'rib chiqing.

A matritsasi X1 , … , Xn toʻplamlar tizimining insidans matritsasi boʻlib, bu yerda Xi = X\Ai,

i = 1, m. U har bir satr va ustunda m - n tadan iborat. Teorema bo'yicha

> 0. ai1 bo'lsin

… mil

≠ 0. Keyin bizda xi X1 , K , xi bor

Xm va barcha elementlar

xi, K, xi

juftlik bilan farqlanadi. Chiziq

xi, K, xi

(n + 1)-chi sifatida qabul qilinishi mumkin

lotin (n × m) uchun to'rtburchak L. Ushbu protsedurani davom ettirib, biz lotin tilini olamiz.

osmon maydoni. ♦

Belgilang l n - birinchi ustun va birinchi qator elementlari natural tartibda joylashgan X = (1, 2, ... , n) to'plamdagi elementlar bilan n tartibli lotin kvadratlari soni. Mana l n sonining bir nechta ma'lum qiymatlari jadvali:

5. Haqiqiy, manfiy bo'lmagan elementlarga ega bo'lgan n × n matritsa A = (aij ) deyiladi. ikki barobar stokastik, agar

μ( n) barcha natural sonlar uchun aniqlanadi n va raqamning parchalanish xususiyatiga qarab qiymatlarni oladi n asosiy omillarga:

• μ( n) = 1 agar n kvadratsiz (ya'ni har qanday tub sonning kvadratiga bo'linmaydi) va parchalanish n juft sonli omillar;
• μ( n) = − 1 agar n kvadratchalar va parchalanishsiz n toq sonli omillardan iborat tub omillarga;
• μ( n) = 0 agar n kvadratlardan xoli emas.

Ta'rifga ko'ra, m (1) = 1 ham qabul qilinadi.

Xususiyatlar va ilovalar

Möbius funktsiyasi multiplikativdir: har qanday nisbatan tub sonlar uchun a Va b tenglik μ( ab) = μ( a)μ( b) .

Butun sonning barcha bo'luvchilari ustidan Möbius funktsiyasi qiymatlarining yig'indisi n, birga teng emas, nolga teng

Style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/49/1bee8d0f6bd91176912a8cedc63e174b.png" border="0">

Bundan, xususan, har qanday bo'sh bo'lmagan chekli to'plam uchun toq sonli elementlardan tashkil topgan turli kichik to'plamlar soni juft elementlardan tashkil topgan turli kichik to'plamlar soniga teng ekanligi kelib chiqadi - bu fakt dalil.

Möbius funktsiyasi Mertens funktsiyasi bilan munosabat orqali bog'lanadi

Mertens funktsiyasi, o'z navbatida, Riemann zeta funktsiyasining nollari muammosi bilan chambarchas bog'liq, Mertens taxmin maqolasiga qarang.

Möbius inversiyasi

Birinchi Möbius inversiya formulasi

Arifmetik funktsiyalar uchun f Va g ,

g(n) =	∑	f(d)
	d | n

agar va faqat agar

.

Ikkinchi Möbius inversiya formulasi

Haqiqiy qiymatli funktsiyalar uchun f(x) Va g(x) da belgilangan,

agar va faqat agar

.

Bu erda yig'indi sifatida talqin qilinadi.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Boshqa lug'atlarda "Mobius funktsiyasi" nima ekanligini ko'ring:

Möbius funksiyasi m(n) sonlar nazariyasi va kombinatorikada qoʻllaniladigan multiplikativ arifmetik funksiya boʻlib, uni birinchi marta 1831 yilda koʻrib chiqqan nemis matematigi Möbius nomi bilan atalgan. Mundarija 1 Taʼrif 2. Xususiyatlar va ilovalar ... Vikipediya

Möbius funksiyasi m(n) sonlar nazariyasi va kombinatorikada qoʻllaniladigan multiplikativ arifmetik funksiya boʻlib, uni birinchi marta 1831 yilda koʻrib chiqqan nemis matematigi Möbius nomi bilan atalgan. Mundarija 1 Taʼrif 2. Xususiyatlar va ilovalar ... Vikipediya

Transformatsiyalar turi yoqilgan murakkab tekislik(kulrang) va Rieman sferasi (qora) Mundarija 1 Ta'rif 2 Algebraik xususiyatlar ... Vikipediya

Fraksiyonel chiziqli funksiya z = (z1,...,zn) murakkab yoki real o‘zgaruvchilar, ai,b,ci,d murakkab yoki real koeffitsientlar bo‘lgan ko‘rinishdagi funksiya. Ko'pincha "chiziqli kasr funktsiyasi" atamasi o'zining maxsus konvertatsiya holati uchun ishlatiladi ... ... Vikipediya

Möbius seriyasi - ko'rinishdagi funktsional qator Bu seriya Möbius tomonidan o'rganilib, ushbu seriya uchun inversiya formulasini topdi: bu erda m (s) - Möbius funktsiyasi ... Vikipediya

TIBBIY TADQIQOT USULLARI - І. Umumiy tamoyillar tibbiy tadqiqotlar. Bilimlarimizning o'sishi va chuqurlashishi, fizika, kimyo va texnologiyaning eng so'nggi yutuqlaridan foydalanishga asoslangan klinikaning tobora ko'proq texnik jihozlanishi, bu bilan bog'liq usullarning murakkablashishi ... ... Katta tibbiy ensiklopediya

Tug'ruq paytida rivojlanadigan va bolaning to'qimalari va organlarining shikastlanishi bilan tavsiflangan patologik holat, qoida tariqasida, ularning funktsiyalarining buzilishi bilan birga keladi. R. rivojlanishiga moyil boʻlgan omillar notoʻgʻri ... ... Tibbiyot entsiklopediyasi