FUNZIONE DELTA

Definizione. funzione delta

(2.1)

un funzione generalizzata

Fig. 1. funzione delta

Condizione di normalizzazione

, . (2.2)

un, come mostrato in Figura 1, b

Parità di funzioni segue da (2.1)

. (2.2a)

, (2.2b)

come mostrato in Figura 1, b.

ortonormalità. Molte funzionalità

Proprietà della FUNZIONE DELTA

proprietà del filtro

noi abbiamo

b, noi troviamo

, . (2.5)

Base ortonormale

In (2.5) impostiamo

, ,

. (2.7)

Eseguita

, (2.8)

Prova

Semplificare l'argomento

Se sono le radici della funzione , poi

. (2.9)

Prova

In un piccolo quartiere, ci espandiamo in una serie di Taylor

e ci limitiamo ai primi due termini

Usiamo (2.8)

Confrontiamo gli integrandi e otteniamo (2.9).

Convoluzione

Dalla definizione di convoluzione (1.22)

a noi abbiamo

Noi crediamo , e trova

. (2.35 bis)

e (2.35a) dare

. (2.35b)

noi abbiamo

. (2.36 bis)

e (2.36a) dare

. (2.36b)

. (2.37a)

noi abbiamo

. (2.37b)

funzione pettine

(2.53)

Simula illimitato reticolo cristallino, antenna e altre strutture periodiche.

La trasformata di Fourier trasforma la funzione pettine in una funzione pettine.

(2.8)

noi abbiamo

. (2.54)

Proprietà

La funzione è pari

periodico

periodo . Fornisce la proprietà di filtraggio delle funzioni delta

. (2.55)

trasformata di Fourier

Per una funzione periodica con un punto l L'immagine di Fourier è espressa in termini di coefficienti di Fourier

, (1.47)

, (1.49)

Per una funzione pettine con un punto, otteniamo

dove viene presa in considerazione la proprietà di filtraggio della funzione delta. Dalla (1.47) troviamo l'immagine di Fourier

. (2.56)

La trasformata di Fourier della funzione comb è la funzione comb.

Dalla (2.56), per il teorema di Fourier sulla scala dell'argomento, otteniamo

. (2.59)

Aumentare il periodo della funzione pettine ()riduce il periodo e aumenta l'ampiezza del suo spettro .

serie di Fourier

Noi usiamo

Per , noi abbiamo

FUNZIONE DELTA

Definizione. funzione delta

modella un disturbo puntiforme ed è definito come

(2.1)

La funzione è zero in tutti i punti tranne dove il suo argomento è zero e dove la funzione è infinita, come mostrato in Fig. uno, un. Specificare i valori nei punti dell'argomento è ambiguo perché va all'infinito, quindi la funzione delta è funzione generalizzata e richiede una definizione aggiuntiva sotto forma di normalizzazione.

Fig. 1. funzione delta

Condizione di normalizzazione

, . (2.2)

L'area sotto il grafico della funzione è uguale a uno in qualsiasi intervallo contenente un punto un, come mostrato in Figura 1, b. Pertanto, la funzione delta modella una perturbazione puntuale di un singolo valore.

Parità di funzioni segue da (2.1)

. (2.2a)

Dalla simmetria su un punto, otteniamo

, (2.2b)

come mostrato in Figura 1, b.

ortonormalità. Molte funzionalità

forma una base ortonormale infinita-dimensionale.

La funzione delta è stata applicata in ottica da Kirchhoff nel 1882, in teoria elettromagnetica da Heaviside negli anni '90 anni XIX in.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Heaviside (1850–1925)

Oliver Heaviside è uno scienziato autodidatta che per primo ha utilizzato i vettori in fisica, ha sviluppato l'analisi vettoriale, ha introdotto il concetto di operatore e ha sviluppato il calcolo operativo, un metodo di risoluzione dell'operatore equazioni differenziali. Ha introdotto la funzione di inclusione, che in seguito ha preso il suo nome, ha utilizzato la funzione di impulso del punto - la funzione delta. applicato numeri complessi nella teoria dei circuiti elettrici. Per la prima volta scrisse le equazioni di Maxwell sotto forma di 4 uguaglianze invece di 20 equazioni, come aveva fatto Maxwell. Termini introdotti: conducibilità, impedenza, induttanza, elettrete . Ha sviluppato la teoria della comunicazione telegrafica su lunghe distanze, ha predetto la presenza di una ionosfera vicino alla Terra: lo strato Kennelly-Heaviside.

La teoria matematica delle funzioni generalizzate fu sviluppata da Sergei L'vovich Sobolev nel 1936. Fu uno dei fondatori del Novosibirsk Academgorodok. A lui è intitolato l'Istituto di Matematica dell'SB RAS.

Sergei Lvovich Sobolev (1908–1989)

Proprietà della FUNZIONE DELTA

proprietà del filtro

Per una funzione regolare senza discontinuità, da (2.1)

noi abbiamo

Assumendo e utilizzando la funzione delta sotto forma di un limite in , mostrato in Fig. uno, b, noi troviamo

L'integrazione fornisce la proprietà del filtro in forma integrale

, . (2.5)

Base ortonormale

In (2.5) impostiamo

, ,

e otteniamo la condizione di ortonormalità per una base a spettro continuo

. (2.7)

Ridimensionamento degli argomenti

Eseguita

, (2.8)

Prova

Integriamo il prodotto della funzione delta con una funzione liscia sull'intervallo, dove:

dove viene effettuata una sostituzione di variabile e viene utilizzata la proprietà di filtraggio. Il confronto delle espressioni iniziale e finale dà (2.8).

Semplificare l'argomento

Se sono le radici della funzione , poi

. (2.9)

Prova

La funzione è diversa da zero solo vicino ai punti, in questi punti è infinita.

Per trovare il peso con cui entra l'infinito, integriamo il prodotto con una funzione liscia sull'intervallo . I contributi sono diversi da zero solo nelle vicinanze dei punti

. , (2.10) .. (2.35 bis)

Teorema di spostamento dell'argomento di Fourier

e (2.35a) dare

. (2.35b)

Da (1.1) e rappresentazione integrale (2.24)

noi abbiamo

. (2.36 bis)

Teorema di Fourier sullo sfasamento di una funzione

e (2.36a) dare

. (2.36b)

Dalla (2.35a) e il teorema della differenziazione di Fourier

. (2.37a)

Dalla (2.36a) e dal teorema di Fourier sulla moltiplicazione per un argomento

noi abbiamo

. (2.37b)

1. Funzione di inclusione dell'unità di Heaviside, funzione delta di Dirac e loro principali proprietà

Funzione identitaria pesante

Funzione pesante (funzione di passo unitario, funzione di salto di unità, unità inclusa) è una funzione costante a tratti uguale a zero per i valori negativi dell'argomento e uno per quelli positivi. A zero, questa funzione non è definita, ma di solito è estesa a questo punto di un certo numero in modo che il dominio della funzione contenga tutti i punti dell'asse reale. Molto spesso, non importa quale valore assume la funzione a zero, quindi è possibile utilizzare varie definizioni della funzione Heaviside, convenienti per un motivo o per l'altro, ad esempio:

Un'altra definizione comune:

La funzione Heaviside è ampiamente utilizzata nell'apparato matematico della teoria del controllo e della teoria dell'elaborazione dei segnali per rappresentare segnali che passano da uno stato all'altro in un determinato momento. Nella statistica matematica, questa funzione viene utilizzata per scrivere la funzione di distribuzione empirica.

La funzione Heaviside è l'antiderivata della funzione delta di Dirac, H" = δ, questo può anche essere scritto come:

funzione delta

δ -funzione(ofunzione delta,δ -Funzione di Dirac, delta di Dirac, funzione di impulso unitario) consente di scrivere la densità spaziale quantità fisica(massa, carica, intensità della fonte di calore, forza, ecc.) concentrati o applicati in un punto.

Ad esempio, la densità di un punto unitario di massa situato in un punto un Lo spazio euclideo si scrive usando la funzione δ nella forma δ( X − un). Applicabile anche per descrivere le distribuzioni di carica, massa, ecc. su superfici o linee.

La funzione δ è una funzione generalizzata, il che significa che è formalmente definita come un funzionale lineare continuo sullo spazio delle funzioni differenziabili.

La funzione δ non è una funzione in senso classico, tuttavia non è difficile trovare sequenze di funzioni classiche ordinarie che convergono debolmente alla funzione δ.

Si possono distinguere tra funzioni delta unidimensionali e multidimensionali, tuttavia, queste ultime possono essere rappresentate come un prodotto di quelle unidimensionali in una quantità pari alla dimensione dello spazio su cui è definita quella multidimensionale.

Proprietà

L'antiderivata della funzione delta unidimensionale è la funzione di Heaviside:

Proprietà di filtraggio della funzione delta:

2. Filtrotriplo(HPF)- un filtro elettronico o qualsiasi altro che faccia passare le alte frequenze del segnale in ingresso, sopprimendo le frequenze del segnale inferiori alla frequenza di taglio. Il grado di soppressione dipende dal tipo di filtro specifico. Filtro passivo - Un filtro elettronico costituito solo da componenti passivi come condensatori e resistori. I filtri passivi non richiedono alcuna fonte di energia per funzionare. A differenza dei filtri attivi, i filtri passivi non amplificano il segnale in termini di potenza. Quasi sempre i filtri passivi sono lineari.

Il filtro passa-alto elettronico più semplice è costituito da un condensatore e un resistore collegati in serie. Il condensatore fa passare solo corrente alternata e la tensione di uscita viene prelevata dal resistore. Il prodotto di resistenza e capacità (R×C) è la costante di tempo per tale filtro, che è inversamente proporzionale alla frequenza di taglio in hertz.

(In entrambi i casi)

Converti la risposta LPF in risposta HPF può essere fatto usando il cambio di variabile: dove n è la frequenza di taglio della banda passante LPF e

Converti circuiti passiviLC-filtri. Modifica delle variabili (2.31) e (2.32) nell'espressione per la risposta in frequenza al quadrato |H p (j )| 2 filtri passa-basso, quando si implementa questa funzione, portano alla conversione del circuito passa-basso in filtro passa-alto e circuiti PF. La resistenza induttiva del filtro passa basso j n.h. L n.h. passa quando si convertono le frequenze (17.31) in resistenza: cioè nella capacità del filtro ad alta frequenza, dove C v.ch = 1/ p 2 L n.h.

Conduttanza capacitiva: si trasforma in conduzione induttiva del filtro passa alto con induttanza L alta frequenza = 1/ n 2 C bassa frequenza.

Funzione di Trasferimento Trasformazione di Filtri RC Attivi. Nei filtri RC attivi, per passare dalla funzione di trasferimento del prototipo del filtro passa basso alle funzioni di trasferimento del filtro passa alto e PF, è necessario sostituire la variabile complessa p. Da (17.31) otteniamo per HPF

oppure (17.34) dove n.h = n.h/p e v.h = v.h/p.

(O come hanno scritto sull'elettivo)

Definizione. funzione delta

modella un disturbo puntiforme ed è definito come

(2.1)

La funzione è uguale a zero in tutti i punti tranne
, dove il suo argomento è zero, e dove la funzione è infinita, come mostrato in Fig. uno, un. Esercizio
i valori nei punti dell'argomento sono ambigui perché vanno all'infinito, quindi lo è la funzione delta funzione generalizzata e richiede una definizione aggiuntiva sotto forma di normalizzazione.

Fig. 1. funzione delta

Condizione di normalizzazione

,
. (2.2)

Parità di funzioni segue da (2.1)

. (2.2a)

Dalla simmetria
rispetto al punto
noi abbiamo

, (2.2b)

come mostrato in Figura 1, b.

ortonormalità. Molte funzionalità

,
,

forma una base ortonormale infinita-dimensionale.

La funzione delta è stata applicata nell'ottica da Kirchhoff nel 1882 e nella teoria elettromagnetica da Heaviside negli anni '90.

Gustav Kirchhoff (1824–1887) Oliver Heaviside (1850–1925)

Oliver Heaviside è uno scienziato autodidatta che per primo ha utilizzato i vettori in fisica, ha sviluppato l'analisi vettoriale, ha introdotto il concetto di operatore e ha sviluppato il calcolo operativo, un metodo operatore per la risoluzione di equazioni differenziali. Ha introdotto la funzione di inclusione, che in seguito ha preso il suo nome, ha utilizzato la funzione di impulso del punto - la funzione delta. Ha applicato i numeri complessi alla teoria dei circuiti elettrici. Per la prima volta scrisse le equazioni di Maxwell sotto forma di 4 uguaglianze invece di 20 equazioni, come aveva fatto Maxwell. Termini introdotti: conducibilità, impedenza, induttanza, elettrete . Ha sviluppato la teoria della comunicazione telegrafica su lunghe distanze, ha predetto la presenza di una ionosfera vicino alla Terra - Strato Kennelly-Heaviside .

Sergei Lvovich Sobolev (1908–1989)

Proprietà del filtro delle proprietà della funzione delta

Per una funzione regolare
, che non ha discontinuità, da (2.1)

noi abbiamo proprietà di filtraggio della funzione delta in forma differenziale interessando un punto
:

Noi crediamo
e utilizzare il limite per la funzione delta in
mostrato in fig. uno, b. Noi troviamo

. (2.4)

Integriamo la (2.3) nell'intervallo
, compreso il punto un, prendiamo in considerazione la normalizzazione (2.2) e otteniamo proprietà di filtraggio della funzione delta in forma integrale

,
. (2.5)

Base ortonormale

In (2.5) impostiamo

,
,

e otteniamo la condizione di ortonormalità per la base
con una gamma continua di valori

. (2.7)

introduzione

Lo sviluppo della scienza richiede sempre di più per la sua fondatezza teorica alta matematica”, una delle realizzazioni di cui sono le funzioni generalizzate, in particolare la funzione Dirac. Attualmente, la teoria delle funzioni generalizzate è rilevante in fisica e matematica, in quanto possiede una serie di notevoli proprietà che ampliano le possibilità della teoria classica analisi matematica, amplia la gamma delle problematiche in esame e, inoltre, porta a notevoli semplificazioni nei calcoli, automatizzando operazioni elementari.

Obiettivi di questo lavoro:

1) studiare il concetto della funzione di Dirac;

2) considerare gli approcci fisici e matematici alla sua definizione;

3) illustrare l'applicazione alla ricerca di derivate di funzioni discontinue.

Compiti del lavoro: mostrare le possibilità di utilizzo della funzione delta in matematica e fisica.

L'opera presenta vari modi definizioni e introduzione della funzione delta di Dirac, sua applicazione nella risoluzione di problemi.

Definizione della funzione di Dirac

Concetti basilari.

In varie questioni di analisi matematica, il termine "funzione" deve essere inteso con vari gradi di generalità. A volte si considerano funzioni continue ma non differenziabili, in altre domande si deve presumere che si tratti di funzioni differenziabili una o più volte, e così via. Tuttavia, in alcuni casi concetto classico funzioni, anche interpretate in senso lato, cioè come regola arbitraria, assegnare ad ogni valore x dal dominio di questa funzione un certo numero y=f(x), risulta insufficiente.

Ecco un esempio importante: quando si applica l'apparato dell'analisi matematica a determinati problemi, dobbiamo affrontare una situazione in cui alcune operazioni di analisi risultano impossibili; ad esempio, una funzione che non ha derivata (in alcuni punti o anche ovunque) non può essere differenziata se si intende la derivata funzione elementare. Difficoltà di questo tipo potrebbero essere evitate limitando la considerazione delle sole funzioni analitiche. Tuttavia, un tale restringimento dello stock di funzioni ammissibili è altamente indesiderabile in molti casi. La necessità di un'ulteriore espansione del concetto di funzione è diventata particolarmente acuta.

Nel 1930, per risolvere i problemi della fisica teorica, il più grande fisico teorico inglese P. Dirac, uno dei fondatori meccanica quantistica, privo dell'apparato della matematica classica, introdusse un nuovo oggetto chiamato “funzione delta”, che andava ben oltre definizione classica funzioni.

P. Dirac nel libro “Principles of Quantum Mechanics” ha definito la funzione delta q(x) come segue:

Inoltre, la condizione è posta:

Puoi rappresentare visivamente il grafico di una funzione simile a q(x), come mostrato nella Figura 1. Più stretta è la striscia tra i rami sinistro e destro, maggiore deve essere questa striscia per l'area di \u200b\ u200bla striscia (cioè l'integrale) per preservare il suo valore dato uguale a 1. Man mano che la striscia si restringe, ci avviciniamo alla condizione q(x) = 0 a X? 0, la funzione si avvicina alla funzione delta.

Questa idea è generalmente accettata in fisica.

Va sottolineato che q(x) non è una funzione nel senso comune, poiché tale definizione implica condizioni incompatibili dal punto di vista della definizione classica di funzione e integrale:

a e.

Nell'analisi classica non c'è funzione che abbia le proprietà prescritte da Dirac. Solo pochi anni dopo, nelle opere di S.L. Sobolev e L. Schwartz, la funzione delta ha ricevuto il suo design matematico, ma non come una funzione ordinaria, ma come una funzione generalizzata.

Prima di procedere alla considerazione della funzione di Dirac, introduciamo le principali definizioni e teoremi di cui avremo bisogno:

Definizione 1. Immagine della funzione f(t) o L - immagine data funzione f(t) è una funzione della variabile complessa p definita dall'uguaglianza:

Definizione 2. Funzione f(t) così definito:

chiamato Funzione identitaria pesante e indicato da. Il grafico di questa funzione è mostrato in Fig. 2

Cerchiamo l- immagine della funzione Heaviside:

Sia la funzione f(t) per t<0 тождественно равна нулю (рис.3). Тогда функция f(t-t 0) будет тождественно равна нулю при t

Per trovare l'immagine q(x) usando una funzione ausiliaria, si consideri il teorema del ritardo:

Teorema 1. Se F(p) è un'immagine della funzione f(t), allora esiste un'immagine della funzione f(t-t 0 ), cioè se L(f(t))=F(p), allora .

Prova.

Per definizione di un'immagine, abbiamo

Il primo integrale è zero perché f(t-t 0 )=0 a t 0 . Nell'ultimo integrale facciamo il cambio di variabile t-t 0 =z:

In questo modo, .

Per la funzione dell'unità Heaviside, è stato riscontrato che. In base al teorema dimostrato, segue che per la funzione, L- l'immagine sarà, cioè

Definizione 3. Funzione continua a tratti o continua d(t,l) discussione t, a seconda del parametro l, è chiamato a forma di ago, Se:

Definizione 4. Funzione numerica f, definito su uno spazio lineare l, chiamato funzionalità.

Definiamo l'insieme di quelle funzioni su cui agiranno i funzionali. Come questo set, considera il set K tutte funzioni reali c(x), ognuna delle quali ha derivate continue di tutti gli ordini ed è finita, cioè svanisce al di fuori di un'area limitata (propria per ciascuna delle funzioni c(x)). Queste funzioni verranno chiamate principale, e il loro intero set Per - spazio principale.

Definizione 5. Funzione generalizzataè qualsiasi funzionale lineare continuo definito nello spazio di base Per.

Decifriamo la definizione di funzione generalizzata:

1) funzione generalizzata f c'è funzionalità sulle funzioni principali c, cioè ciascuno c mappa a un numero (complesso). (f, c);

2) funzionalità f lineare, cioè per qualsiasi numero complesso l 1 e l 2 ed eventuali funzioni di base c 1 e c 2 ;

3) funzionalità f continuo, cioè se.

Definizione 6.Polso- un singolo salto di breve durata di corrente o tensione elettrica.

Definizione 7.Densità media- rapporto peso corporeo m al suo volume V, questo è .

Teorema 2.(Teorema del valore medio generalizzato).

Se f(t) è continua ed è una funzione integrabile su , e non cambia segno su questo intervallo, allora dove.

Teorema 3.Sia limitata la funzione f(x) e abbia al massimo un numero finito di punti di discontinuità. Allora la funzione è un'antiderivata per la funzione f(x) sull'intervallo, e per ogni antiderivata Ф(x) la formula.

Definizione 8. L'insieme di tutti i funzionali lineari continui definiti su uno spazio lineare e, forma uno spazio lineare. Si chiama spazio coniugare Insieme a e, ed è indicato e * .

Definizione 9. spazio lineare e, in cui è data qualche norma, è chiamata spazio normato.

Definizione 10. La sequenza viene chiamata debolmente convergente k, se la relazione vale per ciascuno.

Teorema 4.Se (x n ) è una successione debolmente convergente in uno spazio normato, allora esiste un numero costante C tale che .

Funzione delta di Dirac

La funzione delta (funzione 5) è stata introdotta dal fisico inglese P.A.M. Dirac "per necessità" quando ha creato l'apparato matematico della meccanica quantistica. I matematici "non l'hanno riconosciuto" per qualche tempo, dopo di che hanno creato la teoria delle funzioni generalizzate, di cui la funzione δ è un caso speciale.

Secondo la definizione (ingenua), la funzione δ è uguale a zero ovunque tranne che in un punto, ma l'area coperta da questa funzione è uguale a uno:

Questi contrastanti

i requisiti non possono essere soddisfatti da una funzione di tipo "normale".

Zeldovich Ya.B. Matematica superiore per fisici e tecnici principianti. -M.: Nauka, 1982.

In effetti, come un differenziale δх non è un numero (uguale a zero), e la frase "valore infinitamente piccolo" è difficile da capire qualitativamente, da capire correttamente δх non come un numero, ma come un limite (processo), è corretto anche intendere la funzione δ come un limite (processo). Sulla fig. 3.7.1 e 3.7.2 mostrano diverse funzioni (a seconda del parametro), il cui limite è la funzione δ. Esistono infinite funzioni di questo tipo: ognuno può scegliere la propria.

La funzione δ ha molte proprietà utili, essendo, in particolare, l'analogo continuo del simbolo di Kronecker δkk

paragonare con

Un'altra relazione sorprendente indica come è possibile differenziare integrando:

dove 8 - derivato 8- funzioni.

Riso. 3.7.1 - Due approssimazioni successive a δ-

Funzioni di Dirac. Funzione raffigurata

Riso. 3.7.2 - Due funzioni che sono al limite un ->∞ dare δ-funzioni:

Infine, si noti che l'intervallo della funzione δ:

dove in(x)- Funzione pesante,

passo, con interruzione al punto x= 0 .

Transizioni di fase

Per parlare di transizioni di fase, è necessario definire cosa sono le fasi. Il concetto di fasi ricorre in molti fenomeni, quindi, invece di dare una definizione generale (più è generale, più è astratto e non visibile, come dovrebbe essere), daremo alcuni esempi.

Primo, un esempio della loro fisica. Per il solito liquido più comune nella nostra vita - l'acqua, sono note tre fasi: liquido, solido (ghiaccio) e gassoso (vapore). Ciascuno di essi è caratterizzato dai propri valori di parametro. È essenziale che quando le condizioni esterne cambiano, una fase (ghiaccio) passi in un'altra (liquida). Un altro oggetto preferito dai teorici è un ferromagnete (ferro, nichel e molti altri metalli puri e leghe). A basse temperature (per nichel sotto T= 3600 DA) un campione di nichel è un ferromagnete; quando il campo magnetico esterno viene rimosso, rimane magnetizzato, cioè può essere utilizzato come magnete permanente. A temperature superiori ts questa proprietà si perde, quando il campo magnetico esterno viene disattivato, entra in uno stato paramagnetico e non è un magnete permanente. Quando la temperatura cambia, si verifica una transizione - una transizione di fase - da una fase all'altra.

Facciamo un altro esempio geometrico dalla teoria della percolazione. Tagliando casualmente le connessioni dalla rete, alla fine, quando la concentrazione delle connessioni rimanenti - R diventa inferiore a un certo valore rs, non sarà più possibile passare lungo il reticolo "da un capo all'altro". Pertanto, la griglia dallo stato di percolazione - la fase di "perdita", andrà nello stato della fase di "nessuna perdita".

Da questi esempi risulta chiaro che per ciascuno dei sistemi considerati esiste un cosiddetto parametro d'ordine che determina in quale delle fasi si trova il sistema. Nel ferromagnetismo, il parametro d'ordine è la magnetizzazione in un campo esterno zero; nella teoria della percolazione, è la connettività di rete, o, ad esempio, la sua conduttività o la densità di un cluster infinito.

Le transizioni di fase sono di vario genere. Le transizioni di fase del primo tipo sono tali transizioni quando più fasi possono esistere contemporaneamente nel sistema. Ad esempio, ad una temperatura di 0° C il ghiaccio galleggia nell'acqua. Se il sistema è in equilibrio termodinamico (nessuna fornitura e rimozione di calore), il ghiaccio non si scioglie e non cresce. Per le transizioni di fase del secondo tipo, l'esistenza di più fasi contemporaneamente è impossibile. Un pezzo di nichel è in uno stato paramagnetico o in uno stato ferromagnetico. Una mesh con connessioni tagliate casualmente è connessa o meno.

Decisivo nella creazione della teoria delle transizioni di fase del secondo tipo, il cui inizio fu posto da L.D. Landau, c'è stata un'introduzione del parametro order (lo indicheremo G]) come elemento distintivo della fase del sistema. In una delle fasi, ad esempio, paramagnetica, r] = 0, e nell'altro, ferromagnetico, G ^ 0. Per i fenomeni magnetici, il parametro dell'ordine ] è la magnetizzazione del sistema.

Per descrivere le transizioni di fase viene introdotta una certa funzione dei parametri che determinano lo stato del sistema - G(n, T,...). Nei sistemi fisici, questa è l'energia di Gibbs. In ogni fenomeno (percolazione, rete di "piccoli mondi", ecc.), questa funzione sarà determinata "indipendentemente". La proprietà principale di questa funzione, la prima assunzione di L.D. Landau - in uno stato di equilibrio, questa funzione assume un valore minimo:

Nei sistemi fisici si parla di equilibrio termodinamico, nella teoria delle catene complesse si può parlare di stabilità. Si noti che la condizione di minimalità è determinata variando il parametro dell'ordine.

La seconda ipotesi di L.D. Landau - durante la trasformazione di fase n = 0. Secondo questa ipotesi, la funzione b(n, T, ...) vicino al punto di transizione di fase può essere espansa in una serie in potenze del parametro d'ordine n:

dove n = 0 in una fase (paramagnetica, se si parla di magnetismo e disconnessa, se si parla di griglia) e n^0 nell'altra (ferromagnetica o connessa).

Dalla condizione

che ci dà due soluzioni

Per T > Tc ci deve essere una soluzione n = 0, e per T< Тс soluzione n ^ 0. Questo può essere soddisfatto se per il caso T > Tc e n = 0 scegli A > 0. In questo caso, non esiste una seconda radice. E per il caso T < ts deve avvenire la seconda soluzione, cioè deve essere effettuato MA< 0. In questo modo:

A > 0 a T > Tc, MA< 0 a T< Тс ,

La seconda ipotesi di Landau richiede A(Tc) = 0. Il tipo più semplice la funzione A(T) che soddisfa questi requisiti è

Il cosiddetto indice critico e la funzione C(g], T) assume la forma:

Sulla fig. 3.8.1 mostra la dipendenza b(n, T) per T > Tc e T< Тс .

Riso. 3.8.1 - Grafici delle funzioni dei parametri G(n, T) per T > Tc e T< Тс

Poston T., Stuart I. Teoria della catastrofe e sue applicazioni. - M.: Mir, 1980. Gilmour R. Teoria applicata della catastrofe. - M.: Mir, 1984.

Dipendenza qualitativa dei parametri G(j], T) sul parametro d'ordine ] è mostrato in fig. 3.8.1 (G0 = 0). La dipendenza dalla temperatura del parametro d'ordine] è mostrata in Fig. 3.8.2.

Una teoria più avanzata tiene conto che quando T > Tc il parametro order ] , sebbene molto piccolo, non è esattamente zero.

Transizione del sistema dallo stato con h = 0 a T > Tc in stato con h- 0 in diminuzione T e raggiungere i valori T £ Tc può essere inteso come la perdita di stabilità della posizione h = 0 a T £ Tc. Una teoria matematica recente

con il nome sonoro "Teoria delle catastrofi" che descrive da un unico punto di vista molti fenomeni diversi. Dal punto di vista della teoria della catastrofe, una transizione di fase del secondo tipo è una "catastrofe di assemblaggio".

Riso. 3.8.2 - Dipendenza dal parametro dell'ordine n temperatura: a T< Tc e vicino Tc parametro dell'ordine n Comportarsi come funzione di potenza, e quando T > Tc n = 0