Consideriamo un altro problema particolare.

È noto che il modulo di velocità del corpo durante l'intero movimento è rimasto costante e pari a 5 m/s. Trova la legge del moto di questo corpo. L'inizio del conteggio delle lunghezze dei percorsi coincide con il punto di partenza del moto del corpo.

Per risolvere il problema, usiamo la formula

Da qui puoi trovare l'incremento della lunghezza del percorso per ogni piccolo periodo di tempo

Per condizione, il modulo di velocità è costante. Ciò significa che gli incrementi nella lunghezza del percorso per qualsiasi intervallo di tempo uguale saranno gli stessi. Per definizione, questo è un moto uniforme. L'equazione che abbiamo ottenuto non è altro che la legge di tale moto uniforme. Se sostituiamo le espressioni in questa equazione, allora è facile da ottenere

Supponiamo che l'inizio del riferimento temporale coincida con l'inizio del moto del corpo. Teniamo conto che, per condizione, l'origine delle lunghezze del percorso coincide con il punto iniziale del moto del corpo. Prendiamo come intervallo il tempo dall'inizio del movimento al momento di cui abbiamo bisogno, quindi dobbiamo impostare Dopo aver sostituito questi valori, la legge del movimento considerato avrà la forma

L'esempio considerato ci permette di dare una nuova definizione di moto uniforme (§ 13): il moto uniforme è un moto a velocità modulo costante.

Lo stesso esempio ci permette di ottenere la formula generale per la legge del moto uniforme.

Se l'origine del tempo coincide con l'inizio del movimento e l'origine delle lunghezze dei percorsi coincide con il punto di partenza del movimento, allora la legge del movimento uniforme avrà la forma

Se l'ora dell'inizio del movimento e la lunghezza del percorso verso punto di partenza moto, allora la legge del moto uniforme assume una forma più complessa:

Prestiamo attenzione a un risultato più importante, che può essere ottenuto dalla legge del moto uniforme che abbiamo trovato. Supponiamo che per un moto uniforme sia fornito un grafico della dipendenza della velocità dal tempo (Fig. 1.60). La legge di questo moto Si può vedere dalla figura che il prodotto è numericamente uguale all'area della figura delimitata dagli assi delle coordinate, il grafico della dipendenza della velocità dal tempo e l'ordinata corrispondente a

In un dato momento, secondo il grafico della velocità, è possibile calcolare gli incrementi delle lunghezze dei percorsi durante il movimento.

Utilizzando un più complesso apparato matematico, si può dimostrare che questo risultato, da noi ottenuto per un caso particolare, risulta valido per eventuali moti non uniformi. L'incremento della lunghezza del percorso durante il movimento è sempre numericamente uguale all'area della figura limitata dal grafico della velocità dagli assi delle coordinate e dall'ordinata corrispondente al tempo finale selezionato.

Questa possibilità di ricerca grafica della legge movimenti complessi verrà utilizzato in futuro.

E perché è necessario. Sappiamo già cos'è un quadro di riferimento, la relatività del moto e punto materiale. Bene, è ora di andare avanti! Qui esamineremo i concetti di base della cinematica, riuniremo le formule più utili sulle basi della cinematica e forniremo un esempio pratico di risoluzione del problema.

Risolviamo il seguente problema: Un punto si muove in un cerchio di raggio 4 metri. La legge del suo moto è espressa dall'equazione S=A+Bt^2. A=8m, B=-2m/s^2. In che momento accelerazione normale punto è 9 m/s^2? Trova la velocità, tangenziale e piena accelerazione punti per questo momento.

Soluzione: sappiamo che per trovare la velocità, dobbiamo prendere la derivata prima della legge del moto, e l'accelerazione normale è uguale al quadrato privato della velocità e al raggio del cerchio lungo il quale si muove il punto . Armati di questa conoscenza, troviamo i valori desiderati.

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LA DERIVATA E LA SUA APPLICAZIONE ALLO STUDIO DELLE FUNZIONI X

§ 218. Diritto del movimento. Velocità di movimento istantanea

Una caratterizzazione più completa del moto può essere ottenuta come segue. Dividiamo il tempo di movimento del corpo in diversi intervalli separati ( t 1 , t 2), (t 2 , t 3), ecc. (non necessariamente uguali, vedi Fig. 309) e su ciascuno di essi impostiamo la velocità media di movimento.

Queste velocità medie, ovviamente, caratterizzeranno in modo più completo il movimento sull'intera sezione rispetto a velocità media per tutta la durata del movimento. Tuttavia, non daranno una risposta a tale, ad esempio, la domanda: in quale momento dell'intervallo da t 1 a t 2 (Fig. 309) il treno è andato più veloce: al momento t" 1 o al momento t" 2 ?

La velocità media caratterizza il movimento in modo più completo, più brevi sono le sezioni del percorso su cui è determinato. Pertanto, uno dei modi possibili per descrivere il movimento non uniforme è impostare le velocità medie di questo movimento su sezioni sempre più piccole del percorso.

Supponiamo di avere una funzione S (t ), indicando quale percorso percorre il corpo, muovendosi rettilineo nella stessa direzione, nel tempo t dall'inizio del movimento. Questa funzione determina la legge del moto del corpo. Ad esempio, il movimento uniforme si verifica secondo la legge

S (t ) = vt ,

dove v - velocità di movimento; caduta libera tel avviene secondo la legge

dove g - accelerazione di un corpo in caduta libera, ecc.

Considera il percorso percorso da un corpo che si muove secondo una legge S (t ), per il tempo da t prima t + τ .

Quando t il corpo andrà per la strada S (t ), e dal tempo t + τ - sentiero S (t + τ ). Pertanto, durante il tempo t prima t + τ andrà per la via S (t + τ ) - S (t ).

Dividendo questo percorso per il tempo del movimento τ , otteniamo la velocità media per il tempo da t prima t + τ :

Il limite di questa velocità a τ -> 0 (se solo esiste) viene chiamato velocità istantanea di movimento alla volta t:

(1)

La velocità istantanea di movimento in un momento nel tempo tè chiamato il limite della velocità media di movimento nel tempo da t prima t+ τ , quando τ tende a zero.

Consideriamo due esempi.

Esempio 1. Movimento uniforme in linea retta.

In questo caso S (t ) = vt , dove v - velocità di movimento. Trova la velocità istantanea di questo movimento. Per fare ciò, devi prima trovare la velocità media nell'intervallo di tempo da t prima t + τ . Ma per un movimento uniforme, la velocità media in qualsiasi parte della torbidità coincide con la velocità di movimento v . Quindi la velocità istantanea v (t ) sarà uguale a:

v (t ) =v = v

Quindi, per il moto uniforme, la velocità istantanea (così come la velocità media su qualsiasi tratto del percorso) coincide con la velocità del moto.

Lo stesso risultato, ovviamente, potrebbe essere ottenuto formalmente, sulla base dell'uguaglianza (1).

Veramente,

Esempio 2 Moto uniformemente accelerato con velocità e accelerazione iniziali nulle un . In questo caso, come è noto dalla fisica, il corpo si muove secondo la legge

Secondo la formula (1), otteniamo che la velocità istantanea di un tale movimento v (t ) è uguale a:

Quindi la velocità istantanea moto uniformemente accelerato al momento t è uguale al prodotto dell'accelerazione e del tempo t . A differenza del moto uniforme, la velocità istantanea del moto uniformemente accelerato varia nel tempo.

Esercizi

1741. Il punto si sposta secondo il diritto (S - distanza in metri t - tempo in minuti). Trova la velocità istantanea di questo punto:

b) al momento t 0 .

1742. Trova la velocità istantanea di un punto che si muova secondo la legge S (t ) = t 3 (s - percorso in metri, t - tempo in minuti):

a) all'inizio del movimento

b) 10 secondi dopo l'inizio del movimento;

c) al momento t= 5 minuti;

1743. Trova la velocità istantanea di un corpo che si muove secondo la legge S (t ) = √t , in un momento arbitrario t .

Tutti hanno prestato attenzione a tutta la varietà di tipi di movimento che incontra nella sua vita. Tuttavia, qualsiasi movimento meccanico corpo è ridotto a uno dei due tipi: lineare o rotazionale. Considera nell'articolo le leggi fondamentali del moto dei corpi.

Di quali tipi di movimento stiamo parlando?

Come notato nell'introduzione, tutti i tipi di moto del corpo considerati nella fisica classica sono associati o a una traiettoria rettilinea oa una circolare. Eventuali altre traiettorie possono essere ottenute combinando queste due. Più avanti nell'articolo, saranno prese in considerazione le seguenti leggi del movimento del corpo:

1. Uniforme in linea retta.
2. Uniformemente accelerato (uniformemente rallentato) in linea retta.
3. Uniforme lungo la circonferenza.
4. Uniformemente accelerato lungo la circonferenza.
5. Movimento lungo un percorso ellittico.

Movimento uniforme o stato di riposo

Da un punto di vista scientifico, Galileo si interessò per la prima volta a questo movimento tra la fine del XVI e l'inizio del XVII secolo. Studiando le proprietà inerziali del corpo, oltre ad introdurre il concetto di sistema di riferimento, ha intuito che lo stato di quiete e il moto uniforme sono la stessa cosa (tutto dipende dalla scelta dell'oggetto rispetto al quale la velocità è calcolato).

Successivamente Isaac Newton formulò la sua prima legge del moto di un corpo, secondo la quale la velocità di quest'ultimo è un valore costante ogni volta che non vi sono forze esterne che modificano le caratteristiche del moto.

Viene descritto il movimento rettilineo uniforme di un corpo nello spazio la seguente formula:

Dove s è la distanza che il corpo percorrerà nel tempo t, muovendosi a velocità v. Questa semplice espressione è anche scritta nelle seguenti forme (tutto dipende dalle quantità note):

Muoversi in linea retta con accelerazione

Secondo la seconda legge di Newton, la presenza di una forza esterna che agisce su un corpo porta inevitabilmente alla comparsa di accelerazione in quest'ultimo. Da (tasso di variazione della velocità) segue l'espressione:

a=v/t o v=a*t

Se agisce sul corpo forza esterna rimarrà costante (non cambierà il modulo e la direzione), quindi anche l'accelerazione non cambierà. Questo tipo di movimento è chiamato uniformemente accelerato, dove l'accelerazione funge da fattore di proporzionalità tra velocità e tempo (la velocità cresce linearmente).

Per questo movimento, la distanza percorsa viene calcolata integrando la velocità nel tempo. La legge del moto di un corpo per un percorso con moto uniformemente accelerato assume la forma:

L'esempio più comune di questo movimento è la caduta di qualsiasi oggetto da un'altezza, in cui la gravità gli indica un'accelerazione g \u003d 9,81 m / s 2.

Moto rettilineo accelerato (lento) con velocità iniziale

Stiamo infatti parlando di una combinazione dei due tipi di movimento discussi nei paragrafi precedenti. Immagina una situazione semplice: un'auto stava guidando a una certa velocità v 0 , quindi il conducente ha premuto i freni e il veicolo si è fermato dopo un po' di tempo. Come descrivere il movimento in questo caso? Per la funzione della velocità in funzione del tempo vale l'espressione:

Qui v 0 è la velocità iniziale (prima di frenare l'auto). Il segno meno indica che la forza esterna (attrito radente) è diretta contro la velocità v 0 .

Come nel paragrafo precedente, se prendiamo l'integrale nel tempo di v(t), otteniamo la formula per il cammino:

s \u003d v 0 * t - a * t 2 / 2

Si noti che questa formula calcola solo lo spazio di frenata. Per scoprire la distanza percorsa dall'auto per tutto il tempo del suo movimento, dovresti trovare la somma di due percorsi: per moto uniforme e per moto uniformemente lento.

Nell'esempio sopra descritto, se il guidatore non ha premuto il pedale del freno, ma il pedale dell'acceleratore, il segno "-" cambierebbe in "+" nelle formule presentate.

Movimento circolare

Qualsiasi movimento in un cerchio non può avvenire senza accelerazione, poiché anche se il modulo di velocità viene mantenuto, la sua direzione cambia. L'accelerazione associata a questo cambiamento è chiamata centripeta (è questa accelerazione che piega la traiettoria del corpo, trasformandola in un cerchio). Il modulo di questa accelerazione è calcolato come segue:

a c \u003d v 2 / r, r - raggio

In questa espressione la velocità può dipendere dal tempo, come accade nel caso di moto circolare uniformemente accelerato. In quest'ultimo caso, a c crescerà rapidamente (dipendenza quadratica).

L'accelerazione centripeta determina la forza che deve essere applicata per mantenere il corpo in un'orbita circolare. Un esempio è la gara di lancio del martello, in cui gli atleti fanno uno sforzo significativo per far girare il proiettile prima che venga lanciato.

Rotazione attorno ad un asse a velocità costante

Questo tipo di movimento è identico al precedente, solo che è consuetudine descriverlo non usando lineare quantità fisiche e usando caratteristiche angolari. La legge del moto rotatorio di un corpo, quando la velocità angolare non cambia, è scritta in forma scalare come segue:

Qui L e I sono rispettivamente i momenti di quantità di moto e di inerzia, ω è la velocità angolare, che è correlata alla velocità lineare dall'uguaglianza:

Il valore di ω mostra di quanti radianti il ​​corpo girerà in un secondo. Le grandezze L e I hanno lo stesso significato di quantità di moto e massa per moto rettilineo. Di conseguenza, l'angolo θ attraverso il quale il corpo girerà nel tempo t è calcolato come segue:

Un esempio di questo tipo di movimento è la rotazione di un volano posto sull'albero a gomiti nel motore di un'auto. Il volano è un disco enorme a cui è molto difficile dare un'accelerazione. Grazie a ciò, fornisce una variazione graduale della coppia, che viene trasmessa dal motore alle ruote.

Rotazione intorno ad un asse con accelerazione

Se una forza esterna viene applicata a un sistema in grado di ruotare, allora inizierà ad aumentarla velocità angolare. Questa situazione è descritta dalla seguente legge del moto del corpo attorno:

Qui F è una forza esterna che viene applicata al sistema a una distanza d dall'asse di rotazione. Il prodotto sul lato sinistro dell'uguaglianza si chiama momento di forza.

Per moto uniformemente accelerato in un cerchio, troviamo che ω dipende dal tempo come segue:

ω = α * t, dove α = F * d / I - accelerazione angolare

In questo caso, l'angolo di rotazione nel tempo t può essere determinato integrando ω nel tempo, cioè:

Se il corpo stava già ruotando a una certa velocità ω 0, e quindi il momento di forza esterno F * d ha iniziato ad agire, allora per analogia con il caso lineare si possono scrivere le seguenti espressioni:

ω = ω 0 + α * t;

θ \u003d ω 0 * t + α * t 2/2

Pertanto, la comparsa di un momento esterno di forze è la ragione della presenza di accelerazione in un sistema con un asse di rotazione.

Per completezza di informazione, notiamo che è possibile modificare la velocità di rotazione ω non solo con l'ausilio del momento esterno delle forze, ma anche a causa di un cambiamento delle caratteristiche interne del sistema, in particolare del suo momento di inerzia . Questa situazione è stata vista da ogni persona che ha assistito alla rotazione dei pattinatori sul ghiaccio. Raggruppando, gli atleti aumentano ω diminuendo I, secondo una semplice legge del movimento del corpo:

Movimento lungo una traiettoria ellittica sull'esempio dei pianeti del sistema solare

Come sai, la nostra Terra e altri pianeti sistema solare ruotano attorno alla loro stella non in un cerchio, ma in una traiettoria ellittica. Per la prima volta, il famoso scienziato tedesco Johannes Kepler formulò leggi matematiche per descrivere questa rotazione all'inizio del XVII secolo. Utilizzando i risultati delle osservazioni del suo maestro Tycho Brahe sul moto dei pianeti, Keplero giunse alla formulazione delle sue tre leggi. Sono così formulati:

1. I pianeti del sistema solare si muovono su orbite ellittiche, con il Sole situato in uno dei fuochi dell'ellisse.
2. Il raggio vettore che collega il Sole e il pianeta descrive le stesse aree in intervalli di tempo uguali. Questo fatto deriva dalla conservazione del momento angolare.
3. Se dividiamo il quadrato del periodo di rivoluzione per il cubo del semiasse maggiore dell'orbita ellittica del pianeta, otteniamo una certa costante, che è la stessa per tutti i pianeti del nostro sistema. Matematicamente si scrive così:

T 2 / a 3 \u003d C \u003d cost

Successivamente, Isaac Newton, utilizzando queste leggi del moto dei corpi (pianeti), formulò la sua famosa legge di gravità universale, o gravitazione. Applicandolo, si può dimostrare che la costante C nella 3a è:

DO = 4 * pi greco 2 / (SOL * M)

Dove G è la costante universale gravitazionale e M è la massa del Sole.

Si noti che il movimento lungo un'orbita ellittica nel caso dell'azione di una forza centrale (la gravità) porta al fatto che velocità della linea v è in continua evoluzione. È massimo quando il pianeta è più vicino alla stella e minimo lontano da essa.