Megadjuk a Weierstrass-határtétel bizonyítását. monoton sorozat. A korlátos és korlátlan sorozatok eseteit vizsgáljuk. Egy olyan példát veszünk figyelembe, amelyben a Weierstrass-tétel segítségével be kell bizonyítani egy sorozat konvergenciáját, és meg kell találni a határát.

Tartalom

Lásd még: A monoton funkciók korlátai

Bármilyen monoton korlátos sorozat (x n) véges határértéke megegyezik a pontos felső korláttal, sup (x n) a nem csökkenő és pontos alsó határhoz, inf (x n) nem növekvő sorozathoz.
Minden monoton korlátlan sorozatnak van egy végtelen határa, amely egyenlő plusz végtelennel nem csökkenő sorozat esetén és mínusz végtelennel nem növekvő sorozat esetén.

Bizonyíték

1) nem csökkenő korlátos sorozat.

(1.1) .

Mivel a sorozat korlátos, véges pontos felső korlátja van
.
Ez azt jelenti:

• minden n,
  (1.2) ;
• bárkinek pozitív szám, van egy ε-től függő szám úgy, hogy
  (1.3) .

.
Itt is (1.3) használtuk. Az (1.2)-vel kombinálva a következőket kapjuk:
nál nél .
Mert akkor
,
vagy
nál nél .
A tétel első része bizonyítva van.

2) Most legyen a sorrend nem növekvő korlátos sorozat:
(2.1) minden n.

Mivel a sorozat korlátos, véges, pontos alsó korlátja van
.
Ez a következőket jelenti:

• minden n-re teljesülnek a következő egyenlőtlenségek:
  (2.2) ;
• bármely pozitív számra van egy ε-tól függő szám, amelyre
  (2.3) .

.
Itt is (2.3) használtuk. Figyelembe véve a (2.2) pontot, azt találjuk, hogy:
nál nél .
Mert akkor
,
vagy
nál nél .
Ez azt jelenti, hogy a szám a sorozat határa.
A tétel második része bizonyítva van.

Most vegyük figyelembe a korlátlan sorozatokat.
3) Legyen a sorrend korlátlan, nem csökkenő sorrend.

Mivel a sorozat nem csökkenő, a következő egyenlőtlenségek minden n-re érvényesek:
(3.1) .

Mivel a sorozat nem csökkenő és korlátlan, ezért a jobb oldalon korlátlan. Ekkor bármely M számhoz létezik egy M-től függő szám, amelyre
(3.2) .

Mivel a sorozat nem csökkenő, akkor a következőt kapjuk:
.
Itt is (3.2) használtuk.

.
Ez azt jelenti, hogy a sorozat határa plusz a végtelen:
.
A tétel harmadik része bizonyítva.

4) Végül fontolja meg azt az esetet, amikor korlátlan, nem növekvő sorrend.

Mint fent, mivel a sorozat nem növekvő, akkor
(4.1) minden n.

Mivel a sorozat nem növekvő és nem korlátlan, a bal oldalon korlátlan. Ekkor bármely M számhoz létezik egy M-től függő szám, amelyre
(4.2) .

Mivel a szekvencia nem növekvő, akkor a következőt kapjuk:
.

Tehát bármely M számhoz létezik egy természetes szám, amely M-től függ, így a következő egyenlőtlenségek minden számra érvényesek:
.
Ez azt jelenti, hogy a sorozat határa mínusz végtelen:
.
A tétel bizonyítást nyert.

Példa a probléma megoldására

Minden példa A Weierstrass-tétel segítségével igazolja a sorozat konvergenciáját:
, , . . . , , . . .
Akkor találd meg a határát.

Jellemezzük a sorozatot ismétlődő képletek formájában:
,
.

Bizonyítsuk be, hogy az adott sorozatot felülről határolja az érték
(P1) .
A bizonyítás matematikai indukciós módszerrel történik.
.
Legyen . Azután
.
Az (A1) egyenlőtlenség bizonyított.

Bizonyítsuk be, hogy a sorozat monoton növekvő.
;
(P2) .
Mivel , akkor a tört nevezője és a számláló első tényezője pozitív. Mivel a sorozat tagjait (P1) egyenlőtlenség határolja, a második tényező is pozitív. Ezért
.
Vagyis a sorrend szigorúan növekszik.

Mivel a sorozat felülről növekvő és korlátos, ez egy korlátos sorozat. Ezért a Weierstrass-tétel szerint ennek van határa.

Keressük ezt a határt. Jelöljük a következővel:
.
Mit használjunk
.
Ezt alkalmazzuk (P2)-re a konvergens sorozatok határértékeinek aritmetikai tulajdonságainak felhasználásával:
.
A gyökér kielégíti a feltételt.

Lásd még:

Meghatározás: ha mindenki n є N, igazítva x n є N, akkor azt mondják

forma számszerű utósorozat.

- tagjai sorozatok

- Tábornok tag sorozatok

A bevezetett definíció azt jelenti, hogy bármely számsorozatnak végtelennek kell lennie, de nem jelenti azt, hogy minden tagnak különálló számnak kell lennie.

A számsort veszi figyelembe adott, ha olyan törvény van megadva, amellyel a sorozat bármely tagja megtalálható.

Egy sorozat tagjai vagy elemei (1) mind számozott természetes számok a számok növekvő sorrendjében. n+1 > n-1 esetén a tag követi (megelőzi) a tagot, függetlenül attól, hogy maga a szám nagyobb-e, kisebb-e vagy egyenlő-e a számmal.

Definíció: Olyan x változó, amely valamilyen sorozatot vesz fel (1) értékeket, mi - Ch. Meray nyomán - hívjuk választási lehetőség.

A matematika iskolai kurzusában éppen ilyen típusú változókat, például opciókat találhatunk.

Például egy sorozat, mint

(számtani) vagy a formából

(geometriai progresszió)

Ennek vagy annak a progressziónak a változó tagja az választási lehetőség.

A kör kerületének meghatározásával kapcsolatban általában a körbe írt szabályos sokszög kerületét veszik figyelembe, amelyet egy hatszögből az oldalak számának egymás utáni megkétszerezésével kapunk. Így ez a változat a következő értéksort veszi fel:

Megemlítjük a decimális közelítést is (hiány miatt), egyre nagyobb pontossággal. Ehhez egy értéksorra van szükség:

és lehetőséget is kínál.

A sorozaton (1) átfutó x változót gyakran jelölik, és ennek a sorozatnak a változó ("közös") tagjával azonosítják.

Néha az x n változatot az adja, amit az x n kifejezés közvetlenül jelez; tehát az aritmetikai ill geometriai progresszió rendre x n =a+(n-1) d vagy x n =aq n-1 . Ezzel a kifejezéssel azonnal kiszámolhatja a változatok bármely értékét a megadott szám alapján, anélkül, hogy az előző értékeket kiszámolná.

Egy szabályos beírt sokszög kerületéhez, általános kifejezés csak akkor lehetséges, ha beírja a p számot; általában egy szabályos beírt m-szög p m kerületét a képlet adja meg

1. definíció: Egy numerikus sorozatot ( x n ) felülről (alulról) korlátosnak nevezünk, ha létezik ilyen szám M (T) hogy ennek a sorozatnak bármely elemére van egyenlőtlenség, miközben az M (m) számot hívjuk tetejére (Alsó) él.

2. definíció: Egy numerikus sorozatot (x n ) korlátosnak nevezünk, ha felül és alul is korlátos, azaz. létezik M, m olyan, hogy bármely

Jelölje A = max (|M|, |m|), akkor nyilvánvaló, hogy a numerikus sorozat korlátos lesz, ha az |xn |?A egyenlőség bármelyikre teljesül, az utolsó egyenlőtlenség a numerikus sorozat korlátosságának feltétele .

3. definíció: a számsorozatot hívják végtelenül nagy sorozat, ha bármely A>0 esetén megadhat egy N számot úgy, hogy minden n>N esetén ||>A igaz.

4. definíció: a (b n ) numerikus sorozatot hívjuk végtelenül kicsi sorozat, ha bármely előre meghatározott e > 0 esetén megadható olyan N(e) szám, hogy bármely n > N(e) esetén az egyenlőtlenség | b n |< е.

5. definíció: az ( x n ) számsorozatot hívjuk összetartó, ha van olyan a szám, hogy az (x n - a) sorozat egy infinitezimális sorozat. Ugyanakkor egy - határ eredeti számszerű sorozatok.

Ebből a definícióból következik, hogy minden infinitezimális sorozat konvergens, és ezeknek a sorozatoknak a határértéke = 0.

Annak a ténynek köszönhetően, hogy a konvergens sorozat fogalma összekapcsolódik a végtelen fogalmával kis sorozat, akkor a konvergens sorozat definíciója más formában is megadható:

6. definíció: az ( x n ) numerikus sorozatot hívjuk összetartó egy a számra, ha bármely tetszőlegesen kicsire létezik olyan, hogy minden n > N esetén az egyenlőtlenség

a - sorozathatár

Mivel ekvivalens, és ez azt jelenti, hogy az x n є (a - e; a + e) ​​intervallumhoz tartozik, vagy ami ugyanaz, az e-hez tartozik - az a pont szomszédságához. Ekkor adhatunk egy másik definíciót a konvergens numerikus sorozatra.

7. definíció: az ( x n ) számsorozatot hívjuk összetartó, ha van olyan a pont, hogy ennek a pontnak bármely kellően kicsi e - szomszédságában ennek a sorozatnak tetszőleges elemei vannak, valamilyen N számból kiindulva.

Megjegyzés: az (5) és (6) definíciók szerint, ha a az (x n ) sorozat határa, akkor x n - a egy végtelenül kicsi sorozat eleme, azaz. x n - a = b n, ahol b n egy infinitezimális sorozat eleme. Ezért x p \u003d a + b n, és akkor jogunk van azt állítani, hogy ha egy numerikus sorozat (x n) konvergál, akkor mindig a határértéke és egy végtelenül kicsi sorozat elemeként ábrázolható.

Ennek a fordítottja is igaz: ha az (x n) sorozat bármely eleme egy állandó szám és egy végtelenül kicsi sorozat eleme összegeként ábrázolható, akkor ez egy állandó és határ adott sorozatok.

8. definíció. Sorozat nem növekszik (nem csökken), ha azért.

Definíció 9. Sorozat növeli (csökken), ha azért.

Definíció 10. Egy szigorúan növekvő vagy szigorúan csökkenő sorozatot nevezünk monoton sorrend.