algebarsko proširenje polja- — Teme informaciona sigurnost EN polje proširenja… Priručnik tehničkog prevodioca

E polje koje sadrži dato K polje kao potpolje. Vrste ekstenzija Algebarska ekstenzija je ekstenzija čiji su svi elementi algebarski nad K, odnosno, bilo koji element čiji je korijen nekog polinoma f (x) c ... ... Wikipedia

Algebarsko proširenje polja EÉ K koje je normalno i odvojivo. Pod ovim uslovima, E će imati najveći broj automorfizmi nad K (ako je E konačan, tada je i broj automorfizama konačan i jednak stepenu ekstenzije). ... ... Wikipedia.

Polugrupa A je polugrupa S koja sadrži A kao podpolugrupu. Obično govorimo o proširenjima polugrupe A vezano za Atemi ili druge uslove. Teorija idealnih R. polugrupa (polugrupe koje sadrže A kao ... ... Mathematical Encyclopedia

Jednačina oblika gdje je polinom n-tog stepena u jednoj ili više varijabli. A. y. sa jednom nepoznatom jednadžba oblika: Ovdje je n cijeli broj nenegativan broj, zvao koeficijenti jednadžbe i su podaci, hnaz. nepoznato i je... Mathematical Encyclopedia

Polja k algebarska. proširenje polja k, koje je algebarski zatvoreno polje. Takvo proširenje za bilo koje polje k ​​postoji i jednoznačno je definirano do izomorfizma. A. h. polja realni brojevi je polje kompleksni brojevi(cm.… … Mathematical Encyclopedia

Normalno proširenje je algebarsko proširenje polja EQ K za koje se svaki nesvodljivi polinom f(x) nad K koji ima barem jedan korijen u E razlaže u E u linearne faktore. Ekvivalentna definicija: Ako je KÌ EÌ K*, gdje je K* ... ... Wikipedia

Odvojivo proširenje je algebarsko proširenje polja koje se sastoji od odvojivih elemenata, odnosno elemenata α takvih da minimalni anihilator f(x) nad K nema višestruke korijene. Izvod f (x) mora biti prema gore navedenom ... ... Wikipedia

Proširenje polja takvo da je E konačno dimenzionalno nad K as vektorski prostor. Dimenzija vektorskog prostora E nad K se naziva stepenom proširenja i označava se sa . Svojstva konačnih ekstenzija Konačna ekstenzija je uvijek algebarska. U ... ... Wikipediji

Polja Algebarsko proširenje L polja K koje zadovoljava jedan od sljedećih ekvivalentnih uslova: 1) bilo koje ugrađivanje polja L u algebarski zatvaranje polja K je automorfizam polja L; 2) L je polje dekompozicije neke porodice polinoma sa ... ... Mathematical Encyclopedia

Neka polje P sadržano na terenu T i a- element T nije u vlasništvu P. Uzmite u obzir najmanje polje P(a) koji sadrži sve elemente iz P i a. Svi elementi pogleda pripadaju P(a). Razmotrimo dva slučaja.

Kraj polja.

Teorema 4.2. Broj elemenata konačnog polja p n , gdje je p prost broj.

Dokaz. Pošto je polje P konačno, njegova karakteristika je različita od nule. Neka je p njegova karakteristika. Polje P, može se smatrati vektorskim prostorom nad Z p . Označimo sa v 1 ,…,v n bazu P. Svaki element polja P je jedinstveno okarakterisan koordinatama (x 1 ,…,x n) u ovoj bazi. Svaka koordinata uzima p vrijednosti, dakle, broj različitih skupova koordinata, a time i elemenata polja P, jednak je p n .

Lema 4.1 U oblasti karakteristika str .

Dokaz. , gdje je mnogostrukost pojavljivanja elementa. Vrijednost nije djeljiva sa str samo u slučaju i= 0;str. As pe=0, onda .

Teorema 4.3. Za bilo koje prirodno n i prosto p postoji polje reda p n .

Proširujemo Z p tako da rezultirajuće polje sadrži sve korijene polinoma . Polinom nema višestruke korijene jer je njegov izvod -1. Označimo sa M skup korijena polinoma . Lako je provjeriti da je M polje i da je broj njegovih elemenata jednak p n

Teorema 4.4. Polje reda je jedinstveno do izomorfizma.

Dokaz.

Budući da je broj elemenata polja, onda je njegova karakteristika jednaka . Dakle, bilo koje polje P poredak se može posmatrati kao produžetak prstena ostatka. Multiplikativna grupa polja () ima red , te je stoga istinita za bilo koje . Dakle, svi elementi polja su korijeni jednadžbe preko .

Teorema 4.5. Multiplikativna grupa korijenje n stepen 1 u polju P je cikličan.

Dokaz. Neka bude str karakteristika polja P. Ako onda , i, prema tome, skup korijena jednadžbe se poklapa sa skupom korijena stepena . Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da . Dokaz je dovoljan za slučaj kada su svi korijeni n th stepen od 1 sadržan u polju P. U suprotnom, proširujemo polje i koristimo činjenicu da je bilo koja podgrupa ciklička grupa- ciklično. Ukoliko ima samo jedan korijen jednak nuli, zatim broj korijena n th stepen od 1 je jednak n. Razmotrite tri slučaja:

1. n- Prost broj. Tada korijenska grupa ima red n, a samim tim i ciklički

2. - stepen prost broj. Nađimo korijen jednačine, koji nije korijen jednačine. Redoslijed elemenata je djelitelj grupnog reda n i nije djelitelj. Dakle, red je n a grupa je ciklična.

3. Neka . Označimo generirajućim elementom ciklične grupe korijena 1. stupnja. Neka . Indukcijom uključen k Pokažimo da je redoslijed . At k=1 izjava je očigledna. Neka se dokaže k-jedan. Redoslijed elemenata je . Najveći zajednički djelitelj t i jednako je 1, i, prema tome, postoje brojevi u i v, šta . Budući da i , tada je redoslijed elementa djeljiv sa t i dalje. Nadalje, iz jednakosti , slijedi da je redoslijed elementa djelitelj. Teorema je dokazana.

Galois teorija

Polje T naziva se konačno proširenje polja P, ako T je naravno dimenzionalan linearni prostor iznad P. Dimenzija prostora se naziva stepenom proširenja.

Bilo koje proširenje algebarskog polja P je konačan. Njegov stepen je jednak stepenu nesvodljivog polinoma.

Teorema 5.1. Kraj ekstenzije U polja T, što je konačno proširenje polja P, je konačna ekstenzija P. Štaviše, stepen ekspanzije U iznad P jednak je proizvodu snaga ekspanzije.

Dokaz. Gotovo očigledno.

Element polja T se naziva algebarskim preko P ako je korijen nekog polinoma preko P.

Svi elementi konačnog proširenja P su algebarski gotovi P.

Bilo koje konačno proširenje može se dobiti dodavanjem konačnog broja algebarskih ekstenzija.

Teorema 5.2. Bilo koja ekstenzija konačnog polja P karakteristika 0 je jednostavno proširenje.

Dokaz nije očigledno.

End Extension T naziva se normalna ekspanzija P, ako iz činjenice da je nesvodljivi polinom preko P ima unutra T korijena, slijedi njegova razgradljivost na linearne faktore. Jasno je da je normalno proširenje polja karakteristike 0 polje dekompozicije polinoma. I obrnuto je tačno. Polje dekompozicije polinoma je normalno proširenje.

Automorfizam polja je izomorfno preslikavanje na samo sebe.

Galoa grupa normalnog produžetka T polja P naziva se grupa automorfizama polja T, koji čuva elemente polja P.

Teorema 5.3. Svako srednje polje U, odgovara nekoj podgrupi Galoisove grupe, naime, skup onih automorfizama koji ne mijenjaju elemente . Polje je jedinstveno određeno podgrupom.

Uvod.

AT pedagoški univerziteti uveden je program jedinstvenog kursa algebre i teorije brojeva. Osnovni cilj ovog kursa je učenje osnovnih algebarski sistemi i obrazovanje algebarske kulture neophodne budućem nastavniku za duboko razumevanje ciljeva i zadataka osnovnog školskog predmeta matematike i fakultativnih školskih predmeta.

Po našem mišljenju, najcelishodnije je uvođenje elemenata moderne apstraktne algebre u školsku nastavu.

Proces algebraizacije matematike, započet u 20. veku, ne prestaje, a to izaziva uporne pokušaje da se osnovni algebarski pojmovi uvedu u školsko matematičko obrazovanje.

Matematička dubina i neobično širok opseg polja kombiniraju se s jednostavnošću njegovih glavnih odredbi - pojmova polja, cela linija važne teoreme mogu se formulisati i dokazati, imajući početne ideje u oblasti teorije skupova. Stoga je teorija polja najbolji način da se školarcima pokaže primjer moderne matematike.

Osim toga, izučavanje elemenata teorije polja korisno je za školarce, doprinosi njihovom intelektualnom razvoju, koji se manifestuje u razvoju i obogaćivanju različitih aspekata njihovog mišljenja, kvaliteta i osobina ličnosti, kao i usađivanju interesovanja kod učenika. u matematici i nauci.

1. Jednostavno algebarsko proširenje polja.

1.1 Jednostavno proširenje polja.

Neka je P[x] polinomski prsten u x nad poljem P, gdje je P potpolje polja F. Podsjetimo da se element a polja F naziva algebarskim nad poljem P ako je a korijen nekog pozitivnog polinom stepena u P [x].

Definicija. Neka P< F и a0F. Простым расширением поля Pс помощью элемента a называется наименьшее подполе поля F, содержащее множество Р и элемент a. Простое расширение Pс помощью a обозначается через P (a), основное множество поля P (a) обозначается через Р(a).

Neka je a0F, P [x] prsten polinoma u x i

P[x]=(f(a)*f0P[x]),

tj. P [a] je skup svih izraza oblika a 0 + a 1 a+...+ a n a n , gdje je a 0 , a 1, ... a n 0P i n bilo koji prirodni broj.

Lako je vidjeti da je algebra +P[a], +, -, ., 1, - podprsten polja P (a) - prsten; ovaj prsten je označen sa P[a].

Teorema 1.1. Neka je P[x] polinomski prsten u x nad P i P(a) jednostavno proširenje polja P. Neka je y preslikavanje iz P[x] u P[a] tako da je y(f)=f (a) za bilo koje f iz P[x]. onda:

(a) za bilo koje a u P y (a) = a;

(c) y je homomorfizam prstena P [x] na prsten P [a];

(d) Kery =(f0P[x]*f(a)=0);

(f) količnik prsten P[x]/Ker y je izomorfan prstenu P[a].

Dokaz. Izjave (a) i (b) slijede direktno iz definicije y. Preslikavanje y čuva glavne operacije prstena P[x], jer za bilo koje f i g iz P[x]

y(f + g)=f(a)+g(a), y(fg)= f(a)g(a), y(1)=1.

Tvrdnja (d) direktno slijedi iz definicije karte y.

Pošto je y homomorfizam prstena P[x] na P[a], kvocijentni prsten P[x]/Ker y je izomorfan prstenu P[a].

Posljedica 1.2. Neka je a transcendentalni element nad poljem P. Tada je polinomski prsten P[x] izomorfan prstenu P[a].

Dokaz. Zbog transcendencije preko PKery=(0). Stoga P[x]/(0)–P[a]. Štaviše, količnik prstena P [x] je izomorfan P [x] prema nultom idealu. Dakle, P[x]–P[a].

1.2. Minimalni polinom algebarskog elementa.

Neka je P [x] prsten polinoma nad poljem P.

Definicija. Neka je a algebarski element nad poljem P. Minimalni polinom elementa a nad P je normalizovani polinom u P[x] najmanjeg stepena čiji je koren a. Stepen minimalnog polinoma naziva se stepen elementa a nad P.

Lako je vidjeti da za bilo koji element a koji je algebarski nad P , postoji minimalni polinom.

Prijedlog 1.3. Ako je a algebarski element nad poljem P, a g i j su njegovi minimalni polinomi nad P, onda je g=j.

Dokaz. Stepeni minimalnih polinoma g i j se poklapaju. Ako je g¹j, onda će element a (stepena n nad P) biti korijen polinoma g - j, čiji je stepen manji od stepena polinoma j (manji od n), što je nemoguće. Dakle, g=j.

Teorema 1.4. Neka je a algebarski element stepena n nad poljem P (aóP) i g njegov minimalni polinom nad P. Tada:

(a) polinom g je nesvodljiv u prstenu P [x];

(b) ako je f (a) = 0, gdje je f0P[x], onda g dijeli f;

(c) količnik prsten P [x]/(g) je izomorfan prstenu P [a];

(d) P[x]/(g) je polje;

(f) prsten P[a] se poklapa sa poljem P(a).

Dokaz. Pretpostavimo da je polinom g reducibilan u prstenu P [x], tj. postoje polinomi j i h u P[x] takvi da

g = jh, 1£deg j, deg h

Tada je g(a) = j(a)h(a) = 0. Pošto je P (a) polje, onda je j(a) = 0 ili h(a) = 0, što je nemoguće jer je, po pretpostavci, element stepena a nad P je jednak n.

Pretpostavimo da je f0 P[x] i f(a) = 0. Prema pretpostavci, g(a) = 0. Prema tome, f i g ne mogu biti međusobno prosti. Pošto je polinom g nesvodljiv, onda g dijeli f.

Neka je j homomorfizam prstena P [x] na prsten P [a] (y(f)=f(a) za bilo koje f iz P[x]) razmatranog u teoremi 2.1. Na osnovu (b), jezgro homomorfizma y sastoji se od višekratnika polinoma g, tj. Ker y = (g). Prema tome, količnik prsten P = P [x]/(g) je izomorfan prstenu P [a].

Pošto je P[a]ÌP(a), onda je P [a] domen integriteta. As [email protected][a], tada je kvocijentni prsten P takođe domen integriteta. Moramo pokazati da je bilo koji element f različit od nule iz P invertibilan u P. Neka je f element koseta f. Pošto je f¹ 0, onda je f(a)¹0; tako da polinom g ne dijeli polinom f. Pošto je polinom g nereducibilan, slijedi da su polinomi f i g međusobno prosti. Dakle, postoje polinomi u i v u R[x] takvi da je uf + vg=1. Ovo implicira jednakost uf = 1, što pokazuje da je element f invertibilan u prstenu P. Dakle, ustanovili smo da je količnik prsten P polje.

Na osnovu (c) i (d), P[a] je polje, tako da je P(a)ÌP[a]. Štaviše, očigledno, P[a]ÌP(a). Dakle, P[a] = P(a). Dakle, prsten P[a] koincidira sa poljem P(a).

1.3 Struktura jednostavnog algebarskog proširenja polja.

Teorema 1.5. Neka je a algebarski element nad poljem P pozitivnog stepena n. Tada se bilo koji element polja P(a) može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija n elemenata 1, a, ..., a n-1 sa koeficijentima iz P.

Dokaz. Neka je b bilo koji element polja P (a). Prema teoremi 1.4, P(a) = P[a]; stoga postoji polinom f u P[x] takav da

Neka je g minimalni polinom za a nad P; na osnovu hipoteze teoreme, njen stepen je jednak n. Po teoremi dijeljenja sa ostatkom, postoje polinomi h i r u P[x] takvi da

(2) f = gh + r, gdje je r = 0 ili derr< derg = n , т. е. r=c 0 +c 1 x +…c n -1 x n -1 (c i 0P). Полагая в (2) x = а и учитывая равенство (1), имеем

(3) b = c 0 +c 1 a +…c n -1 a n-1

Pokažimo da je element b jedinstveno predstaviv kao linearna kombinacija elemenata 1, a, ..., a n-1. Neka bude

(4) b = d 0 +d 1 a +…d n -1 a n-1 (d i 0P)

Svaki takav nastup. Razmotrimo polinom j

j \u003d (c 0 - d 0) + (c 1 - d i.)x + . . . + (sa n-1 –d n -1)x n -1

Slučaj kada je stepen j manji od n je nemoguć jer je, na osnovu (3) i (4), j(a) = 0 i stepen j manji od stepena g. Jedini mogući slučaj je kada je j = 0, tj. sa 0 = d 0 , . . . , sa n-1 = d n-1. Dakle, element b je jedinstveno predstaviv kao linearna kombinacija elemenata 1, a,…,a n-1.

1.4 Izuzeće od algebarske iracionalnosti u nazivniku razlomka.

Problem oslobađanja od algebarske iracionalnosti u nazivniku razlomka je sljedeći. Neka je a algebarski element stepena n>1 nad poljem P; f i h su polinomi iz polinomskog prstena P [x] i h(a) ¹0. Potrebno je prikazati element f(a)/h(a)0P(a) kao linearnu kombinaciju potencija elementa a, tj. kao j(a),

Ovaj problem se rješava na sljedeći način. Neka je g minimalni polinom za a nad P. Kako je, prema teoremi 1.4, polinom nereducibilan nad P i h(a) ¹ 0, slijedi da g ne dijeli h i stoga su polinomi h i g koprimarni. Dakle, postoje polinomi u i v u P[x] takvi da

Kako je g(a) = 0, iz (1) slijedi da

u(a)g(a) = 1, 1/h(a) = u(a).

Prema tome, f(a)/h(a) = f(a)u(a), štaviše, f,u0P[x] i f(a)u(a)0P[a]. Dakle, riješili smo se iracionalnosti u nazivniku razlomka f(a)/h(a) .

Oslobodite se iracionalnosti u nazivniku razlomka

.

Odluka. U našem slučaju a=

. Minimalni polinom ovaj broj je

Polinomi p(x) i g(x)=-x 2 +x+1 su međusobno prosti. Dakle, postoje polinomi j i y takvi da

Da bismo pronašli j i y, primjenjujemo Euclid algoritam na polinome p i g:

X 3 -2 -x 2 +x+1 -x 2 +x+1 2x-1

x 3 -x 2 -x -x-1 -x 2 +1/2x -1/2x+1/4

x 2 -x-1 1/2x-1/4

dakle,

p=g(-x-1)+(2x-1),

g=(2x-1)(-1/2x+1/4)+5/4.

Gde da nađemo

(2x-1)=p+g(x+1),

5/4=g-(p+g(x+1))(-1/2x+1/4)

p1/5(2x-1)+g(4/5+1/5(2x 2 +x-1))=1,

p1/5(2x-1)+g(2/5x 2 +1/5x+3/5)=1.

dakle,

y(x)= (2/5x 2 +1/5x+3/5).

)= .

Dakle

.

2.Kompozitno algebarsko proširenje polja.

2.1. Konačna ekstenzija polja.

Neka je P potpolje polja F. Tada F možemo smatrati vektorskim prostorom nad P, tj. razmotriti vektorski prostor +F, +, (w l ½l0P),

gdje je w l operacija množenja elemenata iz F sa skalarom l0P.

Definicija. Za proširenje F polja P kaže se da je konačno ako F, ​​kao vektorski prostor nad P, ima konačnu dimenziju. Ova dimenzija je označena sa .

Prijedlog 2.1. Ako je a algebarski element stepena n nad P, onda je =n.

Ovaj prijedlog direktno slijedi iz teoreme 1.5.

Definicija. Produžetak F polja P naziva se algebarskim ako je svaki element iz F algebarski nad P.