Matritsalar ustida amallarning ayrim xossalari.
Matritsali ifodalar

Va endi mavzuning davomi bo'ladi, unda biz nafaqat ko'rib chiqamiz yangi material, lekin biz ishlaymiz matritsa operatsiyalari.

Matritsalar ustida amallarning ayrim xossalari

Matritsalar bilan operatsiyalar bilan bog'liq juda ko'p xususiyatlar mavjud, xuddi shu Vikipediyada siz tegishli qoidalarning nozik darajalariga qoyil qolishingiz mumkin. Biroq, amalda ko'pgina xususiyatlar ma'lum ma'noda "o'lik" dir, chunki ulardan faqat ba'zilari haqiqiy muammolarni hal qilishda qo'llaniladi. Mening maqsadim - xususiyatlarning qo'llanilishini aniq misollar bilan ko'rib chiqish va agar sizga qat'iy nazariya kerak bo'lsa, boshqa ma'lumot manbasidan foydalaning.

Ba'zilarini ko'rib chiqing qoidadan istisnolar amaliy vazifalarni bajarish uchun talab qilinadi.

Agar kvadrat matritsa bo'lsa teskari matritsa, keyin ularning ko'payishi kommutativ bo'ladi:

identifikatsiya matritsasi bilan kvadrat matritsa deyiladi asosiy diagonali birliklar joylashgan, qolgan elementlar esa nolga teng. Masalan: va hokazo.

Qayerda quyidagi xususiyat to'g'ri: agar ixtiyoriy matritsa ko'paytirilsa chap yoki o'ng mos o'lchamdagi identifikatsiya matritsasi bo'yicha, natijada asl matritsa bo'ladi:

Ko'rib turganingizdek, matritsalarni ko'paytirishning kommutativligi ham shu erda sodir bo'ladi.

Keling, bir nechta matritsani olaylik, keling, oldingi masaladagi matritsani aytaylik: .

Qiziqqanlar tekshirishlari va ishonch hosil qilishlari mumkin:

Matritsalar uchun identifikatsiya matritsasi raqamlar uchun raqamli birlikning analogidir, bu ayniqsa yuqorida ko'rib chiqilgan misollardan aniq ko'rinadi.

Matritsani ko'paytirishga nisbatan sonli omilning kommutativligi

Matritsalar uchun va haqiqiy raqam quyidagi xususiyat haqiqiydir:

Ya'ni, raqamli omil matritsalarni ko'paytirishga "to'sqinlik qilmasligi" uchun oldinga siljishi mumkin (va kerak).

Eslatma : Umuman olganda, xususiyatning so'zlari to'liq emas - "lambda" matritsalar orasidagi istalgan joyga, hatto oxirida ham joylashtirilishi mumkin. Uch yoki undan ortiq matritsalar ko'paytirilsa, qoida amal qiladi.

4-misol

Mahsulotni hisoblash

Yechim:

(1) Mulk bo'yicha raqamli omilni oldinga siljiting. Matritsalarning o'zlarini qayta tartibga solish mumkin emas!

(2) - (3) Matritsani ko'paytirishni bajaring.

(4) Bu erda siz har bir raqamni 10 ga bo'lishingiz mumkin, ammo keyin matritsaning elementlari orasida bo'ladi o'nli kasrlar bu yaxshi emas. Biroq, biz matritsadagi barcha raqamlar 5 ga bo'linishini ko'ramiz, shuning uchun biz har bir elementni ko'paytiramiz.

Javob:

O'z-o'zidan hal qilish uchun kichik charade:

5-misol

Agar hisoblang

Dars oxirida yechim va javob.

Yechish jarayonida qanday texnika muhim ahamiyatga ega shunga o'xshash misollar? Raqamlar bilan ishlash oxirgi .

Lokomotivga boshqa vagonni biriktiramiz:

Uch matritsani qanday ko'paytirish kerak?

Avvalo, uchta matritsani ko'paytirish natijasida NIMA bo'lishi kerak? Mushuk sichqon tug'maydi. Agar matritsani ko'paytirish mumkin bo'lsa, natija ham matritsa bo'ladi. Xo'sh, mening algebra o'qituvchim algebraik tuzilmaning uning elementlariga nisbatan yopiqligini qanday tushuntirishimni tushunmaydi =)

Uch matritsaning mahsulotini ikki usulda hisoblash mumkin:

1) toping va keyin "ce" matritsasiga ko'paytiring: ;

2) avval ni toping, keyin ko'paytirishni bajaring.

Natijalar, albatta, bir-biriga mos keladi va nazariy jihatdan bu xususiyat matritsani ko'paytirishning assotsiativligi deyiladi:

6-misol

Matritsalarni ikki usulda ko'paytiring

Algoritm yechimlar ikki bosqichli: ikkita matritsaning mahsulotini toping, keyin yana ikkita matritsaning ko'paytmasini toping.

1) formuladan foydalaning

Birinchi harakat:

Ikkinchi harakat:

2) formuladan foydalaning

Birinchi harakat:

Ikkinchi harakat:

Javob:

Ko'proq tanish va standart, albatta, hal qilishning birinchi usuli, u erda "hamma narsa tartibda". Aytgancha, buyurtma haqida. Ko'rib chiqilayotgan vazifada ko'pincha matritsalarning qandaydir almashtirilishi haqida gapirayotganimiz haqidagi illyuziya paydo bo'ladi. Ular bu yerda emas. Buni yana bir bor eslataman umuman MATRIXALARNI ALSHIRMANG. Shunday qilib, ikkinchi xatboshida, ikkinchi bosqichda biz ko'paytirishni amalga oshiramiz, lekin hech qanday holatda. Oddiy raqamlar bilan bunday raqam o'tadi, lekin matritsalar bilan emas.

Ko'paytirishning assotsiativlik xususiyati faqat kvadrat uchun emas, balki ixtiyoriy matritsalar uchun ham amal qiladi - agar ular ko'paytirilsa:

7-misol

Uchta matritsaning mahsulotini toping

Bu o'z-o'zidan bajariladigan misol. Namunaviy yechimda hisob-kitoblar ikki usulda amalga oshirildi, qaysi yo'l foydaliroq va qisqaroq ekanligini tahlil qiling.

Matritsalarni ko'paytirishning assotsiativlik xususiyati ko'proq omillar uchun sodir bo'ladi.

Endi matritsalarning vakolatlariga qaytish vaqti keldi. Matritsaning kvadrati boshida ko'rib chiqiladi va kun tartibida savol:

Matritsa va yuqori kuchlarni qanday kub qilish mumkin?

Bu operatsiyalar ham faqat uchun belgilangan kvadrat matritsalar. Kvadrat matritsani kubga ko'tarish uchun siz mahsulotni hisoblashingiz kerak:

Aslida, bu matritsani ko'paytirishning assotsiativlik xususiyatiga ko'ra, uchta matritsani ko'paytirishning maxsus holati: . Va o'ziga ko'paytiriladigan matritsa matritsaning kvadratidir:

Shunday qilib, biz ish formulasini olamiz:

Ya'ni, vazifa ikki bosqichda amalga oshiriladi: birinchi navbatda, matritsa kvadrat bo'lishi kerak, so'ngra olingan matritsa matritsaga ko'paytiriladi.

8-misol

Matritsani kubga ko'taring.

Bu o'zingiz hal qiladigan kichik muammo.

Matritsani to'rtinchi darajaga ko'tarish tabiiy usulda amalga oshiriladi:

Matritsalarni ko'paytirishning assotsiativligidan foydalanib, biz ikkita ishchi formulani olamiz. Birinchisi: uchta matritsaning mahsulotidir.

biri). Boshqacha qilib aytganda, avval biz topamiz, keyin uni "bo'lish" ga ko'paytiramiz - biz kub olamiz va nihoyat, ko'paytirishni yana bajaramiz - to'rtinchi daraja bo'ladi.

2) Lekin bir qadam qisqaroq yechim bor: . Ya'ni, birinchi qadamda biz kvadratni topamiz va kubni chetlab o'tib, ko'paytirishni bajaramiz.

8-misolga qo'shimcha vazifa:

Matritsani to'rtinchi darajaga ko'taring.

Yuqorida aytib o'tilganidek, buni ikki yo'l bilan amalga oshirish mumkin:

1) Kub ma'lum bo'lishi bilan biz ko'paytirishni amalga oshiramiz.

2) Biroq, masalaning shartiga ko'ra, matritsa qurish talab etilsa faqat to'rtinchi darajada, keyin yo'lni qisqartirish foydalidir - matritsaning kvadratini toping va formuladan foydalaning.

Yechim ham, javob ham dars oxirida.

Xuddi shunday, matritsa beshinchi yoki undan ko'proqqa ko'tariladi yuqori darajalar. Amaliy tajribadan shuni aytishim mumkinki, ba'zida 4-darajaga ko'tarilish misollari bor, lekin men beshinchi darajada biror narsani eslay olmayman. Ammo har holda, men optimal algoritmni beraman:

1) topish;
2) topish;
3) matritsani beshinchi darajaga ko'taring: .

Bu erda, ehtimol, amaliy masalalarda foydali bo'lishi mumkin bo'lgan matritsa operatsiyalarining barcha asosiy xususiyatlari.

Darsning ikkinchi qismida bundan kam rang-barang ziyofat kutilmaydi.

Matritsali ifodalar

Keling, odatiy maktab iboralarini raqamlar bilan takrorlaymiz. Raqamli ifoda raqamlar, matematik belgilar va qavslardan iborat, masalan: . Hisob-kitoblarda tanish algebraik ustuvorlik amal qiladi: birinchidan, qavslar, keyin bajariladi ildizlarning eksponentatsiyasi / ekstraktsiyasi, Keyin ko'paytirish / bo'lish va nihoyat - qo'shish / ayirish.

Agar raqamli ifoda mantiqiy bo'lsa, unda uni baholash natijasi raqam bo'ladi, misol uchun:

Matritsali ifodalar deyarli bir xil! Asosiysi farqi bilan aktyorlar matritsalar paydo bo'ladi. Bundan tashqari, ba'zi maxsus matritsa operatsiyalari, masalan, matritsaning teskarisini ko'chirish va topish.

Matritsa ifodasini ko'rib chiqing , ba'zi matritsalar qayerda. Ushbu matritsa ifodasi uchta atamaga ega va qo'shish/ayirish amallari oxirgi bajariladi.

Birinchi muddatda siz birinchi navbatda "bo'l" matritsasini ko'chirishingiz kerak: , keyin ko'paytirishni bajaring va olingan matritsaga "ikki" ni qo'shing. shu esta tutilsinki ko'chirish operatsiyasi ko'paytirish operatsiyasidan yuqori ustunlikka ega. Qavslar, raqamli ifodalarda bo'lgani kabi, operatsiyalar tartibini o'zgartiradi: - bu erda, birinchi navbatda, ko'paytirish amalga oshiriladi, so'ngra olingan matritsa ko'chiriladi va 2 ga ko'paytiriladi.

Ikkinchi muddatda birinchi navbatda matritsani ko'paytirish amalga oshiriladi va mahsulotdan teskari matritsa allaqachon topilgan. Qavslar olib tashlangan bo'lsa: , keyin avval siz topishingiz kerak teskari matritsa, va keyin matritsalarni ko'paytiring: . Teskari matritsani topish ham ko‘paytirishdan ustun turadi.

Uchinchi atama bilan hamma narsa aniq: biz matritsani kubga ko'taramiz va natijada olingan matritsaga "besh" ni qo'shamiz.

Agar matritsa ifodasi mantiqiy bo'lsa, uni baholash natijasi matritsadir.

Barcha vazifalar haqiqiy bo'ladi nazorat ishlari, va biz eng oddiyidan boshlaymiz:

9-misol

Matritsa ma'lumotlari . Topmoq:

Yechim: amallarni bajarish tartibi aniq, avval ko'paytirish, keyin qo'shish amalga oshiriladi.

Qo'shish mumkin emas, chunki matritsalar turli o'lchamlarga ega.

Hayron bo'lmang, bu turdagi vazifalarda ko'pincha imkonsiz harakatlar taklif etiladi.

Keling, ikkinchi ifodani hisoblashga harakat qilaylik:

Bu yerda hammasi yaxshi.

Javob: harakatni bajarib bo'lmaydi, .

Matritsalar va determinantlar

1.1 Matritsalar. Tushunchalar.

To'rtburchak o'lchamli matritsa m x n umumiylik deyiladi mn o'z ichiga olgan to'rtburchaklar jadvalga joylashtirilgan raqamlar m chiziqlar va n ustunlar. Matritsani quyidagicha yozamiz

yoki A = (a ij) (i =; j =) sifatida qisqartiriladi. Bu matritsani tashkil etuvchi a ij raqamlari uning elementlari deyiladi; birinchi indeks satr raqamiga, ikkinchi indeks ustun raqamiga ishora qiladi. Bir xil o'lchamdagi ikkita A = (a ij) va B = (b ij) matritsalar, agar ularning bir xil joylarda joylashgan elementlari juftlik teng bo'lsa, teng deyiladi, ya'ni a ij = b ij bo'lsa, A = B.

Bitta satr yoki bitta ustundan tashkil topgan matritsa mos ravishda satr vektori yoki ustun vektori deyiladi. Ustun vektorlari va qator vektorlari oddiygina vektorlar deb ataladi.

Bitta raqamdan iborat matritsa shu raqam bilan aniqlanadi. O'lcham matritsasi m x n, barcha elementlari nolga teng bo'lgan, nol matritsa deyiladi va 0 bilan belgilanadi. Bir xil indekslarga ega bo'lgan matritsa elementlari bosh diagonalning elementlari deyiladi. Agar matritsa satrlari soni ustunlar soniga teng bo'lsa, ya'ni m = n, keyin matritsa tartib kvadrati deb ataladi n. Faqat asosiy diagonalning elementlari nolga teng bo'lmagan kvadrat matritsalar diagonal matritsalar deb ataladi va quyidagicha yoziladi:

Agar diagonal matritsaning barcha a ii elementlari 1 ga teng bo'lsa, matritsa identifikatsiya matritsasi deb ataladi va E harfi bilan belgilanadi:

Agar asosiy diagonalning ustidagi (yoki pastda) barcha elementlar nolga teng bo'lsa, kvadrat matritsa uchburchak deb ataladi. Transpozitsiya matritsaning o'zgarishi bo'lib, unda satrlar va ustunlar o'z raqamlarini saqlagan holda almashtiriladi. Transpozitsiya yuqoridagi T bilan ko'rsatilgan.

(4.1) matritsa berilsin. Qatorlarni ustunlar bilan almashtiring. Matritsani oling

A matritsaga nisbatan ko'chiriladi. Xususan, ustun vektorini ko'chirishda qator vektori olinadi va aksincha.

Matritsalar ustidagi asosiy amallar.

Matritsalar ustidagi asosiy arifmetik amallar matritsani songa ko'paytirish, matritsalarni qo'shish va ko'paytirishdan iborat.

Keling, matritsalar ustidagi asosiy amallarning ta'rifiga o'tamiz.

Matritsa qo'shilishi : Ikki matritsaning yig'indisi, masalan: bir xil qator va ustunlar soniga ega bo'lgan A va B matritsalari, boshqacha aytganda, bir xil m va n tartibli matritsalar S = (Sij) (i = 1, 2, ... m;j = 1, 2, …n) bir xil m va n tartibli, Cij elementlari teng.

Cij = Aij + Bij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) (1.2)

Ikki matritsa yig‘indisini belgilash uchun C = A + B yozuvi qo‘llaniladi.Matritsalar yig‘indisini tuzish amali ularni qo‘shish deyiladi.

Shunday qilib, ta'rifga ko'ra bizda:

To'g'ridan-to'g'ri matritsalar yig'indisini aniqlashdan, to'g'rirog'i (1.2) formuladan kelib chiqadiki, matritsalarni qo'shish amali qo'shish amali bilan bir xil xususiyatlarga ega. haqiqiy raqamlar, aynan:

1) kommutativ xususiyat: A + B = B + A

2) assotsiativ xususiyat: (A + B) + C = A + (B + C)

Ushbu xususiyatlar ikkita yoki qo'shilganda matritsalar shartlarining tartibi haqida tashvishlanmaslik imkonini beradi Ko'proq matritsalar.

Matritsani raqamga ko'paytirish :

A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) matritsasining haqiqiy songa ko‘paytmasi C = (Cij) matritsasidir (i = 1, 2, … , m; j = 1, 2, …, n), uning elementlari teng

Cij = Aij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n). (1.3)

Matritsa mahsulotini raqam bilan belgilash uchun C \u003d A yoki C \u003d A belgisi qo'llaniladi. Matritsaning ko‘paytmasini songa yig‘ish amali matritsani shu songa ko‘paytirish deyiladi.

(1.3) formuladan ma'lumki, matritsani songa ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega:

1) matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlash xususiyati:

(A + B) = A + B

2) Raqamli omilga nisbatan assotsiativ xususiyat:

3) raqamlar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

( + ) A = A + A.

Izoh: Ikki matritsaning farqi Xuddi shu tartibli A va B matritsalarni bir xil tartibli C matritsasi deb atash tabiiy, u B matritsa bilan birgalikda A matritsasini beradi. Ikki matritsaning farqini belgilash uchun natural yozuvdan foydalaniladi: C = A - B.

Matritsalarni ko'paytirish :

B = (Bij) matritsasining mos ravishda m va n ga teng tartibli A = (Aij) (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) koʻpaytmasi. ) (i = 1, 2, …, n;

n va p ga teng tartiblarga ega j = 1, 2, …, p), C = (Sij) matritsasi deb ataladi (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p), mos ravishda m va p ga teng tartiblarga ega va formula bilan aniqlangan Cij elementlari

Cij = (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, p) (1.4)

A matritsaning mahsulotini B matritsa bilan belgilash uchun yozuvdan foydalaning

C=AB. A matritsaning mahsulotini B matritsaga kompilyatsiya qilish amali bu matritsalarni ko'paytirish deyiladi. Yuqorida keltirilgan ta'rifdan kelib chiqadiki, A matritsasini hech qanday B matritsasiga ko'paytirib bo'lmaydi: A matritsasining ustunlari soni bo'lishi kerak. teng B matritsaning qatorlar soni. AB va BA ko'paytmalari nafaqat aniqlanishi, balki bir xil tartibli bo'lishi uchun ikkala A va B matritsalari ham bir xil tartibli kvadrat matritsalar bo'lishi zarur va etarli.

Formula (1.4) C matritsasining elementlarini tuzish qoidasi,

Bu A va B matritsalarining mahsulotidir. Bu qoidani og'zaki shaklda ham shakllantirish mumkin: Cij elementi ustida turgan. i-chi chorraha C = AB matritsasining qatori va j-ustunlari mos keladigan juftlik hosilalari yig‘indisiga teng. i-elementlar A matritsa satrlari va B matritsasining j-ustunlari. Ushbu qoidani qo'llashga misol sifatida biz ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni ko'paytirish formulasini keltiramiz.

Formula (1.4) A va B matritsalari mahsulotining quyidagi xossalarini nazarda tutadi:

1) assotsiativ xususiyat: (AB) C = A (BC);

2) matritsalar yig'indisiga nisbatan taqsimlovchi xususiyat:

(A + B) C = AC + BC yoki A (B + C) = AB + AC.

Matritsalar ko'paytmasining almashtirish xususiyati haqidagi savol faqat bir xil tartibli kvadrat matritsalar uchun ma'noga ega. Elementar misollar shuni ko'rsatadiki, bir xil tartibdagi ikkita kvadrat matritsaning ko'paytmalari, umuman olganda, almashtirish xususiyatiga ega emas. Haqiqatan ham, agar biz qo'ysak

A =, B =, keyin AB = va BA =

Ko'paytmasi uchun almashtirish xususiyati to'g'ri bo'lgan bir xil matritsalar odatda kommutatsiya deb ataladi.

Kvadrat matritsalar orasida biz diagonal matritsalar deb ataladigan sinfni ajratamiz, ularning har biri nolga teng asosiy diagonaldan tashqarida joylashgan elementlarga ega. Asosiy diagonalga mos keladigan yozuvlar bilan barcha diagonal matritsalar orasida, ayniqsa muhim rol ikkita matritsani o'ynang. Bu matritsalarning birinchisi bosh diagonalning barcha elementlari bir ga teng bo'lganda olinadi, n-tartibli birlik matritsasi deb ataladi va E belgisi bilan belgilanadi. Ikkinchi matritsa barcha elementlari nolga teng bo‘lgan holda olinadi va n-tartibdagi nol matritsa deb ataladi va O belgisi bilan belgilanadi. Faraz qilaylik, ixtiyoriy A matritsa mavjud bo‘lsa, u holda

AE=EA=A, AO=OA=O.

Formulalarning birinchisi haqiqiy sonlarni ko'paytirishda 1 raqamining roliga o'xshash E identifikatsiya matritsasining alohida rolini tavsiflaydi. Nol matritsa O ning alohida roliga kelsak, u faqat formulalarning ikkinchisi orqali emas, balki elementar tekshiriladigan tenglik orqali ham ochiladi: A + O = O + A = A. Nol matritsa tushunchasi ham shunday bo'lishi mumkin. kvadrat bo'lmagan matritsalar uchun kiritilgan.

Matritsa darajasi

To'rtburchaklar matritsani ko'rib chiqaylik (4.1). Agar bu matritsada o'zboshimchalik bilan k qatorni tanlasak va k ustunlar, keyin tanlangan satrlar va ustunlar kesishmasidagi elementlar kvadrat matritsa hosil qiladi k-chi tartib. Ushbu matritsaning determinanti A matritsaning k-tartibli minori deb ataladi. Shubhasiz, A matritsada 1 dan eng kichigigacha bo'lgan har qanday tartibdagi minorlar mavjud. m Va n. A matritsasining nolga teng bo'lmagan barcha minorlari orasida tartibi eng katta bo'lgan kamida bitta minor mavjud. Berilgan matritsaning kichiklarining nolga teng bo'lmagan tartiblarining eng kattasi matritsaning darajasi deb ataladi. Agar A matritsasining darajasi bo'lsa r, u holda bu A matritsaning tartibning nolga teng bo'lmagan minoriga ega ekanligini anglatadi r, lekin r dan katta tartibning har bir minori nolga teng. A matritsaning darajasi r(A) bilan belgilanadi. Munosabatlar mavjudligi aniq

0 ≤ r(A) ≤ min(m,n).

Matritsaning darajasi kichik chegaralash usuli yoki usul bilan topiladi elementar transformatsiyalar. Matritsaning darajasini birinchi usulda hisoblashda, past darajadagi voyaga etmaganlardan kattaroq yoshdagilarga o'tish kerak. yuqori tartib. Agar A matritsaning k-tartibdagi nolga teng bo'lmagan D minori allaqachon topilgan bo'lsa, u holda faqat kichik D bilan chegaradosh (k + 1)-chi darajali kichiklarni hisoblash kerak, ya'ni. uni voyaga etmagan sifatida o'z ichiga oladi. Agar ularning barchasi nolga teng bo'lsa, matritsaning darajasi k bo'ladi.

Quyidagi matritsa konvertatsiyalari elementar deyiladi:

1) har qanday ikkita satr (yoki ustunlar) o'rnini almashtirish;

2) qatorni (yoki ustunni) boshqa narsaga ko'paytirish nol raqam,

3) bir qatorga (yoki ustunga) boshqa qatorni (yoki ustunni) qandaydir songa ko'paytirish.

Ikki matritsa ekvivalent deyiladi, agar ulardan biri ikkinchisidan cheklangan elementar o'zgarishlar to'plami orqali olingan bo'lsa.

Ekvivalent matritsalar, umuman olganda, teng emas, lekin ularning darajalari tengdir. Agar A va B matritsalari ekvivalent bo'lsa, u quyidagicha yoziladi:

Kanonik matritsa - bu boshlang'ich matritsa

asosiy diagonali ketma-ket bir nechta birlikdir (ularning soni

nolga teng bo'lishi mumkin) va boshqa barcha elementlar nolga teng,

misol uchun, .

Qator va ustunlarni elementar o'zgartirishlar yordamida har qanday matritsani kanonik matritsaga qisqartirish mumkin. Kanonik matritsaning darajasi soniga teng uning asosiy diagonalidagi birliklar.

teskari matritsa

Kvadrat matritsani ko'rib chiqing

D = detA ni belgilang.

Kvadrat matritsa A, agar uning determinanti nolga teng bo'lsa, degenerativ bo'lmagan yoki yagona bo'lmagan, D = 0 bo'lsa, degenerativ yoki maxsus deyiladi.

B kvadrat matritsa bir xil tartibli A kvadrat matritsaga teskari deyiladi, agar ularning mahsuloti A B = B A = E bo'lsa, bu erda E - A va B matritsalari bilan bir xil tartibdagi bir xillik matritsasi.

Teorema. A matritsaning teskari bo‘lishi uchun uning determinanti noldan farq qilishi zarur va yetarli.

A matritsaga teskari matritsa A -1 bilan belgilanadi. Teskari matritsa formula bo'yicha hisoblanadi

A -1 \u003d 1 / D, (4.5)

bu yerda A ij - a ij elementlarning algebraik to'ldiruvchilari.

Yuqori tartibli matritsalar uchun (4.5) formula bo'yicha teskari matritsani hisoblash juda mashaqqatli, shuning uchun amalda elementar o'zgartirishlar (ET) usuli yordamida teskari matritsani topish qulay. Har qanday yagona bo'lmagan A matritsani faqat ustunlar (yoki faqat satrlar) dan iborat RaI orqali E matritsaga qisqartirish mumkin. Agar A matritsa ustidagi mukammal RaIlar E matritsaga bir xil tartibda qo'llanilsa, natija shunday bo'ladi. teskari matritsa. A va E matritsalari bo'yicha bir vaqtning o'zida EPni bajarish qulay, ikkala matritsani chiziq bo'ylab yonma-yon yozish. Yana bir bor ta'kidlaymizki, matritsaning kanonik shaklini qidirishda uning darajasini topish uchun satr va ustunlarni o'zgartirishdan foydalanish mumkin. Agar siz teskari matritsani topishingiz kerak bo'lsa, transformatsiya jarayonida faqat satrlardan yoki faqat ustunlardan foydalanishingiz kerak.

2. Aniqlovchilar

Har bir kvadrat matritsa uchun matritsaning determinanti, matritsaning determinanti yoki oddiygina determinant (determinant) deb ataladigan raqam aniqlanadi.

Ta'rif. Birinchi tartibli kvadrat matritsaning determinanti bu matritsaning yagona elementiga teng son: A=(a), detA=|A|=a.

A n, n>1 tartibli ixtiyoriy kvadrat matritsa bo‘lsin:

Ta'rif n-tartibli determinant (n-tartibli kvadrat matritsaning aniqlovchisi n), n>1, ga teng sondir.

bu erda birinchi qator va j-ustunni o'chirish orqali A matritsasidan olingan kvadrat matritsaning determinanti.

2 va 3-tartibdagi determinantlar uchun matritsa elementlari bo'yicha oddiy ifodalarni olish oson.

2-tartibli aniqlovchi:

3-tartibli determinant:

2.1. Minor va algebraik element to‘ldiruvchi

Ta'rif. Matritsa elementining minori element joylashgan satr va ustunni o‘chirish natijasida olingan matritsaning determinantidir. Belgilang: a ij elementining minori - .

Ta'rif. Matritsa elementining algebraik to‘ldiruvchisi uning minorini -1 ga ko‘paytirilib, element joylashgan satr va ustun raqamlari yig‘indisiga teng darajaga teng bo‘ladi. Belgilang: a ij - elementining algebraik to'ldiruvchisi.

Shunday qilib, biz n-tartibli determinantning ta'rifini qayta shakllantirishimiz mumkin:

n-tartibli determinant n>1 birinchi qator elementlari va ularning algebraik to’ldiruvchilari ko’paytmalari yig’indisiga teng.

Misol.

Determinantni istalgan qatorga kengaytirish orqali hisoblash teoremasi

Teorema. n-tartibli determinant, n>1, har qanday qator (ustun) elementlari va ularning algebraik to'ldiruvchilari ko'paytmalari yig'indisiga teng.

Misol. Ikkinchi qatorni kengaytirish orqali oldingi misoldagi determinantni hisoblaymiz:

Natija. Uchburchak matritsaning determinanti diagonal elementlarning mahsulotiga teng. (O'zingizni isbotlang).

Matritsa o'lchamga joylashtirilgan elementlardan tashkil topgan to'rtburchaklar jadval deyiladi m chiziqlar va n ustunlar.

Matritsa elementlari (birinchi indeks i− qator raqami, ikkinchi indeks j− ustun raqami) raqamlar, funksiyalar va boshqalar boʻlishi mumkin. Matritsalar lotin alifbosining bosh harflari bilan belgilanadi.

Matritsa deyiladi kvadrat agar uning qatorlar soni ustunlar soniga teng bo'lsa ( m = n). Bunday holda, raqam n matritsaning tartibi, matritsaning o'zi esa matritsa deb ataladi n-chi tartib.

Xuddi shu indeksga ega elementlar shakl asosiy diagonali kvadrat matritsa va elementlar (ya'ni indekslar yig'indisi ga teng n+1) − ikkilamchi diagonali.

Yolg'iz matritsa bosh diagonalining barcha elementlari 1 ga, qolgan elementlari 0 ga teng kvadrat matritsa deyiladi.U harf bilan belgilanadi. E.

Nol matritsa matritsa bo'lib, uning barcha elementlari 0 ga teng. Nol matritsa har qanday hajmda bo'lishi mumkin.

Raqamga matritsalar ustida chiziqli amallar bog'lash:

1) matritsalarni qo‘shish;

2) matritsalarni songa ko'paytirish.

Matritsalarni qo'shish amali faqat bir xil o'lchamdagi matritsalar uchun aniqlanadi.

Ikki matritsaning yig'indisi LEKIN Va IN matritsa deb ataladi FROM, barcha elementlari matritsalarning mos keladigan elementlari yig'indisiga teng LEKIN Va IN:

.

Matritsa mahsuloti LEKIN raqam uchun k matritsa deb ataladi IN, barcha elementlari berilgan matritsaning mos elementlariga teng LEKIN soniga ko'paytiriladi k:

Operatsiya matritsalarni ko'paytirish shartni qanoatlantiradigan matritsalar uchun kiritiladi: birinchi matritsaning ustunlari soni ikkinchisining qatorlari soniga teng.

Matritsa mahsuloti LEKIN o'lchamlari matritsaga IN o'lcham matritsa deb ataladi FROM o'lchamlar, element i-chi qator va j ustuni elementlarning hosilalari yig'indisiga teng i matritsaning uchinchi qatori LEKIN tegishli elementlar bo'yicha j-matritsaning ustuni IN:

Matritsalar mahsuloti (haqiqiy sonlar mahsulotidan farqli o'laroq) kommutativ qonunga bo'ysunmaydi, ya'ni. umuman LEKIN IN IN LEKIN.

1.2. Aniqlovchilar. Kvalifikator xususiyatlari

Determinant tushunchasi faqat kvadrat matritsalar uchun kiritilgan.

2-tartibli matritsaning determinanti quyidagi qoida bo'yicha hisoblangan raqamdir

.

3-tartibli matritsa determinanti quyidagi qoida bo'yicha hisoblangan raqam:

"+" belgisi bo'lgan atamalarning birinchisi matritsaning asosiy diagonalida joylashgan elementlarning mahsulotidir (). Qolgan ikkitasida asosi asosiy diagonal(lar) ga parallel bo'lgan uchburchaklar cho'qqilarida joylashgan elementlar mavjud. "-" belgisi bilan ikkilamchi diagonal () elementlari va asoslari shu diagonalga (va) parallel bo'lgan uchburchaklar hosil qiluvchi elementlarning mahsuloti kiritiladi.

3-tartibli determinantni hisoblashning bu qoidasi uchburchaklar qoidasi (yoki Sarrus qoidasi) deb ataladi.

Kvalifikator xususiyatlari 3-tartibli determinantlar misolini ko'rib chiqing.

1. Determinantning barcha qatorlarini qatorlar bilan bir xil raqamlarga ega ustunlar bilan almashtirganda, determinant o'z qiymatini o'zgartirmaydi, ya'ni. determinantning satrlari va ustunlari teng

.

2. Ikki qator (ustun) almashtirilganda determinant o'z belgisini o'zgartiradi.

3. Agar ma'lum bir qator (ustun) ning barcha elementlari nolga teng bo'lsa, determinant 0 ga teng.

4. Bir qator (ustun) ning barcha elementlarining umumiy koeffitsienti aniqlovchi belgisidan chiqarilishi mumkin.

5. Ikkita bir xil satr (ustun) ni o'z ichiga olgan determinant 0 ga teng.

6. Ikki proportsional qator (ustun) ni o'z ichiga olgan determinant nolga teng.

7. Agar determinantning ma'lum ustuni (satri) ning har bir elementi ikkita hadning yig'indisini ifodalasa, u holda determinant ikkita aniqlovchining yig'indisiga teng bo'lib, ulardan biri bir xil ustundagi (satrdagi) birinchi hadlarni o'z ichiga oladi, ikkinchisi. - ikkinchisi. Ikkala determinantning qolgan elementlari bir xil. Shunday qilib,

.

8. Agar boshqa ustunning (satrning) bir xil songa ko'paytiriladigan mos keladigan elementlari uning biron bir ustunining (qatorining) elementlariga qo'shilsa, determinant o'zgarmaydi.

Aniqlovchining keyingi xossasi kichik va algebraik to`ldiruvchi tushunchalari bilan bog`liq.

Kichik determinantning elementi - bu elementning kesishmasida joylashgan satr va ustunni o'chirish orqali berilgandan olingan aniqlovchi.

Masalan, aniqlovchining kichik elementi determinant deb ataladi.

Algebraik qo'shish determinantning elementi uning minorini qayerga ko'paytirish deyiladi i- qator raqami, j− element joylashgan chorrahadagi ustun raqami. Algebraik to'ldiruvchi odatda belgilanadi. 3-tartibli determinant elementi uchun algebraik to'ldiruvchi

9. Aniqlovchi har qanday satr (ustun) elementlari va ularga mos keladigan algebraik qo'shimchalar ko'paytmalari yig'indisiga teng.

Masalan, determinant birinchi qatorning elementlari bo'yicha kengaytirilishi mumkin

,

yoki ikkinchi ustun

Determinantlarning xossalari ularni hisoblash uchun ishlatiladi.

Ushbu maqolada biz bir xil tartibdagi matritsalar ustida qo'shish amali qanday bajarilishini, matritsani songa ko'paytirish amalini va tegishli tartibdagi matritsalarni ko'paytirish amalini tushunamiz, biz amallarning xususiyatlarini aksimatik ravishda o'rnatamiz, va matritsalar ustidagi amallarning ustuvorligini ham muhokama qiling. Nazariya bilan parallel ravishda biz taqdim etamiz batafsil yechimlar matritsalar ustida amallar bajariladigan misollar.

Darhol shuni ta'kidlaymizki, quyidagi barcha elementlar haqiqiy (yoki murakkab) sonlar bo'lgan matritsalarga tegishli.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ikki matritsani qo'shish amali.

Ikki matritsani qo'shish amalining ta'rifi.

Qo'shish amali FAQAT BU TARTIBLI MATRIXLAR UCHUN aniqlanadi. Boshqacha qilib aytganda, har xil o'lchamdagi matritsalar yig'indisini topish mumkin emas va umuman olganda, har xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shish haqida gapirish mumkin emas. Bundan tashqari, matritsa va raqamning yig'indisi haqida yoki matritsa va boshqa elementlarning yig'indisi haqida gapirish mumkin emas.

Ta'rif.

Ikki matritsa yig'indisi va elementlari A va B matritsalarning mos elementlari yig’indisiga teng bo’lgan matritsa, ya’ni.

Shunday qilib, ikkita matritsani qo'shish operatsiyasining natijasi bir xil tartibdagi matritsadir.

Matritsa qo'shish amalining xossalari.

Matritsani qo‘shish amalining xossalari qanday? Bu savolga javob berish juda oson, ma'lum tartibdagi ikkita matritsaning yig'indisini aniqlashdan va haqiqiy (yoki murakkab) sonlarni qo'shish amalining xususiyatlarini eslab qolishdan boshlanadi.

1. Xuddi shu tartibdagi A, B va C matritsalari uchun qo'shishning assotsiativlik xususiyati A + (B + C) \u003d (A + B) + C xarakterlidir.
2. Berilgan tartibli matritsalar uchun qo'shishga nisbatan neytral element mavjud bo'lib, u nol matritsadir. Ya'ni, A + O \u003d A xususiyati haqiqatdir.
3. Berilgan tartibdagi nolga teng bo'lmagan A matritsa uchun (-A) matritsa mavjud, ularning yig'indisi nol matritsadir: A + (-A) \u003d O .
4. Berilgan tartibli A va B matritsalar uchun A+B=B+A qo‘shishning almashinish xossasi to‘g‘ri bo‘ladi.

Shunday qilib, ma'lum tartibli matritsalar to'plami qo'shimcha Abel guruhini (qo'shishning algebraik operatsiyasiga nisbatan Abel guruhi) hosil qiladi.

Matritsalarni qo'shish - misollarni yechish.

Keling, matritsalarni qo'shishga misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

va matritsalarining yig'indisini toping .

Yechim.

A va B matritsalarning tartiblari bir xil va 4 ga 2 ga teng, shuning uchun biz matritsalarni qo'shish amalini bajarishimiz mumkin va natijada biz 4 dan 2 gacha bo'lgan matritsani olishimiz kerak. Ikki matritsani qo'shish operatsiyasining ta'rifiga ko'ra, qo'shish elementini element bo'yicha bajaramiz:

Misol.

Ikki matritsaning yig‘indisini toping Va ularning elementlari kompleks sonlardir.

Yechim.

Matritsa tartiblari teng bo'lgani uchun biz qo'shishni amalga oshirishimiz mumkin.

Misol.

Uchta matritsani qo'shishni bajaring .

Yechim.

Birinchidan, A matritsasini B bilan qo'shing, so'ngra hosil bo'lgan matritsaga C ni qo'shing:

Biz nol matritsani oldik.

Matritsani songa ko'paytirish amali.

Matritsani songa ko'paytirish amalining ta'rifi.

Matritsani songa ko'paytirish amali HAR QANDAY TARTIBLI MATRIXALAR UCHUN aniqlanadi.

Ta'rif.

Matritsa va haqiqiy (yoki kompleks) sonning mahsuloti- matritsa bo'lib, uning elementlari dastlabki matritsaning mos elementlarini songa ko'paytirish yo'li bilan olinadi, ya'ni.

Shunday qilib, matritsani songa ko'paytirish natijasi bir xil tartibli matritsadir.

Matritsani songa ko'paytirish amalining xossalari.

Matritsani songa ko‘paytirish amali xossalaridan kelib chiqadiki, nol matritsani nol songa ko‘paytirish natijasida nol matritsa hosil bo‘ladi va mahsulot ixtiyoriy raqam va nol matritsa nol matritsadir.

Matritsani songa ko'paytirish - misollar va ularning yechimi.

Keling, misollar yordamida matritsani songa ko'paytirish amalini ko'rib chiqaylik.

Misol.

2 raqami va matritsaning ko‘paytmasini toping .

Yechim.

Matritsani raqamga ko'paytirish uchun uning har bir elementini ushbu raqamga ko'paytirish kerak:

Misol.

Matritsani songa ko'paytirishni bajaring.

Yechim.

Berilgan matritsaning har bir elementini berilgan songa ko‘paytiramiz:

Ikki matritsani ko'paytirish amali.

Ikki matritsani ko'paytirish amalining ta'rifi.

Ikkita A va B matritsalarni ko'paytirish amali faqat A MATRIXA USTUNLARI SONI B MATRIXASI QATRLARI SONiga TENG BO'LGAN holat uchun aniqlanadi.

Ta'rif.

Tartibli A matritsa va B tartibli matritsaning mahsuloti- bu shunday tartibli C matritsasi bo'lib, uning har bir elementi A matritsasining i-qatori elementlarining B matritsasining j-ustunining mos keladigan elementlariga ko'paytmalari yig'indisiga teng, ya'ni ,

Shunday qilib, tartib matritsasini tartib matritsasiga ko'paytirish operatsiyasining natijasi tartib matritsasi hisoblanadi.

Matritsani matritsaga ko'paytirish - misollar yechimlari.

Biz misollar yordamida matritsalarni ko'paytirish bilan shug'ullanamiz, shundan so'ng biz matritsani ko'paytirish operatsiyasining xususiyatlarini sanab o'tamiz.

Misol.

Matritsalarni ko'paytirish orqali olingan C matritsasining barcha elementlarini toping Va .

Yechim.

A matritsaning tartibi p=3 ga n=2 ga, B matritsaning tartibi n=2 ga q=4 ga teng, shuning uchun bu matritsalarning ko‘paytmasi p=3 ga q=4 ga teng. Keling, formuladan foydalanamiz

Biz ketma-ket i 1 dan 3 gacha (chunki p=3 ) har bir j uchun 1 dan 4 gacha (q=4 dan beri) va bizning holatlarimizda n=2 qiymatlarni olamiz, keyin

C matritsasining barcha elementlari shunday hisoblanadi va ikkita berilgan matritsani ko'paytirish natijasida olingan matritsa ko'rinishga ega. .

Misol.

Matritsani ko'paytirishni bajarish va .

Yechim.

Asl matritsalarning tartiblari ko'paytirish operatsiyasini bajarishga imkon beradi. Natijada, biz 2 dan 3 gacha tartibli matritsani olishimiz kerak.

Misol.

Berilgan matritsalar va . A va B matritsalarning, shuningdek, B va A matritsalarining ko‘paytmasini toping.

Yechim.

A matritsaning tartibi 3 ga 1 va B matritsasi 1 ga 3 bo'lganligi sababli, A⋅B 3 ga 3, B va A matritsalarining ko'paytmasi esa 1 ga 1 tartibli bo'ladi.

Ko'rib turganingizdek, . Bu matritsani ko'paytirish amalining xususiyatlaridan biridir.

Matritsani ko'paytirish amalining xossalari.

Agar A, B va C matritsalari mos tartibli bo'lsa, unda quyidagilar to'g'ri bo'ladi matritsani ko'paytirish amalining xossalari.

Shuni ta'kidlash kerakki, mos buyurtmalar uchun nol matritsa O va A matritsasining mahsuloti nol matritsani beradi. Agar buyruqlar matritsani ko'paytirishni amalga oshirishga imkon bersa, A ning O ga mahsuloti ham nol matritsani beradi.

Kvadrat matritsalar orasida shunday deyiladi almashtirish matritsalari, ular uchun ko'paytirish amali kommutativ, ya'ni. O'rin almashish matritsalariga misol sifatida identifikatsiya matritsasi juftligi va bir xil tartibdagi boshqa matritsalarni keltirish mumkin, chunki .

Matritsalar ustidagi amallarning ustuvorligi.

Matritsani songa ko'paytirish va matritsani matritsaga ko'paytirish amallari teng ustuvorlik bilan ta'minlangan. Shu bilan birga, bu operatsiyalar ikkita matritsani qo'shish operatsiyasiga qaraganda yuqoriroq ustuvorlikka ega. Shunday qilib, birinchi navbatda matritsa songa ko'paytiriladi va matritsalar ko'paytiriladi va shundan keyingina matritsalar qo'shiladi. Biroq, matritsalar ustida amallarni bajarish tartibini qavslar yordamida aniq belgilash mumkin.

Demak, matritsalar ustidagi amallarning ustuvorligi haqiqiy sonlarni qo'shish va ko'paytirish amallariga berilgan ustuvorlikka o'xshaydi.

Misol.

Matritsa ma'lumotlari . Berilgan matritsalar bilan belgilangan amallarni bajaring .

Yechim.

Biz A matritsasini B matritsasiga ko'paytirishdan boshlaymiz:

Endi biz ikkinchi tartibli E matritsasini ikkiga ko'paytiramiz:

Olingan ikkita matritsani qo'shamiz:

Olingan matritsani A matritsaga ko'paytirish amalini bajarish qoladi:

Shuni ta'kidlash kerakki, bir xil A va B tartibli matritsalarni ayirish amali mavjud emas. Ikki matritsaning farqi asosan A va B matritsalarining yig'indisi minus birga ko'paytiriladi: .

Matritsani kvadratga solish operatsiyasi tabiiy daraja ham mustaqil emas, chunki u ketma-ket matritsani ko'paytirishdir.

Xulosa qiling.

Matritsalar to‘plamida uchta amal aniqlanadi: bir xil tartibli matritsalarni qo‘shish, matritsani songa ko‘paytirish va mos tartibli matritsalarni ko‘paytirish. Berilgan tartibli matritsalar to‘plamiga qo‘shish amali Abel guruhini hosil qiladi.

Matritsalar ustida amallar ta'rifiga o'tamiz.

1) Matritsa qo'shilishi . Ikki matritsaning yig'indisi A=(a ij) Va B=(b ij) bir xil o'lchamdagi m× n matritsa deb ataladi C=(c ij) bir xil o'lchamdagi m× n, uning elementlari teng

dan ij = a ij +b ij (i= 1,2, … ,m; j= 1,2, … ,n). (1)

Matritsalar yig'indisini belgilash uchun biz yozuvdan foydalanamiz C=A+ B.

2) Matritsani raqamga ko'paytirish . mahsulot ( m× n)- matritsalar LEKIN l raqamiga chaqiriladi ( m× n)-matritsa C= (c ij), elementlari teng bo'lgan

dan ij = λ a ij (i= 1,2, … , m;j= 1,2, … ,n). (2)

Matritsaning mahsulotini raqam bilan belgilash uchun yozuvdan foydalaniladi C= λ∙ A.

(1) va (2) formulalardan ko'rinib turibdiki, kiritilgan ikkita amal quyidagi xususiyatlarga ega:

lekin) A+B = B+A – qo‘shishning kommutativligi;

b) ( A+B)+C \u003d A +(B+C) qo‘shishning assotsiativligidir;

c) (lm) LEKIN=λ(μ LEKIN) songa ko‘paytirishning assotsiativligi;

d) l( A+B) = λ LEKIN+λ IN ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi.

Izoh 1. Matritsalar farqini quyidagicha aniqlash mumkin:

A-B = A+(–1)IN.

Xulosa qilib aytganda, matritsalarni qo'shish, ayirish va matritsani songa ko'paytirish elementma-element bajariladi.

Misol:

3) Matritsalarni ko'paytirish . mahsulot ( m× n)-matritsalar LEKIN=(lekin ij) ustida ( n× p)- matritsa B=(b ij) deyiladi ( m× p)-matritsa FROM=(dan ij), uning elementlari formula bo'yicha hisoblanadi

c ij = a i 1 b 1 j + a i 2 b 2 j +…+ a ichida b nj ,

yig'indisi belgisi yordamida shunday yozilishi mumkin

(i= 1,2, … , m; j= 1,2, … ,p).

Matritsaning mahsulotini belgilash uchun LEKIN matritsaga IN yozuvdan foydalaning C=A∙B.

Biz darhol matritsa ekanligini ta'kidlaymiz LEKIN har qanday matritsaga ko'paytirilishi mumkin IN: matritsaning ustunlar soni bo'lishi kerak LEKIN matritsa qatorlari soniga teng edi IN.

Formula (3) matritsa elementlarini topish qoidasini ifodalaydi A∙B. Keling, ushbu qoidani og'zaki shakllantiramiz: element c ij turish i-chi qator va j-matritsaning ustuni A∙B, mos elementlarning juft ko'paytmalari yig'indisiga teng i-matritsaning qatori LEKIN Va j-matritsaning ustuni IN.

Ikkinchi tartibli kvadrat matritsalarni ko'paytirishga misol:

.

Matritsalarni ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega:

lekin) ( AB)FROM = LEKIN(quyosh) – assotsiativlik;

b) ( A+B)FROM = AC+quyosh yoki LEKIN(B+C) = AB+AC ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi.

Ko'paytirishning kommutativligi haqidagi savolni faqat bir xil tartibli kvadrat matritsalar uchun qo'yish mantiqan to'g'ri keladi, chunki faqat shunday matritsalar uchun. LEKIN Va IN ikkalasi ham ishlaydi AB Va VA aniqlangan va bir xil tartibdagi matritsalardir. Elementar misollar shuni ko'rsatadiki, matritsalarni ko'paytirish, umuman olganda, kommutativ emas. Masalan, agar

keyin

Misol . Matritsa uchun
barcha matritsalarni toping IN shu kabi

AB = BA.

Yechim . Biz belgini kiritamiz
Keyin

Tenglik AB = BA tenglamalar sistemasiga ekvivalentdir

bu esa, o'z navbatida, tizimga tengdir

Shunday qilib, kerakli matritsa shaklga ega
qayerda x Va z ixtiyoriy raqamlardir. Buni shunday yozish ham mumkin: IN = zA+(x– z)E.

Izoh. Identifikatsiya va nol matritsalar n th tartib bir xil tartibli har qanday kvadrat matritsadan almashtirilishi mumkin va AE = =EA = A, LEKIN∙0 = 0∙LEKIN = 0.

Ko'paytirish amalidan foydalanib, chiziqli tenglamalar tizimini yozishning eng qisqa - matritsa shaklini beramiz (1.1). Keling, belgi bilan tanishamiz: LEKIN=(lekin ij) – (m× n)-tenglamalar sistemasi koeffitsientlari matritsasi; –m-erkin shartlarning o'lchovli ustuni va

–n-noma'lumlarning o'lchovli ustuni. Ta'rifiga ko'ra, ish A∙X o'zida aks ettiradi m- o'lchovli ustun. Uning elementi, ichida turgan i-chi qator shaklga ega

a i 1 x 1 + a i 2 x 2 +…+ a ichida x n .

Lekin bu summa chap tomondan boshqa narsa emas i(1.1) sistemaning th tenglamasi va faraz bo'yicha u ga teng b i, ya'ni. element ichida i- ustunning qatori IN. Bu erdan biz olamiz: A∙ X = B . Bu chiziqli tizim uchun matritsa yozuvidir

tenglamalar. Bu yerda: LEKIN tizimning koeffitsient matritsasi, IN - bepul a'zolar ustuni, X noma'lumlar ustunidir.

4) Matritsaning transpozitsiyasi. Har qanday matritsaning transpozitsiyasi operatsiya bo'lib, buning natijasida qatorlar va ustunlar o'z tartibini saqlagan holda almashtiriladi. Transpozitsiya natijasida ( m× n)-matritsalar LEKIN chiqadi ( m× n)-matritsa, belgisi bilan belgilanadi LEKIN va matritsaga nisbatan transpozitsiya deb ataladi LEKIN.

Misol . Uchun LEKIN= (lekin 1 lekin 2 lekin 3) toping A∙A Va LEKIN´∙ LEKIN.

Yechim . O'tkazilgan qator ustundir. Shunung uchun:

1-tartibli kvadrat matritsadir.

-3-ning kvadrat matritsasi