Matritsa qo'shilishi:

Matritsani ayirish va qo‘shish ularning elementlari bo'yicha tegishli operatsiyalarga qisqartiriladi. Matritsa qo‘shish amali uchungina kiritilgan matritsalar bir xil o'lchamda, ya'ni matritsalar, navbati bilan qatorlar va ustunlar soni bir xil. matritsalar yig'indisi A va B deyiladi matritsa C, uning elementlari mos keladigan elementlarning yig'indisiga teng. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij matritsalar farqi.

Matritsani raqamga ko'paytirish:

Matritsani ko'paytirish (bo'lish) amali uchun har qanday o'lcham ixtiyoriy raqam har bir elementning ko'payishiga (bo'linishiga) qisqartiriladi matritsalar bu raqam uchun. Matritsa mahsuloti Va k soni chaqiriladi matritsa B, shunday

b ij = k × a ij. B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Matritsa- A \u003d (-1) × A teskari deyiladi matritsa LEKIN.

Matritsalarni qo'shish va matritsalarni ko'paytirish xususiyatlari:

Matritsalarni qo‘shish amallari Va matritsalarni ko'paytirish sonda quyidagi xossalarga ega: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A \u003d 0; 5. 1 × A = A; 6. a × (A + B) = aA + aB; 7. (a + b) × A = aA + bA; 8. a × (bA) = (ab) × A; , bu yerda A, B va C matritsalar, a va b sonlar.

Matritsani ko'paytirish (matritsa mahsuloti):

Ikki matritsani ko'paytirish amali faqat birinchi ustunlar soni bo'lgan holatda kiritiladi matritsalar ikkinchisining qatorlari soniga teng matritsalar. Matritsa mahsuloti Va m × n ochiq matritsa n×p da , deyiladi matritsa S m×p shundayki, s ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , ya’ni i – qator elementlarining ko‘paytmalari yig‘indisini toping. matritsalar Va j-ustunning mos keladigan elementlari bo'yicha matritsalar B. Agar matritsalar A va B bir xil o'lchamdagi kvadrat, keyin AB va BA ko'paytmalari har doim mavjud. A × E = E × A = A ekanligini ko'rsatish oson, bu erda A kvadratdir matritsa, E - yagona matritsa bir xil o'lchamda.

Matritsalarni ko'paytirish xususiyatlari:

Matritsalarni ko'paytirish kommutativ emas, ya'ni. Ikkala mahsulot ham aniqlangan bo'lsa ham AB ≠ BA. Biroq, agar mavjud bo'lsa matritsalar AB = BA munosabati qanoatlansa, shunday bo'ladi matritsalar almashtirishlar deyiladi. Eng tipik misol - yakkalik matritsa, bu har qanday boshqasi bilan almashtirilishi mumkin matritsa bir xil o'lchamda. O'zgartirish faqat kvadrat bo'lishi mumkin matritsalar bir xil tartibda. A × E = E × A = A

Matritsalarni ko'paytirish quyidagi xususiyatlarga ega: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. a × (AB) = (aA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. 2 va 3 tartiblarning aniqlovchilari. Determinantlarning xossalari.

matritsa determinanti ikkinchi tartib, yoki aniqlovchi raqam deb ataladigan ikkinchi tartib formula bo'yicha hisoblanadi:

matritsa determinanti uchinchi tartib, yoki aniqlovchi uchinchi tartib, raqam deb ataladi, u quyidagi formula bo'yicha hisoblanadi:

Bu raqam oltita haddan iborat algebraik yig'indini ifodalaydi. Har bir atama har bir satr va ustundan bitta elementni o'z ichiga oladi matritsalar. Har bir atama uchta omil mahsulotidan iborat.

Belgilar qaysi a'zolar bilan matritsa determinanti formulaga kiritilgan matritsa determinantini topish uchinchi tartibni yuqoridagi sxema yordamida aniqlash mumkin, bu uchburchaklar qoidasi yoki Sarrus qoidasi deb ataladi. Birinchi uchta shart ortiqcha belgisi bilan olinadi va chap rasmdan aniqlanadi, keyingi uchta shart esa minus belgisi bilan olinadi va o'ng raqamdan aniqlanadi.

Topish uchun atamalar sonini aniqlang matritsa determinanti, algebraik yig'indida siz faktorialni hisoblashingiz mumkin: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Matritsani aniqlovchi xossalari

Matritsaning determinant xususiyatlari:

№1 mulk:

Matritsa determinanti uning satrlari ustunlar bilan almashtirilsa, har bir satr bir xil sonli ustun bilan almashtirilsa va aksincha (Transpozitsiya) o'zgarmaydi. |A| = |A| T

Natija:

Ustunlar va qatorlar matritsa determinanti tengdir, shuning uchun qatorlarga xos xususiyatlar ustunlar uchun ham amalga oshiriladi.

№2 mulk:

2 satr yoki ustunni almashtirganda matritsa determinanti mutlaq qiymatni saqlagan holda belgini teskarisiga o'zgartiradi, ya'ni:

№3 mulk:

Matritsa determinanti, ikkita bir xil qatorga ega bo'lgan, nolga teng.

№4 mulk:

Har qanday qator elementlarining umumiy omili matritsa determinanti belgisidan olib tashlash mumkin aniqlovchi.

№3 va №4 xossalarning oqibatlari:

Agar ma'lum bir qatorning barcha elementlari (satr yoki ustun) parallel qatorning mos keladigan elementlariga proportsional bo'lsa, unda bunday matritsa determinanti nolga teng.

№5 mulk:

matritsa determinanti u holda nolga teng matritsa determinanti nolga teng.

№6 mulk:

Har qanday satr yoki ustunning barcha elementlari bo'lsa aniqlovchi 2 ta shartning yig'indisi sifatida taqdim etiladi, keyin aniqlovchi matritsalar 2 ning yig'indisi sifatida ifodalanishi mumkin determinantlar formula bo'yicha:

№7 mulk:

Agar biron-bir satrga (yoki ustunga) aniqlovchi bir xil raqamga ko'paytiriladigan boshqa satrning (yoki ustunning) mos keladigan elementlarini qo'shing, keyin matritsa determinanti qiymatini o'zgartirmaydi.

Xususiyatlarni hisoblash uchun qo'llash misoli matritsa determinanti:

Ushbu maqolada biz bir xil tartibdagi matritsalar ustida qo'shish amali qanday bajarilishini, matritsani songa ko'paytirish amalini va tegishli tartibdagi matritsalarni ko'paytirish amalini tushunamiz, biz amallarning xususiyatlarini aksimatik ravishda o'rnatamiz, va matritsalar ustidagi amallarning ustuvorligini ham muhokama qiling. Nazariyaga parallel ravishda matritsalar ustida amallar bajariladigan misollarga batafsil yechimlar beramiz.

Darhol shuni ta'kidlaymizki, quyidagi barcha elementlar haqiqiy (yoki murakkab) sonlar bo'lgan matritsalarga tegishli.

Sahifani navigatsiya qilish.

Ikki matritsani qo'shish amali.

Ikki matritsani qo'shish amalining ta'rifi.

Qo'shish amali FAQAT BU TARTIBLI MATRIXLAR UCHUN aniqlanadi. Boshqacha qilib aytganda, har xil o'lchamdagi matritsalar yig'indisini topish mumkin emas va umuman olganda, har xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shish haqida gapirish mumkin emas. Bundan tashqari, matritsa va raqamning yig'indisi haqida yoki matritsa va boshqa elementlarning yig'indisi haqida gapirish mumkin emas.

Ta'rif.

Ikki matritsa yig'indisi va elementlari A va B matritsalarning mos elementlari yig’indisiga teng bo’lgan matritsa, ya’ni.

Shunday qilib, ikkita matritsani qo'shish operatsiyasining natijasi bir xil tartibdagi matritsadir.

Matritsa qo'shish amalining xossalari.

Matritsani qo‘shish amalining xossalari qanday? Bu savolga javob berish juda oson, ma'lum tartibdagi ikkita matritsaning yig'indisini aniqlashdan va haqiqiy (yoki murakkab) sonlarni qo'shish amalining xususiyatlarini eslab qolishdan boshlanadi.

Xuddi shu tartibdagi A, B va C matritsalari uchun qo'shishning assotsiativlik xususiyati A + (B + C) \u003d (A + B) + C xarakterlidir.
Berilgan tartibli matritsalar uchun qo'shishga nisbatan neytral element mavjud bo'lib, u nol matritsadir. Ya'ni, A + O \u003d A xususiyati haqiqatdir.
Berilgan tartibdagi nolga teng bo'lmagan A matritsa uchun (-A) matritsa mavjud, ularning yig'indisi nol matritsadir: A + (-A) \u003d O .
Berilgan tartibli A va B matritsalar uchun A+B=B+A qo‘shishning almashinish xossasi to‘g‘ri bo‘ladi.

Shunday qilib, ma'lum tartibli matritsalar to'plami qo'shimcha Abel guruhini (qo'shishning algebraik operatsiyasiga nisbatan Abel guruhi) hosil qiladi.

Matritsalarni qo'shish - misollarni yechish.

Keling, matritsalarni qo'shishga misollarni ko'rib chiqaylik.

Misol.

va matritsalarining yig'indisini toping .

Yechim.

A va B matritsalarning tartiblari bir xil va 4 ga 2 ga teng, shuning uchun biz matritsalarni qo'shish amalini bajarishimiz mumkin va natijada 4 dan 2 gacha bo'lgan matritsani olishimiz kerak. Ikki matritsani qo'shish operatsiyasining ta'rifiga ko'ra, qo'shish elementini element bo'yicha bajaramiz:

Misol.

Ikki matritsaning yig‘indisini toping Va uning elementlari kompleks sonlardir.

Yechim.

Matritsa tartiblari teng bo'lgani uchun biz qo'shishni amalga oshirishimiz mumkin.

Misol.

Uchta matritsani qo'shishni bajaring .

Yechim.

Birinchidan, A matritsasini B bilan qo'shing, so'ngra hosil bo'lgan matritsaga C ni qo'shing:

Biz nol matritsani oldik.

Matritsani songa ko'paytirish amali.

Matritsani songa ko'paytirish amalining ta'rifi.

Matritsani songa ko'paytirish amali HAR QANDAY TARTIBLI MATRIXALAR UCHUN aniqlanadi.

Ta'rif.

Matritsa va haqiqiy (yoki kompleks) sonning mahsuloti- matritsa bo'lib, uning elementlari dastlabki matritsaning mos elementlarini songa ko'paytirish yo'li bilan olinadi, ya'ni.

Shunday qilib, matritsani songa ko'paytirish natijasi bir xil tartibli matritsadir.

Matritsani songa ko'paytirish amalining xossalari.

Matritsani raqamga ko'paytirish operatsiyasining xususiyatlaridan kelib chiqadiki, nol matritsani nolga ko'paytirish nol matritsani beradi va ixtiyoriy son va nol matritsaning mahsuloti nol matritsadir.

Matritsani songa ko'paytirish - misollar va ularning yechimi.

Keling, misollar yordamida matritsani songa ko'paytirish amalini ko'rib chiqaylik.

Misol.

2 raqami va matritsaning ko‘paytmasini toping .

Yechim.

Matritsani raqamga ko'paytirish uchun uning har bir elementini ushbu raqamga ko'paytirish kerak:

Misol.

Matritsani songa ko'paytirishni bajaring.

Yechim.

Berilgan matritsaning har bir elementini berilgan songa ko‘paytiramiz:

Ikki matritsani ko'paytirish amali.

Ikki matritsani ko'paytirish amalining ta'rifi.

Ikkita A va B matritsalarni ko'paytirish amali faqat A MATRIXA USTUNLARI SONI B MATRIXASI QATRLARI SONiga TENG BO'LGAN holat uchun aniqlanadi.

Ta'rif.

Tartibli A matritsa va B tartibli matritsaning mahsuloti- bu shunday tartibli C matritsasi bo'lib, uning har bir elementi A matritsasining i-qatori elementlarining B matritsasining j-ustunining mos keladigan elementlariga ko'paytmalari yig'indisiga teng, ya'ni ,

Shunday qilib, tartib matritsasini tartib matritsasiga ko'paytirish operatsiyasining natijasi tartib matritsasi hisoblanadi.

Matritsani matritsaga ko'paytirish - misollar yechimlari.

Biz misollar yordamida matritsalarni ko'paytirish bilan shug'ullanamiz, shundan so'ng biz matritsani ko'paytirish operatsiyasining xususiyatlarini sanab o'tamiz.

Misol.

Matritsalarni ko'paytirish orqali olingan C matritsasining barcha elementlarini toping Va .

Yechim.

A matritsaning tartibi p=3 ga n=2 ga, B matritsaning tartibi n=2 ga q=4 ga teng, shuning uchun bu matritsalar hosilasining tartibi p=3 ga q=4 bo‘ladi. . Keling, formuladan foydalanamiz

Biz ketma-ket i 1 dan 3 gacha (chunki p=3 ) har bir j uchun 1 dan 4 gacha (q=4 dan beri) va bizning holatlarimizda n=2 qiymatlarni olamiz, keyin

C matritsasining barcha elementlari shunday hisoblanadi va ikkita berilgan matritsani ko'paytirish natijasida olingan matritsa ko'rinishga ega. .

Misol.

Matritsani ko'paytirishni bajarish va .

Yechim.

Asl matritsalarning tartiblari ko'paytirish operatsiyasini bajarishga imkon beradi. Natijada, biz 2 dan 3 gacha tartibli matritsani olishimiz kerak.

Misol.

Berilgan matritsalar va . A va B matritsalarning, shuningdek, B va A matritsalarining ko‘paytmasini toping.

Yechim.

A matritsaning tartibi 3 ga 1 va B matritsasi 1 ga 3 bo'lganligi sababli, A⋅B 3 ga 3, B va A matritsalarining ko'paytmasi esa 1 ga 1 bo'ladi.

Ko'rib turganingizdek, . Bu matritsani ko'paytirish amalining xususiyatlaridan biridir.

Matritsani ko'paytirish amalining xossalari.

Agar A, B va C matritsalari mos tartibli bo'lsa, unda quyidagilar to'g'ri bo'ladi matritsani ko'paytirish amalining xossalari.

Shuni ta'kidlash kerakki, mos buyurtmalar uchun nol matritsa O va A matritsasining mahsuloti nol matritsani beradi. Agar buyruqlar matritsani ko'paytirishni amalga oshirishga imkon bersa, A ning O ga mahsuloti ham nol matritsani beradi.

Kvadrat matritsalar orasida shunday deyiladi almashtirish matritsalari, ular uchun ko'paytirish amali kommutativ, ya'ni. O'rin almashish matritsalariga misol sifatida identifikatsiya matritsasi juftligi va bir xil tartibdagi boshqa matritsalarni keltirish mumkin, chunki .

Matritsalar ustidagi amallarning ustuvorligi.

Matritsani songa ko'paytirish va matritsani matritsaga ko'paytirish amallari teng ustuvorlik bilan ta'minlangan. Shu bilan birga, bu operatsiyalar ikkita matritsani qo'shish operatsiyasiga qaraganda yuqoriroq ustuvorlikka ega. Shunday qilib, birinchi navbatda matritsa songa ko'paytiriladi va matritsalar ko'paytiriladi va shundan keyingina matritsalar qo'shiladi. Biroq, matritsalar ustida amallarni bajarish tartibini qavslar yordamida aniq belgilash mumkin.

Demak, matritsalar ustidagi amallarning ustuvorligi haqiqiy sonlarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga berilgan ustuvorlikka o‘xshaydi.

Misol.

Matritsa ma'lumotlari . Berilgan matritsalar bilan belgilangan amallarni bajaring .

Yechim.

Biz A matritsasini B matritsasiga ko'paytirishdan boshlaymiz:

Endi biz ikkinchi tartibli E matritsasini ikkiga ko'paytiramiz:

Olingan ikkita matritsani qo'shamiz:

Olingan matritsani A matritsaga ko'paytirish amalini bajarish qoladi:

Shuni ta'kidlash kerakki, bir xil A va B tartibli matritsalarni ayirish amali mavjud emas. Ikki matritsaning farqi asosan A va B matritsalarining yig'indisi minus birga ko'paytiriladi: .

erektsiya operatsiyasi kvadrat matritsa ichida tabiiy daraja ham mustaqil emas, chunki u ketma-ket matritsani ko'paytirishdir.

Xulosa qiling.

Matritsalar to‘plamida uchta amal aniqlanadi: bir xil tartibli matritsalarni qo‘shish, matritsani songa ko‘paytirish va mos tartibli matritsalarni ko‘paytirish. Berilgan tartibli matritsalar to‘plamiga qo‘shish amali Abel guruhini hosil qiladi.

Kirish

matritsa tartibini aksiomatik ko'paytirish

Matritsalar ustida amallar, amallarning xossalari.

Darhol shuni ta'kidlaymizki, quyidagi barcha elementlar haqiqiy (yoki murakkab) sonlar bo'lgan matritsalarga tegishli.

Ikki matritsani qo'shish amali

Ikki matritsani qo'shish amalining ta'rifi.

Ta'rif.

Ikki matritsaning yig'indisi va elementlari A va B matritsalarining mos elementlari yig'indisiga teng bo'lgan matritsadir, ya'ni.

Shunday qilib, ikkita matritsani qo'shish operatsiyasining natijasi bir xil tartibdagi matritsadir.

Matritsa qo'shish amalining xossalari.

Xuddi shu tartibdagi A, B va C matritsalari uchun A + (B + C) \u003d (A + B) + C qo'shilishning assotsiativlik xususiyati xarakterlidir.

Berilgan tartibli matritsalar uchun qo'shishga nisbatan neytral element mavjud bo'lib, u nol matritsadir. Ya'ni, A + O = A xossasi to'g'ri.

Berilgan tartibdagi nolga teng bo'lmagan A matritsasi uchun (-A) matritsa mavjud, ularning yig'indisi nol matritsadir: A + (-A) \u003d O.

Bu tartibdagi A va B matritsalar uchun A+B=B+A qo‘shishning almashinish xossasi to‘g‘ri bo‘ladi.

Shunday qilib, ma'lum tartibli matritsalar to'plami qo'shimcha Abel guruhini (qo'shishning algebraik operatsiyasiga nisbatan Abel guruhi) hosil qiladi.

Matritsani songa ko'paytirish amali

Matritsani songa ko'paytirish amalining ta'rifi.

Matritsani songa ko'paytirish amali HAR QANDAY TARTIBLI MATRIXALAR UCHUN aniqlanadi.

Ta'rif.

Matritsa va haqiqiy (yoki kompleks) sonning ko'paytmasi - bu matritsa bo'lib, uning elementlari dastlabki matritsaning mos keladigan elementlarini songa ko'paytirish orqali olinadi, ya'ni.

Shunday qilib, matritsani songa ko'paytirish natijasi bir xil tartibli matritsadir.

Matritsani songa ko'paytirish amalining xossalari.

Xuddi shu tartibli A va B matritsalar, shuningdek, ixtiyoriy haqiqiy (yoki kompleks) sonlar uchun ko'paytirishning qo'shishga nisbatan distributiv xususiyati o'rinlidir.

Ixtiyoriy A matritsa va har qanday haqiqiy (yoki murakkab) sonlar uchun taqsimlovchi xususiyat amal qiladi.

Ixtiyoriy A matritsa uchun va har qanday haqiqiy (yoki kompleks) sonlar va ko'paytirishning assotsiativlik xususiyati to'g'ri bo'ladi.

Ixtiyoriy A matritsaga ko'paytirish orqali neytral son bitta, ya'ni.

Matritsani songa ko'paytirish - misollar va ularning yechimi.

Keling, misollar yordamida matritsani songa ko'paytirish amalini ko'rib chiqaylik.

2 raqami va matritsaning ko‘paytmasini toping.

Matritsani raqamga ko'paytirish uchun uning har bir elementini ushbu raqamga ko'paytirish kerak:

Matritsani songa ko'paytirishni bajaring.

Berilgan matritsaning har bir elementini berilgan songa ko‘paytiramiz:

Ikki matritsani ko'paytirish amali

Ikki matritsani ko'paytirish amalining ta'rifi.

Ikkita A va B matritsalarni ko'paytirish amali faqat A MATRIXA USTUNLARI SONI B MATRIXASI QATRLARI SONiga TENG BO'LGAN holat uchun aniqlanadi.

Ta'rif. Tartibli A matritsa va B tartibli matritsaning ko‘paytmasi shunday tartibli C matritsa bo‘lib, uning har bir elementi A matritsaning i-qatori elementlari va mos keladigan elementlarning ko‘paytmalari yig‘indisiga teng bo‘ladi. B matritsasining j-ustun, ya'ni

Shunday qilib, tartib matritsasini tartib matritsasiga ko'paytirish operatsiyasining natijasi tartib matritsasi hisoblanadi.

Matritsani matritsaga ko'paytirish - misollar yechimlari.

Biz misollar yordamida matritsalarni ko'paytirish bilan shug'ullanamiz, shundan so'ng biz matritsani ko'paytirish operatsiyasining xususiyatlarini sanab o'tamiz.

va matritsalarini ko'paytirish orqali olingan C matritsaning barcha elementlarini toping.

A matritsaning tartibi p=3 ga n=2, B matritsaning tartibi n=2 ga q=4, shuning uchun bu matritsalarning ko‘paytmasi p=3 ga q=4 ga teng. Keling, formuladan foydalanamiz

Biz izchil ravishda har bir j uchun 1 dan 3 gacha (p=3 uchun) 1 dan 4 gacha (q=4 uchun) va bizning holatlarimizda n=2 qiymatlarni olamiz, keyin

Shunday qilib, C matritsasining barcha elementlari hisoblab chiqiladi va ikkita berilgan matritsani ko'paytirish natijasida olingan matritsa shaklga ega.

Matritsani ko'paytirishni bajarish va.

Asl matritsalarning tartiblari ko'paytirish operatsiyasini bajarishga imkon beradi. Natijada, biz 2 dan 3 gacha tartibli matritsani olishimiz kerak.

Matritsalar va berilgan. A va B matritsalar va B va A matritsalarining ko‘paytmasini toping.

A matritsaning tartibi 3 ga 1, B matritsasi esa 1 ga 3 bo‘lganligi sababli, A?B 3 ga 3, B va A matritsalarining ko‘paytmasi esa 1 ga 1 tartibli bo‘ladi.

Ko'rib turganingizdek, . Bu matritsani ko'paytirish amalining xususiyatlaridan biridir.

Matritsani ko'paytirish amalining xossalari.

Agar A, B va C matritsalari mos tartibli bo'lsa, matritsalarni ko'paytirish amalining quyidagi xossalari o'rinli bo'ladi.

Matritsani ko'paytirishning assotsiativlik xususiyati.

Ikki distributivlik xususiyati va.

Umuman olganda, matritsalarni ko'paytirish operatsiyasi kommutativ emas.

n ga n tartibli E tenglik matritsasi koʻpaytirish yoʻli bilan neytral element hisoblanadi, yaʼni p dan n gacha boʻlgan ixtiyoriy A matritsa uchun tenglik, n dan p tartibli ixtiyoriy A matritsa uchun tenglik toʻgʻri boʻladi.

Kvadrat matritsalar orasida almashtirish matritsalari deb ataladiganlar mavjud, ular uchun ko'paytirish operatsiyasi kommutativdir, ya'ni. O'rin almashish matritsalariga misol sifatida identifikatsiya matritsasi juftligi va bir xil tartibdagi boshqa matritsalar to'g'ri bo'ladi.

1-kurs Oliy matematika, biz o'qiymiz matritsalar va ular bo'yicha asosiy harakatlar. Bu erda matritsalar bilan bajarilishi mumkin bo'lgan asosiy operatsiyalarni tizimlashtiramiz. Matritsalarni qanday boshlash kerak? Albatta, eng oddiylaridan - ta'riflar, asosiy tushunchalar va eng oddiy operatsiyalar. Sizni ishontirib aytamizki, matritsalar ularga kamida bir oz vaqt ajratadigan har bir kishi tomonidan tushuniladi!

Matritsa ta'rifi

Matritsa elementlarning to'rtburchaklar jadvalidir. Xo'sh, agar oddiy til- raqamlar jadvali.

Matritsalar odatda katta lotin harflari bilan belgilanadi. Masalan, matritsa A , matritsa B va boshqalar. Matritsalar turli o'lchamlarda bo'lishi mumkin: to'rtburchaklar, kvadratlar, shuningdek, vektorlar deb ataladigan qator matritsalari va ustun matritsalari mavjud. Matritsaning o'lchami qatorlar va ustunlar soni bilan belgilanadi. Masalan, o'lchamdagi to'rtburchaklar matritsani yozamiz m ustida n , qayerda m qatorlar soni, va n ustunlar soni.

Buning uchun elementlar i=j (a11, a22, .. ) matritsaning bosh diagonalini hosil qiladi va diagonal deyiladi.

Matritsalar bilan nima qilish mumkin? Qo'shish/ayirish, raqamga ko'paytiring, o'zaro ko'payadi, ko'chirish. Endi matritsalar bo'yicha barcha asosiy operatsiyalar haqida.

Matritsalarni qo‘shish va ayirish amallari

Biz sizni darhol ogohlantiramiz, siz faqat bir xil o'lchamdagi matritsalarni qo'shishingiz mumkin. Natijada bir xil o'lchamdagi matritsa hosil bo'ladi. Matritsalarni qo'shish (yoki ayirish) oson - faqat ularga mos keladigan elementlarni qo'shing . Keling, bir misol keltiraylik. Ikkita kattalikdagi A va B matritsalarni ikkidan ikkiga qo‘shishni bajaramiz.

Ayirish analogiya bo'yicha, faqat qarama-qarshi belgi bilan amalga oshiriladi.

Har qanday matritsani ixtiyoriy raqamga ko'paytirish mumkin. Buning uchun, uning har bir elementini shu raqamga ko'paytirishingiz kerak. Masalan, birinchi misoldagi A matritsasini 5 raqamiga ko'paytiramiz:

Matritsalarni ko‘paytirish amali

Hamma matritsalarni bir-biri bilan ko'paytirib bo'lmaydi. Misol uchun, bizda ikkita matritsa bor - A va B. Ularni bir-biriga ko'paytirish mumkin, agar A matritsa ustunlari soni B matritsa satrlari soniga teng bo'lsa. Bundan tashqari, i-qator va j-ustundagi natijaviy matritsaning har bir elementi birinchi omilning i-qatori va ikkinchisining j-ustunidagi mos keladigan elementlarning koʻpaytmalari yigʻindisiga teng boʻladi.. Ushbu algoritmni tushunish uchun ikkita kvadrat matritsa qanday ko'paytirilishini yozamiz:

Va haqiqiy raqamlar bilan bir misol. Keling, matritsalarni ko'paytiramiz:

Matritsalarni transpozitsiyalash operatsiyasi

Matritsalarni transpozitsiya qilish - bu tegishli satrlar va ustunlar almashtiriladigan operatsiya. Masalan, biz birinchi misoldan A matritsasini almashtiramiz:

Matritsa determinanti

Aniqlovchi, ey determinant, chiziqli algebraning asosiy tushunchalaridan biridir. Bir marta odamlar o'ylab topdilar chiziqli tenglamalar, va ularning orqasida biz aniqlovchini ixtiro qilishimiz kerak edi. Oxir-oqibat, bularning barchasi bilan shug'ullanish sizga bog'liq, shuning uchun oxirgi surish!

Determinant kvadrat matritsaning raqamli xarakteristikasi bo'lib, u ko'p muammolarni hal qilish uchun zarurdir.
Eng oddiy kvadrat matritsaning determinantini hisoblash uchun asosiy va ikkilamchi diagonallar elementlarining mahsuloti orasidagi farqni hisoblash kerak.

Birinchi tartibli, ya'ni bir elementdan iborat matritsaning determinanti shu elementga teng.

Agar matritsa uchdan uch bo'lsa nima bo'ladi? Bu qiyinroq, lekin buni qilish mumkin.

Bunday matritsa uchun determinantning qiymati asosiy diagonalning elementlari va yuzi bosh diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklar ustida yotgan elementlarning ko'paytmalari yig'indisiga teng bo'lib, undan elementlarning mahsuloti olinadi. ikkilamchi diagonal va yuzi ikkilamchi diagonalga parallel bo'lgan uchburchaklar ustida yotgan elementlarning ko'paytmasi ayiriladi.

Yaxshiyamki, amalda katta matritsalarning determinantlarini hisoblash kamdan-kam hollarda kerak bo'ladi.

Bu erda matritsalar ustidagi asosiy amallarni ko'rib chiqdik. Albatta, haqiqiy hayotda siz hech qachon matritsali tenglamalar tizimiga ishora qila olmaysiz yoki aksincha, siz ko'proq narsani uchratishingiz mumkin. qiyin holatlar siz haqiqatan ham boshingizni sindirishingiz kerak bo'lganda. Aynan shunday holatlar uchun professional talabalar xizmati mavjud. Yordam so'rang, yuqori sifatli va batafsil yechimni oling, akademik muvaffaqiyat va bo'sh vaqtdan zavqlaning.

Matritsalar, ularning xossalari va ular ustida amallar haqidagi kirish mavzularini o‘rganib chiqqandan so‘ng, matritsalarni qo‘shish va ayirishning haqiqiy misollarini yechish orqali amaliy tajribaga ega bo‘lishimiz kerak. Olingan bilimlarni amalda mustahkamlab, quyidagi mavzularga o‘tish mumkin bo‘ladi.

Keling, oddiyroq muammolarni o'rganishni boshlaylik, asta-sekin murakkabroq masalalarga o'tamiz. Biz barcha harakatlarni sharhlaymiz va agar kerak bo'lsa, ba'zi o'zgarishlarni batafsilroq tushuntiradigan ba'zi izohlar beramiz.

Ushbu darsning maqsadlarini aniqlab, amaliyotga o'tamiz.

Misollar bo'yicha matritsalarni qo'shish:

1) Ikki matritsa qo'shing va natijani yozing.

Birinchi narsa, muammoning yechimi bor-yo'qligini aniqlashdir.

Ikki matritsaning o'lchamlari bir xil, ya'ni yechim bor.

Matritsaning elementlarini qo'shish orqali to'g'ridan-to'g'ri qo'shishga o'tamiz. Yakuniy yechim quyidagicha ko'rinadi:

Ko'rib turganimizdek, bu misolda 2 ta matritsaning qo'shilishi aniq ko'rsatilgan.
Keling, qo'shish bilan bog'liq muammoni biroz murakkabroq ko'rib chiqishga harakat qilaylik.

2) 2 ta "A" va "B" matritsalarini qo'shing

Matritsalarning o'lchamlari bir xil, shuning uchun siz qo'shishga o'tishingiz mumkin.
Qo'shish natijasi quyidagi rasmda ko'rsatilgan natija bo'ladi:

3) "A" va "B" matritsalarini qo'shing

Avval qilganimizdek, avval o'lchamni aniqlaymiz. "A" va "B" matritsalarining o'lchamlari bir xil, siz ularni qo'shishga o'tishingiz mumkin.

Matritsaning elementlari yuqorida echilgan misollardagi kabi qo'shiladi.
Taqdim etilgan muammoning yechimi quyidagicha ko'rinadi:

4) Matritsalarni qo'shing va javobni yozing.

Birinchidan, o'lchamlarni tekshiramiz. Biz "A" matritsasining o'lchami 3 × 2 (3 qator va 2 ustun) va "B" matritsasining o'lchami 2 × 3 ekanligini ko'ramiz, ya'ni ular teng emas, shuning uchun bu mumkin emas. "A" va "B" matritsalarini qo'shish uchun.
Javob: yechim yo'q.

5) Tenglikni isbotlang: A+B=B+A.
Xuddi shu o'lchamdagi matritsalar va quyidagicha ko'rinadi:

Birinchidan, A + B matritsasini, keyin esa B + A ni qo'shing, shundan so'ng biz natijani taqqoslaymiz.

Ko'rib turganimizdek, qo'shish natijasi aynan bir xil, ya'ni. atamalar joylarini almashtirishdan yig'indining qiymati o'zgarmaydi.
Biz buni avvalgi mavzuda Matritsa harakati xususiyatlari bo'limida yoritgan edik.

Misollar bo'yicha matritsani ayirish:

Matritsani ayirish qo'shish kabi oddiy emas, lekin juda oz farq qiladi.
Bitta matritsadan boshqasini ayirish uchun ular, birinchidan, bir xil o'lchamda bo'lishi kerak, ikkinchidan, ayirish quyidagi formula bo'yicha amalga oshiriladi: AB = A + (-1) B Ikkinchi matritsani qo'shish kerak. birinchisiga, bu raqamga (-bir) ko'paytiriladi.

Keling, buni misol bilan batafsil ko'rib chiqaylik.

6) “C” va “D” matritsalari orasidagi farqni toping.

Ikki matritsaning o'lchamlari bir xil, shuning uchun siz ayirishni boshlashingiz mumkin.
Buning uchun birinchi matritsadan ikkinchi matritsani ayirish kerak, bu raqam (-1) ga ko'paytiriladi. Siz va men bilganimizdek, bitta sonni matritsaga ko'paytirish uchun uning har bir elementini berilgan songa ko'paytirish kerak. To'liq yechim quyidagicha ko'rinadi:

Ushbu yechimdan ko'rinib turibdiki, ayirish matritsa qo'shish kabi oddiy amal bo'lib, o'quvchilardan faqat arifmetik bilimlarni talab qiladi, shuning uchun mutlaqo har bir talaba bu masalalarni hal qila oladi.

Bu darsni yakunlaydi va umid qilamizki, ushbu materialni o'qib chiqqandan so'ng va batafsil yechim taqdim etilgan vazifalar, endi siz matritsalarni osongina qo'shishingiz va ayirishingiz mumkin va bu mavzu siz uchun juda oddiy.