Setlar. To'plamlarda operatsiyalar.
Displeyni sozlash. Quvvatni o'rnating

Sizni yuqori algebra bo'yicha birinchi dars bilan tabriklayman, saytning besh yilligi arafasida, men matematika bo'yicha 150 dan ortiq maqolalar yaratganimdan so'ng va mening materiallarim tugallangan kursda shakllana boshlagan. . Biroq, men kechikmayman deb umid qilaman - axir, ko'p talabalar ma'ruzalarni faqat shu maqsadda o'rganishni boshlaydilar davlat imtihonlari =)

Vishmatning universitet kursi an'anaviy ravishda uchta ustunga asoslanadi:

– matematik tahlil (chegaralar, hosilalari va hokazo.)

- va nihoyat, 2015/16 o'quv yili mavsumi darslar bilan ochiladi Dummies uchun algebra, Matematik mantiqning elementlari, unda biz bo'limning asoslarini tahlil qilamiz, shuningdek, asosiy matematik tushunchalar va umumiy belgilar bilan tanishamiz. Aytishim kerakki, boshqa maqolalarda men "squiggles" ni suiiste'mol qilmayman. , ammo, bu shunchaki uslub va, albatta, ular har qanday holatda tan olinishi kerak =). Men yangi o'quvchilarga mening darslarim amaliyotga yo'naltirilganligini ma'lum qilaman va quyidagi material shu nuqtai nazardan taqdim etiladi. To'liqroq va akademik ma'lumot uchun murojaat qiling o'quv adabiyoti. Boring:

Kopgina. Misollar keltiring

To'plam nafaqat matematikaning, balki butun dunyoning asosiy tushunchasidir. Hoziroq qo'lingizdagi istalgan narsani oling. Bu erda sizda bitta elementdan iborat to'plam mavjud.

Keng ma’noda, to'plam - bir butun sifatida tushuniladigan ob'ektlar (elementlar) yig'indisi(muayyan belgilar, mezonlar yoki holatlarga ko'ra). Bundan tashqari, bu nafaqat moddiy ob'ektlar, balki harflar, raqamlar, teoremalar, fikrlar, his-tuyg'ular va boshqalar.

To'plamlar odatda bosh lotin harflari bilan belgilanadi. (variant sifatida, subscripts bilan: va hokazo), va uning elementlari jingalak qavs ichida yoziladi, masalan:

- rus alifbosidagi harflar to'plami;
- kopgina natural sonlar;

Xo'sh, bir-birimizni biroz bilish vaqti keldi:
- 1-qatorda ko'plab talabalar

… Sizning jiddiy va diqqatli yuzlaringizni ko'rganimdan xursandman =)

To'plamlar va mavjud final(cheklangan sonli elementlardan iborat) va to‘plam misol bo‘la oladi cheksiz to'plamlar. Bundan tashqari, nazariya va amaliyotda, deb atalmish bo'sh to'plam:

hech qanday elementni o'z ichiga olmaydigan to'plamdir.

Misol sizga yaxshi ma'lum - imtihondagi to'plam ko'pincha bo'sh =)

To'plamdagi elementning a'zoligi belgisi bilan ko'rsatiladi, masalan:

- "be" harfi rus alifbosining harflar to'plamiga tegishli;
- "beta" harfi emas rus alifbosining harflar to'plamiga tegishli;
– 5 soni natural sonlar to‘plamiga tegishli;
- lekin 5,5 raqami endi yo'q;
- Voldemar birinchi qatorda o'tirmaydi (va undan ham ko'proq, to'plamga tegishli emas yoki =)).

Abstrakt va unchalik emas algebrada to'plam elementlari kichik lotin harflari bilan belgilanadi va shunga ko'ra tegishlilik fakti quyidagi uslubda tuziladi:

– element to‘plamga tegishli.

Yuqoridagi to'plamlar yozilgan to'g'ridan-to'g'ri uzatish elementlar, lekin bu yagona yo'l emas. Ko'pgina to'plamlar ba'zilari yordamida qulay tarzda aniqlanadi belgisi (lar), bu xosdir uning barcha elementlariga. Misol uchun:

100 dan kichik barcha natural sonlar toʻplami.

Eslab qoling: uzun vertikal tayoq "qaysi", "bunday" og'zaki aylanmasini ifodalaydi. Ko'pincha uning o'rniga ikki nuqta qo'llaniladi: - keling, yozuvni rasmiyroq o'qib chiqamiz: " natural sonlar to'plamiga tegishli elementlar to'plami, shu kabi » . Barakalla!

Ushbu to'plam to'g'ridan-to'g'ri sanab o'tish orqali ham yozilishi mumkin:

Ko'proq misollar:
- va agar 1-qatorda juda ko'p talabalar bo'lsa, unda bunday yozuv ularni to'g'ridan-to'g'ri ro'yxatga olishdan ko'ra qulayroqdir.

intervalga tegishli sonlar to'plamidir. E'tibor bering, bu to'plamga tegishli yaroqli raqamlar (Ular haqida keyinroq), ularni endi vergul bilan ajratib sanab bo'lmaydi.

Shuni ta'kidlash kerakki, to'plam elementlari "bir hil" yoki mantiqiy jihatdan bog'liq bo'lishi shart emas. Katta sumka oling va tasodifiy ravishda unga turli xil narsalarni qo'yishni boshlang. Bunda muntazamlik yo'q, lekin shunga qaramay, biz turli mavzular haqida gapiramiz. Majoziy ma'noda, to'plam - bu alohida "paket" bo'lib, unda ma'lum bir narsalar to'plami "taqdirning irodasi bilan" bo'lib chiqdi.

Kichik to'plamlar

Nomning o'zidan deyarli hamma narsa aniq: to'plam pastki to'plam to'plamning har bir elementi to'plamga tegishli bo'lsa, o'rnating. Boshqacha qilib aytganda, to'plam to'plamda mavjud:

Belgi ikona deb ataladi kiritish.

Keling, rus alifbosining harflari to'plami bo'lgan misolga qaytaylik. Belgilang - uning unlilari to'plami. Keyin:

Bundan tashqari, undosh harflarning kichik to'plamini va umuman, tasodifiy (yoki tasodifiy bo'lmagan) kirill harflarining istalgan sonidan iborat ixtiyoriy kichik to'plamni ajratib ko'rsatish mumkin. Xususan, har qanday kirill harfi to'plamning kichik to'plamidir.

Kichik to'plamlar orasidagi munosabatlar shartli geometrik sxema yordamida qulay tarzda tasvirlangan Eyler doiralari.

1-qatorda talabalar to'plami bo'lsin, guruh talabalari va universitet talabalari to'plami bo'lsin. Keyin qo'shimchalar munosabati quyidagicha ifodalanishi mumkin:

Boshqa universitet talabalari to'plami tashqi doirani kesib o'tmaydigan doira sifatida tasvirlanishi kerak; ushbu ikkala doirani o'z ichiga olgan doiradagi mamlakat talabalarining ko'pligi va boshqalar.

Raqamli to'plamlarni ko'rib chiqishda biz qo'shimchalarning odatiy misolini ko'ramiz. Keling, takrorlaymiz maktab materiali Oliy matematikani o'rganishda yodda tutish muhim:

Raqamli to'plamlar

Ma'lumki, tarixan moddiy ob'ektlarni (odamlar, tovuqlar, qo'ylar, tangalar va boshqalar) hisoblash uchun mo'ljallangan natural sonlar birinchi bo'lib paydo bo'lgan. Ushbu to'plam allaqachon maqolada uchratilgan, yagona narsa shundaki, biz hozir uning nomini biroz o'zgartirmoqdamiz. Gap shundaki, raqamli to'plamlar odatda qalin, stilize qilingan yoki qalinlashgan harflar bilan belgilanadi. Men qalin foydalanishni afzal ko'raman:

Ba'zan nol natural sonlar to'plamiga kiritiladi.

Agar biz qarama-qarshi belgisi va nol bilan bir xil raqamlarni to'plamga qo'shsak, biz olamiz butun sonlar to'plami:

Ratsionalizatorlar va dangasalar uning elementlarini piktogramma bilan yozadilar "ortiqcha minus":))

Tabiiy sonlar to'plami butun sonlar to'plamining kichik to'plami ekanligi aniq:
- chunki to'plamning har bir elementi to'plamga tegishli. Shunday qilib, har qanday natural sonni xavfsiz butun son deb atash mumkin.

To'plamning nomi ham "gaplashmoqda": butun sonlar - bu kasrlar yo'q degan ma'noni anglatadi.

Va ular butun son bo'lishi bilanoq, biz deyarli har kuni amaliy hisob-kitoblarda talab qilinadigan 2, 3, 4, 5 va 10 ga bo'linishning muhim belgilarini darhol eslaymiz:

Butun son 2 ga qoldiqsiz bo'linadi agar u 0, 2, 4, 6 yoki 8 bilan tugasa (ya'ni har qanday juft raqam). Masalan, raqamlar:
400, -1502, -24, 66996, 818 - qoldiqsiz 2 ga bo'linadi.

Va darhol "tegishli" belgini tahlil qilaylik: butun son 4 ga bo'linadi agar raqam uning oxirgi ikki raqamidan iborat bo'lsa (o'z tartibida) 4 ga bo'linadi.

400 soni 4 ga bo'linadi (chunki 00 (nol) 4 ga bo'linadi);
-1502 - 4 ga bo'linmaydi (chunki 02 (ikki) 4 ga bo'linmaydi);
-24, albatta, 4 ga bo'linadi;
66996 - 4 ga bo'linadi (chunki 96 soni 4 ga bo'linadi);
818 - 4 ga bo'linmaydi (chunki 18 4 ga bo'linmaydi).

Ushbu fakt uchun o'zingizning oddiy asosingizni yarating.

3 ga bo'linish biroz qiyinroq: agar butun son 3 ga qoldiqsiz bo'linadi uning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadi.

27901 soni 3 ga bo'linishini tekshirib ko'ramiz. Buning uchun uning raqamlarini jamlaymiz:
2 + 7 + 9 + 0 + 1 = 19 - 3 ga bo'linmaydi
Xulosa: 27901 3 ga bo'linmaydi.

-825432 raqamining raqamlarini yig'amiz:
8 + 2 + 5 + 4 + 3 + 2 = 24 - 3 ga bo'linadi
Xulosa: -825432 soni 3 ga bo'linadi

Butun son 5 ga bo'linadi, agar u besh yoki nol bilan tugasa:
775, -2390 - 5 ga bo'linadi

Butun son 10 ga bo'linadi agar u nol bilan tugasa:
798400 - 10 ga bo'linadi (va aniq 100 da). Xo'sh, ehtimol hamma eslaydi - 10 ga bo'lish uchun siz bitta nolni olib tashlashingiz kerak: 79840

6, 8, 9, 11 va boshqalarga bo'linish belgilari ham mavjud, ammo ulardan amaliy ma'no yo'q =)

Shuni ta'kidlash kerakki, sanab o'tilgan mezonlar (juda oddiy ko'rinadi) qat'iy isbotlangan. raqamlar nazariyasi. Algebraning bu bo'limi odatda juda qiziq, lekin uning teoremalari ... shunchaki zamonaviy xitoycha ijro =) Va Voldemar oxirgi stolda etarli edi ... lekin hammasi joyida, tez orada biz hayot baxsh etadigan jismoniy mashqlar qilamiz =)

Keyingi raqam to'plami kopgina ratsional sonlar :
- ya'ni har qanday ratsional sonni butun sonli kasr shaklida ifodalash mumkin hisoblagich va tabiiy maxraj.

Shubhasiz, butun sonlar to'plami pastki to'plam Ratsional sonlar to'plami:

Va aslida - har qanday butun sonni ratsional kasr sifatida ko'rsatish mumkin, masalan: va hokazo. Shunday qilib, butun sonni qonuniy ravishda ratsional son deb atash mumkin.

Ratsional sonning o'ziga xos "aniqlovchi" belgisi shundan iboratki, hisoblagichni maxrajga bo'lishda bittasi olinadi.
butun son,

yoki
– yakuniy kasr,

yoki
- cheksiz davriy nashr kasr (takrorlash darhol boshlanmasligi mumkin).

Bo'linishga qoyil qoling va bu harakatni iloji boricha kamroq bajarishga harakat qiling! Tashkiliy maqolada Dummies uchun oliy matematika va boshqa darslarda men bu mantrani qayta-qayta takrorladim, takrorlayman va takrorlayman:

IN oliy matematika biz barcha harakatlarni oddiy (to'g'ri va noto'g'ri) kasrlarda bajarishga intilamiz

Kasr bilan ishlashdan ko'ra qulayroq ekanligiga rozi bo'ling kasrli raqam 0,375 (cheksiz kasrlar haqida gapirmasa ham).

Keling, oldinga boraylik. Mantiqiy bo'lganlardan tashqari, ko'plari bor irratsional sonlar, ularning har biri cheksiz sifatida ifodalanishi mumkin davriy bo'lmagan o'nlik kasr. Boshqacha qilib aytganda, irratsional sonlarning "cheksiz dumlari"da qonuniyat yo'q:
("Lev Tolstoyning tug'ilgan yili" ikki marta)
va hokazo.

Mashhur "pi" va "e" doimiylari haqida juda ko'p ma'lumotlar mavjud, shuning uchun men ular haqida to'xtalmayman.

Ratsional va irratsional sonlarning birlashuvi shakllari haqiqiy (haqiqiy) raqamlar to'plami:

- belgi uyushmalar to'plamlar.

To'plamning geometrik talqini sizga tanish - bu raqam chizig'i:


Har bir haqiqiy son son qatorining ma'lum bir nuqtasiga to'g'ri keladi va aksincha - son chizig'ining har bir nuqtasi, albatta, qandaydir haqiqiy songa mos keladi. Umuman olganda, men hozir shakllantirdim uzluksizlik xususiyati haqiqiy raqamlar, bu ravshan ko'rinsada, matematik tahlil jarayonida qat'iy isbotlangan.

Son qatori ham cheksiz oraliq bilan belgilanadi va yozuv yoki ekvivalent belgi uning haqiqiy sonlar to‘plamiga tegishli ekanligini ramziy qiladi. (yoki oddiygina "x" - haqiqiy raqam).

O'rnatish bilan hamma narsa shaffof: ratsional sonlar to'plami pastki to'plam Haqiqiy sonlar to'plami:
, shunday qilib, har qanday ratsional sonni ishonchli son deb atash mumkin.

Irratsional sonlar to'plami ham pastki to'plam haqiqiy raqamlar:

Shu bilan birga, kichik to'plamlar va kesishmang- ya'ni hech qanday irratsional sonni ratsional kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi.

Boshqa sanoq tizimlari bormi? Mavjud! Bu, masalan, murakkab sonlar, bu bilan yaqin kunlarda yoki hatto soatlarda tom ma'noda o'qishni tavsiya qilaman.

Shu bilan birga, biz ushbu bo'lim oxirida ruhi allaqachon paydo bo'lgan to'plam operatsiyalarini o'rganishga murojaat qilamiz:

To'plamlardagi harakatlar. Venn diagrammasi

Venn diagrammasi (Eyler doiralariga o'xshash) to'plamlar bilan harakatlarning sxematik tasviridir. Yana bir bor ogohlantiramanki, men barcha operatsiyalarni qamrab olmayman:

1) chorraha VA va bilan belgilanadi

To'plamlarning kesishishi har bir elementi tegishli bo'lgan to'plam deb ataladi Va o'rnatish, Va o'rnating. Taxminan aytganda, kesishma to'plamlarning umumiy qismidir:

Shunday qilib, masalan, to'plamlar uchun:

Agar to'plamlarda bir xil elementlar bo'lmasa, ularning kesishishi bo'sh bo'ladi. Raqamli to'plamlarni ko'rib chiqishda biz shunday misolga duch keldik:

Ratsional va irratsional sonlar to‘plamini sxematik tarzda bir-biriga o‘xshamaydigan ikkita aylana bilan ifodalash mumkin.

Chorraha operatsiyasi ko'proq to'plamlar uchun qo'llaniladi, xususan, Vikipediya yaxshi. uchta alifbodagi harflar to'plamining kesishishiga misol.

2) ittifoq to'plamlar mantiqiy bog'lanish bilan tavsiflanadi YOKI va bilan belgilanadi

To'plamlar birlashmasi har bir elementi to'plamga tegishli bo'lgan to'plamdir yoki o'rnatish:

To'plamlar birlashmasini yozamiz:
- taxminan qilib aytganda, bu erda siz to'plamlarning barcha elementlarini sanab o'tishingiz kerak va , va bir xil elementlar (bu holda, to'plamlar kesishmasidagi birlik) bir marta belgilanishi kerak.

Ammo to'plamlar, albatta, ratsional va irratsional sonlarda bo'lgani kabi, kesishmasligi ham mumkin:

Bunday holda, siz ikkita kesishmaydigan soyali doira chizishingiz mumkin.

Birlashma operatsiyasi ko'proq to'plamlar uchun qo'llaniladi, masalan, agar , keyin:

Raqamlar o'sish tartibida bo'lishi shart emas. (Men buni faqat estetik sabablarga ko'ra qildim). Ko'p vaqt o'tkazmasdan, natijani quyidagicha yozish mumkin:

3) farq Va to'plamga tegishli emas:

Farqi quyidagicha o'qiladi: "a without be". Va siz xuddi shu tarzda bahslashishingiz mumkin: to'plamlarni ko'rib chiqing. Farqni yozish uchun siz to'plamdagi barcha elementlarni to'plamdan "tashlab qo'yishingiz" kerak:

Raqamli to'plamlarga misol:
- bu erda barcha natural sonlar butun sonlar to'plamidan chiqarib tashlanadi va yozuvning o'zi shunday o'qiladi: "naturlar to'plamisiz butun sonlar to'plami".

Oyna: farq to'plamlar va har bir elementi to'plamga tegishli bo'lgan to'plamni chaqiradi Va to'plamga tegishli emas:

Xuddi shu to'plamlar uchun
- to'plamdan to'plamda nima bor "tashlab yuborilgan".

Ammo bu farq bo'sh bo'lib chiqadi: . Va aslida - agar natural sonlar to'plamidan butun sonlar chiqarib tashlansa, unda aslida hech narsa qolmaydi :)

Bundan tashqari, ba'zan o'ylab ko'ring simmetrik ikkala "hilol" ni birlashtirgan farq:
- boshqacha qilib aytganda, bu "to'plamlar kesishmasidan boshqa hamma narsa".

4) Dekart (to'g'ridan-to'g'ri) mahsulot to'plamlar va to'plam deyiladi hammasi tartibli element va element bo'lgan juftliklar

Keling, yozamiz kartezyen mahsulot to'plamlar:
- juftlarni quyidagi algoritm bo‘yicha sanab o‘tish qulay: “avval to‘plamning har bir elementini ketma-ket to‘plamning 1-elementiga biriktiramiz, so‘ngra to‘plamning har bir elementini to‘plamning 2-elementiga biriktiramiz, keyin to‘plamning har bir elementini to‘plamning 3-elementiga biriktiring»:

Oyna: Dekart mahsuloti to'plamlar to'plami va barchaning to'plami deb ataladi tartibli qaysi juftliklar. Bizning misolimizda:
- bu erda yozish sxemasi o'xshash: birinchi navbatda, biz to'plamning barcha elementlarini ketma-ket "minus bir", keyin "de" ga biriktiramiz - bir xil elementlar:

Ammo bu faqat qulaylik uchun - ikkala holatda ham juftliklar har qanday tartibda ro'yxatga olinishi mumkin - bu erda yozish muhimdir. hammasi mumkin bo'lgan juftliklar.

Va endi dasturning diqqatga sazovor tomoni: Dekart mahsuloti bizning ona tilimizdagi nuqtalar to'plamidan boshqa narsa emas Dekart koordinata tizimi .

Vazifa O'z-o'zidan mahkamlanadigan material uchun:

Operatsiyalarni bajaring, agar:

Kopgina elementlarini sanab o'tish orqali tavsiflash qulay.

Va haqiqiy sonlar oraliqlari bilan moda:

Eslatib o'tamiz, kvadrat qavs degani kiritish raqamlar oralig'iga, va dumaloq - bu chiqarish, ya'ni "minus bir" to'plamga tegishli va "uch" emas to‘plamga tegishli. Ushbu to'plamlarning Dekart mahsuloti nima ekanligini aniqlashga harakat qiling. Agar sizda biron bir qiyinchilik bo'lsa, chizmaga amal qiling;)

Dars oxiridagi muammoning qisqacha yechimi.

Displeyni sozlash

Displey o'rnatish uchun belgilangan qoida, unga ko'ra to'plamning har bir elementi to'plamning elementi (yoki elementlari) bilan bog'langan. Agar u mos keladigan bo'lsa yagona element, bu qoida deyiladi aniq belgilangan funktsiya yoki shunchaki funktsiyasi.

Funktsiya, ko'pchilik biladi, ko'pincha harf bilan belgilanadi - u bog'lanadi har biriga element to'plamga tegishli yagona qiymatdir.

Xo'sh, endi men 1-qatorning ko'plab talabalarini yana bezovta qilaman va ularga referatlar uchun 6 ta mavzuni taklif qilaman (to'plam):

Oʻrnatilgan (ixtiyoriy yoki beixtiyor =)) qoida to'plamning har bir talabasini to'plam konspektining bitta mavzusi bilan bog'laydi.

…va siz funktsiya argumenti rolini o'ynashingizni tasavvur ham qila olmadingiz =) =)

To'plam shaklining elementlari domen funktsiyalari ( bilan belgilanadi) va to'plam elementlari - diapazon funktsiyalari (belgilangan).

To'plamlarning tuzilgan xaritasi juda muhim xususiyatga ega: shunday birma-bir yoki ikki tomonlama(bijeksiyon). Ushbu misolda bu shuni anglatadi har biriga talaba tenglashtiriladi bitta noyob insho mavzusi va aksincha - har biriga referat mavzusi bo'yicha bitta va bitta talaba belgilanadi.

Biroq, har bir xaritalash ikki tomonlama deb o'ylamaslik kerak. Agar 1-qatorga (to'plamga) 7-o'quvchi qo'shilsa, u holda birma-bir yozishmalar yo'qoladi - yoki talabalardan biri mavzusiz qoladi. (umuman ko'rsatilmaydi), yoki biron bir mavzu bir vaqtning o'zida ikkita talabaga o'tadi. Qarama-qarshi holat: agar to'plamga ettinchi mavzu qo'shilsa, u holda birma-bir xaritalash ham yo'qoladi - mavzulardan biri talab qilinmagan holda qoladi.

Hurmatli talabalar, 1-qatorda, xafa bo'lmang - darsdan keyin qolgan 20 kishi universitet hududini kuzgi barglardan tozalashga boradi. Ta'minot menejeri yigirmata golik beradi, shundan so'ng guruhning asosiy qismi va supurgi o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatiladi ... va Voldemar ham do'konga yugurishga ulguradi =)). noyob"y" va aksincha - "y" ning har qanday qiymati uchun biz "x" ni aniq tiklashimiz mumkin. Shunday qilib, bu bijektiv funktsiyadir.

! Har holda, men yuzaga kelishi mumkin bo'lgan tushunmovchilikni bartaraf etaman: ko'lamdagi doimiy rezervasyonim tasodifiy emas! Funktsiya barcha "x" uchun aniqlanmagan bo'lishi mumkin va bundan tashqari, bu holda ham bir-bir bo'lishi mumkin. Oddiy misol:

Lekin da kvadratik funktsiya Bu kabi hech narsa kuzatilmaydi, birinchidan:
- ya'ni "x" ning turli qiymatlari ko'rsatilgan bir xil"y" ma'nosi; va ikkinchidan: agar kimdir funktsiyaning qiymatini hisoblab, bizga buni aytgan bo'lsa, unda aniq emas - bu "y" da yoki da olingan? Aytishga hojat yo'q, bu erda o'zaro noaniqlik hidi ham yo'q.

Vazifa 2: ko'rinish asosiy elementar funksiyalarning grafiklari va qog'ozga bijektiv funktsiyalarni yozing. Ushbu dars oxirida nazorat ro'yxati.

Quvvatni o'rnating

Sezgi shuni ko'rsatadiki, bu atama to'plamning hajmini, ya'ni uning elementlari sonini tavsiflaydi. Va sezgi bizni aldamaydi!

Bo'sh to'plamning kardinalligi nolga teng.

To'plamning kardinalligi oltita.

Rus alifbosidagi harflar to'plamining kuchi o'ttiz uch.

Umuman olganda, har qanday kuch final to'plam ushbu to'plamning elementlari soniga teng.

..., ehtimol, hamma ham nima ekanligini to'liq tushunmaydi final to'plam - agar siz ushbu to'plamning elementlarini sanashni boshlasangiz, ertami-kechmi hisoblash tugaydi. Nima deyiladi va xitoylar bir kun tugaydi.

Albatta, to'plamlarni kardinallikda solishtirish mumkin va bu ma'noda ularning tengligi deyiladi teng kuch. Ekvivalentlik quyidagicha aniqlanadi:

Ikki to'plam ekvivalent hisoblanadi, agar ular o'rtasida birma-bir yozishmalar o'rnatilishi mumkin bo'lsa..

Talabalar to'plami mavhum mavzular to'plamiga, rus alifbosi harflari to'plami 33 elementdan iborat har qanday to'plamga tengdir va hokazo. Aniq nimaga e'tibor bering har kim 33 ta elementdan iborat to'plam - bu holda faqat ularning soni muhimdir. Rus alifbosining harflarini nafaqat ko'plab raqamlar bilan solishtirish mumkin
1, 2, 3, ..., 32, 33, lekin umuman olganda 33 sigir podasi bilan.

Cheksiz to'plamlar bilan narsalar ancha qiziqroq. Cheksizliklar ham boshqacha! ...yashil va qizil "Eng kichik" cheksiz to'plamlar hisoblash to'plamlar. Agar bu juda oddiy bo'lsa, bunday to'plamning elementlarini raqamlash mumkin. Malumot misoli natural sonlar to'plamidir . Ha - bu cheksiz, lekin PRINCIPLEdagi uning har bir elementi raqamga ega.

Bunga misollar ko‘p. Xususan, barcha juft natural sonlar to'plami sanab bo'ladi. Buni qanday isbotlash mumkin? Uning natural sonlar to'plami bilan yakkama-yakka mosligini o'rnatish yoki oddiygina elementlarni raqamlash kerak:

Yakkama-yakka yozishmalar o'rnatiladi, shuning uchun to'plamlar ekvivalent va to'plam hisoblanishi mumkin. Bu paradoksal, ammo kuch nuqtai nazaridan - tabiiy raqamlar kabi, hatto tabiiy sonlar ham ko'p!

Butun sonlar to'plamini ham sanash mumkin. Uning elementlarini raqamlash mumkin, masalan:

Bundan tashqari, ratsional sonlar to'plami ham hisoblanishi mumkin. . Numerator butun son bo'lgani uchun (va ko'rsatilganidek, ularni raqamlash mumkin), va maxraj natural son bo'lsa, ertami-kechmi biz har qanday ratsional kasrga "olamiz" va unga raqam beramiz.

Ammo haqiqiy raqamlar to'plami allaqachon mavjud son-sanoqsiz, ya'ni. uning elementlarini raqamlash mumkin emas. Bu haqiqat aniq bo'lsa-da, to'plamlar nazariyasida qat'iy isbotlangan. Haqiqiy sonlar to'plamining kardinalligi ham deyiladi davomiylik, va sanaladigan to'plamlar bilan solishtirganda, bu "cheksizroq" to'plamdir.

To'plam va son qatori o'rtasida yakkama-yakka moslik mavjud bo'lgani uchun (yuqoriga qarang), u holda haqiqiy chiziqning nuqtalar to'plami ham bo'ladi son-sanoqsiz. Bundan tashqari, bir kilometr va millimetr segmentida bir xil miqdordagi nuqtalar mavjud! Klassik misol:


Nurni soat sohasi farqli ravishda nurga to'g'ri kelguncha aylantirib, biz ko'k segmentlarning nuqtalari o'rtasida birma-bir yozishmalarni o'rnatamiz. Shunday qilib, segmentda qancha nuqta bo'lsa, segmentda qancha nuqta bor va !

Bu paradoks, aftidan, cheksizlik siri bilan bog'liq ... lekin endi biz koinot muammolari bilan bezovtalanmaymiz, chunki keyingi qadam

Vazifa 2 Dars illyustratsiyasidagi birma-bir funksiyalar

I. To'plam - bu ba'zi ob'ektlar yoki raqamlar yig'indisi bo'lib, ba'zilariga ko'ra tuzilgan umumiy xususiyatlar yoki qonunlar (sahifadagi ko'p harflar, maxrajli ko'plab to'g'ri kasrlar). 5 , osmondagi ko'plab yulduzlar va boshqalar).

To'plamni yozish uchun jingalak qavslardan foydalaniladi: «{ »- to'plam ochiladi; "}" — to'plam yopiq. Va to'plamning o'zi katta lotin harflari deb ataladi: A, B, C va boshqalar.

Misollar.

1 . Yozish to'plami LEKIN, so'zdagi barcha unlilardan iborat "matematika".

Yechim. A \u003d (a, e, u). Ko'ryapsizmi: so'zda shunga qaramay "matematika" uchta harf bor "lekin"- yozuvda va xatda bir necha marta takrorlashga yo'l qo'yilmaydi "lekin" faqat bir marta yozib olinadi. Kopgina LEKIN uch elementdan iborat.

2. Barcha to'g'ri kasrlar to'plamini maxraji bilan yozing 5 .

Yechim. Esingizda bo'lsin: oddiy kasr oddiy kasr deyiladi, unda hisoblagich maxrajdan kichikdir. tomonidan belgilang IN kerakli to'plam. Keyin:

Kopgina IN to'rt elementdan iborat.

II. To'plamlar elementlardan iborat bo'lib, ular chekli yoki cheksizdir. Hech qanday elementi bo'lmagan to'plam bo'sh to'plam deb ataladi va belgilanadi Ø.

III. Kopgina IN to'plamning kichik to'plami deb ataladi LEKIN to'plamning barcha elementlari bo'lsa IN to‘plamning elementlari hisoblanadi LEKIN.

3. Berilgan ikkita to'plamdan qaysi biri IN Va FROM TO,

agar IN={-1; 3; 4}, C={0; 3; 4; 5), K={0; 2; 3; 4; 5; 6} ?

Yechim. To'plamning barcha elementlari FROM ham to‘plamning elementlari hisoblanadi TO, shuning uchun, to'plam FROM to‘plamning kichik to‘plamidir TO. Yozing:

IV. Chorraha belgilang LEKIN Va IN elementlari to‘plamga tegishli to‘plamdir LEKIN va ko'p IN.

4. Ikki to'plamning kesishishini ko'rsating M Va F Eyler doiralaridan foydalanish.

Yechim.

Keng xilma-xilligidan to'plamlar deb ataladiganlar alohida qiziqish uyg'otadi raqamlar to'plami, ya'ni elementlari sonlar bo'lgan to'plamlar. Ular bilan qulay ishlash uchun siz ularni yozib olishingiz kerakligi aniq. Raqamli to'plamlarni yozish va yozish tamoyillari bilan biz ushbu maqolani boshlaymiz. Keyin koordinata chizig'ida sonli to'plamlar qanday tasvirlanganligini ko'rib chiqamiz.

Sahifani navigatsiya qilish.

Raqamli to'plamlarni yozish

Qabul qilingan belgidan boshlaylik. Ma'lumki, lotin alifbosining bosh harflari to'plamlarni belgilash uchun ishlatiladi. To'plamlarning maxsus holati sifatida sonli to'plamlar ham belgilanadi. Masalan, A , H , W va hokazo sonli to'plamlar haqida gapirishimiz mumkin. Tabiiy, butun, ratsional, real, to'plamlar alohida ahamiyatga ega. murakkab sonlar va boshqalar, ularning belgilari ular uchun qabul qilindi:

• N - barcha natural sonlar to'plami;
• Z - butun sonlar to'plami;
• Q - ratsional sonlar to'plami;
• J - irratsional sonlar to'plami;
• R - haqiqiy sonlar to'plami;
• C - kompleks sonlar to'plami.

Bundan ko'rinib turibdiki, masalan, ikkita 5 va -7 raqamlaridan iborat to'plamni Q deb belgilash shart emas, bu belgi noto'g'ri bo'ladi, chunki Q harfi odatda barcha ratsional sonlar to'plamini bildiradi. Belgilangan raqamli to'plamni belgilash uchun boshqa "neytral" harfdan foydalanish yaxshiroqdir, masalan, A.

Belgilash haqida gap ketayotganligi sababli, bu erda bo'sh to'plamning, ya'ni elementlari bo'lmagan to'plamning yozuvini ham eslaymiz. U ∅ belgisi bilan belgilanadi.

To'plamdagi elementning a'zolik va a'zo bo'lmaganlik belgilarini ham eslaylik. Buning uchun ∈ - tegishli va ∉ - tegishli emas belgilaridan foydalaning. Masalan, 5∈N yozuvi 5 raqamining natural sonlar to'plamiga tegishli ekanligini, 5,7∉Z - o'nlik kasr 5,7 butun sonlar to'plamiga tegishli emasligini bildiradi.

Keling, bir to'plamni boshqasiga kiritish uchun qabul qilingan belgini ham eslaylik. Ko'rinib turibdiki, N to'plamning barcha elementlari Z to'plamga kiritilgan, shuning uchun raqam to'plami N Z tarkibiga kiradi, bu N⊂Z sifatida belgilanadi. Z⊃N yozuvidan ham foydalanishingiz mumkin, ya'ni Z barcha butun sonlar to'plami N to'plamini o'z ichiga oladi. Kirilmagan va kiritilmagan munosabatlar mos ravishda ⊄ va belgilari bilan belgilanadi. ⊆ va ⊇ shakllarining qat'iy bo'lmagan qo'shish belgilari ham qo'llaniladi, ular mos ravishda kiritilgan yoki mos keladi va o'z ichiga oladi yoki mos keladi.

Belgilanish haqida gapirdik, keling, sonli to'plamlarning tavsifiga o'tamiz. Bunday holda, biz faqat amaliyotda eng ko'p qo'llaniladigan asosiy holatlarga to'xtalamiz.

Cheklangan va kichik sonli elementlarni o'z ichiga olgan sonli to'plamlardan boshlaylik. Cheklangan sonli elementlardan tashkil topgan sonli to'plamlarni ularning barcha elementlarini sanab o'tish orqali qulay tasvirlash mumkin. Barcha raqam elementlari vergul bilan ajratilgan va ichiga yoziladi, bu umumiy bilan mos keladi tavsif qoidalarini belgilang. Masalan, 0, −0,25 va 4/7 uchta sondan iborat to‘plamni (0, −0,25, 4/7) deb ta’riflash mumkin.

Ba'zan, sonli to'plamning elementlari soni etarlicha katta bo'lsa, lekin elementlar qandaydir naqshga bo'ysunsa, tasvirlash uchun ellipsis ishlatiladi. Masalan, 3 dan 99 gacha bo'lgan barcha toq sonlar to'plamini (3, 5, 7, ..., 99) shaklida yozish mumkin.

Shunday qilib, biz elementlari soni cheksiz bo'lgan sonli to'plamlarning tavsifiga muammosiz yaqinlashdik. Ba'zan ularni bir xil ellips yordamida tasvirlash mumkin. Masalan, barcha natural sonlar to'plamini tasvirlaymiz: N=(1, 2. 3, …) .

Shuningdek, ular sonli to'plamlarning tavsifini uning elementlarining xususiyatlarini ko'rsatish orqali ishlatadilar. Bunda (x| xossalari) yozuvidan foydalaniladi. Masalan, yozuv (n| 8 n+3, n∈N) shunday natural sonlar to‘plamini belgilaydi, ular 8 ga bo‘linganda 3 ning qoldig‘ini beradi. Xuddi shu to'plamni (11,19, 27, ...) sifatida tavsiflash mumkin.

Maxsus holatlarda cheksiz sonli elementlarga ega sonli to'plamlar ma'lum N , Z , R va boshqalar to'plamlardir. yoki raqamli bo'shliqlar. Va umuman, sonli to'plamlar sifatida ifodalanadi ittifoq ularni tashkil etuvchi individual raqamli intervallar va chekli sonli elementlarga ega sonli to'plamlar (bu haqida biz biroz yuqoriroq gaplashdik).

Keling, misol keltiraylik. Raqamlar to'plami −10 , −9 , −8.56 , 0 raqamlari, [−5, −1.3] oraliqning barcha raqamlari va ochiq sonlar nurining raqamlari (7, +∞) boʻlsin. To'plamlar birlashmasining ta'rifi tufayli ko'rsatilgan sonlar to'plami quyidagicha yozilishi mumkin {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . Bunday belgi aslida to'plamlarning barcha elementlarini o'z ichiga olgan to'plamni bildiradi (−10, −9, −8,56, 0) , [−5, −1,3] va (7, +∞) .

Xuddi shunday, turli sonli diapazonlar va individual sonlar to'plamini birlashtirib, har qanday sonlar to'plamini (haqiqiy sonlardan iborat) tasvirlash mumkin. Bu erda nima uchun oraliq, yarim interval, segment, ochiq raqamli nur va sonli nur kabi sonli intervallarning turlari kiritilganligi aniq bo'ladi: ularning barchasi individual raqamlar to'plamining yozuvlari bilan birgalikda buni amalga oshirishga imkon beradi. har qanday sonli to'plamlarni ularning birlashuvi orqali tasvirlash.

E'tibor bering, sonlar to'plamini yozishda uning tashkil etuvchi raqamlari va son oraliqlari o'sish tartibida tartiblanadi. Bu majburiy emas, lekin kerakli shart, chunki tartiblangan sonlar to'plamini koordinata chizig'ida tasvirlash va tasvirlash osonroq. Shuni ham yodda tutingki, bunday yozuvlar umumiy elementlarga ega raqamli diapazonlardan foydalanmaydi, chunki bunday yozuvlarni umumiy elementlarsiz raqamli diapazonlar birlashmasi bilan almashtirish mumkin. Masalan, umumiy elementlar [−10, 0] va (−5, 3) boʻlgan sonli toʻplamlarning birlashuvi yarim oraliq [−10, 3) dir. Xuddi shu narsa sonli intervallarni bir xil chegara raqamlari bilan birlashtirish uchun ham amal qiladi, masalan, birlashma (3, 5]∪(5, 7] to'plamdir (3, 7] , biz buni o'rganganimizda alohida to'xtalib o'tamiz. sonli to'plamlarning kesishuvi va birlashmasini toping.

Koordinata chizig'idagi raqamlar to'plamining tasviri

Amalda, sonli to'plamlarning geometrik tasvirlaridan foydalanish qulay - ularning tasvirlari . Masalan, qachon tengsizliklarni yechish, unda ODZni hisobga olish kerak, ularning kesishishini va / yoki birlashmasini topish uchun raqamli to'plamlarni tasvirlash kerak. Shunday qilib, sonli to'plamlarni koordinata chizig'ida tasvirlashning barcha nuanslarini yaxshi tushunish foydali bo'ladi.

Ma'lumki, koordinata chizig'i nuqtalari va haqiqiy sonlar o'rtasida birma-bir moslik mavjud, ya'ni koordinata chizig'ining o'zi geometrik model barcha haqiqiy sonlar to'plami R . Shunday qilib, barcha haqiqiy raqamlar to'plamini tasvirlash uchun uning butun uzunligi bo'ylab lyuk bilan koordinata chizig'ini chizish kerak:

Va ko'pincha ular kelib chiqishi va bitta segmentni ham ko'rsatmaydi:

Keling, ayrim sonli individual sonlar bo'lgan sonli to'plamlar tasviri haqida gapiraylik. Masalan, raqamlar to'plamini chizamiz (−2, −0,5, 1,2) . Ushbu to'plamning uchta -2, -0,5 va 1,2 raqamlaridan iborat geometrik tasviri mos keladigan koordinatali koordinata chizig'ining uchta nuqtasi bo'ladi:

E'tibor bering, odatda amaliyot ehtiyojlari uchun chizmani aniq bajarishga hojat yo'q. Ko'pincha sxematik chizma etarli bo'ladi, ya'ni o'lchovni saqlab qolish shart emas, faqat uni saqlash muhimdir. o'zaro tartibga solish bir-biriga nisbatan nuqtalar: kichikroq koordinatali har qanday nuqta kattaroq koordinatali nuqtaning chap tomonida bo'lishi kerak. Oldingi chizma sxematik tarzda quyidagicha ko'rinadi:

Alohida, barcha mumkin bo'lgan sonli to'plamlardan ularning geometrik tasvirlarini ifodalovchi sonli intervallar (intervallar, yarim intervallar, nurlar va boshqalar) ajralib turadi, biz bo'limda batafsil ko'rib chiqdik. Biz bu erda o'zimizni takrorlamaymiz.

Va faqat bir nechta sonli intervallar va alohida raqamlardan iborat to'plamlarning birlashmasi bo'lgan sonli to'plamlar tasviri ustida to'xtash qoladi. Bu erda hech qanday qiyin narsa yo'q: birlashmaning ma'nosiga ko'ra, bu holatlarda koordinata chizig'ida siz berilgan sonlar to'plamining barcha tarkibiy qismlarini tasvirlashingiz kerak. Misol tariqasida raqamlar to'plamining tasvirini ko'rsatamiz (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5)∪(17, +∞) :

Va keling, bir yoki bir nechta nuqtadan tashqari, tasvirlangan sonlar to'plami haqiqiy raqamlarning butun to'plami bo'lgan juda keng tarqalgan holatlarga to'xtalib o'tamiz. Bunday to'plamlar odatda x≠5 yoki x≠−1 , x≠2 , x≠3,7 va boshqalar kabi shartlar bilan belgilanadi. Bunday hollarda, geometrik jihatdan, ular mos keladigan nuqtalar bundan mustasno, butun koordinata chizig'ini ifodalaydi. Boshqacha qilib aytganda, bu nuqtalar koordinata chizig'idan "teshilgan" bo'lishi kerak. Ular markazi bo'sh doiralar sifatida tasvirlangan. Aniqlik uchun biz shartlarga mos keladigan raqamli to'plamni tasvirlaymiz (bu to'plam asosan):

Xulosa qiling. Ideal holda, oldingi paragraflarning ma'lumotlari raqamli to'plamlarni yozish va tasvirlashning alohida raqamli intervallarning ko'rinishi bilan bir xil ko'rinishini shakllantirishi kerak: raqamli to'plamni yozib olish darhol koordinata chizig'ida o'z tasvirini berishi kerak va rasmdan koordinata chizig'i, biz individual bo'shliqlar va individual raqamlardan iborat to'plamlar birlashmasi orqali mos keladigan raqamli to'plamni osongina tasvirlashga tayyor bo'lishimiz kerak.

Adabiyotlar ro'yxati.

• Algebra: darslik 8 hujayra uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M. : Ta'lim, 2008. - 271 p. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9-sinf 14:00 1-qism. Talabalar uchun darslik ta'lim muassasalari/ A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-nashr, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01752-3.

Sinf: 2

Dars uchun taqdimot

Orqaga oldinga

Diqqat! Slaydni oldindan ko'rish faqat ma'lumot olish uchun mo'ljallangan va taqdimotning to'liq hajmini ko'rsatmasligi mumkin. Agar siz ushbu ish bilan qiziqsangiz, to'liq versiyasini yuklab oling.

Maqsadlar:

1. “To‘plam” tushunchasi bilan tanishtiring.
2. “To‘plam elementlari” tushunchasini kiriting.
3. Elementning to‘plamga tegishliligini aniqlashni o‘rganing.

Dastlabki tayyorgarlik:

1. To'pni olib keling.
2. Umumiy nomga ega ob'ektlarni ko'rsatadigan rasmlarni keltiring (siz bolalar loto kartalaridan foydalanishingiz mumkin).

Darslar davomida

Bolalar, bugun darsda biz "to'plam" nima ekanligini va "to'plam elementlari" nima ekanligini bilib olamiz!

Doskada chizilgan sumkam bor. Bo'sh ekan. Keling, siz bilgan hayvonlarni unga to'playmiz.

O'yin:

O'qituvchi to'p bilan sinf bo'ylab yuradi va to'pni o'quvchiga tashlaydi va o'quvchi tezda qandaydir hayvon nomini aytishi kerak.

Keling, barcha nomlangan hayvonlarni sumkamizga yig'amiz.

Bolalar eslashadi va o'qituvchi o'yinda nom olgan barcha hayvonlarni doskaga yozadi (yoki magnitli kartalardan foydalanadi).

Xaltada nechta hayvon bor?

Matematikada umumiy nomga ega bo'lgan va birlashtirilgan narsalarning (yoki tirik mavjudotlarning) bunday guruhi deyiladi "ko'p". MUCH so'zidan olingan "Ko'p". (Slayd 3.4)

To'plamga nom berishga harakat qiling.

"To'plamga nom bering":

O'qituvchi o'xshash narsalarning rasmlarini ko'rsatadi. Bolalar bu to'plamga nom berishlari kerak, masalan - baliq, qushlar, o'simliklar, kitoblar.

Bu ko'p baliq. (slayd 5)

Bu ko'p qushlar. (6-slayd)

Keling, daftardagi 1-sonli vazifani bajaramiz.

Vazifa raqami 1. (7-slayd)

Talabalar taklif qilingan to'plamlarning nomini ko'rsatishlari va imzolashlari kerak.

Kopgina: idish-tovoq, hayvonlar, poyabzal, o'yinchoqlar, hammom aksessuarlari, chizish uchun narsalar.

Endi o'ynaymiz.

"To'plamga nom bering" o'yini (8,9,10-slaydlar)

O'qituvchi bir qancha ob'ektlarni sanab o'tadi va o'quvchilar bu to'plamga nom berishadi.

Ko'ylak, shim, mo'ynali palto, yubka, sviter, kurtka... - kiyimlar.

(- shkaf, stul, stol, divan, yotoqxona stoli ... - mebel.)

Qayin, qarag'ay, archa, terak, eman, tol ... - daraxtlar.

(- Moskva, Odessa, London, Parij, Sankt-Peterburg ... - shaharlar.)

Ninachi, chigirtka, kapalak, pashsha, ari... - hasharotlar.

O'yindan so'ng, doskada boshqa sumka paydo bo'ladi, unda elementlarning nomlari ko'rsatilgan, ammo umumiy nom yo'q. Uning bolalari o'zlarini o'ylab topishlari kerak. Masalan, etiklar, etiklar, krossovkalar, poyabzallar, shippaklar.

Bu ko'p poyabzal.

Ushbu to'plamdagi barcha ob'ektlar chaqiriladi ushbu to'plamning elementlari. (Slayd 11,12)

2-sonli vazifani bajaramiz.

Vazifa raqami 2 .(13-slayd)

Har bir rasm uchun topshiriqni bajarayotganda, har bir taklif qilingan so'zni tekshirishingiz kerak.

Yaylovda bir suruv sigir boqyapti, deyish mumkinmi?

Va sigirlar to'dasi?

Va bir guruh sigirlar?

Shunday qilib, o'tloqda o'tlayotgan sigirlar uchun faqat "poda" so'zi mos keladi.

Xuddi shunday, qolgan rasmlar uchun ular harakatlanadi mumkin bo'lgan variantlar, va to'g'ri so'z tanlanadi.

Demak, ayrim predmetlar guruhlari uchun bu guruhlarni, masalan, “sigirlar podasi” deb ataydigan ma’lum so‘zlar mavjud. Ammo "sigirlar to'dasi" deyishning iloji yo'q. Ammo boshqa tomondan, birlashtirilgan ob'ektlarning har qanday guruhini "to'plam" deb atash mumkin: ko'plab sigirlar, ko'plab baliqlar, ko'plab gullar.

Endi yana o'ynaymiz. O'yin uchun bizga kaftlaringiz kerak.

"Qo'shimcha top" o'yini (Slaydlar 14,15,16)

O'qituvchi har qanday to'plamni nomlaydi va uning elementlarini sanab o'tishni boshlaydi. Agar biron bir nom berilgan ob'ekt berilgan to'plamning elementi bo'lmasa, talabalar chapak chalishlari kerak.

Biz park bo'ylab yuramiz va ko'ramiz daraxtlar : qayin, eman, atirgul (paxta), terak, qarag'ay, romashka (paxta) archa, lilak (paxta)…

Biz do'konga boramiz va sotib olamiz sabzavotlar : pomidor, kartoshka, apelsin (paxta), sabzi, kolbasa (paxta) bodring, lavlagi, olma (paxta) ...

Sport zalida biz ko'ramiz sport anjomlari : to'p, chang'i, gantel, kreslo (paxta), tennis raketasi, taroq (paxta) konki, stul (paxta) ...

Biz daftardagi vazifalarni bajaramiz.

Vazifa raqami 3 . (17-slayd)

Talabalar boshqa ko'plab ob'ektlarni nomlashlariga to'sqinlik qiladigan ob'ektni aniqlashlari kerak.

Qafasda ko'plab qushlar bor va ular orasida quyon ortiqcha.

Vazifa raqami 4 . (18-slayd)

Avvalgisiga o'xshash.

Nega Dunno doirani kesib tashladi?

Chunki burchaklari bo'lgan barcha boshqa ob'ektlar.

Va agar siz aylanani dastlabki to'plamda qoldirsangiz, unda yana qanday raqam ortiqcha bo'lishi mumkin va nima uchun?

To'rtburchaklar, kulrang shakl kabi, ortiqcha bo'lishi mumkin.

Vazifa raqami 5 . (19-slayd)

Berilgan to'plamdan bolalar nomlangan to'plamlarning elementlarini tanlashlari kerak: sabzavotlar va mevalar. Har bir element tekshiriladi: agar u sabzavot bo'lsa, bir qator bilan, meva bo'lsa, ikkita chiziq bilan chiziladi. Nomlangan to'plamlarning birortasiga kiritilmagan ob'ektni ta'kidlash kerak emas.

Shundan so'ng, siz barcha olingan to'plamlarni ovoz chiqarib sanab o'tishingiz kerak.

Ko'p sabzavotlar: kartoshka, lavlagi, sabzi, bodring, pomidor, qovoq.

Ko'p mevalar: nok, olma, apelsin, limon, ananas.

Pastga chizilmagan: sariyog ', non, kolbasa, pishloq, to'p.

Vazifa raqami 6 . (20-slayd)

Topshiriqda asosiy narsa shundaki, talaba o'zi tanlagan to'plamga nom berishi va uning elementlarini sanab berishi mumkin.

Ko'pgina musiqa asboblari: truba, skripka, gitara, garmonika, baraban.

Ko'plab sport jihozlari: dumbbelllar, to'p, konki, raketka.

Ko'plab qurilish asboblari: arra, pense, tornavida.

Va biz yana o'ynaymiz. Bu erda sizning bilimingiz talab qilinadi.

"Qatorni davom ettiring" o'yini:

O'qituvchi bir qator elementlarni sanab o'tadi va o'quvchilar sanab o'tilgan narsalardan to'plam nomini taxmin qilib, uni o'z elementlari bilan davom ettiradilar.

Har bir bosqichning oxirida xulosa qilishni unutmang: nima sanab o'tilgan, ya'ni. to'plamga nom bering.

• russula, chivin agarik, asal agarik ... (boletus, boletus, chanterelle) - bu ... juda ko'p qo'ziqorin
• tulki, ayiq, fil, begemot ... (bo'ri, quyon, yo'lbars, karkidon) - bu ... juda ko'p hayvonlar
• ninachi, kapalak, chigirtka ... (qo'ng'iz, chivin, ari, chivin) - bu ... juda ko'p hasharotlar
• beret, shapka, panama ... (shal, qalpoq, shapka) - bu ... juda ko'p shlyapalar
• pike, perch, catfish, roach ... (akula, crucian sazan, qaymoq) - bu ... juda ko'p baliq

Vazifa raqami 7 . (21-slayd)

Bolalar buni o'zlari bajaradilar. Siz 1-2 talabadan o'z javoblarini aytishlarini so'rashingiz mumkin.

Lolani tugatdi, chunki bu juda ko'p ranglar.

Bolalar, siz bilgan shaharlarni nomlang (bolalar shaharlarning nomlarini sanab o'tadi).

Volgani shahar deb atash mumkinmi?

Yo‘q, bu daryo.

Rossiyani shahar deb atash mumkinmi?

Yo'q, bu mamlakat.

Vazifa raqami 8 . (22-slayd)

Mustaqil ravishda amalga oshiriladi.

Vazifa raqami 9 . (23-slayd)

Talabalar har bir ustunga uchta element (kiyim, baliq, daraxtlar) nom berishlari kerak. Keyin eman"daraxtlar" deb nomlangan ustunga kiritilishi kerak, chunki u daraxt.

Boshqa elementlar xuddi shu tarzda tekshiriladi: perch, çipura- "baliqlar", yubka- "kiyim".

Yubka	Perch

Darsning qisqacha mazmuni:

Demak, bugun darsda “to‘plam”, “to‘plam elementlari” kabi tushunchalar bilan tanishdik. Biz to'plamni, shuningdek, berilgan to'plamga elementning tegishliligini aniqlashni o'rgandik.

Vazifa kartalari (24-30-slaydlar)

Talabalarga ikkita variant bo'yicha test shaklida topshiriqlar yozilgan kartalar beriladi. Yangi materialni o'zlashtirish darajasi tekshiriladi.

1 variant:

Variant 2:

Uy vazifasi:(31-slayd)

Bolalar umumiy nom bilan har qanday ob'ektlar to'plamini chizishlari va rasm ostidagi nomga imzo qo'yishlari kerak.

Adabiyot:

1. O'qituvchilar uchun ko'rsatmalar, 2-sinf, A.V.Goryachev, K.I.Gorina, N.I.Suvorova.
2. O'yinlar va vazifalarda informatika, 2-sinf, 2-qism. A.V.Goryachev, K.I.Gorina, N.I.Suvorova.
3. Informatika testlari, 2-sinf, O.N.Krylova.

To'plam matematikaning asosiy tushunchasidir va shuning uchun boshqalar nuqtai nazaridan aniqlanmaydi.

Odatda, to'plam deganda umumiy xususiyat bilan birlashtirilgan ob'ektlar to'plami tushuniladi. Shunday qilib, biz guruhdagi ko'plab talabalar, rus alifbosining ko'plab harflari va boshqalar haqida gapirishimiz mumkin. Kundalik hayotda “to‘plam” so‘zi o‘rniga “to‘plam”, “to‘plam”, “guruh” so‘zlari ishlatiladi. To'plamlar odatda belgilanadi Bosh harflar Lotin alifbosi: LEKIN, IN, FROM, ..., Z.

Matematikada raqamli to'plamlar uchun maxsus belgilar qabul qilinadi:

N natural sonlar to'plami;

N 0 – manfiy bo'lmagan butun sonlar to'plami;

Z butun sonlar to'plami;

Q ratsional sonlar to'plamidir;

R haqiqiy sonlar to‘plamidir.

To'plamni tashkil etuvchi ob'ektlar uning elementlari deyiladi. Masalan, sentabr - yildagi oylar to'plamining elementi, 5 raqami - natural sonlar to'plamining elementi. To'plamning elementlari odatda lotin alifbosining kichik harflari bilan belgilanadi. To'plamning elementlari to'plam bo'lishi mumkin. Shunday qilib, siz institutning ko'plab guruhlari haqida gapirishingiz mumkin. Bu to'plamning elementlari guruhlar bo'lib, ular o'z navbatida o'quvchilar to'plamidir.

To‘plam va uning elementi o‘rtasidagi munosabat “taalluqli” so‘zi yordamida ifodalanadi. Bayonotda "Element lekin to'plamga tegishli LEKIN' shunday yozilgan: lekin  LEKIN, va bu yozuv boshqacha o'qilishi mumkin: " lekin- to'plam elementi LEKIN", "kopgina LEKIN elementni o'z ichiga oladi lekin". Bayonotda "Element lekin to'plamga tegishli emas LEKIN' shunday yozilgan: lekin  LEKIN(aks holda: " lekin to‘plamning elementi emas LEKIN", "kopgina LEKIN elementni o'z ichiga olmaydi lekin»).

Agar kundalik nutqda "ko'p" so'zi bilan bog'liq bo'lsa katta raqam ob'ektlar, keyin bu matematikada talab qilinmaydi. To'plam bitta elementni o'z ichiga olishi mumkin yoki hech qanday elementni o'z ichiga olmaydi.

Tarkibida hech qanday element bo‘lmagan to‘plam bo‘sh deyiladi va  belgisi bilan belgilanadi. Faqat bitta bo'sh to'plam mavjud. Boʻsh toʻplamga Quyoshdagi odamlar toʻplami, tenglamaning tabiiy ildizlari toʻplami misol boʻla oladi. X+ 8 = 0.

To'plamlar chekli yoki cheksiz bo'lishi mumkin.

Agar natural son bo'lsa, to'plam chekli deb ataladi P, shundayki, to'plamning barcha elementlarini 1 dan boshlab raqamlash mumkin P. aks holda to'plam cheksiz deb ataladi. Chekli to‘plamga raqamlar to‘plami, cheksiz to‘plamga natural sonlar to‘plami misol bo‘la oladi.

§ 2. To'plamlarni belgilash usullari

Agar biron-bir ob'ektni ushbu to'plamga tegishli yoki yo'q deb aytish mumkin bo'lsa, to'plam berilgan hisoblanadi.

To'plamni uning barcha elementlarini sanab o'tish orqali aniqlash mumkin. Yozib olish FROM= (a, b, c, d) to'plamni bildiradi FROM a, b, c, d elementlarini o'z ichiga oladi.

Har bir element to'plamga faqat bir marta kiritilgan. Masalan, "matematika" so'zidagi juda ko'p turli harflar shunday yoziladi: (m, a, t, e, i, k).

Ushbu usul oz sonli elementlarni o'z ichiga olgan chekli to'plamlar uchun qo'llaniladi.

Ba'zan foydalanish Bu yerga, siz cheksiz to'plamni o'rnatishingiz mumkin. Masalan, natural sonlar to'plamini quyidagicha ifodalash mumkin: N= (1, 2, 3, 4, ...). Ro'yxatga olishning bunday usuli faqat to'plamning yozilgan qismidan ellips ostida nima yashiringanligi aniq bo'lganda mumkin.

To'plamlarni belgilashning yana bir usuli quyidagicha: uning elementlarining xarakterli xususiyatini ko'rsating. Xarakteristik xususiyat to'plamga tegishli bo'lgan har bir elementga ega bo'lgan va unga tegishli bo'lmagan elementga ega bo'lmagan xususiyatdir.

Shunday bo'ladiki, bitta va bir xil to'plamni uning elementlarining turli xarakterli xususiyatlarini ko'rsatish orqali aniqlash mumkin. Masalan, 11 ga bo'linadigan ikki xonali sonlar to'plami va ikkita bir xil raqam bilan yozilgan birinchi yuzlikning natural sonlari to'plami bir xil elementlarni o'z ichiga oladi.

Ushbu o'rnatish usuli bilan to'plamni quyidagicha yozish mumkin: birinchi navbatda, elementning belgilanishi jingalak qavslar ichida yoziladi, so'ngra vertikal chiziq chiziladi, shundan so'ng ushbu to'plam elementlariga ega bo'lgan xususiyat yoziladi. Masalan, ko'p LEKIN 5 dan kichik natural sonlar quyidagicha yoziladi: LEKIN = {X XN, X < 5}.