(yoki tabiiy tebranishlar) tebranish tizimining tebranishlari bo'lib, tashqi ta'sirlar bo'lmaganda faqat dastlabki xabar qilingan energiya (potentsial yoki kinetik) tufayli amalga oshiriladi.
Potentsial yoki kinetik energiya, masalan, ichida berilishi mumkin mexanik tizimlar dastlabki siljish yoki dastlabki tezlik orqali.
Erkin tebranuvchi jismlar har doim boshqa jismlar bilan o'zaro ta'sir qiladi va ular bilan birgalikda jismlar tizimini tashkil qiladi tebranish tizimi.
Masalan, buloq, to'p va buloqning yuqori uchi biriktirilgan vertikal ustun (quyidagi rasmga qarang) tebranish tizimiga kiradi. Bu erda to'p ip bo'ylab erkin siljiydi (ishqalanish kuchlari ahamiyatsiz). Agar siz to'pni o'ngga olib, uni o'ziga qo'ysangiz, u muvozanat holatida (nuqta) erkin tebranadi. HAQIDA) bahorning muvozanat holatiga yo'naltirilgan elastik kuchining ta'siri tufayli.
Mexanik tebranish tizimining yana bir klassik misoli matematik mayatnikdir (quyidagi rasmga qarang). Bunday holda, to'p ikkita kuch ta'sirida erkin tebranishlarni amalga oshiradi: tortishish va ipning elastik kuchi (Yer ham tebranish tizimiga kiradi). Ularning natijasi muvozanat holatiga yo'naltiriladi.
Tebranish sistemasi jismlari o'rtasida ta'sir qiluvchi kuchlar deyiladi ichki kuchlar. Tashqi kuchlar sistemaga kirmagan jismlardan ta'sir etuvchi kuchlar deyiladi. Shu nuqtai nazardan erkin tebranishlarni tizimdagi tebranishlar sifatida aniqlash mumkin. ichki kuchlar tizim muvozanatdan chiqarilgandan keyin.
Erkin tebranishlarning paydo bo'lishi uchun shartlar:
1) ularda tizimni bu holatdan chiqarilgandan so'ng uni barqaror muvozanat holatiga qaytaradigan kuchning paydo bo'lishi;
2) tizimda ishqalanishning yo'qligi.
Erkin tebranishlar dinamikasi.
Elastik kuchlar ta'sirida jismning tebranishlari. Elastik kuch ta'sirida jismning tebranish harakati tenglamasi F() Nyutonning ikkinchi qonunini hisobga olgan holda olinishi mumkin ( F = ma) va Guk qonuni ( F boshqaruvi = -kx), qayerda m to'pning massasi va elastik kuch ta'sirida to'p tomonidan olingan tezlanish; k- bahorning qattiqlik koeffitsienti, X jismning muvozanat holatidan siljishi (har ikkala tenglama ham gorizontal o'qqa proyeksiyada yozilgan. Oh). Bu tenglamalarning o'ng tomonlarini tenglashtirish va tezlanishni hisobga olish lekin koordinataning ikkinchi hosilasidir X(ofsets), biz olamiz:
.
Xuddi shunday, tezlanish ifodasi lekin biz farqlash orqali olamiz ( v = -v m sin ō 0 t = -v m x m cos (ō 0 t + p/2)):
a \u003d -a m cos ō 0 t,
qayerda a m = ō 2 0 x m tezlanish amplitudasi hisoblanadi. Shunday qilib, garmonik tebranishlar tezligining amplitudasi chastotaga, tezlanish amplitudasi esa tebranish chastotasining kvadratiga proporsionaldir.
Har qanday tebranish harakati tezlanish bilan sodir bo'ladigan harakatdir, shuning uchun tebranish jismlariga kuchlar ta'sir qilishi kerak, bu ularga bu tezlanishlarni beradi. Xususan, agar massaga ega bo'lgan nuqta tanasi garmonik tebranishlarni amalga oshirsa, mexanikaning ikkinchi qonuniga ko'ra, teng kuch bo'ladi.
Bu erda kuchning yo'nalishi tezlanish yo'nalishiga to'g'ri keladi va (4.5) formulaga muvofiq garmonik tebranishlar uchun tezlanish vektori doimo muvozanat holatiga yo'naltiriladi. Shunday qilib, jismning garmonik tebranish harakatini amalga oshirishi uchun unga har doim muvozanat holatiga yo'naltirilgan va kattaligi bo'yicha - bu pozitsiyadan siljish bilan to'g'ridan-to'g'ri proportsional bo'lgan kuch ta'sir qilishi kerak. Tadqiqot paytida tebranish tizimlari jismga ta'sir etuvchi kuch va bu jismning muvozanat holatidan siljishi x o'rtasidagi proporsionallik koeffitsientini osongina topish mumkin; u holda tebranuvchi jismning massasini ham bilib, tebranish chastotasi va davrini hisoblash mumkin; nisbatdan kelib chiqadi:
Har doim muvozanat holatiga yo'naltirilgan kuchlar tiklovchi kuchlar deyiladi. Keling, bir nechta misollarni ko'rib chiqaylik:
1. Massa va buloqdan tashkil topgan tebranish tizimi (1.36-rasmga qarang, b). Qayta tiklovchi kuch - bu deformatsiyalangan prujinadan tanaga ta'sir qiluvchi elastik kuch. Kichik deformatsiyalarda bu kuch prujinaning uzunligining o'zgarishiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.Prujkaga tashqi kuchlarni qo'llash va ular ta'sirida yuzaga keladigan cho'zilishlarni o'lchash orqali
bahorning (yoki siqilishi) siz bahorning elastiklik koeffitsientini topishingiz va (4.10) formuladan foydalanib, bahorning uchlariga biriktirilgan jismlarning tebranish chastotasini hisoblashingiz mumkin. Bunday holda, tebranishlar garmonik va doimiy bo'ladi) faqat tebranuvchi jismga tiklovchidan tashqari boshqa kuchlar ta'sir qilmasa va (4.10) formulaga muvofiq tebranish chastotasi bog'liq bo'lgan koeffitsient doimo saqlanib qolishi kerak. doimiy. Xususan, agar bahorning harorati o'zgarsa, demak, tebranish chastotasi ham o'zgaradi; tebranishlar garmonik emas.
2. Burilish (aylanuvchi) tebranishlarni amalga oshiradigan tizim (1.38-rasmga qarang, b). Burilish tebranishlari paytida tanaga tiklovchi moment ta'sir qiladi, bu esa tananing muvozanat holatidan og'ishini to'xtatadi va keyin unga teskari harakatni beradi. Tiklash momenti tebranuvchi jism biriktirilgan kamon (yoki novda) deformatsiyasi (burilishi) sodir bo'lganda sodir bo'ladi. Kichik burilish burchaklarida bu moment burilish burchagiga to'g'ridan-to'g'ri proportsionaldir.
Agar burilish tebranishlari harmonik bo'lsa, ya'ni.
keyin burchak tezligi va aylanish jarayonida burchak tezlanishi ham garmonik qonunga muvofiq o'zgaradi:
Tiklanish momentini tebranish jismining burchak tezlanishi va inersiya momentining mahsuloti sifatida topamiz:
bu erda doimiy qiymat (agar tebranishlar paytida tananing inersiya momenti o'zgarmasa). Bu koeffitsientni prujinaga (yoki novdaga) tashqi burilish momentlarini qo'llash va burilish burchaklarini o'lchash yo'li bilan topish mumkin a:
u holda tebranishlarning chastotasi va davri quyidagi formulalar bilan aniqlanadi:
(4.13) ifodasiga ko'ra, garmonik buralish tebranishlari bilan tiklash momenti burilish burchagiga to'liq proportsional bo'lishi kerak; agar bu mutanosiblik kuzatilmasa (masalan, aylanishning juda katta burchaklarida), u holda tebranishlar garmonik bo'lmaydi (garchi ishqalanish bo'lmasa ham ular so'ndirilmaydi).
3. Fizik mayatnik (1.40-rasm). Qayta tiklash momenti - bu belgiga ega bo'lgan tortishish momenti,
burilish burchagi belgisiga qarama-qarshi a va teng
tayanch nuqtasidan tananing og'irlik markazigacha bo'lgan masofa qayerda.
Kichik burilish burchaklarida (burchak a - radyanlarda); keyin qaytish momenti
burilish burchagiga proportsional va mayatnikning tebranishlari garmonik bo'ladi.
(4.13) ifoda bilan solishtirsak, shuning uchun biz quyidagilarni olamiz:
Katta burilish burchaklarida, shuningdek, tebranishlar paytida tana deformatsiyalanganda (o'zgaruvchan tebranishlar garmonik bo'lmagan bo'lib chiqadi, garchi ular ishqalanish bo'lmasa yoki kompensatsiyalangan bo'lsa ham, ular o'chirilishi mumkin.
4. Matematik mayatnik - massasi I uzunlikdagi vaznsiz va cho'zilmaydigan ipga osilgan nuqtali jismdir (1.41-rasm). Qayta tiklovchi kuch - bu tortishishning tananing harakat yo'nalishi bo'yicha proektsiyasi; bizda ... bor:
radyanlarda). Qayta tiklovchi kuch va muvozanat holatidan siljish o'rtasidagi mutanosiblik sharti ham bu erda kuzatilmaganligini ta'kidlaymiz, shuning uchun bu mayatnikning tebranishlari garmonik emas. Ammo a burchaklari kichik bo'lsa, u holda
chunki bu kuch doimo muvozanat holatiga qaratilgan va shuning uchun unga qarama-qarshi belgiga ega
Bunday holda, tebranishlarni garmonik deb hisoblash mumkin; (4.9) ifoda bilan taqqoslab, biz quyidagilarni olamiz:
ya'ni tebranishlarning chastotasi va davri tebranayotgan jismning massasiga bog'liq emas, balki faqat ipning uzunligi va tortishish tezlashishi bilan belgilanadi (maatniklarning tebranishlari doimiy koeffitsientni aniqlash uchun ishlatiladi va shuning uchun tebranishlar chastotasi, doimiylik zarur.Ayni paytda ip bo'ylab ta'sir qiluvchi kuch uning cho'zilishiga olib kelishi mumkin, bu ekstremal holatda minimal bo'ladi va jism O nuqtadan o'tganda maksimal bo'ladi. Shuning uchun mayatnik garmonik bo'lishi uchun burilish burchaklarining kichikligidan tashqari, qo'shimcha ravishda ipning cho'zilmasligi shartiga ega bo'lish kerak.
Bu misollar shuni ko'rsatadiki, kichik amplitudalarda tebranishlarning chastotasi (yoki davri) faqat tizimning xususiyatlari bilan belgilanadi. Biroq, muvozanat holatidan katta og'ishlar uchun chiziqli bog'liqlik siljishdan tiklovchi kuchga, shuningdek, aylanish burchagidan ortib borayotgan momentga qat'iy rioya qilinmaydi va tebranish chastotasi ma'lum darajada tebranish amplitudasiga yoki
Atrofimizdagi hayotda tebranish harakatlari keng tarqalgan. Tebranishlarga misollar: tikuv mashinasining igna harakati, belanchak, soat mayatnik, parvoz paytida hasharotlar qanotlari va boshqa ko'plab jismlar.
Ushbu jismlarning harakatida ko'plab farqlarni topish mumkin. Masalan, belanchak egri chiziqli harakat qiladi, tikuv mashinasi ignasi esa to'g'ri chiziqda harakat qiladi; soat mayatnik ninachi qanotlariga qaraganda kattaroq miqyosda tebranadi. Shu bilan birga, ba'zi tanalar qilishlari mumkin Ko'proq boshqalarga qaraganda tebranishlar.
Ammo bu harakatlarning xilma-xilligi bilan ular muhim umumiy xususiyatga ega: ma'lum vaqtdan keyin har qanday tananing harakati takrorlanadi.
Haqiqatan ham, agar to'p muvozanat holatidan olib qo'yilsa va qo'yib yuborilsa, u holda muvozanat holatidan o'tib, u teskari yo'nalishda og'adi, to'xtaydi va keyin harakat boshlangan joyga qaytadi. Ushbu tebranishdan keyin birinchisiga o'xshash ikkinchi, uchinchi va hokazo.
Harakat takrorlanadigan vaqt davri tebranish davri deb ataladi.
Shuning uchun ular tebranish harakati davriy ekanligini aytadilar.
Tebranuvchi jismlar harakatida davriylikdan tashqari yana bir umumiy xususiyat mavjud.
E'tibor qarating!
Tebranish davriga teng vaqt oralig'ida har qanday jism muvozanat holatidan ikki marta o'tadi (qarama-qarshi yo'nalishda harakat qiladi).
Tananing bir necha marta va turli yo'nalishlarda muvozanat holatidan o'tadigan muntazam intervallarda takrorlanadigan harakatlar mexanik tebranishlar deyiladi.
Jismni muvozanat holatiga qaytaruvchi kuchlar ta'sirida tana o'z-o'zidan tebranishi mumkin. Dastlab, bu kuchlar tanadagi ba'zi ishlarni bajarish (prujinani cho'zish, uni balandlikka ko'tarish va hokazo) tufayli yuzaga keladi, bu esa ma'lum energiya zahirasining tanaga aloqasiga olib keladi. Bu energiya tufayli tebranishlar paydo bo'ladi.
Misol:
Belanchakni tebranish harakatlariga aylantirish uchun avval ularni oyoqlaringiz bilan surish orqali muvozanatdan chiqarishingiz yoki qo'llaringiz bilan bajarishingiz kerak.
Tebranuvchi jismga tashqi ta'sirlar bo'lmaganda uning faqat boshlang'ich energiya zahirasi hisobiga sodir bo'ladigan tebranishlar deyiladi. erkin tebranishlar.
Misol:
Jismning erkin tebranishlariga prujinaga osilgan yukning tebranishlari misol bo'la oladi. Dastlab muvozanatsiz tashqi kuchlar kelajakda yuk faqat "yuk-bahor" tizimining ichki kuchlari - tortishish va elastik kuchlar tufayli o'zgaradi.
Tizimda erkin tebranishlarning paydo bo'lish shartlari:
a) tizim barqaror muvozanat holatida bo'lishi kerak: tizim muvozanat holatidan chetga chiqqanda, tizimni muvozanat holatiga qaytarishga intiladigan kuch - tiklovchi kuch paydo bo'lishi kerak;
b) tizim muvozanat holatidagi energiyasiga nisbatan ortiqcha mexanik energiyaga ega;
v) muvozanat holatidan siljishda tizim tomonidan olingan ortiqcha energiya muvozanat holatiga qaytganda ishqalanish kuchlarini engib o'tishga to'liq sarflanmasligi kerak, ya'ni. tizimdagi ishqalanish kuchlari etarlicha kichik bo'lishi kerak.
Erkin tebranuvchi jismlar har doim boshqa jismlar bilan o'zaro ta'sir qiladi va ular bilan birgalikda jismlar tizimini hosil qiladi, bu tebranish sistemasi deb ataladi.
Erkin tebranishlarni amalga oshirishga qodir bo'lgan jismlar tizimlari tebranish tizimlari deyiladi.
Barcha tebranish tizimlarining asosiy umumiy xususiyatlaridan biri ularda tizimni barqaror muvozanat holatiga qaytaruvchi kuchning paydo bo'lishidir.
Misol:
To'pning ipda tebranishida shar ikki kuch ta'sirida erkin tebranadi: tortishish kuchi va ipning elastik kuchi. Ularning natijasi muvozanat holatiga yo'naltiriladi.
Yer, stend va stendga osilgan tana (3-rasmga qarang) fizik mayatnik deb ataladigan tebranish tizimini hosil qiladi. Tokchalar, ikkita kamon va korpus m (4-rasmga qarang) tebranish tizimini hosil qiladi, bu odatda gorizontal bahor sarkac deb ataladi. Barcha tebranish tizimlari bir qator umumiy xususiyatlarga ega. Keling, asosiylarini ko'rib chiqaylik.
1 Har bir tebranish sistemasi barqaror muvozanat holatiga ega. Jismoniy mayatnik uchun bu to'xtatilgan tananing massa markazi to'xtatib turish nuqtasi bilan bir xil vertikalda joylashgan pozitsiyadir. Vertikal prujinali mayatnik uchun bu tortishish kuchi bahorning elastik kuchi bilan muvozanatlangan holat. Gorizontal prujinali mayatnik uchun bu ikkala prujinaning bir xil deformatsiyalangan holati.
2 Tebranish tizimi barqaror muvozanat holatidan chiqarilgandan so'ng, tizimni barqaror holatga qaytaradigan kuch paydo bo'ladi. Bu kuchning kelib chiqishi boshqacha bo'lishi mumkin. Demak, fizik mayatnik uchun bu G tortishish kuchi va elastik T kuchining natija f i (5-rasm), prujinali mayatnik uchun esa buloqlarning elastik kuchi (6-rasm).
 |
3 Barqaror holatga qaytgan holda, tebranish tizimi darhol to'xtata olmaydi. Mexanik tebranish tizimlarida bunga tebranuvchi jismning inertsiyasi to'sqinlik qiladi. Bu xossalar shundan kelib chiqadiki, agar tebranishlar sistemasi u yoki bu tarzda barqaror muvozanat holatidan chiqarilsa, tashqi kuchlar bo‘lmaganda tebranishlar paydo bo‘ladi va bir muncha vaqt saqlanib qoladi. Agar tebranish tizimida ishqalanish (qarshilik) bo'lmasa, paydo bo'lgan tebranishlar cheksiz davom etishi mumkin edi. Aynan shu ideal tebranish tizimlarini biz ko'p hollarda ko'rib chiqamiz. Ideal tebranish tizimi ikkita belgilovchi xususiyatga ega:
a) unda ishqalanish (qarshilik) yo'q va shuning uchun energiyaning qaytarilmas o'zgarishlari sodir bo'lmaydi;
b) bunday tebranish sistemasining parametrlari (ip uzunligi, tebranuvchi jismning massasi, prujinaning qattiqligi) doimiy.
Ideal tebranish tizimiga misol qilib, egiluvchan, vaznsiz va cho'zilmaydigan prujinaga osilgan kichik og'irlik bo'lgan matematik mayatnik deb ataladi. Sarkacning tebranishida ipning uzunligi va yukning massasi o'zgarmasdan qoladi. Agar ip cheksiz nozik va ideal moslashuvchan deb hisoblansa va yukning o'lchamlari cheksiz kichik, nuqtaga o'xshash bo'lsa, u holda matematik mayatnikning tebranishlari paytida ishqalanish bo'lmaydi.
Haqiqiy tebranish sistemalarida ishqalanish mavjud bo'lib, tebranish harakati davomida tizimning parametrlari biroz o'zgaradi. Shunday qilib, ipak ipga osilgan chekli o'lchamdagi yuk bo'lgan mayatnikni to'liq ma'noda ideal tebranish tizimi deb hisoblash mumkin emas, chunki uning tebranish harakati jarayonida havo qarshiligi va osilish nuqtasida ishqalanish ta'sir qiladi va uzunligi. ipning o'zgarishi (juda ozgina bo'lsa ham). Ammo bunday mayatnikning kichik tebranishlari bilan havo qarshiligi kichik va ipning uzunligi shunchalik ahamiyatsiz o'zgaradiki, ma'lum bir yaqinlashish bilan bu mayatnikni deyarli ideal tebranish tizimi deb hisoblash mumkin. Bu bahor mayatnikiga ham tegishli. Agar tebranuvchi jismning massasi va prujinaning qattiqligi doimiy bo'lsa va ishqalanish juda kichik bo'lsa, uni e'tiborsiz qoldirish mumkin bo'lsa, uni ideal tebranish tizimi deb hisoblash mumkin.
1 Erkin tebranishlar. Davriy tashqi kuchlar taʼsiriga tobe boʻlmagan tebranish sistemasida sodir boʻladigan tebranishlar erkin tebranishlar deyiladi. Erkin tebranishlar paydo bo'lishi uchun tebranish tizimiga tashqi tomondan qisqa muddatli ta'sir ko'rsatishi kerak, bu tizimni muvozanatdan chiqaradi (mayatnikning o'rtacha holatidan og'ish, o'rindiqda qisilgan po'lat o'lchagich, ip, va boshqalar.).
2 Tebranishlar oscillogrammasi.Agar mayatnikning og'irligi siyohli idish bo'lsa, unda tor teshik bo'lsa, u holda mayatnik tebranganda.
OK-1 Mexanik tebranishlar
Mexanik tebranishlar - ma'lum vaqt oralig'ida aniq yoki taxminan takrorlanadigan harakatlar.
Majburiy tebranishlar - tashqi, davriy o'zgaruvchan kuch ta'sirida yuzaga keladigan tebranishlar.
Erkin tebranishlar - bu tizim barqaror muvozanat holatidan chiqarilgandan keyin ichki kuchlar ta'sirida tizimda paydo bo'ladigan tebranishlar.
Tebranish tizimlari
Mexanik tebranishlarning paydo bo'lish shartlari
1. Natija nolga teng bo'lgan barqaror muvozanat pozitsiyasining mavjudligi.
2. Kamida bitta kuch koordinatalarga bog'liq bo'lishi kerak.
3. Tebranuvchi moddiy nuqtada ortiqcha energiyaning mavjudligi.
4. Agar tana muvozanatdan chiqarilsa, natija nolga teng bo'lmaydi.
5. Tizimdagi ishqalanish kuchlari kichikdir.
Tebranish harakati paytida energiya konvertatsiyasi
Beqaror muvozanatda bizda: E p → E→ ga E p → E→ ga E P.
To'liq tebranish uchun 
.
Energiyaning saqlanish qonuni bajarildi.
Tebranish harakati parametrlari
1
.
Tarafsizlik X- tebranish nuqtasining ma'lum bir vaqtda muvozanat holatidan chetga chiqishi.
2. Amplituda X 0 - muvozanat holatidan eng katta siljish.
3. Davr T- bitta to'liq tebranish vaqti. soniyalarda (s) ifodalangan.
4. Chastotasi ν vaqt birligidagi to'liq tebranishlar soni. U gerts (Hz) da ifodalanadi.
,
;
.
Matematik mayatnikning erkin tebranishlari
Matematik mayatnik - model - cho'zilmaydigan vaznsiz ipga osilgan moddiy nuqta.
Vaqt funksiyasi sifatida tebranuvchi nuqtaning harakatini qayd qilish.
IN 
mayatnikni muvozanatdan chiqaring. Natija (tangensial) F t = - mg gunoh α
, ya'ni. F m - tortishish kuchining tana traektoriyasiga tegish bo'yicha proyeksiyasi. Dinamikaning ikkinchi qonuniga ko'ra ma t = F t. Burchakdan boshlab α
keyin juda kichik ma t = - mg gunoh α
.
Bu yerdan a t = g gunoh α ,gunoh α =α =s/L,
.
Binobarin, a~s muvozanat tomon.
Matematik mayatnikning moddiy nuqtasining tezlanishi a siljishiga proporsionaldirs.
Shunday qilib, prujinaning va matematik mayatniklarning harakat tenglamasi bir xil ko'rinishga ega: a ~ x.
Tebranish davri
Prujinali mayatnik
Faraz qilaylik, prujinaga biriktirilgan jismning tabiiy tebranish chastotasi 
.
Erkin tebranishlar davri 
.
Tsiklik chastota ω = 2πν .
Binobarin, 
.
olamiz 
, qayerda 
.
Matematik mayatnik
FROM 
Matematik mayatnikning tabiiy chastotasi 
.
Tsiklik chastota 
,
.
Binobarin, 
.
Matematik mayatnikning tebranish qonunlari
1. Kichik tebranishlar amplitudasi bilan tebranish davri mayatnik massasiga va tebranishlar amplitudasiga bog'liq emas.
2. Tebranish davri mayatnik uzunligining kvadrat ildiziga to'g'ridan-to'g'ri proporsional va erkin tushish tezlanishining kvadrat ildiziga teskari proporsionaldir.
Garmonik tebranishlar
P 
Sinus yoki kosinus qonuniga muvofiq jismoniy miqdorlarning vaqti-vaqti bilan o'zgarishi sodir bo'ladigan davriy tebranishlarning eng oddiy turi garmonik tebranishlar deb ataladi:
x=x 0 gunoh ōt yoki x=x 0 chunki( ōt+ φ 0),
qayerda X- istalgan vaqtda ofset; X 0 - tebranish amplitudasi;
ōt+ φ 0 - tebranish fazasi; φ 0 - dastlabki bosqich.
Tenglama x=x 0 chunki( ōt+ φ Garmonik tebranishlarni tavsiflovchi 0), differensial tenglamaning yechimidir x" +ω 2 x= 0.
Ushbu tenglamani ikki marta differensiallashtirib, biz quyidagilarni olamiz:
x" = −ω 0 gunoh( ōt+ φ 0),x" = −ω 2 x 0 chunki( ōt+ φ 0),ω 2 x 0 chunki( ōt+ φ 0) −ω 2 x 0 chunki( ōt+ φ 0).
Har qanday jarayonni tenglama bilan tasvirlash mumkin bo'lsa x"
+ω
2 x= 0, keyin tsiklik chastota bilan garmonik tebranish sodir bo'ladi ω
va davr 
.
Shunday qilib, garmonik tebranishlar bilan tezlik va tezlanish ham sinus yoki kosinus qonuniga ko'ra o'zgaradi..
Shunday qilib, tezlik uchun v x =x" = (x 0 cos ōt)" =x 0 (cos ōt)" , ya'ni v= - ōx 0 gunoh ōt,
yoki v= ōx 0 chunki( ōt+π /2) =v 0 cos( ōt+π /2), bu erda v 0 = x 0 ω - tezlikning amplituda qiymati. Tezlashtirish qonunga muvofiq o'zgaradi: a x=v " x =x" = −(ōx 0 gunoh ōt)" = −ōx 0 (gunoh ōt)" ,
bular. a= −ω 2 x 0 cos ōt=ω 2 x 0 chunki( ōt+π ) =α 0 chunki( ōt+π ), qayerda α 0 =ω 2 x 0: - tezlanishning amplituda qiymati.
Garmonik tebranishlar paytida energiya konversiyasi
Agar tananing tebranishlari qonunga muvofiq sodir bo'lsa x 0 gunoh( ōt+ φ 0), keyin tananing kinetik energiyasi:
.
Tananing potentsial energiyasi:
.
Chunki k=mō 2, keyin 
.
Tananing muvozanat holati ( X= 0).
Tizimning umumiy mexanik energiyasi: 
.
OK-3 Garmonik tebranishlar kinematikasi
Tebranish bosqichi φ - sin yoki cos belgisi ostida turgan va tenglamaga muvofiq istalgan vaqtda tizim holatini aniqlaydigan fizik miqdor. X=x 0 cos φ .
Har qanday vaqtda tananing x siljishi
x
=x 0 chunki( ōt+
φ
0), qayerda x 0 - amplituda; φ
0 - vaqtning boshlang'ich momentidagi tebranishlarning boshlang'ich bosqichi ( t= 0), vaqtning boshlang'ich momentidagi tebranish nuqtasining holatini aniqlaydi.
Garmonik tebranishlarda tezlik va tezlanish
E 
Agar tana qonunga muvofiq garmonik tebranishlarni amalga oshirsa x=x 0 cos ōt
eksa bo'ylab Oh, keyin jismning tezligi v x ifoda bilan aniqlanadi 
.
Aniqroq aytganda, tananing tezligi koordinataning hosilasidir X vaqt bo'yicha t:
v 
x =x"
(t)
= −xō gunoh ω
=x 0 ω
0 ω
chunki( ōt+π
/2).
Tezlashtirish proyeksiyasi: a x=v " x (t) = −x 0 ω cos ōt=x 0 ω 2 chunki( ōt+π ),
v max = ōx 0 ,a maksimal = ω 2 x.
Agar φ 0 x= 0, keyin φ 0 v = π /2,φ 0 a =π .
Rezonans
R
Ko'tarilish x Rezonansda 0 bo'lsa, tizimdagi ishqalanish qanchalik katta bo'lsa. Chiziqlar 1 ,2 ,3 zaif, kuchli kritik dampingga mos keladi: F tr3 > F tr2 > F tr1.
Kam ishqalanishda rezonans keskin bo'ladi, yuqori ishqalanishda esa to'liq bo'ladi. Rezonansning amplitudasi: 
, qayerda F max - tashqi kuchning amplituda qiymati; μ
- ishqalanish koeffitsienti.
Rezonansdan foydalanish
Belanchak tebranish.
Betonni zichlash uchun mashinalar.
Chastota hisoblagichlari.
Jang rezonansi
Ishqalanish kuchini oshirish yoki rezonansni kamaytirish mumkin
Ko'priklarda poezdlar ma'lum tezlikda harakatlanadi.