2. R to‘plami zich: ikki o‘rtasida turli raqamlar a va b cheksiz sonli haqiqiy sonlarni o'z ichiga oladi X, ya'ni tengsizlikni qanoatlantiruvchi sonlar a

3-chi mulk ham bor, lekin u juda katta, kechirasiz

Cheklangan to'plamlar. Yuqori va pastki chegara xususiyatlari.

cheklangan to'plam- ma'lum ma'noda chekli o'lchamga ega bo'lgan to'plam.

yuqoridan chegaralangan, agar barcha elementlar dan oshmaydigan raqam mavjud bo'lsa:

Haqiqiy sonlar to'plami deyiladi pastdan chegaralangan, agar raqam bo'lsa,

Shunday qilib, barcha elementlar kamida:

Yuqorida va pastda chegaralangan to'plam deyiladi cheklangan.

Chegaralanmagan to'plam deyiladi cheksiz. Ta'rifdan kelib chiqadigan bo'lsak, to'plam chegaralanmaydi, agar u faqat va agar bo'lsa yuqoridan cheklanmagan yoki pastdan cheksiz.

Raqamli ketma-ketlik. Ketma-ketlik chegarasi. Lemma ikki politsiyachi haqida.

Raqamli ketma-ketlik son fazosining elementlar ketma-ketligidir.

Haqiqiy sonlar to‘plami yoki kompleks sonlar to‘plami bo‘lsin. Keyin to'plam elementlarining ketma-ketligi chaqiriladi raqamli ketma-ketlik.

Misol.

Funktsiya ratsional sonlarning cheksiz ketma-ketligidir. Ushbu ketma-ketlikning elementlari, birinchisidan boshlab, shaklga ega.

Ketma-ketlik chegarasi son ortishi bilan ketma-ketlik a'zolari yaqinlashadigan ob'ektdir. Xususan, sonli ketma-ketliklar uchun chegara har qanday qo'shnisidagi bir qatordan boshlab ketma-ketlikning barcha a'zolari yotadigan sondir.

Ikki politsiyachi teoremasi...

Agar funktsiya shunday bo'lsa, hamma uchun nuqtaning ba'zi qo'shnilarida va funktsiyalar bir xil chegaraga ega bo'lsa, u holda funktsiyaning chegarasi mavjud bo'ladi , bir xil qiymatga teng, ya'ni

Natural sonlar toʻplami predmetlarni sanashda qoʻllaniladigan 1, 2, 3, 4, ... raqamlari orqali hosil boʻladi. Barcha natural sonlar to'plami odatda harf bilan belgilanadi N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., n, ...} .

Natural sonlarni qo'shish qonunlari

1. Har qanday natural sonlar uchun a Va b haqiqiy tenglik a + b = b + a . Bu xususiyat qo'shishning kommutativ (kommutativ) qonuni deyiladi.

2. Har qanday natural sonlar uchun a, b, c haqiqiy tenglik (a + b) + c = a + (b + c) . Bu xususiyat qo'shishning birikma (assotsiativ) qonuni deyiladi.

Natural sonlarni ko'paytirish qonunlari

3. Har qanday natural sonlar uchun a Va b haqiqiy tenglik ab = ba. Bu xususiyat ko'paytirishning kommutativ (kommutativ) qonuni deb ataladi.

4. Har qanday natural sonlar uchun a, b, c haqiqiy tenglik (ab)c = a(bc) . Bu xususiyat ko'paytirishning birikma (assotsiativ) qonuni deb ataladi.

5. Har qanday qiymatlar uchun a, b, c haqiqiy tenglik (a + b)c = ac + mil. avv . Bu xususiyat ko'paytirishning distributiv (tarqatuvchi) qonuni (qo'shishga nisbatan) deyiladi.

6. Har qanday qiymatlar uchun a haqiqiy tenglik a*1 = a. Bu xususiyat bittaga ko'paytirish qonuni deb ataladi.

Ikki natural sonni qo‘shish yoki ko‘paytirish natijasi har doim natural son bo‘ladi. Yoki boshqacha qilib aytganda, bu amallar natural sonlar to‘plamida qolgan holda ham bajarilishi mumkin. Ayirish va bo'lish bilan bog'liq holda, buni aytish mumkin emas: masalan, 3 raqamidan natural sonlar to'plamida qolib, 7 raqamini ayirish mumkin emas; 15 raqamini 4 ga bo'lish mumkin emas.

Natural sonlarning bo`linuvchanlik belgilari

miqdorning bo'linuvchanligi. Agar har bir a'zo qandaydir songa bo'linadigan bo'lsa, yig'indi ham shu songa bo'linadi.

Ishning bo'linuvchanligi. Agar mahsulotdagi omillarning kamida bittasi ma'lum songa bo'linadigan bo'lsa, u holda mahsulot ham shu raqamga bo'linadi.

Ushbu shartlar, ham summa, ham mahsulot uchun, etarli, lekin zarur emas. Masalan, 12*18 ko'paytmasi 36 ga bo'linadi, ammo 12 ham, 18 ham 36 ga bo'linmaydi.

2 ga bo'linish belgisi. Natural son 2 ga boʻlinishi uchun uning oxirgi raqami juft boʻlishi zarur va yetarli.

5 ga bo'linish belgisi. Natural son 5 ga boʻlinishi uchun uning oxirgi raqami 0 yoki 5 boʻlishi zarur va yetarli.

10 ga bo'linish belgisi. Natural son 10 ga boʻlinishi uchun birliklar raqami 0 boʻlishi zarur va yetarli.

4 ga bo'linish belgisi. Kamida uchta raqamdan iborat natural son 4 ga boʻlinishi uchun oxirgi raqamlar 00, 04, 08 boʻlishi yoki bu sonning oxirgi ikki raqamidan hosil boʻlgan ikki xonali son quyidagiga boʻlinishi zarur va yetarlidir. 4.

2 ga bo'linish belgisi (9 ga). Natural son 3 ga (9 ga) boʻlinishi uchun uning raqamlari yigʻindisi 3 ga (9 ga) boʻlinishi zarur va yetarli.

Butun sonlar to‘plami

Nuqtada boshi bo'lgan son chizig'ini ko'rib chiqing O. Undagi nol sonining koordinatasi nuqta bo'ladi O. Raqamlar chizig'ida berilgan yo'nalishda joylashgan raqamlar musbat sonlar deyiladi. Sanoq chizig'ida nuqta berilgan bo'lsin A koordinatasi bilan 3. Bu musbat raqam 3 ga to'g'ri keladi. Endi nuqtadan uch marta birlik segmentini chetga olib chiqamiz. O, berilganga qarama-qarshi yo'nalishda. Keyin biz bir nuqtaga ega bo'lamiz A", nuqtaga simmetrik A kelib chiqishiga nisbatan O. nuqta koordinatasi A" raqam bo'ladi - 3. Bu raqamga qarama-qarshi bo'lgan son 3. Sanoq chizig'ida berilganiga qarama-qarshi yo'nalishda joylashgan raqamlar manfiy sonlar deyiladi.

Natural sonlarga qarama-qarshi bo'lgan sonlar sonlar to'plamini tashkil qiladi N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Agar biz to'plamlarni birlashtirsak N , N" va singleton to'plami {0} , keyin biz to'plamni olamiz Z barcha tamsayılar:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Butun sonlar uchun yuqorida sanab o‘tilgan barcha qo‘shish va ko‘paytirish qonunlari to‘g‘ri, natural sonlar uchun ham to‘g‘ri bo‘ladi. Bundan tashqari, ayirishning quyidagi qonunlari qo'shiladi:

a - b = a + (- b) ;

a + (- a) = 0 .

Ratsional sonlar to'plami

Butun sonlarni nolga teng bo'lmagan istalgan songa bo'lish operatsiyasini amalga oshirish uchun kasrlar kiritiladi:

Qayerda a Va b butun sonlar va b nolga teng emas.

Agar butun musbat va manfiy kasrlar to‘plamini butun sonlar to‘plamiga qo‘shsak, ratsional sonlar to‘plamini olamiz. Q :

.

Bundan tashqari, har bir butun son ham ratsional sondir, chunki, masalan, 5 raqami sifatida ifodalanishi mumkin, bu erda pay va maxraj butun sonlardir. Bu ratsional sonlar ustida operatsiyalarda muhim ahamiyatga ega, ulardan biri butun son bo'lishi mumkin.

Ratsional sonlar ustidagi arifmetik amallar qonunlari

Kasrning asosiy xossasi. Agar berilgan kasrning soni va maxraji bir xil natural songa ko'paytirilsa yoki bo'linsa, berilgan kasrga teng kasr olinadi:

Bu xususiyat kasrlarni kamaytirishda ishlatiladi.

Kasrlarni qo'shish. Oddiy kasrlarni qo'shish quyidagicha aniqlanadi:

.

Ya'ni, har xil maxrajli kasrlarni qo'shish uchun kasrlar umumiy maxrajga keltiriladi. Amalda, maxrajlari har xil bo'lgan kasrlarni qo'shish (ayirish) paytida kasrlar eng kichik umumiy maxrajga keltiriladi. Masalan, bu kabi:

Bir xil hisoblagichga ega kasrlarni qo'shish uchun sonlarni qo'shing va maxrajni bir xil qoldiring.

Kasrlarni ko'paytirish. Oddiy kasrlarni ko'paytirish quyidagicha aniqlanadi:

Ya'ni, kasrni kasrga ko'paytirish uchun birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning soniga ko'paytirish va ko'paytmani yangi kasrning soniga yozish va birinchi kasrning maxrajini ko'paytirish kerak. ikkinchi kasrning maxraji va hosilani yangi kasrning maxrajiga yozing.

Kasrlarning bo'linishi. Oddiy kasrlarning bo'linishi quyidagicha aniqlanadi:

Ya'ni, kasrni kasrga bo'lish uchun birinchi kasrning sonini ikkinchi kasrning maxrajiga ko'paytirish va ko'paytmani yangi kasrning maxrajiga yozish va birinchi kasrning maxrajini ko'paytirish kerak. ikkinchi kasrning soni va hosilani yangi kasrning maxrajiga yozing.

Kasrni tabiiy ko'rsatkichli darajaga ko'tarish. Ushbu operatsiya quyidagicha aniqlanadi:

Ya'ni, kasrni darajaga ko'tarish uchun hisob o'sha darajaga, maxraj esa bu darajaga ko'tariladi.

Davriy o'nli kasrlar

Teorema. Har qanday ratsional sonni chekli yoki cheksiz davriy kasr sifatida ifodalash mumkin.

Misol uchun,

.

Sonning oʻnli kasr belgisida oʻnli kasrdan keyin ketma-ket takrorlanadigan raqamlar guruhi davr, yozuvida shunday davrga ega boʻlgan chekli yoki cheksiz oʻnli kasr esa davriy deyiladi.

Bunday holda, har qanday chekli o'nli kasr davrda nolga teng cheksiz davriy kasr hisoblanadi, masalan:

Ikkita ratsional sonni qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish (nolga bo‘lishdan tashqari) amallarining natijasi ham ratsional son bo‘ladi.

Haqiqiy sonlar to'plami

Butun sonlar to‘plami bilan bog‘liq holda ko‘rib chiqqan son chizig‘ida ratsional son ko‘rinishidagi koordinatalarga ega bo‘lmagan nuqtalar bo‘lishi mumkin. Shunday qilib, kvadrati 2 bo'lgan ratsional son yo'q. Demak, son ratsional son emas. Shuningdek, kvadratlari 5, 7, 9 ga teng bo'lgan ratsional sonlar yo'q. Demak, , , raqamlari irratsionaldir. Raqam ham mantiqsiz.

Hech qanday irratsional sonni davriy kasr sifatida ifodalab bo'lmaydi. Ular davriy bo'lmagan kasrlar sifatida ifodalanadi.

Ratsional va irratsional sonlar to'plamining birlashishi haqiqiy sonlar to'plamidir R .

Ta'rif 19. Kopgina E chaqirdi ochiq agar uning barcha nuqtalari ichki bo'lsa, ya'ni uning chegara nuqtalari bo'lmasa.

Ta'rif 20. Kopgina E chaqirdi yopiq , agar u barcha chegara nuqtalarini o'z ichiga olsa, ya'ni. (Aks holda,
).

1-misol Har qanday n-o’lchovli integral ochiq to’plamdir. Har qanday segment yopiq to'plamdir.

Yopiq va ochiq to'plamlar sinflari barcha to'plamlarni birga qamrab olmasligiga alohida e'tibor berishingiz kerak, bundan tashqari, bu sinflar kesishadi. Yopiq ham, ochiq ham, bir vaqtning o'zida ham yopiq, ham ochiq bo'lgan to'plamlar mavjud.

2-misol Bo'sh to'plamni yopiq deb hisoblash kerak, garchi u bir vaqtning o'zida ham ochiq. Kopgina R haqiqiy sonlar bir vaqtning o'zida yopiq va ochiq.

Kopgina Q ratsional sonlar yopiq ham, ochiq ham emas. Chiziqli yarim oraliq yopiq to'plam ham, ochiq to'plam ham emas.

Teorema 3. Har qanday to'p S(a, r) - ochiq to'plam.

Isbot:

Bo'lsin. Keling, olamiz
. Keling, to'p ekanligini isbotlaylik
(bu to'pning istalgan nuqtasini anglatadi
- ichki, ya'ni
ochiq to'plam). Keling, olamiz. Keling, buni isbotlaylik
, buning uchun biz masofani taxmin qilamiz
:

Binobarin,
, ya'ni
, ya'ni S(a, r) - ochiq to'plam.

Teorema 4. Olingan to'plam
har qanday to'plam E yopiq.

Isbot:

Bo'lsin
. Keyin har qanday mahallada
ball kamida bitta nuqta bor to'plamlar
, dan farqli . Chunki - to'plamning chegara nuqtasi E, keyin uning har qanday mahallasida (shu jumladan, o'zboshimchalik bilan kichik bo'lgan
) kamida bitta nuqta bor to'plamlar E, nuqtadan farq qiladi . Shunday qilib, ta'rifga ko'ra, nuqta to'plam uchun chegara nuqtasidir E. Shunday qilib,
, bu ta'rifiga ko'ra to'plamni bildiradi E.

Shuni ta'kidlash kerakki, ma'lum bir holatda olingan to'plam
bo'sh bo'lishi mumkin.

Ochiq va yopiq to`plamlarning xossalari

Teorema 5. Har qanday cheklangan sonli yopiq to'plamlarning birlashmasi yopiq to'plamdir.

Isbot:

Bo'lsin
yopiq to'plamlardir. Keling, buni isbotlaylik
yopiq to'plamdir.

Bo'lsin - to'plamning chegara nuqtasi

. Keyin - to'plamlardan kamida bittasining chegara nuqtasi
(qarama-qarshilik bilan isbotlangan). Chunki yopiq to'plam bo'lsa, u holda
. Ammo keyin
. Shunday qilib, to'plamning har qanday chegara nuqtasi
unga tegishli, ya'ni
yopiq.

Teorema 6. Istalgan miqdordagi yopiq to'plamlarning kesishishi yopiq to'plamdir.

Isbot:

Bo'lsin
- yopiq to'plamlarning har qanday to'plami. Keling, buni isbotlaylik
yopiq to'plamdir.

Bo'lsin - to'plamning chegara nuqtasi

. Keyin, 1-teorema bo'yicha, har qanday mahallada

. Ammo to'plamning barcha nuqtalari
to'plamlarning nuqtalari hamdir
. Shuning uchun, in
dan cheksiz ko'p nuqtalarni o'z ichiga oladi
. Ammo barcha to'plamlar yopiq, shuning uchun

Va
, ya'ni
yopiq.

Teorema 7. Agar to'plam F yopiq, keyin uning to‘ldiruvchisi CF ochiq.

Isbot:

Bo'lsin. Chunki
yopiq, keyin uning chegara nuqtasi emas (
). Lekin bu mahalla borligini bildiradi
ball , bu to'plamning nuqtalarini o'z ichiga olmaydi F, ya'ni
. Keyin
va shuning uchun - to'plamning ichki nuqtasi
. Chunki - to'plamning ixtiyoriy nuqtasi CF, u holda bu to'plamning barcha nuqtalari ichki, ya'ni CF ochiq.

Teorema 8. Agar to'plam G ochiq, keyin uning to‘ldiruvchisi CG yopiq.

Isbot:

Ba'zi mahalla bilan birga bo'lsin. Binobarin, to'plamning chegara nuqtasi emas CG. Shunday qilib,
uchun cheklovchi nuqta emas
, ya'ni
uning barcha chegara nuqtalarini o'z ichiga oladi. Ta'rifiga ko'ra,
yopiq.

Teorema 9. Istalgan miqdordagi ochiq to'plamlarning birlashmasi ochiq to'plamdir.

Isbot:

Bo'lsin
- ochiq to'plamlarni o'zboshimchalik bilan yig'ish Va
. Keling, buni isbotlaylik - ochiq to'plam. Bizda ... bor:

.

To'plamlardan beri ochiq
, keyin 8-teorema bo'yicha to'plamlar
yopiq
. Keyin 6-teorema bo'yicha ularning kesishishi

ochiq.

10-teorema. Har qanday cheklangan sonli ochiq to'plamlarning kesishishi ochiq to'plamdir.

Isbot:

Bo'lsin
- har qanday cheklangan sonli ochiq to'plamlarning kesishishi
. Keling, buni isbotlaylik - ochiq to'plam. Bizda ... bor:

.

To'plamlardan beri ochiq
, keyin 8-teorema bo'yicha to'plamlar
yopiq
. Keyin 5-teorema bo'yicha ularning birlashishi

yopiq. 7-teorema bo'yicha to'plam
ochiq.

Ta'rifi: Kopgina A chaqirdi yopiq * operatsiyasiga nisbatan, agar ushbu amalni to'plamning istalgan elementlariga qo'llash natijasi bo'lsa A ham to‘plamning elementi hisoblanadi A. (Agar mavjud bo'lsa a,bÎ A, a*bÎ A, keyin to'plam A operatsiya ostida yopiq *)

To'plamning operatsiyaga nisbatan yopiqligini isbotlash uchun buni barcha holatlarni to'g'ridan-to'g'ri sanab o'tish orqali tekshirish kerak (1b-misol) yoki umumiy shaklda fikr yuritish kerak (2-misol). Yopishni rad etish uchun yopilishning buzilishini ko'rsatadigan bitta misolni keltirish kifoya (misol 1a).

1-misol.

Bo'lsin A = {0;1}.

a) * amali sifatida qo'shish (+) ning arifmetik amalini olamiz. To'plamni o'rganish A qo'shish operatsiyasiga nisbatan yopiqlik uchun (+):

0 + 1 = 1 O A; 0 + 0 = 0 O A; 1 + 0 = 1O A; 1 + 1 = 2 P A.

Bizda bitta holatda (1 + 1) to'plam elementlariga (+) amalni qo'llash natijasi bor. A to'plamga tegishli emas A. Shunga asoslanib, biz to'plam degan xulosaga kelamiz A qo'shish operatsiyasi ostida yopilmaydi.

b) Endi * amali sifatida ko'paytirish (×) amalini olamiz.

0×1 = 0 O A; 0×0 = 0 O A; 1×0 = 0 O A; 1×1 = 1 O A.

To'plamning har qanday elementlari uchun A ko'paytirish amalini qo'llash natijasi ham to'plamning elementi hisoblanadi A. Binobarin, A ko'paytirish operatsiyasi ostida yopiq.

2-misol.

7 ga karrali butun sonlar toʻplamini toʻrtta arifmetik amal ostida yopish uchun tekshirib koʻring.

Z 7 = {7n, nÎ Z ) yettiga karrali sonlar toʻplamidir.

Bu aniq Z 7 bo'linish operatsiyasiga nisbatan yopiq emas, chunki, masalan,

7 O Z 7 , 14 O Z 7 lekin 7: 14 = ½ Ï Z 7 .

To'plamning yopiqligini isbotlaylik Z 7 qo'shish operatsiyasi haqida. Bo'lsin m, k ixtiyoriy butun sonlar, keyin 7 mÎ Z 7 va 7 kÎ Z 7. 7 summasini hisobga oling m+ 7 k= 7∙(m+ k).

Bizda ... bor mÎ Z , kÎ Z . Z z qo‘shilishi ostida yopiladi m+ k = l - butun son, ya'ni lÎ Z Þ 7 lÎ Z 7 .

Shunday qilib, ixtiyoriy butun sonlar uchun m Va k isbotladi (7 m+ 7 k) Î Z 7. Shuning uchun, to'plam Z 7 qo'shimcha ostida yopiladi. Ayirish va ko'paytirish amallaridagi yopiqlik xuddi shunday isbotlangan (o'zingiz bajaring).

1.

a) juft sonlar to'plami (boshqacha qilib aytganda: 2 ga bo'linadigan butun sonlar to'plami ( Z 2));

b) manfiy butun sonlar to'plami ( Z –);

ichida) A = {0;1};

G) C= {–1;0;1}.

2. Qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lishning arifmetik amallari bo‘yicha quyidagi to‘plamlarni yakunlashni o‘rganing:

a) toq sonlar to‘plami;

b) oxirgi raqami nolga teng natural sonlar to‘plami;

ichida) B = {1};

G) D = {–1;1}.

3.

a) ko'p N natural sonlar;

b) o'rnatish Q ratsional sonlar;

ichida) D = {–1;1};

d) toq sonlar to'plami.

4. Quyidagi to'plamlarni ko'rsatkichga nisbatan yopiqligini tekshiring:

a) ko'p Z butun sonlar;

b) o'rnatish R haqiqiy raqamlar;

v) juft sonlar to‘plami;

G) C = {–1; 0; 1}.

5. To'plamga ruxsat bering G, faqat ratsional sonlardan iborat, qo'shish ostida yopiladi.

a) G to'plamidagi uchta raqamni ko'rsating, agar unda 4 raqami borligi ma'lum bo'lsa.

b) to'plam ekanligini isbotlang G 5 va 12 raqamlarini o'z ichiga olgan bo'lsa, 2 raqamini o'z ichiga oladi.

6. To'plamga ruxsat bering K, faqat butun sonlardan iborat, ayirishda yopiladi.

a) To'plamdagi uchta raqamni ko'rsating K, agar unda 5 raqami borligi ma'lum bo'lsa.

b) to'plam ekanligini isbotlang K 7 va 3 raqamlari bo'lsa, 6 raqamini o'z ichiga oladi.

7. Amaliyot ostida yopilmagan natural sonlardan iborat to‘plamga misol keltiring:

a) qo'shish;

b) ko'paytirish.

8. 4 raqamini o'z ichiga olgan va operatsiyalar ostida yopilgan to'plamga misol keltiring:

a) qo‘shish va ayirish;

Haqiqiy chiziq turlarini o'rnating

A to'plamiga nisbatan nuqta holati

Bir tomonlama mahallalar

Haqiqiy chiziq topologiyasi

Raqamli to'plamlar

Raqamlarning asosiy to'plami Bo'lim Va interval(a; b).

A sonlar to'plami chaqiriladi yuqoridan chegaralangan, agar har qanday a n A uchun £ M bo'ladigan M soni mavjud bo'lsa. Bu holda M soni deyiladi. yuqori yuz yoki mayor to'plamlar.

Supremum A to'plamlari, A to'plamlari deyiladi ...

... o'zining asosiy yo'nalishlarining eng kichigi;

… shunday M soniki, har qanday a n A uchun va M ning istalgan qo‘shnisi uchun £ M A to‘plamning elementi bo‘lsin;

Xuddi shunday, tushunchalar pastdan chegaralangan», « kichik"(pastki chegara) va" infimum» (aniq pastki chegara).

Haqiqiy chiziqning to'liqligi (ekvivalent formulalar)

1. Uyalangan segmentlar xossasi. É É … É É … segmentlari berilgan bo‘lsin, ularning kamida bitta umumiy nuqtasi bor. Agar segmentlarning uzunligi o'zboshimchalik bilan kichik tanlanishi mumkin bo'lsa, unda bunday nuqta noyobdir.

Xulosa: mavjudlik teoremalarining dixotomiya usuli. Bir segment berilsin. Biz uni yarmiga ajratamiz va yarmidan birini tanlaymiz (u kerakli xususiyatga ega bo'lishi uchun). Bu yarmi bilan belgilanadi. Biz bu jarayonni cheksiz davom ettiramiz. Biz uzunliklari 0 ga yaqinlashadigan ichki o'rnatilgan segmentlar tizimini olamiz. Demak, ular bitta umumiy nuqtaga ega. Bu talab qilinadigan bo'lishini isbotlash uchun qoladi.

2. Yuqorida chegaralangan har qanday bo'sh bo'lmagan to'plam uchun supremum mavjud.

3. Biri ikkinchisining chap tomonida joylashgan har qanday ikkita bo'sh bo'lmagan to'plam uchun ularni ajratib turuvchi nuqta mavjud (bo'limlarning mavjudligi).

Turar joy dahasi:

U(x) = (a, b), a< x < b; Ue(x) = (x – e; x + e), e > 0;

U(¥) = (–¥; a) U (b; ¥), Ue(¥) = (–¥; –e) U (e; +¥), e > 0;

U(+¥) = (e; +¥); U(–¥) = (–¥; –e).

Teshilgan mahallalar:

Ǔ(x) = (a, x) U (x, b) = U(x) \ (x); Ǔe(x) = (x – e; x) U (x; x + e) ​​= Ue(x) \ (x)

Ue–(x) = (x – e; x], e > 0; Ue+(x) = )