Până acum, vorbind despre distanță, ne-am referit întotdeauna la distanța euclidiană. Deci, am definit distanța dintre vectori ca lungimea vectorului, și anume:

Dar distanțele pot fi calculate în alt mod, folosind diferite măsuri de lungime. De exemplu, luați în considerare o hartă simplificată a unui oraș sub forma unei rețele dreptunghiulare de străzi cu două sensuri. Atunci o măsură adecvată a lungimii poate fi cea mai scurtă distanță care trebuie depășită pentru a ajunge de la o intersecție la alta. Uneori, această distanță se numește Manhattan.

În loc să enumeram tot felul de măsuri de lungime, dintre care majoritatea nu vom avea nevoie, vom lua în considerare acum cerințele (axiomele) pe care trebuie să le satisfacă o măsură arbitrară a lungimii. Toate teoremele distanței ulterioare vor fi demonstrate în cadrul acestor axiome, adică în cel mai vedere generala. În matematică, se obișnuiește să se folosească termenul metric în locul expresiei „măsura lungimii”.

Metrici.

O metrică dintr-o mulțime X este o funcție reală d(x, y) definită pe produsul x și care satisface următoarele axiome:

b) presupune

d) pentru toate (inegalitatea triunghiulară).

O pereche se numește spațiu metric Dovada că distanța euclidiană satisface axiomele (a), (b) și (c) este trivială. Inegalitatea triunghiului:

am demonstrat în § 3.1 (Teorema 3.1.2). Astfel, distanța euclidiană este o metrică, pe care o vom numi de acum înainte metrica euclidiană.

Luați în considerare o clasă importantă de metrici în spațiu, și anume clasa de metrici. -metric este o generalizare a metricii euclidiene și coincide cu aceasta pentru . Pentru metrica p este definită după cum urmează:

Vom lăsa fără dovezi următorul fapt:

Dovada că -metricul este într-adevăr o metrică, i.e. satisface axiomele pe care le omitem. Parțial, această întrebare este inclusă în exerciții.

Rețineți că în definiția metricii, nu am cerut ca elementele x și y să aparțină spațiului . Acest lucru ne permite să definim mulțimea X, precum și elementele sale x, y etc., în multe moduri diferite. Sarcina noastră este să indicăm în ce condiții converge construcția fractală. Pentru a face acest lucru, trebuie să puteți măsura distanța dintre seturile compacte, adică trebuie să determinați metrica adecvată.

Teoria multimilor in spatii metrice.

Trebuie să facem un mare pas înainte și să extindem definițiile teoretice de mulțimi din Secțiunea 3.1, care implica metrica euclidiană, la metrici arbitrare. O bilă deschisă într-un spațiu metric (X, d) este definită după cum urmează:

Ținând cont de (3.4), putem lăsa neschimbate definițiile de mai sus ale următoarelor concepte:

De exemplu, un set este un set deschis dacă și numai dacă pentru oricare poate specifica o minge deschisă (în sensul definiției (3.4)), care este conținută în E. Toate definițiile sunt incluse în listă fără modificări, cu excepția pentru conceptul de compactitate. O definiție riguroasă a unui set compact într-un spațiu metric arbitrar este dată în App. Deoarece ne interesează în principal compactitatea submulțimii spațiului, definiția dată mai sus (închidere și mărginire) rămâne valabilă.

Dacă este o metrică pe mulțimea X și este o funcție reală unu-la-unu, atunci

există și o metrică pe X. Axiomele (a) și (c) sunt în mod evident satisfăcute. satisface axioma (b), deoarece este o funcție unu-la-unu. Axioma (d) poate fi scrisă ca o inegalitate:

adică inegalitatea triunghiulară clasică pt numere reale. Un exemplu de metrică definită astfel:

Două metrici, definite pe o mulțime X, se spune că sunt echivalente dacă se poate specifica astfel încât:

Se poate arăta că oricare două -metrice din spațiul în care sunt echivalente (cazul este scos în exercițiul 3 la sfârșitul acestei secțiuni). Pe de altă parte, metricile de pe mulțimea R nu sunt echivalente (Ex. 4 la sfârșitul acestei secțiuni).

Aparent, principala consecință a echivalenței metricii pentru teoria fractalilor este faptul că dimensiunea fractală (Capitolul 5) se păstrează atunci când metrica este înlocuită cu una echivalentă. În plus, dacă o mulțime este deschisă (închisă) într-o metrică, atunci este și deschisă (închisă) în orice metrică echivalentă. În plus, dacă o mulțime este mărginită într-o metrică, atunci este mărginită în orice metrică echivalentă. Același lucru este valabil și pentru seturile perfecte, conectate și complet discontinue.

Convergenţă.

Fie o metrică pe o mulțime X. O succesiune de puncte a unui spațiu metric X converge către limita în metrica d dacă șirul de numere converge către zero în sensul obișnuit, adică dacă:

Aici echivalența valorilor este exprimată după cum urmează. Dacă valorile sunt echivalente, atunci în -metrică dacă și numai dacă în -metrică, deoarece:

Daca da, si invers.

Continuitate.

În cursul analizei matematice, o funcție definită pe X se numește continuă într-un punct dacă.

Una dintre cele mai importante operațiuni de analiză este trecerea la limită. Această operație se bazează pe faptul că distanța de la un punct la altul este definită pe linia numerică. Multe fapte fundamentale ale analizei nu sunt legate de natura algebrică a numerelor reale (adică de faptul că formează un câmp), ci se bazează doar pe conceptul de distanță. Generalizând ideea numerelor reale ca mulțime în care este introdusă distanța dintre elemente, ajungem la conceptul de spațiu metric - unul dintre cele mai importante concepte ale matematicii moderne.

spațiu metric numit un cuplu (X, r), format din unele seturi(spații) X elemente(puncte) și distanţă, adică o funcție reală nenegativă r(x, y), definit pentru orice XȘi la din Xși supus următoarelor trei axiome:

1) r(x, y)= 0 dacă și numai dacă X = y,

2) r(x, y) = r(y, x)(axioma de simetrie),

3) r(x, r)≤ r(x, y)+ r(y, r)(axioma triunghiului).

Spațiul metric însuși, adică perechea (X, p), vom desemna, de regulă, printr-o singură literă:

R = (X, p).

În cazurile în care neînțelegerile sunt excluse, deseori vom desemna spațiul metric cu același simbol ca „stocul de puncte” însuși. X.

Să dăm exemple de spații metrice. Unele dintre aceste spații joacă un rol foarte important în analiză. rol important.

1. Setarea elementelor unei mulțimi arbitrare

obţinem, evident, un spaţiu metric. Poate fi numit spațiul punctelor izolate.

2. Multe numere reale cu distanta

ρ(x, y) = | X y |

formează un spațiu metric R 1 .

3. Ansamblul colecţiilor ordonate din P numere reale cu distanta

numit P-spaţiu euclidian aritmetic dimensional Rn.

4. Considerați același set de mulțimi din P numere reale, dar distanța este definită în el prin formulă

Valabilitatea axiomelor 1)-3) este evidentă aici. Notăm acest spațiu metric prin simbol Rn 1 .

5. Luați din nou același set ca în exemplele 3 și 4 și determinați distanța dintre elementele sale prin formula

Valabilitatea axiomelor 1)-3) este evidentă. Acesta este spațiul pe care îl vom desemna Rn¥ în multe întrebări de analiză nu este mai puțin convenabil decât spațiul euclidian Rn.

Ultimele trei exemple arată că uneori este cu adevărat important să existe notații diferite pentru spațiul metric în sine și pentru mulțimea de puncte ale acestuia, deoarece același set de puncte poate fi metricizat în moduri diferite.

6. Multe DIN a tuturor funcțiilor reale continue definite pe segment cu distanta

formează și un spațiu metric. Axiomele 1)-3) sunt verificate direct. Acest spațiu joacă un rol foarte important în analiză. O vom nota cu același simbol DIN, care este setul de puncte din acest spațiu însuși.

7. Considerăm, ca în Exemplul 6, colecția tuturor funcțiilor continue pe interval DIN , dar definim diferit distanța și anume setăm

Vom desemna un astfel de spațiu metric DIN 2 si suna spaţiu funcții continue cu metrica pătratică.

1. Spațiul punctelor izolate.

Set arbitrar și

2. Mulțimea numerelor reale cu distanță formează un spațiu metric.

3. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale cu se numește - spațiu euclidian aritmetic dimensional.

Dovada.

Pentru a demonstra că un spațiu este metric, este necesar să se verifice satisfacabilitatea axiomelor.

Lasa , , .

, , …, , adică .

A3. Să verificăm dacă axioma triunghiului este valabilă. Scriem axioma sub forma:

Presupunând , , obținem și .

Pentru a demonstra această inegalitate, se folosește inegalitatea Cauchy-Bunyakovsky.

Într-adevăr,

Prin urmare, axioma triunghiului este satisfăcută, iar mulțimea luată în considerare cu o metrică dată este un spațiu metric.

Q.E.D.

4. Mulțimea grupelor ordonate de numere reale cu . Acest spațiu metric este notat cu .

5. Mulțimea grupelor ordonate de numere reale cu . Acest spațiu metric este notat cu .

Exemplele 3, 4 și 5 arată că același stoc de puncte poate fi măsurat diferit.

6. Mulțimea tuturor funcțiilor reale continue definite pe un segment cu distanța . Acest spațiu metric este notat ca mulțime de puncte din spațiul însuși: . În special, în loc să scrieți.

7. Indică un spațiu metric ale cărui puncte sunt toate secvențele posibile de numere reale care îndeplinesc condiția , iar metrica este definită prin formula .

Dovada.

Din moment ce, are sens pentru toți. Acestea. seria converge dacă și .

Să arătăm ce satisface axiomele.

Axiomele 1, 2 sunt evidente. Axioma triunghiului ia forma:

Toate seriile sunt convergente.

Inegalitatea este adevărată pentru oricine (vezi exemplul 3). Pentru , obținem o inegalitate pentru .

Q.E.D.

8. Se consideră mulțimea tuturor funcțiilor care sunt continue pe intervalul și . Un astfel de spațiu metric este notat și numit spațiu al funcțiilor continue cu o metrică pătratică.

9. Se consideră mulțimea tuturor șirurilor mărginite de numere reale. Să definim. Acest spațiu metric este notat cu .

10. Mulțimea grupurilor ordonate de numere reale cu distanța , unde este orice număr fix , este un spațiu metric notat cu .

Metrica considerată în acest exemplu se transformă în metrica euclidiană la (vezi Exemplul 3) și în metrica din Exemplul 4 la . Se poate arăta că metrica (vezi Exemplul 5) este cazul limitativ al .

11. Luați în considerare toate secvențele posibile de numere reale care îndeplinesc condiția , unde este un număr fix, iar distanța este determinată de formula . Avem un spațiu metric.

12. Fie - mulțimea tuturor secvențelor infinite - numere complexe. Să definim. Avem un spațiu metric.

Definiție: Fie un spațiu metric și orice submulțime de . Apoi, cu aceeași funcție , care este acum definită pentru , este un spațiu metric, care este numit subspațiu spatii.

Noțiuni de bază

Notează spațiul metric cu .

Definiție: Se numește o secvență aparținând unui spațiu metric fundamental, dacă fiecare corespunde unui număr astfel încât inegalitatea este valabilă pentru orice .

Definiție: Se numește o secvență aparținând unui spațiu metric convergente, dacă există astfel încât fiecare să corespundă unui număr astfel încât inegalitatea să fie adevărată pentru toți. Apoi a sunat limită secvente.

Teorema: Dacă o secvență are o limită, atunci este unică.

Dovada.

Într-adevăr, dacă și , atunci . Din moment ce și , atunci , i.e. .

Teorema a fost demonstrată.

Definiție: Spațiu metric complet se numește spațiu metric în care converge fiecare succesiune fundamentală.

Teorema: Metrica ca functie a doua argumente este o functie continua, i.e. dacă și , atunci .

Dovada:

Lasa , , , .

Prin inegalitatea triunghiului:

Din (1) obținem:

Din (2) obținem:

Pentru că ,

Să notăm.

ÎN spațiu metric poate fi considerat diverse seturi, vecinătăți de puncte, puncte limită și alte concepte ale analizei clasice.

Definiție: Sub Cartier punctele inteleg multimea care contine o bila deschisa cu raza centrata in punctul , i.e.

Definiție: Punctul se numește punct limită pentru mulțimea dacă orice vecinătate a punctului conține cel puțin un punct din , care este diferit de .

Definiție: Punctul se numește punct intern stabilește dacă este inclus în împreună cu o parte din vecinătatea sa.

Definiție: Setul este numit deschis dacă este format doar din puncte interioare. Setul este numit închisîn sine dacă conține toate punctele sale limită.

Spațiul metric este închis.

Subspațiile pot fi, de asemenea, subseturi neînchise.

Dacă pentru a uni toate punctele sale limită, atunci vom obține închiderea .

Definiție: Se numește o mulțime situată într-un spațiu metric închis, dacă coincide cu închiderea sa: .

Set închis, există cel mai puțin set închis conținând .

Definiție: Lasa . Setul este numit densîn dacă . Setul este numit dens peste tot, dacă . Setul este numit nicăieri dens în, dacă oricare ar fi mingea , există o altă minge liberă din punctele setului .

Definiție: Un spațiu se numește separabil dacă conține o mulțime numărabilă densă peste tot.

ÎN analiză matematică un rol important îl joacă proprietatea de completitudine a dreptei numerice reale, adică faptul că orice succesiune fundamentală de numere reale converge către o anumită limită (criteriul de convergență al lui Cauchy).

Linia numerică este un exemplu de spații metrice complete.

Spațiile punctelor izolate, , , , , , sunt spații metrice complete.

Spaţiu incomplet.

În analiză, așa-numitul lema segmentului imbricat :

Fie un sistem de segmente imbricate. Apoi pentru segmentul pe care îl avem .

Aceasta înseamnă că toate segmentele din set au un punct comun.

În teoria spațiilor metrice, teorema bilelor încorporate joacă un rol similar.

Teorema: Pentru ca un spațiu metric să fie complet, este necesar și suficient ca în el orice succesiune de bile imbricate unele în altele, ale căror raze să aibă o intersecție nevide.

Dovada:

Nevoie:

Fie un spațiu metric complet și fie o succesiune de bile închise imbricate.

Fie raza și centrul mingii.

Succesiunea de centre este fundamentală, deoarece la , și la . Deoarece - este complet, atunci . Să spunem atunci. Într-adevăr, mingea conține toate punctele secvenței, cu posibila excepție a punctelor. Astfel, punctul este punctul de atingere (punctul limită) pentru fiecare minge. Dar din moment ce este un set închis, atunci .

Adecvarea:

Să fie o secvență fundamentală. Să demonstrăm că are o limită. În virtutea faptului că suntem fundamentale, putem alege un punct din succesiune astfel încât pentru toți . Să luăm punctul ca centru al unei bile închise cu raza . Să notăm această bilă ca . , imbricate unul în celălalt, iar mingea - o bilă închisă cu rază conține un punct prin finalizare

spațiu metric.

spațiu metric este o mulțime în care este definită distanța dintre orice pereche de elemente.

Un spațiu metric este o pereche, unde este o mulțime ( set de subiecte spațiu metric, set puncte spațiu metric) și - functie numerica (metrici spațiu), care este definit pe produs cartezianși ia valori în mulțimea numerelor reale - astfel încât pentru puncte

Notă: Din axiome rezultă că funcția de distanță este nenegativă, deoarece

Afișaje comprimate.

Mapări comprimate una dintre principalele prevederi ale teoriei spații metrice asupra existenței și unicității unui punct fix al unei mulțimi sub o mapare specială („contractantă”) a acestuia în sine. Asa de. p. sunt utilizate în principal în teoria ecuaţiilor diferenţiale şi integrale.

Afișare arbitrară DAR spațiu metric Mîn sine, care la fiecare punct X din M se potrivește cu un anumit punct y = ax din M, generează în spațiu M ecuația

Ax = x. (*)

Afișare acțiune DAR punct X poate fi interpretat ca o mutare la un punct y = ax. Punct X se numește punctul fix al cartografierii DAR dacă egalitatea (*) este valabilă. Acea. problema solvabilității ecuației (*) este problema găsirii punctelor fixe ale mapării DAR.

Afişa DAR spațiu metric Mîn sine se spune că este contractat dacă există astfel număr pozitiv A< 1, что для любых точек XȘi la din M inegalitatea

d( Axe, da) £ a d(X y),

unde simbol d(tu, u) înseamnă distanța dintre puncte uși u al spațiului metric M.

Asa de. afirmă că fiecare mapare contractată a unui spațiu metric complet în sine are și, în plus, doar una, punct fix. În plus, pentru orice punct de start x0 din M urmatoarea ( x n) determinată de relaţiile de recurenţă

x n \u003d Ax n-1, n = 1,2,...,

are ca limită un punct fix X afişa DAR. În acest caz, următoarea estimare a erorii este valabilă:

.

Asa de. n. permite demonstrarea unor teoreme importante privind existența și unicitatea soluțiilor la ecuații diferențiale, integrale și alte ecuații printr-o metodă unificată. În condițiile aplicabilității S. o. n. soluţia poate fi calculată cu o precizie prestabilită aproximări succesive metodă.

Cu ajutorul unei anumite alegeri a spațiului metric complet Mși construcția de afișaje DAR aceste probleme sunt mai întâi reduse la ecuația (*) și apoi găsesc condițiile în care se realizează maparea DAR pare a fi comprimat.

Convergența mapărilor în raport cu această metrică este echivalentă cu convergența lor uniformă pe întreg spațiul.

În cazul particular când este un spațiu compact, este o dreaptă reală, se obține spațiul tuturor funcțiilor continue pe spațiul X cu metrica convergenței uniforme.

Pentru ca această funcție să devină metrică, în primele două spații este necesară identificarea funcțiilor care diferă pe un set de măsură 0. În caz contrar, această funcție va fi doar o semimetrică. (În spațiul funcțiilor care sunt continue pe un interval, funcțiile care diferă pe un set de măsură 0 coincid oricum.)