Come puoi ricordare da curriculum scolastico in geometria, un triangolo è una figura formata da tre segmenti collegati da tre punti che non giacciono su una linea retta. Il triangolo forma tre angoli, da qui il nome della figura. La definizione potrebbe essere diversa. Un triangolo può anche essere chiamato un poligono con tre angoli, la risposta sarà altrettanto vera. I triangoli sono divisi in base al numero di lati uguali e alla dimensione degli angoli nelle figure. Quindi distinguere tali triangoli come isoscele, equilatero e scaleno, così come rettangolare, angolo acuto e angolo ottuso, rispettivamente.

Esistono molte formule per calcolare l'area di un triangolo. Scegli come trovare l'area di un triangolo, ad es. quale formula usare, solo tu. Ma vale la pena notare solo alcune delle notazioni utilizzate in molte formule per calcolare l'area di un triangolo. Quindi ricorda:

S è l'area del triangolo,

a, b, c sono i lati del triangolo,

h è l'altezza del triangolo,

R è il raggio del cerchio circoscritto,

p è il semiperimetro.

Ecco le notazioni di base che possono tornare utili se hai completamente dimenticato il corso di geometria. Di seguito verranno fornite le opzioni più comprensibili e non complicate per il calcolo dell'area sconosciuta e misteriosa del triangolo. Non è difficile e ti tornerà utile sia per le tue necessità domestiche che per aiutare i tuoi figli. Ricordiamo come calcolare l'area di un triangolo facile come sgusciare le pere:

Nel nostro caso l'area del triangolo è: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cmq. Ricorda che l'area è misurata in centimetri quadrati (cmq).

Triangolo rettangolo e sua area.

Un triangolo rettangolo è un triangolo con un angolo pari a 90 gradi (quindi chiamato triangolo rettangolo). Un angolo retto è formato da due rette perpendicolari (nel caso di un triangolo, due segmenti perpendicolari). A triangolo rettangolo ci può essere solo un angolo retto, perché la somma di tutti gli angoli di un qualsiasi triangolo è di 180 gradi. Si scopre che altri 2 angoli dovrebbero dividere tra loro i restanti 90 gradi, ad esempio 70 e 20, 45 e 45, ecc. Quindi, hai ricordato la cosa principale, resta da imparare come trovare l'area di un triangolo rettangolo. Immagina di avere un tale triangolo rettangolo davanti a noi e dobbiamo trovare la sua area S.

1. Il modo più semplice per determinare l'area di un triangolo rettangolo viene calcolato utilizzando la seguente formula:

Nel nostro caso l'area di un triangolo rettangolo è: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cmq.

In linea di principio, non è più necessario verificare l'area di un triangolo in altri modi, poiché nella vita di tutti i giorni tornerà utile e solo questo aiuterà. Ma ci sono anche opzioni per misurare l'area di un triangolo attraverso angoli acuti.

2. Per altri metodi di calcolo, è necessario disporre di una tabella di coseni, seni e tangenti. Giudica tu stesso, ecco alcune opzioni per calcolare le aree di un triangolo rettangolo che puoi ancora usare:

Abbiamo deciso di utilizzare la prima formula e con piccole macchie (abbiamo disegnato su un quaderno e utilizzato un vecchio righello e goniometro), ma abbiamo ottenuto il calcolo giusto:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Abbiamo ottenuto tali risultati 3.6=3.7, ma tenendo conto dello spostamento di cella, possiamo perdonare questa sfumatura.

Triangolo isoscele e sua area.

Se ti trovi di fronte al compito di calcolare la formula triangolo isoscele, quindi il modo più semplice è utilizzare quello principale e poiché è considerata la formula classica per l'area di un triangolo.

Ma prima, prima di trovare l'area di un triangolo isoscele, scopriremo che tipo di figura è. Un triangolo isoscele è un triangolo i cui due lati hanno la stessa lunghezza. Questi due lati sono chiamati lati, il terzo lato è chiamato base. Non confondere un triangolo isoscele con uno equilatero, cioè triangolo rettangolo con tutti e tre i lati uguali. In un tale triangolo non ci sono particolari tendenze agli angoli, o meglio alla loro grandezza. Tuttavia, gli angoli alla base in un triangolo isoscele sono uguali, ma diversi dall'angolo tra lati uguali. Quindi, conosci già la prima e principale formula, resta da scoprire quali altre formule sono note per determinare l'area di un triangolo isoscele.

A volte nella vita ci sono situazioni in cui devi scavare nella tua memoria alla ricerca di conoscenze scolastiche dimenticate da tempo. Ad esempio, è necessario determinare l'area di un appezzamento di terreno di forma triangolare, oppure è arrivato il turno della prossima riparazione in un appartamento o in una casa privata e è necessario calcolare la quantità di materiale necessaria per una superficie di forma triangolare. C'è stato un tempo in cui potevi risolvere un problema del genere in un paio di minuti, e ora stai disperatamente cercando di ricordare come determinare l'area di un triangolo?

Non devi preoccuparti di questo! Dopotutto, è del tutto normale quando il cervello umano decide di spostare la conoscenza a lungo inutilizzata da qualche parte in un angolo remoto, dal quale a volte non è così facile estrarla. Affinché tu non debba soffrire con la ricerca di conoscenze scolastiche dimenticate per risolvere un problema del genere, questo articolo contiene vari metodi che facilitano la ricerca dell'area desiderata di un triangolo.

È noto che un triangolo è un tipo di poligono limitato dal numero minimo possibile di lati. In linea di principio, qualsiasi poligono può essere diviso in più triangoli collegando i suoi vertici con segmenti che non intersecano i suoi lati. Pertanto, conoscendo il triangolo, puoi calcolare l'area di quasi tutte le figure.

Tra tutti i possibili triangoli che si presentano nella vita, si possono distinguere i seguenti tipi particolari: e rettangolari.

Il modo più semplice per calcolare l'area di un triangolo è quando uno dei suoi angoli è retto, cioè nel caso di un triangolo rettangolo. È facile vedere che è mezzo rettangolo. Pertanto, la sua area è uguale alla metà del prodotto dei lati, che formano tra loro un angolo retto.

Se conosciamo l'altezza di un triangolo, abbassato da uno dei suoi vertici al lato opposto, e la lunghezza di questo lato, che si chiama base, allora l'area è calcolata come metà del prodotto dell'altezza e della base. Questo è scritto usando la seguente formula:

S = 1/2*b*h, in cui

S è l'area desiderata del triangolo;

b, h - rispettivamente, l'altezza e la base del triangolo.

È così facile calcolare l'area di un triangolo isoscele, poiché l'altezza dividerà in due il lato opposto e può essere facilmente misurata. Se l'area è determinata, è conveniente prendere la lunghezza di uno dei lati che forma un angolo retto come altezza.

Tutto questo è certamente buono, ma come determinare se uno degli angoli di un triangolo è giusto o no? Se la dimensione della nostra figura è piccola, puoi utilizzare un angolo di costruzione, un triangolo di disegno, una cartolina o un altro oggetto di forma rettangolare.

Ma cosa succede se abbiamo un appezzamento di terreno triangolare? In questo caso, procedere come segue: contare dall'alto della proposta angolo retto da un lato si misura una distanza multipla di 3 (30 cm, 90 cm, 3 m) e dall'altro una distanza multipla di 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) nella stessa proporzione. Ora devi misurare la distanza tra i punti finali di questi due segmenti. Se il valore è un multiplo di 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), allora si può sostenere che l'angolo è retto.

Se è noto il valore della lunghezza di ciascuno dei tre lati della nostra figura, l'area del triangolo può essere determinata utilizzando la formula di Heron. Affinché abbia una forma più semplice, viene utilizzato un nuovo valore, chiamato semiperimetro. Questa è la somma di tutti i lati del nostro triangolo, divisi a metà. Dopo aver calcolato il semiperimetro, puoi iniziare a determinare l'area utilizzando la formula:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), dove

quadrato- Radice quadrata;

p è il valore del semiperimetro (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - bordi (lati) del triangolo.

Ma cosa succede se il triangolo ha una forma irregolare? Ci sono due modi possibili qui. Il primo di questi è provare a dividere una tale figura in due triangoli rettangoli, la cui somma delle aree viene calcolata separatamente e quindi aggiunta. Oppure, se l'angolo tra i due lati e la dimensione di questi lati sono noti, applica la formula:

S = 0,5 * ab * sinC, dove

a,b - lati del triangolo;

c è l'angolo tra questi lati.

Quest'ultimo caso è raro nella pratica, ma comunque tutto è possibile nella vita, quindi la formula di cui sopra non sarà superflua. Buona fortuna con i tuoi calcoli!

Area di un triangolo - formule ed esempi di problem solving

Sotto ci sono formule per trovare l'area di un triangolo arbitrario che sono adatti per trovare l'area di qualsiasi triangolo, indipendentemente dalle sue proprietà, angoli o dimensioni. Le formule sono presentate sotto forma di immagine, qui ci sono spiegazioni per l'applicazione o giustificazione della loro correttezza. Inoltre, una figura separata mostra la corrispondenza dei simboli delle lettere nelle formule e dei simboli grafici nel disegno.

Nota . Se il triangolo ha proprietà speciali (isosceli, rettangolari, equilateri), puoi utilizzare le formule seguenti, oltre a formule speciali aggiuntive che sono vere solo per triangoli con queste proprietà:

"Formule per l'area di un triangolo equilatero"

Formule dell'area del triangolo

Spiegazioni per le formule:
a, b, c- le lunghezze dei lati del triangolo di cui vogliamo trovare l'area
r- il raggio del cerchio inscritto nel triangolo
R- il raggio del cerchio circoscritto attorno al triangolo
h- l'altezza del triangolo, abbassata di lato
p- semiperimetro di un triangolo, 1/2 della somma dei suoi lati (perimetro)
α - l'angolo opposto al lato a del triangolo
β - l'angolo opposto al lato b del triangolo
γ - l'angolo opposto al lato c del triangolo
h un, h b , h c- l'altezza del triangolo, abbassata al lato a, b, c

Tieni presente che la notazione data corrisponde alla figura sopra, quindi quando risolvi un problema reale in geometria, sarebbe visivamente più facile per te sostituire i valori corretti nei posti giusti nella formula.

L'area del triangolo è metà del prodotto dell'altezza di un triangolo e della lunghezza del lato su cui questa altezza è abbassata(Formula 1). La correttezza di questa formula può essere compresa logicamente. L'altezza abbassata alla base dividerà un triangolo arbitrario in due rettangolari. Se completiamo ciascuno di essi in un rettangolo di dimensioni b e h, allora, ovviamente, l'area di questi triangoli sarà uguale esattamente alla metà dell'area del rettangolo (Spr = bh)
L'area del triangolo è metà del prodotto dei suoi due lati e il seno dell'angolo tra di loro(Formula 2) (vedi un esempio di risoluzione di un problema utilizzando questa formula di seguito). Nonostante sembri diverso dal precedente, può essere facilmente trasformato in esso. Se abbassiamo l'altezza dall'angolo B al lato b, risulta che il prodotto del lato a e il seno dell'angolo γ, secondo le proprietà del seno in un triangolo rettangolo, è uguale all'altezza del triangolo disegnato da us, che ci darà la formula precedente
È possibile trovare l'area di un triangolo arbitrario attraverso opera metà del raggio di un cerchio inscritto in esso dalla somma delle lunghezze di tutti i suoi lati(Formula 3), in altre parole, devi moltiplicare il semiperimetro del triangolo per il raggio del cerchio inscritto (è più facile da ricordare così)
L'area di un triangolo arbitrario si trova dividendo il prodotto di tutti i suoi lati per 4 raggi del cerchio circoscritto attorno ad esso (Formula 4)
La formula 5 sta trovando l'area di un triangolo in termini di lunghezze dei suoi lati e del suo semiperimetro (metà della somma di tutti i suoi lati)
Formula di Erone(6) è una rappresentazione della stessa formula senza usare il concetto di semiperimetro, solo attraverso le lunghezze dei lati
L'area di un triangolo arbitrario è uguale al prodotto del quadrato del lato del triangolo e dei seni degli angoli adiacenti a questo lato diviso per il doppio seno dell'angolo opposto a questo lato (Formula 7)
L'area di un triangolo arbitrario può essere trovata come il prodotto di due quadrati di un cerchio circoscritto attorno ad esso e i seni di ciascuno dei suoi angoli. (Formula 8)
Se si conoscono la lunghezza di un lato e l'ampiezza dei due angoli ad esso adiacenti, l'area del triangolo può essere trovata come il quadrato di questo lato, diviso per la doppia somma delle cotangenti di questi angoli (Formula 9)
Se si conosce solo la lunghezza di ciascuna delle altezze di un triangolo (Formula 10), allora l'area di tale triangolo è inversamente proporzionale alle lunghezze di queste altezze, come dalla Formula di Erone
La formula 11 ti consente di calcolare area di un triangolo secondo le coordinate dei suoi vertici, che sono dati come valori (x;y) per ciascuno dei vertici. Si noti che il valore risultante deve essere preso modulo, poiché le coordinate dei singoli (o anche tutti) i vertici possono trovarsi nell'area dei valori negativi

Nota. I seguenti sono esempi di risoluzione di problemi in geometria per trovare l'area di un triangolo. Se devi risolvere un problema in geometria, simile a quello che non è qui, scrivilo nel forum. Nelle soluzioni, la funzione sqrt() può essere utilizzata al posto del simbolo "radice quadrata", in cui sqrt è il simbolo della radice quadrata e l'espressione radicale è indicata tra parentesi.A volte il simbolo può essere utilizzato per semplici espressioni radicali √

Un compito. Trova l'area dati due lati e l'angolo tra di loro

I lati del triangolo misurano 5 e 6 cm e l'angolo tra loro è di 60 gradi. Trova l'area di un triangolo.

Soluzione.

Per risolvere questo problema, usiamo la formula numero due della parte teorica della lezione.
L'area di un triangolo può essere trovata attraverso le lunghezze di due lati e il seno dell'angolo tra di loro e sarà uguale a
S=1/2 ab sin γ

Poiché disponiamo di tutti i dati necessari per la soluzione (secondo la formula), possiamo solo sostituire i valori dall'affermazione del problema nella formula:
S=1/2*5*6*sin60

Nella tabella dei valori funzioni trigonometriche trova e sostituisci nell'espressione il valore del seno di 60 gradi. Sarà uguale alla radice di tre per due.
S = 15√3/2

Risposta: 7.5 √3 (a seconda delle esigenze dell'insegnante, è probabilmente possibile lasciare 15 √3/2)

Un compito. Trova l'area di un triangolo equilatero

Trova l'area di un triangolo equilatero con un lato di 3 cm.

Soluzione.

L'area di un triangolo può essere trovata usando la formula di Heron:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Poiché a \u003d b \u003d c, la formula per l'area di un triangolo equilatero assumerà la forma:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Risposta: 9 √3 / 4.

Un compito. Modifica dell'area quando si modifica la lunghezza dei lati

Quante volte aumenterà l'area di un triangolo se i lati sono quadruplicati?

Soluzione.

Poiché le dimensioni dei lati del triangolo ci sono sconosciute, per risolvere il problema assumeremo che le lunghezze dei lati siano rispettivamente pari a numeri arbitrari a, b, c. Quindi, per rispondere alla domanda del problema, troviamo l'area di questo triangolo, e poi troviamo l'area di un triangolo i cui lati sono quattro volte più grandi. Il rapporto tra le aree di questi triangoli ci darà la risposta al problema.

Successivamente, diamo una spiegazione testuale della soluzione del problema per fasi. Tuttavia, alla fine, la stessa soluzione viene presentata in una forma grafica più comoda per la percezione. Chi lo desidera può subito buttare giù la soluzione.

Per risolvere, usiamo la formula di Heron (vedi sopra nella parte teorica della lezione). Sembra così:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vedi la prima riga dell'immagine qui sotto)

Le lunghezze dei lati di un triangolo arbitrario sono date dalle variabili a, b, c.
Se i lati vengono aumentati di 4 volte, l'area del nuovo triangolo c sarà:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(vedi la seconda riga nell'immagine qui sotto)

Come puoi vedere, 4 è un fattore comune che può essere racchiuso tra tutte e quattro le espressioni secondo le regole generali della matematica.
Quindi

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - sulla terza riga dell'immagine
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - quarta riga

Dal numero 256, la radice quadrata è perfettamente estratta, quindi la estraiamo da sotto la radice
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(vedere la quinta riga della figura sottostante)

Per rispondere alla domanda posta nel problema, ci basta dividere l'area del triangolo risultante per l'area di quello originale.
Determiniamo i rapporti di area dividendo le espressioni l'una nell'altra e riducendo la frazione risultante.

Il concetto di zona

Il concetto dell'area di qualsiasi figura geometrica, in particolare un triangolo, sarà associato a una figura come un quadrato. Per un'area unitaria di qualsiasi figura geometrica, prenderemo l'area di un quadrato, il cui lato è uguale a uno. Per completezza ricordiamo due proprietà fondamentali per il concetto di area delle forme geometriche.

Proprietà 1: Se una figure geometriche sono uguali, anche le loro aree sono uguali.

Proprietà 2: Qualsiasi figura può essere divisa in più figure. Inoltre l'area della figura originaria è pari alla somma dei valori delle aree di tutte le figure che la compongono.

Considera un esempio.

Esempio 1

È ovvio che uno dei lati del triangolo è la diagonale del rettangolo , che ha un lato di lunghezza $5$ (poiché $5$ celle) e l'altro $6$ (poiché $6$ celle). Pertanto, l'area di questo triangolo sarà uguale alla metà di tale rettangolo. L'area del rettangolo è

Quindi l'area del triangolo è

Risposta: $15$.

Successivamente, considera diversi metodi per trovare le aree dei triangoli, vale a dire usando l'altezza e la base, usando la formula di Heron e l'area di un triangolo equilatero.

Come trovare l'area di un triangolo usando l'altezza e la base

Teorema 1

L'area di un triangolo può essere trovata come metà del prodotto della lunghezza di un lato per l'altezza disegnata su quel lato.

Matematicamente sembra così

$S=\frac(1)(2)αh$

dove $a$ è la lunghezza del lato, $h$ è l'altezza ad esso disegnata.

Prova.

Consideriamo il triangolo $ABC$ dove $AC=α$. L'altezza $BH$ è disegnata su questo lato ed è uguale a $h$. Costruiamolo fino al quadrato $AXYC$ come in Figura 2.

L'area del rettangolo $AXBH$ è $h\cdot AH$, e quella del rettangolo $HBYC$ è $h\cdot HC$. Quindi

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Pertanto, l'area desiderata del triangolo, secondo la proprietà 2, è uguale a

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio 2

Trova l'area del triangolo nella figura sottostante, se la cella ha un'area uguale a uno

La base di questo triangolo è $9$ (poiché $9$ è $9$ celle). L'altezza è anche $ 9 $. Allora, per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Risposta: $ 40,5 $.

Formula di Erone

Teorema 2

Se ci vengono dati tre lati di un triangolo $α$, $β$ e $γ$, allora la sua area può essere trovata come segue

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

qui $ρ$ indica il semiperimetro di questo triangolo.

Prova.

Considera la seguente figura:

Per il teorema di Pitagora, dal triangolo $ABH$ otteniamo

Dal triangolo $CBH$, per il teorema di Pitagora, abbiamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Da queste due relazioni si ottiene l'uguaglianza

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Poiché $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, allora $α+β+γ=2ρ$, quindi

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Il concetto di zona

Proprietà 1: Se le figure geometriche sono uguali, anche le loro aree sono uguali.

Proprietà 2: Qualsiasi figura può essere divisa in più figure. Inoltre l'area della figura originaria è pari alla somma dei valori delle aree di tutte le figure che la compongono.

Considera un esempio.

Esempio 1

Quindi l'area del triangolo è

Risposta: $15$.

Successivamente, considera diversi metodi per trovare le aree dei triangoli, vale a dire usando l'altezza e la base, usando la formula di Heron e l'area di un triangolo equilatero.

Come trovare l'area di un triangolo usando l'altezza e la base

Teorema 1

L'area di un triangolo può essere trovata come metà del prodotto della lunghezza di un lato per l'altezza disegnata su quel lato.

Matematicamente sembra così

$S=\frac(1)(2)αh$

dove $a$ è la lunghezza del lato, $h$ è l'altezza ad esso disegnata.

Prova.

Consideriamo il triangolo $ABC$ dove $AC=α$. L'altezza $BH$ è disegnata su questo lato ed è uguale a $h$. Costruiamolo fino al quadrato $AXYC$ come in Figura 2.

L'area del rettangolo $AXBH$ è $h\cdot AH$, e quella del rettangolo $HBYC$ è $h\cdot HC$. Quindi

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Pertanto, l'area desiderata del triangolo, secondo la proprietà 2, è uguale a

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio 2

Trova l'area del triangolo nella figura sottostante, se la cella ha un'area uguale a uno

La base di questo triangolo è $9$ (poiché $9$ è $9$ celle). L'altezza è anche $ 9 $. Allora, per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Risposta: $ 40,5 $.

Formula di Erone

Teorema 2

Se ci vengono dati tre lati di un triangolo $α$, $β$ e $γ$, allora la sua area può essere trovata come segue

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

qui $ρ$ indica il semiperimetro di questo triangolo.

Prova.

Considera la seguente figura:

Per il teorema di Pitagora, dal triangolo $ABH$ otteniamo

Dal triangolo $CBH$, per il teorema di Pitagora, abbiamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Da queste due relazioni si ottiene l'uguaglianza

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Poiché $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, allora $α+β+γ=2ρ$, quindi

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Per il Teorema 1, otteniamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$