Oh-oh-oh-oh-oh ... beh, è ​​metallico, come se leggessi la frase a te stesso =) Tuttavia, il relax aiuterà, soprattutto perché oggi ho comprato accessori adatti. Pertanto, procediamo alla prima sezione, spero, entro la fine dell'articolo manterrò un buon umore.

Disposizione reciproca di due rette

Il caso in cui la sala canta in coro. Due linee possono:

1) partita;

2) essere paralleli: ;

3) o si intersecano in un unico punto: .

Aiuto per i manichini : ricordate il segno matematico dell'intersezione, si verificherà molto spesso. La voce indica che la linea si interseca con la linea nel punto.

Come determinare la posizione relativa di due linee?

Partiamo dal primo caso:

Due rette coincidono se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè esiste un tale numero "lambda" che le uguaglianze

Consideriamo le rette e componiamo tre equazioni dai coefficienti corrispondenti: . Da ciascuna equazione segue che, quindi, queste rette coincidono.

Infatti, se tutti i coefficienti dell'equazione moltiplicando per -1 (cambia i segni), e riduci tutti i coefficienti dell'equazione per 2, ottieni la stessa equazione: .

Il secondo caso in cui le rette sono parallele:

Due rette sono parallele se e solo se i loro coefficienti alle variabili sono proporzionali: , ma.

Ad esempio, considera due rette. Verifichiamo la proporzionalità dei coefficienti corrispondenti per le variabili:

Tuttavia, è chiaro che .

E il terzo caso, quando le linee si intersecano:

Due rette si intersecano se e solo se i loro coefficienti delle variabili NON sono proporzionali, ovvero NON esiste un tale valore di "lambda" che le uguaglianze siano soddisfatte

Quindi, per le rette comporremo un sistema:

Dalla prima equazione segue che , e dalla seconda equazione: , quindi, il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, i coefficienti alle variabili non sono proporzionali.

Conclusione: le linee si intersecano

Nei problemi pratici si può utilizzare lo schema risolutivo appena considerato. A proposito, è molto simile all'algoritmo per il controllo della collinearità dei vettori, che abbiamo considerato nella lezione. Il concetto di (non) dipendenza lineare dei vettori. Base vettoriale. Ma c'è un pacchetto più civile:

Esempio 1

Scopri la posizione relativa delle linee:

Soluzione basato sullo studio dei vettori direttivi di rette:

a) Dalle equazioni troviamo i vettori di direzione delle rette: .

, quindi i vettori non sono collineari e le linee si intersecano.

Per ogni evenienza, metterò una pietra con le indicazioni all'incrocio:

Gli altri saltano oltre la pietra e proseguono, dritti verso Kashchei l'Immortale =)

b) Trova i vettori di direzione delle rette:

Le linee hanno lo stesso vettore di direzione, il che significa che sono parallele o uguali. Qui il determinante non è necessario.

Ovviamente i coefficienti delle incognite sono proporzionali, mentre .

Scopriamo se l'uguaglianza è vera:

In questo modo,

c) Trova i vettori di direzione delle rette:

Calcoliamo il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori:
, quindi, i vettori di direzione sono collineari. Le rette sono parallele o coincidono.

Il fattore di proporzionalità "lambda" è facilmente rilevabile direttamente dal rapporto dei vettori di direzione collineari. Tuttavia, può essere trovato anche attraverso i coefficienti delle equazioni stesse: .

Ora scopriamo se l'uguaglianza è vera. Entrambi i termini gratuiti sono zero, quindi:

Il valore risultante soddisfa questa equazione (qualsiasi numero generalmente la soddisfa).

Quindi, le linee coincidono.

Risposta:

Molto presto imparerai (o addirittura avrai già imparato) a risolvere verbalmente il problema considerato letteralmente in pochi secondi. A questo proposito, non vedo alcun motivo per offrire qualcosa per una soluzione indipendente, è meglio posare un mattone più importante nella fondazione geometrica:

Come disegnare una linea parallela a una data?

Per l'ignoranza di questo compito più semplice, l'Usignolo il Ladro punisce severamente.

Esempio 2

La retta è data dall'equazione. Scrivi un'equazione per una retta parallela che passa per il punto.

Soluzione: Indica la riga sconosciuta con la lettera. Cosa dice la condizione a riguardo? La linea passa per il punto. E se le rette sono parallele, allora è ovvio che il vettore direttivo della retta "ce" è adatto anche per costruire la retta "te".

Estraiamo il vettore di direzione dall'equazione:

Risposta:

La geometria dell'esempio sembra semplice:

La verifica analitica consiste nei seguenti passaggi:

1) Verifichiamo che le rette abbiano lo stesso vettore di direzione (se l'equazione della retta non è opportunamente semplificata, i vettori saranno collineari).

2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante.

La verifica analitica nella maggior parte dei casi è facile da eseguire verbalmente. Osserva le due equazioni e molti di voi capiranno rapidamente come le rette sono parallele senza alcun disegno.

Gli esempi di auto-risolvere oggi saranno creativi. Perché devi ancora competere con Baba Yaga, e lei, sai, è un'amante di tutti i tipi di enigmi.

Esempio 3

Scrivi un'equazione per una retta passante per un punto parallelo alla retta se

C'è un modo razionale e non molto razionale per risolvere. La via più breve è alla fine della lezione.

Abbiamo fatto un piccolo lavoro con le rette parallele e torneremo su di esse in seguito. Il caso delle linee coincidenti è di scarso interesse, quindi prendiamo in considerazione un problema che ti è ben noto dal curriculum scolastico:

Come trovare il punto di intersezione di due rette?

Se dritto intersecano nel punto , allora le sue coordinate sono la soluzione sistemi di equazioni lineari

Come trovare il punto di intersezione delle rette? Risolvi il sistema.

Ecco a voi significato geometrico di un sistema di due equazioni lineari con due incognite sono due linee rette che si intersecano (il più delle volte) su un piano.

Esempio 4

Trova il punto di intersezione delle rette

Soluzione: Ci sono due modi per risolvere: grafico e analitico.

Il modo grafico è semplicemente disegnare le linee date e scoprire il punto di intersezione direttamente dal disegno:

Ecco il nostro punto: . Per verificare, dovresti sostituire le sue coordinate in ciascuna equazione di una retta, dovrebbero adattarsi sia lì che lì. In altre parole, le coordinate di un punto sono la soluzione del sistema. In effetti, abbiamo considerato un modo grafico per risolvere sistemi di equazioni lineari con due equazioni, due incognite.

Il metodo grafico, ovviamente, non è male, ma ci sono notevoli svantaggi. No, il punto non è che gli studenti di seconda media decidano in questo modo, il punto è che ci vorrà del tempo per fare un disegno corretto ed ESATTO. Inoltre, alcune linee non sono così facili da costruire e il punto di intersezione stesso può trovarsi da qualche parte nel trentesimo regno al di fuori del foglio del taccuino.

Pertanto, è più opportuno cercare il punto di intersezione con il metodo analitico. Risolviamo il sistema:

Per risolvere il sistema è stato utilizzato il metodo dell'addizione per termini di equazioni. Per sviluppare le competenze pertinenti, visita la lezione Come risolvere un sistema di equazioni?

Risposta:

La verifica è banale: le coordinate del punto di intersezione devono soddisfare ogni equazione del sistema.

Esempio 5

Trova il punto di intersezione delle rette se si intersecano.

Questo è un esempio fai da te. È conveniente dividere il problema in più fasi. L'analisi della condizione suggerisce che è necessario:
1) Scrivi l'equazione di una retta.
2) Scrivi l'equazione di una retta.
3) Scopri la posizione relativa delle linee.
4) Se le linee si intersecano, trova il punto di intersezione.

Lo sviluppo di un algoritmo di azione è tipico per molti problemi geometrici e su questo mi concentrerò ripetutamente.

Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial:

Un paio di scarpe non si sono ancora consumate, poiché siamo arrivati ​​alla seconda parte della lezione:

Linee perpendicolari. La distanza da un punto a una linea.
Angolo tra le linee

Iniziamo con un compito tipico e molto importante. Nella prima parte, abbiamo imparato come costruire una linea retta parallela a quella data, e ora la capanna sulle cosce di pollo girerà di 90 gradi:

Come disegnare una linea perpendicolare ad una data?

Esempio 6

La retta è data dall'equazione. Scrivi un'equazione per una retta perpendicolare passante per un punto.

Soluzione: È noto per ipotesi che . Sarebbe bello trovare il vettore di direzione della retta. Poiché le linee sono perpendicolari, il trucco è semplice:

Dall'equazione “togliamo” il vettore normale: , che sarà il vettore diretto della retta.

Componiamo l'equazione di una retta con un punto e un vettore direzionale:

Risposta:

Apriamo lo schizzo geometrico:

Hmmm... Cielo arancione, mare arancione, cammello arancione.

Verifica analitica della soluzione:

1) Estrarre i vettori di direzione dalle equazioni e con l'aiuto prodotto scalare dei vettori concludiamo che le linee sono effettivamente perpendicolari: .

A proposito, puoi usare vettori normali, è ancora più semplice.

2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante .

La verifica, ancora una volta, è facile da eseguire verbalmente.

Esempio 7

Trova il punto di intersezione delle rette perpendicolari, se l'equazione è nota e punto.

Questo è un esempio fai da te. Ci sono diverse azioni nell'attività, quindi è conveniente organizzare la soluzione punto per punto.

Il nostro emozionante viaggio continua:

Distanza da punto a linea

Davanti a noi c'è una striscia rettilinea del fiume e il nostro compito è raggiungerla nel modo più breve. Non ci sono ostacoli e il percorso più ottimale sarà il movimento lungo la perpendicolare. Cioè, la distanza da un punto a una linea è la lunghezza del segmento perpendicolare.

La distanza in geometria è tradizionalmente indicata dalla lettera greca "ro", ad esempio: - la distanza dal punto "em" alla retta "de".

Distanza da punto a linea è espresso dalla formula

Esempio 8

Trova la distanza da un punto a una linea

Soluzione: tutto ciò che serve è sostituire accuratamente i numeri nella formula ed eseguire i calcoli:

Risposta:

Eseguiamo il disegno:

La distanza trovata dal punto alla linea è esattamente la lunghezza del segmento rosso. Se fai un disegno su carta a scacchi su una scala di 1 unità. \u003d 1 cm (2 celle), quindi la distanza può essere misurata con un normale righello.

Considera un altro compito secondo lo stesso disegno:

Il compito è trovare le coordinate del punto, che è simmetrico al punto rispetto alla linea . Propongo di eseguire le azioni da solo, tuttavia, delineerò l'algoritmo della soluzione con risultati intermedi:

1) Trova una retta perpendicolare a una retta.

2) Trova il punto di intersezione delle rette: .

Entrambe le azioni sono discusse in dettaglio in questa lezione.

3) Il punto è il punto medio del segmento. Conosciamo le coordinate del centro e di una delle estremità. Di formule per le coordinate del centro del segmento trova .

Non sarà superfluo verificare che anche la distanza sia pari a 2,2 unità.

Qui possono sorgere difficoltà nei calcoli, ma nella torre un microcalcolatore aiuta molto, permettendoti di contare le frazioni ordinarie. Ho consigliato molte volte e lo consiglierò di nuovo.

Come trovare la distanza tra due rette parallele?

Esempio 9

Trova la distanza tra due rette parallele

Questo è un altro esempio di soluzione indipendente. Un piccolo suggerimento: ci sono infiniti modi per risolvere. Debriefing alla fine della lezione, ma meglio provare a indovinare da soli, penso che tu sia riuscito a disperdere bene il tuo ingegno.

Angolo tra due linee

Qualunque sia l'angolo, poi lo stipite:


In geometria, l'angolo tra due rette è preso come l'angolo PICCOLO, da cui segue automaticamente che non può essere ottuso. Nella figura, l'angolo indicato dall'arco rosso non è considerato l'angolo tra le linee che si intersecano. E il suo vicino "verde" o orientato in modo opposto angolo cremisi.

Se le linee sono perpendicolari, allora uno qualsiasi dei 4 angoli può essere preso come angolo tra di loro.

In che modo gli angoli sono diversi? Orientamento. In primo luogo, la direzione di "scorrere" l'angolo è di fondamentale importanza. In secondo luogo, un angolo orientato negativamente viene scritto con un segno meno, ad esempio se .

Perché ho detto questo? Sembra che tu possa cavartela con il solito concetto di angolo. Il fatto è che nelle formule con cui troveremo gli angoli si può facilmente ottenere un risultato negativo, e questo non dovrebbe sorprendervi. Un angolo con il segno meno non è peggio e ha un significato geometrico molto specifico. Nel disegno per un angolo negativo, è imperativo indicarne l'orientamento (in senso orario) con una freccia.

Come trovare l'angolo tra due rette? Esistono due formule di lavoro:

Esempio 10

Trova l'angolo tra le linee

Soluzione e Metodo uno

Considera due rette date da equazioni in forma generale:

Se dritto non perpendicolare, poi orientati l'angolo tra di loro può essere calcolato usando la formula:

Prestiamo molta attenzione al denominatore: questo è esattamente prodotto scalare vettori di direzione delle rette:

Se , allora il denominatore della formula svanisce e i vettori saranno ortogonali e le rette saranno perpendicolari. Ecco perché è stata fatta una riserva sulla non perpendicolarità delle linee nella formulazione.

Sulla base di quanto sopra, la soluzione viene convenientemente formalizzata in due passaggi:

1) Calcolare il prodotto scalare dei vettori direttivi di rette:
quindi le linee non sono perpendicolari.

2) Troviamo l'angolo tra le rette con la formula:

Utilizzando la funzione inversa, è facile trovare l'angolo stesso. In questo caso, utilizziamo la disparità dell'arcotangente (vedi Fig. Grafici e proprietà delle funzioni elementari):

Risposta:

Nella risposta indichiamo il valore esatto, nonché il valore approssimativo (preferibilmente sia in gradi che in radianti), calcolato utilizzando una calcolatrice.

Bene, meno, quindi meno, va bene. Ecco un'illustrazione geometrica:

Non sorprende che l'angolo sia risultato di orientamento negativo, perché nella condizione del problema il primo numero è una retta e proprio da essa è iniziata la "torsione" dell'angolo.

Se vuoi davvero ottenere un angolo positivo, devi scambiare le rette, cioè prendere i coefficienti dalla seconda equazione e prendi i coefficienti dalla prima equazione. In breve, devi iniziare con una diretta .

\(\blacktriangleright\) Un angolo diedro è l'angolo formato da due semipiani e dalla retta \(a\) , che è il loro confine comune.

\(\blacktriangleright\) Per trovare l'angolo tra i piani \(\xi\) e \(\pi\) , devi trovare l'angolo lineare speziato o dritto) dell'angolo diedro formato dai piani \(\xi\) e \(\pi\) :

Passaggio 1: lascia \(\xi\cap\pi=a\) (la linea di intersezione dei piani). Nel piano \(\xi\) segniamo un punto arbitrario \(F\) e disegniamo \(FA\perp a\) ;

Passaggio 2: disegna \(FG\perp \pi\) ;

Step 3: secondo TTP (\(FG\) - perpendicolare, \(FA\) - obliquo, \(AG\) - proiezione) abbiamo: \(AG\perp a\) ;

Passaggio 4: l'angolo \(\angle FAG\) è chiamato angolo lineare dell'angolo diedro formato dai piani \(\xi\) e \(\pi\) .

Nota che il triangolo \(AG\) è un triangolo rettangolo.
Si noti inoltre che il piano \(AFG\) costruito in questo modo è perpendicolare a entrambi i piani \(\xi\) e \(\pi\) . Pertanto, si può dire in un altro modo: angolo tra i piani\(\xi\) e \(\pi\) è l'angolo tra due rette intersecanti \(c\in \xi\) e \(b\in\pi\) , che formano un piano perpendicolare a \(\xi\ ) e \(\pi\) .

Compito 1 #2875

Livello del compito: più difficile dell'esame

Data una piramide quadrangolare, i cui spigoli sono tutti uguali, e la base è un quadrato. Trova \(6\cos \alpha\) , dove \(\alpha\) è l'angolo tra le facce laterali adiacenti.

Sia \(SABCD\) una data piramide (\(S\) è un vertice) i cui bordi sono uguali a \(a\) . Pertanto, tutte le facce laterali sono triangoli equilateri uguali. Trova l'angolo tra le facce \(SAD\) e \(SCD\) .

Disegniamo \(CH\perp SD\) . Perché \(\triangolo SAD=\triangolo SCD\), quindi \(AH\) sarà anche un'altezza di \(\triangle SAD\) . Pertanto, per definizione, \(\angle AHC=\alpha\) è l'angolo diedro lineare tra le facce \(SAD\) e \(SCD\) .
Poiché la base è un quadrato, allora \(AC=a\sqrt2\) . Nota anche che \(CH=AH\) è l'altezza di un triangolo equilatero con lato \(a\) , quindi \(CH=AH=\frac(\sqrt3)2a\) .
Quindi per il teorema del coseno da \(\triangle AHC\) : \[\cos \alpha=\dfrac(CH^2+AH^2-AC^2)(2CH\cdot AH)=-\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad 6\cos\alpha=-2.\]

Risposta: -2

Compito 2 #2876

Livello del compito: più difficile dell'esame

I piani \(\pi_1\) e \(\pi_2\) si intersecano con un angolo il cui coseno è uguale a \(0,2\) . I piani \(\pi_2\) e \(\pi_3\) si intersecano ad angolo retto e la linea di intersezione dei piani \(\pi_1\) e \(\pi_2\) è parallela alla linea di intersezione di gli aerei \(\pi_2\) e \(\ pi_3\) . Trova il seno dell'angolo tra i piani \(\pi_1\) e \(\pi_3\) .

Sia la linea di intersezione di \(\pi_1\) e \(\pi_2\) la linea \(a\) , la linea di intersezione di \(\pi_2\) e \(\pi_3\) sia la linea \ (b\) e la linea di intersezione \(\pi_3\) e \(\pi_1\) sono la retta \(c\) . Poiché \(a\parallel b\) , allora \(c\parallel a\parallel b\) (secondo il teorema della sezione del riferimento teorico "Geometria nello spazio" \(\rightarrow\) "Introduzione alla stereometria, parallelismo").

Segna i punti \(A\in a, B\in b\) in modo che \(AB\perp a, AB\perp b\) (questo è possibile perché \(a\parallel b\) ). Nota \(C\in c\) in modo che \(BC\perp c\) , quindi \(BC\perp b\) . Quindi \(AC\perp c\) e \(AC\perp a\) .
Infatti, poiché \(AB\perp b, BC\perp b\) , allora \(b\) è perpendicolare al piano \(ABC\) . Poiché \(c\parallel a\parallel b\) , anche le linee \(a\) e \(c\) sono perpendicolari al piano \(ABC\) , e quindi qualsiasi linea da questo piano, in particolare, la riga \ (AC\) .

Quindi ne consegue che \(\angolo BAC=\angolo (\pi_1, \pi_2)\), \(\angolo ABC=\angolo (\pi_2, \pi_3)=90^\circ\), \(\angolo BCA=\angolo (\pi_3, \pi_1)\). Si scopre che \(\triangle ABC\) è rettangolare, il che significa \[\sin \angolo BCA=\cos \angolo BAC=0,2.\]

Risposta: 0.2

Compito 3 #2877

Livello del compito: più difficile dell'esame

Date le linee \(a, b, c\) che si intersecano in un punto e l'angolo tra due qualsiasi di esse è uguale a \(60^\circ\) . Trova \(\cos^(-1)\alpha\) , dove \(\alpha\) è l'angolo tra il piano formato dalle linee \(a\) e \(c\) e il piano formato dalle linee \(b\ ) e \(c\) . Dai la tua risposta in gradi.

Lascia che le linee si intersechino nel punto \(O\) . Poiché l'angolo tra due qualsiasi di esse è uguale a \(60^\circ\) , tutte e tre le linee non possono giacere sullo stesso piano. Segniamo un punto \(A\) sulla linea \(a\) e disegniamo \(AB\perp b\) e \(AC\perp c\) . Quindi \(\triangolo AOB=\triangolo AOC\) come rettangolare in ipotenusa e angolo acuto. Quindi \(OB=OC\) e \(AB=AC\) .
Facciamo \(AH\perp (BOC)\) . Quindi dal teorema delle tre perpendicolari \(HC\perp c\) , \(HB\perp b\) . Poiché \(AB=AC\) , allora \(\triangolo AHB=\triangolo AHC\) come rettangolare lungo l'ipotenusa e la gamba. Pertanto, \(HB=HC\) . Quindi, \(OH\) ​​​​è la bisettrice dell'angolo \(BOC\) (poiché il punto \(H\) è equidistante dai lati dell'angolo).

Si noti che in questo modo abbiamo costruito anche l'angolo lineare dell'angolo diedro formato dal piano formato dalle rette \(a\) e \(c\) e il piano formato dalle rette \(b\) e \( c\) . Questo è l'angolo \(ACH\) .

Troviamo questo angolo. Poiché abbiamo scelto il punto \(A\) arbitrariamente, scegliamolo in modo che \(OA=2\) . Quindi in rettangolare \(\triangolo AOC\) : \[\sin 60^\circ=\dfrac(AC)(OA) \quad\Rightarrow\quad AC=\sqrt3 \quad\Rightarrow\quad OC=\sqrt(OA^2-AC^2)=1.\ ] Poiché \(OH\) ​​​​è una bisettrice, allora \(\angle HOC=30^\circ\) , quindi, in un rettangolare \(\triangle HOC\) : \[\mathrm(tg)\,30^\circ=\dfrac(HC)(OC)\quad\Rightarrow\quad HC=\dfrac1(\sqrt3).\] Quindi da rettangolare \(\triangle ACH\) : \[\cos\angle \alpha=\cos\angle ACH=\dfrac(HC)(AC)=\dfrac13 \quad\Rightarrow\quad \cos^(-1)\alpha=3.\]

Risposta: 3

Compito 4 #2910

Livello del compito: più difficile dell'esame

I piani \(\pi_1\) e \(\pi_2\) si intersecano lungo la linea \(l\) , che contiene i punti \(M\) e \(N\) . I segmenti \(MA\) e \(MB\) sono perpendicolari alla linea \(l\) e giacciono nei piani \(\pi_1\) e \(\pi_2\), rispettivamente, e \(MN = 15 \) , \(AN = 39\) , \(BN = 17\) , \(AB = 40\) . Trova \(3\cos\alpha\) , dove \(\alpha\) è l'angolo tra i piani \(\pi_1\) e \(\pi_2\) .

Il triangolo \(AMN\) è rettangolo, \(AN^2 = AM^2 + MN^2\) , da cui \ Il triangolo \(BMN\) è rettangolo, \(BN^2 = BM^2 + MN^2\) , da cui \ Scriviamo il teorema del coseno per il triangolo \(AMB\): \ Quindi \ Poiché l'angolo \(\alpha\) tra i piani è un angolo acuto e \(\angle AMB\) si è rivelato ottuso, allora \(\cos\alpha=\dfrac5(12)\) . Quindi \

Risposta: 1.25

Compito 5 #2911

Livello del compito: più difficile dell'esame

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) è un parallelepipedo, \(ABCD\) è un quadrato di lato \(a\) , il punto \(M\) è la base della perpendicolare caduta dal punto \(A_1\) al piano \ ((ABCD)\) , inoltre, \(M\) è il punto di intersezione delle diagonali del quadrato \(ABCD\) . È risaputo che \(A_1M = \dfrac(\sqrt(3))(2)a\). Trova l'angolo tra i piani \((ABCD)\) e \((AA_1B_1B)\) . Dai la tua risposta in gradi.

Costruiamo \(MN\) perpendicolare a \(AB\) come mostrato nella figura.

Poiché \(ABCD\) è un quadrato con lato \(a\) e \(MN\perp AB\) e \(BC\perp AB\) , allora \(MN\parallel BC\) . Poiché \(M\) è il punto di intersezione delle diagonali del quadrato, allora \(M\) è il punto medio di \(AC\) , quindi \(MN\) è la linea mediana e \(MN=\frac12BC=\frac(1)(2)a\).
\(MN\) è la proiezione di \(A_1N\) sul piano \((ABCD)\) e \(MN\) è perpendicolare a \(AB\) , quindi, per il teorema delle tre perpendicolari, \( A_1N\) è perpendicolare a \(AB \) e l'angolo tra i piani \((ABCD)\) e \((AA_1B_1B)\) è \(\angle A_1NM\) .
\[\mathrm(tg)\, \angolo A_1NM = \dfrac(A_1M)(NM) = \dfrac(\frac(\sqrt(3))(2)a)(\frac(1)(2)a) = \sqrt(3)\qquad\Freccia destra\qquad\angolo A_1NM = 60^(\circ)\]

Risposta: 60

Compito 6 #1854

Livello del compito: più difficile dell'esame

Nel quadrato \(ABCD\) : \(O\) è il punto di intersezione delle diagonali; \(S\) non è nel piano del quadrato, \(SO \perp ABC\) . Trova l'angolo tra i piani \(ASD\) e \(ABC\) se \(SO = 5\) e \(AB = 10\) .

I triangoli rettangoli \(\triangle SAO\) e \(\triangle SDO\) sono uguali su due lati e l'angolo tra loro (\(SO \perp ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angolo SOA = \angolo SOD = 90^\circ\); \(AO = DO\) , perché \(O\) è il punto di intersezione delle diagonali del quadrato, \(SO\) è il lato comune) \(\Rightarrow\) \(AS = SD\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) è isoscele. Il punto \(K\) è il punto medio di \(AD\) , quindi \(SK\) è l'altezza nel triangolo \(\triangle ASD\) e \(OK\) è l'altezza nel triangolo \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) piano \(SOK\) è perpendicolare ai piani \(ASD\) e \(ABC\) \(\Rightarrow\) \(\angle SKO\) è un angolo lineare uguale all'angolo diedro richiesto.

In \(\triangolo SKO\) : \(OK = \frac(1)(2)\cpunto AB = \frac(1)(2)\cpunto 10 = 5 = SO\)\(\Rightarrow\) \(\triangle SOK\) è un triangolo rettangolo isoscele \(\Rightarrow\) \(\angle SKO = 45^\circ\) .

Risposta: 45

Compito 7 #1855

Livello del compito: più difficile dell'esame

Nel quadrato \(ABCD\) : \(O\) è il punto di intersezione delle diagonali; \(S\) non è nel piano del quadrato, \(SO \perp ABC\) . Trova l'angolo tra i piani \(ASD\) e \(BSC\) se \(SO = 5\) e \(AB = 10\) .

I triangoli rettangoli \(\triangle SAO\) , \(\triangle SDO\) , \(\triangle SOB\) e \(\triangle SOC\) sono uguali su due lati e l'angolo tra di loro (\(SO \perp ABC \) \(\Freccia destra\) \(\angolo SOA = \angolo SOD = \angolo SOB = \angolo SOC = 90^\circ\); \(AO = OD = OB = OC\) , perché \(O\) è il punto di intersezione delle diagonali del quadrato, \(SO\) è il lato comune) \(\Rightarrow\) \(AS = DS = BS = CS\) \(\Rightarrow\) \(\triangle ASD\) e \(\triangle BSC\) sono isoscele. Il punto \(K\) è il punto medio di \(AD\) , quindi \(SK\) è l'altezza nel triangolo \(\triangle ASD\) e \(OK\) è l'altezza nel triangolo \ (AOD\) \(\ Rightarrow\) il piano \(SOK\) è perpendicolare al piano \(ASD\) . Il punto \(L\) è il punto medio di \(BC\) , quindi \(SL\) è l'altezza nel triangolo \(\triangle BSC\) e \(OL\) è l'altezza nel triangolo \ (BOC\) \(\ Rightarrow\) il piano \(SOL\) (aka il piano \(SOK\) ) è perpendicolare al piano \(BSC\) . Quindi, otteniamo che \(\angolo KSL\) è un angolo lineare uguale all'angolo diedro desiderato.

\(KL = KO + OL = 2\cpunto OL = AB = 10\)\(\Freccia destra\) \(OL = 5\) ; \(SK = SL\) - altezze in triangoli isoscele uguali, che possono essere trovati usando il teorema di Pitagora: \(SL^2 = SO^2 + OL^2 = 5^2 + 5^2 = 50\). Si può vedere che \(SK^2 + SL^2 = 50 + 50 = 100 = KL^2\)\(\Rightarrow\) per un triangolo \(\triangle KSL\) vale il teorema di Pitagora inverso \(\Rightarrow\) \(\triangle KSL\) è un triangolo rettangolo \(\Rightarrow\) \(\angle KSL = 90^\ circo\) .

Risposta: 90

La preparazione degli studenti per l'esame di matematica, di norma, inizia con una ripetizione delle formule di base, comprese quelle che consentono di determinare l'angolo tra i piani. Nonostante il fatto che questa sezione della geometria sia trattata in modo sufficientemente dettagliato nell'ambito del curriculum scolastico, molti laureati devono ripetere il materiale di base. Comprendendo come trovare l'angolo tra i piani, gli studenti delle scuole superiori saranno in grado di calcolare rapidamente la risposta corretta nel corso della risoluzione del problema e contare sull'ottenimento di punteggi decenti sulla base dell'esame di stato unificato.

Sfumature principali

Affinché la domanda su come trovare l'angolo diedro non causi difficoltà, ti consigliamo di seguire l'algoritmo di soluzione che ti aiuterà a far fronte ai compiti dell'esame.

Per prima cosa devi determinare la linea lungo la quale i piani si intersecano.

Quindi su questa linea devi scegliere un punto e tracciare due perpendicolari ad esso.

Il passo successivo è trovare la funzione trigonometrica dell'angolo diedro, che è formato dalle perpendicolari. È più conveniente farlo con l'aiuto del triangolo risultante, di cui l'angolo fa parte.

La risposta sarà il valore dell'angolo o la sua funzione trigonometrica.

La preparazione per il test d'esame insieme a Shkolkovo è la chiave del tuo successo

Nel processo di studio alla vigilia del superamento dell'esame, molti studenti si trovano ad affrontare il problema di trovare definizioni e formule che consentano di calcolare l'angolo tra 2 piani. Un libro di testo scolastico non è sempre a portata di mano esattamente quando è necessario. E per trovare le formule e gli esempi necessari per la loro corretta applicazione, anche per trovare l'angolo tra gli aerei su Internet online, a volte è necessario dedicare molto tempo.

Il portale matematico "Shkolkovo" offre un nuovo approccio alla preparazione per l'esame di stato. Le lezioni sul nostro sito Web aiuteranno gli studenti a identificare le sezioni più difficili ea colmare le lacune nelle conoscenze.

Abbiamo preparato e presentato chiaramente tutto il materiale necessario. Le definizioni e le formule di base sono presentate nella sezione "Riferimenti teorici".

Per assimilare meglio il materiale, suggeriamo anche di praticare gli esercizi corrispondenti. Un'ampia selezione di attività di vari gradi di complessità, ad esempio, è presentata nella sezione Catalogo. Tutte le attività contengono un algoritmo dettagliato per trovare la risposta corretta. L'elenco degli esercizi sul sito è costantemente integrato e aggiornato.

Esercitandosi nella risoluzione di problemi in cui è necessario trovare l'angolo tra due piani, gli studenti hanno la possibilità di salvare qualsiasi compito online nei "Preferiti". Grazie a ciò, potranno tornare da lui il numero di volte necessario e discutere lo stato di avanzamento della sua soluzione con un insegnante o un tutor scolastico.

sarò breve. L'angolo tra due linee è uguale all'angolo tra i loro vettori di direzione. Pertanto, se riesci a trovare le coordinate dei vettori di direzione a \u003d (x 1; y 1; z 1) e b \u003d (x 2; y 2; z 2), puoi trovare l'angolo. Più precisamente, il coseno dell'angolo secondo la formula:

Vediamo come funziona questa formula su esempi specifici:

Un compito. I punti E ed F sono segnati nel cubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - rispettivamente i punti medi dei bordi A 1 B 1 e B 1 C 1. Trova l'angolo tra le linee AE e BF.

Poiché il bordo del cubo non è specificato, poniamo AB = 1. Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A e gli assi x, y, z sono diretti rispettivamente lungo AB, AD e AA 1 . Il segmento unitario è uguale a AB = 1. Ora troviamo le coordinate dei vettori di direzione per le nostre rette.

Trova le coordinate del vettore AE. Per fare ciò, abbiamo bisogno dei punti A = (0; 0; 0) ed E = (0.5; 0; 1). Poiché il punto E è la metà del segmento A 1 B 1 , le sue coordinate sono uguali alla media aritmetica delle coordinate degli estremi. Si noti che l'origine del vettore AE coincide con l'origine, quindi AE = (0,5; 0; 1).

Ora affrontiamo il vettore BF. Allo stesso modo, analizziamo i punti B = (1; 0; 0) e F = (1; 0.5; 1), perché F - il centro del segmento B 1 C 1 . Abbiamo:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Quindi, i vettori di direzione sono pronti. Il coseno dell'angolo tra le linee è il coseno dell'angolo tra i vettori di direzione, quindi abbiamo:

Un compito. In un prisma triedrico regolare ABCA 1 B 1 C 1 , i cui spigoli sono tutti uguali a 1, sono contrassegnati i punti D ed E, rispettivamente i punti medi degli spigoli A 1 B 1 e B 1 C 1. Trova l'angolo tra le linee AD e BE.

Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A, l'asse x è diretto lungo AB, z - lungo AA 1 . Dirigiamo l'asse y in modo che il piano OXY coincida con il piano ABC. Il segmento unitario è uguale a AB = 1. Trova le coordinate dei vettori di direzione per le linee desiderate.

Per prima cosa, troviamo le coordinate del vettore AD. Considera i punti: A = (0; 0; 0) e D = (0,5; 0; 1), perché D - il centro del segmento A 1 B 1 . Poiché l'inizio del vettore AD coincide con l'origine, otteniamo AD = (0.5; 0; 1).

Ora troviamo le coordinate del vettore BE. Il punto B = (1; 0; 0) è facile da calcolare. Con il punto E - il centro del segmento C 1 B 1 - un po' più complicato. Abbiamo:

Resta da trovare il coseno dell'angolo:

Un compito. In un prisma esagonale regolare ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , i cui spigoli sono tutti uguali a 1, i punti K e L sono segnati - i punti medi degli spigoli A 1 B 1 e B 1 C 1, rispettivamente. Trova l'angolo tra le linee AK e BL.

Introduciamo un sistema di coordinate standard per un prisma: posizioniamo l'origine delle coordinate al centro della base inferiore, dirigiamo l'asse x lungo FC, l'asse y attraverso i punti medi dei segmenti AB e DE e l'asse z verticalmente verso l'alto. Il segmento unitario è di nuovo uguale a AB = 1. Scriviamo le coordinate dei punti di interesse per noi:

I punti K e L sono rispettivamente i punti medi dei segmenti A 1 B 1 e B 1 C 1, quindi le loro coordinate si trovano attraverso la media aritmetica. Conoscendo i punti, troviamo le coordinate dei vettori di direzione AK e BL:

Ora troviamo il coseno dell'angolo:

Un compito. In una piramide quadrangolare regolare SABCD, tutti i cui bordi sono uguali a 1, sono contrassegnati i punti E e F, rispettivamente i punti medi dei lati SB e SC. Trova l'angolo tra le linee AE e BF.

Introduciamo un sistema di coordinate standard: l'origine è nel punto A, gli assi xey sono diretti rispettivamente lungo AB e AD e l'asse z è diretto verticalmente verso l'alto. Il segmento unitario è uguale a AB = 1.

I punti E ed F sono rispettivamente i punti medi dei segmenti SB e SC, quindi le loro coordinate si trovano come media aritmetica degli estremi. Segnaliamo le coordinate dei punti di nostro interesse:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Conoscendo i punti, troviamo le coordinate dei vettori di direzione AE e BF:

Le coordinate del vettore AE coincidono con le coordinate del punto E, poiché il punto A è l'origine. Resta da trovare il coseno dell'angolo:

angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date due rette nello spazio:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Poiché , quindi secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette sono equivalenti alle condizioni di parallelismo e perpendicolarità dei loro vettori di direzione e:

Due dritti sono paralleli se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè l 1 parallelo l 2 se e solo se parallela .

Due dritti perpendicolare se e solo se la somma dei prodotti dei coefficienti corrispondenti è uguale a zero: .

In obiettivo tra linea e piano

Lascia la linea d- non perpendicolare al piano θ;
d′− proiezione di una retta d al piano θ;
Il più piccolo degli angoli tra le rette d e d«Chiameremo angolo tra retta e piano.
Indichiamolo come φ=( d,θ)
Se una d⊥θ , quindi ( d,θ)=π/2

Oi→j→K→− sistema di coordinate rettangolari.
Equazione piana:

θ: Ascia+Di+cz+D=0

Consideriamo che la retta è data da un punto e da un vettore di direzione: d[M 0,p→]
Vettore n→(UN,B,C)⊥θ
Quindi resta da scoprire l'angolo tra i vettori n→ e p→, denotalo come γ=( n→,p→).

Se l'angolo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Se l'angolo γ>π/2 , allora l'angolo richiesto φ=γ−π/2

sinφ=peccato(2π−γ)=cosγ

sinφ=peccato(γ−2π)=−cosγ

Quindi, angolo tra retta e piano può essere calcolato utilizzando la formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √UN 2+B 2+C 2√p 21+p 22+p 23

Domanda 29. Il concetto di forma quadratica. La definizione di segno delle forme quadratiche.

Forma quadratica j (x 1, x 2, ..., x n) n variabili reali x 1, x 2, ..., x n si chiama somma della forma
, (1)

dove aij sono alcuni numeri chiamati coefficienti. Senza perdita di generalità, possiamo presumerlo aij = un ji.

Viene chiamata la forma quadratica valido, Se aij О GR. Matrice di forma quadraticaè chiamata matrice composta dai suoi coefficienti. La forma quadratica (1) corrisponde a un'unica matrice simmetrica
cioè. A T = A. Pertanto, la forma quadratica (1) può essere scritta in forma matriciale j ( X) = x T Ah, dove x t = (X 1 X 2 … x n). (2)

E viceversa, ogni matrice simmetrica (2) corrisponde a un'unica forma quadratica fino alla notazione delle variabili.

Il rango della forma quadraticaè chiamato rango della sua matrice. Viene chiamata la forma quadratica non degenerato, se la sua matrice è non singolare MA. (ricordiamo che la matrice MAè detto non degenerato se il suo determinante è diverso da zero). In caso contrario, la forma quadratica è degenerata.

definito positivo(o strettamente positivo) se

j ( X) > 0 , per chiunque X = (X 1 , X 2 , …, x n), Oltretutto X = (0, 0, …, 0).

Matrice MA forma quadratica definita positiva j ( X) è detto anche definito positivo. Pertanto, una forma quadratica definita positiva corrisponde a un'unica matrice definita positiva e viceversa.

Viene chiamata la forma quadratica (1). definito negativo(o strettamente negativo) se

j ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), Oltretutto X = (0, 0, …, 0).

Analogamente a quanto sopra, una matrice quadratica definita negativa è anche chiamata definita negativa.

Pertanto, una forma quadratica definita positivamente (negativamente) j ( X) raggiunge il valore minimo (massimo) j ( X*) = 0 per X* = (0, 0, …, 0).

Si noti che la maggior parte delle forme quadratiche non sono definite di segno, cioè non sono né positive né negative. Tali forme quadratiche svaniscono non solo all'origine del sistema di coordinate, ma anche in altri punti.

quando n> 2, sono richiesti criteri speciali per verificare la definizione di segno di una forma quadratica. Consideriamoli.

Minori maggiori le forme quadratiche sono dette minori:

cioè si tratta di minori di ordine 1, 2, …, n matrici MA, situato nell'angolo in alto a sinistra, l'ultimo coincide con il determinante della matrice MA.

Criterio per la determinatezza positiva (Criterio Silvestro)

X) = x T Ahè definito positivo, è necessario e sufficiente che tutti i principali minori della matrice MA erano positivi, ovvero: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criterio di certezza negativa Affinché la forma quadratica j ( X) = x T Ahè definita negativa, è necessario e sufficiente che i suoi principali minori di ordine pari siano positivi e quelli di ordine dispari negativi, cioè: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

L'articolo parla di trovare l'angolo tra i piani. Dopo aver portato la definizione, imposteremo un'illustrazione grafica, considereremo un metodo dettagliato per trovare le coordinate dal metodo. Otteniamo una formula per i piani intersecanti, che include le coordinate dei vettori normali.

Il materiale utilizzerà dati e concetti che sono stati precedentemente studiati in articoli sul piano e la linea nello spazio. Per cominciare, è necessario passare al ragionamento che consente di avere un certo approccio per determinare l'angolo tra due piani che si intersecano.

Sono dati due piani intersecanti γ 1 e γ 2. Il loro incrocio assumerà la denominazione c . La costruzione del piano χ è connessa con l'intersezione di questi piani. Il piano χ passa per il punto M come una retta c. I piani γ 1 e γ 2 verranno intersecati utilizzando il piano χ. Accettiamo le designazioni della retta che interseca γ 1 e χ per la retta a, e che interseca γ 2 e χ per la retta b. Otteniamo che l'intersezione delle rette aeb dà il punto M .

La posizione del punto M non influenza l'angolo tra le linee aeb che si intersecano e il punto M si trova sulla linea c attraverso la quale passa il piano χ.

Occorre costruire un piano χ 1 perpendicolare alla retta ce diverso dal piano χ . L'intersezione dei piani γ 1 e γ 2 con l'aiuto di χ 1 assumerà la designazione delle linee a 1 e b 1 .

Si può vedere che quando si costruiscono χ e χ 1, le rette aeb sono perpendicolari alla retta c, quindi a 1, b 1 sono perpendicolari alla retta c. Trovando le rette a e a 1 nel piano γ 1 con perpendicolarità alla retta c, allora si possono considerare parallele. Allo stesso modo, la posizione di b e b 1 nel piano γ 2 con la perpendicolarità della retta c indica il loro parallelismo. Ciò significa che è necessario effettuare un trasferimento parallelo del piano χ 1 a χ, dove otteniamo due rette coincidenti a e a 1 , b e b 1 . Otteniamo che l'angolo tra le rette intersecanti aeb 1 è uguale all'angolo delle rette intersecanti aeb.

Considera la figura seguente.

Questo giudizio è provato dal fatto che tra le rette che si intersecano aeb c'è un angolo che non dipende dalla posizione del punto M, cioè il punto di intersezione. Queste linee si trovano nei piani γ 1 e γ 2 . In effetti, l'angolo risultante può essere pensato come l'angolo tra due piani che si intersecano.

Passiamo alla determinazione dell'angolo tra i piani intersecanti esistenti γ 1 e γ 2 .

Definizione 1

L'angolo tra due piani intersecanti γ 1 e γ 2 chiamiamo l'angolo formato dall'intersezione delle rette aeb, dove i piani γ 1 e γ 2 si intersecano con il piano χ perpendicolare alla retta c.

Considera la figura seguente.

La definizione può essere presentata in un'altra forma. All'intersezione dei piani γ 1 e γ 2, dove c è la retta su cui si intersecano, segnare il punto M, attraverso il quale tracciare le rette aeb, perpendicolari alla retta c e giacenti nei piani γ 1 e γ 2, allora l'angolo tra le linee aeb sarà l'angolo tra i piani. In pratica, questo è applicabile alla costruzione di un angolo tra i piani.

All'intersezione si forma un angolo di valore inferiore a 90 gradi, ovvero la misura in gradi dell'angolo è valida su un intervallo di questo tipo (0, 90 ). Allo stesso tempo, questi piani sono detti perpendicolari se all'intersezione si forma un angolo retto, l'angolo tra piani paralleli è considerato uguale a zero.

Il modo usuale per trovare l'angolo tra i piani intersecanti consiste nell'eseguire costruzioni aggiuntive. Questo aiuta a determinarlo con precisione e questo può essere fatto usando i segni di uguaglianza o somiglianza del triangolo, dei seni, dei coseni dell'angolo.

Considerare la risoluzione dei problemi utilizzando un esempio tratto dai problemi dell'esame di stato unificato del blocco C 2.

Esempio 1

Viene fornito un parallelepipedo rettangolare A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, dove il lato A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, il punto E separa il lato A A 1 in un rapporto di 4: 3. Trova l'angolo tra i piani A B C e B E D 1 .

Soluzione

Per chiarezza, devi fare un disegno. Lo capiamo

Una rappresentazione visiva è necessaria per rendere più conveniente lavorare con l'angolo tra i piani.

Facciamo la definizione di una retta lungo la quale si intersecano i piani A B C e B E D 1. Il punto B è un punto comune. Dovrebbe essere trovato un altro punto di intersezione comune. Considera le linee DA e D 1 E , che si trovano sullo stesso piano A D D 1 . La loro posizione non indica parallelismo, il che significa che hanno un punto di intersezione comune.

Tuttavia, la linea D A si trova nel piano A B C e D 1 E in B E D 1 . Quindi otteniamo che le linee D A e D 1 E hanno un punto di intersezione comune, comune anche per i piani A B C e B E D 1 . Indica il punto di intersezione delle linee D A e D 1 E lettera F. Da qui otteniamo che B F è una retta lungo la quale si intersecano i piani A B C e B E D 1.

Considera la figura seguente.

Per ottenere una risposta è necessario costruire rette poste nei piani A B C e B E D 1 con il passaggio per un punto posto sulla retta B F e ad essa perpendicolare. Quindi l'angolo risultante tra queste linee è considerato l'angolo desiderato tra i piani A B C e B E D 1.

Da ciò si può vedere che il punto A è la proiezione del punto E sul piano A B C. Occorre tracciare una retta che intersechi la retta B F ad angolo retto nel punto M. Si può notare che la retta A M è la proiezione della retta E M sul piano A B C, in base al teorema di quelle perpendicolari A M ⊥ B F . Considera la figura seguente.

∠ A M E è l'angolo desiderato formato dai piani A B C e B E D 1 . Dal triangolo risultante A E M possiamo trovare il seno, coseno o tangente dell'angolo, dopodiché l'angolo stesso, solo con i suoi due lati noti. A condizione, abbiamo che la lunghezza di A E si trova in questo modo: la linea A A 1 è divisa per il punto E in un rapporto di 4: 3, il che significa che la lunghezza totale della linea è 7 parti, quindi A E \u003d 4 parti. Troviamo A.M.

È necessario considerare un triangolo rettangolo A B F. Abbiamo un angolo retto A con altezza A M. Dalla condizione A B \u003d 2, possiamo trovare la lunghezza A F dalla somiglianza dei triangoli D D 1 F e A E F. Otteniamo che A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

È necessario trovare la lunghezza del lato B F dal triangolo A B F usando il teorema di Pitagora. Otteniamo che B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . La lunghezza del lato A M si trova attraverso l'area del triangolo A B F. Abbiamo che l'area può essere uguale sia a S A B C = 1 2 · A B · A F, sia a S A B C = 1 2 · B F · A M.

Otteniamo che A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Quindi possiamo trovare il valore della tangente dell'angolo del triangolo A E M. Otteniamo:

t g ∠ UN M E = UN E UN M = 4 4 5 5 = 5

L'angolo desiderato ottenuto dall'intersezione dei piani A B C e B E D 1 è uguale a a r c t g 5, quindi, semplificato, otteniamo a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Risposta: a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Alcuni casi di trovare l'angolo tra le linee intersecanti sono forniti utilizzando il piano delle coordinate O x y z e il metodo delle coordinate. Consideriamo più in dettaglio.

Se viene dato un problema in cui è necessario trovare l'angolo tra i piani intersecanti γ 1 e γ 2, indichiamo l'angolo desiderato con α.

Quindi il sistema di coordinate dato mostra che abbiamo le coordinate dei vettori normali dei piani intersecanti γ 1 e γ 2 . Quindi indichiamo che n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z è un vettore normale del piano γ 1 , e n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - per il piano γ 2 . Si consideri una determinazione dettagliata dell'angolo situato tra questi piani secondo le coordinate dei vettori.

È necessario designare la retta lungo la quale i piani γ 1 e γ 2 si intersecano con la lettera c. Sulla retta con abbiamo un punto M, attraverso il quale tracciamo un piano χ, perpendicolare a c. Il piano χ lungo le linee aeb interseca i piani γ 1 e γ 2 nel punto M . dalla definizione consegue che l'angolo tra i piani intersecanti γ 1 e γ 2 è uguale all'angolo delle rette intersecanti aeb appartenenti rispettivamente a tali piani.

Nel piano χ mettiamo da parte i vettori normali dal punto M e li indichiamo n 1 → e n 2 →. Il vettore n 1 → si trova su una retta perpendicolare alla retta a, e il vettore n 2 → su una retta perpendicolare alla retta b. Da qui otteniamo che il piano dato χ ha un vettore normale della retta a uguale a n 1 → e per la retta b uguale a n 2 → . Considera la figura seguente.

Da qui otteniamo una formula con la quale possiamo calcolare il seno dell'angolo delle rette che si intersecano utilizzando le coordinate dei vettori. Abbiamo trovato che il coseno dell'angolo tra le rette aeb è uguale al coseno tra i piani intersecanti γ 1 e γ 2 è derivato dalla formula cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , dove abbiamo che n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) e n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) sono le coordinate dei vettori dei piani rappresentati.

L'angolo tra le linee intersecanti viene calcolato utilizzando la formula

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Esempio 2

A condizione, è dato un parallelepipedo А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , dove A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7 e il punto E separa il lato A A 1 4: 3. Trova l'angolo tra i piani A B C e B E D 1 .

Soluzione

Può essere visto dalla condizione che i suoi lati siano perpendicolari a coppie. Ciò significa che è necessario introdurre un sistema di coordinate O x y z con un vertice nel punto C e assi coordinati O x, O y, O z. È necessario inserire la direzione sui lati appropriati. Considera la figura seguente.

Piani intersecanti A B C e B E D 1 formare un angolo, che può essere trovato dalla formula 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , dove n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) e n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) sono vettori normali di questi piani. È necessario determinare le coordinate. Dalla figura vediamo che l'asse delle coordinate O x y coincide nel piano A B C, il che significa che le coordinate del vettore normale k → sono uguali al valore n 1 → = k → = (0, 0, 1) .

Il vettore normale del piano B E D 1 è il prodotto vettoriale B E → e B D 1 → , dove le loro coordinate sono trovate dalle coordinate dei punti estremi B, E, D 1 , che sono determinati in base alla condizione del problema.

Otteniamo che B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Poiché A E E A 1 = 4 3 , dalle coordinate dei punti A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 troviamo E 2 , 3 , 4 . Otteniamo che B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

È necessario sostituire le coordinate trovate nella formula per calcolare l'angolo attraverso l'arcocoseno. Noi abbiamo

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Il metodo delle coordinate fornisce un risultato simile.

Risposta: a rc cos 6 6 .

L'ultimo problema viene considerato per trovare l'angolo tra i piani che si intersecano con le equazioni note dei piani disponibili.

Esempio 3

Calcola il seno, il coseno dell'angolo e il valore dell'angolo formato da due rette intersecanti, che sono definite nel sistema di coordinate O x y z e date dalle equazioni 2 x - 4 y + z + 1 = 0 e 3 y - z-1 = 0.

Soluzione

Studiando l'argomento dell'equazione generale della retta della forma A x + B y + C z + D = 0, è stato rivelato che A, B, C sono coefficienti uguali alle coordinate del vettore normale. Quindi, n 1 → = 2 , - 4 , 1 e n 2 → = 0 , 3 , - 1 sono vettori normali di rette date.

È necessario sostituire le coordinate dei vettori normali dei piani nella formula per calcolare l'angolo desiderato dei piani intersecanti. Allora lo capiamo

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Quindi abbiamo che il coseno dell'angolo assume la forma cos α = 13 210 . Quindi l'angolo delle linee che si intersecano non è ottuso. Sostituendo nell'identità trigonometrica, otteniamo che il valore del seno dell'angolo è uguale all'espressione. Lo calcoliamo e lo otteniamo

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Risposta: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

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