Funzione y = f(x) è chiamato crescente (decrescente) sull'intervallo (a,b), se il valore maggiore dell'argomento di questo intervallo corrisponde al valore maggiore (minore) della funzione.

Lascia e .

Poi la funzione aumenta nel mezzo X, se (registrare su ( a, b)) e diminuisce, se (registrare su ( a, b)) (vedi Fig. 1).

Registrazione e

Vengono chiamate funzioni che aumentano e diminuiscono monotono. Le funzioni monotone includono anche funzioni non decrescenti e non crescenti.

Funzionalità limitate.

La funzione viene chiamata limitato nel mezzo (a,b) se tale

In caso contrario, la funzione viene chiamata illimitata.

Funzione periodica.

La funzione viene chiamata periodico con un punto, se vero.

I modi principali per specificare le funzioni sono: esplicito analitico; intervallo; parametrico; implicito; definire una funzione usando una serie; tabulare; grafico. Esempi di applicazione di questi metodi

Guarda anche: Definizione di funzione

Esistono i seguenti modi per definire la funzione y = f (X):

1. Un metodo analitico esplicito che utilizza una formula della forma y = f (X).
2. Intervallo.
3. Parametrico: x = x (t) , y = y(t).
4. Implicito, come soluzione dell'equazione F (x, y) = 0.
5. Sotto forma di una serie composta da funzioni note.
6. tabulare.
7. Grafico.

Modo analitico esplicito di definire una funzione

In modo esplicito, il valore della funzione è determinato dalla formula, che è l'equazione y = f (X). Sul lato sinistro di questa equazione c'è la variabile dipendente y, e sul lato destro c'è un'espressione composta dalla variabile indipendente x, costante, funzioni note e operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione. Le funzioni note sono funzioni elementari e funzioni speciali, i cui valori possono essere calcolati utilizzando la tecnologia informatica.

Ecco alcuni esempi di definizione esplicita di una funzione con una variabile indipendente x e una variabile dipendente y :
;
;
.

Modo intervallo per definire una funzione

In metodo intervallo per impostare una funzione, il dominio di definizione è suddiviso in più intervalli e la funzione è specificata separatamente per ciascun intervallo.

Di seguito sono riportati alcuni esempi della modalità di definizione di una funzione a intervalli:

Modo parametrico di definire una funzione

In metodo parametrico, viene introdotta una nuova variabile, denominata parametro. Successivamente, i valori xey vengono impostati come funzioni del parametro, utilizzando il modo esplicito di impostazione:
(1)

Ecco alcuni esempi di un modo parametrico per definire una funzione usando il parametro t:

Il vantaggio del metodo parametrico è che la stessa funzione può essere definita in infiniti modi. Ad esempio, una funzione può essere definita in questo modo:

Ed è possibile così:

Tale libertà di scelta, in alcuni casi, consente di applicare questo metodo per risolvere equazioni (vedi "Equazioni differenziali che non contengono una delle variabili"). L'essenza dell'applicazione è che sostituiamo due funzioni e invece delle variabili xey nell'equazione. Quindi ne impostiamo uno a nostra discrezione, in modo che l'altro possa essere determinato dall'equazione risultante.

Inoltre, questo metodo viene utilizzato per semplificare i calcoli. Ad esempio, la dipendenza delle coordinate dei punti di un'ellisse con semiassi aeb può essere rappresentata come segue:
.
In una forma parametrica, questa dipendenza può essere data una forma più semplice:
.

Le equazioni (1) non sono l'unico modo per definire parametricamente una funzione. È possibile inserire non uno, ma più parametri collegandoli con equazioni aggiuntive. Ad esempio, puoi inserire due parametri e . Quindi la definizione della funzione sarà simile a questa:

Ecco un'ulteriore equazione relativa ai parametri. Se il numero di parametri è n , allora devono esserci n - 1 equazioni aggiuntive.

Un esempio di utilizzo di più parametri è riportato nella pagina Jacobi Differential Equation. Lì si cerca la soluzione nella forma seguente:
(2) .
Il risultato è un sistema di equazioni. Per risolverlo si introduce un quarto parametro t. Dopo aver risolto il sistema, si ottengono tre equazioni che mettono in relazione quattro parametri e .

Modo implicito per definire una funzione

In modo implicito, il valore della funzione è determinato dalla soluzione dell'equazione.

Ad esempio, l'equazione per un'ellisse è:
(3) .
Questa è una semplice equazione. Se consideriamo solo la parte superiore dell'ellisse, , allora possiamo esprimere la variabile y in funzione di x in modo esplicito:
(4) .
Ma anche se è possibile ridurre (3) a un modo esplicito di specificare la funzione (4), l'ultima formula non è sempre conveniente da usare. Ad esempio, per trovare la derivata , è conveniente differenziare l'equazione (3) anziché (4):
;
.

Impostazione di una funzione nelle vicinanze

Un modo estremamente importante per definire una funzione è to rappresentazione di riga composto da funzioni note. Questo metodo consente di esplorare la funzione con metodi matematici e calcolarne i valori per i problemi applicati.

La rappresentazione più comune consiste nel definire una funzione utilizzando una serie di potenze. Utilizza una serie di funzioni:
.
Si usa anche una serie con esponenti negativi:
.
Ad esempio, la funzione seno ha la seguente espansione:
(5) .
Tali espansioni sono ampiamente utilizzate nella tecnologia informatica, poiché consentono di ridurre i calcoli a operazioni aritmetiche.

A titolo illustrativo, calcoliamo il valore del seno di 30° utilizzando l'espansione (5).
Converti i gradi in radianti:
.
Sostituisci in (5):



.

In matematica, insieme alle serie di potenze, sono ampiamente utilizzate espansioni in serie trigonometriche in funzioni e , così come in altre funzioni speciali. Con l'aiuto delle serie si possono fare calcoli approssimativi di integrali, equazioni (differenziali, integrali, in derivate parziali) e studiarne le soluzioni.

Modo tabulare di definire una funzione

In modo tabulare di impostare una funzione abbiamo una tabella che contiene i valori della variabile indipendente x e i valori corrispondenti della variabile dipendente y . Le variabili indipendenti e dipendenti possono avere designazioni diverse, ma qui usiamo xey. Per determinare il valore di una funzione per un dato valore di x, utilizziamo la tabella per trovare il valore di x più vicino al nostro. Successivamente, determiniamo il valore corrispondente della variabile dipendente y .

Per una definizione più precisa del valore della funzione, consideriamo che la funzione tra due valori adiacenti di x è lineare, cioè ha la seguente forma:
.
Ecco i valori della funzione trovati dalla tabella, con i corrispondenti valori degli argomenti.
Considera un esempio. Dobbiamo trovare il valore della funzione in . Dalla tabella troviamo:
.
Quindi

.
Valore esatto:
.
Da questo esempio, si può vedere che l'uso dell'approssimazione lineare ha portato ad un aumento dell'accuratezza nella determinazione del valore della funzione.

Il metodo tabulare è utilizzato nelle scienze applicate. Prima dello sviluppo della tecnologia informatica, era ampiamente utilizzato nell'ingegneria e in altri calcoli. Ora il metodo tabulare viene utilizzato in statistica e scienze sperimentali per raccogliere e analizzare dati sperimentali.

Modo grafico per definire una funzione

In modo grafico, il valore della funzione è determinato dal grafico, lungo l'asse delle ascisse di cui sono tracciati i valori della variabile indipendente e lungo l'asse delle ordinate - la variabile dipendente.

Il metodo grafico fornisce una rappresentazione visiva del comportamento della funzione. I risultati dello studio di una funzione sono spesso illustrati dal suo grafico. Dal grafico è possibile determinare il valore approssimativo della funzione. Ciò consente di utilizzare il metodo grafico nei calcoli applicati e ingegneristici.

Una delle definizioni classiche del concetto di "funzione" sono le definizioni basate sulle corrispondenze. Presentiamo una serie di tali definizioni.

Definizione 1

Viene chiamata una relazione in cui ogni valore della variabile indipendente corrisponde a un singolo valore della variabile dipendente funzione.

Definizione 2

Siano forniti due insiemi non vuoti $X$ e $Y$. Viene chiamata una corrispondenza $f$ che mappa a ciascuno $x\in X$ uno e solo uno $y\in Y$ funzione($f:X → Y$).

Definizione 3

Siano $M$ e $N$ due insiemi numerici arbitrari. Una funzione $f$ si dice definita su $M$, assumendo valori da $N$ se ad ogni elemento di $x\in X$ viene assegnato uno e un solo elemento da $N$.

La seguente definizione è data attraverso il concetto di variabile. Una variabile è una grandezza che in questo studio assume diversi valori numerici.

Definizione 4

Sia $M$ l'insieme di valori della variabile $x$. Quindi, se ogni valore $x\in M$ corrisponde a un valore definito di un'altra variabile $y$ è una funzione del valore $x$ definito sull'insieme $M$.

Definizione 5

Siano $X$ e $Y$ alcuni insiemi di numeri. Una funzione è un insieme $f$ di coppie ordinate di numeri $(x,\ y)$ tale che $x\in X$, $y\in Y$ e ogni $x$ appartenga a una e solo una coppia di questo set, e ogni $y$ è in almeno una coppia di .

Definizione 6

Qualsiasi insieme $f=\(\left(x,\ y\right)\)$ di coppie ordinate $\left(x,\ y\right)$ tale che per qualsiasi coppia $\left(x",\ y" \right)\in f$ e $\left(x"",\ y""\right)\in f$ segue dalla condizione $y"≠ y""$ che $x"≠x""$ è chiamata funzione o display.

Definizione 7

Una funzione $f:X → Y$ è un insieme $f$ di coppie ordinate $\left(x,\ y\right)\in X\times Y$ tale che per ogni elemento $x\in X$ ci sia un elemento univoco $y\in Y$ tale che $\left(x,\ y\right)\in f$, ovvero la funzione è una tupla di oggetti $\left(f,\ X,\ Y\right) $.

In queste definizioni

$x$ è una variabile indipendente.

$y$ è la variabile dipendente.

Tutti i possibili valori della variabile $x$ sono chiamati dominio della funzione e tutti i possibili valori della variabile $y$ sono chiamati dominio della funzione.

Modo analitico per definire una funzione

Per questo metodo, abbiamo bisogno del concetto di espressione analitica.

Definizione 8

Un'espressione analitica è il prodotto di tutte le possibili operazioni matematiche su qualsiasi numero e variabile.

Il modo analitico di impostare una funzione è la sua impostazione utilizzando un'espressione analitica.

Esempio 1

$y=x^2+7x-3$, $y=\frac(x+5)(x+2)$, $y=cos5x$.

Professionisti:

1. Con le formule, possiamo determinare il valore di una funzione per un dato valore della variabile $x$;
2. Le funzioni così definite possono essere studiate utilizzando l'apparato di analisi matematica.

Svantaggi:

1. Poca visibilità.
2. A volte devi eseguire calcoli molto macchinosi.

Modo tabulare di definire una funzione

Questo modo di impostare è che per diversi valori della variabile indipendente vengono scritti i valori della variabile dipendente. Tutto questo viene inserito nella tabella.

Esempio 2

Immagine 1.

Un vantaggio: Per qualsiasi valore della variabile indipendente $x$ che viene inserito nella tabella, viene immediatamente riconosciuto il valore corrispondente della funzione $y$.

Svantaggi:

1. Il più delle volte, non esiste una specifica completa della funzione;
2. Poca visibilità.

Cosa significano le parole "funzione di impostazione"? Significano: spiegare a tutti, su cosa funzione specifica sta parlando. Inoltre, spiega in modo chiaro e inequivocabile!

Come lo posso fare? Come impostare una funzione?

Puoi scrivere una formula. Puoi disegnare un grafico. Puoi fare un tavolo. In ogni caso lo è qualche regola con cui puoi scoprire il valore del giocatore per il valore x che abbiamo scelto. Quelli. "imposta funzione", questo significa - mostrare la legge, la regola secondo la quale x si trasforma in una y.

Di solito, in una varietà di compiti ci sono pronto funzioni. Ci danno già impostato. Decidi tu stesso, ma decidi.) Ma ... Molto spesso, gli scolari (e gli studenti) lavorano con le formule. Ci si abitua, capisci... Ci si abitua così tanto che qualsiasi domanda elementare relativa a un modo diverso di specificare una funzione sconvolge immediatamente una persona...)

Per evitare tali casi, ha senso comprendere i diversi modi di definire le funzioni. E, naturalmente, applica questa conoscenza a domande "complicate". È abbastanza semplice. Se sai cos'è una funzione...)

Andare?)

Modo analitico per definire una funzione.

Il modo più versatile e potente. Funzione definita analiticamente, questa è la funzione che viene data formule. In realtà, questa è l'intera spiegazione.) Funzioni familiari a tutti (voglio credere!)), ad esempio: y=2x o y=x2 eccetera. eccetera. sono dati analiticamente.

A proposito, non tutte le formule possono definire una funzione. Non tutte le formule seguono la condizione rigorosa della definizione della funzione. Vale a dire - per ogni x ci può essere solo uno gioco. Ad esempio, nella formula y = ±x, per uno valori x=2, risulta Due y valori: +2 e -2. È impossibile definire una funzione a valore singolo con questa formula. E con le funzioni a molti valori in questa sezione della matematica, nell'analisi matematica, di regola non funzionano.

Perché il modo analitico di definire una funzione è buono? Il fatto che se hai una formula, conosci la funzione tutto! Puoi fare un tavolo. Costruisci un grafico. Esplora questa funzione per intero. Prevedi esattamente dove e come si comporterà questa funzione. Tutta l'analisi matematica si basa su questo metodo di definizione delle funzioni. Diciamo che è estremamente difficile prendere la derivata di una tabella...)

Il metodo analitico è abbastanza familiare e non crea problemi. Tranne forse alcune varietà di questo metodo che gli studenti incontrano. Sto parlando di assegnazione parametrica e implicita di funzioni.) Ma tali funzioni sono in una lezione speciale.

Passiamo a modi meno familiari per definire una funzione.

Modo tabulare di definire una funzione.

Come suggerisce il nome, questo metodo è un piatto semplice. In questa tabella, ogni x corrisponde a ( è allineato) un certo valore del giocatore. La prima riga contiene i valori dell'argomento. La seconda riga contiene i valori delle funzioni corrispondenti, ad esempio:

Tabella 1.

Per favore presta attenzione! In questo esempio, y dipende da x comunque. L'ho inventato apposta.) Non c'è uno schema. Va bene, succede. Significa, Esattamente Ho impostato questa funzione particolare. Esattamente Ho impostato una regola in base alla quale x si trasforma in y.

Può essere compilato altro un piatto con un motivo. Questo piatto si fisserà altro funzione, ad esempio:

Tavolo 2.

Hai colto lo schema? Qui tutti i valori di y si ottengono moltiplicando x per due. Ecco la prima domanda "complicata": la funzione specificata utilizzando la Tabella 2 può essere considerata una funzione y = 2x? Pensaci un po', la risposta sarà di seguito, in modo grafico. È molto chiaro lì.)

Cosa è buono modo tabulare di impostare una funzione? Sì, non devi contare nulla. Tutto è già stato calcolato e scritto nella tabella.) E non c'è niente di più buono. Non conosciamo il valore della funzione per x, che non sono nella tabella. In questo metodo, tali valori x sono semplicemente non esiste. A proposito, questo è un indizio per la domanda complicata.) Non possiamo scoprire come si comporta la funzione al di fuori della tabella. Non possiamo fare niente. Sì, e la visibilità in questo metodo lascia molto a desiderare... Per chiarezza, un metodo grafico è buono.

Modo grafico per definire una funzione.

In questo metodo, la funzione è rappresentata da un grafico. L'argomento (x) viene tracciato lungo l'ascissa e il valore della funzione (y) viene tracciato lungo l'ordinata. In base al programma, puoi anche sceglierne uno qualsiasi X e trova il valore corrispondente a. La pianificazione può essere qualsiasi, ma... non qualsiasi.) Lavoriamo solo con funzioni a valore singolo. La definizione di tale funzione afferma chiaramente: ciascuno Xè allineato l'unico a. Uno uno, non due o tre... Ad esempio, osserviamo il grafico circolare:

Un cerchio è come un cerchio... Perché non dovrebbe essere un grafico di una funzione? E scopriamo quale y corrisponderà al valore di x, ad esempio 6? Spostiamo il cursore sul grafico (o tocchiamo l'immagine sul tablet) e ... vediamo che questa X corrisponde a Due valori del giocatore: y=2 e y=6.

Due e sei! Pertanto, un tale grafico non sarà un'assegnazione grafica di una funzione. Sul uno x contabilizzato Due gioco. Questo grafico non corrisponde alla definizione della funzione.

Ma se la condizione di unicità è soddisfatta, il grafico può essere assolutamente qualsiasi cosa. Per esempio:

Questa stessa krivulina - e c'è una legge con la quale puoi tradurre x in una y. Inequivocabile. Vorremmo conoscere il valore della funzione per x = 4, Per esempio. Dobbiamo trovare i quattro sull'asse x e vedere quale y corrisponde a questa x. Passa il mouse sopra la figura e vedi che il valore della funzione a per x=4è uguale a cinque. Non sappiamo con quale formula sia data una tale trasformazione di X in Y. E non è necessario. Tutto è impostato dal programma.

Ora possiamo tornare alla domanda "difficile" su y=2x. Tracciamo questa funzione. Eccolo:

Naturalmente, nel disegnare questo grafico, non abbiamo preso un numero infinito di valori X. Abbiamo preso diversi valori, contati si, fatto un piatto - e il gioco è fatto! I più alfabetizzati generalmente prendevano solo due valori di X! E giustamente. Per una linea retta, non serve altro. Perché lavoro extra?

Ma noi sapevo esattamente cosa può essere x chiunque. Intero, frazionario, negativo... Qualsiasi. Questo secondo la formula y=2xè visto. Pertanto, abbiamo collegato audacemente i punti sul grafico con una linea continua.

Se la funzione ci è data dalla Tabella 2, allora dovremo prendere i valori x solo dal tavolo. Perché le altre X (e Y) non ci vengono date e non c'è nessun posto dove portarle. Non ce ne sono, questi valori, in questa funzione. Il programma risulterà dai punti. Puntiamo il mouse sull'immagine e vediamo il grafico della funzione data dalla Tabella 2. Non ho scritto i valori x-y sugli assi, lo capirai, vai, dalle celle?)

Ecco la risposta alla domanda difficile. Funzione data dalla tabella 2 e funzione y=2x - vari.

Il metodo grafico è buono per la sua chiarezza. Puoi vedere immediatamente come si comporta la funzione quando aumenta. dove diminuisce. Dal grafico si possono immediatamente scoprire alcune importanti caratteristiche della funzione. E nell'argomento con la derivata, compiti con grafici - tutto il tempo!

In generale, i modi analitici e grafici di definire una funzione vanno di pari passo. Lavorare con la formula aiuta a costruire un grafico. E il grafico suggerisce spesso soluzioni che non noterai nella formula ... Saremo amici dei grafici.)

Quasi tutti gli studenti conoscono i tre modi per definire una funzione che abbiamo appena trattato. Ma alla domanda: "E il quarto!?" - si blocca completamente.)

C'è un modo.

Descrizione verbale della funzione.

Si si! Una funzione può essere definita in modo abbastanza inequivocabile a parole. La grande e potente lingua russa è capace di molto!) Ad esempio, la funzione y=2x può essere data la seguente descrizione verbale: a ogni valore reale dell'argomento x viene assegnato il suo valore raddoppiato. Come questo! La regola è impostata, la funzione è impostata.

Inoltre, è possibile specificare verbalmente una funzione, che è estremamente difficile, se non impossibile, specificare con una formula. Per esempio: a ogni valore dell'argomento naturale x viene assegnata la somma delle cifre che compongono il valore di x. Ad esempio, se x=3, poi y=3. Se una x=257, poi y=2+5+7=14. E così via. È difficile scriverlo in una formula. Ma la tavola è facile da fare. E costruisci un grafico. A proposito, il programma risulta essere divertente ...) Provalo.

Il metodo della descrizione verbale è un metodo piuttosto esotico. Ma a volte succede. Qui l'ho portato per darti fiducia in situazioni impreviste e non standard. Devi solo capire il significato delle parole "set di funzioni..." Ecco il significato:

Se esiste una legge di corrispondenza biunivoca tra X e a significa che c'è una funzione. Quale legge, in quale forma è espressa - da una formula, una tavoletta, un grafico, parole, canti, danze - non cambia l'essenza della questione. Questa legge consente di determinare il valore corrispondente di y per il valore di x. Tutto quanto.

Ora applicheremo questa profonda conoscenza ad alcune attività non standard.) Come promesso all'inizio della lezione.

Esercizio 1:

La funzione y = f(x) è data nella Tabella 1:

Tabella 1.

Trova il valore della funzione p(4) se p(x)= f(x) - g(x)

Se non riesci a capire cosa è cosa, leggi la lezione precedente "Cos'è una funzione?" Lì, è scritto molto chiaramente su tali lettere e parentesi.) E se solo la forma tabulare ti confonde, lo scopriremo qui.

È chiaro dalla lezione precedente che se, p(x) = f(x) - g(x), poi p(4) = f(4) - g(4). Lettere f e g significano le regole secondo le quali ad ogni X viene assegnata la propria Y. Per ogni lettera ( f e g) - possedere regola. Che è dato dalla tabella corrispondente.

Valore della funzione f(4) determinato dalla tabella 1. Questo sarà 5. Il valore della funzione g(4) determinato dalla tabella 2. Questo sarà 8. Il più difficile rimane.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Questa è la risposta corretta.

Risolvi la disuguaglianza f(x) > 2

Questo è tutto! È necessario risolvere la disuguaglianza, che (nella forma usuale) è brillantemente assente! Resta da abbandonare il compito o accendere la testa. Scegliamo il secondo e discutiamo.)

Cosa significa risolvere una disuguaglianza? Ciò significa trovare tutti i valori di x per i quali è soddisfatta la condizione dataci f(x) > 2. Quelli. tutti i valori delle funzioni ( a) deve essere maggiore di due. E abbiamo ogni y sul grafico... E ce ne sono più di due, e meno... E tracciamo, per chiarezza, una linea su questi due! Spostiamo il cursore sull'immagine e vediamo questo bordo.

A rigor di termini, questo confine è il grafico della funzione y=2, ma non è questo il punto. È importante che ora sul grafico sia ben visibile dove, a che cosa x, valori di funzione, ad es. si, più di due. Sono di più X > 3. In X > 3 la nostra intera funzione passa sopra frontiere y=2. Questa è l'intera soluzione. Ma è ancora troppo presto per spegnere la testa!) Dobbiamo ancora scrivere la risposta ...

Il grafico mostra che la nostra funzione non si estende a sinistra ea destra all'infinito. I punti alle estremità del grafico ne parlano. La funzione finisce qui. Pertanto, nella nostra disuguaglianza, tutte le x che vanno oltre i limiti della funzione non hanno significato. Per la funzione di queste x non esiste. E noi, infatti, risolviamo la disuguaglianza per la funzione...

La risposta corretta sarebbe:

3 < X ≤ 6

Oppure, in un'altra forma:

X ∈ (3; 6]

Ora tutto è come dovrebbe essere. La tripla non è inclusa nella risposta, perché la disuguaglianza originale è rigorosa. E il sei si accende, perché e la funzione a sei esiste e la condizione di disuguaglianza è soddisfatta. Abbiamo risolto con successo una disuguaglianza che (nella sua forma usuale) non esiste...

È così che alcune conoscenze e una logica elementare salvano in casi non standard.)