Honnan emlékezhet iskolai tananyag a geometriában a háromszög olyan alakzat, amely három olyan szakaszból áll, amelyeket három pont köt össze, amelyek nem egy egyenesen helyezkednek el. A háromszög három szöget alkot, innen ered az ábra neve. A meghatározás eltérő lehet. A háromszöget három sarkú sokszögnek is nevezhetjük, a válasz ugyanilyen igaz lesz. A háromszögeket az egyenlő oldalak száma és a szögek nagysága szerint osztjuk fel az ábrákon. Tehát különböztesse meg az egyenlő szárú, egyenlő oldalú és léptékű háromszögeket, valamint a téglalap alakú, hegyesszögű és tompaszögű háromszögeket.

Számos képlet létezik a háromszög területének kiszámítására. Válassza ki, hogyan keresse meg a háromszög területét, pl. melyik képletet használja, csak te. De érdemes megjegyezni csak néhány jelölést, amelyet számos képletben használnak a háromszög területének kiszámítására. Tehát ne feledje:

S a háromszög területe,

a, b, c a háromszög oldalai,

h a háromszög magassága,

R a körülírt kör sugara,

p a fél kerülete.

Íme az alapvető jelölések, amelyek jól jöhetnek, ha teljesen elfelejtette a geometria menetét. Az alábbiakban megadjuk a háromszög ismeretlen és titokzatos területének kiszámításának legérthetőbb és nem bonyolult lehetőségeit. Nem nehéz, és jól jön mind a háztartási szükségletek kielégítésére, mind a gyerekek megsegítésére. Emlékezzünk arra, hogyan kell kiszámítani egy háromszög területét olyan egyszerűen, mint a körte héját:

Esetünkben a háromszög területe: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 négyzetcm. Ne feledje, hogy a területet négyzetcentiméterben (négyzetcentiméterben) mérik.

Derékszögű háromszög és területe.

A derékszögű háromszög olyan háromszög, amelynek egyik szöge 90 fok (ezért derékszögű háromszögnek nevezzük). Derékszöget két merőleges egyenes alkot (háromszög esetén két merőleges szakasz). NÁL NÉL derékszögű háromszög csak egy derékszög lehet, mert bármely háromszög összes szögének összege 180 fok. Kiderül, hogy 2 másik szögnek fel kell osztania a fennmaradó 90 fokot egymás között, például 70 és 20, 45 és 45 stb. Szóval, emlékezett a fő dologra, meg kell tanulnia, hogyan találja meg a derékszögű háromszög területét. Képzeljük el, hogy van előttünk egy ilyen derékszögű háromszög, és meg kell találnunk az S területét.

1. A derékszögű háromszög területének meghatározásának legegyszerűbb módja a következő képlet segítségével számítható ki:

Esetünkben egy derékszögű háromszög területe: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 négyzetcm.

Elvileg már nem szükséges a háromszög területét más módon ellenőrizni, mivel a mindennapi életben jól fog jönni és csak ez segít. De vannak lehetőségek a háromszög területének hegyesszögeken keresztüli mérésére is.

2. Egyéb számítási módszerekhez koszinuszokat, szinuszokat és érintőket tartalmazó táblázattal kell rendelkeznie. Ítélje meg saját maga, itt van néhány lehetőség egy derékszögű háromszög azon területeinek kiszámítására, amelyeket továbbra is használhat:

Úgy döntöttünk, hogy az első képletet használjuk és kis blotokkal (füzetbe rajzoltunk, és egy régi vonalzót és szögmérőt használtunk), de helyesen számoltunk:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) \u003d (3 * 3) / (2 * 1,2). Ilyen eredményt kaptunk 3,6=3,7, de a cellaeltolódást figyelembe véve ezt az árnyalatot elnézhetjük.

Egyenlőszárú háromszög és területe.

Ha a képlet kiszámításának feladatával áll szemben egyenlő szárú háromszög, akkor a legegyszerűbb módja a fő használata, és mivel ezt a háromszög területének klasszikus képletének tekintik.

De először, mielőtt megtalálnánk egy egyenlő szárú háromszög területét, megtudjuk, milyen alakról van szó. Az egyenlő szárú háromszög olyan háromszög, amelynek két oldala azonos hosszúságú. Ezt a két oldalt oldalnak, a harmadik oldalt alapnak nevezzük. Ne keverjük össze az egyenlő szárú háromszöget egy egyenlő oldalú háromszöggel, pl. derékszögű háromszög mindhárom oldal egyenlő. Egy ilyen háromszögben nincs különösebb hajlam a szögekre, vagy inkább a méretükre. Egy egyenlő szárú háromszög alapjában lévő szögek azonban egyenlőek, de különböznek a közöttük lévő szögtől egyenlő felek. Tehát már ismeri az első és a fő képletet, hátra van, hogy megtudja, milyen más képletek ismertek egy egyenlő szárú háromszög területének meghatározására.

Néha az életben vannak olyan helyzetek, amikor az emlékezetébe kell mélyednie, hogy a rég elfeledett iskolai tudást keresse. Például meg kell határoznia a háromszög alakú telek területét, vagy eljött a soron a következő javítás egy lakásban vagy magánházban, és ki kell számítania, hogy mennyi anyagra lesz szüksége. háromszög alakú felülethez. Volt idő, amikor néhány perc alatt meg tudtál oldani egy ilyen problémát, és most kétségbeesetten próbálod emlékezni, hogyan kell meghatározni egy háromszög területét?

Nem kell emiatt aggódnod! Hiszen teljesen normális, amikor az emberi agy úgy dönt, hogy a régen fel nem használt tudást elhelyezi valahova egy távoli zugba, ahonnan olykor nem is olyan könnyű kinyerni. Annak érdekében, hogy ne kelljen szenvednie az elfelejtett iskolai ismeretek keresésétől egy ilyen probléma megoldásához, ez a cikk különféle módszereket tartalmaz, amelyek megkönnyítik a háromszög kívánt területének megtalálását.

Köztudott, hogy a háromszög egy olyan sokszög, amelyet a lehető legkisebb oldalszám korlátoz. Elvileg bármely sokszög több háromszögre osztható, ha a csúcsait olyan szakaszokkal kötjük össze, amelyek nem metszik az oldalait. Ezért a háromszög ismeretében szinte bármilyen alakzat területét kiszámíthatja.

Az életben előforduló összes lehetséges háromszög közül a következő konkrét típusokat lehet megkülönböztetni: és téglalap alakú.

A háromszög területének kiszámításának legegyszerűbb módja, ha az egyik sarka derékszögű, azaz derékszögű háromszög esetén. Könnyen belátható, hogy ez egy fél téglalap. Ezért területe egyenlő a köztük derékszöget bezáró oldalak szorzatának felével.

Ha ismerjük az egyik csúcsából a másik oldalra süllyesztett háromszög magasságát és ennek az oldalnak a hosszát, amit alapnak nevezünk, akkor a területet a magasság és az alap szorzatának feleként számítjuk ki. Ezt a következő képlettel írják le:

S = 1/2*b*h, amelyben

S a háromszög kívánt területe;

b, h - a háromszög magassága és alapja.

Annyira könnyű kiszámítani egy egyenlő szárú háromszög területét, mivel a magasság felezi az ellenkező oldalt, és könnyen mérhető. Ha a területet meghatározzuk, akkor célszerű magasságként az egyik derékszöget alkotó oldal hosszát venni.

Mindez természetesen jó, de hogyan állapítható meg, hogy egy háromszög egyik sarka helyes-e vagy sem? Ha kicsi a figuránk mérete, akkor használhatunk építési szöget, rajzháromszöget, képeslapot vagy más téglalap alakú tárgyat.

De mi van, ha háromszög alakú telkünk van? Ebben az esetben a következőképpen járjon el: számoljon a javasolt tetejétől derékszög az egyik oldalon a 3-as távolság többszöröse (30 cm, 90 cm, 3 m), a másik oldalon a 4-es távolság többszöröse (40 cm, 160 cm, 4 m) mérve ugyanilyen arányban. Most meg kell mérnie a távolságot a két szegmens végpontjai között. Ha az érték 5-ös többszöröse (50 cm, 250 cm, 5 m), akkor a szög helyességével lehet érvelni.

Ha az ábránk három oldalának hosszának értéke ismert, akkor a háromszög területe meghatározható a Heron képletével. Annak érdekében, hogy egyszerűbb formája legyen, egy új értéket használnak, amelyet félkörzetnek neveznek. Ez a háromszögünk összes oldalának összege, felezve. A fél kerület kiszámítása után megkezdheti a terület meghatározását a képlet segítségével:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), ahol

sqrt - négyzetgyök;

p a fél kerület értéke (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - a háromszög élei (oldalai).

De mi van akkor, ha a háromszög szabálytalan alakú? Itt két lehetséges út van. Ezek közül az első, hogy egy ilyen ábrát megpróbálunk két derékszögű háromszögre osztani, amelyek területeinek összegét külön-külön számítjuk ki, majd összeadjuk. Vagy ha ismert a két oldal közötti szög és ezen oldalak mérete, akkor alkalmazza a képletet:

S = 0,5 * ab * sinC, ahol

a,b - a háromszög oldalai;

c az ezen oldalak közötti szög.

Ez utóbbi eset ritka a gyakorlatban, de ennek ellenére az életben minden lehetséges, így a fenti képlet nem lesz felesleges. Sok sikert a számításokhoz!

Egy háromszög területe - képletek és példák a problémamegoldásra

Alul láthatók képletek egy tetszőleges háromszög területének meghatározásához amelyek alkalmasak bármely háromszög területének megtalálására, függetlenül annak tulajdonságaitól, szögeitől vagy méreteitől. A képletek kép formájában jelennek meg, itt találhatók magyarázatok az alkalmazásra vagy helyességük indoklására. Szintén külön ábra mutatja be a képletekben szereplő betűjelek és a rajz grafikus szimbólumainak megfelelését.

jegyzet . Ha a háromszög speciális tulajdonságokkal rendelkezik (egyenlő szárú, téglalap alakú, egyenlő oldalú), használhatja az alábbi képleteket, valamint további speciális képleteket, amelyek csak az ilyen tulajdonságokkal rendelkező háromszögekre érvényesek:

"Egyenlő oldalú háromszög területének képletei"

Háromszög terület képletek

Magyarázatok a képletekhez:
a, b, c- a háromszög oldalainak hossza, amelynek területét meg akarjuk találni
r- a háromszögbe írt kör sugara
R- a körülírt kör sugara a háromszög körül
h- a háromszög magassága, oldalra süllyesztve
p- egy háromszög fél kerülete, oldalai összegének 1/2-e ( kerülete)
α - a háromszög a oldalával ellentétes szög
β - a háromszög b oldalával szemközti szög
γ - a háromszög c oldalával szemközti szög
h a, h b , h c- a háromszög magassága, leengedve az a, b, c oldalra

Kérjük, vegye figyelembe, hogy a megadott jelölés megfelel a fenti ábrának, így egy valós geometriai probléma megoldása során könnyebben tudja vizuálisan behelyettesíteni a megfelelő értékeket a képlet megfelelő helyeire.

A háromszög területe a a háromszög magasságának és annak az oldalnak a hosszának a szorzata, amelyre ezt a magasságot leengedjük(Forma-1). Ennek a képletnek a helyessége logikusan érthető. Az alapra csökkentett magasság egy tetszőleges háromszöget két téglalap alakúra oszt. Ha mindegyiket kiegészítjük egy b és h méretű téglalappá, akkor nyilvánvalóan ezeknek a háromszögeknek a területe pontosan a téglalap területének felével lesz egyenlő (Spr = bh)
A háromszög területe a két oldala és a köztük lévő szög szinuszának szorzatának fele(2. képlet) (lásd alább a probléma megoldásának példáját ezzel a képlettel). Annak ellenére, hogy az előzőtől eltérőnek tűnik, könnyen átalakítható azzá. Ha a B szög magasságát a b oldalra csökkentjük, akkor kiderül, hogy az a oldal és a γ szög szinuszának szorzata a szinusz tulajdonságai szerint egy derékszögű háromszögben egyenlő a háromszög által megrajzolt háromszög magasságával. nekünk, ami megadja nekünk az előző képletet
Megtalálható egy tetszőleges háromszög területe keresztül munka egy kör sugarának fele, amelyet az összes oldala hosszának összege ír be(3. képlet), vagyis meg kell szorozni a háromszög fél kerületét a beírt kör sugarával (így könnyebb megjegyezni)
Egy tetszőleges háromszög területét úgy kaphatjuk meg, hogy minden oldalának szorzatát elosztjuk a köréje körülírt kör 4 sugarával (4. képlet)
Az 5-ös képlet egy háromszög területét az oldalak hossza és a fél kerülete alapján (az összes oldala összegének fele) határozza meg.
Heron képlete(6) ugyanannak a képletnek a reprezentációja a félperiméter fogalmának használata nélkül, csak az oldalak hossza mentén
Egy tetszőleges háromszög területe egyenlő a háromszög oldalának négyzetének és az ezzel az oldallal szomszédos szögek szinuszainak szorzatával, osztva az ezzel az oldallal ellentétes szög kettős szinuszával (7. képlet)
Egy tetszőleges háromszög területe a körülötte körülírt kör két négyzetének és mindegyik szögének szinuszának a szorzataként található meg. (Forma-8)
Ha ismert az egyik oldal hossza és a vele szomszédos két szög nagysága, akkor a háromszög területe ennek az oldalnak a négyzete, osztva ezek kotangenseinek dupla összegével. szögek (Formula 9)
Ha egy háromszög mindegyik magasságának csak a hossza ismert (10-es képlet), akkor egy ilyen háromszög területe fordítottan arányos e magasságok hosszával, mint a Heron-képlet szerint
A 11-es képlet lehetővé teszi a számítást egy háromszög területe a csúcspontjainak koordinátái szerint, amelyek (x;y) értékként vannak megadva minden egyes csúcshoz. Kérjük, vegye figyelembe, hogy a kapott értéket modulo kell venni, mivel az egyes (vagy akár az összes) csúcsok koordinátái a negatív értékek területén lehetnek

jegyzet. Az alábbiakban példákat mutatunk be a geometriai problémák megoldására a háromszög területének meghatározásához. Ha olyan geometriai problémát kell megoldania, amelyhez hasonló itt nincs - írjon róla a fórumban. A megoldásokban a "négyzetgyök" szimbólum helyett az sqrt() függvény használható, amelyben az sqrt a négyzetgyök szimbólum, a gyök kifejezés pedig zárójelben van feltüntetve..Néha a szimbólum használható egyszerű radikális kifejezésekre √

Feladat. Keresse meg a két oldal adott területét és a köztük lévő szöget!

A háromszög oldalai 5 és 6 cm, köztük 60 fokos szög. Keresse meg egy háromszög területét.

Döntés.

A feladat megoldására a lecke elméleti részéből a kettes számú képletet használjuk.
A háromszög területe a két oldal hosszán és a köztük lévő szög szinuszán keresztül található, és egyenlő lesz
S=1/2 ab sin γ

Mivel minden szükséges adatunk megvan a megoldáshoz (a képlet szerint), ezért a képletbe csak a probléma feltételéből származó értékeket tudjuk behelyettesíteni:
S=1/2*5*6*sin60

Az értéktáblázatban trigonometrikus függvények keresse meg és helyettesítse be a kifejezésben a szinusz 60 fokos értékét. Ez egyenlő lesz a három gyökével kettővel.
S = 15 √3/2

Válasz: 7,5 √3 (a tanár igényeitől függően valószínűleg elhagyható 15 √3/2)

Feladat. Keresse meg egy egyenlő oldalú háromszög területét

Keresse meg egy egyenlő oldalú háromszög területét, amelynek oldala 3 cm.

határozat .

A háromszög területét a Heron-képlet segítségével találhatjuk meg:

S = 1/4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Mivel a \u003d b \u003d c, az egyenlő oldalú háromszög területének képlete a következő lesz:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Válasz: 9 √3 / 4.

Feladat. Területváltás az oldalak hosszának megváltoztatásakor

Hányszorosára nő egy háromszög területe, ha az oldalait megnégyszerezzük?

Döntés.

Mivel a háromszög oldalainak méretei számunkra ismeretlenek, a feladat megoldásához feltételezzük, hogy az oldalak hossza rendre egyenlő tetszőleges számok a, b, c. Ezután a probléma kérdésének megválaszolásához keressük meg ennek a háromszögnek a területét, majd egy olyan háromszög területét, amelynek oldalai négyszer nagyobbak. E háromszögek területének aránya megadja a választ a problémára.

Ezt követően lépésenként szöveges magyarázatot adunk a probléma megoldásáról. A legvégén azonban ugyanazt a megoldást az érzékelés szempontjából kényelmesebb grafikus formában mutatják be. Aki szeretne, azonnal ledobhatja a megoldást.

A megoldáshoz a Heron képletet használjuk (lásd fent a lecke elméleti részében). Ez így néz ki:

S = 1/4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lásd az alábbi kép első sorát)

Egy tetszőleges háromszög oldalainak hosszát az a, b, c változók adják meg.
Ha az oldalakat 4-szeresére növeljük, akkor az új c háromszög területe:

S 2 = 1/4 négyzet ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(lásd az alábbi kép második sorát)

Mint látható, a 4 egy gyakori tényező, amely a matematika általános szabályai szerint mind a négy kifejezésből zárójelbe tehető.
Azután

S 2 = 1/4 négyzet (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b - c)) - a kép harmadik sorában
S 2 = 1/4 négyzet (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - negyedik sor

A 256-os számból a négyzetgyök tökéletesen kinyerhető, ezért a gyökér alól kivesszük
S 2 = 16 * 1/4 négyzetméter ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 négyzetméter((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(lásd az alábbi ábra ötödik sorát)

A feladatban feltett kérdés megválaszolásához elegendő, ha a kapott háromszög területét elosztjuk az eredeti háromszög területével.
A területarányokat úgy határozzuk meg, hogy a kifejezéseket egymásra osztjuk és a kapott törtet csökkentjük.

A terület fogalma

Bármely geometriai alakzat, különösen egy háromszög területének fogalma egy ilyen alakhoz, például négyzethez kapcsolódik. Bármely geometriai alak egységnyi területéhez egy négyzet területét vesszük, amelynek oldala eggyel egyenlő. A teljesség kedvéért felidézünk két alapvető tulajdonságot a geometriai formák területeinek fogalmához.

1. tulajdonság: Ha egy geometriai alakzatok egyenlőek, területük is egyenlő.

2. tulajdonság: Bármely figura több figurára osztható. Ezenkívül az eredeti ábra területe megegyezik az azt alkotó összes figura területének értékeinek összegével.

Vegyünk egy példát.

1. példa

Nyilvánvaló, hogy a háromszög egyik oldala annak a téglalapnak az átlója, amelynek egyik oldala $5$ hosszú ($5$ cellák óta), másik oldala pedig $6$ ($6$ cella óta). Ezért ennek a háromszögnek a területe egyenlő lesz egy ilyen téglalap felével. A téglalap területe a

Ekkor a háromszög területe

Válasz: 15 dollár.

Ezután vegyen fontolóra számos módszert a háromszögek területének megtalálására, nevezetesen a magasság és az alap, a Heron képlet és az egyenlő oldalú háromszög területének használatával.

Hogyan lehet megtalálni a háromszög területét a magasság és az alap alapján

1. tétel

A háromszög területe az oldal hosszának és az oldalhoz húzott magasság szorzatának a felében található.

Matematikailag így néz ki

$S=\frac(1)(2)αh$

ahol $a$ az oldal hossza, $h$ a hozzá húzott magasság.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $AC=α$. A $BH$ magasságot erre az oldalra húzzuk, és egyenlő: $h$. Építsük fel a $AXYC$ négyzetre a 2. ábrán látható módon.

A $AXBH$ téglalap területe $h\cdot AH$, a $HBYC$ téglalapé pedig $h\cdot HC$. Azután

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Ezért a háromszög kívánt területe a 2. tulajdonság szerint egyenlő

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

A tétel bizonyítást nyert.

2. példa

Keresse meg a háromszög területét az alábbi ábrán, ha a cella területe eggyel egyenlő

Ennek a háromszögnek az alapja $9$ (mivel a $9$ az $9$ cellák). A magassága is 9 dollár. Ekkor az 1. Tétel alapján megkapjuk

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Válasz: 40,5 dollár.

Heron képlete

2. tétel

Ha megadjuk egy háromszög $α$, $β$ és $γ$ három oldalát, akkor a területe a következőképpen kereshető

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

itt a $ρ$ ennek a háromszögnek a fél kerületét jelenti.

Bizonyíték.

Tekintsük a következő ábrát:

A Pitagorasz-tétellel az $ABH$ háromszögből kapjuk

A $CBH$ háromszögből a Pitagorasz-tétel szerint van

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Ebből a két összefüggésből megkapjuk az egyenlőséget

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Mivel $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, akkor $α+β+γ=2ρ$, tehát

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Az 1. tétel alapján azt kapjuk, hogy

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

A terület fogalma

1. tulajdonság: Ha a geometriai alakzatok egyenlőek, akkor a területük is egyenlő.

2. tulajdonság: Bármely figura több figurára osztható. Ezenkívül az eredeti ábra területe megegyezik az azt alkotó összes figura területének értékeinek összegével.

Vegyünk egy példát.

1. példa

Ekkor a háromszög területe

Válasz: 15 dollár.

Hogyan lehet megtalálni a háromszög területét a magasság és az alap alapján

1. tétel

A háromszög területe az oldal hosszának és az oldalhoz húzott magasság szorzatának a felében található.

Matematikailag így néz ki

$S=\frac(1)(2)αh$

ahol $a$ az oldal hossza, $h$ a hozzá húzott magasság.

Bizonyíték.

Tekintsük az $ABC$ háromszöget, ahol $AC=α$. A $BH$ magasságot erre az oldalra húzzuk, és egyenlő: $h$. Építsük fel a $AXYC$ négyzetre a 2. ábrán látható módon.

A $AXBH$ téglalap területe $h\cdot AH$, a $HBYC$ téglalapé pedig $h\cdot HC$. Azután

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Ezért a háromszög kívánt területe a 2. tulajdonság szerint egyenlő

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

A tétel bizonyítást nyert.

2. példa

Keresse meg a háromszög területét az alábbi ábrán, ha a cella területe eggyel egyenlő

Ennek a háromszögnek az alapja $9$ (mivel a $9$ az $9$ cellák). A magassága is 9 dollár. Ekkor az 1. Tétel alapján megkapjuk

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Válasz: 40,5 dollár.

Heron képlete

2. tétel

Ha megadjuk egy háromszög $α$, $β$ és $γ$ három oldalát, akkor a területe a következőképpen kereshető

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

itt a $ρ$ ennek a háromszögnek a fél kerületét jelenti.

Bizonyíték.

Tekintsük a következő ábrát:

A Pitagorasz-tétellel az $ABH$ háromszögből kapjuk

A $CBH$ háromszögből a Pitagorasz-tétel szerint van

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Ebből a két összefüggésből megkapjuk az egyenlőséget

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Mivel $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, akkor $α+β+γ=2ρ$, tehát

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Az 1. tétel alapján azt kapjuk, hogy

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$