Egy O csoportot ciklikusnak nevezünk, ha minden eleme ugyanannak az elemnek a hatványa, ezt az elemet az O ciklikus csoport generátorának nevezzük.

Ciklikus csoport például az egész számok összeadás általi csoportja. Ezt a csoportot a 2-es szimbólummal fogjuk jelölni. Generátora az 1-es szám (és az 1-es szám is). Ciklikus csoport egy olyan csoport is, amely csak egy elemből (egyből) áll.

Egy tetszőleges O csoportban bármely g elem hatványai ciklikus alcsoportot alkotnak g generátorral. Ennek az alcsoportnak a sorrendje nyilvánvalóan egybeesik a g elem sorrendjével. Innen a Lagrange-tétel (lásd 32. o.) értelmében az következik, hogy a csoport bármely elemének sorrendje felosztja a csoport sorrendjét (megjegyezzük, hogy minden elem véges csoport véges rendű elemek).

Ezért egy véges rendű csoport bármely g elemére az egyenlőség

Ez az egyszerű megjegyzés gyakran hasznos.

Valóban, ha az O csoport ciklikus és generátora, akkor az elem sorrendje . Ezzel szemben, ha az O csoportnak van egy rendezett eleme, akkor ennek az elemnek a hatványai között vannak különbözőek, és ezért ezek a fokozatok kimerítik az egész O csoportot.

Látjuk tehát, hogy egy ciklikus csoportnak több különböző generátora lehet (nevezetesen a sorrend bármely eleme generátor).

Egy feladat. Bizonyítsd be, hogy bármelyik csoport egyszerű rendelés ciklikus csoport.

Egy feladat. Bizonyítsuk be, hogy a sorrend ciklikus csoportjának pontosan vannak generátorai, ahol a szám pozitív számok, kisebb és koprím -val.

A sorrenddel együtt bármely véges csoporthoz hozzárendelhető egy szám – az összes eleme sorrendjének legkisebb közös többszöröse.

Egy feladat. Bizonyítsuk be, hogy bármely véges O csoportra a szám osztja a csoport sorrendjét.

Nyilvánvaló, hogy ciklikus csoport esetén a szám egybeesik a sorrenddel. Ennek fordítva általában nem igaz. Mindazonáltal fennáll a következő állítás, amely a véges Abel-csoportok osztályának ciklikus csoportjait jellemzi:

egy véges O Abeli-csoport, amelynek a szám megegyezik a rendjével, ciklikus csoport.

Valóban, hagyjuk

Egy véges O Abel-csoport összes lehetséges nem egy elemének sorrendje , és legyen a legkisebb közös többszörösük.

Bővítsük ki a számot különböző hatványok szorzatává prímszámok:

Legyen Mivel egy szám definíció szerint az (1) számok legkisebb közös többszöröse, ezek között a számok között van legalább egy ie-vel pontosan osztható szám, amelynek alakja , ahol b koprím -val. Legyen ez a szám a g elem sorrendje. Ekkor az elemnek sorrendje van (lásd 1. Következmény a 29. oldalon).

Így az O csoport bármelyikéhez van legalább egy rendelési elem. Minden egyes ilyen elem kiválasztásánál vegye figyelembe a termékét. A 29-30. oldalon bizonyított állítás szerint ennek a terméknek a sorrendje megegyezik a rendelések szorzatával, azaz. egyenlő a számmal. Mivel az utolsó szám egyenlő -vel, ez azt bizonyítja, hogy az O csoport n-rendű elemet tartalmaz, ezért ez a csoport ciklikus csoport.

Legyen most O egy tetszőleges ciklikus csoport generátorral, H pedig annak néhány alcsoportja. Mivel a H alcsoport bármely eleme az O csoport eleme, így ábrázolható, ahol d valamilyen pozitív vagy negatív egész szám (általában nem egyedileg definiált). Tekintsük mindazon pozitív számok halmazát, amelyeknél az elem a H alcsoportba tartozik. Mivel ez a halmaz nem üres (miért?), létezik benne legkisebb szám Kiderül, hogy a H alcsoport bármely h eleme az elem foka. Valójában definíció szerint létezik olyan d szám, amelyre (a d szám negatív is lehet). Osszuk el (a maradékkal) a d számot a számmal

Mivel tehát a szám minimálissága miatt a maradéknak nullának kell lennie. Ily módon,.

Ez azt bizonyítja, hogy az elem a H csoport generátora, azaz a H csoport ciklikus. Tehát a ciklikus csoport bármely alcsoportja ciklikus csoport.

Egy feladat. Bizonyítsuk be, hogy a szám egyenlő a H alcsoport indexével, és ezért osztja az O csoport sorrendjét (ha az O csoport véges).

Azt is megjegyezzük, hogy az O csoportban lévő Q véges ciklikus csoport bármely rendű osztójához csak egy H rendű alcsoport létezik (nevezetesen egy generátorral rendelkező alcsoport

Ez azt jelenti, hogy ha egy véges ciklikus csoport egyszerű, akkor a sorrendje egy prímszám (vagy egy).

Végül megjegyezzük, hogy egy Q ciklikus csoport bármely hányadoscsoportja, tehát bármely homomorf képe) ciklikus csoport.

A bizonyításhoz elegendő megjegyezni, hogy a csoport generátora az O csoport generátorát tartalmazó coset.

Konkrétan a Z egész számok csoportjának bármely faktorcsoportja ciklikus csoport. Vizsgáljuk meg részletesebben ezeket a ciklikus csoportokat.

Mivel a Z csoport Abel-féle, bármelyik R alcsoportja normálosztó. Másrészt a fentiek szerint a H alcsoport ciklikus csoport. Mivel a triviális részcsoportok hányadoscsoportjait ismerjük, a Η alcsoportot tekinthetjük nem triviálisnak. Legyen egy szám a H alcsoport generátora. Tekinthetjük ezt a számot pozitívnak (miért?), tehát nagyobbnak, mint egy.

A H. alcsoport nyilvánvalóan minden -vel osztható egész számból áll. Ezért két szám akkor és csak akkor tartozik ugyanahhoz a kosethez a H alcsoporthoz képest, ha különbségük osztható -vel, azaz ha modulusban összehasonlíthatók (lásd Tanfolyam, 277. o.). Így a H alcsoporthoz tartozó cosets nem más, mint a modulo összehasonlítható számosztályok.

Más szavakkal, a Z csoport faktorcsoportja a H alcsoporthoz képest (összeadás alapján) olyan számosztályok csoportja, amelyek modulo összehasonlíthatóak. Ezt a csoportot jelöljük. Generátora az 1-es számot tartalmazó osztály.

Kiderül, hogy bármely ciklikus csoport izomorf vagy a Z csoporttal (ha végtelen), vagy az egyik csoporttal (ha a sorrendje véges).

Valóban, legyen az O csoport generátora. A 2. csoport leképezését az O csoportba úgy határozzuk meg, hogy

Meghatározás 1.22. Legyen R- Prímszám. Csoport G hívott p-csoport, ha a csoport bármely elemének sorrendje megegyezik egy prímszám valamely hatványával R.

Meghatározás 1.23. Sylow p-alcsoport véges csoport G ennek a csoportnak egy p-alcsoportját nevezzük, amely nem szerepel az adott csoport nagyobb p-alcsoportjában.

1.25. tétel. Egy véges Abel-csoport egyenlő Sylow p-alcsoportjainak közvetlen szorzatával.

Bizonyíték. Tekintsünk egy véges Abel-csoportot G n-et rendelni és hagyni n = R"! p 2 2 p*1 k - a szám bővítése P különböző prímszámok hatványainak szorzatába. 1-ért, 2,..., nak nekλ-val jelöljük a Sylow rg alcsoportot, λ-val pedig az összes λ által generált alcsoportot; mert; * én. Könnyen bebizonyítható, hogy I, n I, = (e). Ezért I \u003d (H 1, H 2, ..., H to) \u003d H 1 xH 2 x ... xH to. Tegyük fel, hogy van egy g e elem g, olyan, hogy g g H. A Lagrange-tétel 2. következménye szerint |G| : |g|. Ebből következik tehát

|g| = pf "pjf 2 pk k > g D e Pi - a i Bármely i = 1, 2 esetén nak nek. Az 1.23 Tétel következménye szerint vannak g 1 elemek; g2, ..., gk e g,úgy, hogy = x x... x (g k) és | g,-1 = pf 1, ha i = 1, 2, ..., /s. Ha feltételezzük, hogy g, g R, valamilyen r-re, akkor p,-alcsoportot kapunk (GI,ÉN,) F I, ami ellentmond egy Sylow p,-alcsoport definíciójának. Így bármely i = 1, 2,..., /pl. e eén honnan jöttem g e H. Következésképpen, H = Gés a tétel bebizonyosodott.

1.26. tétel. Egy véges Abel-p-csoport egyenlő a ciklikus részcsoportok közvetlen szorzatával.

Bizonyíték. Legyen adott egy véges Abeli ​​p-csoport G. Válasszunk ki egy elemet de p“, és legyen H egy olyan maximális részcsoport, amelyre (a) n H = (e). Ekkor (a, R) = (a) x R. Jelölje Gj = (a) x R.

Tegyünk úgy, mintha G F G y A G x -hez nem tartozó összes elem közül választunk egy pP minimális rendű g elemet. Ha feltételezzük, hogy gPg Gb majd mivel |gp| = pP- 1 , akkor a g elem kiválasztásával ellentmondáshoz jutunk. Ezért gP e G x = (a) x I és van egy /c egész szám és egy elem h e I, úgy, hogy gP = a fc /i. Innen a k= gp/i -1 . Ha gcd(/c, p) = 1, akkor gcd(/c, p°9 = 1 és vannak olyan u, v egész számok, amelyekre /u + p a v = 1. Akkor

A maximális | | a = p a van gP" = eés e Messze“ _1 = = (gP"/i _u)P" _1 =gP“h~ u P a~1=/i _u p““ 1 e R, ami ellentmond az (a) p R = (e) feltételnek. Ezért /s: r.

Legyen nak nek= r/s x. Ezután aP fc i \u003d a k \u003d g Ph ~ 1, ahol h = a~P k igP == (a _fc ig)P. Jelölje gj=a _/c ig. Aztán gf -heH. Feltéve, hogy gj =ar fc "geG] \u003d (a) xH, akkor g e G x , ami ellentmond a g elem kiválasztásának. Ezért g x g G x, és ebből gj g I. Mivel I a maximális alcsoport a feltétellel (de) n I = (e), akkor (a) n (g x , I) ^ (e). Ezért vannak t, p e Zés a hj e i elem úgy, hogy e * nál nél= gf

Ha azt feltételezzük n:r,top=rp 1 néhánynál n,eZés e g a m = gf/ij = gf ni /ii e I, ami ellentmond az (a) n I = = (e) feltételnek. Ezért gcd(p, p) = 1 Hgf =am /ha 1 . Ha |g x | =pY, akkor gcd(n, p'0 = 1 és van u x , v x g Z,így gsh x -t-pYv x = 1. Ezért g, =gf u i + P Yv i = gf Ul gf Yvi = gf Ul =(a m /i 1 - 1) u i Ismét ellentmondáshoz jutottunk. Így hát ezt kell elfogadni G - (a) x I. Most, az I. alcsoportban, hasonlóképpen egy közvetlen tényezővel kiemeljük a max. H sorrend stb., amíg meg nem kapjuk a csoport dekompozícióját G ciklikus alcsoportok közvetlen szorzatává. A tétel bizonyítást nyert.

1.27. tétel. Egy véges Abel-csoport egyenlő a ciklikus p-alcsoportok közvetlen szorzatával.

A bizonyítás az 1.25 és 1.26 tételekből következik.

A csoportokról szóló fejezet végén megjegyezzük, hogy egy csoport egy bináris művelettel rendelkező halmaznak tekinthető, amely asszociatív és tetszőleges elemre. deÉs Kommerszant az egyenletek egyedileg megoldhatók ax = b uya-b. Ez a csoportnézet két általánosításhoz vezet. Egyrészt összpontosíthatunk egy művelet asszociativitásának jelentésére, és ez elvezet a félcsoport fogalmához, mint egy asszociatív művelettel rendelkező halmazhoz (lásd a munkát). Másrészt figyelmen kívül hagyható az asszociativitás követelménye, és ez oda vezet, hogy egy kvázicsoportot egy bináris művelettel rendelkező halmazként fogunk fel, amelyre nézve a nevezett egyenletek egyedileg megoldhatók. Az azonossággal rendelkező kvázicsoportot huroknak nevezzük (lásd a cikket). A félcsoportok elmélete és a kvázicsoportok elmélete két egymástól függetlenül fejlődő szubsztanciális elméletté vált. A főszövegben nem említjük őket a "maximális lehetséges minimális" mennyiség miatt.

véges csoportok

Egy csoportot (félcsoportot) nevezünk végső ha véges számú elemből áll. Egy véges csoport elemeinek számát nevezzük annak sorrendben. Egy véges csoport bármely részcsoportja véges. És ha HÍ G– egy csoport alcsoportja G, akkor bármely elemre deÎ G sok A={x: x=h◦a, bármilyen hÎ H) nak, nek hívják bal szomszédsági osztályt számára G viszonylag H. Nyilvánvaló, hogy az elemek száma a A egyenlő a renddel H. (Hasonlóan meg lehet fogalmazni a definíciót egy N– jobb coset tekintetében H).

Bármelyik alcsoport számára fontos H csoportok G tetszőleges két bal (jobb) coset by H vagy egybeesik, vagy nem metszik egymást, így bármely csoport reprezentálható diszjunkt bal (jobb) kosettek uniójaként H.

Valóban, ha két osztály N aÉs Hb, ahol a, bÎ G, van egy közös eleme x, akkor létezik tÎ H oly módon, hogy x = t◦a. És akkor a bal osztály x: H x={y: y=h◦x= h◦(t◦a) = (h◦t)◦a} Í H a, de a=t ‑1 ◦xÉs N a={y: y=h◦a= h◦(t ‑1 ◦x) = (h◦t ‑1)◦x} Í H x. Innen H x=N a. Hasonlóképpen azt is meg lehet mutatni H x=H b. És ezért N a=H b. Ha az osztályok N aÉs Hb Nincsenek közös elemek, akkor nem metszik egymást.

A csoport ilyen felosztását bal (jobb) cosetekre nevezzük a csoport felosztása a H alcsoport szempontjából.

2.6.1. Tétel. Egy véges csoport sorrendje osztható bármelyik részcsoportjának sorrendjével.

Bizonyíték. Mivel G véges csoport, akkor bármelyik alcsoportja H véges rendje van. Tekintsük egy csoport alcsoportokra bontását H. Ebben a dekompozícióban minden egyes kosetben az elemek száma azonos és megegyezik a sorrenddel H. Ezért ha n- csoportos rendelés G, de k- alcsoport sorrend H, azután n=m× k, ahol m a cosetek száma by H a csoportbontásban G.

Ha bármely elemhez aÎ G Þ N a=egy N(bal és jobb oldali coset alcsoportonként H mérkőzés), akkor H hívott normál osztó csoportok G.

Nyilatkozat: ha G kommutatív csoport, akkor bármely alcsoportja H egy normál osztó G.

Tekintettel egy csoportban (félcsoportban) végzett cselekvés asszociativitására, három elem „termékéről” beszélhetünk ( de◦b◦c) =(de◦b)◦c = de◦(b◦c). A fogalom összetett munka tól től n elemek: de 1 ◦de 2 ◦…◦a n = ◦ a n = = ◦.

Munka n egy csoport azonos elemeit nevezzük elem fokaés jelöltük a n=. Ennek a definíciónak minden természetes számára van értelme n. Bármely csoportelemhez aÎ G kijelöl de 0 =e a csoport semleges eleme G. És egy elem negatív ereje a ‑ n ként meghatározott ( a ‑1)n vagy ( a n) -1 , hol a-1 - inverz elem de. Mindkét meghatározás a ‑ n meccs, mert a n◦(a ‑1)n = (de◦de◦ ¼◦ de)◦(a ‑1 ◦a-1◦ ¼◦ a ‑1) = de◦de◦¼◦( de◦a ‑1)◦a-1 ◦¼◦ a ‑1 =e n =e. Ily módon ( a ‑1)n = (a n) ‑1 .

Egy additív csoportban egy elem fokszámának analógja a n akarat n- ennek többszöröse, általában jelölve na, amit nem szabad terméknek venni n a de, Amennyiben nÎℕ és esetleg nÏ G. Hogy. na⇋ hol nнℕ és 0 de=e⇋0 és (- n)a = ‑(na) = n(‑a) bármilyen természetes n, ahol (- a) fordítottja aÎ G.

Könnyű megmutatni, hogy a választott jelölés alatt bármilyen egész számra mÉs nés bármilyen aÎ G jól ismert tulajdonságok teljesülnek: de) szorzó jelöléssel a n ◦a m = a n + més ( a n)m = a nm; b) additív jelöléssel na+ma = (n+m)aÉs n(ma)=(nm)a.

Tekintsük a csoport egy részhalmazát G, amely egy tetszőleges elem összes hatványából áll gÎ G. Jelöljük A g. Ily módon A g ={g 0 , g 1 , g ‑1 , g 2 , g-2,¼). Magától értetődően, A g a csoport alcsoportja G, mivel bármely elemhez x,nál nélÎ A g ebből következik ( x◦nál nél)Î A g, és bármely elemhez xÎ A g lesz x-1 О A g, Kívül, g 0 =eÎ A g.

Alcsoport A g hívott ciklikus alcsoport csoportok G az elem által generált g. Ez az alcsoport mindig kommutatív, még akkor is, ha ő maga G nem kommutatív. Ha a csoport G egybeesik valamelyik ciklikus alcsoportjával, akkor az ún ciklikus csoport az elem által generált g.

Ha egy elem minden hatványa g más, akkor a csoport G hívott végtelen ciklikus csoport, és az elem g- elem végtelen rend.

Ha a ciklikus csoport elemei között egyenlőek pl. g k=g m nál nél k>m, azután gk-m=e; és jelölve k-mát n, kapunk gn=e, nÎℕ.

Legkevésbé természetes mutató n oly módon, hogy gn=e, nak, nek hívják a g elem sorrendjeés magát az elemet g hívott véges rendű elem.

Ilyen elem mindig megtalálható véges csoportban, de lehet végtelen csoportban is.

Olyan csoportokat nevezünk, amelyeknek minden eleme véges sorrendű időszakos.

Mivel egy véges csoport bármely elemének véges a sorrendje, minden véges csoport periodikus. Ezenkívül egy véges csoport minden ciklikus részcsoportja periodikus, mivel végesek, és minden véges rendű elem n azonos sorrendű ciklikus csoportot generál n, elemekből áll ( g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-egy). Valóban, ha az elemek száma egyenlő lenne néhány k<n, azután g k=e=gn, ami ellentétes a választással n, mint a legkevesebb fokozat olyan, hogy gn=e; másrészről, k>n szintén lehetetlen, mert ebben az esetben azonos elemek lennének.

Nyilatkozat: 1) minden fokozat g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 azért különbözik ha egyenlőek lennének pl. GI=gj (én>j), azután g i-j=e, de ( én‑j)<n, és definíció szerint n- a legkisebb fokozat olyan gn=e.

2) Bármilyen más végzettség g, pozitív vagy negatív, egyenlő az egyik elemmel g 0 , g 1 , g 2,¼, gn-1 mert tetszőleges egész szám k kifejezéssel ábrázolható: k=nq+r, ahol q,rÎℤ és 0£ r<n, r- maradék és g k=gnq + r= gnq° r= (gn)q° r= e q° r= r.

1) Minden csoportnak van egy egyedi elsőrendű eleme ( e) egy elemből álló elsőrendű ciklikus alcsoport létrehozása e.

2) Tekintsük a permutációs csoportot S 3 , amely a következő elemekből áll: , , , , , . Rendelés S 3=6. Elemek sorrendje de egyenlő 2-vel, mert . Elemrend b is egyenlő 2-vel, mert . Elemek sorrendje tól től egyenlő 3-mal, mert És . Elemek sorrendje f is egyenlő 3-mal, mert És . És végül a sorrend d egyenlő 2-vel, mert . Így ciklikus alcsoportok S 3 elemek által generált e, a, b, d, cÉs f, illetve egyenlőek: ( e}, {e, a}, {e, b}, {e, d}, {e, c, f) És ( e, f, c), ahol az utolsó kettő egybeesik. Vegye figyelembe azt is, hogy az egyes ciklikus alcsoportok sorrendje maradék nélkül osztja fel a csoport sorrendjét. A következő tétel igaz.

2.7.1. tétel. (Lagrange) Egy véges csoport sorrendje osztható bármely elemének sorrendjével (mert egy elem sorrendje és az általa generált ciklikus részcsoport sorrendje egybeesik).

Ebből az is következik, hogy a véges csoport bármely eleme, ha a csoport rendjének hatványára emeljük, megadja a csoport azonosságát. (Mivel g m=gnk=e k=e, ahol m- csoportos rendelés n- elemsorrend g, k egy egész szám).

Az S csoportban 3 alcsoport található H={e, c, f) normálosztó, míg a 2. rendű részcsoportok nem normálosztók. Ez könnyen ellenőrizhető, ha megkeresi a bal és jobb oldali koszeteket H a csoport minden elemére. Például egy elemhez de bal szomszédsági osztályt A={e ◦ a, tól től◦ de, f◦ a} = {de, b, d) és a megfelelő coset egy N={a ◦ e, de◦ c, de◦ f} = {de, d, b) mérkőzés. Hasonlóan az összes többi elemhez S 3 .

3) Az összes összeadású egész halmaz egy végtelen ciklikus csoportot alkot 1 (vagy -1) generáló elemmel, mert bármely olyan egész szám, amely 1 többszöröse.

4) Tekintsük a gyökérkészletet n– mértékegységtől: E n=. Ez a halmaz egy csoport a szorzógyökök működése szempontjából. Valójában bármely két elem szorzata e kÉs e m tól től E n, ahol k, m £ n-1 is elem lesz E n, mivel = = , ahol r=(k+m)mod nÉs r £ n-egy; szorzás asszociatív, semleges elem e=e 0 =1 és bármely elemre e k van egy inverz és . Ez a csoport ciklikus, generáló eleme a primitív gyök. Könnyen belátható, hogy minden fokozat különbözik: , tovább for k³ n gyökerei kezdenek kiújulni. A komplex síkon a gyökerek egy egységsugarú körön helyezkednek el, és osztják azt fel n egyenlő ívek, a 11. ábra szerint.

Az utolsó két példa lényegében az összes ciklikus csoportot kimeríti. Mivel a következő tétel igaz.

Tétel 2.7.2. Minden végtelen ciklikus csoport izomorf egymással. Minden véges ciklikus rendű csoport n izomorf egymással.

Bizonyíték. Legyen ( G, ∘) egy végtelen ciklikus csoport generátorral g. Aztán van egy bijektív leképezés f: ℤ ® Gúgy, hogy bármilyen egész számra kÉs m képeiket f(k) És f(m), egyenlő g kÉs g m, elemek G. És ahol f(k+m)=f(k)∘f(m), Amennyiben g k + m=g k∘ g m.

Hagyd most ( G, ∘) egy véges ciklikus rendű csoport n szülő elemmel g. Ezután minden elemet g kÎ G az egyetlen mód az elem párosítása e kÎ E n(0£ k<n), a szabály szerint f(g k)=e k. És mégis, bármelyikhez g kÉs g mÎ G ezt követi f(g k∘ g m)=f(g k) ∘f(g m), Amennyiben f(g k∘ g m)=f(g k + m)=f(r), ahol r=(k+m)mod n, És f(r)=er=e k× e m. Nyilvánvaló, hogy egy ilyen összehasonlítás bijektív leképezés.

• 1. Csoport Z egész számok összeadási művelettel.
• 2. Az összes összetett fokgyök csoportja n egységből a szorzás műveletével. Mivel a ciklikus szám izomorfizmus

a csoport ciklikus, az elem pedig a generátor.

Látjuk, hogy a ciklikus csoportok lehetnek végesek vagy végtelenek.

3. Legyen tetszőleges csoport és tetszőleges elem. A halmaz egy ciklikus csoport g generátorral. A g elem által generált ciklikus részcsoportnak nevezzük, sorrendje pedig a g elem sorrendje. Lagrange tétele szerint egy elem sorrendje egy csoport sorrendjének osztója. Kijelző

a következő képlet szerint jár el:

nyilvánvalóan homomorfizmus és képe egybeesik -vel. A leképezés akkor és csak akkor szürjektív, ha a csoport G- ciklikus és g alkotóeleme. Ebben az esetben a ciklikus csoport standard homomorfizmusát nevezzük G a választott generatrixszal g.

A homomorfizmus tételt alkalmazva ebben az esetben a ciklikus csoportok egy fontos tulajdonságát kapjuk: minden ciklikus csoport a csoport homomorf képe. Z .

Bármely csoportban G meghatározható fokozat elem egész kitevőkkel:

Van egy ingatlan

Ez nyilvánvaló, ha . Gondoljunk arra az esetre, amikor . Azután

A többi esetet is hasonlóan kezelik.

A (6)-ból az következik

De definíció szerint is. Így egy elem hatványai egy alcsoportot alkotnak a csoportban G. Ez az úgynevezett egy elem által generált ciklikus alcsoport,és jelöli .

Két alapvetően eltérő eset lehetséges: vagy egy elem minden foka eltérő, vagy nem. Az első esetben az alcsoport végtelen. Vizsgáljuk meg részletesebben a második esetet.

Legyen ,; azután. A legkisebb természetes szám T, amelyre ebben az esetben hívják sorrendben elemet, és jelöli .

1. javaslat. Ha , azután

Bizonyíték. 1) Osztani m a P a maradékkal:

Akkor a sorrend meghatározása szerint

Az előző alapján

Következmény. Ha, mo alcsoport n elemet tartalmaz.

Bizonyíték. Igazán,

és az összes felsorolt ​​elem különbözik.

Ha nincs olyan természetes T, hogy (azaz a fent leírt esetek közül az első történik meg) feltételezzük . Vegye figyelembe, hogy; a csoport összes többi elemének sorrendje nagyobb, mint 1.

Egy additív csoportban nem egy elem erejéről beszélnek , hanem róla többszörösei, amelyeket azzal jelölünk . Ennek megfelelően az adalékanyag csoport elemének sorrendje G a legkisebb természetes szám T(ha van) amelyre

1. PÉLDA Egy mező jellemzője az additív csoport bármely nullától eltérő elemének sorrendje.

2. PÉLDA. Nyilvánvaló, hogy egy véges csoportban bármely elem sorrendje véges. Mutassuk meg, hogyan számítjuk ki egy csoport elemeinek sorrendjét, helyettesítést nevezünk ciklus hosszúságú, és ha ciklikusan permutál

és az összes többi számot a helyén hagyja. Nyilvánvalóan a hosszúsági ciklus sorrendje az R. A ciklusokat ún független ha az általuk ténylegesen átrendezett számok között nincs közös; ebben az esetben . Minden permutáció egyedileg bomlik független ciklusok szorzatává. Például,

ami jól látható az ábrán, ahol a helyettesítési műveletet nyilak ábrázolják. Ha a permutáció független hosszúságú ciklusok szorzatára bomlik , azután

3. PÉLDA. Egy c komplex szám sorrendje egy csoportban akkor és csak akkor véges, ha ez a szám valamilyen egységhatvány gyöke, ami viszont akkor és csak akkor következik be, ha a összemérhető, azaz. .

4. PÉLDA. Keressük a síkmozgások csoportjában véges rendű elemeket. Legyen. Bármely pontra

mozgás által ciklikusan átrendeződnek , tehát a súlypontjuk ról ről viszonylag mozdíthatatlan. Ezért - vagy a pont körüli látószöggel történő elforgatás ról ről, vagy valamilyen áthaladó egyenesről való tükrözés ról ről.

5. PÉLDA. Keressük a mátrix sorrendjét

egy csoport részeként. Nekünk van

így. Természetesen ezt a példát speciálisan választottuk: annak a valószínűsége, hogy egy véletlenszerűen kiválasztott mátrix sorrendje véges lesz, nulla.

2. javaslat. Ha , azután

Bizonyíték. Legyen

így. Nekünk van

Következésképpen, .

1. definíció . Csoport G hívott ciklikus, ha van olyan elem , mit . Minden ilyen elemet ún generatív elem csoportok G.

6. PÉLDA. Az egész számok összeadó csoportja ciklikus, mivel az 1 elem generálja.

7. PÉLDA. Modulo adalékanyag-maradék csoport n ciklikus, mivel a . elem generálja.

8. PÉLDA. Az 1 komplex n-edik gyökeinek multiplikatív csoportja ciklikus. Valójában ezek a gyökerek a számok

Ez egyértelmű . Ezért a csoportot az elem hozza létre.

Könnyen belátható, hogy egy végtelen ciklikus csoportban csak és elemeket generálnak. Tehát a Z csoportban az egyetlen generáló elem az 1 és a -- 1.

A véges csoportelemek száma G hívta őt sorrendbenés jelöli. Egy véges ciklikus csoport sorrendje megegyezik a generáló elemének sorrendjével. Ezért a 2. állítás magában foglalja

3. javaslat . Ciklikus csoport elem n rendű akkor és csak akkor generál

9. PÉLDA. Egy csoport generáló elemeit ún primitív gyökerei n th hatvány az 1-ből. Ezek az űrlap gyökerei , ahol. Például az 1 12. fokának primitív gyökerei az.

A ciklikus csoportok az elképzelhető legegyszerűbb csoportok. (Különösen Abel-féleek.) A következő tétel teljes leírást ad róluk.

1. tétel. Minden végtelen ciklikus csoport izomorf egy csoporthoz. Minden véges n-rendű ciklikus csoport izomorf egy csoporthoz.

Bizonyíték. Ha egy végtelen ciklikus csoport, akkor a (4) képlet szerint a leképezés izomorfizmus.

Legyen a sorrend véges ciklikus csoportja P. Fontolja meg a leképezést

akkor a leképezés jól meghatározott és bijektív. Ingatlan

ugyanabból az (1) képletből következik. Tehát egy izomorfizmus.

A tétel bizonyítást nyert.

Egy csoport szerkezetének megértésében fontos szerepet játszik az alcsoportjainak ismerete. Egy ciklikus csoport minden alcsoportja könnyen leírható.

Tétel 2. 1) A ciklikus csoport minden alcsoportja ciklikus.

2)A ciklikus sorrend csoportban n bármely alcsoport felosztásának sorrendje n és a szám bármely q osztójára n pontosan egy q rendű alcsoport van.

Bizonyíték. 1) Legyen egy ciklikus csoport és H-- az alcsoportja különbözik a (Az identitás alcsoport nyilvánvalóan ciklikus.) Vegye figyelembe, hogy ha bármelyik, akkor . Legyen T a legkisebb természetes szám, amelyre . Bizonyítsuk be . Legyen . Osszuk el nak nek a T a maradékkal:

ahonnan a szám definíciója értelmében T ebből következik, és ezért .

2) Ha , akkor az előző érvelés érvényes volt (ebben az esetben ), Mutasd azt . Ahol

És H a sorrend egyetlen alcsoportja q csoportban G. Ezzel szemben, ha q-- tetszőleges számosztó PÉs , majd a részhalmaz H, egyenlőség által meghatározott (9) a sorrend egy alcsoportja q. A tétel bizonyítást nyert.

Következmény . Egy prímsorrendű ciklikus csoportban bármely nem triviális részcsoport egybeesik a teljes csoporttal.

10. PÉLDA. Egy csoportban minden alcsoportnak az a formája, ahol.

11. PÉLDA. Az 1 n-edik gyökércsoportjában bármely alcsoport gyökércsoport q- fokozat az 1-ből, ahol.