Definicija 1. Na ravni, paralelna projekcija tačke A na l-osu je tačka - tačka preseka l-ose sa pravom linijom povučenom kroz tačku A paralelno sa vektorom koji određuje pravac projekcije.

Definicija 2. Paralelna projekcija vektora na l-osu (na vektor) je koordinata vektora, u odnosu na osnovu l osi, gde su tačke i paralelne projekcije tačaka A i B, respektivno, na l osu (slika 1).

Po definiciji imamo

Definicija 3. ako i osnovu l ose kartezijanski, odnosno onda projekcija vektora na l-osu se naziva ortogonalnim (slika 2).

U prostoru ostaje važeća definicija 2 projekcije vektora na osu, samo je pravac projekcije dat sa dva nekolinearna vektora (slika 3).

Iz definicije projekcije vektora na osu, slijedi da je svaka koordinata vektora projekcija ovog vektora na osu određenu odgovarajućim baznim vektorom. U ovom slučaju, smjer dizajna je postavljen pomoću dva druga bazna vektora, ako se projektiranje izvodi (razmatra) u prostoru, ili drugim baznim vektorom, ako se dizajn razmatra na ravni (slika 4).

Teorema 1. Ortogonalna projekcija vektora na l-osu jednaka je proizvodu modula vektora i kosinusa ugla između pozitivnog smjera l-ose i, tj.

S druge strane

Od nalazimo

Zamjenom AC u jednakost (2) dobijamo

Od brojeva x i istog predznaka u oba razmatrana slučaja ((sl. 5, a) ; (sl. 5, b) , onda jednakost (4) implicira

Komentar. U budućnosti ćemo razmatrati samo ortogonalnu projekciju vektora na osu, te će stoga riječ "orth" (ortogonalno) u notaciji biti izostavljena.

Predstavljamo niz formula koje će se koristiti u budućnosti prilikom rješavanja problema.

a) Projekcija vektora na osu.

Ako onda ortogonalna projekcija na vektor prema formuli (5) ima oblik

c) Udaljenost od tačke do ravni.

Neka b- dati avion sa normalnim vektorom, M je data tačka,

d - rastojanje od tačke M do ravni b (slika 6).

Ako je N proizvoljna tačka ravni b, i i su projekcije tačaka M i N na osu, tada

• G) Udaljenost između linija koje se seku.

Neka su a i b date prave koje se seku, vektor okomit na njih, A i B proizvoljne tačke pravih a i b, redom (slika 7), i projekcije tačaka A i B na, tada

e) Udaljenost od tačke do prave.

Neka bude l- data prava sa vektorom pravca, M - data tačka,

N - njegova projekcija na pravu l, zatim - željeno rastojanje (slika 8).

Ako je A proizvoljna tačka na pravoj l, zatim unutra pravougaonog trougla MNA hipotenuza MA i krakovi se mogu naći. znači,

e) Ugao između prave i ravni.

Neka je vektor smjera date linije l, - vektor normale date ravni b, - projekcija prave linije l do ravni b (slika 9).

Kao što znate, ugao q između prave l a njegova projekcija na ravan b naziva se ugao između prave i ravni. Imamo

Navedimo primjere rješavanja metričkih problema vektorsko-koordinatnom metodom.

Prvo, prisjetimo se šta je koordinatna osa, projekcija tačke na osu I koordinate tačke na osi.

Koordinatna osa je prava linija kojoj je dat pravac. Možete ga zamisliti kao vektor sa beskonačno velikim modulom.

Koordinatna osa označena bilo kojim slovom: X, Y, Z, s, t... Obično se na osi (proizvoljno) bira tačka koja se naziva ishodište i po pravilu označava slovom O. Udaljenosti do drugih tačke koje nas zanimaju mjere se od ove tačke.

Projekcija tačke na osu- ovo je osnova okomice spuštena iz ove tačke na datu osu (slika 8). To jest, projekcija tačke na osu je tačka.

Koordinate tačke po osi je broj čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (u odabranoj skali) zatvorenog između početka ose i projekcije tačke na ovu osu. Ovaj broj se uzima sa znakom plus ako se projekcija tačke nalazi u smjeru ose od njenog početka i sa znakom minus ako je u suprotnom smjeru.

Skalarna projekcija vektora na osu- ovo broj, čija je apsolutna vrijednost jednaka dužini segmenta ose (u odabranoj skali) zatvorene između projekcija početne i krajnje tačke vektora. Bitan! Obično umjesto izraza skalarna projekcija vektora na osu samo kažu - projekcija vektora na osu, odnosno riječ skalar spušteno. Vektorska projekcija označen istim slovom kao i projektovani vektor (normalnim, ne podebljanim slovima), sa indeksom (obično) imena ose na koju se ovaj vektor projektuje. Na primjer, ako se vektor projektuje na x-osu ali, tada je njegova projekcija označena sa x . Prilikom projektovanja istog vektora na drugu osu, recimo na Y osu, njegova projekcija će biti označena sa y (slika 9).

Da izračunam vektorska projekcija na osu(npr. osa X) potrebno je oduzeti koordinatu početne tačke od koordinate njene krajnje tačke, tj.

i x \u003d x k - x n.

Moramo zapamtiti: skalarna projekcija vektora na osu (ili, jednostavno, projekcija vektora na osu) je broj (ne vektor)!Štaviše, projekcija može biti pozitivna ako je vrijednost x k veća od vrijednosti x n, negativna ako je vrijednost x k manja od vrijednosti x n i jednaka nuli ako je x k jednako x n (slika 10).

Projekcija vektora na osu može se naći i poznavanjem modula vektora i ugla koji čini sa tom osom.

Slika 11 pokazuje da je a x = a Cos α

To jest, projekcija vektora na osu jednaka je proizvodu vektorskog modula i kosinusa ugla između smjera ose i smjera vektora. Ako je ugao oštar, onda je Cos α > 0 i a x > 0, a ako je tup, kosinus tupog ugla je negativan, a projekcija vektora na osu će takođe biti negativna.

Uglovi koji se računaju od ose u smjeru suprotnom od kazaljke na satu smatraju se pozitivnim, a u smjeru - negativnim. Međutim, pošto je kosinus parna funkcija, odnosno Cos α = Cos (− α), onda se pri izračunavanju projekcija uglovi mogu brojati i u smeru kazaljke na satu i u suprotnom smeru.

Prilikom rješavanja problema često će se koristiti sljedeća svojstva projekcija: ako

ali = b + c +…+ d, tada a x = b x + c x +…+ d x (slično za druge ose),

a= m b, tada a x = mb x (slično za druge ose).

Formula a x = a Cos α će biti Često susreću se prilikom rješavanja problema, pa se mora znati. Morate znati pravilo za određivanje projekcije srcem!

Zapamtite!

Da bi se pronašla projekcija vektora na osu, modul ovog vektora mora se pomnožiti sa kosinusom ugla između smjera ose i smjera vektora.

Još jednom - BRZO!

ali. Projekcija tačke A na osu PQ (slika 4) je osnova a okomice spuštene iz date tačke na datu osu. Osa na koju projektujemo naziva se osa projekcije.

b. Neka su date dvije ose i vektor A B, kao što je prikazano na sl. pet.

Vektor čiji je početak projekcija početka, a kraj je projekcija kraja dati vektor, naziva se projekcija vektora A B na osu PQ, piše se ovako;

Ponekad indikator PQ nije napisan pri dnu, to se radi u slučajevima kada osim PQ ne postoji druga osa na koju bi se moglo projektovati.

od. Teorema I. Vrijednosti vektora koji leže na istoj osi povezane su kao vrijednosti njihovih projekcija na bilo koju os.

Neka su date ose i vektori prikazani na slici 6. Iz sličnosti trouglova se vidi da su dužine vektora povezane kao dužine njihovih projekcija, tj.

Budući da su vektori na crtežu usmjereni u različitim smjerovima, njihove veličine imaju različite vrijednosti, stoga,

Očigledno, vrijednosti projekcije također imaju drugačiji predznak:

zamjenjujući (2) u (3) u (1), dobijamo

Preokrenuvši znakove, dobijamo

Ako su vektori jednako usmjereni, tada će postojati jedan smjer i njihove projekcije; u formulama (2) i (3) neće biti znakova minus. Zamjenom (2) i (3) u jednakost (1), odmah dobijamo jednakost (4). Dakle, teorema je dokazana za sve slučajeve.

d. Teorema II. Vrijednost projekcije vektora na bilo koju osu jednaka je vrijednosti vektora pomnoženoj sa kosinusom ugla između ose projekcija i ose vektora. Neka vektor bude dat osi kao što je prikazano na sl. . 7. Konstruirajmo vektor jednako usmjeren sa svojom osom i odgođen, na primjer, od tačke presjeka osa. Neka je njegova dužina jednaka jedan. Zatim njegovu vrijednost

Vektorski opis pokreta je koristan, jer na jednom crtežu uvijek možete prikazati mnogo različitih vektora i dobiti jasnu "sliku" kretanja pred vašim očima. Međutim, vrlo je dugotrajno koristiti ravnalo i kutomjer za obavljanje operacija s vektorima svaki put. Stoga se ove akcije svode na radnje sa pozitivnim i negativnim brojevima - projekcije vektora.

Projekcija vektora na osu nazovimo skalarnu vrijednost jednaku umnošku modula projektovanog vektora i kosinusa ugla između smjerova vektora i odabrane koordinatne ose.

Na lijevom crtežu prikazan je vektor pomaka čiji je modul 50 km i formira se njegov smjer tupi ugao 150° sa smjerom ose X. Koristeći definiciju, nalazimo projekciju pomaka na os X:

sx = s cos(α) = 50 km cos( 150°) = –43 km

Budući da je ugao između osa 90°, lako je izračunati da smjer kretanja čini oštar ugao od 60° sa smjerom Y ose. Koristeći definiciju, nalazimo projekciju pomaka na Y os:

sy = s cos(β) = 50 km cos( 60°) = +25 km

Kao što možete vidjeti, ako smjer vektora formira oštar ugao sa smjerom ose, projekcija je pozitivna; ako smjer vektora formira tupi ugao sa smjerom ose, projekcija je negativna.

Desni crtež prikazuje vektor brzine čiji je modul 5 m/s, a pravac sa pravcem ose X čini ugao od 30°. Nađimo projekcije:

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos ( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ cos(β) = 5 m/s cos ( 120°) = –2,5 m/s

Mnogo je lakše pronaći projekcije vektora na ose ako su projektovani vektori paralelni ili okomiti na izabrane ose. Imajte na umu da su za slučaj paralelizma moguće dvije opcije: vektor je ko-usmjeren na os i vektor je suprotan osi, a za slučaj okomitosti postoji samo jedna opcija.

Projekcija vektora okomita na osu je uvijek nula (vidi sy i ay na lijevom crtežu i sx i υx na desnom crtežu). Zaista, za vektor okomit na osu, ugao između njega i ose je 90 °, tako da je kosinus nula, što znači da je projekcija nula.

Projekcija vektora kousmjerenog sa osom je pozitivna i jednaka je njegovom modulu, na primjer, sx = +s (vidi lijevi crtež). Zaista, za vektor koji je kosmjeran s osom, ugao između njega i ose je nula, a njegov kosinus je „+1“, to jest, projekcija je jednaka dužini vektora: sx = x – xo = +s .

Projekcija vektora nasuprot osi je negativna i jednaka je njegovom modulu, uzetom sa predznakom minus, na primjer, sy = –s (vidi desni crtež). Zaista, za vektor suprotan osi, ugao između njega i ose je 180°, a njegov kosinus je "-1", to jest, projekcija je jednaka dužini vektora, uzetog sa negativnim predznakom: sy = y – yo = –s .

Desne strane oba crteža pokazuju druge slučajeve u kojima su vektori paralelni sa jednim od koordinatne ose i okomito na drugu. Pozivamo vas da se i sami uvjerite da se i u ovim slučajevima poštuju pravila formulirana u prethodnim paragrafima.

Osa je pravac. Stoga se projekcija na osu ili na usmjerenu liniju smatra istom. Projekcija može biti algebarska ili geometrijska. U geometrijskom smislu, projekcija vektora na osu se shvata kao vektor, a u algebarskom smislu, to je broj. Odnosno, koriste se koncepti projekcije vektora na osu i numeričke projekcije vektora na osu.

Ako imamo os L i vektor različit od nule A B → , tada možemo konstruisati vektor A 1 B 1 ⇀ , označavajući projekcije njegovih tačaka A 1 i B 1 .

A 1 B → 1 će biti projekcija vektora A B → na L .

Definicija 1

Projekcija vektora na osu naziva se vektor čiji su početak i kraj projekcije početka i kraja datog vektora. n p L A B → → uobičajeno je da se označava projekcija A B → na L . Da biste konstruirali projekciju na L, ispustite okomite na L.

Primjer 1

Primjer projekcije vektora na osu.

Na koordinatnu ravan Oko x y data je tačka M 1 (x 1 , y 1). Potrebno je izgraditi projekcije na O x i O y za sliku radijus vektora tačke M 1 . Uzmimo koordinate vektora (x 1, 0) i (0 , y 1) .

Ako govorimo o projekciji a → na b → različit od nule ili projekciji a → na pravac b → , onda mislimo na projekciju a → na osu sa kojom se poklapa pravac b →. Projekcija a → na pravu definisanu sa b → označava se n p b → a → → . Poznato je da kada je ugao između a → i b → , možemo smatrati n p b → a → → i b → kosmjernim. U slučaju kada je ugao tup, n p b → a → → i b → su suprotno usmjereni. U situaciji okomitosti a → i b → , i a → je nula, projekcija a → duž pravca b → je nulti vektor.

Numerička karakteristika projekcije vektora na osu je numerička projekcija vektora na datu osu.

Definicija 2

Numerička projekcija vektora na osu nazovimo broj koji je jednak proizvodu dužine datog vektora i kosinusa ugla između datog vektora i vektora koji određuje pravac ose.

Numerička projekcija A B → na L označava se n p L A B → , a a → na b → - n p b → a → .

Na osnovu formule dobijamo npb → a → = a → · cos a → , b → ^ , odakle je a → dužina vektora a → , a ⇀ , b → ^ ugao između vektora a → i b → .

Dobijamo formulu za izračunavanje numeričke projekcije: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . Primjenjivo je kada poznate dužine a → i b → i ugao između njih. Formula je primjenjiva za poznate koordinate a → i b → , ali postoji njena pojednostavljena verzija.

Primjer 2

Odrediti numeričku projekciju a → na pravu u pravcu b → dužine a → jednake 8, a ugao između njih je 60 stepeni. Po uslovu imamo a ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60°. Dakle, zamjenjujemo numeričke vrijednosti u formulu n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

odgovor: 4.

Sa poznatim cos (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → b → , imamo a → , b → kao skalarni proizvod a → i b → . Slijedeći formulu n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ , možemo pronaći numeričku projekciju a → usmjerenu duž vektora b → i dobiti n p b → a → = a → , b → b → . Formula je ekvivalentna definiciji datoj na početku klauzule.

Definicija 3

Numerička projekcija vektora a → na osu koja se poklapa u pravcu sa b → je odnos skalarnog proizvoda vektora a → i b → na dužinu b → . Formula n p b → a → = a → , b → b → je primenljiva za pronalaženje numeričke projekcije a → na pravu liniju koja se poklapa u pravcu sa b → , sa poznatim a → i b → koordinatama.

Primjer 3

Dato je b → = (- 3 , 4) . Naći numeričku projekciju a → = (1, 7) na L.

Rješenje

Na koordinatnoj ravni npb → a → = a → , b → b → ima oblik npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 , za a → = (ax , ay ) i b → = bx , po . Da biste pronašli numeričku projekciju vektora a → na osu L, potrebno je: np L a → = npb → a → = a → , b → b → = ax bx + ay bybx 2 + by 2 = 1 (- 3 ) + 7 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5 .

odgovor: 5.

Primjer 4

Naći projekciju a → na L, koja se poklapa sa smjerom b → , gdje postoje a → = - 2 , 3 , 1 i b → = (3 , - 2 , 6) . Dat je trodimenzionalni prostor.

Rješenje

Date su a → = a x , a y , a z i b → = b x , b y , b z izračunajte skalarni proizvod: a ⇀ , b → = a x b x + a y b y + a z b z . Dužinu b → nalazimo po formuli b → = b x 2 + b y 2 + b z 2. Iz toga slijedi da će formula za određivanje numeričke projekcije a → biti: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x b x + a y b y + a z b z b x 2 + b y 2 + b z 2 .

Zamijenite numeričke vrijednosti: np L a → = npb → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

Odgovor: - 6 7 .

Pogledajmo vezu između a → na L i dužine projekcije a → na L. Nacrtajte osu L dodavanjem a → i b → od tačke do L, nakon čega povlačimo okomitu liniju od kraja a → do L i projektujemo na L. Postoji 5 varijacija slike:

Prvo slučaj kada a → = npb → a → → znači a → = npb → a → → , dakle npb → a → = a → cos (a , → b → ^) = a → cos 0 ° = a → = npb → a → → .

Sekunda slučaj implicira upotrebu n p b → a → ⇀ = a → cos a → , b → , dakle n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = n p b → a → → .

Treći slučaj objašnjava da kao npb → a → → = 0 → dobijamo npb ⇀ a → = a → cos (a → , b → ^) = a → cos 90 ° = 0, zatim npb → a → → = 0 i npb → a → = 0 = npb → a → → .

Četvrto slučaj pokazuje npb → a → → = a → cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → cos (a → , b → ^) , slijedi npb → a → = a → cos (a → , b → ^) = - npb → a → → .

Peto slučaj pokazuje a → = npb → a → → , što znači a → = npb → a → → , dakle imamo npb → a → = a → cos a → , b → ^= a → cos 180 ° = - a → = - npb → a → .

Definicija 4

Numerička projekcija vektora a → na osu L, koja je usmjerena kao b → , ima značenje:

• dužina projekcije vektora a → na L pod uslovom da je ugao između a → i b → manji od 90 stepeni ili jednak 0: npb → a → = npb → a → → uz uslov 0 ≤ (a → , b →) ^< 90 ° ;
• nula pod uslovom okomitosti a → i b → : n p b → a → = 0 kada je (a → , b → ^) = 90 ° ;
• dužina projekcije a → na L, puta -1 kada postoji tup ili spljošten ugao vektora a → i b → : n p b → a → = - n p b → a → → sa uslovom od 90°< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

Primjer 5

S obzirom na dužinu projekcije a → na L, jednaku 2 . Naći numeričku projekciju a → s obzirom da je ugao 5 π 6 radijana.

Rješenje

Iz uslova je jasno da dati ugao je glupo: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

Odgovor: - 2.

Primjer 6

Zadata je ravan O x y z sa dužinom vektora a → jednakom 6 3 , b → (- 2 , 1 , 2) sa uglom od 30 stepeni. Pronađite koordinate projekcije a → na osu L.

Rješenje

Prvo izračunamo numeričku projekciju vektora a → : n p L a → = n p b → a → = a → cos (a → , b →) ^ = 6 3 cos 30 ° = 6 3 3 2 = 9 .

Po uslovu, ugao je oštar, tada je numerička projekcija a → = dužina projekcije vektora a → : n p L a → = n p L a → → = 9 . Ovaj slučaj pokazuje da su vektori n p L a → → i b → kousmjereni, što znači da postoji broj t za koji je tačna jednakost: n p L a → → = t · b → . Odavde vidimo da je np L a → → = tb → , pa možemo pronaći vrijednost parametra t: t = np L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

Tada su np L a → → = 3 b → sa koordinatama projekcije vektora a → na osu L su b → = (- 2 , 1 , 2) , gdje je potrebno vrijednosti pomnožiti sa 3 Imamo np L a → → = (- 6 , 3 , 6). Odgovor: (- 6 , 3 , 6) .

Potrebno je ponoviti prethodno proučavane podatke o stanju kolinearnosti vektora.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter