Kako se možete sjetiti iz školski program u geometriji, trougao je lik formiran od tri segmenta povezana sa tri tačke koje ne leže na jednoj pravoj liniji. Trougao formira tri ugla, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trougao se može nazvati i poligonom sa tri ugla, odgovor će biti jednako tačan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini uglova na slikama. Dakle, razlikuju takve trokute kao što su jednakokračni, jednakostrani i razmjerni, kao i pravokutni, oštrokutni i tupokutni.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. koju formulu koristiti, samo vi. Ali vrijedi napomenuti samo neke oznake koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. pa zapamti:

S je površina trougla,

a, b, c su stranice trougla,

h je visina trokuta,

R je poluprečnik opisane kružnice,

p je poluperimetar.

Ovdje su osnovne oznake koje mogu biti korisne ako ste potpuno zaboravili kurs geometrije. Najrazumljivije i najkompliciranije opcije za izračunavanje nepoznate i tajanstvene površine trokuta bit će navedene u nastavku. Nije teško i dobro će vam doći i za potrebe vašeg domaćinstva i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako izračunati površinu trokuta lako kao ljuštenje krušaka:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm. * 2,5 cm. = 2,75 sq. cm. Zapamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravougli trokut i njegova površina.

Pravougli trougao je trougao čiji je jedan ugao jednak 90 stepeni (zbog toga se naziva pravougli trougao). Pravi ugao čine dvije okomite prave (u slučaju trougla, dva okomita segmenta). IN pravougaonog trougla može postojati samo jedan pravi ugao, jer zbir svih uglova bilo kojeg trougla je 180 stepeni. Ispada da bi 2 druga ugla trebala podijeliti preostalih 90 stupnjeva između sebe, na primjer, 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjetili ste se glavne stvari, ostaje da naučite kako pronaći površinu pravokutnog trokuta. Zamislite da pred sobom imamo takav pravougaoni trougao, a trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najlakši način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U principu, više nije potrebno provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer u svakodnevnom životu dobro će doći i samo će ovaj pomoći. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre uglove.

2. Za druge metode izračunavanja, morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangenta. Procijenite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površina pravokutnog trougla koje još uvijek možete koristiti:

Odlučili smo da koristimo prvu formulu i sa malim mrljama (crtali smo u svesci i koristili stari lenjir i uglomer), ali smo dobili pravi proračun:

S \u003d (2,5 * 2,5) / (2 * 0,9) = (3 * 3) / (2 * 1,2). Dobili smo takve rezultate 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelije, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokraki trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračunavanja formule jednakokraki trougao, onda je najlakši način koristiti glavni i kako se smatra klasičnom formulom za površinu trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznat ćemo o kakvoj se figuri radi. Jednakokraki trougao je trougao čije su dve stranice iste dužine. Ove dvije strane se zovu stranice, a treća strana se zove baza. Ne brkajte jednakokraki trougao sa jednakostraničnim, tj. pravougaonog trougla sa sve tri strane jednake. U takvom trokutu nema posebnih sklonosti uglovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, uglovi na bazi u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od ugla između jednake strane. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje da saznate koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate.

Ponekad u životu postoje situacije kada morate zaroniti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, potrebno je odrediti površinu za površinu trokutastog oblika. Bilo je vremena kada ste takav problem mogli riješiti za nekoliko minuta, a sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne morate da brinete o ovome! Uostalom, sasvim je normalno kada ljudski mozak odluči premjestiti dugo neiskorišteno znanje negdje u zabačeni kutak iz kojeg ga ponekad nije tako lako izvući. Kako ne biste morali mučiti s potragom za zaboravljenim školskim znanjem kako biste riješili takav problem, ovaj članak sadrži različite metode koje olakšavaju pronalaženje potrebne površine trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta poligona koji je ograničen minimalnim mogućim brojem stranica. U principu, svaki poligon se može podijeliti na nekoliko trouglova povezivanjem njegovih vrhova sa segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, poznavajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trokutovima koji se javljaju u životu, mogu se razlikovati sljedeće posebne vrste: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih uglova pravi, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to pola pravougaonika. Stoga je njegova površina jednaka polovini umnoška stranica koje između njih tvore pravi ugao.

Ako znamo visinu trokuta, spuštenog sa jednog njegovog vrha na suprotnu stranu, i dužinu ove stranice, koja se zove baza, tada se površina računa kao polovina umnožaka visine i osnove. Ovo se piše pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je željena površina trokuta;

b, h - visina i osnova trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta, jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i lako se može izmjeriti. Ako je površina određena, onda je za visinu zgodno uzeti dužinu jedne od stranica koje tvore pravi ugao.

Sve je ovo svakako dobro, ali kako odrediti da li je jedan od uglova trougla pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, onda možete koristiti ugao izgradnje, trokut za crtanje, razglednicu ili drugi predmet pravokutnog oblika.

Ali šta ako imamo trouglasto zemljište? U ovom slučaju postupite na sljedeći način: brojite od vrha predloženog pravi ugao na jednoj strani je umnožak udaljenosti od 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani umnožak udaljenosti od 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) se mjeri u istom omjeru. Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih tačaka ova dva segmenta. Ako je vrijednost višestruka od 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), onda se može tvrditi da je ugao pravi.

Ako je poznata vrijednost dužine svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Da bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluperimetar. Ovo je zbir svih stranica našeg trougla, podijeljen na pola. Nakon što se izračuna poluperimetar, možete početi određivati površinu pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

sqrt - kvadratni korijen;

p je vrijednost poluperimetra (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - ivice (stranice) trougla.

Ali šta ako trokut ima nepravilan oblik? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takvu figuru na dva pravokutna trougla, čiji se zbroj površina posebno izračunava, a zatim dodaje. Ili, ako su poznati kut između dvije stranice i veličina ovih stranica, onda primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trougla;

c je ugao između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak je sve moguće u životu, pa gornja formula neće biti suvišna. Sretno sa vašim proračunima!

Područje trokuta - formule i primjeri rješavanja problema

Ispod su formule za pronalaženje površine proizvoljnog trokuta koji su pogodni za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta, bez obzira na njegova svojstva, uglove ili dimenzije. Formule su predstavljene u obliku slike, ovdje su objašnjenja za primjenu ili opravdanje njihove ispravnosti. Takođe, na posebnoj slici je prikazana korespondencija slovnih simbola u formulama i grafičkih simbola na crtežu.

Bilješka . Ako trokut ima posebna svojstva (jednakokraki, pravougaoni, jednakostranični), možete koristiti formule u nastavku, kao i dodatno posebne formule koje vrijede samo za trokute sa ovim svojstvima:

"Formule za površinu jednakostraničnog trougla"

Formule površine trougla

Objašnjenja za formule:
a, b, c- dužine stranica trougla čiju površinu želimo pronaći
r- polumjer kružnice upisane u trokut
R- poluprečnik opisane kružnice oko trougla
h- visina trougla, spuštena na stranu
str- poluperimetar trokuta, 1/2 zbira njegovih strana (perimetar)
α - ugao suprotnoj strani a trougla
β - ugao suprotnoj strani b trougla
γ - ugao suprotnoj strani c trougla
h a, h b , h c- visina trougla, spuštena na stranu a, b, c

Imajte na umu da data notacija odgovara gornjoj slici, tako da bi vam prilikom rješavanja stvarnog problema iz geometrije bilo lakše vizualno zamijeniti ispravne vrijednosti na pravim mjestima u formuli.

Površina trougla je polovina proizvoda visine trokuta i dužine stranice na koju se ta visina spušta(Formula 1). Ispravnost ove formule može se razumjeti logički. Visina spuštena na bazu podijelit će proizvoljni trokut na dva pravokutna. Ako svaki od njih dovršimo do pravokutnika dimenzija b i h, tada će, očito, površina ovih trokuta biti jednaka točno polovini površine pravokutnika (Spr = bh)
Površina trougla je polovina proizvoda njegovih dviju stranica i sinusa ugla između njih(Formula 2) (pogledajte primjer rješavanja problema pomoću ove formule u nastavku). Unatoč činjenici da se čini drugačijim od prethodnog, lako se može transformirati u njega. Ako s ugla B spustimo visinu na stranicu b, ispada da je proizvod stranice a i sinusa ugla γ, prema svojstvima sinusa u pravokutnom trokutu, jednak visini trokuta nacrtanog nas, što će nam dati prethodnu formulu
Može se pronaći površina proizvoljnog trougla preko rad polovina poluprečnika kružnice upisane u nju zbirom dužina svih njegovih stranica(Formula 3), drugim riječima, trebate pomnožiti polovicu perimetra trokuta polumjerom upisane kružnice (na ovaj način je lakše zapamtiti)
Površina proizvoljnog trokuta može se naći dijeljenjem proizvoda svih njegovih strana sa 4 poluprečnika kružnice koja je opisana oko njega (Formula 4)
Formula 5 je pronalaženje površine trokuta u smislu dužina njegovih stranica i njegovog poluperimetra (pola zbroja svih njegovih stranica)
Heronova formula(6) je prikaz iste formule bez korištenja koncepta poluperimetra, samo kroz dužine stranica
Površina proizvoljnog trokuta jednaka je umnošku kvadrata stranice trokuta i sinusa uglova koji su susjedni ovoj strani podijeljenog dvostrukim sinusom ugla suprotnog od ove stranice (Formula 7)
Površina proizvoljnog trokuta može se naći kao proizvod dva kvadrata kružnice koja je opisana oko njega i sinusa svakog od njegovih uglova. (Formula 8)
Ako su poznate dužina jedne stranice i veličina dvaju ugla koja su joj susjedna, tada se površina trokuta može naći kao kvadrat ove stranice, podijeljen dvostrukim zbrojem kotangensa ovih uglovi (Formula 9)
Ako je poznata samo dužina svake od visina trokuta (formula 10), tada je površina takvog trokuta obrnuto proporcionalna dužinama ovih visina, kao po Heronovoj formuli
Formula 11 vam omogućava da izračunate površina trokuta prema koordinatama njegovih vrhova, koje su date kao (x;y) vrijednosti za svaki od vrhova. Imajte na umu da se rezultirajuća vrijednost mora uzeti po modulu, jer koordinate pojedinačnih (ili čak svih) vrhova mogu biti u području negativnih vrijednosti

Bilješka. Slijede primjeri rješavanja zadataka iz geometrije za pronalaženje površine trokuta. Ako trebate riješiti problem iz geometrije, sličnog kojem ovdje nema - pišite o tome na forumu. U rješenjima, funkcija sqrt() se može koristiti umjesto simbola "kvadratnog korijena", u kojem je sqrt simbol kvadratnog korijena, a radikalni izraz je naveden u zagradama.Ponekad se simbol može koristiti za jednostavne radikalne izraze √

Zadatak. Pronađite površinu za koju su date dvije stranice i ugao između njih

Stranice trougla su 5 i 6 cm, a ugao između njih je 60 stepeni. Pronađite površinu trougla.

Rješenje.

Za rješavanje ovog problema koristimo formulu broj dva iz teorijskog dijela lekcije.
Površina trokuta može se naći kroz dužine dvije stranice i sinus ugla između njih i bit će jednaka
S=1/2 ab sin γ

Pošto imamo sve potrebne podatke za rješenje (prema formuli), možemo samo zamijeniti vrijednosti iz uslova problema u formulu:
S=1/2*5*6*sin60

U tabeli vrednosti trigonometrijske funkcije pronaći i zamijeniti u izraz vrijednost sinusa 60 stepeni. To će biti jednako korijenu od tri po dva.
S = 15 √3 / 2

Odgovori: 7,5 √3 (u zavisnosti od zahteva nastavnika, verovatno je moguće ostaviti 15 √3/2)

Zadatak. Nađite površinu jednakostraničnog trougla

Nađite površinu jednakostraničnog trokuta sa stranicom od 3 cm.

Rješenje .

Površina trokuta može se pronaći pomoću Heronove formule:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Budući da je a \u003d b \u003d c, formula za površinu jednakostraničnog trokuta imat će oblik:

S = √3 / 4 * a2

S = √3 / 4 * 3 2

Odgovori: 9 √3 / 4.

Zadatak. Promjena površine prilikom promjene dužine stranica

Koliko će se puta povećati površina trokuta ako se stranice učetvorostruče?

Rješenje.

Budući da su nam dimenzije stranica trokuta nepoznate, tada ćemo za rješavanje problema pretpostaviti da su dužine stranica jednake proizvoljnim brojevima a, b, c. Zatim, da bismo odgovorili na pitanje zadatka, nalazimo površinu ovog trokuta, a zatim nalazimo površinu trokuta čije su stranice četiri puta veće. Omjer površina ovih trouglova će nam dati odgovor na problem.

Zatim dajemo tekstualno objašnjenje rješenja problema u koracima. Međutim, na samom kraju, isto rješenje je predstavljeno u grafičkom obliku koji je pogodniji za percepciju. Oni koji žele mogu odmah ispustiti rješenje.

Za rješavanje koristimo Heronovu formulu (vidi gore u teorijskom dijelu lekcije). izgleda ovako:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte prvi red slike ispod)

Dužine stranica proizvoljnog trougla date su varijablama a, b, c.
Ako se stranice povećaju za 4 puta, tada će površina novog trokuta c biti:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(pogledajte drugi red na slici ispod)

Kao što možete vidjeti, 4 je zajednički faktor koji se može staviti u zagrade od sva četiri izraza prema općim pravilima matematike.
Onda

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - na trećem redu slike
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - četvrti red

Iz broja 256 kvadratni korijen je savršeno izvučen, pa ćemo ga izvaditi ispod korijena
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(pogledajte peti red slike ispod)

Da bismo odgovorili na pitanje postavljeno u zadatku, dovoljno je da podijelimo površinu rezultirajućeg trokuta površinom prvobitnog.
Određujemo omjere površina tako što podijelimo izraze jedan na drugi i smanjimo rezultujući razlomak.

Koncept područja

Koncept površine bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s takvom figurom kao što je kvadrat. Za jediničnu površinu bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi potpunosti, podsjećamo na dva osnovna svojstva za koncept područja geometrijskih oblika.

Nekretnina 1: Ako geometrijske figure su jednake, njihove površine su takođe jednake.

Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štaviše, površina originalne figure jednaka je zbroju vrijednosti površina svih figura koje je čine.

Razmotrimo primjer.

Primjer 1

Očigledno je da je jedna od strana trougla dijagonala pravougaonika, pri čemu je jedna strana $5$ (od $5$ ćelija), a druga $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovini takvog pravokutnika. Površina pravougaonika je

Tada je površina trokuta

Odgovor: 15$.

Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta koristeći visinu i osnovu

Teorema 1

Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice puta visine povučene na tu stranu.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$ gdje je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Dakle, željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka je

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema je dokazana.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na slici ispod, ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ ćelija). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5$.

Heronova formula

Teorema 2

Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može naći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo

Iz trougla $CBH$, po Pitagorinoj teoremi, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Koncept područja

Nekretnina 1: Ako su geometrijski oblici jednaki, onda su i njihove površine jednake.

Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štaviše, površina originalne figure jednaka je zbroju vrijednosti površina svih figura koje je čine.

Razmotrimo primjer.

Primjer 1

Tada je površina trokuta

Odgovor: 15$.

Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta koristeći visinu i osnovu

Teorema 1

Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice puta visine povučene na tu stranu.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$ gdje je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Dakle, željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka je

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema je dokazana.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na slici ispod, ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ ćelija). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5$.

Heronova formula

Teorema 2

Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može naći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo

Iz trougla $CBH$, po Pitagorinoj teoremi, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$