Koncept područja

Koncept područja bilo kojeg geometrijska figura, posebno trokut, povezivat ćemo s takvom figurom kao kvadrat. Za jediničnu površinu bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi potpunosti, podsjećamo na dva osnovna svojstva za koncept područja geometrijskih oblika.

Nekretnina 1: Ako su geometrijske figure jednake, onda su i njihove površine jednake.

Nekretnina 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štaviše, površina originalne figure jednaka je zbroju vrijednosti ​​površina svih figura koje je čine.

Razmotrimo primjer.

Primjer 1

Očigledno je da je jedna od stranica trougla dijagonala pravougaonika , koji ima jednu stranu dužine $5$ (od $5$ ćelija), a drugu $6$ (od $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovini takvog pravokutnika. Površina pravougaonika je

Tada je površina trokuta

Odgovor: 15$.

Zatim razmotrite nekoliko metoda za pronalaženje površina trokuta, naime pomoću visine i baze, koristeći Heronovu formulu i površinu jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta koristeći visinu i osnovu

Teorema 1

Površina trokuta može se naći kao polovina proizvoda dužine stranice puta visine povučene na tu stranu.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ dužina stranice, $h$ je visina povučena do nje.

Dokaz.

Razmotrimo trougao $ABC$ gdje je $AC=α$. Visina $BH$ je povučena na ovu stranu i jednaka je $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravougaonika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravougaonika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Onda

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Dakle, željena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka je

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorema je dokazana.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na slici ispod, ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnova ovog trougla je $9$ (pošto je $9$ $9$ ćelija). Visina je također 9$. Tada, prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Odgovor: 40,5$.

Heronova formula

Teorema 2

Ako su nam date tri stranice trougla $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može naći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ označava poluperimetar ovog trougla.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trougla $ABH$ dobijamo

Iz trougla $CBH$, po Pitagorinoj teoremi, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobijamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Kako je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, dakle

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremi 1, dobijamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Trokut je jedan od najčešćih geometrijskih oblika koji nam je već poznat osnovna škola. Svaki učenik se suočava sa pitanjem kako pronaći površinu trougla na časovima geometrije. Dakle, koje se karakteristike pronalaženja površine date figure mogu razlikovati? U ovom članku ćemo razmotriti osnovne formule potrebne za dovršetak takvog zadatka, a također ćemo analizirati vrste trokuta.

Vrste trouglova

Područje trokuta možete pronaći na potpuno različite načine, jer u geometriji postoji više od jedne vrste figure koja sadrži tri ugla. Ove vrste uključuju:

• tupo.
• Jednakostrani (tačno).
• Pravokutni trokut.
• Jednakokraki.

Pogledajmo bliže svaku od postojećih vrsta trouglova.

Takva geometrijska figura smatra se najčešćom u rješavanju geometrijski problemi. Kada postane potrebno nacrtati proizvoljan trokut, ova opcija dolazi u pomoć.

U oštrom trouglu, kao što naziv implicira, svi uglovi su oštri i zbrajaju do 180°.

Takav trokut je također vrlo čest, ali je nešto rjeđi od ostrokutnog. Na primjer, kada rješavate trouglove (to jest, znate nekoliko njegovih stranica i uglova i morate pronaći preostale elemente), ponekad morate odrediti je li ugao tup ili ne. Kosinus je negativan broj.

Vrijednost jednog od uglova prelazi 90°, tako da preostala dva ugla mogu imati male vrijednosti (na primjer, 15° ili čak 3°).

Da biste pronašli površinu trokuta ovog tipa, morate znati neke od nijansi o kojima ćemo dalje govoriti.

Pravilni i jednakokraki trouglovi

Pravilan poligon je figura koja uključuje n uglova, u kojima su sve stranice i uglovi jednaki. Ovo je pravougaoni trougao. Pošto je zbir svih uglova trougla 180°, svaki od tri ugla je 60°.

Pravokutni trokut se zbog svoje osobine naziva i jednakostranični lik.

Također je vrijedno napomenuti da samo jedan krug može biti upisan u pravilan trokut i samo jedan krug može biti opisan oko njega, a njihovi centri se nalaze u jednoj tački.

Osim jednakostraničnog tipa, može se razlikovati i jednakokraki trokut, koji se malo razlikuje od njega. U takvom trouglu dvije stranice i dva ugla su međusobno jednaki, a treća stranica (na koju graniče jednaki uglovi) je osnova.

Na slici je prikazan jednakokraki trougao DEF, čiji su uglovi D i F jednaki, a DF je osnova.

Pravokutni trokut

Pravokutni trokut je tako nazvan jer je jedan od njegovih uglova pravi ugao, odnosno jednak 90°. Ostala dva ugla su zbir do 90°.

Najveća stranica takvog trougla, koja leži nasuprot kuta od 90°, je hipotenuza, dok su druge dvije njegove stranice katete. Za ovu vrstu trouglova primjenjiva je Pitagorina teorema:

Zbir kvadrata dužina kateta jednak je kvadratu dužine hipotenuze.

Na slici je prikazan pravougli trokut BAC sa hipotenuzom AC i kracima AB i BC.

Da biste pronašli površinu trokuta sa pravim uglom, morate znati numeričke vrijednosti njegovih krakova.

Prijeđimo na formule za pronalaženje površine date figure.

Osnovne formule za pronalaženje površine

U geometriji se mogu razlikovati dvije formule koje su pogodne za pronalaženje površine većine tipova trokuta, a to su trokuti sa oštrim uglom, tupokutni, pravilni i jednakokračni trokuti. Hajde da analiziramo svaku od njih.

Po strani i visini

Ova formula je univerzalna za pronalaženje površine figure koju razmatramo. Da biste to učinili, dovoljno je znati dužinu stranice i dužinu povučene visine. Sama formula (pola proizvoda baze i visine) je sljedeća:

gdje je A stranica datog trougla, a H visina trougla.

Na primjer, da biste pronašli površinu trokuta sa oštrim kutom ACB, trebate pomnožiti njegovu stranu AB visinom CD i rezultujuću vrijednost podijeliti s dva.

Međutim, nije uvijek lako pronaći površinu trokuta na ovaj način. Na primjer, da biste koristili ovu formulu za tupokutni trokut, trebate nastaviti jednu od njegovih stranica i tek onda joj nacrtati visinu.

U praksi se ova formula koristi češće od ostalih.

Dvije strane i ugao

Ova formula, kao i prethodna, pogodna je za većinu trokuta i po svom značenju je posledica formule za pronalaženje površine po strani i visini trokuta. To jest, formula koja se razmatra može se lako zaključiti iz prethodne. Njegova formulacija izgleda ovako:

S = ½*sinO*A*B,

gdje su A i B stranice trokuta, a O je ugao između stranica A i B.

Podsjetimo da se sinus ugla može vidjeti u posebnoj tabeli nazvanoj po istaknutom sovjetskom matematičaru V. M. Bradisu.

A sada prijeđimo na druge formule koje su prikladne samo za izuzetne vrste trokuta.

Površina pravouglog trougla

Pored univerzalne formule, koja uključuje potrebu za crtanjem visine u trokutu, iz njegovih nogu može se pronaći površina trokuta koji sadrži pravi ugao.

Dakle, površina trokuta koji sadrži pravi ugao je polovina proizvoda njegovih nogu, ili:

gdje su a i b katete pravouglog trougla.

pravougaonog trougla

Ova vrsta geometrijskih figura odlikuje se činjenicom da se njena površina može naći na određenoj vrijednosti samo jedne od njenih strana (pošto sve strane pravougaonog trougla su jednaki). Dakle, nakon što ste se susreli sa zadatkom "pronaći površinu trokuta kada su stranice jednake", morate koristiti sljedeću formulu:

S = A 2 *√3 / 4,

gdje je A stranica jednakostraničnog trougla.

Heronova formula

Posljednja opcija za pronalaženje površine trokuta je Heronova formula. Da biste ga koristili, morate znati dužine tri strane figure. Heronova formula izgleda ovako:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

gdje su a, b i c stranice datog trougla.

Ponekad se daje zadatak: "površina pravilnog trougla je pronaći dužinu njegove stranice." U ovom slučaju morate koristiti formulu koja nam je već poznata za pronalaženje površine pravilnog trokuta i iz nje izvesti vrijednost stranice (ili njenog kvadrata):

A 2 \u003d 4S / √3.

Problemi na ispitu

Postoje mnoge formule u zadacima GIA u matematici. Osim toga, često je potrebno pronaći površinu trokuta na kariranom papiru.

U ovom slučaju, najpogodnije je nacrtati visinu na jednu od strana figure, odrediti njenu dužinu po ćelijama i koristiti univerzalnu formulu za pronalaženje područja:

Dakle, nakon proučavanja formula predstavljenih u članku, nećete imati problema s pronalaženjem površine trokuta bilo koje vrste.

Na internetu se može naći više od 10 formula za izračunavanje površine trokuta. Mnoge od njih se koriste u problemima sa poznatim stranicama i uglovima trokuta. Međutim, postoji niz teški primjeri pri čemu su, prema uslovu zadatka, poznate samo jedna stranica i uglovi trougla, odnosno poluprečnik opisane ili upisane kružnice i još jedna karakteristika. U takvim slučajevima, jednostavna formula se ne može primijeniti.

Formule u nastavku će riješiti 95 posto problema u kojima trebate pronaći površinu trokuta.
Pređimo na razmatranje formula zajedničkog područja.
Razmotrite trokut prikazan na donjoj slici

Na slici i dalje u formulama uvedene su klasične oznake svih njegovih karakteristika
a,b,c su stranice trougla,
R je poluprečnik opisane kružnice,
r je poluprečnik upisane kružnice,
h[b],h[a],h[c] - visine nacrtane u skladu sa stranicama a,b,c.
alfa, beta,hamma - uglovi blizu vrhova.

Osnovne formule za površinu trokuta

1. Površina je jednaka polovini proizvoda stranice trokuta i visine spuštene na ovu stranu. U jeziku formula, ova definicija se može napisati kao

Dakle, ako su strana i visina poznate, onda će svaki učenik pronaći površinu.
Usput, jedna korisna veza između visina može se izvesti iz ove formule

2. Ako uzmemo u obzir da je visina trougla kroz susjednu stranicu izražena zavisnošću

Zatim iz prve formule površine slijedi isti tip druge

Pažljivo pogledajte formule - lako ih je zapamtiti, jer rad ima dvije strane i ugao između njih. Ako ispravno označimo stranice i uglove trokuta (kao na gornjoj slici), dobićemo dva strane a,b a ugao je povezan sa trećim C (hamma).

3. Za uglove trougla, relacija

Ovisnost vam omogućava da u proračunima primijenite sljedeće formule za površinu trokuta

Primjeri ove ovisnosti su izuzetno rijetki, ali morate zapamtiti da postoji takva formula.

4. Ako su poznati stranica i dva susjedna ugla, tada se površina nalazi po formuli

5. Formula za površinu u smislu stranice i kotangensa susjednih uglova je sljedeća

Preuređivanjem indeksa možete dobiti zavisnosti za druge strane.

6. Formula površine ispod se koristi u zadacima kada su vrhovi trougla dati na ravni sa koordinatama. U ovom slučaju, površina je jednaka polovini modulo determinante.

7. Heronova formula koristi se u primjerima s poznatim stranicama trokuta.
Prvo pronađite poluperimetar trokuta

A zatim odredite površinu po formuli

ili

Često se koristi u kodu programa kalkulatora.

8. Ako su poznate sve visine trougla, tada je površina određena formulom

Teško je izračunati na kalkulatoru, međutim, u paketima MathCad, Mathematica, Maple površina je "jedan dva".

9. Sljedeće formule koriste poznate polumjere upisanih i opisanih kružnica.

Konkretno, ako su poznati polumjer i stranice trokuta, ili njegov opseg, tada se površina izračunava prema formuli

10. U primjerima gdje su date stranice i polumjer ili prečnik opisane kružnice, površina se nalazi po formuli

11. Sledeća formula određuje površinu trokuta u smislu stranice i uglova trokuta.

I na kraju - posebni slučajevi:
Površina pravouglog trougla sa katetama a i b jednaka je polovini njihovog proizvoda

Formula za površinu jednakostraničnog (pravilnog) trokuta=

\u003d jedna četvrtina proizvoda kvadrata stranice i korijena tri.

Trokut je najjednostavniji geometrijski lik koji se sastoji od tri strane i tri vrha. Zbog svoje jednostavnosti, trokut se od davnina koristio za razna mjerenja, a danas figura može biti korisna za rješavanje praktičnih i svakodnevnih problema.

Karakteristike trougla

Brojka se koristi za proračune od davnina, na primjer, geodeti i astronomi rade sa svojstvima trouglova za izračunavanje površina i udaljenosti. Preko površine ove figure lako je izraziti površinu bilo kojeg n-ugla, a ovo svojstvo koristili su drevni znanstvenici za izvođenje formula za površine poligona. Konstantan rad sa trouglovima, posebno sa pravouglim trouglom, postao je osnova za čitav deo matematike - trigonometriju.

geometrija trougla

Osobine geometrijske figure proučavane su od davnina: najranije informacije o trokutu pronađene su u egipatskim papirusima starim 4000 godina. Zatim je figura proučavana u Ancient Greece a najveći doprinos geometriji trougla dali su Euklid, Pitagora i Heron. Proučavanje trougla nikada nije prestalo, a u 18. veku Leonhard Ojler je uveo koncept ortocentra figure i Ojlerovog kruga. Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće, kada se činilo da se o trouglu zna apsolutno sve, Frank Morley je formulirao teoremu o trisektorima ugla, a Vaclav Sierpinski je predložio fraktalni trokut.

Postoji nekoliko vrsta ravnih trouglova koje su nam poznate iz školskog kursa geometrije:

• oštrougaoni - svi uglovi figure su oštri;
• tup - figura ima jedan tup ugao (veći od 90 stepeni);
• pravougaona - figura sadrži jedan pravi ugao jednak 90 stepeni;
• jednakokračan - trokut sa dvije jednake stranice;
• jednakostraničan - trokut sa svim jednakim stranama.
• U stvarnom životu postoje sve vrste trokuta, a u nekim slučajevima možda ćemo morati izračunati površinu geometrijske figure.

Površina trougla

Površina je procjena koliki dio ravnine figura ograničava. Površina trokuta se može pronaći na šest načina, koristeći stranice, visinu, uglove, polumjer upisane ili opisane kružnice, kao i korištenjem Heronove formule ili izračunavanja dvostruki integral duž linija koje ograničavaju ravan. Najjednostavnija formula za izračunavanje površine trokuta je:

gdje je a stranica trougla, h njegova visina.

Međutim, u praksi nam nije uvijek zgodno pronaći visinu geometrijske figure. Algoritam našeg kalkulatora vam omogućava da izračunate površinu, znajući:

• tri strane;
• dvije strane i ugao između njih;
• jedna strana i dva ugla.

Da bismo odredili površinu u smislu tri strane, koristimo Heronovu formulu:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdje je p poluperimetar trougla.

Izračun površine na dvije strane i ugla vrši se prema klasičnoj formuli:

S = a × b × sin(alfa),

gdje je alfa ugao između stranica a i b.

Da bismo odredili površinu kroz jednu stranu i dva ugla koristimo odnos:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Pomoću jednostavne proporcije određujemo dužinu druge stranice, nakon čega izračunavamo površinu pomoću formule S = a × b × sin (alfa). Ovaj algoritam je potpuno automatizovan i potrebno je samo da unesete date varijable i dobijete rezultat. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz stvarnog života

ploče za popločavanje

Recimo da želite popločati pod trokutastim pločicama, a da biste odredili količinu potrebnog materijala, trebali biste saznati površinu ​​jedne pločice i površinu poda. Pretpostavimo da trebate obraditi 6 kvadratnih metara površine pomoću pločice čije su dimenzije a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očigledno, kalkulator koristi Heronovu formulu za izračunavanje površine trokuta i daj rezultat:

Dakle, površina jednog elementa pločice bit će 0,021 kvadratnom metru, i trebat će vam 6/0,021 = 285 trouglova da uljepšate pod. Brojevi 20, 21 i 29 čine pitagorine trostruke brojeve koji zadovoljavaju . I tako je, naš kalkulator je izračunao i sve uglove trougla, a gama ugao je tačno 90 stepeni.

školski zadatak

U školskom zadatku morate pronaći površinu trokuta, znajući da je stranica = 5 cm, a uglovi alfa i beta rane 30, odnosno 50 stepeni. Da bismo ručno riješili ovaj problem, prvo bismo pronašli vrijednost stranice b koristeći omjer širine i visine i sinuse suprotnih uglova, a zatim bismo odredili površinu pomoću jednostavne formule S = a × b × sin(alfa). Uštedimo vreme, unesite podatke u formu kalkulatora i dobijte trenutni odgovor

Kada koristite kalkulator, važno je pravilno odrediti uglove i stranice, inače će rezultat biti netačan.

Zaključak

Trokut je jedinstvena figura koja se javlja i u stvarnom životu i u apstraktnim proračunima. Koristite naš online kalkulator da pronađete površinu trokuta bilo koje vrste.

Ponekad u životu postoje situacije kada morate uroniti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, morate odrediti površinu parcele trokutastog oblika ili je došao red na sljedeći popravak u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu trokutastog oblika. Bilo je vremena kada ste takav problem mogli riješiti za nekoliko minuta, a sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne morate da brinete o ovome! Uostalom, sasvim je normalno kada ljudski mozak odluči premjestiti dugo neiskorišteno znanje negdje u zabačeni kutak iz kojeg ga ponekad nije tako lako izvući. Kako ne biste morali patiti s potragom za zaboravljenim školskim znanjem kako biste riješili takav problem, ovaj članak sadrži različite metode koje olakšavaju pronalaženje željene površine trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta poligona koji je ograničen minimalnim mogućim brojem stranica. U principu, svaki poligon se može podijeliti na nekoliko trouglova spajanjem njegovih vrhova sa segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, poznavajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trouglovima koji se javljaju u životu, mogu se razlikovati sljedeće posebne vrste: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih uglova pravi, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to pola pravougaonika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnožaka stranica koje tvore pravi ugao između njih.

Ako znamo visinu trokuta, spuštenog iz jednog njegovog vrha na suprotnu stranu, i dužinu ove stranice, koja se zove baza, tada se površina računa kao polovina umnožaka visine i osnove. Ovo se piše pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je željena površina trokuta;

b, h - visina i osnova trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokraki trougao, budući da će visina prepoloviti suprotnu stranu i može se lako izmjeriti. Ako je površina određena, onda je zgodno uzeti dužinu jedne od stranica koje tvore pravi ugao kao visinu.

Sve je to svakako dobro, ali kako odrediti da li je jedan od uglova trougla pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, onda možete koristiti ugao izgradnje, trokut za crtanje, razglednicu ili drugi predmet pravokutnog oblika.

Ali šta ako imamo trouglasto zemljište? U ovom slučaju postupite na sljedeći način: brojite od vrha predloženog pravi ugao na jednoj strani je umnožak udaljenosti 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani umnožak udaljenosti od 4 (40 cm, 160 cm, 4 m) u istom omjeru. Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih tačaka ova dva segmenta. Ako je vrijednost višestruka od 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), onda se može tvrditi da je ugao pravi.

Ako je poznata vrijednost dužine svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Da bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluperimetar. Ovo je zbir svih stranica našeg trougla, podijeljen na pola. Nakon što se izračuna poluperimetar, možete početi određivati ​​površinu pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

kvadrat- Kvadratni korijen;

p je vrijednost poluperimetra (p =(a+b+c)/2);

a, b, c - ivice (stranice) trougla.

Ali šta ako trokut ima nepravilan oblik? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takvu figuru na dva pravougaonog trougla, čiji se zbroj površina posebno izračunava, a zatim dodaje. Ili, ako su poznati kut između dvije stranice i veličina ovih stranica, onda primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trougla;

c je ugao između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak je sve moguće u životu, pa gornja formula neće biti suvišna. Sretno sa vašim proračunima!